CN104724301A - 一种基于球形电机三自由度动量交换的卫星姿态控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于球形电机三自由度动量交换的卫星姿态控制方法，此方法的球形动量交换装置为球形电机，通过定子壳与卫星平台连接，包括下列步骤：(1)确定控制欧拉轴转角；(2)确定分级控制欧拉轴转角；(3)确定各级增量控制力矩；(4)确定球形转子轨迹控制指令；(5)对球形转子进行轨迹跟踪控制；(6)调整增量分级n。本发明的卫星姿态控制方法可以减轻飞行器重量，节约星载空间并易于操纵。

Description

一种基于球形电机三自由度动量交换的卫星姿态控制方法

技术领域

本发明属于卫星姿态控制领域，涉及一种卫星姿态控制方法。

背景技术

卫星姿态控制对于星载仪器能否对目标进行精准定向或跟踪，进而完成特定任务(如侦查、通信、中继等)起着关键作用。传统的卫星姿态控制主要依靠喷气反作用系统与惯性执行机构，前者不仅消耗燃料，且会对星载敏感仪器造成污染；惯性执行机构主要有飞轮(RW)与控制力矩陀螺(CMG)两类，其优点是仅需太阳能供电，寿命长，精度高，污染小等。

相比于RW，CMG具有转矩放大效应，但为了实现与卫星平台的三自由度动量交换，系统结构较为复杂，需要将转子安装于可转动的外框架上。目前常用的CMG系统方案一般采用单框架(VSCMG)或双框架(DGCMG)结构,前者转子转速可调，而后者转子转速恒定。配置另外的外框架或使转子转速可调实质上都为系统提供了一个自由度，因此这两种方案都只具备两自由度，无法依靠单独一台VSCMG或DGCMG完成与卫星平台的三维动量交换。另外，外框架的限制也增加了系统的奇异风险。目前解决方案一般要将若干CMG单元相配合构成CMG陀螺群(Cluster)，例如金字塔构型，并且需要制定针对奇异点问题的操纵率,庞大的伺服系统大大增加了姿态控制系统的重量、体积、成本以及能源消耗，目前的应用多见于大型空间站。最近有学者提出了一种将上述二者相结合的双框架变速力矩控制陀螺(DG-VSCMG),这种方案虽然理论上具有三自由度，但由于双框架的限制使得其转矩放大作用不理想，且机械结构和控制策略极为复杂，目前相关研究较少。而为防止可能发生的欠驱动情况，惯性执行机构还必须备有冗余单元，目前许多在轨空间站都采用在三正交飞轮基础上增加第四个飞轮与三正交飞轮斜交，这进一步增加了系统结构和控制的复杂度。

发明内容

本发明的目的是克服现有技术的上述问题，提供一种结构和控制测量简单，可以减轻飞行器重量，节约星载空间并易于操纵的卫星姿态控制方法。本发明采用球形电机作为动量交换装置，并基于简单的增量控制策略即实现转子角动量大小与方向的同时控制，能够完成与卫星平台的三自由度动量交换。本发明的技术解决方案如下：

一种基于球形电机三自由度动量交换的卫星姿态控制方法，此方法的球形动量交换装置为球形电机，通过定子壳与卫星平台连接，包括下列步骤：

(1)确定控制欧拉轴转角

取姿态控制指令q₄作为输入量，以控制欧拉轴转角ψ_ref作为输出量，确定控制欧拉轴转角：ψ_ref＝2arccos(q₄)

其中，q₄为姿态控制指令，是姿态四元数的标量分量，ψ_ref是卫星控制欧拉轴转角；

(2)确定分级控制欧拉轴转角

以(1)中的控制欧拉轴转角ψ_ref为输入量，各级控制欧拉轴转角ψ_k为输出量，确定分级数n和各级控制欧拉轴转角：

${\mathrm{\&psi;}}_k=k\frac{{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{kef}}}{n}=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&psi;}}_1,& t_0<t<t_1\\ {\mathrm{\&psi;}}_2,& t_1<t<t_2\\ {\mathrm{\&psi;}}_3,& t_2<t<t_3\\ & \&CenterDot;\\ & \&CenterDot;\\ & \&CenterDot;\\ {\mathrm{\&psi;}}_n,& t_{n-1}<t<t_n\end{array}\right.k=\mathrm{1,2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,n$

