CN104866689B - 一种不对称故障直流系统准稳态模型构建方法 - Google Patents

一种不对称故障直流系统准稳态模型构建方法 Download PDF

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Abstract

一种不对称故障直流系统准稳态模型构建方法，在超高压、特高压直流换流站内，当交流系统发生不对称故障时，利用站内控制中心获取逆变侧交流系统三相线电压半个周波的波形信息，通过不对称换相电压的实际波形来预测换相线电压的过零时刻，改进各晶闸管阀组触发脉冲的触发时刻，进而得到计及换相电压大小变化所引起的直流平均电压和换相角的数值，从而得到不对称故障下直流系统的改进准稳态模型，以更准确、快速地进行交直流混联电力系统的机电暂态仿真。

Description

一种不对称故障直流系统准稳态模型构建方法
技术领域
本发明属于交直流混联电力系统机电暂态仿真技术领域，具体涉及一种不对称故障直流系统准稳态模型构建方法。
背景技术
近年来，超高压、特高压直流电网在我国很多地区相继投入运行，对电网的安全稳定运行及控制提出了更高的要求。中国现在已建成并正式投运的超高压直流输电系统的线路总长度与输送容量均居世界第一。未来15年内，中国电网将是具有20多回超高压、特高压直流输电线路的超大规模交直流混联电网。因大规模的直流输电系统的投入运行，大量大功率的电力电子装置及其它非线性元件被引入电力系统，这些元件的快速暂态过程对交流系统产生不同程度的影响，使得对交直流混联系统进行仿真的困难大大增加。
为了提高对交直流混联系统的机电暂态仿真精度与速度，学者们进行了各种直流系统模型的理论研究。目前，交直流机电暂态分析中直流系统的模型主要有：等值电路模型，动态向量模型，小信号线性化模型，经典准稳态模型，以及各种改进的准稳态模型等。但实际电力系统机电暂态仿真中使用的仍然是经典准稳态模型，经典准稳态模型的计算方法成立的假定前提如下：
(1)交流系统是三相对称、频率为50Hz的基波正弦系统，不考虑谐波和中性点偏移的作用；
(2)直流侧平波电抗器电感值足够大，且滤波器性能理想，使得直流电流经滤波后波形为平直的，不考虑纹波的影响；
(3)不计换流变压器的饱和效应、激磁阻抗和铜耗，认为是理想变压器；
(4)换流阀特性理想，即不计正向导通状态的压降并忽略阻断状态的漏电流，单桥的六个阀以1/6周期的等相位间隔依次轮流触发导通。
然后基于平均值的思想，可以得到计及换相过程的换流器准稳态计算模型。经典准稳态模型的两个主要缺陷在于：(1)采用对对称换相电压求取平均值的公式计算直流侧电压，而实际仿真中不对称电压作用下此直流平均电压的计算方式存在很大的偏差，从而影响计算的准确性。因此需要建立较为精确的直流平均电压计算方法。(2)对逆变侧关断越前角的计算仍采用对称情况下的计算方法，没有考虑到换相电压过零点移动的因素，以及换相电压大小变化引起换相角变化造成的影响。
考虑不对称故障下电力系统机电暂态仿真中的直流系统准稳态模型构建方法，仍是交直流混联系统机电暂态仿真中亟待解决的难题。
发明内容
为了解决上述现有技术存在的问题，本发明的目的在于提供一种不对称故障直流系统准稳态模型构建方法，在交流系统发生不对称故障下，使机电暂态仿真的精度高于经典准稳态模型，且计算量小于精确电磁暂态模型。
为达到以上目的，本发明采用如下技术方案：
不对称故障下直流系统准稳态模型构建方法，其特征在于：在超高压、特高压直流换流站内，当交流系统发生不对称故障时，利用站内控制中心获取交流系统三相电压半个周波的波形信息，执行以下步骤：
步骤一：直流输电系统换流器的六个晶闸管阀组编号上桥臂编号顺序为阀1-阀3-阀5，下桥臂编号顺序为阀4-阀6-阀2；根据瞬时值表示的不对称三相相电压：
式中：Ua、Ub、Uc为不对称a、b、c三相电压的有效值；θa、θb、θc为不对称a、b、c三相电压的相位，ω为交流系统的角频率；
一周波内六个晶闸管阀不对称换相线电压的实际过零点的具体时刻如下计算：
式中：Ci为不对称故障波形下的阀i换相线电压的过零点，i＝1,2,…,6；
步骤二：以阀3三个相邻过零点为基准的触发电角度之平均值来确定阀3的触发脉冲，进而按等间隔触发其他阀；根据式(6)所计算的换相线电压的6个过零点，能够得出直流输电系统逆变侧各阀的触发脉冲发出电角度的计算公式如下：
式中：αI为直流输电系统的调节系统给出的逆变侧触发滞后角/rad，pi为不对称故障波形下的阀i触发脉冲的电角度，i＝1,2,…,6；
步骤三：以直流输电系统逆变侧阀6触发脉冲发出时刻-阀1-阀2-阀3触发脉冲发出时刻的半个周波电压波形求取直流电压UdI的计算公式，即对阀p6-p3的时段进行计算如下：
式中：RI为逆变侧等值换相电阻，IdI为逆变侧直流电流，RI与IdI的乘积近似等值换相过程引起的电压变化ΔV；
将不对三相相电压实际波形(1)，代入上式(10)可得：
对上式(11)进行积分求解得到不对称换相电压作用下，直流输电系统逆变侧直流平均电压的计算公式如式(12)所示；
步骤四：不对称换相电压作用下，阀i的换相角μi计算公式如下：
式中：i为阀的编号，Id(t)为直流电流，p为投入相，q为退出相，r为另外半桥导通的相，Uspi、Usqi为不对称故障下投入和退出相的相电压有效值，Lr为等值换相电抗；
进而，得出各阀的关断越前角δi修正后的计算公式如下：
δi＝Ci-pi-μii＝1,2,…,6 (21)
式中：Ci为不对称故障波形下的阀i换相线电压的过零点，i＝1,2,…6，分别如式(6)所示；
