CN104503241A - 卫星姿态控制系统的转动惯量确定方法 - Google Patents

Abstract

卫星姿态控制系统的转动惯量确定方法，涉及卫星控制技术领域。本发明方法为了确定卫星姿态控制系统中转动惯量的精确变化范围。技术要点：首先建立包含不确性的卫星姿态控制系统模型，再制定相应的约束指标，求取合适的H _∞ 状态反馈控制器，最后将上述闭环系统中的不确定性表示为多项式矩阵胞的形式，并用线性矩阵不等式的方法求解出转动惯量不确定性的变化范围。本发明运用多项式矩阵胞的稳定性条件判断出在状态反馈情况下卫星转动惯量的变化范围。本发明在控制器设计阶段考虑了不确定性，并将不确定性对输出的影响作为控制指标，并将闭环系统中的不确定性用多项式矩阵胞的形式表示。

Description

卫星姿态控制系统的转动惯量确定方法

技术领域

本发明涉及卫星姿态控制系统的转动惯量确定方法，涉及卫星控制技术领域。

背景技术

在轨运行的卫星不可避免地存在转动惯量的不确定，卫星转动惯量的测量会不可避免地产生误差，在轨运行时向阳面和背阳面环境温度影响，也会引起转动惯量变化，所以分析卫星转动惯量的不确定性对卫星在轨稳定运行和机动有着非常重要的意义。而目前针对卫星转动惯量不确定性的分析多停留在仿真验证阶段，针对给定的转动惯量拉偏范围，在控制器设计阶段不考虑不确定性，在控制器设计完成后，通过仿真的方法来验证所设计的控制器是否能够在该范围内稳定，进而调整控制器结构，缺乏严谨的理论依据，并且不能够计算出闭环系统转动惯量精度的变化范围。基于以上问题，提供一种有理论依据的分析卫星转动惯量不确定性的方法是非常有意义的。卫星姿态控制系统中，很大部分方法是通过仿真确定转动惯量拉偏的范围，缺乏理论上的指导，现有技术中没有给出分析转动惯量拉偏的方法。

发明内容

本发明的目的是提出一种卫星姿态控制系统的转动惯量确定方法，以确定卫星姿态控制系统中转动惯量的精确变化范围。

本发明为解决上述技术问题采取的技术方案是：

一种卫星姿态控制系统的转动惯量确定方法，所述方法是基于多项式矩阵胞的卫星姿态控制系统的鲁棒稳定性分析来实现的：把卫星姿态控制系统(闭环系统)中的转动惯量不确定性表示为多项式矩阵胞的形式，然后运用鲁棒稳定性分析的方法确定出转动惯量的变化范围。

所述基于多项式矩阵胞的卫星姿态控制系统的鲁棒稳定性分析的具体过程为：

步骤一、考虑卫星的转动惯量不确定性，并把不确定性项当做干扰来处理，建立包含不确定性的卫星姿态控制系统的状态空间表达为：

$\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+B_{w}w\left(t\right)+B_{u}u\left(t\right)$

z(t)＝C₁x(t)+D_zww(t)+D_zuu(t)

y(t)＝C₂x(t)

其中x(t)是卫星姿态角速度和卫星姿态角，w(t)是外界干扰、量测噪声和转动惯量不确定性组成的向量，u(t)是执行机构输出控制力矩，z(t)为H _∞ 控制指标，是与系统输出相关的向量，y(t)为系统输出向量；A,B_w,B_u,C₁,D_zw,D_zu,C₂是参数矩阵(A,B_w,B_u,C₁,D_zw,D_zu,C₂体现了适当维数的矩阵，表示系数矩阵，是常量)；

步骤二、针对步骤一建立的状态空间表达，设计如下所示的状态反馈控制器，控制器具体结构如下：

u(t)＝K₁x(t)

其中K₁为所要求解的定常控制器参数；

步骤三，求解步骤二中的定常控制器参数：首先运用有界实引理来满足H _∞ 范数的约束，另外考虑到卫星控制力矩满足如下约束：

$u{\left(t\right)}^{T}u\left(t\right)<u_{\max }^2$

将该不等式约束转化为线性矩阵不等式的形式并结合有界实引理求解出步骤二中的控制器参数K₁；

基于以上所述，对于γ_∞>0，若存在对称正定矩阵X∈R^2n×2n，P∈R^2n×2n，矩阵Y∈R^n×2n使如下线性矩阵不等式组有可行解，则可求出控制器参数K₁；

$\left[\begin{array}{ccc}(\mathrm{AX}+{\mathrm{XA}}^T)+(B_2{\mathrm{\&Sigma;}}_{a}Y+Y^T{\mathrm{\&Sigma;}}_a^T{B}_2^T)& B_w& {\mathrm{XC}}_1^T+Y^T{\left(D_{12}{\mathrm{\&Sigma;}}_a\right)}^T\\ *& -I& {D_{\mathrm{zw}}}^T\\ *& *& {{-\mathrm{\&gamma;}}_{\&infin;}}^{2}I\end{array}\right]<0$

$\left[\begin{array}{ccc}{-u}_{\max }^{2}I& -Y& 0\\ *& -\mathrm{\&delta;I}& N\\ *& *& -\mathrm{\&epsiv;P}\end{array}\right]<0$