其中，ψ_k是第k次增量机动的控制欧拉轴转角，k是增量机动的次序，取值为{1,2,…,n}，n是设定的总的增量机动级数，t_k表示第k次机动期望完成时刻，t₀＝0；

(3)确定各级增量控制力矩

以各级控制欧拉轴转角ψ_k和期望完成时刻t_k为输入量，各级增量控制力矩T_k为输出量，确定各级增量控制力矩：

T_k＝4Jψ_k/(t_k-t_k-1)²*[q₁ q₂ q₃]^T

其中，T_k为参考坐标系N下第k级增量机动的控制力矩矢量，J表示卫星绕欧拉轴的转动惯量，[q₁ q₂ q₃]^T是姿态四元数的向量分量，也即欧拉轴；

然后将控制力矩T_k从参考坐标系N变换到球形转子虚框架坐标系V以便于求取轨迹控制指令：

τ_k＝[τ_t τ_g τ_h]^T＝C_vn*T_k,

其中，τ_k是虚框架坐标系V下的控制力矩分量列阵，τ_h是类飞轮变速转矩分量，τ_t是由卫星转动产生的陀螺进动力矩分量，τ_g是转子倾斜加速转矩分量，C_vn为参考坐标系N到虚框架坐标系V的变换矩阵，N坐标系为卫星姿态参考坐标系，虚框架坐标系V由虚拟单框架确定，在任意时刻球形转子都存在一个虚拟单框架，其框架转动惯量为零，将转子自转角动量方向定义为轴，轴与转子瞬时倾斜角动量方向也即虚拟框架转轴重合，轴由右手定则确定；

(4)确定球形转子轨迹控制指令

由力矩控制指令求得球形转子的控制轨迹的计算公式为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}=\frac{-{\mathrm{\&tau;}}_t-I_h\mathrm{\&Omega;}{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{Bg}}}{I_h\mathrm{\&Omega;}}$

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}=\frac{-{\mathrm{\&tau;}}_g+I_h{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{Bt}}\mathrm{\&Omega;}}{I_g}$

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Omega;}}=\frac{-{\mathrm{\&tau;}}_h\mathrm{\&Omega;}+{\mathrm{\&tau;}}_t{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{Bt}}-I_h{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{Bt}}\mathrm{\&Omega;}{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{Bg}}}{I_h\mathrm{\&Omega;}}$

其中，Ω分别是转子角速度在虚框架坐标轴g、t上的投影分量，表示球形转子本体倾斜角速率、自转角速率；分别是转子角加速度在虚框架坐标轴g、t上的投影分量，表示倾斜角加速度，自转角加速度；I_g，I_t，I_h分别是球形转子关于虚拟坐标轴t、g、h的转动惯量分量；ω_Bg，ω_Bt分别是卫星平台角速度ω_B在虚拟坐标系轴g、t上的投影分量；

(5)对球形转子进行轨迹跟踪控制

将(4)中球形转子虚框架坐标系V下的控制轨迹指令变换到欧拉轴坐标系下进行轨迹跟踪控制；

(6)调整增量分级n

球形动量交换装置跟踪轨迹控制指令，输出力矩作用于卫星平台,完成三自由度角动量交换，机动过程中若超过转子最大倾角,则增大增量分级n，返回步骤(2)重新进行卫星姿态调整。

本发明与现有技术相比的优点在于：以球形电机作为新型无框架动量交换装置，该装置仅需一个运动部件，且基于简单的控制策略即能够实现转子角动量大小与方向的同时控制，从而完成与卫星平台的动量交换，避免了VS-DGCMG复杂的机械结构，能够有效减少飞行器重量，节约星载空间。

