CN104635155A - 基于Wiener过程的继电器可靠性评估方法 - Google Patents

Abstract

基于Wiener过程的继电器可靠性评估方法，涉及继电器的可靠性评估技术领域。本发明是为了解决传统基于失效统计的可靠性评估方法对继电器寿命的评估可靠性差，精度低，并且不能获得长寿命继电器的寿命数据的问题。本发明所述的首先确定继电器的退化参量及其失效阈值；再利用改进的继电器寿命试验装置监测继电器退化数据；建立了失效概率、失效概率密度以及可靠度的退化模型；利用极大似然估计的方法估计模型参数，完成继电器的可靠性建模；最后，利用所得模型及退化数据获得继电器进行可靠性评估结果。它可用于对继电器寿命的评估。

Description

基于Wiener过程的继电器可靠性评估方法

技术领域

本发明涉及基于Wiener过程的继电器可靠性评估方法，属于继电器的可靠性评估技术领域。

背景技术

继电器作为完成电路切换、控制与保护功能的关键元器件，广泛应用于航空、航天及国防武器装备系统中。继电器能否正常、可靠工作，在很多情况下能决定整个系统或型号的成败。因此，继电器的可靠性评估的研究非常必要和紧迫。

传统的可靠性评估方法主要基于产品的寿命数据进行，指定产品在整个寿命周期内服从指数分布，采用查表的方式，将定时截尾寿命试验结束时的失效样品数与国军标允许失效数对比，完成失效率等级的鉴定、升级和维持。为了得到足够的寿命数据信息，需要进行大量的寿命试验。然而，随着技术、加工工艺等的不断发展，航天继电器的寿命不断增长，这导致试验结束时常出现“零失效”的情况。加之航天继电器往往批量较小，即使在加速寿命试验条件下，也很难收集到足够的寿命信息。可见，采用传统方法进行航天继电器可靠性评估已面临现实的一些问题和困难。

发明内容

本发明是为了解决传统基于失效统计的可靠性评估方法对继电器寿命的评估可靠性差，精度低，并且不能获得长寿命继电器的寿命数据的问题。现提供继电器寿命试验装置及采用该装置实现的基于Wiener过程的继电器可靠性评估方法。

基于Wiener过程的继电器可靠性评估方法，该方法是基于下列装置实现的，所述装置包括受试继电器、开关K1、开关K2、开关K3、负载电源、可调电阻R1、可调电阻R2、线圈电源、线圈电流采样电阻R3、电阻R4、传统检测电路、触点电流采样电阻R5和信号调理及采样电路，

传统检测电路包括一号电压比较器、二号电压比较器、一号状态锁存器和二号状态锁存器，

受试继电器包括线圈、静合触点、动合触点和动触点，

所述负载电源的正极连接开关K1的一端，开关K1的另一端同时连接可调电阻R1的一端和可调电阻R2的一端，可调电阻R1的另一端同时连接静合触点、一号电压比较器的静合触点触点电压信号输入端和信号调理及采样电路的静合触点触点电压信号输入端，可调电阻R2的另一端同时连接动合触点、二号电压比较器的静合触点触点电压信号输入端和信号调理及采样电路的动合触点触点电压信号输入端，

一号电压比较器的静合触点触点电压信号输出端连接一号状态锁存器的静合触点触点电压信号输入端，二号电压比较器的静合触点触点电压信号输出端连接二号状态锁存器的静合触点触点电压信号输入端，

动触点同时连接信号调理及采样电路的触点电压信号输入端和触点电流采样电阻R5的一端，触点电流采样电阻R5的另一端连接电源地，

线圈的一端连接开关K2的一端，开关K2的另一端连接线圈电源的正极，线圈电源的负极同时连接线圈电流采样电阻R3的一端、电阻R4的一端和电源地，线圈电流采样电阻R3的另一端连接开关K3的静合触点a1，开关K3的动触点a3同时连接线圈的另一端和信号调理及采样电路的线圈电流信号输入端，电阻R4的另一端连接开关K3的动合触点a2，根据上述装置的基于Wiener过程的继电器可靠性评估方法为：

步骤一、在继电器的时间参数吸合时间、释放时间、超程时间、弹跳时间、燃弧时间中，选取超程时间作为继电器评估的退化参量，根据超程时间随继电器寿命试验的变化趋势，确定失效阈值为l＝100μs，