其中u_max为执行机构所能够输出的最大控制力矩，δ,ε为恰当的无穷小标量；γ_∞>0为恰当的H _∞ 范数指标的大小；X,P为正定矩阵，Y为普通矩阵；

步骤四、将卫星姿态控制系统的微分方程和步骤二中状态反馈控制器组成的闭环系统，求出其零输入相应时的特征矩阵多项式如下：

$A_2\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}+A_1\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}+A_0\mathrm{\&alpha;}=K_P\mathrm{\&alpha;}+K_D\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}$

其中A₂,A₁,A₀为卫星姿态控制系统的微分方程系数，表达式如下

$A_0={\mathrm{\&omega;}}_0^2\left[\begin{array}{ccc}4(I_2-I_3)& & \\ & 3(I_1-I_3)& \\ & & I_2-I_1\end{array}\right],$

$A_1={\mathrm{\&omega;}}_0\left[\begin{array}{ccc}& & {-I}_1+I_2-I_3\\ & 0& \\ I_1-I_2+I_3& & \end{array}\right]A_2=\left[\begin{array}{ccc}{I}_1& & \\ & I_2& \\ & & I_3\end{array}\right],$

I₁,I₂,I₃为卫星三轴的转动惯量，ω₀为卫星轨道角速度，[K_p K_d]＝K₁为状态反馈控制器参数， $x={\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\&alpha;}& \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}\end{array}\right]}^T$ 且α为姿态角，为姿态角速度；

步骤五、将步骤四所建立的闭环系统矩阵特征多项式表示为如下多项式矩阵胞的形式：

$\begin{array}{cc}D(s,\mathrm{\&lambda;})={\mathrm{\&lambda;}}_1{V}_1\left(s\right)+{\mathrm{\&lambda;}}_2{V}_2\left(s\right)+...+{\mathrm{\&lambda;}}_8{V}_8\left(s\right)& \underset{i=1}{\overset{8}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&lambda;}}_i=1\end{array}$

定义f(I₁,I₂,I₃)＝A₂s²+(A₁-K_d)s+A₀-K_p

其其：

V₁(s)＝f(I_1min,I_2min,I_3min)

V₂(s)＝f(I_1min，I_2min,I_3max)

V₃(s)＝f(I_1max,I_2min,I_3min)

V₄(s)＝f(I_1max,I_2min,I_3max)

V₅(s)＝f(I_1min,I_2max,I_3min)

V₆(s)＝f(I_1min,I_2max,I_3max)

V₇(s)＝f(I_1min,I_2max,I_3min)

V₈(s)＝f(I_1max,I_2max,I_3max)

${\mathrm{\&lambda;}}_1\left(s\right)=\frac{(I_{3\max }-I_3)(I_{1\max }-I_1)(I_{2\max }-I_2)}{(I_{2\max }-I_{2\min })(I_{1\max }-I_{1\min })(I_{3\max }-I_{3\min })}$

${\mathrm{\&lambda;}}_2\left(s\right)=\frac{(I_3-I_{3\min })(I_{1\max }-I_1)(I_{2\max }-I_2)}{(I_{2\max }-I_{2\min })(I_{1\max }-I_{1\min })(I_{3\max }-I_{3\min })}$

${\mathrm{\&lambda;}}_3\left(s\right)=\frac{(I_{3\max }-I_3)(I_1-I_{1\min })(I_{2\max }-I_2)}{(I_{2\max }-I_{2\min })(I_{1\max }-I_{1\min })(I_{3\max }-I_{3\min })}$

${\mathrm{\&lambda;}}_4\left(s\right)=\frac{(I_3-I_{3\min })(d_1-I_{1\min })(I_{2\max }-I_2)}{(I_{2\max }-I_{2\min })(I_{1\max }-I_{1\min })(I_{3\max }-I_{3\min })}$

${\mathrm{\&lambda;}}_5\left(s\right)=\frac{(I_{3\max }-I_3)(I_{1\max }-I_1)(I_2-I_{2\min })}{(I_{2\max }-I_{2\min })(I_{1\max }-I_{1\min })(I_{3\max }-I_{3\min })}$

${\mathrm{\&lambda;}}_6\left(s\right)=\frac{(I_3-I_{3\min })(I_{1\max }-I_1)(I_2-I_{2\min })}{(I_{2\max }-I_{2\min })(I_{1\max }-I_{1\min })(I_{3\max }-I_{3\min })}$

${\mathrm{\&lambda;}}_7\left(s\right)=\frac{(I_{3\max }-I_3)(I_1-I_{1\min })(I_2-I_{2\min })}{(I_{2\max }-I_{2\min })(I_{1\max }-I_{1\min })(I_{3\max }-I_{3\min })}$

${\mathrm{\&lambda;}}_8\left(s\right)=\frac{(I_3-I_{3\min })(I_1-I_{1\min })(I_2-I_{2\min })}{(I_{2\max }-I_{2\min })(I_{1\max }-I_{1\min })(I_{3\max }-I_{3\min })}$

其中I_i∈(I_imin,I_imax),(i＝1,2,3)；I_imin为I_i的最小值，I_imax为I_i的最大值；λ_i(s)为多项式矩阵胞的顶点多项式的系数，V_i(s)为多项式矩阵胞的顶点多项式；

步骤六、针对步骤五所建立的多项式矩阵胞进行鲁棒稳定性分析：如果满足以条件，则步骤五中的多项式矩阵胞在多个复合D区域内稳定；并可以通过判断如下线性矩阵不等式是否有解得到转动惯量的变化范围，判定方法如下所示：