直流输电系统的调节系统取一个周波六个晶闸管阀关断越前角的最小值进行晶闸管阀的调节计算，以尽量模拟交直流混联系统不对称故障情况下直流输电系统的实际调节过程，准确仿真出直流换相失败或直流闭锁的场景；因此，一个周波的关断越前角δ为：
δ＝min{δi}i＝1,2,…,6 (22)。
和现有技术相比较，本发明具备如下优点：
1、在双桥换流器的直流系统中，Y0/Δ接线方式的变压器的移相作用使得不对称换相电压过零点发生漂移，因此两桥的关断越前角可能有所差异。本发明先计算Y0/Y与Y0/Δ接线方式的变压器对应的换流桥关断越前角δy与δΔ，两者取其值较小者参与调节系统计算触发角，以尽量模拟交直流混联系统不对称故障情况下直流系统的实际调节过程，准确仿真出直流换相失败或直流闭锁的场景。
2、本发明采用对半个周波直流端子上实际电压波形积分的方式来计算直流平均电压，能够根据实际的电压波形首先进行换相电压过零点的计算，进而确定各晶闸管阀的触发脉冲的位置，并进行直流电压和关断越前角的计算，为电力系统机电暂态仿真提供了一种较为准确有效的直流系统建模方法。
附图说明
图1为逆变侧触发脉冲的确定策略图。
图2为一个周波内单桥逆变器的换相过程及直流电压计算通式图。
图3为逆变侧交直流电压波形分析图。
图4为单桥换流器换相过程示意图。
图5为逆变侧交流三相对称短路故障仿真示意图：(a)直流电流波形，(b)逆变侧直流电压波形，(c)整流侧直流电压波形。
图6为为逆变侧交流单相接地不对称短路故障仿真示意图：(a)直流电流波形，(b)逆变侧直流电压波形，(c)整流侧直流电压波形。
具体实施方式
以下结合附图及详细模型构建原理，对本发明作进一步的详细描述。
本发明一种不对称故障直流系统准稳态模型构建方法，针对传统直流系统的准稳态模型在机电暂态计算中不考虑电磁暂态过程，认为直流控制系统等间隔触发。而由于换相电压不对称，各阀换相线电压的过零点出现漂移，可能导致不能准确模拟实际换相动态过程的问题，在系统发生不对称故障时，针对不对称换相电压的作用，基于实际的换相线电压波形进行精确的过零点计算，改进各阀组触发脉冲位置的计算方法，进而采用对半周波内直流端子上的实际电压波形积分的思想来求取直流侧平均直流电压。依照对称换相电压下的换相角计算过程，计算不对称换相电压作用下的换相角数值，进而得到不对称换相电压作用下较为精确的关断越前角计算方法。利用直流侧平均电压和精确关断越前角的计算，并考虑变压器不同接线方式可能带来的过零点偏移问题，给出较合理的关断越前角的公式，来准确模拟机电暂态仿真中直流系统的调节过程。
上述所述的不对称故障直流系统准稳态的建模方法，包括如下步骤：
(1)换相线电压过零点的确定
交流系统各种不对称故障的等值三序网络中只有正序网是有源网，负序零序均是无源网，因此各节点的负序电压幅值必小于等于正序电压幅值。因此可以不考虑过零点次序紊乱的情况，对于给定的三相电压幅值与相角，可以得到一周波内六个线电压过零点的计算方法。
本发明约定：直流输电系统换流器的六个晶闸管阀组编号上桥臂编号顺序为阀1-阀3-阀5，下桥臂编号顺序为阀4-阀6-阀2。设以瞬时值表示的不对称三相电压为：
式中：Ua、Ub、Uc为不对称a、b、c三相电压的有效值；θa、θb、θc为不对称a、b、c三相电压的相位，ω为交流系统的角频率。
先根据以ac两相电压的交点推导阀1线电压过零点C1的计算公式。由式(1)得线电压eac(ωt)如下：
线电压过零点定义为：在C1处，eac(C1)＝0。由上式可得：
Uasin(C1+θa)＝Ucsin(C1+θc) (3)
由三角函数变换，将上式正弦项拆分再将含C1的项进行合并简化，可得：
sin(C1)[Uacos(θa)-Uccos(θc)]＝cos(C1)[Ucsin(θc)-Uasin(θa)] (4)
即
一周波内其余5个换相线电压的实际过零点计算公式可同理推导，其形式如下：
(2)触发脉冲的确定
在系统发生不对称故障的过程中，由于换相线电压过零点漂移的影响，加上锁相器以及控制调节系统的作用，换流器各阀的实际触发滞后角并不等于控制系统给出的触发角。不对称换相电压作用下，换流器各阀的触发脉冲锁相过程复杂，难以在机电暂态过程中对其进行仿真。因此，很难直接根据调控系统给出的控制角度得到各阀实际的触发电角度。
在实际对交流不对称故障的交直流机电暂态仿真计算的过程中，触发角的给定方式对故障稳态(直流调节过程之后，故障仍未切除之前)的仿真结果并无影响，但是对控制系统的调节过程存在影响，即按照过零点延迟最大的阀给定触发脉冲的调节过程最短，按延迟最小的阀给定触发脉冲的调节过程最长。因此，触发脉冲的给定由具体的锁相情况而定。经典准稳态模型按对称三相电压进行触发，默认各阀的触发滞后角相等，因此过程中不计算与分析各阀的触发脉冲而造成误差过大。本发明在等间隔触发的近似基础上，由控制系统给出的触发角α，以阀3的三个相邻过零点为基准的触发电角度的平均值来确定阀3的触发脉冲，进而按等间隔触发其他阀。
因此，根据式(5)和式(6)计算得到的换相电压过零点，可推导出逆变侧各阀的触发脉冲发出电角度的计算公式如下：
式中：αI为直流输电系统的调节系统给出的逆变侧触发滞后角/rad。
(3)直流侧平均电压的改进计算方法
根据逆变侧换流器在换相期间与非换相期间各晶闸管阀的导通情况及直流电压波形的情况，具体分析得到各个时段直流电压波形对应的电压计算通式如图2所示，其中pi代表阀i的触发脉冲，i＝1,2,…,6，μi为该阀触发后的换相角。
对一个周波内的各个时段上直流电压波形进行积分后平均可得：
