CN104477217B - 具有单一尽头车场城轨线路的列车运行周转方法 - Google Patents

Abstract

一种具有单一尽头车场城轨线路的列车运行周转方法，包括以下步骤：1)获取城轨线路列车运行环境与需求参数；2)分别构建方向D和U的最大发车间隔函数F^D(x)和F^U(x)；3)确定全天开行列车的趟数；4)确定双向列车的发车时间表和无车场端列车周转方案。本发明基于车站断面需求，结合旅客出行需求和服务水平，构造最大发车间隔函数，在旅客服务水平和最大发车间隔函数约束下优化列车的运行成本。引入最大发车间隔函数的列车运行计划优化问题，隐去了车站断面需求。本发明构建了列车发车时间优化模型和列车周转方案优化模型，并最终得到列车发车时间表和和列车周转方案，使得单一尽头车场的列车运行成本低，并且满足旅客出行需求和服务水平。

Description

具有单一尽头车场城轨线路的列车运行周转方法

技术领域

本发明涉及公共交通领域，具体涉及具有单一尽头车场的城轨线路上的列车运行周转方法。

背景技术

随着城市人口的快速增长，交通拥堵日趋严重，发展城市轨道交通是大中城市解决交通拥堵问题的发展战略。作为大运量的城市公共交通方式，城轨系统的运行效率与服务水平在很大程度上取决于列车运行计划。

列车运行计划包括列车运行时间表与列车周转方案，在给定运输能力条件下，其为特定时空分布的出行需求提供有效的运输方案。高品质的列车运行计划通常需要权衡旅客和企业两方面的利益，一方面需为旅客提供较高水平的服务，包括降低候车时间、上车拥挤和乘车拥挤；另一方面需为企业降低列车开行频率、提高列车周转效率，从而降低运营成本。

近年来，结合考虑随着时间波动的客流需求(时变需求)，城轨运输组织优化问题越来越受到人们的重视，不仅要考虑旅客服务水平和企业运输成本的双重制约，还注重列车开行密度与旅客出行强度的吻合程度。

Albrecht以德国市郊铁路为背景，强调指出需确定灵活的列车间距以适应客流的时变性(参见Albrecht，T.，2009.Automatedtimetabledesignfordemand-orientedserviceonsuburbanrailways.PublicTransportl(1)，5-20.)。Assis和Milani分析了地铁列车间距与流量分布的演化规律，进而设计了一种线性近似方法优化地铁列车的发车间距(参见Assis，W.O.，Milani，B.E.A.，2004.Generationofoptimalschedulesformetrolinesusingmodelpredictivecontrol，Automatica40(8)，1397-1404.)。NiuandZhou基于时变客流研究列车运行时间表优化问题，分析了旅客站台滞留人数和等车时间，在考虑列车趟数与上座率受限条件下构建了数学规划模型，设计了优化列车发车间隔的方法，降低了旅客的等待时间(参见Niu，H.M.，Zhou，X.S.，2013.Optimizingurbanrailtimetableundertime-dependentdemandandoversaturatedconditions.TransportationResearchPartC36，212-230.)。Sunetal.讨论了列车服务能力对时变客流下发车间隔优化的影响，数值分析表明，不考虑能力约束时发车间隔与客流规律吻合程度最好(参见Sun，L.，Jin，J.G.，Lee，D.，Axhausen，K.W.，Erath，A.，2014.Demand-driventimetabledesignformetroservices.TransportationResearchPartC46.284-299.)。

上述研究结合出行需求的变化规律优化列车运行时间表，优化目标主要在提高旅客服务水平和优化发车间隔。但列车运行时间表的实施必须由列车周转方案来保障。假若不考虑列车周转方案，列车运行时间表可能具有很高的列车周转成本，或者根本无法实施。即使单独优化列车运行时间表，不仅运算量大，也不能保证列车运行时间表的质量。

