CN104484747A - 利用截尾样本确定产品合格率的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种利用截尾样本确定产品合格率的方法，主要解决现有方法对批量产品合格率检测精度低，工作量大，适用范围小的问题。其实施步骤是：1、获取产品样本；2、确定产品合格的上规范限和下规范限；3、提取产品样本的截尾数据，并对截尾数据进行排序；4、计算截尾数据的均值和标准偏差，并获得截尾样本的经验累积分布函数；5、以截尾数据的均值和标准偏差为初始点，利用迭代法，以减小截尾样本的截尾正态分布与截尾样本的经验累积分布函数之差的最大值为判断条件，获得批量产品的正态分布参数估计值，并计算批量产品合格率。本发明精度高，工作量小，适用范围广，可用于检测供应商提供的产品的合格率，或检测生产线上批量产品合格率。

Description

利用截尾样本确定产品合格率的方法

技术领域

本发明属于检测技术领域，特别涉及一种确定产品合格率的方法，可以应用到半导体行业乃至所有制造业成品率的检测。

背景技术

随着半导体制造技术的不断革新，用户对产品质量和可靠性的要求越来越高，产品合格率问题随之更加受到重视。在生产中，产品合格率的高低是产品质量好坏及可靠性高低的一种“指示”。产品的合格率、质量和可靠性之间存在着明显的正相关关系，产品在检验过程中出现的不合格品越多，即：合格率越低，其合格产品的可靠性水平越低；当产品在制造过程中的不合格品减少时，合格产品失效率也随之下降，即：产品质量越好。因此，用户在采购产品时，可以将供应商产品的合格率作为产品质量的评价标志之一。

然而在实际中，用户往往无法得知生产厂家的真实合格率数据。况且供应商在供货前已将不合格品剔除，由于合格产品是一批产品中质量特性参数满足规范要求的部分，也就是说，交付给用户的合格产品的质量特性参数样本数据为截尾数据。正常情况下生产出的产品，其质量特性参数母体通常服从正态分布。因此，合格产品的特性参数服从截尾正态分布。为评估产品合格率及质量，传统的处理方法有两种。一是直接将截尾数据视为完整样本数据，继而推测产品合格率，并以此作为产品质量的判断标志。显然，这种方法会高估供应商的产品质量。另一种方法借鉴非正态工序能力指数的计算思想，将截尾样本视为非正态数据，并对其进行数据转换处理，最后计算相应的工序能力指数。实际上，数据转换将改变数据分布，导致计算结果的误差较大。为了应对传统方法带来的问题，又提出了一种利用经验公式来估计截尾样本分布参数继而推测产品合格率的计算方法。该方法的优点是计算简单、精确度较高。然而，该公式仅适用于只有上规范限或下规范限的单侧截尾样本，且实际合格率不低于50％的情况，当样本为同时存在上规范限和下规范限的双侧截尾样本或产品的合格率过低时此方法误差较大。

发明内容

本发明的目的在于针对上述已有方法的不足，提出一种利用截尾样本确定产品合格率的方法，以减小估计误差，增大可估计样本的类别。该方法适用于只有上规范限或下规范限的单侧截尾样本、双侧截尾及合格率过低的情况，精确度很高。

为实现上述目的，本发明思路为：利用迭代法，不断减小截尾正态累积分布与经验累积分布之差的最大值，获得批量产品正态分布参数估计值和根据批量产品正态分布参数获得产品合格率。其实现步骤包括如下：

(1)获取m个产品样本，m≥100；

(2)根据使用要求确定合格产品的参数x范围：LSL<x<USL，其中LSL为下规范限，USL为上规范限；

(3)对产品样本进行检测，剔除不在规范限内的样本，得到n个截尾样本数据，需满足n≥50，若n<50，则需增大产品样本量，再重新提取截尾样本，直至满足n≥50；然后对截尾样本数据从小到大进行排序，得到x₁≤x₂≤…≤x_n；

