CN104634245A - 一种三维大行程精密工作台测量系统自标定方法 - Google Patents

Abstract

一种三维大行程精密工作台测量系统自标定方法，属于精密加工及测量领域。该方法利用三维自标定原理，通过使用带均匀栅格阵列的立方体光学玻璃块做辅助测量装置，将三维工作台按区域分别进行自标定，获取各区域的系统误差；对相应区域做系统误差补偿；对获得的各区域离散点坐标进行线性拟合；按照规划的顺序依次对相领区域的标定坐标系进行坐标系纠偏处理，获得整个区域内统一的标定坐标系，最终完成三维大行程精密工作台测量系统自标定。本发明实现了三维工作台的大行程、高精度自标定，同时实现了利用低精度栅格阵列的立方体玻璃块标定高精度三维工作台的功能，不需要高精度标定工具，标定精度高，适用于标定各种三维精密工作台。

Description

一种三维大行程精密工作台测量系统自标定方法

技术领域

本发明涉及一种三维大行程高精度工作台测量系统自标定方法，属于超精密加工及测量领域。

背景技术

超精密工作台在精密工程领域的应用逐渐广泛，对于多维工作台的测量精度要求越来越高，在超精密加工及检测装备中，对多维工作台的运动及定位精度要求往往是纳米级。其中，针对大行程、大范围的三维精密工作台，限于当前的制造和计量水平，无法轻易得到传统工作台标定方法所需的标准计量工具进行传统标定工作，从而产生了超精密三维工作台的标定难题。

自标定方法被认为是解决标定领域难题的重要手段，自标定方法目前已在二维标定和部分三维标定领域被研究、开发和利用。其大致思路是：采用标记点精度低于被标定对象的辅助测量装置作为媒介，通过辅助测量装置获取不同位姿的测量数据进行比较，消除该辅助测量装置标记点位置精度的影响，进而得到精密工作台的标定函数，实现超精密工作台系统误差的标定。例如美国学者Ye在研究论文“An exact algorithm for self-calibration of precisionmetrology stages”中针对100×100mm的二维标定区域，进行自标定理论和方法研究，并且标定结果至少能够达到百纳米量级精度，该方法通过获得三个不同位姿的测量信息建立系统误差方程，经过一定的算法获得G_m,n。例如专利文献2014102563186(公开日为2014年8月27日)，利用一种二维栅格玻璃板做辅助测量装置，并完成XY二维工作台的大行程自标定，但该方法仅仅局限于二维工作台的大行程自标定，其算法无法解决三维自标定的问题，同时亦没有涉及到三维工作台的大行程自标定问题。

韩国学者Yoo在文章“Self-calibration algorithm for testing out-of-plane errors oftwo-dimensional profiling stages”中，提出了一种2.5维的自标定方法，其是针对三维工作台利用介于二维和三维之间的一种手段进行自标定工作，但并不能完全意义上算作三维自标定方法。清华大学学者Hu，在文章“A holistic self-calibration Approach for Determinationof Three-Dimensional Stage Error”中针对有限量程三维工作台的局部区域，利用测量误差模型提出局部区域的自标定算法。然而，对于实际的三维工作台来说，需要标定的可能是一个范围较大的工作台区域，或者是立方体形状等非正方体区域，目前的自标定方法无法轻易得到所需的三维工作台大范围区域的系统误差G_m,n,k，并且目前已有的自标定方法并没有针对大行程、大范围三维工作台标定的有效方法，原有的自标定技术无法解决该类问题。

根据上述背景所述，目前针对三维工作台自标定方法面临的问题是：缺乏适用于大行程、大范围工作台的自标定方法，而且面对较大范围且形状不规则(如非正方体形状)区域时，没有行之有效的解决办法。

发明内容

本发明的目的是提供一种三维大行程精密工作台测量系统自标定方法，该方法克服已有超精密三维工作台自标定算法的不足，提出一种有效的，可扩展至大行程、大范围的超精密工作台自标定方法。该方法不局限于三维工作台的工作区域必须为正方体形状，既可以是立方体形，甚至可以是不规则空间形状，可以在超精密测量范畴内没有标准测量工具的条件下实现三维工作台测量系统的精确自标定。

本发明的技术方案如下：

一种三维大行程精密工作台测量系统自标定方法，其特征在于所述自标定方法包括以下步骤：

1)准备一块立方体形状的光学玻璃块，在该光学玻璃块的X轴方向、Y轴方向和Z轴方向分别刻有N条直线刻线，在光学玻璃块表面和内部形成均匀等分的N×N×N的栅格阵列刻线，其中N为大于1的正整数，栅格刻线与理想刻线间的偏差记为辅助误差A_m,n,k，其中m、n、k分别为刻线交点在X轴方向、Y轴方向和Z轴方向的坐标；

2)选取三维工作台运动行程内某个区域作为首个被标定的局部区域，将光学玻璃块固定放置于被标定的三维工作台上，作为起始位姿；在被标定的三维工作台的X轴方向上装有X轴位置传感器，Y方向上装有Y轴位置传感器，Z方向上装有Z轴位置传感器，其中光学玻璃块的栅格刻线精度等于或小于被标定的三维工作台的测量精度；

3)在起始位姿中，通过三维工作台上的X轴位置传感器、Y轴位置传感器和Z轴位置传感器测量，并记录该位姿下光学玻璃块上每个栅格刻线交点的坐标读数，所得测量读数与交点坐标准确值之间的偏差记为V_0,m,n,k，也即起始位姿下自标定模型：

V_0,m,n,k＝G_0,m,n,k+A_m,n,k+E_0,m,n,k+r_0,m,n,k，其中：V_0,m,n,k的脚标0表示起始位姿，G_0,m,n,k为系统误差，E_0,m,n,k为调整误差，r_0,m,n,k为随机测量噪声；将光学玻璃块绕着Z轴进行逆时针90°旋转，测量并记录在旋转位姿下光学玻璃块上每个刻线交点所对应的X轴位置传感器、Y轴位置传感器和Z轴位置传感器的读数，获得该旋转位姿下的自标定模型：