发明内容

本发明要解决的技术问题是针对现有技术的不足，提供一种将具有单一尽头车场城轨线路上的列车运行周转方法，在本方法中分解成2个子问题，其一为列车发车时间优化问题，即在无车场端列车周转方案约束下协同优化双向列车发车时间，使列车对数最小化；其二为列车周转方案优化问题，即在有车场端确定列车来源车场或车站，确定列车停放在车场或车站，并优化列车的接续关系，使得列车数量、往返车场次数及列车在站停留时间分层次最小化。同时，本发明还保证方案的最优性和计算的高效性。

为解决上述技术问题本发明提供的技术方案为：一种具有单一尽头车场城轨线路的列车运行周转方法，包括以下步骤：

步骤1：获取城轨线路列车运行环境与需求参数

测定城轨系统运营时间[T₁，T₂]，城轨线路的车站数量N和车站集S，并记S＝{s₁，s₂，…，s_N}，其中s₁＝S_A为线路上的有车场的端点站，s_N＝s_B为线路上无车场的端点站。将列车由S_A运行到s_B记为列车运行的下行方向D，列车由s_B运行到s_A记为列车运行的上行方向U。将下行和上行首班列车的最晚发车时间分别记为将下行和上行末班列车最早发车时间分别记为在无车场端点站s_B测定列车停放能力为h^B、折返作业时间为停车饱和时列车发车与到达的最小间隔时间为对于线路上任意2个车站s_i和s_j构成的区段，测定列车运行时间，并记为τ(s_i，s_j)，s_i，s_j∈S；对于同一方向的相邻列车，测定最小发车间隔τ_min和最大发车间隔τ_max。测定列车载客定员C，最小载客系数α，最大载客系数β。在各个车站s∈S，分方向D和U，测定断面需求分布 $Q_s^D\left(t\right),Q_s^U\left(t\right),t\∈[T_1,T_2].$

由上述参数，可以获得旅客服务水平，体现为以下三个方面。

①首末班车发车时间限制：首班车下行、上行最晚发车时间分别为末班车下行、上行最早发车时间分别为

②发车间隔时间限制：发车间隔不小于最小发车间隔τ_min，不超过最大发车间隔τ_max；

③发车间隔确定原则：若距前序列车发车时间为τ_min时，车站出行需求未超过最小载客量αC，则发车间隔时间既不超过τ_max，也不超过前序列车发车至车站累计需求正好达到αC的间隔时间，发车后无滞留客流；否则，发车间隔时间为τ_min，超出最大载客量βC的部分为滞留客流。其中，C为列车额定载客能力，α(0＜α＜1)为最小载客系数，β(＞1)为最大载客系数。

步骤2：分别构建方向D和U的最大发车间隔函数F^D(x)和F^U(x)，并按照指定预分段数生成最大间隔阶梯函数和其中最大间隔阶梯函数和满足：在的每一段水平线上，至少存在一点使在的每一段水平线上，至少存在一点使

最大发车间隔函数是最大发车间隔τ_max的扩展，在最大发车间隔函数约束下的列车运行计划，不仅体现了最大发车间隔τ_max的限制，同时还体现了列车载客能力能够满足旅客出行需求，并且满足程度达到旅客服务水平要求。

步骤3：确定全天开行列车对数、双向列车的发车时间表和无车场端列车周转方案：在满足首末班车发车时间、最小发车间隔、最大发车间隔、无车场端车站的列车接续与停放能力约束下，控制列车开行对数使线路全天开行的列车对数最少。通过列车发车时间的双向关联序列化优化算法，序列化确定列车最优发车时间，并根据该列车发车时间表控制列车的发车；同时，确定全天开行列车对数、控制该列车发车时间表下列车在无车场端的周转过程。

上述的具有单一尽头车场城轨线路的列车运行周转方法，优选的，确定最大发车间隔函数的方法如下：

1)最大发车间隔时间的选择

对于下行方向D，一趟列车在始发站s_A的发车时间为x，记该列车在车站s∈S\{s_B}的滞留人数为σ^s(x)，发车时间为x^s＝x+τ(s_A，s)。下面在已知x和σ^s(x)的条件下，当对任何s∈S\{s_B}，满足