步骤二、采用信号调理及采集电路，对继电器的线圈电流信号、触点电流信号、触点电压限号、触点压降信号同时在线采集，进行定时截尾寿命试验，截尾时间10万次，获得试验过程中的退化参数信息，

步骤三、从失效物理的角度判断继电器的退化参数是否符合Wiener过程的参数变化规律，如果是，则执行步骤四，如果否，则结束，

步骤四、应用随机过程理论，分别建立继电器退化失效的失效概率函数、失效概率密度函数和可靠度函数的模型，

步骤五、使用极大似然估计的方法对步骤四中模型的未知参数进行估计，获得未知参数的似然估计值，完成继电器评估的建模过程，

步骤六、利用步骤五所得模型、步骤二所得的退化参数和步骤一所得的失效阈值实现对继电器寿命的评估。

本发明的有益效果为：本发明首先确定继电器的退化参量及其失效阈值；再利用改进的继电器寿命试验装置中信号调理及采集电路对触点电压信号、触点电流信号、线圈电流信号和动合触点触点电压和动触点触电电压组成的触点压降信号同时在线采集继电器退化数据；建立了失效概率、失效概率密度以及可靠度的退化模型；利用极大似然估计的方法估计模型参数，完成继电器的可靠性建模；最后，利用所得模型及退化数据获得继电器进行可靠性评估结果。它从继电器的失效机理出发，利用退化数据而不是寿命数据进行可靠性评估，大大减少了寿命试验的样本量与任务量。应用Wiener过程建模，简单可靠，可以有效消除初始测量误差，提高评估精度。评估精度可达95％。

附图说明

图1为具体实施方式二所述的基于Wiener过程的继电器可靠性评估方法的流程图，

图2为具体实施方式一所述的继电器寿命试验装置的电路示意图，

图3为极大似然参数估计流程图，

图4为超程时间累积损伤量变化趋势曲线图；

图5为继电器失效概率曲线图；

图6为继电器失效概率密度曲线图；

图7为可靠度评估结果对比图，图中，曲线11表示Wiener评估，曲线12表示真实可靠度，曲线12中表示寿命点。

具体实施方式

具体实施方式一：参照图1、图2和图4具体说明本实施方式，本实施方式所述的基于Wiener过程的继电器可靠性评估方法，该方法是基于下列装置实现的，所述装置包括受试继电器3、开关K1、开关K2、开关K3、负载电源1、可调电阻R1、可调电阻R2、线圈电源2、线圈电流采样电阻R3、电阻R4、传统检测电路4、触点电流采样电阻R5和信号调理及采样电路5，

传统检测电路4包括一号电压比较器4-1、二号电压比较器4-2、一号状态锁存器4-3和二号状态锁存器4-4，

受试继电器3包括线圈6、静合触点3-1、动合触点3-2和动触点3-3，

所述负载电源1的正极连接开关K1的一端，开关K1的另一端同时连接可调电阻R1的一端和可调电阻R2的一端，可调电阻R1的另一端同时连接静合触点3-1、一号电压比较器4-1的静合触点触点电压信号输入端和信号调理及采样电路5的静合触点3-1触点电压信号输入端，可调电阻R2的另一端同时连接动合触点3-2、二号电压比较器4-2的静合触点触点电压信号输入端和信号调理及采样电路5的动合触点触点电压信号输入端，

一号电压比较器4-1的静合触点触点电压信号输出端连接一号状态锁存器4-3的静合触点触点电压信号输入端，二号电压比较器4-2的静合触点触点电压信号输出端连接二号状态锁存器4-4的静合触点触点电压信号输入端，

动触点3-3同时连接信号调理及采样电路5的触点电压信号输入端和触点电流采样电阻R5的一端，触点电流采样电阻R5的另一端连接电源地，

线圈6的一端连接开关K2的一端，开关K2的另一端连接线圈电源2的正极，线圈电源2的负极同时连接线圈电流采样电阻R3的一端、电阻R4的一端和电源地，线圈电流采样电阻R3的另一端连接开关K3的静合触点a1，开关K3的动触点a3同时连接线圈6的另一端和信号调理及采样电路5的线圈电流信号输入端，电阻R4的另一端连接开关K3的动合触点a2，根据上述装置的基于Wiener过程的继电器可靠性评估方法为：

步骤一、在继电器的时间参数吸合时间、释放时间、超程时间、弹跳时间、燃弧时间中，选取超程时间作为继电器评估的退化参量，根据超程时间随继电器寿命试验的变化趋势，确定失效阈值为l＝100μs，