(4)获得截尾样本均值μ₀和标准偏差σ₀；

${\mathrm{\&mu;}}_0=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i,{\mathrm{\&sigma;}}_0=\sqrt{\frac{1}{n-1}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(x_i-{\mathrm{\&mu;}}_0)}^2};$

(5)获得截尾样本的经验累积分布函数：

$G\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}0,x<x_1\\ \frac{i}{n},x_i\&le;x<x_{i+1}\\ 1,x>x_n\end{array}\right.;$

(6)根据截尾样本均值μ₀和标准偏差σ₀和分布函数G(x)，利用迭代法，获得批量产品的正态分布参数估计值和

6a)令y_k＝(μ_k,σ_k)，k的初始值为零，即y₀＝(μ₀,σ₀)为初始点，选定一个步长h>0，及批量产品的正态分布参数估计值的精度ε>0；

6b)计算关于y_k的截尾正态累积分布函数F(x；y_k)：

$F(x;y_k)=F(x;{\mathrm{\&mu;}}_k,{\mathrm{\&sigma;}}_k)=\left\{\begin{array}{c}0,x<\mathrm{LSL}\\ \frac{\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{x-{\mathrm{\&mu;}}_k}{{\mathrm{\&sigma;}}_k}\right)}{\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{\mathrm{USL}-{\mathrm{\&mu;}}_k}{{\mathrm{\&sigma;}}_k}\right)-\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{\mathrm{LSL}-{\mathrm{\&mu;}}_k}{{\mathrm{\&sigma;}}_k}\right)},\mathrm{LSL}\&le;x\&le;\mathrm{USL}\\ 1,x>\mathrm{USL}\end{array}\right.$

其中，Φ表示标准正态累积分布函数；

6c)计算截尾正态累积分布函数F(x；y_k)与截尾样本的经验累积分布函数G(x)的最大差值

6d)令 $y_{k+1}^j=({\mathrm{\&mu;}}_k+h\&CenterDot;\sin \left(\frac{2(j-1)\mathrm{\&pi;}}{4}\right),{\mathrm{\&sigma;}}_k+h\&CenterDot;\cos \left(\frac{2(j-1)\mathrm{\&pi;}}{4}\right)),$ j＝1,2,3,4；计算关于的截尾正态累积分布函数F

$F(x;y_{k+1}^j)=F(x;{\mathrm{\&mu;}}_{k+1}^j,{\mathrm{\&sigma;}}_{k+1}^j)=\left\{\begin{array}{c}0,x<\mathrm{LSL}\\ \frac{\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{x-{\mathrm{\&mu;}}_{k+1}^j}{{\mathrm{\&sigma;}}_k}\right)}{\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{\mathrm{USL}-{\mathrm{\&mu;}}_{k+1}^j}{{\mathrm{\&sigma;}}_{k+1}^j}\right)-\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{\mathrm{LSL}-{\mathrm{\&mu;}}_{k+1}^j}{{\mathrm{\&sigma;}}_{k+1}^j}\right)},\mathrm{LSL}\&le;x\&le;\mathrm{USL}\\ 1,x>\mathrm{USL}\end{array}\right.;$

6e)计算截尾正态累积分布函数与截尾样本的经验累积分布函数G(x)的最大差值 $d\left(y_{k+1}^j\right)=\max \left(\right|F(x;y_{k+1}^j)-G\left(x\right)\left|\right),$ j＝1,2,3,4；

6f)计算的最小值

6g)将上述得到的与进行比较：若则令y_k＝y_k+1，并将搜索步长h加倍，返回步骤6d)；若执行步骤6h)；

6h)将搜索步长h与参数估计值的精度ε进行比较：若h>ε，则将搜索步长h减小到当前步长的返回步骤6d)；若h≤ε，则停止迭代，得到批量产品正态分布的均值估计值和标准偏差估计值

(7)根据步骤(6)得到的批量产品正态分布参数，计算批量产品合格率；

$c=(\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{\mathrm{USL}-\widehat{\mathrm{\&mu;}}}{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}\right)-\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{\mathrm{LSL}-\widehat{\mathrm{\&mu;}}}{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}\right))\&times;100\%$