对于s∈S\{s_B}，如果存在τ^s≥τ_min+x^s，使得

${\∫}_{x^s}^{{\mathrm{\τ}}^s}{Q}_s^D\left(t\right)\mathrm{dt}+{\mathrm{\σ}}^s\left(x\right)=\mathrm{\αC}$

则令t^s＝τ^s，否则令t^s＝∞。由此可得：

F^D(x)＝min{τ_max，min{t^s-x^s|s∈S\{s_B}}}(2)

σ^s(x+F^D(x))＝0，s∈S\{s_B}(3)

当存在s∈S\{s_B}，满足 ${\∫}_{x^s}^{x^s+{\mathrm{\τ}}_{\min }}{Q}_s^D\left(t\right)\mathrm{dt}+{\mathrm{\σ}}^s\left(x\right)>\mathrm{\αC}$

由旅客服务水平要求可得

F^D（x)＝τ_min(4)

${\mathrm{\σ}}^s(x+F^D\left(x\right))=\max \{0,{\∫}_{x^s}^{x^s+{\mathrm{\τ}}_{\min }}{Q}_s^D\left(t\right)\mathrm{dt}+{\mathrm{\σ}}^s\left(x\right)-\mathrm{\βC}\},s\∈S\backslash \left\{s_B\right\}---\left(5\right)$

对于在上行方向U，最大间隔F^u(x)推导方法与下行方向完全相同。

2)确定最大发车间隔函数

对于下行方向D，在运营时段[T₁，T₂]中，以编制列车运行计划的最小时间单位τ为间隔(τ通常等于0.5min)，均匀划分区间[T₁-τ_max，T₁]获得K个时间点k＝1，2，…，K。以为初值，利用推导方法(1)-(5)递推地计算出和且满足

$T_2<t_{N(k+1)}^k.$

将按时间顺序统一排列，获得新的时间序列并记为{t₁，t₂，…}。为了保证{t₁，t₂，…}具有足够的密集度，希望相邻时间间隔不超过最小时间单位τ，这一点可以采用补充时间点的方法来实现。顺序检查{t₁，t₂，…}中相邻时间间隔t_i+1-t_i，若t_i+1-t_i＞τ，则增加时间点t_i+τ，令σ^s(t_i+τ)＝σ^s(t_i)，s∈S\{s_B}，利用推导方法(1)-(5)递推地计算出[T₁，T₂]中的一个时间序列及其最大发车间隔函数值，并将此序列并入{t₁，t₂，…}中，直至新产生的时间序列{t₁，t₂，…}的相邻时间间隔都不超过τ为止，获得离散函数F^D(x)，x∈{t₁，t₂，…，t_M}。进一步按照拉格朗日线性插值方法，构造连续的最大发车间隔函数：

$F^D\left(x\right)=\frac{x-t_i}{t_{i-1}-t_i}{F}^D\left(t_{i-1}\right)+\frac{x-t_{i-1}}{t_i-t_{i-1}}{F}^D\left(t_i\right),x\&Element;[t_{i-1},t_i],i=\mathrm{2,3},...,M---\left(6\right)$

对于在上行方向U，最大间隔F^U(x)推导方法与下行方向F^D(x)的构造完全相同。

3)确定最大发车间隔阶梯函数

对于给定的最大间隔函数F(x)，x∈[T₁，T₂]以及预分区间数k(F(x)可以是F^U(x)或F^D(x)的任意一个)，先将[T₁，T₂]均分成M＝10×k区间，所有分段依次记为Ω₁，Ω₂，…，Ω_M，并记下面通过相邻区间逐步合并使得区间数量达到k为止。