步骤二、采用信号调理及采集电路，对继电器的线圈电流信号、触点电流信号、触点电压限号、触点压降信号同时在线采集，进行定时截尾寿命试验，截尾时间10万次，获得试验过程中的退化参数信息，

步骤三、从失效物理的角度判断继电器的退化参数是否符合Wiener过程的参数变化规律，如果是，则执行步骤四，如果否，则结束，

步骤四、应用随机过程理论，分别建立继电器退化失效的失效概率函数、失效概率密度函数和可靠度函数的模型，

步骤五、使用极大似然估计的方法对步骤四中模型的未知参数进行估计，获得未知参数的似然估计值，完成继电器评估的建模过程，

步骤六、利用步骤五所得模型、步骤二所得的退化参数和步骤一所得的失效阈值实现对继电器寿命的评估。

本实施方式中，利用极大似然估计的方法求取可靠性模型参数。首先确定模型概率密度函数，利用概率密度函数获得似然函数，对似然函数求极值得到模型的未知参数。

步骤二中进行定时截尾寿命试验，截尾时间10万次，获得试验过程中的退化参数信息，试验条件如表1所示：

表1继电器参数

本实施方式中，如图2所示，信号调理及采集电路用于采集静合触点触点电压S1、动合触点触点电压S2和触点电压S3组成的触点压降、线圈电流S4和触点电流S5。

具体实施方式二：本实施方式是对具体实施方式一所述的基于Wiener过程的继电器可靠性评估方法的不同点在于，本实施方式中，继电器为航天继电器。

具体实施方式三：本实施方式是对具体实施方式一所述的基于Wiener过程的继电器可靠性评估方法的不同点在于，本实施方式中，步骤三中，从失效物理的角度判断继电器的退化参数是否符合Wiener过程的参数变化规律的过程：

从失效物理的角度出发，航天继电器在时刻t到t+Δt之内的性能退化ΔX是许多相互独立同分布的随机微小性能损失量ζ_i之和，并且这些微小损失量的数目n和Δt成正比，所以ΔX服从正态分布，采用一元Wiener过程建模。

具体实施方式四：参照图5和图6和图7具体说明本实施方式，本实施方式是对具体实施方式一所述的基于Wiener过程的继电器可靠性评估方法的不同点在于，本实施方式中，步骤四中，应用随机过程理论，分别建立继电器退化失效的失效概率函数、失效概率密度函数和可靠度函数的模型的过程为：

根据随机过程理论，航天继电器的性能退化过程是服从X(t；μ,σ²)＝μt+σW(t)形式的一元Wiener过程，

其中：X(t；μ,σ²)表示t时刻的参数退化量，μ,σ²为未知参数，W(t)为标准布朗运动，且E[W(t)]＝0,E[W(t₁)W(t₂)]＝min(t₁,t₂)，

航天继电器的失效阈值为l，l>0，产品的寿命T是性能退化量首次达到失效阈值的时间，即：

T＝inf{t|X(t)＝l,t≥0}

其中，X(t)表示继电器超程时间的退化量，

则T的分布函数F(t)和概率密度函数f(t)分别为：

$F\left(t\right)=\mathrm{\Φ}\left(\frac{\mathrm{\μt}-l}{\mathrm{\σ}\sqrt{t}}\right)+\exp \left(\frac{2\mathrm{\μl}}{{\mathrm{\σ}}^2}\right)\mathrm{\Φ}\left(\frac{-l-\mathrm{\μt}}{\mathrm{\σ}\sqrt{t}}\right)$

$f\left(t\right)=\frac{l}{\sqrt{{2\mathrm{\π\σ}}^2{t}^3}}\exp [-\frac{{(l-\mathrm{\μt})}^2}{2{\mathrm{\σ}}^{2}t}]$

产品可靠度R(t)为：

$R\left(t\right)=1-F\left(t\right)=\mathrm{\Φ}\left(\frac{l-\mathrm{\μt}}{\mathrm{\σ}\sqrt{t}}\right)-\exp \left(\frac{2\mathrm{\μl}}{{\mathrm{\σ}}^2}\right)\mathrm{\Φ}\left(\frac{-l-\mathrm{\μt}}{\mathrm{\σ}\sqrt{t}}\right).$

