CN104616299A - 一种基于空时偏微分方程的弱小目标检测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于空时偏微分方程的弱小目标检测方法，该方法包括：(1)读入待处理图像序列的相邻三帧图像；(2)初始化参数w并计算图像的空时梯度(3)利用空时偏微分方程对图像进行背景预测；(4)对当前帧的图像和背景预测的结果进行差分，得到弱小目标的检测结果。本发明通过利用空时偏微分方程模型对远距离红外图像进行背景预测，使得算法能够对弱小目标进行检测，该方法为成像制导、安全监控、空间监测等方面提供了技术支撑，具有较强的实用价值。

Description

一种基于空时偏微分方程的弱小目标检测方法

技术领域

本发明涉及一种基于空时偏微分方程的弱小目标检测方法，属于计算机视觉与航空航天技术领域。

背景技术

目前，弱小目标检测是成像制导、安全监控、空间监测技术中应值得重点研究的一个关键问题。随着现代科技的发展，人们希望在目标与成像传感器的距离很远的时候，即所谓的弱小目标阶段就能高可靠性的检测到目标。然而，由于自然气象条件(天气、风速、风向、气温、太阳辐射等)、目标背景环境(天空、地面、海面)以及目标结构等因素的影响，由于目标距离较远时，通常它的尺寸比较小，强度比较低。目标几何尺寸小，缺乏形状纹理信息，且目标强度弱，对比度小，也比较容易被噪声所淹没，因此，红外图象中的弱小目标检测成为成像目标检测与识别的一个难点。但是，鲁棒的弱小目标自动检测技术尚未完全突破，是当今世界高技术领域的热门研究课题，也是近年来信息处理技术中的研究热点之一。

目前，对弱小目标进行检测的方法主要可分为三大类：基于空域的检测方法、基于时域的检测。空域检测的方法包括：基于Butterworth高通滤波(BHPF)的检测方法(见文献L.Yang,J.Yang,K.Yang,“Adaptive detection for infraredsmall target under sea-sky complex background”,Electronics Letters,vol.40,no.17,pp.1083-1085,2004)和去最大-均值(Max-Mean)及最大-中值滤波(Max-Median)方法(见文献S.D.Deshpande,M.H.Er,V.Ronda,P.Chan,“Max-Mean andMax-Median filters for detection of small-targets”,Proc.SPIE,vol.3809,pp.74-83,1999)。最大-中值滤波检测方法在处理单调背景的图像中表现良好，而Butterworth高通滤波在结构性杂波背景的弱小目标检测方面具有优势。除了空域处理之外，也有一些方法是基于时域的，如Caefer等人提出的基于小波变换和三项时域滤波(见文献C.E.Caefer,J.Silverman,J.M.Mooney,S.DiSalvo,R.W.Taylor,“Temporal filtering for point target detection in staring IR imagery:I.Damped sinusoid filters”,Proceedings of SPIE,vol.3373,pp.111-122,1998)，该方法基于时域的滤波方法在目标亚像素级运动中，具有很好的表现，但是上述现有技术在复杂背景下弱小目标检测率低，而本发明能够很好地解决上面的问题。

发明内容

本发明目的在于提供了一种基于空时偏微分方程的弱小目标检测方法，该方法能够使弱小目标增强，解决了由于弱小目标几何尺寸小、强度弱、容易被噪声所淹没导致很难被检测的问题。

本发明解决其技术问题所采取的技术方案是：本发明提供了一种基于空时偏微分方程进行复杂背景预测，该方法能在有效对复杂背景中的结构性纹理进行有效的预测，能够为成像制导、安全监控、空间监测技术等方面的应用提供技术支撑。

方法流程：

步骤1：读取图像序列I_n,n∈[1,N]，其中，n为图像序列的帧号，N为图像序列的总帧数。为了更好地进行预测，本发明将每连续的三帧图像组合在一起视为一个三维图像。每个像素点的坐标为(x,y,z)(x,y表示图像像素空间位置，z表示时间维上的位置)。因此，本发明对红外弱小目标场景图像模型进行建模为