对于i＝1，2，…，M-1，求

$r_i=\left\{\begin{array}{c}(\stackrel{\&OverBar;}{F}\left({\mathrm{\&Omega;}}_{i+1}\right)-\stackrel{\&OverBar;}{F}\left({\mathrm{\&Omega;}}_i\right))\&times;L_{i+1},\stackrel{\&OverBar;}{F}\left({\mathrm{\&Omega;}}_i\right)\&le;\stackrel{\&OverBar;}{F}\left({\mathrm{\&Omega;}}_{i+1}\right)\\ (\stackrel{\&OverBar;}{F}\left({\mathrm{\&Omega;}}_i\right)-\stackrel{\&OverBar;}{F}\left({\mathrm{\&Omega;}}_{i+1}\right))\&times;L_i,\stackrel{\&OverBar;}{F}\left({\mathrm{\&Omega;}}_i\right)>\stackrel{\&OverBar;}{F}\left({\mathrm{\&Omega;}}_{i+1}\right)\end{array}\right.$

记I＝argmin{r_i|i＝1，2，…，M-1}；若则 否则Ω_I←Ω_I∪Ω_I+1，对于j＝I+1，I+2，…，M-1，Ω_j←Ω_j+1；M←M-1。如此循环，直至M＝k为止。由此获得将[T₁，T₂]划分的k区间Ω₁，Ω₂，…，Ω_k以及每个区间上的最小值

上述的具有单一尽头车场城轨线路的列车运行周转方法，优选的，

记列车对数为n；下行列车在始发站s_A的发车时间为X＝(x_i|i＝1，2，…，n)，其中x₁＜x₂＜…＜x_n；上行列车在始发站s_B的发车时间为Y＝(y_j|j＝1，2，…，n)，其中y₁＜y₂＜…＜y_n。

考虑列车运行区段为整条线路、所有列车站站停，由此可知：所有列车的全程旅行时间相等，所以只要确定列车在始发站的发车时间便确定了沿途各站的到达和发车时间，所以列车运行时间表优化问题转化为列车发车时间优化问题(此后的发车时间均指始发站的发车时间)。由无车场端车站s_B停放能力受限可知：车站s_B满足停放能力和列车接续时，列车的时空分布是平衡的，不必要另行约束，但双向发车时间必须达到协调才能使车站s_B满足停放能力和列车接续。由单一尽头车场可知：车站s_A对双向列车接续和停放能力约束不会导致列车运行计划不可行，车站停放能力不足时可停放车场，列车接续不上时由车场提供。

以列车对数n最小化为目标函数，构建具有单一尽头车场城轨线路的列车发车时间优化模型如下：

minZ＝n(7)

约束条件：

$x_1\&le;t_L^D---\left(8\right)$

$y_1\&le;t_L^U---\left(9\right)$

$x_1+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{TA}}^B\&le;t_L^U---\left(10\right)$

$x_n\&GreaterEqual;t_E^D---\left(11\right)$

$y_n\&GreaterEqual;t_E^U---\left(12\right)$

x_i+1-x_i≥τ_min，i＝1，2，…，n-1(13)

y_j+1-y_j≥τ_min，j＝1，2，…，n-1(14)

$x_{i+1}-x_i\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{F}}^D\left(x_i\right),i=\mathrm{1,2},...,n-1---\left(15\right)$

$y_{j+1}-y_j\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{F}}^U\left(y_j\right),j=\mathrm{1,2},...,n-1---\left(16\right)$

$y_j\&GreaterEqual;x_j+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{TA}}^B,j=\mathrm{1,2},...,n---\left(17\right)$

$x_i+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)\&GreaterEqual;y_{i-h^B}+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{DA}}^B,i=h^B+1,h^B+2,...,n---\left(18\right)$

其中，式(8)、(9)分别为下行和上行首班车发车时间约束，式(10)表示下行首班车到达终点站时间x₁+τ(s_A，s_B)必须接续上行首班车最晚发车时间还须提前折返作业时间式(11)、(12)分别为下行和上行末班车发车时间约束，式(13)、(14)分别为下行和上行最小发车间隔约束，式(15)、(16)分别为下行和上行最大发车间隔约束，式(17)为无车场端车站s_B列车接续约束，式(18)为无车场端车站s_B停放能力约束。