式中：epri(ωt)为图2中阀i的触发脉冲至下一个触发脉冲间非换相时段的直流电压波形计算通式；ΔV为换相过程引起的电压变化/kV；pi为阀i的触发脉冲发出电角度/rad。
类似于经典准稳态模型，换相过程引起的电压变化ΔV可以由逆变侧等值换相电阻RI与逆变侧直流电流IdI的乘积近似等值。据此由式(8)得到单桥逆变换流器改进后的直流电压计算公式如下：
考虑到换相电压中仅包含基波分量，在直流平均电压的计算中只需要采集半个周波数据即可。以逆变侧阀6触发脉冲发出时刻-阀1-阀2-阀3触发脉冲发出时刻的电压波形为例分析直流电压的计算公式。据图2可以得到该时段逆变侧直流端子上实际电压波形如图3中的阴影部分所示。下面只需要计算图3中阴影部分的面积，即对式(9)中p6-p3的时段进行计算如下：
将不对称换相电压代入上式可得：
对上式进行积分求解可得不对称换相电压作用下，逆变侧直流平均电压的计算公式如式(12)。因换相电压中只有基波量，可知上述直流电压的计算公式并不失一般性。
整流侧电压的计算与上述逆变侧电压的计算过程类似。在每一次直流系统的计算中，由式(12)计算得到直流系统两侧的平均电压值，便可对直流系统的其他变量进行计算与分析。
(4)关断越前角的改进计算方法
在不对称电压作用下，换流阀的换相角度也与对称电压下的计算结果有所不同，尤其相电压不对称造成换相线电压的幅值过小的情况。仿照经典准稳态模型中对称电压下的换相角计算过程，可以得到逆变侧不对称电压作用下的阀i的换相角μi，下面以单桥换流器为例来给出计算方法。如图4所示阀5向阀1换相(阀1投入，阀5退出)的等值电路，换相过程中投入相称为p相，退出相称为q相，另外半桥导通相为r相，Lr为等值换相电抗。
图4中，不对称故障下各相的电势不再为同一幅值和等间隔相位：
根据图4，可列写阀1导通之后的等值电路的微分方程如下：
在直流电流波动不大(即Id(t)的微分值为零)的前提下，将式(13)代入上式，整理可以得到出换相投入相电流计算通式为：
ip(t)＝A-Ispcos(ωt+θp)+Isqcos(ωt+θq) (15)
式中：A为中间参量。
由于换相开始的瞬间阀电流不能突变，投入相的电流为零；且换相完成后，投入相电流等于直流电流。由此可以得到式(15)的边界条件为：
将上式中第一项条件代入式(15)，得到A的表达式为：
A＝Ispcos(pi+θp)-Isqcos(pi+θq) (17)
再将式(17)代入式(15)，得到投入相电流的计算通式如下：
ip(t)＝-Ispcos(ωt+θp)+Isqcos(ωt+θq)+Ispcos(pi+θp)-Isqcos(pi+θq) (18)
将式(16)的第二项条件代入上式，可得
Id(t)＝-Ispcos(pi+μi+θp)+Isqcos(pi+μi+θq)+Ispcos(pi+θp)-Isqcos(pi+θq) (19)
对上式进行整理，可得出不对称换相电压作用下，阀i的换相角μi计算结果如下：
式中：i为阀的编号，Id(t)为直流电流，p为投入相，q为退出相，r为另外半桥导通的相，Uspi、Usqi为不对称故障下投入和退出相的相电压有效值，Lr为等值换相电抗。
进而，可以由此得出各阀的关断越前角δi修正后的计算公式如下：
δi＝Ci-pi-μii＝1,2,…,6 (21)
式中：Ci为不对称故障波形下的阀i换相线电压的过零点，i＝1,2,…,6，分别如式(6)所示。
直流输电系统的调节系统取一个周波各阀关断越前角的最小值进行晶闸管阀的调节计算，因此，一个周波的关断越前角δ为：
δ＝min{δi}i＝1,2,…，6 (22)
实施例
(1)根据瞬时值表示的不对称三相电压：
式中：Ua、Ub、Uc为不对称a、b、c三相电压的有效值；θa、θb、θc为三相电压的相位，ω为系统的角频率。
一周波内6个不对称换相线电压的实际过零点的具体时刻如下计算：
式中：Ci为不对称故障波形下的阀i换相线电压的过零点，i＝1,2,…6。
(2)以阀3的三个相邻过零点为基准的触发电角度的平均值来确定阀3的触发脉冲，进而按等间隔触发其他阀。根据式(6)所计算的换相线电压的6个过零点，可直接得出逆变侧各阀的触发脉冲发出电角度的计算公式如下：
式中：αI为直流调节系统给出的逆变侧触发滞后角/rad。
(3)以逆变侧阀6触发脉冲发出时刻-阀1-阀2-阀3触发脉冲发出时刻的电压波形为例分析直流电压的计算公式。据图2可以得到该时段逆变侧直流端子上实际电压波形如图3中的阴影部分所示。下面只需要计算图3中阴影部分的面积，即对式(9)中p6-p3的时段进行计算如下：
将不对称换相电压代入上式可得：
对上式进行积分求解可得不对称换相电压作用下，逆变侧直流平均电压的计算公式如下所示。
如图1为在三相电压波形不对称情况下，各参数：Ua＝51.249kV，Ub＝113.268kV，Uc＝119.422kV，θa＝-0.7187rad，θb＝-1.8384rad，θc＝-4.3136rad的三相不对称换相电压作用下，αI＝2.3rad时故障稳态(直流调节过程之后，故障仍未切除之前)的逆变侧各阀触发脉冲示意图。
(4)不对称换相电压作用下，阀i的换相角μi计算公式如下：
式中：i为阀的编号，Id(t)为直流电流，p为投入相，q为退出相，r为另外半桥导通的相，Uspi、Usqi为不对称故障下投入和退出相的相电压有效值，Lr为等值换相电抗。
进而，可以由此得出各阀的关断越前角δi修正后的计算公式如下：
δi＝Ci-pi-μii＝1,2,…,6 (21)
式中：Ci为不对称故障波形下的阀i换相线电压的过零点，i＝1,2,…,6，分别如式(6)所示。