I_n(x,y,z)＝B_n(x,y,z)+T_n(x,y,z)+N_n(x,y,z)  (1)

I_n表示红外图像序列中的第n帧图像；B_n和T_n分别表示相应背景图像和目标信号；N_n表示图像的噪声。背景预测就是根据原图对背景图像进行估计，估计值用表示，

$\stackrel{\‾}{B}(x,y,z)=H(I(x,y,z),\mathrm{\η}(x,y,z))---\left(2\right)$

其中H表示预测算法，η(x,y,z)表示像素(x,y,z)的一个特定邻域，为背景预测结果。

步骤2：构建用于背景预测的空时偏微分方程模型。假设背景预测用表示，则

$\stackrel{\‾}{B}(x,y,z)=u^k(x,y,z)---\left(3\right)$

其中，u^k(x,y,z)表示由原图像I(x,y,z)进行迭代预测的最终结果，k为迭代次数。

根据式(1)，构建偏微分方程的能量函数为

$E\left(f\right)=\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫}|\▿u|\mathrm{d\Ω}+\frac{w}{2}\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫}{(I-u)}^2\mathrm{d\Ω}---\left(4\right)$

其中，w为一个正参数。u_x,u_y,u_z分别是在x、y和z方向上的一阶导数。

步骤3：根据变分原理，最小化式(4)的能量函数可通过求解Euler-Lagrange公式

$\frac{\mathrm{dF}}{\mathrm{du}}-\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{{\mathrm{du}}_x}\right)-\frac{d}{\mathrm{dy}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{{\mathrm{du}}_y}\right)-\frac{d}{\mathrm{dz}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{{\mathrm{du}}_z}\right)=0---\left(5\right)$

其中，F＝F(x,y,z,u,u_x,u_y,u_z)，u_xx，u_yy，u_zz分别为二阶偏导数，u_xy，u_xz，u_yz分别为混合二阶偏导。可求得模型的解为：

$u^k=u^{k-1}+\mathrm{\Δt}[\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{{\mathrm{du}}_x}\right)-\frac{d}{\mathrm{dy}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{{\mathrm{du}}_y}\right)-\frac{d}{\mathrm{dz}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{{\mathrm{du}}_z}\right)-\frac{\mathrm{dF}}{\mathrm{du}}]---\left(6\right)$

即认为u^k为估计的背景

步骤4：通过差分将估计的背景从原始图像序列I中消除，得到残差图像，即：

$f=I-\stackrel{\‾}{B}---\left(7\right)$

残差图像f中通常包含残差背景、目标及噪声。然而由于大部分的背景能量被减去，残差图像中的目标与背景的相对差值和信杂比将增强，因此可以有效的检测出目标。

本发明具体的实现过程包括：

1.根据读取图像序列I_n,n∈[1,N]，其中，n为图像序列的帧号，N为图像序列的总帧数。为了更好地进行预测，本发明将每连续的三帧图像组合在一起视为一个三维图像。每个像素点的坐标为(x,y,z)(x,y表示图像像素空间位置，z表示时间维上的位置)。因此，本发明对红外弱小目标场景图像模型进行建模为

I_n(x,y,z)＝B_n(x,y,z)+T_n(x,y,z)+N_n(x,y,z)  (8)

I_n表示红外图像序列中的第n帧图像；B_n和T_n分别表示相应背景图像和目标信号；N_n表示图像的噪声。背景预测就是根据原图对背景图像进行估计，估计值用表示，

$\stackrel{\‾}{B}(x,y,z)=H(I(x,y,z),\mathrm{\η}(x,y,z))---\left(9\right)$

其中H表示预测算法，η(x,y,z)表示像素(x,y,z)的一个特定邻域，为背景预测结果。

2.假设背景预测用表示:

$\stackrel{\‾}{B}(x,y,z)=u^k(x,y,z)---\left(10\right)$

其中，u^k(x,y,z)表示由原图像I(x,y,z)进行迭代预测的最终结果，k为迭代次数。根据式(8)，构建用于背景预测的空时偏微分方程模型为

$E\left(f\right)=\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫}|\▿u|\mathrm{d\Ω}+\frac{w}{2}\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫}{(I-u)}^2\mathrm{d\Ω}---\left(11\right)$

