CN104636538A - 基于dem的球磨机颗粒轨迹分析与能耗建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于DEM的球磨机颗粒轨迹分析与能耗建模方法，结合理论建模和DEM仿真两种技术方案，在采用一些既有技术方案的基础上，针对球磨机转速、颗粒尺寸、球磨机内径、颗粒填充率等多项因素的变化对球磨机能耗的影响分别做了对比和分析，最终得出球磨机能耗关于这些潜在影响因素的技术结果，给出了各个潜在能耗影响因素对于球磨机能耗的具体影响程度，在此基础上，提出针对球磨机能效优化的技术方案。本发明能够有效分析得出在球磨机加工过程中，是哪些因素影响了球磨机的能耗，以及各个因素对于球磨机能耗的贡献有多大的技术问题，对于解决行业问题，促进行业技术进步有着显著地意义。

Description

基于DEM的球磨机颗粒轨迹分析与能耗建模方法

技术领域

本发明涉及球磨机能耗分析技术领域，更具体地，涉及基于DEM的球磨机颗粒轨迹分析与能耗建模方法。

背景技术

球磨是建筑陶瓷行业的一道重要工序，一方面由于球磨生成的粉粒质量会直接影响到之后压制、烧结环节，最终影响产品质量；另一方面，在高能耗的建筑陶瓷制造业里，球磨过程占到了总能耗的1/3。因此，探究影响球磨质量和能耗的因素，优化球磨过程中的各项参数，对于提高生产质量和能效有重要意义。

对于球磨机的研究方法主要分成两大类。第一类是利用基本物理、化学规律对球磨过程进行理论建模，在此模型的基础上对球磨机转速、研磨球尺寸、填充率等加工参数进行优化，称为“白箱子”(white box)方法。另一种方法从实验数据入手，采用数据拟合的方式建立模型，称为“黑箱子”（black box）方法（来源文献：Process systems modelling and applications in granulation:Areview）。这两种方法都在球磨机的研究过程中得到了重要体现。针对球磨机的运行机理进行研究的“白箱子”方法，有光滑颗粒流体动力学（Smoothed particle hydrodynamic，Incompressible smoothed particle hydrodynamics，A modified SPH method for simulating motion of rigid bodies in Newtonian）、准流体动力学（Surface flows of granular materials A short introduction to some recent models，Kinetic theory for granular flow of dense、slightly inelastic、slightly rough spheres，On granular surface flow equations）、Galerkin方法（The local discontinuous Galerkin method forlinearized incompressible fluid flow、a review，Discontinuous Galerkin Time-Domain Methods for Multiscale Electomagnetic Simulations A Review）等多种。

这些方法多仿照流体力学的研究思路，通过严谨的基本物理公式推导，得到了很多描述颗粒运动的规律。但是由于颗粒运动与流体运动存在的一些本质区别，这些方法往往无法得到可靠的解析解，且也不便于建立解决技术问题的数值模型。“黑箱子”的技术方法通过实验数据分析球磨过程中的影响因素，包括制作微型球磨机来模拟真实球磨过程（Experimental study of the lower and upper angles of reposeof granular materials in rotating drums），通过采用光学摄像等办法对球磨机内部运动进行追踪（A STUDY OF CHARGE MOTION IN ROTARY MILLS PART 2--EXPERIMENTAL WORK）等多种手段。这类方法能够针对具体案例得到较为准确的技术结论，但是结论的可移植性和可推广性不强，且无法针对能耗因素给出明确的解析解。

DEM（数字高程模型，Digital Elevation Model）的出现解决了上述技术难题，这种方法基于颗粒之间的摩擦、碰撞建立微观模型，并运用在颗粒群体中，借助计算机的计算能力，可以得到跟真实情况十分吻合的数值解。因此，基于DEM建模分析方法在球磨机的研究领域中得到了越来越广泛的应用。

Bond（Crushing and Grinding Calculations）给出了颗粒尺寸与球磨机能耗的关系为 。

其中E为单位产品能耗，x是描述球磨机内部颗粒尺寸分布状况的参数，C是常数。这个关系式已经在工业应用中得到广泛接受和应用（Predicting the overall specific energy requirement of crushing, high pressuregrinding roll and tumbling mill circuits，Predicting the specific energy required for size reduction of relatively coarse feedsin conventional crushers and high pressure grinding rolls，An alternative energy–size relationship to that proposed by Bondfor the design and optimisation of grinding circuits）。但是这个关系式只给出了颗粒尺寸这一个参数对于球磨机的能耗影响。