附图说明

图1本发明的球形动量交换装置与卫星平台关系示意图

图2本发明的流程图

图3(a)球形动量交换装置俯视图和侧视图

图3(b)定子线圈编号平铺图

图4本发明的球形动量交换装置剖面几何示意图

图5本发明的瞬时虚拟框架与转子角速度合成示意图

图6本发明的NBR坐标示意图

图7本发明的球形动量交换装置控制系统框图

图8(a)倾斜指令力矩与动量交换装置实际输出力矩

图8(b)自转加速度指令力矩与装置实际输出力矩

图8(c)转子倾角响应曲线

图8(d)转子倾角速率响应曲线

图9(a)卫星实际角速度响应曲线

图9(b)卫星姿态四元数响应曲线

图9(c)卫星欧拉角机动响应曲线

图10不同n下的转子倾角响应曲线

图中，图中，1定子壳体2永磁转子3定子线圈4万向轴承

具体实施方式

本发明的三自由度动量交换姿态控制方法是在新型永磁球形电机动量交换装置中实现的。该新型球形电机动量交换装置的角动量载体为球形转子，依靠电磁场直接驱动，在定子电流激励磁场作用下，能够实现角动量大小与方向的同时独立控制，进而完成与卫星平台的三维动量交换。该装置与卫星的平台关系如图1所示，立方体表示卫星平台，球体为球形动量交换装置，通过定子壳与卫星平台连接。坐标系O-xyz为本体坐标系。卫星姿态控制流程如图2所示。

该装置基本结构如图3所示，主要由定转子两大部分组成。定子线圈为无铁心柱形结构，由铜漆包线绕制，均匀紧密缠在绝缘硬塑材质的定子轴上。定子绕组共有24个，分为三层成放射状固定在由不导磁材料构成的定子球壁上，每层8个，分别位于定子球壳的赤道、北纬30°、南纬30°位置。转子采用表面粘贴式稀土钕铁硼永磁体励磁，这是由于采用二面角形以获得更均匀的磁场分布，永磁体共12块，在转子上均匀分布；在转子赤道线的两侧，每层6个永磁体呈S、N极交替分布，与转子球体紧密贴合；永磁体的充磁方式为平行充磁，方向是沿永磁体几何中心的法线方向，底部采用万向轮轴承将转子与定子基座相连接。球形动量交换装置的几何剖面图如图4所示，几何参数及数值见表1。

表1球形动量交换装置几何参数及数值表

本发明的原理：球形电机作为一中结构简单、能量密度大的多自由度电机，球形转子可以作为角动量的载体，通过电磁作用可以实现与卫星平台三自由度的动量交换；由于发明所提出球形动量交换装置定子绕组空间排列的特殊性，使得其转子存在最大倾角限制，因此传统的反馈控制不适用于该新型动量交换装置，需要采用一种在小角度范围内操作的控制策略。设动量交换装置转子存在一个最大倾斜角度δ_max，本装置设计的δ_max＝15°，为解决框架角受限的问题，采用了具有n级切换的增量式机动控制，是把姿态大角度控制目标分为n级小角度逐步控制以减少对球形转子的倾角要求。首先由姿态控制指令q₄求得控制旋转欧拉角ψ_ref，然后将控制旋转欧拉角分为n级小的旋转欧拉角ψ_k以逐步机动控制；对于每一级ψ_k确定其参考坐标系系N下控制力矩T_k,并将其变换到虚框架坐标系V下以便于求出控制轨迹指令 然后将控制轨迹变换到转子坐标系R下进行轨迹跟踪控制,装置输出力矩作用于卫星平台，完成三自由动量交换。根据机动过程中转子倾角是否超出最大倾角限制，调整增量分级n。

为了使本技术领域的人员更好地理解本申请方案，下面将结合附图对本申请的具体实现方式进行描述。(1)确定控制欧拉轴转角

取姿态控制指令q₄作为输入量，以控制欧拉轴转角ψ_ref作为输出量，确定控制欧拉轴转角：ψ_ref＝2arccos(q₄)