其中，w为一个正参数。u_x,u_y,u_z分别是在x、y和z方向上的一阶导数。

3.根据变分原理，最小化式(11)的能量函数可通过求解Euler-Lagrange公式

$\frac{\mathrm{dF}}{\mathrm{du}}-\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{{\mathrm{du}}_x}\right)-\frac{d}{\mathrm{dy}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{{\mathrm{du}}_y}\right)-\frac{d}{\mathrm{dz}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{{\mathrm{du}}_z}\right)=0---\left(12\right)$

其中，F＝F(x,y,z,u,u_x,u_y,u_z)，u_xx，u_yy，u_zz分别为二阶偏导数，u_xy，u_xz，u_yz分别为混合二阶偏导。可求得模型的解为：

$u^k=u^{k-1}+\mathrm{\Δt}[\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{{\mathrm{du}}_x}\right)-\frac{d}{\mathrm{dy}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{{\mathrm{du}}_y}\right)-\frac{d}{\mathrm{dz}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{{\mathrm{du}}_z}\right)-\frac{\mathrm{dF}}{\mathrm{du}}]---\left(13\right)$

即认为u^k为估计的背景

有益效果：

1、本发明应用于红外弱小目标检测，能够检测出几何尺寸小、强度弱的远距离红外弱小目标。

2、本发明能够为成像制导、安全监控、空间监测技术等方面的应用提供技术支撑，具有很强的使用价值。

附图说明

图1为本发明的方法流程图。

图2为当前帧像素的空时邻域像素示意图。

图3为原始红外图像。

图4为原图三维图。

图5为空时偏微分方程背景预测图像。

图6为弱小目标检测结果示意图。

图7为弱小目标检测三维图。

具体实施方式

下面结合附图和实例对本发明作进一步详细的说明。

如图1所示，本发明一种基于空时偏微分方程的弱小目标检测方法，该方法主要通过构建一种空时偏微分方程模型对背景杂波进行预测及抑制，进而进行红外弱小目标检测。具体包括如下步骤：

步骤1：读取图像序列I＝(I₁,I₂,I₃...I_n-1,I_n,I_n+1...I_N-2,I_N-1,I_N)，其中，n为图像序列的帧号，N为图像序列的总帧数。为了更好地进行预测，本发明将每连续的三帧图像组合在一起视为一个三维图像，如图2所示。其像素点的坐标为(x,y,z)(为与迭代时间t区分，用时间维上的变量用z表示)。因此，对红外弱小目标场景图像模型进行建模为

I_n(x,y,z)＝B_n(x,y,z)+T_n(x,y,z)+N_n(x,y,z)  (14)

其中(x,y,z)表示图像序列中像素位置；I_n表示红外图像序列中的第n帧图像；B_n和T_n分别表示相应背景图像和目标信号；N_n表示噪声。

背景预测就是根据原图对背景图像进行估计，估计值用表示，

$\stackrel{\‾}{B}(x,y,z)=H(I(x,y,z),\mathrm{\η}(x,y,z))---\left(15\right)$

其中H表示预测算法，η(x,y,z)表示像素(x,y,z)的一个特定邻域，为背景预测结果。

步骤2：构建用于背景预测的偏微分方程模型：背景预测就是根据原图像对背景图像进行估计，假设估计值用表示，则

$\stackrel{\‾}{B}(x,y,z)=u^k(x,y,z)---\left(16\right)$

其中，u^k(x,y,z)表示由原图像I(x,y,z)进行迭代预测的最终结果，k为迭代次数。根据式(14)，构建偏微分方程的能量函数为

$E\left(f\right)=\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫}|\▿u|\mathrm{d\Ω}+\frac{w}{2}\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫}{(I-u)}^2\mathrm{d\Ω}---\left(17\right)$

