CN104734727B - 一种保持测量矩阵相关性不变的扩展方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种保持测量矩阵相关性不变的扩展方法。其步骤为：首先，输入矩阵以及测量矩阵的列数，并生成零矩阵，其中，并将矩阵赋值给目标测量矩阵的前k列；然后，计算测量矩阵前列的最大列相关性，并从测量矩阵的前列中任选列组成方阵并求逆得到方阵；最后，取方阵中与测量矩阵列相关性小于的列向量扩展入测量矩阵的第列中，并令，迭代以上步骤直至达到目标测量矩阵。相对于相同大小的测量矩阵，本发明扩展的测量矩阵具有较好的压缩率和重构效果的特点。

Description

一种保持测量矩阵相关性不变的扩展方法

技术领域

本发明涉及信号处理领域，更具体的涉及一种保持测量矩阵相关性不变的扩展方法。

背景技术

近年来，新兴的压缩感知(Compressed Sensing,CS)理论为数据采集技术带来了革命性的突破。压缩感知的基本思想是利用具有一定特征的测量矩阵将高维稀疏信号投影到一个低维空间，进行压缩采样，然后通过重构算法实现原始信号的恢复。压缩感知的研究主要包括三个方面：一是高维信号的稀疏表示，二是测量矩阵的选择和构造，三是重构算法的设计。

能否成功的重构原始信号，很大程度取决于测量值是否包含了重构信号所需的足够信息量。通常，根据原始信号的特点，其稀疏字典基的选择相对固定。由此，压缩传感理论的成功与否很大程度上依赖于测量矩阵。因此，在压缩感知理论中，测量矩阵不仅对原始信号的压缩采样过程有着重要的影响，也间接影响重构效果的好坏和重构速率的快慢。

测量矩阵与重构误差存在着直接联系，在重构算法不变的情况下，测量矩阵的性能越好，重构信号与原始信号的误差越小。测量矩阵的非线性列相关性和自适应性影响重构算法的精度，测量矩阵列相关性越低，矩阵元素的稀疏度越好，重构信号越精确。

因此，构造一个高性能的测量矩阵的关键在于使测量矩阵的列相关性总体较小。传统的随机测量矩阵，随着列与行的比值增加，列相关性不断增大，导致测量矩阵性能变差，严重影响到压缩率和重构效果。针对如何确保测量矩阵性能即列相关性总体不变的技术难题，目前尚没有合适的解决方案。

发明内容

针对上述问题，本发明的目的在于，提出一种保持测量矩阵列相关性不变的扩展方法。以行列数较少的矩阵为基础，从中任选n列生成一个方阵并求逆；选择方阵中所有能保证测量矩阵最大列相关性不变的列扩展入测量矩阵，这不仅能有效保证测量矩阵的最大列相关性不随测量矩阵列数的增加而增大，而且能保证测量矩阵的良好性能，从而保证较好的压缩率和重构效果。

本发明步骤为：首先，输入矩阵A以及测量矩阵的列数N，并生成n×N维零矩阵，其中，A∈R^n×k，n<<k＜N，并将矩阵A赋值给目标测量矩阵Φ的前k列；然后，计算测量矩阵Φ前k列的最大列相关性μ_max{Φ}，并从测量矩阵Φ的前k列中任选n列组成方阵并求逆得到方阵D；最后，取方阵D中与测量矩阵Φ列相关性小于μ_max{Φ}的列扩展入测量矩阵Φ的第k+1列中，并令k＝k+1，迭代以上步骤直至达到目标测量矩阵。

本发明的具体步骤如下：

步骤一输入矩阵A和目标测量矩阵的列数N，其中A∈R^n×k，n<<k＜N；

步骤二生成n×N维零矩阵，，并将矩阵A赋值给目标测量矩阵Φ的前k列；

步骤三计算测量矩阵Φ前k列的最大列相关性：μ_max{Φ}＝μ_ef{Φ}，其中e、f表示测量矩阵Φ中列相关性最大的两列，1≤e、f≤k；

步骤四从测量矩阵Φ的前k列中任选n列组成方阵B，其中B∈R^n×n，并求逆得到方阵D，即D＝B^-1，其中D∈R^n×n；

步骤五当不等式min_1≤h≤k(‖Φ_h‖₂)·‖D_i‖₂≥max_1≤h≤k(‖Φ_h‖₂)²成立时，转步骤六；否则，转步骤十；其中，‖D_i‖₂表示方阵D第i(1≤i≤n)列的二范数，min_1≤h≤k(‖Φ_h‖₂)表示测量矩阵Φ的前k列中最小的二范数，max_1≤h≤k(‖Φ_h‖₂)表示测量矩阵Φ的前k列中最大的二范数；

步骤六当不等式成立时，转步骤七；否则，转步骤十；其中，Di表示方阵D的第i列，Φ_j、Φ_e、Φ_f分别表示测量矩阵Φ的第j、e、f列，1≤j、e、f≤k；

步骤七当j＝k时，转步骤八；否则，j＝j+1，转步骤六；

步骤八取k＝k+1，并将Di赋值给Φ_k，Φ_k＝Di；

步骤九当k＝N时，转步骤十一；否则，转步骤十；

步骤十当i＝n时，转步骤四；否则，转步骤五；

步骤十一结束。

与现有测量矩阵构造方法相比，本发明的优点在于：

本发明以列相关性小的矩阵为基础，在保证列相关性不变的前提下，选择满足条件的列向量扩展入测量矩阵，从而使得测量矩阵的列相关性小，保证测量矩阵的良好性能，并提高压缩率和重构效果。