本发明具有如下优点：

1.精度高

本发明从供应商提供的样品或在生产线上随意抽取获取样本，根据使用要求从样本中获得截尾样本，并根据截尾样本的均值及标准偏差，采用迭代法，获得批量产品正态分布的均值估计值和标准偏差估计值，可准确的确定出批量产品的合格率，避免了因供应商在提供样品前剔除不合格品而高估其批量产品的合格率的问题。

2.工作量小

本发明可以根据生产线上随意抽取的一定量的产品，较为准确的确定批量产品的合格率，大大减少了检测批量产品合格率的工作量。

3.适用范围广

本发明根据使用规范的不同，适用于同时存在上规范限和下规范限的双侧截尾样本，也可用于只有上规范限或下规范限的单侧截尾样本，同时也适用于批量产品合格率低于50％的情况。

附图说明

图1本发明的实现流程图；

图2本发明中利用迭代法，获得批量产品的正态分布参数估计值的子流程图。

具体实施方式

下面结合附图，对本发明做进一步的描述。

参照图1，本发明的实现步骤如下：

步骤1，获取产品样本。

从供应商提供的样品中任意抽取，或者从生产线上随意抽取来获得产品样本，样本数量大于等于100。

步骤2，确定被测产品的上规范限和下规范限。

根据使用要求确定合格产品的参数x范围：LSL<x<USL，其中LSL为下规范限，USL为上规范限；当只有上规范限要求时，LSL为负无穷，也可根据实际情况，将LSL设成一个非常小的数据，同样当只有下规范限要求时，USL为正无穷，也可根据实际情况，将USL设成一个非常大的数据。

步骤3，提取截尾数据，并对截尾数据进行排序。

对产品样本进行检测，剔除不在规范限内的样本，得到n个截尾样本数据，需满足n≥50的条件，若n<50，则需增大产品样本量，再重新提取截尾样本，直至满足n≥50；然后对截尾样本数据从小到大进行排序，得到截尾样本数据集合{x_i}，i＝1,2,…,n，其中x₁≤x₂≤…≤x_n。

步骤4，计算截尾数据的均值和标准偏差。

根据下面的公式获得截尾数据的均值μ₀和标准偏差σ₀：

${\mathrm{\&mu;}}_0=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i,{\mathrm{\&sigma;}}_0=\sqrt{\frac{1}{n-1}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(x_i-{\mathrm{\&mu;}}_0)}^2}$

步骤5，根据下面的公式获得截尾样本的经验累积分布函数：

$G\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}0,x<x_1\\ \frac{i}{n},x_i\&le;x<x_{i+1}\\ 1,x>x_n\end{array}\right.;$

步骤6，利用迭代法，获得批量产品的正态分布均值和标准偏差的参数估计值。

根据步骤4得到的截尾样本均值μ₀标准偏差σ₀和步骤5得到的分布函数G(x)，利用迭代法，获得批量产品的正态分布参数估计值和

参照图2，本步骤的实现如下：

6a)选取初始点、初始步长和参数估计值精度：

令y_k＝(μ_k,σ_k)，μ_k为批量产品均值估计值的迭代点，σ_k为批量产品标准偏差估计值的迭代点，k的初始值为零，即y₀＝(μ₀,σ₀)为初始点，选定一个步长h>0，及批量产品的正态分布参数估计值的精度ε>0；

6b)计算关于y_k的截尾正态累积分布函数F(x；y_k)：

$F(x;y_k)=F(x;{\mathrm{\&mu;}}_k,{\mathrm{\&sigma;}}_k)=\left\{\begin{array}{c}0,x<\mathrm{LSL}\\ \frac{\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{x-{\mathrm{\&mu;}}_k}{{\mathrm{\&sigma;}}_k}\right)}{\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{\mathrm{USL}-{\mathrm{\&mu;}}_k}{{\mathrm{\&sigma;}}_k}\right)-\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{\mathrm{LSL}-{\mathrm{\&mu;}}_k}{{\mathrm{\&sigma;}}_k}\right)},\mathrm{LSL}\&le;x\&le;\mathrm{USL}\\ 1,x>\mathrm{USL}\end{array}\right.$