步骤六(一)、D区域为复平面区域时，若多项式矩阵胞在如下D_I＝D₁∩D₂区域是鲁棒稳定的，如果满足如下条件

(1)在区域D₁内，存在N个正定矩阵i＝1,…,N和使如下LMIs有可行解

${\left[\begin{array}{c}{R}_{\mathrm{RI}}\\ V_{\mathrm{iRI}}\end{array}\right]}^{*}\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Xi;}}_{1i}& Q_1\\ Q_1^{*}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{R}_{\mathrm{RI}}\\ V_{\mathrm{iRI}}\end{array}\right]<0;$

(2)在区域D₂内，存在N个正定矩阵i＝1,…,N和使如下LMIs有可行解

${\left[\begin{array}{c}{R}_{\mathrm{RI}}\\ V_{\mathrm{iRI}}\end{array}\right]}^{*}\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Xi;}}_{2i}& Q_2\\ Q_2^{*}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{R}_{\mathrm{RI}}\\ V_{\mathrm{iRI}}\end{array}\right]<0;$

步骤六(二)、D区域为实数平面区域时，多项式矩阵胞在如下D_I＝D₁∩D₂区域是鲁棒稳定的，如果满足如下条件：

(1)在区域D₁内，存在N个正定矩阵i＝1,…,N和使如下LMIs有可行解

${\left[\begin{array}{c}R\\ V_i\end{array}\right]}^{*}\left[\begin{array}{cc}B\&CircleTimes;P_{1i}& Q_1\\ Q_1^{*}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}R\\ V_i\end{array}\right]<0;$

(2)在区域D₂内，存在N个正定矩阵i＝1,…,N和使如下LMIs有可行解

${\left[\begin{array}{c}R\\ V_i\end{array}\right]}^{*}\left[\begin{array}{cc}B\&CircleTimes;P_{2i}& Q_2\\ Q_2^{*}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}R\\ V_i\end{array}\right]<0;$

其中，

${\mathrm{\&Xi;}}_{1i}=B_{\mathrm{RI}}\&CircleTimes;\mathrm{Re}\left(P_{1i}\right)+B_{\mathrm{IP}}\&CircleTimes;\mathrm{Im}\left(P_{1i}\right)(i=\mathrm{1,2},...,n)$

${\mathrm{\&Xi;}}_{2i}=B_{\mathrm{RI}}\&CircleTimes;\mathrm{Re}\left(P_{2i}\right)+B_{\mathrm{IP}}\&CircleTimes;\mathrm{Im}\left(P_{2i}\right)(i=\mathrm{1,2},...,n)$

Im(*)为矩阵的实部，Re(*)为矩阵的虚部；V_i＝[V_i ⁰，V_i ¹，…，V_i ^d]为矩阵多项式的系数；

$N_{V_i\mathrm{RI}}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(N_{V_i}\right)& \mathrm{Im}\left(N_{V_i}\right)\\ \mathrm{Im}\left(N_{V_i}\right)& \mathrm{Re}\left(N_{V_i}\right)\end{array}\right],R_{\mathrm{RI}}=\left[\begin{array}{cc}R& 0\\ 0& R\end{array}\right]V_{\mathrm{iRI}}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(V_i\right)& \mathrm{Im}\left(V_i\right)\\ \mathrm{Im}\left(V_i\right)& \mathrm{Re}\left(V_i\right)\end{array}\right],$

$R=\left[\begin{array}{cc}{I}_{\mathrm{dn}}& 0_{\mathrm{dn},n}\\ 0_{\mathrm{dn},n}& I_{\mathrm{dn}}\end{array}\right],B_{\mathrm{RI}}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(B\right)& \mathrm{Im}\left(B\right)\\ -\mathrm{Im}\left(B\right)& \mathrm{Re}\left(B\right)\end{array}\right],B_{\mathrm{IR}}=\left[\begin{array}{cc}-\mathrm{Im}\left(B\right)& \mathrm{Re}\left(B\right)\\ -\mathrm{Re}\left(B\right)& -\mathrm{Im}\left(B\right)\end{array}\right].$

步骤七、根据求解出的转动惯量的变化范围，将其带入卫星姿态控制系统的仿真模型中证明本发明方法的有效性。

在步骤七中，所述变化范围用变化率来表示，变化率＝转动惯量变化量/转动惯量初始值，转动惯量数值变化后比初始值小则变化率取负，反之取正，无变化时则为0，具体为－0.645～0.645。

本发明的有益效果是：

本发明方法基于多项式矩阵胞的卫星姿态控制系统的鲁棒稳定性进行分析，其创新之处在于在控制器设计阶段考虑了不确定性，并将不确定性对输出的影响作为控制指标，并将闭环系统中的不确定性用多项式矩阵胞的形式表示。