上述的具有单一尽头车场城轨线路的列车运行周转方法，优选的，步骤4中的建立列车发车时间优化模型的求解算法如下：

算法1：列车发车时间的双向关联序列化优化算法

输入：首末班车发车时间旅行时间τ(s_A，s_B)、折返作业时间发车与到达的最小间隔时间最小间隔时间τ_min、最大发车间隔函数列车停放能力hB；

输出：列车发车时间(X，Y)，列车对数n。

开始

$x_1\&LeftArrow;\min \{t_L^D,t_L^U-\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)-{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{TA}}^B\};$

$y_1\&LeftArrow;x_1+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{TA}}^B;$

i←2，j←2；

当 $x_{i-1}<t_E^D$ 或 $y_{j-1}<t_E^U$ 时循环执行

开始1

${\stackrel{\&OverBar;}{x}}_i\&LeftArrow;x_{i-1}+{\stackrel{\&OverBar;}{F}}^D\left(x_{i-1}\right);$

${\stackrel{\&OverBar;}{y}}_j\&LeftArrow;y_{j-1}+{\stackrel{\&OverBar;}{F}}^D\left(y_{j-1}\right);$

若i-j＝0且 ${\stackrel{\&OverBar;}{y}}_j\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_i+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{TA}}^B,$ 则

$\{x_i\&LeftArrow;{\stackrel{\&OverBar;}{y}}_j-\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)-{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{TA}}^B,y_j\&LeftArrow;{\stackrel{\&OverBar;}{y}}_j,i\&LeftArrow;i+1,j\&LeftArrow;j+1\};$

若i-j＝0且 ${\stackrel{\&OverBar;}{y}}_j>{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_i+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{TA}}^B,$ 则

$\{x_i\&LeftArrow;{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_i,i\&LeftArrow;i+1\};$

若0＜i-j＜h^B且则

$y_j\&LeftArrow;{\stackrel{\&OverBar;}{y}}_j,j\&LeftArrow;j+1$

若0＜i-j＜h^B且则

$\{x_i\&LeftArrow;{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_i,i\&LeftArrow;i+1\};$

若i-j＝h^B且 ${\stackrel{\&OverBar;}{y}}_j+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{DA}}^B<{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_i+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B),$ 则

$y_j\&LeftArrow;{\stackrel{\&OverBar;}{y}}_j,j\&LeftArrow;j+1$

若i-j＝h^B且 ${\stackrel{\&OverBar;}{y}}_j+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{DA}}^B<{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_i+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B),$ 则

$\{x_i\&LeftArrow;{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_i,y_j\&LeftArrow;{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_i+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)-{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{DA}}^B,i\&LeftArrow;i+1,j\&LeftArrow;j+1\};$

返回1

对于k＝i-1，i-2，…，2，若则I←k，中断循环；

对于k＝j-1，j-2，…，2，若则J←k，中断循环；

n←max{I，J}；

对于j＝J，J+1，…，n， $y_j\&LeftArrow;\max \{t_E^U,y_{j-1}+{\mathrm{\&tau;}}_{\min },x_j+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{TA}}^B\};$

结束

算法1能够求解模型(7)-(18)的最优解并具有很高的求解效率，这一点可以由以下定理保证。

定理1：算法1求出的(X，Y)是发车时间优化模型的最优解，计算复杂度为线性的。

证明：首先证明(X，Y)的可行性。只要证明算法1主循环求得的x₁，x₂，…，x_u，y₁，y₂，…，y_v都满足式(13)-(18)，便可推出：算法1在求出n但未调整y_j时，x₁，x₂，…，x_n，y₁，y₂，…，y_n也满足式(13)-(18)。由于x₁，y₁满足式(8)-(10)，x_n，y_n满足式(11)，(12)，所以x₁，x₂，…，x_n，y₁，y₂，…，y_n可行。注意到对y_j的调整并不影响可行性，所以可行性结论依然成立。

