CN104502071A - 一种宽谱光源光谱分布函数和自相关函数的测量与构造方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于白光干涉光学测量技术领域,具体涉及一种宽谱光源光谱分布函数和自相关函数的测量与构造方法。本发明包括：采用高精度光谱仪测得待测的宽谱光源的光谱分布曲线，并将光谱分布曲线的测试数据采集出来；将宽谱光源的光谱分布函数用N个高斯基函数的线性叠加表示，确定高斯基函数的中心波长，光谱强度系数和光谱分布参数；对宽谱光源的光谱分布函数进行傅里叶变换得到宽谱光源的自相关特性。通过本方法可以有效测得所有宽谱光源的分布函数以及相关曲线值，更简便，实用性更强。

Description

一种宽谱光源光谱分布函数和自相关函数的测量与构造方法

技术领域

本发明属于白光干涉光学测量技术领域,具体涉及一种宽谱光源光谱分布函数和自相关函数的测量与构造方法。

背景技术

在白光干涉测量系统中，光源的波长、带宽、功率、稳定性是在选用光源时的四项需要考虑的主要因素。

光源的中心波长的选择取决于系统的应用对象，例如，所构造的系统用于对波导器件进行评估与检测时，所对应的波长应与该波导的工作波长对应。比如说，工作于中心波长为1310nm或1550nm的光纤陀螺系统元器件的测量与评价；而对于光学层析相干成像(OCT)系统而言，探测深度受到物质对光波的吸收和散射性质的限制。物质的吸收和散射特性会导致光信号的衰减，物质对不同波长的光的吸收和散射程度是不同的，与所用光源的波长关系紧密。

带宽取决于光源功率谱的形状或分布，因为系统测量的分辨率依赖于光源的带宽，对于白光干涉系统具有特别重要的意义。这也是单色光的干涉和宽谱光干涉的重要区别所在。在白光干涉系统中，一方面，所用的宽谱光源的各个单色光自身之间会相互干涉，并对最终的干涉光强产生叠加贡献；另一方面，不同的单色光之间也彼此相互影响，从而导致由关联感生的光谱改变，两方面作用的综合效果，使得相干长度变短，干涉条纹的区域非常有限，这样的特性恰好可由光源功率谱的傅里叶变换给出：

G(τ)＝∫|E(t)+E(t+τ)|²dω       (1)

＝∫P(ω)e^iωτdω+<E(t)^*·E(t+τ)>

其中τ是两光波的延迟。式中<E(t)^*·E(t+τ)>为光源的自相关函数，这个关系提供了一个对非单色光谱分布的简单理解。此外，由光源功率谱形状所导致的特殊干涉条纹分布，可以用来作为独特的标识来确定双光束的零光程差相位，从而实现高精度的测量。

光源功率谱的特殊形状或分布对于白光干涉系统而言十分重要。因为白光干涉测量系统的特点是具有较大的动态测量范围和较高的分辨率，所以实际上多数研究领域都要求光源不仅具有较大的光谱宽度，而且还应具有很好边带衰减形状的点扩展函数。

例如，对于典型的ELD光源，通常都具有近似于Gaussian光谱强度的分布。这种分布可以用下述函数来描述[Libo Yuan,White light interferometric fiber-optic strain sensor withthree-peak-wavelength broadband LED source,Appl.Opt.,36,6246-6250,1997]

$G\left(\mathrm{\&lambda;}\right)=\frac{G_0}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&sigma;}}_k^2}}\exp [-\frac{{(k-k_0)}^2}{2{\mathrm{\&sigma;}}_k^2}]---\left(2\right)$

这里k＝2π/λ，λ₀对应的中心波长。G₀是对应于波长在λ₀处的光谱强度。σ_k为光谱分布参数。定义光谱半宽Δλ为光源的3dB峰值全宽度对应的波长带宽，如图1所示。该光源所对应的相干长度与光谱半宽和中心波长相关，可表示为

$L_c=\mathrm{\&xi;}\left(\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_0^2}{\mathrm{\&Delta;\&lambda;}}\right)---\left(3\right)$

式中ξ为一个系数，是依赖于光谱分布形状因子[Vladimir Shidlovski,Superluminescentdiodes short overview of device operation principles and performance parameters,SuperlumDiodesLtd.,2004]，例如：对于洛伦兹线性光谱ξ≈0.32，而对于高斯分布形状的光谱ξ≈0.66。通常，宽带光源在使用中，其外在的主要特征参数是：中心波长λ₀，光谱半宽Δλ和相干长度L_c。而相干长度不是独立的，可由前两个参数来确定。