本方法运用的基于多项式矩阵胞的卫星转动惯量不确定性分析方式把卫星姿态控制系统出现的转动惯量不确定性用多项式矩阵胞的方法来表示，运用多项式矩阵胞的稳定性条件判断出在状态反馈情况下卫星转动惯量的变化范围。该方法在考虑卫星转动惯量不确定性的情况下，运用H₂/H _∞ 控制理论求解出使系统具有鲁棒性的状态反馈控制器。针对上述包含转动惯量不确定性的被控系统和状态反馈控制器组成的闭环系统，运用多项式矩阵胞表示转动惯量的不确定性，通过分析多项式矩阵胞的稳定性判断出闭环系统在H₂/H _∞ 状态反馈情况下转动惯量的变化范围。基于多项式矩阵胞的卫星姿态控制系统的鲁棒稳定性分析方法，首先建立包含不确定性的卫星姿态控制系统模型，再制定相应的约束指标，求取合适的H _∞ 状态反馈控制器，最后将上述闭环系统中的不确定性表示为多项式矩阵胞的形式，并用线性矩阵不等式的方法求解出转动惯量不确定性的变化范围。

基于多项式矩阵胞的卫星姿态控制系统的鲁棒稳定性分析方法可以有效地计算出在状态反馈情况下转动惯量的精确变化范围。通过H _∞ 的方法，计算出具有鲁棒性的控制器，通过将闭环系统的不确定性表示为多项式矩阵胞的形式，把无限的稳定性检验问题，转化为求解若干个线性矩阵不等式问题。通过理论分析的方法计算出转动惯量的精确变化范围，在实际工程中有较大的应用价值。

附图说明

图1～3给出了转动惯量变化为0.645时基于状态反馈的卫星姿态控制系统仿真结果图：图1为姿态角速度随时间变化的曲线图、图2为姿态角随时间变化的曲线图、图3为控制力矩随时间变化的曲线图。

具体实施方式

步骤一、考虑卫星的转动惯量不确定性，并把不确定性项当做干扰来处理，建立包含不确定性的卫星姿态控制系统的状态空间表达为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+B_{w}w\left(t\right)+B_{u}u\left(t\right)$

z(t)＝C₁x(t)+D_zww(t)+D_zuu(t)

y(t)＝C₂x(t)

其中x(t)是卫星姿态角速度和卫星姿态角，w(t)是外界干扰、量测噪声和转动惯量不确定性组成的向量，u(t)是执行机构输出控制力矩，z(t)为H _∞ 控制指标，是与系统输出相关的向量，y(t)为系统输出向量。A,B_w,B_w,C₁,D_zw,D_zu,C₂是参数矩阵。

步骤二、针对步骤1建立的状态空间表达，设计如下所示的状态反馈控制器，控制器具体结构如下：

u(t)＝K₁x(t)

其中K₁为所要求解的定常控制器参数。

步骤三，求解步骤二中的定常控制器参数。首先运用有界实引理来满足H _∞ 范数的越是，另外考虑到卫星控制力矩满足如下约束

$u{\left(t\right)}^{T}u\left(t\right)<u_{\max }^2$

将该不等式约束转化为线性矩阵不等式的形式并结合有界实引理求解出步骤二中的控制器参数K₁。综上，对于γ_∞>0，若存在对称正定矩阵X∈R^2n×2n，P∈R^2n×2n矩阵Y∈R^n×2n使如下线性矩阵不等式组有可行解，则可求出控制器参数K₁。

$\left[\begin{array}{ccc}(\mathrm{AX}+{\mathrm{XA}}^T)+(B_2{\mathrm{\&Sigma;}}_{a}Y+Y^T{\mathrm{\&Sigma;}}_a^T{B}_2^T)& B_w& {\mathrm{XC}}_1^T+Y^T{\left(D_{12}{\mathrm{\&Sigma;}}_a\right)}^T\\ *& -I& {D_{\mathrm{zw}}}^T\\ *& *& {{-\mathrm{\&gamma;}}_{\&infin;}}^{2}I\end{array}\right]<0$

$\left[\begin{array}{ccc}{-u}_{\max }^{2}I& -Y& 0\\ *& -\mathrm{\&delta;I}& N\\ *& *& -\mathrm{\&epsiv;P}\end{array}\right]<0$

其中u_max为执行机构所能够输出的最大控制力矩，δ,ε为恰当的无穷小标量。γ_∞>0为恰当的H _∞ 范数指标的大小。

步骤四、将卫星姿态控制系统的微分方程和步骤二中状态反馈控制器组成的闭环系统，求出其零输入相应时的特征矩阵多项式如下

$A_2\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}+A_1\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}+A_0\mathrm{\&alpha;}=K_P\mathrm{\&alpha;}+K_D\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}$

其中A₂,A₁,A₀为卫星姿态控制系统的微分方程系数，表达式如下

$A_0={\mathrm{\&omega;}}_0^2\left[\begin{array}{ccc}4(I_2-I_3)& & \\ & 3(I_1-I_3)& \\ & & I_2-I_1\end{array}\right],$

$A_1={\mathrm{\&omega;}}_0\left[\begin{array}{ccc}& & {-I}_1+I_2-I_3\\ & 0& \\ I_1-I_2+I_3& & \end{array}\right]A_2=\left[\begin{array}{ccc}{I}_1& & \\ & I_2& \\ & & I_3\end{array}\right]$

I₁,I₂,I₃为卫星三轴的转动惯量，ω₀为卫星轨道角速度，[K_p K_d]＝K₁为状态反馈控制器参数， $x={\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\&alpha;}& \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}\end{array}\right]}^T$ 且α为姿态角，为姿态角速度。