下面采用数学归纳法证明算法1主循环求得的x₁，x₂，…，x_u，y₁，y₂，…，y_v都满足式(13)-(18)。

对于x₁，y₁，由于式(13)-(16)是关于x_i或y_j的二元运算，式(18)中

j＝i+h^B＞i，所以只需验证式(17)即可。注意到y1的取值使式(17)等式成立，所以x₁，y₁满足式(13)-(18)。

假设x₁，x₂，…，x_i-1，y₁，y₂，…，y_j-1满足式(13)-(18)。下面分情形证明：至少增加x_i或y_j(即x₁，x₂，…，x_i，y₁，y₂，…，y_j，或x₁，x₂，…，x_i-1，y₁，y₂，…，y_j，或x₁，x₂，…，x_i，y₁，y₂，…，y_j-1)满足式(13)-(18)。

在主循环中，包括3种情形：i-j＝0，0＜i-j＜h^B和i-j＝h^B。i-j＝0表示车站s_B没有停放列车；0＜i-j＜h^B表示车站s_B停放了列车但不饱和；i-j＝h^B表示车站s_B停放能力h^B已经饱和。

对于情形i-j＝0，不论x_i，y_j如何取值，总满足能力约束(18)。由于i＝j，接续约束(17)要求下面分2种子情形讨论：

子情形1： ${\stackrel{\&OverBar;}{y}}_j\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_i+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{TA}}^B.$ 结合i＝j， ${\stackrel{\&OverBar;}{y}}_j\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_i+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{TA}}^B$ 和式(15)，(16)，求得最大值由于接续约束(17)要求等式成立，所以下行列车i和上行列车j均为当前最早列车，即需要确定x_i，y_j。由于

$x_i={\stackrel{\&OverBar;}{y}}_j-\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)-{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{TA}}^B\&GreaterEqual;y_{j-1}+{\mathrm{\&tau;}}_{\min }-\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)-{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{TA}}^B\&GreaterEqual;x_{i-1}+{\mathrm{\&tau;}}_{\min }$

(上式中最后一个不等式由归纳假设保证，其它由算法1推出)，所以满足式(13)。由于

$y_j={\stackrel{\&OverBar;}{y}}_j\&GreaterEqual;y_{j-1}+{\mathrm{\&tau;}}_{\min }$

所以满足式(14)。所以x₁，x₂，…，x_i，y₁，y₂，…，y_j的归纳命题成立。

子情形2： ${\stackrel{\&OverBar;}{y}}_j\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_i+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{TA}}^B.$ 结合i＝j， ${\stackrel{\&OverBar;}{y}}_j\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_i+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{TA}}^B$ 和式(15)，(16)，求得最大值由于接续约束(17)要求不等式成立，所以只有下行列车i是当前最早列车，即只需要确定x_i。由于所以满足式(13)。又因为不涉及式(14)，所以x₁，x₂，…，x_i，y₁，y₂，…，y_j-1的归纳命题成立。

情形0＜i-j＜h^B的证明方法类似，所不同的是，不论x_i，y_j如何取值，总满足式(17)，(18)，算法1选择与的进行比较以确定当前最早列车。若 ${\stackrel{\&OverBar;}{y}}_j\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_i+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B),$ 则 $y_j={\stackrel{\&OverBar;}{y}}_j;$ 若 ${\stackrel{\&OverBar;}{y}}_j\&GreaterEqual;{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_i+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B),$ 则 $x_i={\stackrel{\&OverBar;}{x}}_i.$ 之所以这里的2个不等式都包含了等号，是为了将等式情形分解为2种不等式情形处理而已。