V_1,m,n,k＝G_1,m,n,k+A_m,n,k+E_1,m,n,k+r_1,m,n,k，其中：V_1,m,n,k的脚标1表示围绕Z轴的旋转位姿；同理，再将光学玻璃块从起始位姿绕着X轴进行逆时针90°旋转，测量并记录在该位姿下光学玻璃块上每个刻线交点所对应的X轴位置传感器、Y轴位置传感器和Z轴位置传感器的读数，获得该旋转位姿下的自标定模型：V_2,m,n,k＝G_2,m,n,k+A_m,n,k+E_2,m,n,k+r_2,m,n,k，其中：V_2,m,n,k的脚标2表示围绕X轴的旋转位姿；再将光学玻璃块沿着Y轴方向进行一个单位的平移，测量并记录平移位姿下光学玻璃块上每个刻线交点所对应的X轴位置传感器、Y轴位置传感器和Z轴位置传感器的读数，获得该平移位姿下的自标定模型：V_3,m,n,k＝G_3,m,n,k+A_m,n,k+E_3,m,n,k+r_3,m,n,k，其中：V_3,m,n,k的脚标3表示沿着Y轴的平移位姿；

4)针对步骤3)中起始位姿、围绕Z轴的旋转位姿、围绕X轴的旋转位姿和沿着Y轴的平移位姿四种位姿记录下来的自标定模型，结合系统的对称性建立系统误差方程：

$\left\{\begin{array}{c}{F}_{x,m,n,k}-F_{y,-n,m,k}=U_{0,x,m,n,k}-U_{1,y,m,n,k}-{\mathrm{\κ}}_{1,m,n,k}\\ F_{y,m,n,k}+F_{x,-n,m,k}=U_{0,y,m,n,k}+U_{1,x,m,n,k}-{\mathrm{\κ}}_{2,m,n,k}\\ F_{z,m,n,k}-F_{z,-n,m,k}=U_{0,z,m,n,k}-U_{1,z,m,n,k}-{\mathrm{\κ}}_{3,m,n,k}\\ F_{x,m,n,k}-F_{x,m,-k,n}=U_{0,y,m,n,k}-U_{2,z,m,n,k}-{\mathrm{\κ}}_{4,m,n,k}\\ F_{y,m,n,k}-F_{z,m,-k,n}=U_{0,y,m,n,k}-U_{2,z,m,n,k}-{\mathrm{\κ}}_{5,m,n,k}\\ F_{z,m,n,k}+F_{y,m,-k,n}=U_{0,z,m,n,k}+U_{2,y,m,n,k}-{\mathrm{\κ}}_{6,m,n,k}\end{array}\right.$

结合系统的传递性性构建方程：

$\left\{\begin{array}{c}{F}_{x,m,n+1,k}-F_{x,m,n,k}=U_{3,x,m,n,k}-U_{0,x,m,n,k}+{\mathrm{\χ}}_x\\ F_{y,m,n+1,k}-F_{y,m,n,k}=U_{3,y,m,n,k}-U_{0,y,m,n,k}+{\mathrm{\χ}}_y\\ F_{z,m,n+1,k}-F_{z,m,n,k}=U_{3,z,m,n,k}-U_{0,z,m,n,k}+{\mathrm{\χ}}_z\end{array}\right.$

结合系统的误差特性：

$\left\{\begin{array}{c}\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{x,m,n,k}{x}_m=\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{y,m,n,k}{x}_m=\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{z,m,n,k}{x}_m=0\\ \underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{x,m,n,k}{y}_n=\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{y,m,n,k}{y}_n=\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{z,m,n,k}{y}_n=0\\ \underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{x,m,n,k}{z}_k=\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{y,m,n,k}{z}_k=\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{z,m,n,k}{z}_k=0\\ \underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{x,m,n,k}=\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{y,m,n,k}=\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{z,m,n,k}=0\end{array}\right.$

其中，F_m,n,k为残余误差，包括F_x,m,n,k、F_y,m,n,k和F_z,m,n,k，分别表示X轴方向、Y轴方向和Z轴方向各自的残余误差；U_0,m,n,k、U_1,m,n,k、U_2,m,n,k和U_3,m,n,k分别为步骤3)中四个位姿下的调整位姿项；x_m、y_n、z_k、κ_1,m,n,k、κ_2,m,n,k、κ_3,m,n,k、κ_4,m,n,k、κ_5,m,n,k、κ_6,m,n,k、χ_x、χ_y和χ_z分别为不同位置相对应的误差调整项；利用四个测量位姿构造的冗余，基于最小二乘法解算求得残余误差F_m,n,k，并根据G_x,m,n,k＝R_xx_m+O_xyy_n+O_zxz_k+F_x,m,n,k，

G_y,m,n,k＝O_xyx_m+R_yy_n+O_yzz_k+F_y,m,n,k，G_z,m,n,k＝O_zxx_m+O_yzy_n+R_zz_k+F_z,m,n,k解算出系统误差G_m,n,k，其中：系统误差G_m,n,k，包括G_x,m,n,k、G_y,m,n,k和G_z,m,n,k，分别表示X轴方向、Y轴方向和Z轴方向各自的系统误差；O为正交误差，包括：X轴与Y轴间正交误差O_xy、Y轴与Z轴间正交误差O_yz和Z轴与X轴间正交误差O_zx；R为尺度误差，包括：X轴尺度误差R_x、Y轴尺度误差R_y和Z轴尺度误差R_z；从而获取被标定三维工作台测量系统局部区域的系统误差；