其中，q₄为姿态控制指令，是姿态四元数的标量分量，ψ_ref是卫星控制欧拉轴转角；

(2)确定分级控制欧拉轴转角

以(1)中的控制欧拉轴转角ψ_ref为输入量，各级控制欧拉轴转角ψ_k为输出量，确定分级数n和各级控制欧拉轴转角：

${\mathrm{\&psi;}}_k=k\frac{{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{kef}}}{n}=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&psi;}}_1,& t_0<t<t_1\\ {\mathrm{\&psi;}}_2,& t_1<t<t_2\\ {\mathrm{\&psi;}}_3,& t_2<t<t_3\\ & \&CenterDot;\\ & \&CenterDot;\\ & \&CenterDot;\\ {\mathrm{\&psi;}}_n,& t_{n-1}<t<t_n\end{array}\right.\left(k=\mathrm{1,2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,n\right)$

其中，ψ_k是第k次增量机动的控制欧拉轴转角，k是增量机动的次序，取值为{1,2,…,n}，n是设定的总的增量机动级数，t_k表示第k次机动期望完成时刻，t₀＝0；

(3)确定各级增量控制力矩

以各级控制欧拉轴转角ψ_k和期望完成时刻t_k为输入量，各级增量控制力矩T_k为输出量，确定各级增量控制力矩：

T_k＝4Jψ_k/(t_k-t_k-1)²*[q₁ q₂ q₃]^T

其中，T_k为参考坐标系N下第k级增量机动的控制力矩矢量，J表示卫星绕欧拉轴的转动惯量，[q₁ q₂ q₃]^T是姿态四元数的向量分量，也即欧拉轴；

然后将控制力矩T_k从参考坐标系N变换到球形转子虚框架坐标系V以便于求取轨迹控制指令：

τ_k＝[τ_t τ_g τ_h]^T＝C_vn*T_k,

其中，τ_k是虚框架坐标系V下的控制力矩分量列阵，τ_h是类飞轮变速转矩分量，τ_t是由卫星转动产生的陀螺进动力矩分量，τ_g是转子倾斜加速转矩分量，C_vn为参考坐标系N到虚框架坐标系V的变换矩阵。

图5为本发明的瞬时虚拟框架与转子角速度合成示意图，如图5(a)所示，在任意时刻球形转子都存在一个虚拟单框架，其框架转动惯量为零，由该虚拟框架可以确定一套新的坐标系V，将转子自转角动量方向定义为轴，轴与转子瞬时倾斜角动量方向也即虚拟框架转轴重合，轴可由右手定则确定。图5(b)中，ω_rotor表示球形转子的角速度向量，Ω分别是转子角速度在虚框架坐标轴g、t上的投影分量，表示球形转子本体倾斜角速率、自转角速率。

图6为本发明的NBR NBR坐标系示意图,N坐标系为参考坐标系，B坐标系为卫星本体坐标系，R坐标系为球形转子坐标系。

(4)确定球形转子轨迹控制指令

利用动量矩定理，建立球形动量交换装置的动力学模型：

$\begin{array}{c}T={\left[\begin{array}{ccc}{T}_t& T_g& T_h\end{array}\right]}^T\\ ={\left[\begin{array}{ccc}{I}_h\mathrm{\&Omega;}({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{Bg}}+\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}})& I_g\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}-I_h{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{Bt}}\mathrm{\&Omega;}& I_h(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Omega;}}+{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{Bt}}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}})\end{array}\right]}^T\end{array}$

由力矩控制指令求得球形转子的控制轨迹的计算公式为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}=\frac{-{\mathrm{\&tau;}}_t-I_h\mathrm{\&Omega;}{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{Bg}}}{I_h\mathrm{\&Omega;}}$

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}=\frac{-{\mathrm{\&tau;}}_g+I_h{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{Bt}}\mathrm{\&Omega;}}{I_g}$