步骤五、将步骤四所建立的闭环系统矩阵特征多项式表示为如下多项式矩阵胞的形式。

$\begin{array}{cc}D(s,\mathrm{\&lambda;})={\mathrm{\&lambda;}}_1{V}_1\left(s\right)+{\mathrm{\&lambda;}}_2{V}_2\left(s\right)+...+{\mathrm{\&lambda;}}_8{V}_8\left(s\right)& \underset{i=1}{\overset{8}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&lambda;}}_i=1\end{array}$

定义f(I₁,I₂,I₃)＝A₂s²+(A₁-K_d)s+A₀-K_p

其其

V₁(s)＝f(I_1min,I_2min,I_3min)

V₂(s)＝f(I_1min,I_2min,I_3max)

V₃(s)＝f(I_1max,I_2min,I_3min)

V₄(s)＝f(I_1max,I_2min,I_3max)

V₅(s)＝f(I_1min,I_2max,I_3min)

V₆(s)＝f(I_1min,I_2max,I_3max)

V₇(s)＝f(I_1min,I_2max,I_3min)

V₈(s)＝f(I_1max,I_2max,I_3max)

${\mathrm{\&lambda;}}_1\left(s\right)=\frac{(I_{3\max }-I_3)(I_{1\max }-I_1)(I_{2\max }-I_2)}{(I_{2\max }-I_{2\min })(I_{1\max }-I_{1\min })(I_{3\max }-I_{3\min })}$

${\mathrm{\&lambda;}}_2\left(s\right)=\frac{(I_3-I_{3\min })(I_{1\max }-I_1)(I_{2\max }-I_2)}{(I_{2\max }-I_{2\min })(I_{1\max }-I_{1\min })(I_{3\max }-I_{3\min })}$

${\mathrm{\&lambda;}}_3\left(s\right)=\frac{(I_{3\max }-I_3)(I_1-I_{1\min })(I_{2\max }-I_2)}{(I_{2\max }-I_{2\min })(I_{1\max }-I_{1\min })(I_{3\max }-I_{3\min })}$

${\mathrm{\&lambda;}}_4\left(s\right)=\frac{(I_3-I_{3\min })(d_1-I_{1\min })(I_{2\max }-I_2)}{(I_{2\max }-I_{2\min })(I_{1\max }-I_{1\min })(I_{3\max }-I_{3\min })}$

${\mathrm{\&lambda;}}_5\left(s\right)=\frac{(I_{3\max }-I_3)(I_{1\max }-I_1)(I_2-I_{2\min })}{(I_{2\max }-I_{2\min })(I_{1\max }-I_{1\min })(I_{3\max }-I_{3\min })}$

${\mathrm{\&lambda;}}_6\left(s\right)=\frac{(I_3-I_{3\min })(I_{1\max }-I_1)(I_2-I_{2\min })}{(I_{2\max }-I_{2\min })(I_{1\max }-I_{1\min })(I_{3\max }-I_{3\min })}$

${\mathrm{\&lambda;}}_7\left(s\right)=\frac{(I_{3\max }-I_3)(I_1-I_{1\min })(I_2-I_{2\min })}{(I_{2\max }-I_{2\min })(I_{1\max }-I_{1\min })(I_{3\max }-I_{3\min })}$

${\mathrm{\&lambda;}}_8\left(s\right)=\frac{(I_3-I_{3\min })(I_1-I_{1\min })(I_2-I_{2\min })}{(I_{2\max }-I_{2\min })(I_{1\max }-I_{1\min })(I_{3\max }-I_{3\min })}$

其中I_i∈(I_imin,I_imax),(i＝1,2,3)。I_imin为I_i的最小值，I_imax为I_i的最大值。

步骤六、针对步骤五所建立的多项式矩阵胞，进行鲁棒稳定性分析。如果满足以条件，则步骤五中的多项式矩阵胞在多个复合D区域内稳定。并可以通过判断如下线性矩阵不等式是否有解得到转动惯量的变化范围。判定方法如下所示：

步骤六(一)、D区域为复平面区域时，若多项式矩阵胞在如下D_I＝D₁∩D₂区域是鲁棒稳定的，如果满足如下条件

(1)在区域D₁内，存在N个正定矩阵i＝1,…,N和使如下LMIs有可行解

${\left[\begin{array}{c}{R}_{\mathrm{RI}}\\ V_{\mathrm{iRI}}\end{array}\right]}^{*}\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Xi;}}_{1i}& Q_1\\ Q_1^{*}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{R}_{\mathrm{RI}}\\ V_{\mathrm{iRI}}\end{array}\right]<0$

(2)在区域D₂内，存在N个正定矩阵i＝1,,N和使如下LMIs有可行解

${\left[\begin{array}{c}{R}_{\mathrm{RI}}\\ V_{\mathrm{iRI}}\end{array}\right]}^{*}\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Xi;}}_{2i}& Q_2\\ Q_2^{*}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{R}_{\mathrm{RI}}\\ V_{\mathrm{iRI}}\end{array}\right]<0$

步骤六(二)、D区域为实数平面区域时，多项式矩阵胞在如下D_I＝D₁∩D₂区域是鲁棒稳定的，如果满足如下条件

(1)在区域D₁内，存在N个正定矩阵i＝1,,N和使如下LMIs有可行解

${\left[\begin{array}{c}R\\ V_i\end{array}\right]}^{*}\left[\begin{array}{cc}B\&CircleTimes;P_{1i}& Q_1\\ Q_1^{*}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}R\\ V_i\end{array}\right]<0$