5)根据步骤4)中获得的系统误差G_m,n,k，对被标定区域进行系统误差补偿，即c_m,n,k＝c'_m,n,k+G_m,n,k，其中c_m,n,k为离散点标定坐标系，c'_m,n,k为离散点测量坐标系；补偿并获得相应的局部区域的离散点标定坐标系；对该标定坐标系内的离散点进行线性拟合得到连续的标定坐标系网格，获得三维工作台上某一个局部区域的连续点标定坐标系，将该连续点标定坐标系作为大行程区域内标定的起始区域位置，记为C_0,0，0；在大行程区域内任意一个局部区域的连续点标定坐标系用C_i,j,u表示；

6)将工作台待标定区域移至与已完成标定的起始区域位置标定坐标系C_0,0，0相邻的下一区域，重复步骤3)、步骤4)和步骤5)，得到下一个相邻局部区域的连续点标定坐标系C_1,0,0；依照此法，按照规划的顺序不断重复操作，直至覆盖到三维工作台的所有区域，即获得大行程三维工作台上各个局部区域的连续点标定坐标系C_i,j,u；

7)针对三维工作台上获得的所有相互独立的局部区域的连续点标定坐标系C_i,j,u，利用空间直角坐标系变换原理对相邻坐标系进行两两纠偏；首先，对起始区域位置标定坐标系C_0,0,0与其相邻下一个局部区域的连续点标定坐标系C_1,0,0进行坐标系纠偏，以起始区域位置标定坐标系C_0,0,0为基准对C_1,0,0进行坐标系变换，即C_0,0,0＝ΔC₀+RC_1,0,0+O(θ_XZY)C_1,0,0，该式写成：

$\left[\begin{array}{c}{X}_{\mathrm{0,0,0}}\\ Y_{\mathrm{0,0,0}}\\ Z_{\mathrm{0,0,0}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{X}_0\\ \mathrm{\Δ}{Y}_0\\ \mathrm{\Δ}{Z}_0\end{array}\right]+R\left[\begin{array}{c}{X}_{\mathrm{1,0,0}}\\ Y_{\mathrm{1,0,0}}\\ Z_{\mathrm{1,0,0}}\end{array}\right]+O({\mathrm{\θ}}_X,{\mathrm{\θ}}_Y,{\mathrm{\θ}}_Z)\left[\begin{array}{c}{X}_{\mathrm{1,0,0}}\\ Y_{\mathrm{1,0,0}}\\ Z_{\mathrm{1,0,0}}\end{array}\right]$

其中X_0,0,0、Y_0,0,0、Z_0,0,0为在起始区域位置标定坐标系C_0,0,0中点的坐标矩阵，X_1,0,0、Y_1,0,0、Z_1,0,0为在待转换的连续点标定坐标系C_1,0,0中点的坐标矩阵，ΔC₀为坐标系C_1,0,0相对于坐标系C_0,0,0的坐标平移矩阵，其中ΔX₀、ΔY₀、ΔZ₀为坐标系C_1,0,0相对于坐标系C_0,0,0的坐标平移，θ_X、θ_Y、θ_Z为坐标系C_1,0,0相对于坐标系C_0,0,0的偏转角，O为正交误差，R为尺度误差；

其中， $O\left({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{XYZ}}\right)=\left[\begin{array}{ccc}0& {\mathrm{\θ}}_Z& -{\mathrm{\θ}}_Y\\ -{\mathrm{\θ}}_Z& 0& {\mathrm{\θ}}_X\\ {\mathrm{\θ}}_Y& -{\mathrm{\θ}}_X& 0\end{array}\right]$

于是可得：

$\left\{\begin{array}{c}{X}_{\mathrm{0,0,0}}={\mathrm{\ΔX}}_0+{\mathrm{RX}}_{\mathrm{1,0,0}}+{\mathrm{\θ}}_Z{Y}_{\mathrm{1,0,0}}-{\mathrm{\θ}}_Y{Z}_{\mathrm{1,0,0}}\\ Y_{\mathrm{0,0,0}}=\mathrm{\Δ}{Y}_0+{\mathrm{RY}}_{\mathrm{1,0,0}}-{\mathrm{\θ}}_Z{X}_{\mathrm{1,0,0}}+{\mathrm{\θ}}_X{Z}_{\mathrm{1,0,0}}\\ Z_{\mathrm{0,0,0}}=\mathrm{\Δ}{Z}_0+{\mathrm{RZ}}_{\mathrm{1,0,0}}+{\mathrm{\θ}}_Y{X}_{\mathrm{1,0,0}}-{\mathrm{\θ}}_X{Y}_{\mathrm{1,0,0}}\end{array}\right.$

利用两坐标系内多个点构造冗余，基于最小二乘法解算求得ΔX₀，ΔY₀，ΔZ₀，θ_X，θ_Y，θ_Z以及R，从而获得坐标系C_1,0,0相对于坐标系C_0,0,0的平移、旋转和尺度误差关系，最终获得坐标系C_1,0,0与坐标系C_0,0,0的正交性和尺度性一致的统一坐标系；依照此法，对剩余局部区域的连续点标定坐标系进行坐标系纠偏，将不同区域间的坐标系统一成正交性和尺度性一致的坐标系，最终获得全局标定坐标系C_A，从而完成大行程三维工作台的自标定工作。

本发明所提供的一种三维大行程精密工作台测量系统自标定方法具有以下优点及突出性效果：

①该方法为解决超精密三维工作台标定难题提出了一种新方法，在克服已有自标定算法不足的基础上，提出一种扩展至大行程、大范围的三维超精密工作台自标定方法，并且使方法应用对象不局限于立方体光学玻璃块辅助测量装置的局部测量区域，并且该方法不局限于三维工作台的工作区域必须为正方体形状，既可以是立方体形，甚至可以是不规则空间形状；②所提方法针对的是装有位置传感器的大行程三维工作台，不仅考虑了位置传感器本身的测量系统误差，还考虑了传感器在工作台上装调不准以及变形等带来的误差影响，实现了大行程三维工作台系统误差的在位精确标定；③标定过程中使用精度不高的带有网格刻线阵列的立方体光学玻璃块作为辅助测量装置，无需高精度标准计量工具，可以在超精密测量范畴内没有标准测量工具的条件下实现三维工作台测量系统系的精确自标定；④所提自标定方法可实现纳米级甚至更高精度标定工作。