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Omega;}}=\frac{-{\mathrm{\&tau;}}_h\mathrm{\&Omega;}+{\mathrm{\&tau;}}_t{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{Bt}}-I_h{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{Bt}}\mathrm{\&Omega;}{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{Bg}}}{I_h\mathrm{\&Omega;}}$

其中，Ω分别是转子角速度在虚框架坐标轴g、t上的投影分量，表示球形转子本体倾斜角速率、自转角速率；分别是转子角加速度在虚框架坐标轴g、t上的投影分量，表示倾斜角加速度，自转角加速度；I_g，I_t，I_h分别是球形转子关于虚拟坐标轴t、g、h的转动惯量分量；ω_Bg，ω_Bt分别是卫星平台角速度ω_B在虚拟坐标系轴g、t上的投影分量；

(5)对球形转子进行轨迹跟踪控制

将(4)中球形转子虚框架坐标系V下的控制轨迹指令变换到转子坐标系R下以进行轨迹跟踪控制:

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}={(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}},\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}},\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&gamma;}})}^T=B*{(0,\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&sigma;}},\mathrm{\&Omega;})}^T$

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}={(\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}},\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}},\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&gamma;}})}^T=B*{(0,\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&sigma;}},\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Omega;}})}^T,$

其中，B为从V坐标系到转子坐标系R的变换矩阵；转子坐标系R是附着于球形转子上的dqp坐标系；为欧拉角速度，为欧拉角加速度；

(6)调整增量分级n

球形动量装置跟踪轨迹控制指令，输出力矩作用于卫星平台,完成三自由度角动量交换。机动过程中若超过转子最大倾角,则应适当增大(2)中的增量分级n。

如图7所示,轨迹跟踪控制主要由电气回环和动力学回环。电气部分由定子电流环提供期望开关信号，动力部分为位置回环。球形动量装置采用转矩分配的轨迹跟踪控制，转子轨迹跟踪指令位置θ_d和指令位置微分

(7)仿真分析：

为验证本发明所提出的控制策略的有效性，利用Matlab/Simulink仿真平台对该新型动量交换装置与卫星平台进行了联合建模与仿真，结果与理论期望一致，验证了方案的合理性。仿真参数见表2：

表2仿真参数及数值

仿真结果分析：

图8(a)为倾斜指令力矩与动量交换装置实际输出力矩；图8(b)为自转加速度指令力矩与装置实际输出力矩；图8(c)为转子倾角响应曲线；图8(d)为转子倾角速率响应曲线；图9(a)卫星实际角速度响应曲线；图9(b)为卫星姿态四元数响应曲线；图9(c)为卫星欧拉角机动响应曲线；图10为不同n下的转子倾角响应曲线。从图8(a)、(b)可以看出，球形动量交换装置可以很好的跟踪期望力矩；图8(c)、(d)表明在n＝4时，卫星机动过程中，转子最大倾角为0.262,约等于|±15°|；图9可见卫星平台在24秒机动时间内按照期望要求完成了4次增量式机动，运动效果由四元数法和欧拉角两种表示；图10显示了不同n下的转子倾角响应曲线，满足物理限制。仿真验证了本文提出的基于新型球形动量交换装置及欧拉轴n级增量控制策略的有效性。

本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。

Claims (1)

1.一种基于球形电机三自由度动量交换的卫星姿态控制方法，此方法的球形动量交换装置为球形电机，通过定子壳与卫星平台连接，包括下列步骤：

(1)确定控制欧拉轴转角

取姿态控制指令q₄作为输入量，以控制欧拉轴转角ψ_ref作为输出量，确定控制欧拉轴转角：ψ_ref＝2arccos(q₄)