其中，Φ表示标准正态累积分布函数；

6c)计算截尾正态累积分布函数F(x；y_k)与截尾样本的经验累积分布函数G(x)的最大差值

6d)计算以y_k为出发点，搜索步长为h，搜索方向为j＝1,2,3,4的四个点的截尾正态分布函数：

6d1)计算以y_k为出发点，搜索步长为h，搜索方向为j＝1,2,3,4的四个点的坐标：

$y_{k+1}^j=({\mathrm{\&mu;}}_k+h\&CenterDot;\sin \left(\frac{2(j-1)\mathrm{\&pi;}}{4}\right),{\mathrm{\&sigma;}}_k+h\&CenterDot;\cos \left(\frac{2(j-1)\mathrm{\&pi;}}{4}\right)),$ j＝1，2，3，4；

6d2)计算关于的截尾正态累积分布函数

$F(x;y_{k+1}^j)=F(x;{\mathrm{\&mu;}}_{k+1}^j,{\mathrm{\&sigma;}}_{k+1}^j)=\left\{\begin{array}{c}0,x<\mathrm{LSL}\\ \frac{\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{x-{\mathrm{\&mu;}}_{k+1}^j}{{\mathrm{\&sigma;}}_k}\right)}{\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{\mathrm{USL}-{\mathrm{\&mu;}}_{k+1}^j}{{\mathrm{\&sigma;}}_{k+1}^j}\right)-\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{\mathrm{LSL}-{\mathrm{\&mu;}}_{k+1}^j}{{\mathrm{\&sigma;}}_{k+1}^j}\right)},\mathrm{LSL}\&le;x\&le;\mathrm{USL}\\ 1,x>\mathrm{USL}\end{array}\right..$

6e)计算正态累积分布函数与截尾样本的经验累积分布函数G(x)的最大差值

$d\left(y_{k+1}^j\right)=\max \left(\right|F(x;y_{k+1}^j)-G\left(x\right)\left|\right),$ i＝1，2，3，4；

6f)计算的最小值

6g)将上述得到的与进行比较：若则令y_k＝y_k+1，并将搜索步长h加倍，返回步骤6d)；若执行步骤6h)；

6h)将搜索步长h与参数估计值的精度ε进行比较：若h>ε，则将搜索步长h减小到当前步长的返回步骤6d)；若h≤ε，则停止迭代，得到批量产品正态分布的均值估计值和标准偏差估计值

步骤7，根据步骤(6)得到的批量产品正态分布参数，计算批量产品合格率：

$c=(\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{\mathrm{USL}-\widehat{\mathrm{\&mu;}}}{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}\right)-\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{\mathrm{LSL}-\widehat{\mathrm{\&mu;}}}{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}\right))\&times;100\%.$

Claims (2)

1.一种利用截尾样本确定产品合格率的方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)获取m个产品样本，m≥100；

(2)根据使用要求确定合格产品的参数x范围：LSL<x<USL，其中LSL为下规范限，USL为上规范限；

(3)对产品样本进行检测，剔除不在规范限内的样本，得到n个截尾样本数据，需满足n≥50，若n<50，则需增大产品样本量，再重新提取截尾样本，直至满足n≥50；然后对截尾样本数据从小到大进行排序，得到x₁≤x₂≤…≤x_n；

(4)获得截尾样本均值μ₀和标准偏差σ₀；

${\mathrm{\&mu;}}_0=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i,{\mathrm{\&sigma;}}_0=\sqrt{\frac{1}{n-1}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(x_i-{\mathrm{\&mu;}}_0)}^2};$

(5)获得截尾样本的经验累积分布函数：

$G\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}0,& x<x_1\\ \frac{i}{n},& x_i\&le;x<x_{i+1}\\ 1,& x>x_n\end{array}\right.;$