(2)在区域D₂内，存在N个正定矩阵i＝1,…,N和使如下LMIs有可行解

${\left[\begin{array}{c}R\\ V_i\end{array}\right]}^{*}\left[\begin{array}{cc}B\&CircleTimes;P_{2i}& Q_2\\ Q_2^{*}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}R\\ V_i\end{array}\right]<0$

其中，Im(*)为矩阵的实部，Re(*)为矩阵的虚部。V_i＝[V_i ⁰,V_i ¹,…,V_i ^d]为矩阵多项式的系数。

$N_{V_i\mathrm{RI}}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(N_{V_i}\right)& \mathrm{Im}\left(N_{V_i}\right)\\ \mathrm{Im}\left(N_{V_i}\right)& \mathrm{Re}\left(N_{V_i}\right)\end{array}\right],R_{\mathrm{RI}}=\left[\begin{array}{cc}R& 0\\ 0& R\end{array}\right]V_{\mathrm{iRI}}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(V_i\right)& \mathrm{Im}\left(V_i\right)\\ \mathrm{Im}\left(V_i\right)& \mathrm{Re}\left(V_i\right)\end{array}\right],$

$R=\left[\begin{array}{cc}{I}_{\mathrm{dn}}& 0_{\mathrm{dn},n}\\ 0_{\mathrm{dn},n}& I_{\mathrm{dn}}\end{array}\right],B_{\mathrm{RI}}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(B\right)& \mathrm{Im}\left(B\right)\\ -\mathrm{Im}\left(B\right)& \mathrm{Re}\left(B\right)\end{array}\right],B_{\mathrm{IR}}=\left[\begin{array}{cc}-\mathrm{Im}\left(B\right)& \mathrm{Re}\left(B\right)\\ -\mathrm{Re}\left(B\right)& -\mathrm{Im}\left(B\right)\end{array}\right].$

步骤七、根据求解出的转动惯量的变化范围，将其带入卫星姿态控制系统的仿真模型中证明本发明的有效性。

上述技术方案中，没有给出实际物理含义的参数为中间变量，是数学手段，属于公知常识范畴。

本发明方法的仿真实验：

选取转动惯量变化为0.645的临界值进行仿真。图1～3给出了基于状态反馈的卫星姿态控制系统仿真结果图，图1～3说明了卫星姿态控制系统的姿态角速度和姿态角调整时间达到了42s，姿态角的超调量达到了0.48°，执行机构输出控制力矩未饱和，虽然此时依然能够使控制系统达到稳定，但是与转动惯量无变化相比，控制系统的动态性能较差。可以得出上述控制器具有很强的鲁棒性，在被控对象参数发生较大变化时依然能够使控制系统稳定。通过仿真发现当转动惯量拉偏量继续增大时，步骤六中的线性矩阵不等式便不再有可行解，仿真曲线开始发散，由此可以得到此时转动惯量变化率为0.645。通过运用上述多项式矩阵胞的方法能够确定出被控对象不确定参数的变化范围为－0.645～0.645，仿真实验也验证了运用多项式矩阵胞的方法确定转动惯量不确定参数变化范围的有效性。

Claims (3)

1.一种卫星姿态控制系统的转动惯量确定方法，其特征在于，所述方法是基于多项式矩阵胞的卫星姿态控制系统的鲁棒稳定性分析来实现的：把卫星姿态控制系统中的转动惯量不确定性表示为多项式矩阵胞的形式，然后运用鲁棒稳定性分析的方法确定出转动惯量的变化范围。

2.根据权利要求1所述的一种卫星姿态控制系统的转动惯量确定方法，其特征在于：所述基于多项式矩阵胞的卫星姿态控制系统的鲁棒稳定性分析的具体过程为：

步骤一、考虑卫星的转动惯量不确定性，并把不确定性项当做干扰来处理，建立包含不确定性的卫星姿态控制系统的状态空间表达为：

$\stackrel{.}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+B_{w}w\left(t\right)+B_{u}u\left(t\right)$

z(t)＝C₁x(t)+D_zww(t)+D_zuu(t)

y(t)＝C₂x(t)

其中x(t)是卫星姿态角速度和卫星姿态角，w(t)是外界干扰、量测噪声和转动惯量不确定性组成的向量，u(t)是执行机构输出控制力矩，z(t)为H _∞ 控制指标，是与系统输出相关的向量，y(t)为系统输出向量；A,B_w,B_u,C₁,D_zw,D_zu,C₂是参数矩阵，为常量；

步骤二、针对步骤一建立的状态空间表达，设计如下所示的状态反馈控制器，控制器具体结构如下：

u(t)＝K₁x(t)，其中K₁为所要求解的定常控制器参数；

步骤三，求解步骤二中的定常控制器参数：首先运用有界实引理来满足H _∞ 范数的约束，另外考虑到卫星控制力矩满足如下约束：

将该不等式约束转化为线性矩阵不等式的形式并结合有界实引理求解出步骤二中的控制器参数K₁；

基于以上所述，对于γ_∞>0，若存在对称正定矩阵X∈R^2n×2n，P∈R^2n×2n，矩阵Y∈R^n×2n使如下线性矩阵不等式组有可行解，则可求出控制器参数K₁；