附图说明

图1为本发明所述一种三维大行程精密工作台测量系统自标定方法流程图。

图2为待标定的大行程三维工作台以及进行三维自标定相关的测量系统示意图。

图3(a)、3(b)为相邻两标定坐标系利用空间坐标系变换原理进行坐标系统一化示意图。

图4为完成坐标系纠偏后获得大行程、大范围标定坐标系示意图。

图中，1—三维工作台；2—X轴位置传感器；3—Y轴位置传感器；4—Z轴位置传感器；5—光学玻璃块。

具体实施方式

下面根据附图并结合具体实施步骤对本发明的技术方案作进一步详细说明。

本发明公开的一种三维大行程精密工作台测量系统自标定方法，通过以下技术方案实现：

请参考图1，图1为本发明所述一种三维大行程精密工作台测量系统自标定方法流程图。图2为本发明所述一种三维大行程精密工作台测量系统自标定方法实验系统示意图。如图2所示，该自标定实验系统包括待标定大行程三维工作台1、X轴位置传感器2、Y轴位置传感器3、Z轴位置传感器4、光学玻璃块5。

本发明提供的一种三维大行程精密工作台测量系统自标定方法，该自标定方法及原理具体包括以下步骤：

第一步，准备一块立方体光学玻璃块5，如图2所示，在该玻璃块的X方向，Y方向和Z方向分别刻有N条直线刻线，在玻璃块表面和内部形成均匀等分的N×N×N的栅格阵列刻线，其中N为正整数，栅格刻线与理想刻线间的偏差记为辅助误差A_m,n,k，其中m，n，k为刻线交点的X，Y，Z坐标，且光学玻璃块5的栅格刻线精度等于或小于被标定的三维工作台1的测量精度；辅助误差A_m,n,k满足下式：

$\begin{array}{c}\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{A}_{x,m,n,k}=\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{A}_{y,m,n,k}=\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{A}_{z,m,n,k}=0,\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}(A_{y,m,n,k}{x}_m-A_{x,m,n,k}{y}_n)=0,\\ \underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}(A_{z,m,n,k}{y}_n-A_{y,m,n,k}{z}_k)=0,\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}(A_{x,m,n,k}{z}_k-A_{z,m,n,k}{x}_m)=0---\left(1\right)\end{array}$

A_x,m,n,k、A_y,m,n,k、A_z,m,n,k分别为A_m,n,k在X、Y、Z轴上的辅助误差表示。

第二步，选取三维工作台运动行程内某个区域作为首个被标定局部区域，将光学玻璃块5固定放置于被标定的三维工作台1上，作为起始位姿；在被标定的三维工作台1的X方向上装有X轴位置传感器2，Y方向上装有Y轴位置传感器3，Z方向上装有Z轴位置传感器4；该工作台测量系统测量值与理想值间不可避免地存在偏差，称为系统误差G_m,n,k：G_x,m,n,k、G_y,m,n,k、G_z,m,n,k分别为G_m,n,k在X、Y、Z轴上的系统误差表示。G_m,n,k具有性质无平移、无旋转和无缩放，即：

$\begin{array}{c}\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{G}_{x,m,n,k}=\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{G}_{y,m,n,k}=\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{G}_{z,m,n,k}=0\\ \underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}(G_{y,m,n,k}{x}_m-G_{x,m,n,k}{y}_n)=0,\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}(G_{z,m,n,k}{y}_n-G_{y,m,n,k}{z}_k)=0,\end{array}$

$\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}(G_{x,m,n,k}{z}_k-G_{z,m,n,k}{x}_m)=0,\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}(G_{x,m,n,k}{x}_m+G_{y,m,n,k}{y}_n+G_{z,m,n,k}{z}_k)=0---\left(2\right)$

系统误差G_m,n,k又可以表示为：

G_x,m,n,k＝R_xx_m+O_xyy_n+O_zxz_k+F_x,m,n,k，

G_y,m,n,k＝O_xyx_m+R_yy_n+O_yzz_k+F_y,m,n,k，

G_z,m,n,k＝O_zxx_m+O_yzy_n+R_zz_k+F_z,m,n,k   (3)

其中：O为正交误差，包括：X轴与Y轴间正交误差O_xy、Y轴与Z轴间正交误差O_yz和Z轴与X轴间正交误差O_zx；R为尺度误差，包括：X轴尺度误差R_x、Y轴尺度误差R_y和Z轴尺度误差R_z；F_m,n,k为残余误差，包括F_x,m,n,k、F_y,m,n,k和F_z,m,n,k，分别表示X轴方向、Y轴方向和Z轴方向各自的残余误差，且F_m,n,k同样具有以上三条性质，据此可得F_m,n,k误差特性：

$\begin{array}{c}\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{x,m,n,k}=\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{y,m,n,k}=\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{z,m,n,k}=0,\\ \underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{x,m,n,k}{x}_m=\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{y,m,n,k}{x}_m=\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{z,m,n,k}{x}_m=0,\\ \underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{x,m,n,k}{y}_n=\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{y,m,n,k}{y}_n=\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{z,m,n,k}{y}_n=0,\\ \underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{x,m,n,k}{z}_k=\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{y,m,n,k}{z}_k=\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{z,m,n,k}{z}_k=0---\left(4\right)\end{array},$

第三步，如图2所示，在起始位姿，围绕Z轴的旋转位姿，围绕X轴的旋转位姿和沿着Y轴的平移位姿四种不同位姿下，分别通过三维工作台1上的X轴位置传感器2，Y轴位置传感器3和Z轴位置传感器4测量，并记录各个位姿下光学玻璃块5上每个栅格刻线交点的坐标读数，所得测量读数与交点坐标准确值之间的偏差分别记为：