具体实施方式五：参照图3具体说明本实施方式，本实施方式是对具体实施方式一所述的基于Wiener过程的继电器可靠性评估方法的不同点在于，本实施方式中，步骤五中，使用极大似然估计的方法对步骤四中模型的未知参数进行估计，获得未知参数的似然估计值，完成继电器评估的建模过程：

从继电器产品中随机抽取n只继电器进行可靠性寿命试验，第i只继电器在t_ij时刻的退化数据为X_ij，其中，t_i0<t_i1<…<t_imi，Δx_ij＝X_ij-X_i(j-1)是产品i在t_i(j-1),t_ij之间的性能退化量，因此：

△x_ij～N(μ△t_ij,σ²△t_ij)

在t_j时刻概率密度函数f(△x_ij)为_：

$f\left({\mathrm{\&Delta;x}}_{\mathrm{ij}}\right)=\frac{1}{\sqrt{{2\mathrm{\&pi;\&sigma;}}^2{\mathrm{\&Delta;t}}_{\mathrm{ij}}}}\exp [-\frac{{({\mathrm{\&Delta;x}}_{\mathrm{ij}}-{\mathrm{\&mu;\&Delta;t}}_{\mathrm{ij}})}^2}{{2\mathrm{\&sigma;}}^2{\mathrm{\&Delta;t}}_{\mathrm{ij}}}]$

似然函数L(μ,σ²)为：

$L(\mathrm{\&mu;},{\mathrm{\&sigma;}}^2)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Pi;}}}\underset{j=1}{\overset{m_i}{\mathrm{\&Pi;}}}\frac{1}{\sqrt{{2\mathrm{\&pi;\&sigma;}}^2{\mathrm{\&Delta;t}}_{\mathrm{ij}}}}\exp [-\frac{{({\mathrm{\&Delta;x}}_{\mathrm{ij}}-{\mathrm{\&mu;\&Delta;t}}_{\mathrm{ij}})}^2}{{2\mathrm{\&sigma;}}^2{\mathrm{\&Delta;t}}_{\mathrm{ij}}}]$

对似然函数取对数，并分别求取未知参量μ,σ²的偏导数值，求解概率密度函数f(△x_ij)和似然函数L(μ,σ²)组成的方程组即可得到参数μ，σ的似然估计值^：

$\left\{\begin{array}{c}\widehat{\mathrm{\&mu;}}=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{X}_{{\mathrm{im}}_i}}{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{t}_{{\mathrm{im}}_i}}\\ {\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}^2=\frac{1}{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{m}_i}[\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{m_i}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{{\left({\mathrm{\&Delta;x}}_{\mathrm{ij}}\right)}^2}{{\mathrm{\&Delta;t}}_{\mathrm{ij}}}-\frac{{\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{X}_{{\mathrm{im}}_i}\right)}^2}{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{t}_{{\mathrm{im}}_i}}]\end{array}\right.$

其中，表示第i只继电器在任一时刻的退化数据，

完成可靠性建模，建模结果为：

μ＝7.21×10^-4，σ＝0.08

$F\left(t\right)=\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{7.21\&times;{10}^{-4}t-100}{0.08\sqrt{t}}\right)+\exp \left(22.53\right)\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{-100-7.21\&times;{10}^{-4}t}{0.08\sqrt{t}}\right)$

$f\left(t\right)=\frac{100}{\sqrt{{0.0128\mathrm{\&pi;t}}^3}}\exp [-\frac{{(100-7.21\&times;{10}^{-4}t)}^2}{0.0128t}]$

$R\left(t\right)=\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{100-7.21\&times;{10}^{-4}}{0.08\sqrt{t}}\right)-\exp \left(22.53\right)\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{-100-7.21\&times;{10}^{-4}t}{0.08\sqrt{t}}\right).$

Claims (5)

1.基于Wiener过程的继电器可靠性评估方法，该方法是基于下列装置实现的，所述装置包括受试继电器(3)、开关K1、开关K2、开关K3、负载电源(1)、可调电阻R1、可调电阻R2、线圈电源(2)、线圈电流采样电阻R3、电阻R4、传统检测电路(4)、触点电流采样电阻R5和信号调理及采样电路(5)，