附图说明

图1是一种保持测量矩阵相关性不变的扩展方法的流程图。

具体实施方法

本发明设计了一种保持测量矩阵相关性不变的扩展方法，结合图1，扩展方法的具体实施方法如下：

步骤一输入矩阵A和目标测量矩阵的列数N，其中A∈R^n×k，n<<k＜N。

步骤二生成n×N维零矩阵，并将矩阵A赋值给目标测量矩阵Φ的前k列，具体步骤如下：

1)、生成n×N维零矩阵：

2)、令Q∈R^n×(N-k)为零矩阵，将矩阵A赋值给目标测量矩阵Φ的前k列：

Φ^n×k＝A^n×k (1)

Φ＝[A Q] (2)

步骤三计算测量矩阵Φ前k列的最大列相关性：μ_max{Φ}＝μ_ef{Φ}，其中e、f表示测量矩阵Φ中列相关性最大的两列，1≤e、f≤k，具体步骤如下：

1)、根据公式(3)计算测量矩阵Φ前k列的最大列相关性：

2)、记测量矩阵Φ中列相关性最大的两列为第e列和第f列，则：

步骤四从测量矩阵Φ的前k列中任选n列组成方阵B，其中B∈R^n×n，并求逆得到方阵D，即D＝B^-1，其中D∈R^n×n。

将方阵D的第i列扩展至测量矩阵Φ中且最大列相关性保持不变的充要条件是：D_i与Φ中前k列的列相关性均小于μ_max{Φ}；

满足公式(5)的充分条件是同时满足下列两式：

min_1≤h≤k(‖Φ_h‖₂)·‖D_i‖₂≥max_1≤h≤k(‖Φ_h‖₂)² (6)

其中，‖D_i‖₂表示方阵D第i(1≤i≤n)列的二范数，min_1≤h≤k(‖Φ_h‖₂)表示测量矩阵Φ的前k列中最小的二范数，max_1≤h≤k(‖Φ_h‖₂)表示测量矩阵Φ的前k列中最大的二范数；其中，D_i表示方阵D的第i列，Φ_j、Φ_e、Φ_f分别表示测量矩阵Φ的第j、e、f列，1≤j、e、f≤k；

步骤五当不等式(6)成立时，转步骤六；否则，转步骤十。

步骤六当不等式(7)成立时，转步骤七；否则，转步骤十。

步骤七当j＝k时，转步骤八；否则，j＝j+1，转步骤六。

步骤八取k＝k+1，并将Di赋值给Φ_k，Φ_k＝D_i。

步骤九当k＝N时，转步骤十一；否则，转步骤十。

步骤十当i＝n时，转步骤四；否则，转步骤五。

步骤十一结束。

Claims (4)

1.一种保持测量矩阵相关性不变的扩展方法，其特征在于，所述方法至少包括以下步骤：

步骤一输入矩阵A和目标测量矩阵的列数N，其中A∈R^n×k，n＜＜k＜N；

步骤二生成n×N维零矩阵，并将矩阵A赋值给目标测量矩阵Φ的前k列；

步骤三计算测量矩阵Φ前k列的最大列相关性：μ_max{Φ}＝μ_ef{Φ}，其中e、f表示测量矩阵Φ中列相关性最大的两列，1≤e、f≤k；

步骤四从测量矩阵Φ的前k列中任选n列组成方阵B，其中B∈R^n×n，并求逆得到方阵D，即D＝B^-1，其中D∈R^n×n；

步骤五当不等式min_1≤h≤k(‖Φ_h‖₂)·‖D_i‖₂≥max_1≤h≤k(‖Φ_h‖₂)²成立时，转步骤六；否则，转步骤十；其中，‖D_i‖₂表示方阵D第i(1≤i≤n)列的二范数，min_1≤h≤k(‖Φ_h‖₂)表示测量矩阵Φ的前k列中最小的二范数，max_1≤h≤k(‖Φ_h‖₂)表示测量矩阵Φ的前k列中最大的二范数；

步骤六当不等式成立时，转步骤七；否则，转步骤十；其中，D_i表示方阵D的第i列，Φ_j、Φ_e、Φ_f分别表示测量矩阵Φ的第j、e、f列，1≤j、e、f≤k；

步骤七当j＝k时，转步骤八；否则，j＝j+1，转步骤六；

步骤八取k＝k+1，并将D_i赋值给Φ_k，Φ_k＝D_i；

步骤九当k＝N时，转步骤十一；否则，转步骤十；

步骤十当i＝n时，转步骤四；否则，转步骤五；

步骤十一结束。

2.如权利要求1所述的方法，其特征在于所述将矩阵A赋值给目标测量矩阵Φ的前k列，至少还包括：

1)、生成n×N维零矩阵；

2)、令Q∈R^n×(N-k)为零矩阵，将矩阵A赋值给目标测量矩阵Φ的前k列：

Φ^n×k＝A^n×k，

Φ＝[A Q]。

3.如权利要求1所述的方法，其特征在于所述计算测量矩阵Φ前k列的最大列相关性，至少还包括：

根据公式：

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计算测量矩阵Φ前k列的最大列相关性，并记测量矩阵Φ中列相关性最大的两列为第e列和第f列，则：

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4.如权利要求1所述的方法，其特征在于所述步骤五和所述步骤六，至少还包括：

1)、将方阵D的第i列扩展至测量矩阵Φ中且最大列相关性保持不变的充要条件是：D_i与Φ中前k列的列相关性均小于μ_max{Φ}：

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2)、满足上式的充分条件是同时满足下列两式：

min_1≤h≤k(‖Φ_h‖₂)·‖D_i‖₂≥max_1≤h≤k(‖Φ_h‖₂)²，

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