V_0,m,n,k＝G_0,m,n,k+A_m,n,k+E_0,m,n,k+r_0,m,n,k，

V_1,m,n,k＝G_1,m,n,k+A_m,n,k+E_1,m,n,k+r_1,m,n,k，

V_2,m,n,k＝G_2,m,n,k+A_m,n,k+E_2,m,n,k+r_2,m,n,k   (5)

其中测量偏差值V_m,n,k由系统误差G_m,n,k，辅助偏差A_m,n,k，调整误差E_m,n,k以及随机测量噪声r_m,n,k构成；系统误差G_m,n,k，包括G_x,m,n,k、G_y,m,n,k和G_z,m,n,k，分别表示X轴方向、Y轴方向和Z轴方向各自的系统误差；辅助误差A_m,n,k，包括A_x,m,n,k、A_y,m,n,k和A_z,m,n,k，分别表示X轴方向、Y轴方向和Z轴方向各自的辅助误差；调整误差E_m,n,k和随机测量噪声r_m,n,k亦同理；

第四步，根据起始位姿、围绕Z轴的旋转位姿、围绕X轴的旋转位姿和沿着Y轴的平移位姿分别记录下来的自标定模型，结合系统的对称性建立系统误差方程：

$\left\{\begin{array}{c}{F}_{x,m,n,k}-F_{y,-n,m,k}=U_{0,x,m,n,k}-U_{1,y,m,n,k}-{\mathrm{\κ}}_{1,m,n,k}\\ F_{y,m,n,k}+F_{x,-n,m,k}=U_{0,y,m,n,k}+U_{1,x,m,n,k}-{\mathrm{\κ}}_{2,m,n,k}\\ F_{z,m,n,k}-F_{z,-n,m,k}=U_{0,z,m,n,k}-U_{1,z,m,n,k}-{\mathrm{\κ}}_{3,m,n,k}\\ F_{x,m,n,k}-F_{x,m,-k,n}=U_{0,y,m,n,k}-U_{2,z,m,n,k}-{\mathrm{\κ}}_{4,m,n,k}\\ F_{y,m,n,k}-F_{z,m,-k,n}=U_{0,y,m,n,k}-U_{2,z,m,n,k}-{\mathrm{\κ}}_{5,m,n,k}\\ F_{z,m,n,k}+F_{y,m,-k,n}=U_{0,z,m,n,k}+U_{2,y,m,n,k}-{\mathrm{\κ}}_{6,m,n,k}\end{array}\right.---\left(6\right)$

结合系统的传递性性构建方程：

$\left\{\begin{array}{c}{F}_{x,m,n+1,k}-F_{x,m,n,k}=U_{3,x,m,n,k}-U_{0,x,m,n,k}+{\mathrm{\χ}}_x\\ F_{y,m,n+1,k}-F_{y,m,n,k}=U_{3,y,m,n,k}-U_{0,y,m,n,k}+{\mathrm{\χ}}_y\\ F_{z,m,n+1,k}-F_{z,m,n,k}=U_{3,z,m,n,k}-U_{0,z,m,n,k}+{\mathrm{\χ}}_z\end{array}\right.$

其中，F_m,n,k为残余误差，包括F_x,m,n,k、F_y,m,n,k和F_z,m,n,k，分别表示X轴方向、Y轴方向和Z轴方向各自的残余误差；U_0,m,n,k、U_1,m,n,k、U_2,m,n,k和U_3,m,n,k分别为第三步中四个位姿下的调整位姿项；x_m、y_n、z_k、κ_1,m,n,k、κ_2,m,n,k、κ_3,m,n,k、κ_4,m,n,k、κ_5,m,n,k、κ_6,m,n,k、χ_x、χ_y和χ_z分别为不同位置相对应的误差调整项；联立式(4)、(6)和(7)，利用四个测量位姿构造的冗余，基于最小二乘法解算可求得残余误差F_m,n,k，由此可以通过式(3)解算出系统误差G_m,n,k，从而完成被标定二维工作台测量系统局部区域的系统误差获取；

第五步，利用获得的系统误差G_m,n,k对被标定区域进行系统误差补偿，即：

c_m,n,k＝c'_m,n,k+G_m,n,k   (8)

其中c_m,n,k为离散点标定坐标系，c'_m,n,k为离散点测量坐标系，G_m,n,k为系统误差；补偿并获得相应的局部区域的离散点标定坐标系；对该标定坐标系内的离散点进行线性拟合得到连续的标定坐标系网格，获得三维工作台1上某一个局部区域的连续点标定坐标系，将该连续点标定坐标系作为大行程区域内标定的起始区域位置，记为C_0,0，0；在大行程区域内任意一个局部区域的连续点标定坐标系用C_i,j,u表示；连续的标定坐标系网格如图3(a)所示；

第六步，将工作台待标定区域移至与已完成标定的起始区域位置标定坐标系C_0,0，0相邻的下一区域，重复第三步、第四步和第五步，得到下一个局部区域的连续点标定坐标系C_1,0,0；依照此法，按照规划的顺序不断重复操作，直至覆盖到三维工作台的所有区域，即获得大行程三维工作台上各个局部区域的连续点标定坐标系C_i,j,u，操作流程如图1所示；

第七步，针对三维工作台1上获得的所有相互独立的局部区域的连续点标定坐标系C_i,j,u，利用空间直角坐标系变换原理对相邻坐标系进行两两纠偏；如图3(a)所示,首先对起始区域位置标定坐标系C_0,0,0与其相邻下一个局部区域的连续点标定坐标系C_1,0,0进行坐标系纠偏，以起始区域位置标定坐标系C_0,0,0为基准对C_1,0,0进行坐标系变换，即：