自相关性是刻画宽谱光源性质的主要特性。对于宽谱光源相干性质的研究与测量应用十分重要，它反映的是光源本身的自相干特性。宽谱光源的自相干特性在理论上可通过对光谱函数进行变换的方法来获得，实验上，可借助于理想的干涉仪得到实际的测量结果，但是确难于获得光谱函数。本发明将在所测得的光谱分布曲线的基础上，借助于高斯函数的傅里叶变换不变的特性，以高斯函数作为基函数，给出一种将所测得的各种宽谱光源的光谱分布分布曲线用有限个高斯函数的线性叠加的构造方法，获得光谱函数及其理论表达式。

由于宽谱光的自相关等效于一个傅里叶变换。基于此，按照本发明的思想，将各种宽谱光源都用有限个高斯函数的线性叠加来加以描写，那么其傅里叶变换运算将会变得十分容易。通过傅里叶变换这个桥梁和纽带，就能将宽谱光源的空——时域光学复相关度与空——频域光学复相关度之间的转换运算简化。这一方面有助于我们能够更好的对宽谱光源进行解构分析，能使我们更加细致地理解宽谱光源的自身特点；另一方面，也为我们在两个参量空间不断深化对白光干涉现象的理解、在不同的参量空间中进行高精度参量的转换与测量提供了有效的方法和途径。

傅立叶变换是一个密度函数的概念，是一个连续谱，包含了从零到无限高频的所有频率分量。从现代数学的观点来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。

上述概念恰好可对应于白光干涉现象的物理描述，宽谱光源(所谓白光)是一个连续谱光源，其光谱分布表征了各个频谱分量的能量密度。而光源中任意单色(单频)的光干涉特征可由干涉仪来测量(如：Michelson,Mach-Zehnder Farbry-Perot等)。而干涉仪中最本质的变量是光波之间的光程差或相位差，光程差或相位差是干涉仪相干变换的变量，单色光的干涉由干涉仪的相干输出特征变换函数给出，宽谱光的干涉综合效果就是对各个分频的积分，恰好对应于数学里的傅里叶变换。

傅里叶变换为时域(光程域)信号和频域(光谱域)信号分析提供了十分重要的方法。它能够有效的将光波电场的空间时域相干与谱域(波长域)相干联系起来。

对于一个光谱由式(2)给出的高斯函数，是一个理想的中心对称函数，对其频谱域(波长域)空间的光谱函数进行傅里叶变换运算，等效于将其还原到空—时域空间中，因为高斯函数在±∞处为零，因而，为计算方便，积分区间可以从有限的光谱波长区间拓展到±∞处。

依据傅里叶变换的定义

$\mathrm{\&Gamma;}\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}\underset{-\&infin;}{\overset{\&infin;}{\&Integral;}}G\left(k\right)e^{\mathrm{ixk}}\mathrm{dk}---\left(4\right)$

$G\left(k\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}\underset{-\&infin;}{\overset{\&infin;}{\&Integral;}}\mathrm{\&Gamma;}\left(x\right)e^{-\mathrm{ixk}}\mathrm{dx}---\left(5\right)$

任意函数Γ(x)都可以表示为傅里叶积分

$\mathrm{\&Gamma;}\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}\underset{-\&infin;}{\overset{\&infin;}{\&Integral;}}G\left(k\right)e^{\mathrm{ikx}}\mathrm{dk}---\left(6\right)$

$G\left(k\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}\underset{-\&infin;}{\overset{\&infin;}{\&Integral;}}\mathrm{\&Gamma;}\left(x\right)e^{-\mathrm{ikx}}\mathrm{dx}---\left(7\right)$

对于频谱域(波长域)给出的高斯光谱(2)，其所对应的空间域(光程域)的傅里叶变换为

$\begin{array}{c}\mathrm{\&Gamma;}\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}\underset{-\&infin;}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}G\left(k\right)e^{\mathrm{ikx}}\mathrm{dk}\\ =\frac{G_0}{2\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&sigma;}}_k}\underset{-\&infin;}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}\exp [-\frac{{(k-k_0)}^2}{{{2\mathrm{\&sigma;}}_k}^2}]e^{\mathrm{ikx}}\mathrm{dk}\\ =\frac{G_0}{2\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&sigma;}}_k}\underset{-\&infin;}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}\exp [-\frac{{(k-k_0)}^2}{{{2\mathrm{\&sigma;}}_k}^2}]e^{\mathrm{ikx}}\mathrm{dk}\\ =\frac{G_0}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}\exp [-\frac{{{\mathrm{\&sigma;}}_k}^2}{2}{x}^2]\end{array}---\left(8\right)$