文献“Determination of lifter design, speed and filling effects in AG millsby 3D DEM”讨论了球磨机的填充率和内衬条的不同对于球磨机的运转和能耗的影响。“Influence of slurry rheology on stirred media milling of quartzite”中研究了颗粒填充率、颗粒尺寸等参数对于球磨效率的影响，并将其运用于能耗预测上。

在设备和材料已经确定的基础上，球磨机的运转状况也对其能耗有很大影响。M.S. Powell等人在文献“Applying DEM outputs to the unified comminution model”中描述了球磨机内部颗粒的轴向和切向碰撞情况与球磨机能耗的关系。“DEM modelling of the dynamics of mill startup”等文献给出了基于DEM仿真下的球磨机转速、力矩和球磨机能耗的关系。

通过已公开的关于球磨机能耗因素研究的技术方案我们可以了解到，行业内现有的技术方案基于不同的出发点对于球磨机的加工过程做了不同层面的研究与分析，但得到的结论明显缺乏统一论调。尤其是在球磨机加工过程中，到底哪些因素影响了球磨机的能耗，各个因素对于球磨机能耗的贡献有多大这一普遍被关注的问题，始终没有得到有效答复。

发明内容

本发明旨在至少在一定程度上解决上述技术问题。

为此，本发明结合理论建模和DEM仿真两种技术方案，在采用一些既有技术方案的基础上，针对球磨机转速、颗粒尺寸、球磨机内径、颗粒填充率等多项因素的变化对球磨机能耗的影响分别做了对比和分析，最终得出球磨机能耗关于这些潜在影响因素的技术结果，给出了各个潜在能耗影响因素对于球磨机能耗的具体影响程度，在此基础上，提出针对球磨机能效优化的技术方案。

为解决上述技术问题，本发明的技术方案如下：

基于DEM的球磨机颗粒轨迹分析与能耗建模方法，包括如下四个步骤。

Step1:建立DEM接触模型

基于Hertz的轴向接触理论和Mindlin的切向接触理论建立非线性模型：，；其中是总的受力，为切向受力，为相对运动速度。

Step2:球磨机能耗建模

采用间接能耗计算，考察球磨过程中，球磨介质消耗的能量。

设定以下公式：，；其中m为球磨机驱动电机的数量，为对应电机的工作时间，t和k分别代表时间和碰撞次数，和分别为每一个计算步长中，相接触的两个颗粒在轴向和切向的相对运动距离；从该公式得出球磨机内部消耗的能量与颗粒之间运动速度的关联关系，并基于该关联关系进一步对球磨机能耗因素进行分析。

Step3:球磨机内颗粒的速度分析

运行DEM接触模型，得出颗粒在运动过程中形成波浪形的轨迹，将该波浪形的轨迹定义为提升条。

就单独颗粒而言，在做斜抛运动之前，颗粒已经在提升条上完成了一个加速过程，该加速过程直接影响到颗粒在各个转角时刻从提升条掉落的速度，所以针对加速过程，采用建模的方式探究颗粒从提升条掉落的过程。

建模采用EDEM的仿真图中用到的数据，包括提升条有效高度l、颗粒与筒体之间的滚动摩擦因数、颗粒的质量m、球磨机转速和球磨机内径R，其中R取球磨机内径与颗粒的半径之差2.475m。

针对颗粒从提升条下降时的受力情况建立方程：，简化方程为，这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程，通解为，一个特解设为，带入简化方程中解得：

，；

考虑边界条件，存在时刻t，使得x=0时，a=0，v=0，此时对应的球磨机转角为，可得：

，在此方程中代入如下建模参数：提升条有效高度l、颗粒与筒体之间的滚动摩擦因数、颗粒的质量m、球磨机转速和球磨机内径R，求解得：

，。

以上建模的各个公式均满足。

提升条的有效高度为l，利用x=l这一临界条件求出颗粒滑落出提升条的时间。

基于时间，根据EDM软件求得颗粒沿球磨机圆心方向的位移、速度和加速度后，接着计算颗粒沿球磨机旋转方向的切向速度，将轴向速度重新表示为，切向速度表示为，即=；其中，i为指向球磨机圆心的单位向量；沿球磨机旋转方向的切向速度，j为切向单位向量，则颗粒的真实速度为；设的大小，且和垂直，求得。