C_0,0,0＝ΔC₀+RC_1,0,0+O(θ_XZY)C_1,0,0   (9)

如图3(b)式所示，该式可写成：

$\left[\begin{array}{c}{X}_{\mathrm{0,0,0}}\\ Y_{\mathrm{0,0,0}}\\ Z_{\mathrm{0,0,0}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{X}_0\\ \mathrm{\Δ}{Y}_0\\ \mathrm{\Δ}{Z}_0\end{array}\right]+R\left[\begin{array}{c}{X}_{\mathrm{1,0,0}}\\ Y_{\mathrm{1,0,0}}\\ Z_{\mathrm{1,0,0}}\end{array}\right]+O({\mathrm{\θ}}_X,{\mathrm{\θ}}_Y,{\mathrm{\θ}}_Z)\left[\begin{array}{c}{X}_{\mathrm{1,0,0}}\\ Y_{\mathrm{1,0,0}}\\ Z_{\mathrm{1,0,0}}\end{array}\right]---\left(10\right)$

其中X_0,0,0、Y_0,0,0、Z_0,0,0为在起始区域位置标定坐标系C_0,0,0中点的坐标矩阵，X_1,0,0、Y_1,0,0、Z_1,0,0为在待转换的连续点标定坐标系C_1,0,0中点的坐标矩阵，ΔC₀为坐标系C_1,0,0相对于坐标系C_0,0,0的坐标平移矩阵，其中ΔX₀、ΔY₀、ΔZ₀为坐标系C_1,0,0相对于坐标系C_0,0,0的坐标平移，θ_X、θ_Y、θ_Z为坐标系C_1,0,0相对于坐标系C_0,0,0的偏转角，O为正交误差，R为尺度误差；

其中， $O\left({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{XYZ}}\right)=\left[\begin{array}{ccc}0& {\mathrm{\θ}}_Z& -{\mathrm{\θ}}_Y\\ -{\mathrm{\θ}}_Z& 0& {\mathrm{\θ}}_X\\ {\mathrm{\θ}}_Y& -{\mathrm{\θ}}_X& 0\end{array}\right]$

于是可得：

$\left\{\begin{array}{c}{X}_{\mathrm{0,0,0}}={\mathrm{\ΔX}}_0+{\mathrm{RX}}_{\mathrm{1,0,0}}+{\mathrm{\θ}}_Z{Y}_{\mathrm{1,0,0}}-{\mathrm{\θ}}_Y{Z}_{\mathrm{1,0,0}}\\ Y_{\mathrm{0,0,0}}=\mathrm{\Δ}{Y}_0+{\mathrm{RY}}_{\mathrm{1,0,0}}-{\mathrm{\θ}}_Z{X}_{\mathrm{1,0,0}}+{\mathrm{\θ}}_X{Z}_{\mathrm{1,0,0}}\\ Z_{\mathrm{0,0,0}}=\mathrm{\Δ}{Z}_0+{\mathrm{RZ}}_{\mathrm{1,0,0}}+{\mathrm{\θ}}_Y{X}_{\mathrm{1,0,0}}-{\mathrm{\θ}}_X{Y}_{\mathrm{1,0,0}}\end{array}\right.---\left(11\right)$

利用式(11)，以及两坐标系内多个点构造冗余，基于最小二乘法解算可以求出ΔX₀、ΔY₀、ΔZ₀、θ_X、θ_Y、θ_Z以及R，从而获得连续点标定坐标系C_1,0,0相对于起始区域位置标定坐标系C_0,0,0的平移、旋转和尺度误差关系，最终获得连续点标定坐标系C_1,0,0与起始区域位置标定坐标系C_0,0,0的正交性和尺度性一致的统一坐标系，从而完成对相邻坐标系进行统一化的步骤。

依照此法，对剩余局部区域的连续点标定坐标系进行坐标系纠偏，将不同区域间的坐标系统一成正交性和尺度性一致的坐标系，最终获得全局标定坐标系C_A，从而完成大行程三维工作台所有区域的自标定工作，如图4所示。

上述实施方式中给出的三维精密工作台测量系统自标定方法能够实现纳米级甚至更高精度的标定工作；所提方法针对的是装有位置传感器的三维工作台，不仅考虑了位置传感器本身的测量系统误差，还考虑了传感器在工作台上装调不准以及变形等带来的误差影响，实现了三维工作台系统误差的在位精确标定；该方法应用对象不局限于光学玻璃块辅助测量装置的测量区域，可将其扩展至大行程大范围的二维工作台自标定，亦适用于某些工作区域不规则的三维工作台；该方法可以很好的被应用到三维精密机床、坐标测量机等三维精密工作台测量系统的标定中。

Claims (1)

1.一种三维大行程精密工作台测量系统自标定方法，其特征在于所述自标定方法包括以下步骤：

1)准备一块立方体形状的光学玻璃块(5)，在该光学玻璃块的X轴方向、Y轴方向和Z轴方向分别刻有N条直线刻线，在光学玻璃块表面和内部形成均匀等分的N×N×N的栅格阵列刻线，其中N为大于1的正整数，栅格刻线与理想刻线间的偏差记为辅助误差A_m,n,k，其中m、n、k分别为刻线交点在X轴方向、Y轴方向和Z轴方向的坐标；

2)选取三维工作台运动行程内某个区域作为首个被标定的局部区域，将光学玻璃块(5)固定放置于被标定的三维工作台(1)上，作为起始位姿；在被标定的三维工作台(1)的X轴方向上装有X轴位置传感器(2)，Y方向上装有Y轴位置传感器(3)，Z方向上装有Z轴位置传感器(4)，其中光学玻璃块(5)的栅格刻线精度等于或小于被标定的三维工作台(1)的测量精度；