其中，w为一个正参数。u_x,u_y,u_z分别是在x、y和z向上的一阶导数。在求解过程中，其离散化形式分别为

u_x＝(u(x+1,y,z)+u(x-1,y,z))/2

u_y＝(u(x,y+1,z)+u(x,y-1,z))/2  (18)

u_z＝(u(x,y,z+1)+u(x,y,z-1))/2

步骤3：模型求解：根据变分原理，最小化式(17)的能量函数可通过求解Euler-Lagrange公式

$\frac{\mathrm{dF}}{\mathrm{du}}-\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{{\mathrm{du}}_x}\right)-\frac{d}{\mathrm{dy}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{{\mathrm{du}}_y}\right)-\frac{d}{\mathrm{dz}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{{\mathrm{du}}_z}\right)=0---\left(19\right)$

其中，F＝F(x,y,z,u,u_x,u_y,u_z)，且

$\frac{\mathrm{dF}}{\mathrm{du}}=w(u-I)---\left(20\right)$

$\frac{\mathrm{dF}}{{\mathrm{du}}_x}=\frac{u_x}{\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}}---\left(21\right)$

$\frac{\mathrm{dF}}{{\mathrm{du}}_y}=\frac{u_y}{\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}}---\left(22\right)$

$\frac{\mathrm{dF}}{{\mathrm{du}}_z}=\frac{u_z}{\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}}---\left(23\right)$

$\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{{\mathrm{du}}_x}\right)=\frac{u_{\mathrm{xx}}}{\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}}-\frac{u_x^2{u}_{\mathrm{xx}}+u_x{u}_y{u}_{\mathrm{yx}}+u_z{u}_x{u}_{\mathrm{zx}}}{{\left(\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}\right)}^3}---\left(24\right)$

$\frac{d}{\mathrm{dy}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{{\mathrm{du}}_y}\right)=\frac{u_{\mathrm{yy}}}{\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}}-\frac{u_y^2{u}_{\mathrm{yy}}+u_x{u}_y{u}_{\mathrm{xy}}+u_z{u}_y{u}_{\mathrm{zy}}}{{\left(\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}\right)}^3}---\left(25\right)$

$\frac{d}{\mathrm{dz}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{{\mathrm{du}}_z}\right)=\frac{u_{\mathrm{zz}}}{\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}}-\frac{u_z^2{u}_{\mathrm{zz}}+u_x{u}_z{u}_{\mathrm{xz}}+u_y{u}_z{u}_{\mathrm{yz}}}{{\left(\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}\right)}^3}---\left(26\right)$

u_xx，u_yy，u_zz分别为二阶偏导数，u_xy，u_xz，u_yz分别为混合二阶偏导，其离散形式分别为

$\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{xx}}=u(x+1,y,z)+u(x-1,y,z)-2u(x,y,z)\\ u_{\mathrm{yy}}=u(x,y+1,z)+u(x,y-1,z)-2u(x,y,z)\\ u_{\mathrm{zz}}=u(x,y,z+1)+u(x,y,z-1)-2u(x,y,z)\\ u_{\mathrm{xy}}=\frac{u(x+1,y+1,z)+u(x-1,y-1,z)}{4}-\frac{u(x-1,y+1,z)+u(x+1,y-1,z)}{4}\\ u_{\mathrm{yz}}=\frac{u(x,y+1,z+1)+u(x,y-1,z-1)}{4}-\frac{u(x,y-1,z+1)+u(x,y+1,z-1)}{4}\\ u_{\mathrm{xz}}=\frac{u(x+1,y,z+1)+u(x-1,y,z-1)}{4}-\frac{u(x-1,y,z+1)+u(x+1,y,z-1)}{4}\end{array}---\left(27\right)$

最后，求得模型的解为：

$u^k=u^{k-1}+\mathrm{\Δt}[\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{{\mathrm{du}}_x}\right)-\frac{d}{\mathrm{dy}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{{\mathrm{du}}_y}\right)-\frac{d}{\mathrm{dz}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{{\mathrm{du}}_z}\right)-\frac{\mathrm{dF}}{\mathrm{du}}]---\left(28\right)$