直流调节系统取一个周波各阀关断越前角的最小值进行调节计算，以尽量模拟交直流混联系统不对称故障情况下直流系统的实际调节过程，准确仿真出直流换相失败或直流闭锁的场景。因此，一个周波的关断越前角δ为：
δ＝min{δi}i＝1,2,…,6 (22)
比较经典准稳态模型和本发明所建立模型在相同条件下仿真结果如下。
1)逆变侧三相短路故障
系统在1.0s时，逆变侧交流母线上发生三相接地故障，接地电阻0Ω，故障时间0.1s，计算总时间为2s。为了更为详细的分析故障过程中三种模型的动态行为，本文截取了0.6s-1.5s的计算结果进行分析。同工况下，直流系统分别采用改进准稳态模型、电磁暂态模型、经典准稳态模型计算结果如图5(a)(b)(c)所示。需要说明的是，本章以下的计算结果分析图中，标有QSS的电量为经典准稳态模型仿真的计算结果，标有EMT的电量为电磁暂态模型仿真的计算结果，标有new的电量则是采用改进准稳态模型的计算结果。其中，纵坐标均为电量的标幺值，单位为pu；横坐标为时间，单位为s。直流电压的基准值为500kV，直流电流的基准值为2kA。
由图5(a)(b)(c)中曲线分析可知，三种模型的仿真结果曲线相差不大。改进准稳态模型虽然在故障初期和故障切除后的调节过程中的计算结果与另外两种模型有差别，但机电暂态过程中一般不考虑快速的电磁暂态过程。本文主要关注三种模型在故障稳态的计算结果，因此对同工况下故障稳态的直流改进准稳态模型、原准稳态模型计算与电磁暂态模型仿真结果进行对比分析，结果如表1所示。
表1中三种模型的计算结果差异不大。经典准稳态模型和改进准稳态模型在故障稳态各项直流电量计算值的误差基本一致，说明改进准稳态模型在对称换相电压作用下的计算结果是合理可信的。
表1逆变侧交流三相接地故障情况的模型计算误差分析
2)逆变侧单相接地故障
系统在1.0s时，交流系统在逆变侧交流母线上发生a相接地故障，接地电阻10Ω，故障时间0.1s，直流系统分别采用改进准稳态模型、电磁暂态模型、经典准稳态模型的计算结果如图6(a)(b)(c)。
由图6(a)(b)(c)的仿真形分析可知，同工况下，与经典准稳态模型的计算结果相比，计及换相电压不对称的改进准稳态模型更为接近电磁暂态模型的结果。图中逆变侧直流平均电压在故障初期的波动是由直流调节系统的定关断越前角控制作用调节引起的，并不影响仿真的准确。因机电暂态计算中不考虑快速暂态过程，本文主要关注故障稳态的电量误差。可以看到故障稳态(1.00s-1.1s)，改进准稳态模型计算结果误差比经典准稳态模型的小。
为了分析改进准稳态模型在换相电压不对称度不同的情况下的准确性，本文对三种模型在接地电阻不同的单相接地故障稳态的计算结果进行了统计分析如表2。
表2逆变侧交流单相接地故障情况的模型计算误差
由上述数据分析可知，因本文的改进准稳态模型考虑了换相电压的不对称，尤其是单相接地电阻为10Ω的情况下，表中故障稳态的数据显示，改进准稳态模型逆变侧直流电压的计算结果与经典准稳态模型相比误差小了88.57％，整流侧直流电压的计算结果与经典准稳态相比误差小了89.96％，直流电流的误差亦小了39.52％。
3)逆变侧两相短路接地故障
假设1.0s时交流系统在逆变侧交流母线上发生a、b两相短路接地故障(因两相短路接地故障带来的不对称较明显)，故障时间0.1s，直流仿真波形不再赘述。在各种短路阻抗的两相短路作用下，改进准稳态模型、经典准稳态模型与电磁暂态模型的故障稳态仿真结果如表3所示。从表3的计算结果可看出，逆变侧两相短路故障时，各种不对称电压作用下改进准稳态模型的计算误差都远远小于经典准稳态模型的误差。在故障稳态，改进准稳态模型的直流平均电压的计算值相对误差比经典准稳态模型的相对误差小15％以上。
表3逆变侧交流两相短路故障情况的模型计算误差

Claims (1)

1.不对称故障下直流系统准稳态模型构建方法，其特征在于：在超高压、特高压直流换流站内，当交流系统发生不对称故障时，利用站内控制中心获取交流系统三相电压半个周波的波形信息，执行以下步骤：
步骤一：直流输电系统换流器的六个晶闸管阀组编号上桥臂编号顺序为阀1-阀3-阀5，下桥臂编号顺序为阀4-阀6-阀2；根据瞬时值表示的不对称三相相电压：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> <msub> <mi>U</mi> <mi>a</mi> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>b</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> <msub> <mi>U</mi> <mi>b</mi> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>b</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>c</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> <msub> <mi>U</mi> <mi>c</mi> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：Ua、Ub、Uc为不对称a、b、c三相电压的有效值；θa、θb、θc为不对称a、b、c三相电压的相位，ω为交流系统的角频率；