$\left[\begin{array}{ccc}(\mathrm{AX}+{\mathrm{XA}}^T)+(B_2{\mathrm{\&Sigma;}}_{a}Y+Y^T{\mathrm{\&Sigma;}}_a^T{B}_2^T)& B_w& {\mathrm{XC}}_1^T+Y^T{\left(D_{12}{\mathrm{\&Sigma;}}_a\right)}^T\\ *& -I& {D_{\mathrm{zw}}}^T\\ *& *& -{{\mathrm{\&gamma;}}_{\&infin;}}^{2}I\end{array}\right]<0$

$\left[\begin{array}{ccc}{-u}_{\max }^{2}I& -Y& 0\\ *& -\mathrm{\&delta;I}& N\\ *& *& -\mathrm{\&epsiv;P}\end{array}\right]<0$

其中u_max为执行机构所能够输出的最大控制力矩，δ,ε为恰当的无穷小标量；γ_∞>0为恰当的H _∞ 范数指标的大小；X,P为正定矩阵，Y为普通矩阵；

步骤四、将卫星姿态控制系统的微分方程和步骤二中状态反馈控制器组成的闭环系统，求出其零输入相应时的特征矩阵多项式如下：

$A_2\stackrel{..}{\mathrm{\&alpha;}}+A_1\stackrel{.}{\mathrm{\&alpha;}}+A_0\mathrm{\&alpha;}=K_P\mathrm{\&alpha;}+K_D\stackrel{.}{\mathrm{\&alpha;}}$

其中A₂,A₁,A₀为卫星姿态控制系统的微分方程系数，表达式如下

$A_0={\mathrm{\&omega;}}_0^2\left[\begin{array}{ccc}4(I_2-I_3)& & \\ & 3(I_1-I_3)& \\ & & I_2-I_1\end{array}\right],$

$A_1={\mathrm{\&omega;}}_0\left[\begin{array}{ccc}& & -I_1+I_2-I_3\\ & 0& \\ I_1-I_2+I_3& & \end{array}\right]A_2=\left[\begin{array}{ccc}{I}_1& & \\ & I_2& \\ & & I_3\end{array}\right],$

I₁,I₂,I₃为卫星三轴的转动惯量，ω₀为卫星轨道角速度，[K_p K_d]＝K₁为状态反馈控制器参数， $x={\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\&alpha;}& \stackrel{.}{\mathrm{\&alpha;}}\end{array}\right]}^T$ 且α为姿态角，为姿态角速度；

步骤五、将步骤四所建立的闭环系统矩阵特征多项式表示为如下多项式矩阵胞的形式：

$\begin{array}{cc}D(s,\mathrm{\&lambda;})={\mathrm{\&lambda;}}_1{V}_1\left(s\right)+{\mathrm{\&lambda;}}_2{V}_2\left(s\right)+...+{\mathrm{\&lambda;}}_8{V}_8\left(s\right)& \underset{i=1}{\overset{8}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&lambda;}}_i=1\end{array}$

定义f(I₁,I₂,I₃)＝A₂s²+(A₁-K_d)s+A₀-K_p

其中：

V₁(s)＝f(I_1min,I_2min,I_3min)

V₂(s)＝f(I_1min,I_2min,I_3max)

V₃(s)＝f(I_1max,I_2min,I_3min)

V₄(s)＝f(I_1max,I_2min,I_3max)

V₅(s)＝f(I_1min,I_2max,I_3min)

V₆(s)＝f(I_1min,I_2max,I_3max)

V₇(s)＝f(I_1min,I_2max,I_3min)

V₈(s)＝f(I_1max,I_2max,I_3max)

${\mathrm{\&lambda;}}_1\left(s\right)=\frac{(I_{3\max }-I_3)(I_{1\max }-I_1)(I_{2\max }-I_2)}{(I_{2\max }-I_{2\min })(I_{1\max }-I_{1\min })(I_{3\max }-I_{3\min })}$

${\mathrm{\&lambda;}}_2\left(s\right)=\frac{(I_3-I_{3\min })(I_{1\max }-I_1)(I_{2\max }-I_2)}{(I_{2\max }-I_{2\min })(I_{1\max }-I_{1\min })(I_{3\max }-I_{3\min })}$

${\mathrm{\&lambda;}}_3\left(s\right)=\frac{(I_{3\max }-I_3)(I_1-I_{1\min })(I_{2\max }-I_2)}{(I_{2\max }-I_{2\min })(I_{1\max }-I_{1\min })(I_{3\max }-I_{3\min })}$

${\mathrm{\&lambda;}}_4\left(s\right)=\frac{(I_3-I_{3\min })(d_1-I_{1\min })(I_{2\max }-I_2)}{(I_{2\max }-I_{2\min })(I_{1\max }-I_{1\min })(I_{3\max }-I_{3\min })}$

${\mathrm{\&lambda;}}_5\left(s\right)=\frac{(I_{3\max }-I_3)(I_{1\max }-I_1)(I_2-I_{2\min })}{(I_{2\max }-I_{2\min })(I_{1\max }-I_{1\min })(I_{3\max }-I_{3\min })}$

${\mathrm{\&lambda;}}_6\left(s\right)=\frac{(I_3-I_{3\min })(I_{1\max }-I_1)(I_2-I_{2\min })}{(I_{2\max }-I_{2\min })(I_{1\max }-I_{1\min })(I_{3\max }-I_{3\min })}$

${\mathrm{\&lambda;}}_7\left(s\right)=\frac{(I_{3\max }-I_3)(I_1-I_{1\min })(I_2-I_{2\min })}{(I_{2\max }-I_{2\min })(I_{1\max }-I_{1\min })(I_{3\max }-I_{3\min })}$