传统检测电路(4)包括一号电压比较器(4-1)、二号电压比较器(4-2)、一号状态锁存器(4-3)和二号状态锁存器(4-4)，

受试继电器(3)包括线圈(6)、静合触点(3-1)、动合触点(3-2)和动触点(3-3)，

所述负载电源(1)的正极连接开关K1的一端，开关K1的另一端同时连接可调电阻R1的一端和可调电阻R2的一端，可调电阻R1的另一端同时连接静合触点(3-1)、一号电压比较器(4-1)的静合触点触点电压信号输入端和信号调理及采样电路(5)的静合触点(3-1)触点电压信号输入端，可调电阻R2的另一端同时连接动合触点(3-2)、二号电压比较器(4-2)的静合触点触点电压信号输入端和信号调理及采样电路(5)的动合触点触点电压信号输入端，

一号电压比较器(4-1)的静合触点触点电压信号输出端连接一号状态锁存器(4-3)的静合触点触点电压信号输入端，二号电压比较器(4-2)的静合触点触点电压信号输出端连接二号状态锁存器(4-4)的静合触点触点电压信号输入端，

动触点(3-3)同时连接信号调理及采样电路(5)的触点电压信号输入端和触点电流采样电阻R5的一端，触点电流采样电阻R5的另一端连接电源地，

线圈(6)的一端连接开关K2的一端，开关K2的另一端连接线圈电源(2)的正极，线圈电源(2)的负极同时连接线圈电流采样电阻R3的一端、电阻R4的一端和电源地，线圈电流采样电阻R3的另一端连接开关K3的静合触点a1，开关K3的动触点a3同时连接线圈(6)的另一端和信号调理及采样电路(5)的线圈电流信号输入端，电阻R4的另一端连接开关K3的动合触点a2，其特征在于，根据上述装置的基于Wiener过程的继电器可靠性评估方法为：

步骤一、在继电器的时间参数吸合时间、释放时间、超程时间、弹跳时间、燃弧时间中，选取超程时间作为继电器评估的退化参量，根据超程时间随继电器寿命试验的变化趋势，确定失效阈值为l＝100μs，

步骤二、采用信号调理及采集电路，对继电器的线圈电流信号、触点电流信号、触点电压限号、触点压降信号同时在线采集，进行定时截尾寿命试验，截尾时间10万次，获得试验过程中的退化参数信息，

步骤三、从失效物理的角度判断继电器的退化参数是否符合Wiener过程的参数变化规律，如果是，则执行步骤四，如果否，则结束，

步骤四、应用随机过程理论，分别建立继电器退化失效的失效概率函数、失效概率密度函数和可靠度函数的模型，

步骤五、使用极大似然估计的方法对步骤四中模型的未知参数进行估计，获得未知参数的似然估计值，完成继电器评估的建模过程，

步骤六、利用步骤五所得模型、步骤二所得的退化参数和步骤一所得的失效阈值实现对继电器寿命的评估。

2.根据权利要求1所述的基于Wiener过程的继电器可靠性评估方法，其特征在于，继电器为航天继电器。

3.根据权利要求1所述的基于Wiener过程的继电器可靠性评估方法，其特征在于，步骤三中，从失效物理的角度判断继电器的退化参数是否符合Wiener过程的参数变化规律的过程：

从失效物理的角度出发，航天继电器在时刻t到t+Δt之内的性能退化ΔX是许多相互独立同分布的随机微小性能损失量ζ_i之和，并且这些微小损失量的数目n和Δt成正比，所以ΔX服从正态分布，采用一元Wiener过程建模。

4.根据权利要求1所述的基于Wiener过程的继电器可靠性评估方法，其特征在于，步骤四中，应用随机过程理论，分别建立继电器退化失效的失效概率函数、失效概率密度函数和可靠度函数的模型的过程为：

根据随机过程理论，航天继电器的性能退化过程是服从X(t；μ,σ²)＝μt+σW(t)形式的一元Wiener过程，

其中：X(t；μ,σ²)表示t时刻的参数退化量，μ,σ²为未知参数，W(t)为标准布朗运动，且E[W(t)]＝0,E[W(t₁)W(t₂)]＝min(t₁,t₂)，

航天继电器的失效阈值为l，l>0，产品的寿命T是性能退化量首次达到失效阈值的时间，即：

T＝inf{t|X(t)＝l,t≥0}

其中，X(t)表示继电器超程时间的退化量，

则T的分布函数F(t)和概率密度函数f(t)分别为：

$F\left(t\right)=\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{\mathrm{\&mu;t}-l}{\mathrm{\&sigma;}\sqrt{t}}\right)+\exp \left(\frac{2\mathrm{\&mu;l}}{{\mathrm{\&sigma;}}^2}\right)\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{-l-\mathrm{\&mu;t}}{\mathrm{\&sigma;}\sqrt{t}}\right)$