3)在起始位姿中，通过三维工作台(1)上的X轴位置传感器(2)、Y轴位置传感器(3)和Z轴位置传感器(4)测量，并记录该位姿下光学玻璃块(5)上每个栅格刻线交点的坐标读数，所得测量读数与交点坐标准确值之间的偏差记为V_0,m,n,k，也即起始位姿下自标定模型：V_0,m,n,k＝G_0,m,n,k+A_m,n,k+E_0,m,n,k+r_0,m,n,k，其中：V_0,m,n,k的脚标0表示起始位姿，G_0,m,n,k为系统误差，E_0,m,n,k为调整误差，r_0,m,n,k为随机测量噪声；将光学玻璃块(5)绕着Z轴进行逆时针90°旋转，测量并记录在旋转位姿下光学玻璃块上每个刻线交点所对应的X轴位置传感器(2)、Y轴位置传感器(3)和Z轴位置传感器(4)的读数，获得该旋转位姿下的自标定模型：V_1,m,n,k＝G_1,m,n,k+A_m,n,k+E_1,m,n,k+r_1,m,n,k，其中：V_1,m,n,k的脚标1表示围绕Z轴的旋转位姿；同理，再将光学玻璃块(5)从起始位姿绕着X轴进行逆时针90°旋转，测量并记录在该位姿下光学玻璃块上每个刻线交点所对应的X轴位置传感器(2)、Y轴位置传感器(3)和Z轴位置传感器(4)的读数，获得该旋转位姿下的自标定模型：V_2,m,n,k＝G_2,m,n,k+A_m,n,k+E_2,m,n,k+r_2,m,n,k，其中：V_2,m,n,k的脚标2表示围绕X轴的旋转位姿；再将光学玻璃块(5)沿着Y轴方向进行一个单位的平移，测量并记录平移位姿下光学玻璃块上每个刻线交点所对应的X轴位置传感器(2)、Y轴位置传感器(3)和Z轴位置传感器(4)的读数，获得该平移位姿下的自标定模型：V_3,m,n,k＝G_3,m,n,k+A_m,n,k+E_3,m,n,k+r_3,m,n,k，其中：V_3,m,n,k的脚标3表示沿着Y轴的平移位姿；

4)针对步骤3)中起始位姿、围绕Z轴的旋转位姿、围绕X轴的旋转位姿和沿着Y轴的平移位姿四种位姿记录下来的自标定模型，结合系统的对称性建立系统误差方程：

$\left\{\begin{array}{c}{F}_{x,m,n,k}-F_{y,-n,m,k}=U_{0,x,m,n,k}-U_{1,y,m,n,k}-{\mathrm{\κ}}_{1,m,n,k}\\ F_{y,m,n,k}+F_{x,-n,m,k}=U_{0,y,m,n,k}+U_{1,x,m,n,k}-{\mathrm{\κ}}_{2,m,n,k}\\ F_{z,m,n,k}-F_{z,-n,m,k}=U_{0,z,m,n,k}-U_{1,z,m,n,k}-{\mathrm{\κ}}_{3,m,n,k}\\ {F_{x,m,n,k}}_{}-F_{x,m,-k,n}=U_{0,x,m,n,k}-U_{2,x,m,n,k}-{\mathrm{\κ}}_{4,m,n,k}\\ F_{y,m,n,k}-F_{z,m,-k,n}=U_{0,y,m,n,k}-U_{2,z,m,n,k}-{\mathrm{\κ}}_{5,m,n,k}\\ {F_{z,m,n,k}+F}_{y,m,-k,n}=U_{0,z,m,n,k}+U_{2,y,m,n,k}-{\mathrm{\κ}}_{6,m,n,k}\end{array}\right.$

结合系统的传递性性构建方程：

$\left\{\begin{array}{c}{F}_{x,m,n+1,k}-F_{x,m,n,k}=U_{3,x,m,n,k}-U_{0,x,m,n,k}+{\mathrm{\χ}}_x\\ F_{y,m,n+1,k}-F_{y,m,n,k}=U_{3,y,m,n,k}-U_{0,y,m,n,k}+{\mathrm{\χ}}_y\\ F_{z,m,n+1,k}-F_{z,m,n,k}=U_{3,z,m,n,k}-U_{0,z,m,n,k}+{\mathrm{\χ}}_z\end{array}\right.$

结合系统的误差特性：

$\left\{\begin{array}{c}\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{x,m,n,k}{x}_m=\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{y,m,n,k}{x}_m=\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{z,m,n,k}{x}_m=0\\ \underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{x,m,n,k}{y}_n=\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{y,m,n,k}{y}_n=\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{z,m,n,k}{y}_n=0\\ \underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{x,m,n,k}{z}_k=\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{y,m,n,k}{z}_k=\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{z,m,n,k}{z}_k=0\\ \underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{x,m,n,k}=\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{y,m,n,k}=\underset{m,n,k}{\mathrm{\Σ}}{F}_{z,m,n,k}=0\end{array}\right.$

其中，F_m,n,k为残余误差，包括F_x,m,n,k、F_y,m,n,k和F_z,m,n,k，分别表示X轴方向、Y轴方向和Z轴方向各自的残余误差；U_0,m,n,k、U_1,m,n,k、U_2,m,n,k和U_3,m,n,k分别为步骤3)中四个位姿下的调整位姿项；x_m、y_n、z_k、κ_1,m,n,k、κ_2,m,n,k、κ_3,m,n,k、κ_4,m,n,k、κ_5,m,n,k、κ_6,m,n,k、χ_x、χ_y和χ_z分别为不同位置相对应的误差调整项；利用四个测量位姿构造的冗余，基于最小二乘法解算求得残余误差F_m,n,k，并根据G_x,m,n,k＝R_xx_m+O_xyy_n+O_zxz_k+F_x,m,n,k，G_y,m,n,k＝O_xyx_m+R_yy_n+O_yzz_k+F_y,m,n,k，G_z,m,n,k＝O_zxx_m+O_yzy_n+R_zz_k+F_z,m,n,k解算出系统误差G_m,n,k，其中：系统误差G_m,n,k，包括G_x,m,n,k、G_y,m,n,k和G_z,m,n,k，分别表示X轴方向、Y轴方向和Z轴方向各自的系统误差；O为正交误差，包括：X轴与Y轴间正交误差O_xy、Y轴与Z轴间正交误差O_yz和Z轴与X轴间正交误差O_zx；R为尺度误差，包括：X轴尺度误差R_x、Y轴尺度误差R_y和Z轴尺度误差R_z；从而获取被标定三维工作台测量系统局部区域的系统误差；