即认为u^k为估计的背景

步骤4：通过差分将估计的背景从原始图像序列I中消除，得到残差图像，即

$f=I-\stackrel{\‾}{B}---\left(29\right)$

可以看出，残差图像f中通常包含残差背景、目标及噪声。然而由于大部分的背景能量被减去，残差图像中的目标与背景的相对差值和信杂比将增强，因此可以有效的检测出目标。

本发明应用于红外弱小目标检测，其技术效果体现在：能够检测出几何尺寸小、强度弱的远距离红外弱小目标。本发明能够为成像制导、安全监控、空间监测技术等方面的应用提供技术支撑，具有很强的使用价值。

为了验证本发明红外小目标增强的有效性，对实拍红外小目标图像序列进行试验。图3给出了红外小目标图像序列中的第10帧原始红外图像，图4为原始红外图像的三维图。利用上述处理步骤，对图3进行空时偏微分方程进行背景预测得到预测结果图4，弱小目标检测结果和检测结果三维示意图如图5和图6所示。为更直观地对比各算法的弱小目标检测性能，使用目标信杂比(SCR)及其增益(SCR Gain)作为性能指标，可以综合衡量算法的目标检测性能和目标增强效果。

信杂比SCR定义为

$\mathrm{SCR}=\frac{{\mathrm{\μ}}_s}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{cn}}}---\left(30\right)$

其中，μ_s是目标亮度，σ_cn是邻域亮度的标准差。信杂比增益(单位dB)定义为

$\mathrm{SCR\; Gain}=20\log \left(\frac{{\mathrm{SCR}}_{\mathrm{out}}}{{\mathrm{SCR}}_{\mathrm{in}}}\right)---\left(31\right)$

其中SCR_in为图像序列的原始信杂比，SCR_out为处理结果序列的信杂比。选择最大-均值(Max-mean)、最大-中值滤波(Max-median)及Butterworth高通滤波(BHPF)与本发明的方法进行对比。

表1：为与其他方法检测结果比较表

	Max-mean	Max-median	BHPF	本发明的方法
					SCR Gain	3.8596	4.5199	4.6389	8.4130
BSF	8.1219	8.6468	8.8528	21.7679

表1为用各种算法进行红外弱小目标检测试验得到的的信杂比和信杂比增益的结果，可以明显地看出本发明的算法要优于其他几种方法。

以上所述仅为本发明的一个实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种基于空时偏微分方程的弱小目标检测方法，其特征在于：所述方法是通过利用空时偏微分方程进行背景预测，包括如下步骤：

步骤1：读取图像序列I_n,n∈[1,N]，其中，n为图像序列的帧号，N为图像序列的总帧数，将每连续的三帧图像组合在一起视为一个三维图像，每个像素点的坐标为(x,y,z)(x,y表示图像像素空间位置，z表示时间维上的位置)，对红外弱小目标场景图像模型进行建模为

I_n(x,y,z)＝B_n(x,y,z)+T_n(x,y,z)+N_n(x,y,z)      (1)

I_n表示红外图像序列中的第n帧图像；B_n和T_n分别表示相应背景图像和目标信号；N_n表示图像的噪声；背景预测就是根据原图对背景图像进行估计，估计值用表示，

$\stackrel{\‾}{B}(x,y,z)=H(I(x,y,z),\mathrm{\η}(x,y,z))---\left(2\right)$

其中H表示预测算法，η(x,y,z)表示像素(x,y,z)的一个特定邻域，为背景预测结果；

步骤2：构建用于背景预测的空时偏微分方程模型；假设背景预测用表示，则

$\stackrel{\‾}{B}(x,y,z)=u^k(x,y,z)---\left(3\right)$

其中，u^k(x,y,z)表示由原图像I(x,y,z)进行迭代预测的最终结果，k为迭代次数，根据式(1)，构建偏微分方程的能量函数为

$E\left(f\right)=\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫}|\▿u|\mathrm{d\Ω}+\frac{w}{2}\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫}{(I-u)}^2\mathrm{d\Ω}---\left(4\right)$

其中，w为一个正参数，u_x,u_y,u_z分别是在x、y和z方向上的一阶导数；

步骤3：根据变分原理，最小化式(4)的能量函数可通过求解Euler-Lagrange公式：

$\frac{\mathrm{dF}}{\mathrm{du}}-\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{d{u}_x}\right)-\frac{d}{\mathrm{dy}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{d{u}_y}\right)-\frac{d}{\mathrm{dz}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{d{u}_z}\right)=0---\left(5\right)$