一周波内六个晶闸管阀不对称换相线电压的实际过零点的具体时刻如下计算：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>C</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>arctan</mi> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>c</mi> </msub> <msub> <mi>sin&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>a</mi> </msub> <msub> <mi>sin&amp;theta;</mi> <mi>a</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>a</mi> </msub> <msub> <mi>cos&amp;theta;</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>c</mi> </msub> <msub> <mi>cos&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mo>&amp;PlusMinus;</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>C</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>arctan</mi> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>b</mi> </msub> <msub> <mi>sin&amp;theta;</mi> <mi>b</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>c</mi> </msub> <msub> <mi>sin&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>c</mi> </msub> <msub> <mi>cos&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>b</mi> </msub> <msub> <mi>cos&amp;theta;</mi> <mi>b</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mo>&amp;PlusMinus;</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>C</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>arctan</mi> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>a</mi> </msub> <msub> <mi>sin&amp;theta;</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>b</mi> </msub> <msub> <mi>sin&amp;theta;</mi> <mi>b</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>b</mi> </msub> <msub> <mi>cos&amp;theta;</mi> <mi>b</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>a</mi> </msub> <msub> <mi>cos&amp;theta;</mi> <mi>a</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mo>&amp;PlusMinus;</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>C</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>C</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>C</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>C</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>C</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>C</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：Ci为不对称故障波形下的阀i换相线电压的过零点，i＝1,2,…,6；