${\mathrm{\&lambda;}}_8\left(s\right)=\frac{(I_3-I_{3\min })(I_1-I_{1\min })(I_2-I_{2\min })}{(I_{2\max }-I_{2\min })(I_{1\max }-I_{1\min })(I_{3\max }-I_{3\min })}$

其中I_i∈(I_imin,I_imax),(i＝1,2,3)；I_imin为I_i的最小值，I_imax为I_i的最大值；

λ_i(s)为多项式矩阵胞的顶点多项式的系数，V_i(s)为多项式矩阵胞的顶点多项式；

步骤六、针对步骤五所建立的多项式矩阵胞进行鲁棒稳定性分析：如果满足以条件，则步骤五中的多项式矩阵胞在多个复合D区域内稳定；并可以通过判断如下线性矩阵不等式是否有解得到转动惯量的变化范围，判定方法如下所示：

步骤六(一)、D区域为复平面区域时，若多项式矩阵胞在如下D_I＝D₁∩D₂区域是鲁棒稳定的，如果满足如下条件

(1)在区域D₁内，存在N个正定矩阵和使如下LMIs有可行解

${\left[\begin{array}{c}{R}_{\mathrm{RI}}\\ V_{\mathrm{iRI}}\end{array}\right]}^{*}\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Xi;}}_1& Q_1\\ Q_1^{*}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{R}_{\mathrm{RI}}\\ V_{\mathrm{iRI}}\end{array}\right]<0;$

(2)在区域D₂内，存在N个正定矩阵和使如下LMIs有可行解

${\left[\begin{array}{c}{R}_{\mathrm{RI}}\\ V_{\mathrm{iRI}}\end{array}\right]}^{*}\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Xi;}}_{2i}& Q_2\\ Q_2^{*}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{R}_{\mathrm{RI}}\\ V_{\mathrm{iRI}}\end{array}\right]<0;$

步骤六(二)、D区域为实数平面区域时，多项式矩阵胞在如下D_I＝D₁∩D₂区域是鲁棒稳定的，如果满足如下条件：

(1)在区域D₁内，存在N个正定矩阵和使如下LMIs有可行解

${\left[\begin{array}{c}R\\ V_i\end{array}\right]}^{*}\left[\begin{array}{cc}B\&CircleTimes;P_{\mathrm{li}}& Q_1\\ Q_1^{*}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}R\\ V_i\end{array}\right]<0;$

(2)在区域D₂内，存在N个正定矩阵和使如下LMIs有可行解

${\left[\begin{array}{c}R\\ V_i\end{array}\right]}^{*}\left[\begin{array}{cc}B\&CircleTimes;P_{2i}& Q_2\\ Q_2^{*}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}R\\ V_i\end{array}\right]<0;$

其中，

${\mathrm{\&Xi;}}_{1i}=B_{\mathrm{RI}}\&CircleTimes;\mathrm{Re}\left(P_{1i}\right)+B_{\mathrm{IP}}\&CircleTimes;\mathrm{Im}\left(P_{1i}\right)(i=\mathrm{1,2}...,n)$

${\mathrm{\&Xi;}}_{2i}=B_{\mathrm{RI}}\&CircleTimes;\mathrm{Re}\left(P_{2i}\right)+B_{\mathrm{IP}}\&CircleTimes;\mathrm{Im}\left(P_{2i}\right)(i=\mathrm{1,2}...,n)$

Im(*)为矩阵的实部，Re(*)为矩阵的虚部；为矩阵多项式的系数；

$N_{V_i\mathrm{RI}}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(N_{V_i}\right)& \mathrm{Im}\left(B_{V_i}\right)\\ \mathrm{Im}\left(N_{V_i}\right)& \mathrm{Re}\left(N_{V_i}\right)\end{array}\right],R_{\mathrm{RI}}=\left[\begin{array}{cc}R& 0\\ 0& R\end{array}\right]V_{\mathrm{iRI}}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(V_i\right)& \mathrm{Im}\left(V_i\right)\\ \mathrm{Im}\left(V_i\right)& \mathrm{Re}\left(V_i\right)\end{array}\right],$

$R=\left[\begin{array}{cc}{I}_{\mathrm{dn}}& 0_{\mathrm{dn},n}\\ 0_{\mathrm{dn},n}& I_{\mathrm{dn}}\end{array}\right],B_{\mathrm{RI}}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(B\right)& \mathrm{Im}\left(B\right)\\ -\mathrm{Im}\left(B\right)& \mathrm{Re}\left(B\right)\end{array}\right],B_{\mathrm{IR}}=\left[\begin{array}{cc}-\mathrm{Im}\left(B\right)& \mathrm{Re}\left(B\right)\\ -\mathrm{Re}\left(B\right)& -\mathrm{Im}\left(B\right)\end{array}\right].$

步骤七、根据求解出的转动惯量的变化范围，将其带入卫星姿态控制系统的仿真模型中证明本发明方法的有效性。

3.根据权利要求1所述的一种卫星姿态控制系统的转动惯量确定方法，其特征在于：在步骤七中，所述变化范围用变化率来表示，变化率＝转动惯量变化量/转动惯量初始值，转动惯量数值变化后比初始值小则变化率取负，反之取正，无变化时则为0，具体为－0.645～0.645。