对上述模型进行验证，从EDEM模型中提取一个颗粒，追踪其整个过程的运动轨迹，得到该颗粒在仿真过程中的总速度和竖直方向速度。

在上述结果基础上，进行模型拓展，将单位时间内从提升条滑落的颗粒的数量定义为掉落率，对掉落率和径向速度之间的关系进行分析。

分析颗粒在随球磨机以稳定速率运动时，其开始掉落的临界角与其所在半径之间的关系：临界角满足的约束条件为，对r做定性分析，通过r的大小变换对临界角的影响得出颗粒的运动规律。

Step4：球磨机能耗影响因素分析

球磨机的能耗由两方面决定：:单位时间球磨进度和单位时间能耗，球磨机潜在能耗影响因素有以下几点：颗粒直径d，球磨机直径D，球磨机填充率，球磨机转速，球磨机内衬尺寸；对上述潜在能耗影响因素的分析采取以下步骤：

1）各个参数无量纲化，分析各个因素对于球磨机能耗的影响；其中合并颗粒与球磨机直径，引入k=d/D表示球磨机与颗粒的尺寸对球磨机能耗产生的共同影响；

2）采用DEM仿真的方法，分别变换k、、等参数的值，求出相应情况下的球磨机内部的速度场和能量损耗情况，并做对比；

3）在步骤2的基础上，对各个参数对能耗的影响进行定性分析，下一步将分析得出的规律应用到算法中，拟合出各个参数对于球磨机能耗的贡献，从而求出能耗模型参数。

其中，根据参数各自与能耗的影响因素的相互关系建立对应关系式，求出含待定系数的能耗的表达式，再根据DEM得出的能耗数据拟合出各个待定系数，得到针对潜在能耗影响因素对于球磨机能耗产生的影响的确定表达式。

与现有技术相比，本发明技术方案的有益效果是：

本发明能够有效分析得出在球磨机加工过程中，是哪些因素影响了球磨机的能耗，以及各个因素对于球磨机能耗的贡献有多大的技术问题，对于解决行业问题，促进行业技术进步有着显著地意义。