(6)根据截尾样本均值μ₀和标准偏差σ₀和分布函数G(x)，利用迭代法，获得批量产品的正态分布参数估计值和

6a)令y_k＝(μ_k,σ_k)，k的初始值为零，即y₀＝(μ₀,σ₀)为初始点，选定一个步长h>0，及批量产品的正态分布参数估计值的精度ε>0；

6b)计算关于y_k的截尾正态累积分布函数F(x；y_k)：

$F(x;y_k)=F(x;{\mathrm{\&mu;}}_k,{\mathrm{\&sigma;}}_k)=\left\{\begin{array}{cc}0,& x<\mathrm{LSL}\\ \frac{\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{x-{\mathrm{\&mu;}}_k}{{\mathrm{\&sigma;}}_k}\right)}{\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{\mathrm{USL}-{\mathrm{\&mu;}}_k}{{\mathrm{\&sigma;}}_k}\right)-\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{\mathrm{LSL}-{\mathrm{\&mu;}}_k}{{\mathrm{\&sigma;}}_k}\right)},& \mathrm{LSL}\&le;x\&le;\mathrm{USL}\\ 1,& x>\mathrm{USL}\end{array}\right.$

其中，Φ表示标准正态累积分布函数；

6c)计算截尾正态累积分布函数F(x；y_k)与截尾样本的经验累积分布函数G(x)的最大差值

6d)令 $y_{k+1}^j=({\mathrm{\&mu;}}_k+h\&CenterDot;\sin \left(\frac{2(j-1)\mathrm{\&pi;}}{4}\right),{\mathrm{\&sigma;}}_k+h\&CenterDot;\cos \left(\frac{2(j-1)\mathrm{\&pi;}}{4}\right)),$ j＝1,2,3,4；计算关于的截尾正态累积分布函数

$F(x;y_{k+1}^j)=F(x;{\mathrm{\&mu;}}_{k+1}^j,{\mathrm{\&sigma;}}_{k+1}^j)=\left\{\begin{array}{cc}0,& x<\mathrm{LSL}\\ \frac{\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{x-{\mathrm{\&mu;}}_{k+1}^j}{{\mathrm{\&sigma;}}_k}\right)}{\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{\mathrm{USL}-{\mathrm{\&mu;}}_{k+1}^j}{{\mathrm{\&sigma;}}_{k+1}^j}\right)-\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{\mathrm{LSL}-{\mathrm{\&mu;}}_{k+1}^j}{{\mathrm{\&sigma;}}_{k+1}^j}\right)},& \mathrm{LSL}\&le;x\&le;\mathrm{USL}\\ 1,& x>\mathrm{USL}\end{array}\right.;$

6e)计算截尾正态累积分布函数与截尾样本的经验累积分布函数G(x)的最大差值 $d\left(y_{k+1}^j\right)=\max \left(\right|F(x;y_{k+1}^j)-G\left(x\right)\left|\right),$ j＝1,2,3,4；

6f)计算的最小值

6g)将上述得到的与进行比较：若则令y_k＝y_k+1，并将搜索步长h加倍，返回步骤6d)；若执行步骤6h)；

6h)将搜索步长h与参数估计值的精度ε进行比较：若h>ε，则将搜索步长h减小到当前步长的返回步骤6d)；若h≤ε，则停止迭代，得到批量产品正态分布的均值估计值和标准偏差估计值

(7)根据步骤(6)得到的批量产品正态分布参数，计算批量产品合格率；

$c=(\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{\mathrm{USL}-\widehat{\mathrm{\&mu;}}}{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}\right)-\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{\mathrm{LSL}-\widehat{\mathrm{\&mu;}}}{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}\right))\&times;100\%.$

2.根据权利要求书1所述的利用截尾样本确定产品合格率的方法，所述步骤(1)中获取m个产品样本，是从供应商提供的样品中任意抽取，或者从生产线上随意抽取而获得。