可以看到高斯函数的傅里叶变换仍然是高斯函数，因此将宽谱光源的光谱函数表示成为高斯函数和的形式可以方便进行解构、分析和计算。采用高斯函数作为基函数的优点是：(1)高斯函数是LED、SLD等宽谱光源光谱分布最简洁最接近的表达形式；(2)高斯函数是一个具有中心对称分布的函数，高斯函数经过傅里叶变换后，仍是高斯函数。

发明内容

本发明的目的在于提供一种对于所测得的光谱具有任意分布的宽谱光源的光谱测量曲线进行测量的宽谱光源光谱分布函数和自相关函数的测量与构造方法。

本发明的目的是这样实现的：

(1)采用高精度光谱仪测得待测的宽谱光源的光谱分布曲线，并将光谱分布曲线的测试数据采集出来；

(2)将宽谱光源的光谱分布函数用N个高斯基函数的线性叠加表示：

$S\left(\mathrm{\&lambda;}\right)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{G_j}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&sigma;}}_j^2}}\exp [-\frac{{(k-k_j)}^2}{2{\mathrm{\&sigma;}}_j^2}]$

式中确定高斯基函数的中心波长λ，光谱强度系数G_j和光谱分布参数σ_j，需要确定的参数总共是3N个，k_j＝2π/λ_j；

(3)对宽谱光源的光谱分布函数进行傅里叶变换得到宽谱光源的自相关特性：

$\mathrm{\&Gamma;}\left(x\right)=\underset{l=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\{\frac{G_j}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}\&CenterDot;e^{{\mathrm{ik}}_{j}x}\&CenterDot;\exp [-\frac{{{\mathrm{\&sigma;}}_j}^2}{2}{x}^2\left]\right\},$

其中x为光程差。

本发明的有益效果在于：通过本方法可以有效测得所有宽谱光源的分布函数以及相关曲线值，更简便，实用性更强。

附图说明

图1是典型LED光源光谱分布示意图。

图2是光谱分析仪测得的典型ASE光源的光谱图。

图3是典型的非对称SLD光源的(a)光谱图；(b)自相干谱图。

图4是典型的非对称双峰SLD光源的(a)光谱图；(b)自相干谱图。

图5是典型的非对称ASE光源的(a)光谱图；(b)自相干谱图。

具体实施方式

下面结合附图举例对本发明做更详细地描述：

本发明采用有限个高斯基函数进行线性叠加和拟合来构造出光谱函数的方法，获得光谱函数及其理论表达式。从而能够进一步获得具有解析表达的自相关函数。采用光谱仪能够获取各种光源的光谱分布数据和光谱测试曲线。为了进一步在所测得的光谱数据曲线基础上，获得宽谱光源的光谱函数，本发明给出了一种在所测得的光源光谱曲线的基础上，采用高斯基函数，通过线性叠加与展开进行光谱函数的构造，来获得宽谱光源光谱函数表达式的方法，

对于某一实际的宽谱光源，采用光谱仪所获得的光谱分布曲线为G_j(k)，当采用高斯函数来描写该光源的光谱时，需要考虑三个特征参量：中心波长λ_j，光谱强度系数G_j和光谱分布参数σ_j。

$G_j\left(k\right)=\frac{G_j}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&sigma;}}_j^2}}\exp [-\frac{{(k-k_j)}^2}{2{\mathrm{\&sigma;}}_j^2}]---\left(9\right)$

如果我们将高斯函数作为基函数的话，每一个基函数将对应三个参数。假如所测得的宽谱光源的光谱测量曲线要用N个高斯基函数才能得到完整的描写，则需要确定的参数总共是3N个，如下式所示：

$S\left(k\right)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{G_j}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&sigma;}}_j^2}}\exp [-\frac{{(k-k_j)}^2}{2{\mathrm{\&sigma;}}_j^2}]---\left(10\right)$