步骤二：以阀3三个相邻过零点为基准的触发电角度之平均值来确定阀3的触发脉冲，进而按等间隔触发其他阀；根据式(6)所计算的换相线电压的6个过零点，能够得出直流输电系统逆变侧各阀的触发脉冲发出电角度的计算公式如下：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>C</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>I</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> <mn>3</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>C</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>I</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>&amp;pi;</mi> <mn>3</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>C</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>I</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>/</mo> <mn>3</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>/</mo> <mn>3</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>/</mo> <mn>3</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>/</mo> <mn>3</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>/</mo> <mn>3</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>/</mo> <mn>3</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：αI为直流输电系统的调节系统给出的逆变侧触发滞后角，单位为rad，pi为不对称故障波形下的阀i触发脉冲的电角度，i＝1,2,…,6；
步骤三：以直流输电系统逆变侧阀6触发脉冲发出时刻-阀1-阀2-阀3触发脉冲发出时刻的半个周波电压波形求取直流电压UdI的计算公式，即对阀p6-p3的时段进行计算如下：
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式中：RI为逆变侧等值换相电阻，IdI为逆变侧直流电流，RI与IdI的乘积近似等值换相过程引起的电压变化ΔV；
将不对三相相电压实际波形(1)，代入上式(10)可得：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>I</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mo>{</mo> <mfrac> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> <mi>&amp;pi;</mi> </mfrac> <mo>(</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>6</mn> </msub> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> </msubsup> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>c</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>b</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>b</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> </msubsup> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>a</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>a</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>b</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>b</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>p</mi> <mn>3</mn> </msub> </msubsup> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>a</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>a</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>c</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> <mi>d</mi> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>I</mi> </msub> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>I</mi> </mrow> </msub> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对上式(11)进行积分求解得到不对称换相电压作用下，直流输电系统逆变侧直流平均电压的计算公式如式(12)所示；