附图说明

图1所示为颗粒在球磨机内的整体运动轨迹的软件示意截图；

图2所示为EDEM软件对单颗粒的运动轨迹分析的X轴速度的软件示意截图；

图3所示为EDEM软件对单颗粒的运动轨迹分析的Y轴速度的软件示意截图；

图4所示为EDEM软件对单颗粒的运动轨迹分析的总速度的软件示意截图；

图5所示为EDEM软件对另一个单颗粒的运动轨迹分析的X轴速度的软件示意截图；

图6所示为EDEM软件对另一个单颗粒的运动轨迹分析的Y轴速度的软件示意截图；

图7所示为EDEM软件对另一个单颗粒的运动轨迹分析的总速度的软件示意截图；

图8所示为颗粒从球磨机内提升条中滑落出去时的位移的软件示意截图；

图9所示为颗粒从球磨机内提升条中滑落出去时的速度的软件示意截图；

图10所示为颗粒从球磨机内提升条中滑落出去时的加速度的软件示意截图；

图11所示为颗粒从球磨机内提升条中滑落出去时沿球磨机旋转方向的切向速度的软件示意截图；

图12所示为图11中颗粒真实速度的软件示意截图；

图13所示为颗粒在仿真过程中总速度的软件示意截图；

图14所示为颗粒在仿真过程中竖直方向速度的软件示意截图；

图15所示为颗粒离开提升条时的速度的直线拟合过程软件示意截图；

图16所示为颗粒脱离提升条时间的仿真和计算结果比较的软件示意截图；

图17所示为另一个颗粒在仿真过程中总速度的软件示意截图；

图18所示为另一个颗粒在仿真过程中竖直方向速度的软件示意截图；

图19所示为另一个颗粒离开提升条时的速度的直线线性拟合过程软件示意截图；

图20所示为另一个颗粒脱离提升条时间的仿真和计算结果比较的软件示意截图；

图21所示为图22中颗粒考虑斜抛运动的校正前结果对比的软件示意截图；

图22所示为图22中颗粒考虑斜抛运动的校正后结果对比的软件示意截图；

图23所示为浆料目标尺寸对球磨机能耗影响的软件示意截图；

图24所示为浆料研磨程度对能耗的影响的软件示意截图；

图25所示为球磨机转速对能耗的影响的软件示意截图；

图26所示为球磨机转速的软件示意截图；

图27所示为对应图25的转速条件下，球磨机在不同时间段的能耗的软件示意截图。

具体实施方式

附图仅用于示例性说明，不能理解为对本专利的限制。

对于本领域技术人员来说，附图中某些公知结构及其说明可能省略是可以理解的。

下面将结合本发明中的说明书附图，对发明中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

基于DEM的球磨机颗粒轨迹分析与能耗建模方法，包括如下四个步骤。

Step1：建立DEM接触模型

针对颗粒之间的碰撞和摩擦建立基于Hertz的轴向接触理论和Mindlin的切向接触理论建立一个新的非线性模型：，；其中是总的受力，为切向受力，为相对运动速度。

Step2：球磨机能耗建模

能耗的计算有两种途径，第一种是直接能量损耗计算，即通过测算带动球磨机转动的电机功率来反映球磨机的整体能耗；第二种是间接能耗计算，考察球磨过程中，球磨介质消耗的能量。其中，由于直接能耗计算不涉及球磨机的内部球磨过程，难以从中抽象出能耗影响因素，因此本发明采用第二种技术方案。

设定以下公式：，；其中m为球磨机驱动电机的数量，为对应电机的工作时间，t和k分别代表时间和碰撞次数，和分别为每一个计算步长中，相接触的两个颗粒在轴向和切向的相对运动距离；间接能耗的计算公式同时也是DEM方法中采用的能量损失的计算公式。从这个公式可以看出，球磨机内部消耗的能量与颗粒之间的运动速度有着很大关联，因此有必要先对球磨机内部的运动场进行研究。而根据现有材料，球磨机内部颗粒的平均运动速度直接受到球磨机转速的影响。

此外，上述能耗公式，是DEM模型中对球磨机能耗进行求解的唯一依据，然而却不足以体现出各个能耗因素对于结果的影响。因此有必要进一步对球磨机能耗因素进行分析。

Step3：球磨机内颗粒的速度分析

做球磨机颗粒的耗能分析的前提，是了解颗粒的运动轨迹，而了解颗粒运动轨迹的前提，是对颗粒进行速度分析，如图1所示为颗粒在球磨机内的整体运动轨迹示意图，颗粒在运动过程中会形成波浪形的轨迹，波浪形的轨迹可称为提升条。

再具体到单颗粒，如图2~4，和图5~7所示为不同的颗粒在球磨机内的运动轨迹分析的示意图。

由图1~图7能够得知，在做斜抛运动之前，颗粒已经在提升条上完成了一个加速过程，考虑到颗粒的这个加速过程直接影响到颗粒在各个转角时刻从提升条掉落的速度，研究这个过程对于改善以往的技术模型具有重要意义，因此以下采用建模的方式探究颗粒从提升条掉落的过程。

建模采用EDEM的仿真图中用到的数据，包括提升条有效高度l、颗粒与筒体之间的滚动摩擦因数、颗粒的质量m、球磨机转速、球磨机内径R等。

针对颗粒从提升条下降时的受力情况建立方程：，简化为，这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程，通解为，一个特解设为，带入简化的方程中可以解得：

，；

考虑边界条件，存在时刻t，使得x=0时，a=0，v=0，此时对应的球磨机转角为，可得（R在这里取球磨机内径与颗粒的半径之差2.475m）：

，在此方程中代入各参数，求解可得：

，；

以上建模的各公式满足（颗粒从此刻起不再受到筒壁作用），

提升条的有效高度为l，那么利用x=l这一临界条件可以求出颗粒滑落出提升条的时间。如图8~10所示分别为颗粒从球磨机内提升条中滑落出去时的位移、速度和加速度示意图，图中的圆点即为颗粒滑落出去时的时刻。

求得了颗粒沿球磨机圆心方向的位移、速度和加速度后，现在考虑颗粒沿球磨机旋转方向的切向速度，为了表达上的便利，将轴向速度重新表示为，而切向速度表示为，即=。其中，i为指向球磨机圆心的单位向量，沿球磨机旋转方向的切向速度，j为切向单位向量，则颗粒的真实速度为。现在只考虑的大小，且和垂直，不难求得，分别作和的示意图如图11和图12，图中的圆点即为颗粒滑落出去时的时刻。

接下来对上述模型进行验证，从EDEM模型中提取一个颗粒，追踪其整个过程的运动轨迹，具体如图13和图14所示，分别为颗粒在仿真过程中的总速度和竖直方向速度。

如图15所示，建模时的时间起点t=0设置在第二、三象限的中间，但是仿真时单个颗粒的时间节点不好确定，难以直接将这两者进行比较。因此参考仿真时颗粒的竖直方向的速度。竖直方向上，颗粒离开提升条后正式进入自由落体阶段，从图15的图像上可以较简单找到这个区域，从而确定颗粒离开提升条时的时间节点。具体的，从图15中的直线拟合过程来看，球在仿真过程中约在5s时脱离提升条进入斜抛运动，通过进一步数据分析可以确定是在5.03s处，此时仿真的总速度为3.16264m/s，而计算所得总速度为3.1893m/s，误差0.84%。