在实际的应用过程中，通常可以根据所测得的实际光谱特征给出若干个参数，因而需要优化确定的实际参量总是小于3N个。

根据常用宽谱光源的特点，为了减少需要优化确定的参量个数，原则上可大致区分为具有对称单峰值的光谱和非对称单峰以及多峰的光谱这两类。下面将分别加以分析。

非对称单峰和多峰光谱密度的高斯基函数构造方法：对于具有非对称分布的单峰或多峰值光谱密度函数，如图2所示的光谱结构，一般可采用多个具有不同中心波长λ_j和光谱半宽Δλ_j以及强度系数G_j的高斯函数进行叠加而构造出来。

$S\left(\mathrm{\&lambda;}\right)\&ap;\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{G}_j\exp \{-\frac{{(k-k_j)}^2}{2{\mathrm{\&sigma;}}_j^2}\}---\left(11\right)$

式中k_j＝2π/λ_i(j＝1,2,…,N)可根据光谱特征曲线中的峰值来确定。而G_j(j＝1,2,…,N)；及σ_j(j＝1,2,…,N)共2N个待定系数需要通过拟合优化加以确定。

对于给定的宽谱光源的光谱分布，如果用式(11)所给出的高斯基函数来展开的话，则需要给出每个高斯函数的三个相关系数。为此，选(11)作为目标函数，以实际光谱测量数据为对比参量，构造一个多参数拟合函数。我们希望能从这些数据中提取参数的最可几估计，因此需要采用一些合理的数据处理方法。为此，可采用最小二乘法定义如下优度函数

χ²＝Σ{[S(λ)_测量-S(λ)_拟合]²}    (12)

式中

含有3N个待定参数。拟合的目的就是通过使(13)这个3N元函数取得极小值的办法，确定3N个待定参数，从而获得光谱函数及其解析表达。因此,这种方法就是寻求得到最小平方和的拟合,或者说最小二乘拟合。

参数优化算法有多种，以算法简单、运算快捷且能搜索到全局最优解为原则。当目标函数的导数易于计算时,可采用最速下降法、Newton法、变尺度法等收敛速度较快的算法求解。对于本问题而言，其目标函数较为复杂,它的导数表达式就更复杂。在这种情况下,最简单的优化方法是网格寻优法，其特点是算法简单，但收敛速度较慢。

为了改进计算速度，通常可采用如下两种技术来加以解决：

(1)通过光谱峰值点确定高斯基函数的个数和各个峰值波长参数k_j＝2π/λ_j(j＝1,2,…,N)，这就使得待定参数从3N下降到2N；

(2)采用步长逐步缩短的寻优算法来分步计算与优化，从而可以极大的减少运算量，缩短优化时间。

宽谱光源的相关函数对于评价光源自身品质特性：光谱分布形状、光谱纹波响应、相对强度噪声水平的影响等，都具有十分重要的价值。

为了进一步说明本发明方法的有效性，我们以常见的典型的宽带光源为例，一方面，在光谱测量分布曲线的基础上借助于高斯基函数展开方法，给出其分解的光谱函数表达式，作为与典型实际光源特征光谱的分布对比。另一方面，借助于高斯光谱相干变换的关系(4)，进一步给出各种典型宽带光源光谱的空间光程的自相关特性函数及其解析表达式。

实际常用的LED光源，宽谱SLD光源，以及ASE光源，由于在制造过程中的各种因素的限制，其输出光谱都很难具有理想的高斯光谱分布，某种程度上，可将这些光源的实际光谱分布分解成若干个高斯光谱的叠加，以便获得光谱分布函数及其理论表达式。如果某一光源的光谱分布可以用多个高斯基函数的叠加表示出来，则该光光源在空间中的空域(光程差)自相关特性可由下式给出

$\begin{array}{c}\mathrm{\&Gamma;}\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}\underset{-\&infin;}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}G\left(k\right)e^{\mathrm{ikx}}\mathrm{dk}\\ =\underset{l=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left\{\frac{G_j}{2\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&sigma;}}_j}\underset{-\&infin;}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}\exp \right[-\frac{{(k-k_j)}^2}{{{2\mathrm{\&sigma;}}_j}^2}\left]e^{\mathrm{ikx}}\mathrm{dk}\right\}\\ =\underset{l=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\{\frac{G_j}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}\&CenterDot;e^{{\mathrm{ik}}_{j}x}\&CenterDot;\exp [-\frac{{{\mathrm{\&sigma;}}_j}^2}{2}{x}^2\left]\right\}\end{array}---\left(14\right)$