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>I</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mo>{</mo> <mfrac> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> <mi>&amp;pi;</mi> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>b</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>cos</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>b</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>cos</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>b</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>c</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>cos</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>cos</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>b</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>cos</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>b</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>cos</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>b</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>cos</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>a</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>cos</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>a</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>c</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>cos</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>cos</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>cos</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>a</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>cos</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>a</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>I</mi> </msub> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>I</mi> </mrow> </msub> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
步骤四：不对称换相电压作用下，阀i的换相角μi计算公式如下：
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式中：i为阀的编号，Id(t)为直流电流，p为投入相，q为退出相，r为另外半桥导通的相，Uspi、Usqi为不对称故障下投入和退出相的相电压有效值，Lr为等值换相电抗；
进而，得出各阀的关断越前角δi修正后的计算公式如下：
δi＝Ci-pi-μi i＝1,2,…,6 (21)
式中：Ci为不对称故障波形下的阀i换相线电压的过零点，i＝1,2,…6，分别如式(6)所示；
直流输电系统的调节系统取一个周波六个晶闸管阀关断越前角的最小值进行晶闸管阀的调节计算，以尽量模拟交直流混联系统不对称故障情况下直流输电系统的实际调节过程，准确仿真出直流换相失败或直流闭锁的场景；因此，一个周波的关断越前角δ为：
δ＝min{δi}i＝1,2,…,6 (22)。
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