确定仿真时的颗粒脱离提升条的时间，就可以将仿真和计算的结果作比较了。计算过程中的颗粒，以颗粒从提升条开始滑动的为起点，到颗粒脱离提升条的为终点，历时0.481s。而仿真过程中的颗粒，脱离提升条，相应地设定为起点。将两者的变化趋势做对比如图16。从对比结果来看，仿真与计算的颗粒速具有相似的变化趋势，但是两者之间存在一个固定的差值，这是因为计算中采用的R是球磨机最大内径，然而仿真选用的颗粒起始位置则不一定位于筒壁处，现在另外选择一个颗粒再做一组仿真，如图17~19所示。

由图17~19得知，仿真脱离时间为，此时对应的仿真速度为3.15005m/s，根据计算的时间差相应设置仿真过程开始滑动时间为，新的仿真与计算结果对比如图20。如进一步将之后的斜抛运动也考虑进去的话，可以得出如图21所示的对比图。

由图21得知，计算的结果与仿真结果之间存在一个水平位移的差距。原因在于，仿真过程中的颗粒一开始并不是紧靠筒壁，因此比计算过程的轨迹会提前一小段时间先画出提升条。为了验证这个想法，将图21的计算结果做0.04s水平调整后，,结果如图22，可以看到，计算结果和仿真结果之间拟合情况很好。

在上述结果基础上，进行模型拓展。从以上分析过程可以看到，由于在提升条上运动的时间较短，径向运动速度并未对颗粒的总速度造成太大影响（脱离提升条时，径向速度、切向速度和总速度的大小分别为1.1483m/s, 3.0099m/s, 3.1893m/s）。但是这并不意味着径向运动速度对于建模本身的意义不大，不难想象，既然径向速度决定了单个颗粒从提升条离开的时间，那么对于实际情况中的批量的颗粒，该速度必然影响到单位时间内从提升条滑落的颗粒的数量，不妨定义为掉落率。下面研究掉落率和径向速度之间的关系。

先看颗粒在随球磨机以稳定速率运动时，其开始掉落的临界角与其所在半径之间的关系。考察临界角满足的约束条件为。对r做一个定性分析就可以发现，随着r的减小，开始掉落的临界角是逐渐减小的，也就是说，越是离球磨机中心近，或者说越是离筒壁远的颗粒，越早有向下滑落的趋势。这个结论一方面支持了之前所做的技术模型，另一方面也为掉落率的分析提供了一个好的前提：处于同一区间（两个相邻提升条之间的空间）的颗粒，离筒壁越远的越有先掉落趋势，也就是说先掉落的颗粒在掉落过程中不会受到后掉落的颗粒的影响。

Step4：球磨机能耗影响因素分析

球磨机的能耗由两方面决定：1.球磨效率——单位时间球磨进度；2.单位时间能耗。而球磨机潜在能耗影响因素有以下几点：颗粒直径d，球磨机直径D，球磨机填充率，球磨机转速，球磨机内衬尺寸。潜在能耗影响因素分析采取以下步骤：

1）各个参数无量纲化,评估各个因素对于球磨机能耗的影响；其中，由于填充率和转速本身即为无量纲的，只需再合并颗粒与球磨机直径，引入k=d/D表示球磨机与颗粒的尺寸对球磨机能耗产生的共同影响；

2）采用DEM仿真的方法，分别变换k、、等参数的值，求出相应情况下的球磨机内部的速度场和能量损耗情况，并做对比；

3）在步骤2的基础上，可以对各个参数对能耗的影响有定性的了解（如球磨机转速与能耗存在线性关系），下一步可以将得出的规律应用到算法（或者简单的用线性拟合）中，拟合出各个参数对于球磨机能耗的贡献，从而求出能耗模型参数。

根据各个参数各自与能耗的影响因素的相互关系建立多个关系式，求出含待定系数的能耗的表达式，再根据DEM得出的能耗数据拟合出各个待定系数；如、，最终得到如下表达式：。如图22所示为浆料目标尺寸对球磨机能耗影响示意图；如图23所示为浆料研磨程度对能耗的影响示意图；如图24所示球磨机转速对能耗的影响示意图；如图25所示为球磨机转速对能耗的影响示意图。