由式(14)可以看出，对于任意光谱函数，无论光谱分布对称与否，如果可以分解并展开成高斯基多项表达式，则其空域光程自相关函数也是由多项高斯函数组成，且总是具有对称性的。

实施例1：非对称的单峰光谱

图3给出的由光谱仪测得的某一光谱曲线是具有非对称的单峰光谱，可分解成由两个高斯光谱的叠加，其归一化光谱分布函数为：

$G\left(k\right)=\underset{j=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{G}_j\exp \{-\frac{{(k-k_j)}^2}{2{\mathrm{\&sigma;}}_j^2}\}---\left(15\right)$

式(15)中的各项参数如表1所示。

表1归一化光谱参数表

j	Gj	kj(m-1)	σj
				1	0.6068	7.2722×106	8.9281×104
2	0.7281	7.3920×106	4.9196×104

对应的归一化光谱自相关函数及其表达式为：

$\mathrm{\&Gamma;}\left(x\right)=\underset{j=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{G_j}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}\exp [-\frac{{{\mathrm{\&sigma;}}_j}^2}{2}{x}^2]---\left(16\right)$

由此我们可以看到，由于光谱的非对称，将会导致自相关函数中心峰值呈现出两翼的突起。

实施例2：非对称的多峰光谱

由图4给出的由光谱仪测得的某一光谱曲线是非对称的双峰光谱，可分解成由两个高斯光谱的叠加，其归一化光谱分布函数为：

$G\left(k\right)=\underset{j=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{G}_j\exp \{-\frac{{(k-k_j)}^2}{2{\mathrm{\&sigma;}}_j^2}\}---\left(17\right)$

式(17)中的各项参数如表2所示。

表2归一化光谱参数表

j	Gj	kj(m-1)	σj
				1	0.8698	7.6160×106	6.5279×104
2	0.9998	7.3488×106	1.2157×105

对应的归一化光谱自相关函数为：

$\mathrm{\&Gamma;}\left(x\right)=\underset{j=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{G_j}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}\exp [-\frac{{{\mathrm{\&sigma;}}_j}^2}{2}{x}^2]---\left(18\right)$

由此我们可以看到，由于光谱的两个高斯峰的分离，导致了自相关函数中心峰值两翼业产生了较大的变化。

实施例3：非对称的ASE光谱

由图5给出的由光谱仪测得的某一光谱曲线是典型的ASE光源的光谱形状，该光谱可分解成由三个高斯光谱的叠加，其归一化光谱分布函数为：

$G\left(k\right)=\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{G}_j\exp \{-\frac{{(k-k_j)}^2}{2{\mathrm{\&sigma;}}_j^2}\}---\left(19\right)$

式(19)中的各项参数如表3所示。

表3归一化光谱参数表

j	Gj	kj(m-1)	σj
				1	0.9764	4.1174×106	2.4803×104
2	0.3124	4.0668×106	1.4890×104
				3	0.7811	4.0200×106	3.6374×104

对应的归一化光谱自相关函数为：

$\mathrm{\&Gamma;}\left(x\right)=\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{G_j}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}\exp [-\frac{{{\mathrm{\&sigma;}}_j}^2}{2}{x}^2]---\left(20\right)$

由此我们可以看到，由于光谱的非对称，产生了三个光谱峰值，等效于光谱被非均匀调制，使得自相关函数中心峰值两翼处产生了更为复杂的变化。

Claims (1)

1.一种宽谱光源光谱分布函数和自相关函数的测量与构造方法：

(1)采用高精度光谱仪测得待测的宽谱光源的光谱分布曲线，并将光谱分布曲线的测试数据采集出来；

(2)将宽谱光源的光谱分布函数用N个高斯基函数的线性叠加表示：

$S\left(\mathrm{\&lambda;}\right)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{G_j}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&sigma;}}_j^2}}\exp [-\frac{{(k-k_j)}^2}{2{\mathrm{\&sigma;}}_j^2}]$

式中确定高斯基函数的中心波长λ，光谱强度系数G_j和光谱分布参数σ_j，需要确定的参数总共是3N个，k_j＝2π/λ_j；

(3)对宽谱光源的光谱分布函数进行傅里叶变换得到宽谱光源的自相关特性：

$\mathrm{\&Gamma;}\left(x\right)=\underset{l=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\{\frac{G_j}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}\&CenterDot;e^{i{k}_{j}x}\&CenterDot;\exp [-\frac{{{\mathrm{\&sigma;}}_j}^2}{2}{x}^2\left]\right\},$

其中x为光程差。