$f\left(t\right)=\frac{l}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&sigma;}}^2{t}^3}}\exp [-\frac{{(l-\mathrm{\&mu;t})}^2}{2{\mathrm{\&sigma;}}^{2}t}]$

产品可靠度R(t)为：

$R\left(t\right)=1-F\left(t\right)=\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{l-\mathrm{\&mu;t}}{\mathrm{\&sigma;}\sqrt{t}}\right)-\exp \left(\frac{2\mathrm{\&mu;l}}{{\mathrm{\&sigma;}}^2}\right)\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{-l-\mathrm{\&mu;t}}{\mathrm{\&sigma;}\sqrt{t}}\right).$

5.根据权利要求1所述的基于Wiener过程的继电器可靠性评估方法，其特征在于，步骤五中，使用极大似然估计的方法对步骤四中模型的未知参数进行估计，获得未知参数的似然估计值，完成继电器评估的建模过程：

从继电器产品中随机抽取n只继电器进行可靠性寿命试验，第i只继电器在t_ij时刻的退化数据为X_ij，其中，t_i0<t_i1<…<t_imi，Δx_ij＝X_ij-X_i(j-1)是产品i在t_i(j-1),t_ij之间的性能退化量，因此：

△x_ij～N(μ△t_ij,σ²△t_ij)

在t_j时刻概率密度函数f(△x_ij)为：

$f\left(\mathrm{\&Delta;}{x}_{\mathrm{ij}}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&sigma;}}^2\mathrm{\&Delta;}{t}_{\mathrm{ij}}}}\exp [-\frac{{(\mathrm{\&Delta;}{x}_{\mathrm{ij}}-\mathrm{\&mu;\&Delta;}{t}_{\mathrm{ij}})}^2}{2{\mathrm{\&sigma;}}^2\mathrm{\&Delta;}{t}_{\mathrm{ij}}}]$

似然函数L(μ,σ²)为：

$L(\mathrm{\&mu;},{\mathrm{\&sigma;}}^2)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Pi;}}}\underset{j=1}{\overset{m_i}{\mathrm{\&Pi;}}}\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&sigma;}}^2\mathrm{\&Delta;}{t}_{\mathrm{ij}}}}\exp [-\frac{{(\mathrm{\&Delta;}{x}_{\mathrm{ij}}-\mathrm{\&mu;\&Delta;}{t}_{\mathrm{ij}})}^2}{2{\mathrm{\&sigma;}}^2\mathrm{\&Delta;}{t}_{\mathrm{ij}}}]$

对似然函数取对数，并分别求取未知参量μ,σ²的偏导数值，求解概率密度函数f(△x_ij)和似然函数L(μ,σ²)组成的方程组即可得到参数μ，σ的似然估计值：

$\left\{\begin{array}{c}\widehat{\mathrm{\&mu;}}=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{X}_{{\mathrm{im}}_i}}{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{t}_{{\mathrm{im}}_i}}\\ {\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}^2=\frac{1}{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{m}_i}[\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{m_i}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{{\left(\mathrm{\&Delta;}{x}_{\mathrm{ij}}\right)}^2}{\mathrm{\&Delta;}{t}_{\mathrm{ij}}}-\frac{{\left(\underset{\mathrm{ii}=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{X}_{{\mathrm{im}}_i}\right)}^2}{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{t}_{{\mathrm{im}}_i}}]\end{array}\right.$

其中，表示第i只继电器在任一时刻的退化数据，

完成可靠性建模，建模结果为：

μ＝7.21×10^-4，σ＝0.08

$F\left(t\right)=\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{7.21\&times;{10}^{-4}t-100}{0.08\sqrt{t}}\right)+\exp \left(22.53\right)\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{-100-7.21\&times;{10}^{-4}t}{0.08\sqrt{t}}\right)$

$f\left(t\right)=\frac{100}{\sqrt{0.0128\mathrm{\&pi;}{t}^3}}\exp [-\frac{{(100-7.21\&times;{10}^{-4}t)}^2}{0.0128t}]$

$R\left(t\right)=\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{100-7.21\&times;{10}^{-4}t}{0.08\sqrt{t}}\right)-\exp \left(22.53\right)\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{-100-7.21\&times;{10}^{-4}t}{0.08\sqrt{t}}\right).$