5)根据步骤4)中获得的系统误差G_m,n,k，对被标定区域进行系统误差补偿，即c_m,n,k＝c'_m,n,k+G_m,n,k，其中c_m,n,k为离散点标定坐标系，c'_m,n,k为离散点测量坐标系；补偿并获得相应的局部区域的离散点标定坐标系；对该标定坐标系内的离散点进行线性拟合得到连续的标定坐标系网格，获得三维工作台(1)上某一个局部区域的连续点标定坐标系，将该连续点标定坐标系作为大行程区域内标定的起始区域位置，记为C_0,0，0；在大行程区域内任意一个局部区域的连续点标定坐标系用C_i,j,u表示；

6)将工作台待标定区域移至与已完成标定的起始区域位置标定坐标系C_0,0，0相邻的下一区域，重复步骤3)、步骤4)和步骤5)，得到下一个相邻局部区域的连续点标定坐标系C_1,0,0；依照此法，按照规划的顺序不断重复操作，直至覆盖到三维工作台的所有区域，即获得大行程三维工作台上各个局部区域的连续点标定坐标系C_i,j,u；

7)针对三维工作台(1)上获得的所有相互独立的局部区域的连续点标定坐标系C_i,j,u，利用空间直角坐标系变换原理对相邻坐标系进行两两纠偏；首先，对起始区域位置标定坐标系C_0,0,0与其相邻下一个局部区域的连续点标定坐标系C_1,0,0进行坐标系纠偏，以起始区域位置标定坐标系C_0,0,0为基准对C_1,0,0进行坐标系变换，即C_0,0,0＝ΔC₀+RC_1,0,0+O(θ_XZY)C_1,0,0，该式写成：

$\left[\begin{array}{c}{X}_{\mathrm{0,0,0}}\\ Y_{\mathrm{0,0,0}}\\ Z_{\mathrm{0,0,0}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{X}_0\\ \mathrm{\Δ}{Y}_0\\ \mathrm{\Δ}{Z}_0\end{array}\right]+R\left[\begin{array}{c}{X}_{\mathrm{1,0,0}}\\ Y_{\mathrm{1,0,0}}\\ Z_{\mathrm{1,0,0}}\end{array}\right]+O({\mathrm{\θ}}_X,{\mathrm{\θ}}_Y,{\mathrm{\θ}}_Z)\left[\begin{array}{c}{X}_{\mathrm{1,0,0}}\\ Y_{\mathrm{1,0,0}}\\ Z_{\mathrm{1,0,0}}\end{array}\right]$

其中X_0,0,0、Y_0,0,0、Z_0,0,0为在起始区域位置标定坐标系C_0,0,0中点的坐标矩阵，X_1,0,0、Y_1,0,0、Z_1,0,0为在待转换的连续点标定坐标系C_1,0,0中点的坐标矩阵，ΔC₀为坐标系C_1,0,0相对于坐标系C_0,0,0的坐标平移矩阵，其中ΔX₀、ΔY₀、ΔZ₀为坐标系C_1,0,0相对于坐标系C_0,0,0的坐标平移，θ_X、θ_Y、θ_Z为坐标系C_1,0,0相对于坐标系C_0,0,0的偏转角，O为正交误差，R为尺度误差；

其中， $O\left({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{XYZ}}\right)=\left[\begin{array}{ccc}0& {\mathrm{\θ}}_Z& -{\mathrm{\θ}}_Y\\ -{\mathrm{\θ}}_Z& 0& {\mathrm{\θ}}_X\\ {\mathrm{\θ}}_Y& -{\mathrm{\θ}}_X& 0\end{array}\right]$

于是可得：

$\left\{\begin{array}{c}{X}_{\mathrm{0,0,0}}=\mathrm{\Δ}{X}_0+R{X}_{\mathrm{1,0,0}}+{\mathrm{\θ}}_Z{Y}_{\mathrm{1,0,0}}-{\mathrm{\θ}}_Y{Z}_{\mathrm{1,0,0}}\\ Y_{\mathrm{0,0,0}}=\mathrm{\Δ}{Y}_0+R{Y}_{\mathrm{1,0,0}}-{\mathrm{\θ}}_Z{X}_{\mathrm{1,0,0}}+{\mathrm{\θ}}_X{Z}_{\mathrm{1,0,0}}\\ Z_{\mathrm{0,0,0}}=\mathrm{\Δ}{Z}_0+R{Z}_{\mathrm{1,0,0}}+{\mathrm{\θ}}_Y{X}_{\mathrm{1,0,0}}-{\mathrm{\θ}}_X{Y}_{\mathrm{1,0,0}}\end{array}\right.$

利用两坐标系内多个点构造冗余，基于最小二乘法解算求得ΔX₀，ΔY₀，ΔZ₀，θ_X，θ_Y，θ_Z以及R，从而获得坐标系C_1,0,0相对于坐标系C_0,0,0的平移、旋转和尺度误差关系，最终获得坐标系C_1,0,0与坐标系C_0,0,0的正交性和尺度性一致的统一坐标系；依照此法，对剩余局部区域的连续点标定坐标系进行坐标系纠偏，将不同区域间的坐标系统一成正交性和尺度性一致的坐标系，最终获得全局标定坐标系C_A，从而完成大行程三维工作台的自标定工作。