此外，如图26所示为球磨机转速的示意图；且图27所示为对应图26的转速条件下，球磨机在不同时间段的能耗示意图。

Claims (1)

1.基于DEM的球磨机颗粒轨迹分析与能耗建模方法，其特征在于包括如下步骤：

Step1:建立DEM接触模型；

基于Hertz的轴向接触理论和Mindlin的切向接触理论建立非线性模型： ，；其中是总的受力，为切向受力，为相对运动速度；

Step2:球磨机能耗建模；

采用间接能耗计算，考察球磨过程中，球磨介质消耗的能量；

设定以下公式：，；其中m为球磨机驱动电机的数量，为对应电机的工作时间，t和k分别代表时间和碰撞次数，和分别为每一个计算步长中，相接触的两个颗粒在轴向和切向的相对运动距离；从该公式得出球磨机内部消耗的能量与颗粒之间运动速度的关联关系，并基于该关联关系进一步对球磨机能耗因素进行分析；

Step3:球磨机内颗粒的速度分析；

运行DEM接触模型，得出颗粒在运动过程中形成波浪形的轨迹，将该波浪形的轨迹定义为提升条；

就单独颗粒而言，在做斜抛运动之前，颗粒已经在提升条上完成了一个加速过程，该加速过程直接影响到颗粒在各个转角时刻从提升条掉落的速度，所以针对加速过程，采用建模的方式探究颗粒从提升条掉落的过程；

建模采用EDEM的仿真图中用到的数据，包括提升条有效高度l、颗粒与筒体之间的滚动摩擦因数、颗粒的质量m、球磨机转速和球磨机内径R，其中R取球磨机内径与颗粒的半径之差2.475m；

针对颗粒从提升条下降时的受力情况建立方程：，简化方程为，这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程，通解为，一个特解设为，带入简化方程中解得：

，；

考虑边界条件，存在时刻t，使得x=0时，a=0，v=0，此时对应的球磨机转角为，可得：

，在此方程中代入如下建模参数：提升条有效高度l、颗粒与筒体之间的滚动摩擦因数、颗粒的质量m、球磨机转速和球磨机内径R，求解得：

，；

以上建模的各个公式均满足，

提升条的有效高度为l，利用x=l这一临界条件求出颗粒滑落出提升条的时间；

基于时间，根据EDM软件求得颗粒沿球磨机圆心方向的位移、速度和加速度后，接着计算颗粒沿球磨机旋转方向的切向速度，将轴向速度重新表示为，切向速度表示为，即=；其中，i为指向球磨机圆心的单位向量；沿球磨机旋转方向的切向速度，j为切向单位向量，则颗粒的真实速度为；设的大小，且和垂直，求得；

对上述模型进行验证，从EDEM模型中提取一个颗粒，追踪其整个过程的运动轨迹，得到该颗粒在仿真过程中的总速度和竖直方向速度；

在上述结果基础上，进行模型拓展，将单位时间内从提升条滑落的颗粒的数量定义为掉落率，对掉落率和径向速度之间的关系进行分析；

分析颗粒在随球磨机以稳定速率运动时，其开始掉落的临界角与其所在半径之间的关系：临界角满足的约束条件为，对r做定性分析，通过r的大小变换对临界角的影响得出颗粒的运动规律；

Step4：球磨机能耗影响因素分析；

球磨机的能耗由两方面决定：:单位时间球磨进度和单位时间能耗，球磨机潜在能耗影响因素有以下几点：颗粒直径d，球磨机直径D，球磨机填充率，球磨机转速，球磨机内衬尺寸；对上述潜在能耗影响因素的分析采取以下步骤：

1）各个参数无量纲化，分析各个因素对于球磨机能耗的影响；其中合并颗粒与球磨机直径，引入k=d/D表示球磨机与颗粒的尺寸对球磨机能耗产生的共同影响；

2）采用DEM仿真的方法，分别变换k、、等参数的值，求出相应情况下的球磨机内部的速度场和能量损耗情况，并做对比；

3）在步骤2的基础上，对各个参数对能耗的影响进行定性分析，下一步将分析得出的规律应用到算法中，拟合出各个参数对于球磨机能耗的贡献，从而求出能耗模型参数；

其中，根据参数各自与能耗的影响因素的相互关系建立对应关系式，求出含待定系数的能耗的表达式，再根据DEM得出的能耗数据拟合出各个待定系数，得到针对潜在能耗影响因素对于球磨机能耗产生的影响的确定表达式。