其中，q₄为姿态控制指令，是姿态四元数的标量分量，ψ_ref是卫星控制欧拉轴转角；

(2)确定分级控制欧拉轴转角

以(1)中的控制欧拉轴转角ψ_ref为输入量，各级控制欧拉轴转角ψ_k为输出量，确定分级数n和各级控制欧拉轴转角：

${\mathrm{\&psi;}}_k=k\frac{{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{ref}}}{n}=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&psi;}}_1,& t_0<t<t_1\\ {\mathrm{\&psi;}}_2,& t_1<t<t_2\\ {\mathrm{\&psi;}}_3,& t_2<t<t_3\\ & .\\ & .\\ & .\\ {\mathrm{\&psi;}}_n,& t_{n-1}<t<t_n\end{array},\right.k=\mathrm{1,2},...,n$

其中，ψ_k是第k次增量机动的控制欧拉轴转角，k是增量机动的次序，取值为{1,2,…,n}，n是设定的总的增量机动级数，t_k表示第k次机动期望完成时刻，t₀＝0；

(3)确定各级增量控制力矩

以各级控制欧拉轴转角ψ_k和期望完成时刻t_k为输入量，各级增量控制力矩T_k为输出量，确定各级增量控制力矩：

T_k＝4Jψ_k/(t_k-t_k-1)²*[q₁ q₂ q₃]^T

其中，T_k为参考坐标系N下第k级增量机动的控制力矩矢量，J表示卫星绕欧拉轴的转动惯量，[q₁ q₂ q₃]^T是姿态四元数的向量分量，也即欧拉轴；

然后将控制力矩T_k从参考坐标系N变换到球形转子虚框架坐标系V以便于求取轨迹控制指令：

τ_k＝[τ_t τ_g τ_h]^T＝C_vn*T_k,

其中，τ_k是虚框架坐标系V下的控制力矩分量列阵，τ_h是类飞轮变速转矩分量，τ_t是由卫星转动产生的陀螺进动力矩分量，τ_g是转子倾斜加速转矩分量，C_vn为参考坐标系N到虚框架坐标系V的变换矩阵，N坐标系为卫星姿态参考坐标系，虚框架坐标系V由虚拟单框架确定，在任意时刻球形转子都存在一个虚拟单框架，其框架转动惯量为零，将转子自转角动量方向定义为轴，轴与转子瞬时倾斜角动量方向也即虚拟框架转轴重合，轴由右手定则确定；

(4)确定球形转子轨迹控制指令

由力矩控制指令求得球形转子的控制轨迹的计算公式为：

$\stackrel{.}{\mathrm{\&delta;}}=\frac{{-\mathrm{\&tau;}}_t-I_h\mathrm{\&Omega;}{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{Bg}}}{I_h\mathrm{\&Omega;}}$

$\stackrel{..}{\mathrm{\&delta;}}=\frac{{-\mathrm{\&tau;}}_g+I_h{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{Bt}}\mathrm{\&Omega;}}{I_g}$

$\stackrel{.}{\mathrm{\&Omega;\&delta;}}=\frac{{-\mathrm{\&tau;}}_h\mathrm{\&Omega;}+{\mathrm{\&tau;}}_t{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{Bt}}-I_h{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{Bt}}\mathrm{\&Omega;}{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{Bg}}}{I_h\mathrm{\&Omega;}}$

其中，Ω分别是转子角速度在虚框架坐标轴g、t上的投影分量，表示球形转子本体倾斜角速率、自转角速率；分别是转子角加速度在虚框架坐标轴g、t上的投影分量，表示倾斜角加速度，自转角加速度；I_g，I_t，I_h分别是球形转子关于虚拟坐标轴t、g、h的转动惯量分量；ω_Bg，ω_Bt分别是卫星平台角速度ω_B在虚拟坐标系轴g、t上的投影分量；

(5)对球形转子进行轨迹跟踪控制

将(4)中球形转子虚框架坐标系V下的控制轨迹指令变换到欧拉轴坐标系下进行轨迹跟踪控制；

(6)调整增量分级n

球形动量交换装置跟踪轨迹控制指令，输出力矩作用于卫星平台,完成三自由度角动量交换，机动过程中若超过转子最大倾角,则增大增量分级n，返回步骤(2)重新进行卫星姿态调整。