其中，F＝F(x,y,z,u,u_x,u_y,u_z)，u_xx，u_yy，u_zz分别为二阶偏导数，u_xy，u_xz，u_yz分别为混合二阶偏导，可求得模型的解为：

$u^k=u^{k-1}+\mathrm{\Δt}[\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{d{u}_x}\right)-\frac{d}{\mathrm{dy}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{d{u}_y}\right)-\frac{d}{\mathrm{dz}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{d{u}_z}\right)-\frac{\mathrm{dF}}{\mathrm{du}}]---\left(6\right)$

即认为u^k为估计的背景

步骤4：通过差分将估计的背景从原始图像序列I中消除，得到残差图像，即

$f=I-\stackrel{\‾}{B}---\left(7\right)$

残差图像f中通常包含残差背景、目标及噪声。

2.根据权利要求1所述的一种基于空时偏微分方程的弱小目标检测方法，其特征在于：所述方法的大部分背景能量被减去，残差图像中的目标与背景的相对差值和信杂比将增强。

3.根据权利要求1所述的一种基于空时偏微分方程的弱小目标检测方法，其特征在于：所述方法应用于红外弱小目标检测。

4.根据权利要求1所述的一种基于空时偏微分方程的弱小目标检测方法，其特征在于，所述方法包括：根据读取图像序列I_n,n∈[1,N]，其中，n为图像序列的帧号，N为图像序列的总帧数；所述方法将每连续的三帧图像组合在一起视为一个三维图像，每个像素点的坐标为(x,y,z)(x,y表示图像像素空间位置，z表示时间维上的位置)；所述方法对红外弱小目标场景图像模型进行建模为：

I_n(x,y,z)＝B_n(x,y,z)+T_n(x,y,z)+N_n(x,y,z)      (8)

I_n表示红外图像序列中的第n帧图像；B_n和T_n分别表示相应背景图像和目标信号；N_n表示图像的噪声，背景预测就是根据原图对背景图像进行估计，估计值用表示，

$\stackrel{\‾}{B}(x,y,z)=H(I(x,y,z),\mathrm{\η}(x,y,z))---\left(9\right)$

其中H表示预测算法，η(x,y,z)表示像素(x,y,z)的一个特定邻域，为背景预测结果；

假设背景预测用表示:

$\stackrel{\‾}{B}(x,y,z)=u^k(x,y,z)---\left(10\right)$

其中，u^k(x,y,z)表示由原图像I(x,y,z)进行迭代预测的最终结果，k为迭代次数，根据式(8)，构建用于背景预测的空时偏微分方程模型为

$E\left(f\right)=\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫}|\▿u|\mathrm{d\Ω}+\frac{w}{2}\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫}{(I-u)}^2\mathrm{d\Ω}---\left(11\right)$

其中，w为一个正参数，u_x,u_y,u_z分别是在x、y和z方向上的一阶导数；

根据变分原理，最小化式(11)的能量函数可通过求解Euler-Lagrange公式：

$\frac{\mathrm{dF}}{\mathrm{du}}-\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{d{u}_x}\right)-\frac{d}{\mathrm{dy}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{d{u}_y}\right)-\frac{d}{\mathrm{dz}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{d{u}_z}\right)=0---\left(12\right)$

其中，F＝F(x,y,z,u,u_x,u_y,u_z)，u_xx，u_yy，u_zz分别为二阶偏导数，u_xy，u_xz，u_yz分别为混合二阶偏导，可求得模型的解为：

$u^k=u^{k-1}+\mathrm{\Δt}[\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{d{u}_x}\right)-\frac{d}{\mathrm{dy}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{d{u}_y}\right)-\frac{d}{\mathrm{dz}}\left(\frac{\mathrm{dF}}{d{u}_z}\right)-\frac{\mathrm{dF}}{\mathrm{du}}]---\left(13\right)$

即认为u^k为估计的背景