情形i-j＝h^B与情形i-j＝0完全对称，具体证明从略。

由归纳法原理，归纳命题成立。

然后证明(X，Y)的最优性。反设存在(X′，Y′)，其列车对数比(X，Y)的列车对数更少，下面分2种情形导出矛盾。

情形1：存在一个最小的I，x_I＜x′_I并且x_j＝x′_j，y_j＝y′_j，j＝1，2，…，I-1。

显然， ${\stackrel{\&OverBar;}{x}}_I^{\&prime;}={\stackrel{\&OverBar;}{x}}_I,{\stackrel{\&OverBar;}{y}}_I^{\&prime;}={\stackrel{\&OverBar;}{y}}_{I.}$ 若 ${\stackrel{\&OverBar;}{y}}_I\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_I+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{TA}}^B,$ 则

$x_I={\stackrel{\&OverBar;}{y}}_I-\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)-{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{TA}}^B={\stackrel{\&OverBar;}{y}}_I^{\&prime;}-\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)-{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{TA}}^B\&GreaterEqual;x_I^{\&prime;}$

(上式中最后一个不等式由式(17)保证)。若则均与假设相矛盾。

情形2：存在一个最小的I，使y_I＜y′_I，并且

显然， ${\stackrel{\&OverBar;}{x}}_I^{\&prime;}={\stackrel{\&OverBar;}{x}}_I,{\stackrel{\&OverBar;}{y}}_I^{\&prime;}={\stackrel{\&OverBar;}{y}}_I.$ 若 ${\stackrel{\&OverBar;}{y}}_I\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_I+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{TA}}^B,$ 则 $y_I={\stackrel{\&OverBar;}{y}}_I={\stackrel{\&OverBar;}{y}}_I^{\&prime;}\&GreaterEqual;y_I^{\&prime;},$ 矛盾。

若 ${\stackrel{\&OverBar;}{y}}_I\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_I+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{TA}}^B,$ 则 $x_I={\stackrel{\&OverBar;}{x}}_I={\stackrel{\&OverBar;}{x}}_I^{\&prime;}.$ 算法1最多再执行h^B次以后，必将执行一次或(此时否则不满足约束(18)。相应地，或

$y_I={\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{I+h^B}+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{DA}}^B={\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{I+h^B}^{\&prime;}+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{DA}}^B\&GreaterEqual;{\stackrel{\&OverBar;}{y}}_I^{\&prime;}$

(上式中最后一个不等式由式(18)保证)。均与假设相矛盾。

所以，(X，Y)是发车时间优化模型的最优解。

容易看出，算法计算复杂度是线性的。证毕。

根据上述的具有单一尽头车场城轨线路的列车运行周转方法，优选的，所述单一尽头车场城轨线路的列车周转方法还包括有车场端的列车周转方法，包括以下步骤：

步骤一：获取有车场端列车周转相关参数：测定下行列车在始发站s_A的发车时间：X＝(x_i|i＝1，2，…，n)，其中x₁＜x₂＜…＜x_n；上行列车在始发站s_B的发车时间：Y＝(y_j|j＝1，2，…，n)，其中y₁＜y₂＜…＜y_n。在有车场端的车站s_A，测定停放列车数量的能力h^A、折返时间测定列车全程运行时间τ(s_A，s_B)。

步骤二：确定有车场端列车周转方案：给定发车时间，在车场端车站s_A列车接续、停放能力约束下，确定列车周转方案，控制列车数量、列车往返车场次数和所有列车在站停留时间，使得列车数量最少、列车往返车场次数最少以及所有列车在站停留时间最短；。

步骤三：通过求解初始指派集，并进行指派交换和剔除，使列车数量、列车往返车场次数和所有列车在站停留时间最少，并最终确定有车场端列车周转方案；根据最终确定的有车场端列车周转方案，控制列车在有车场端的周转过程。

上述的具有单一尽头车场城轨线路的列车运行周转方法，优选的，步骤二中的建立有车场端列车周转方案优化模型如下：

记列车在车站s_A的周转方案为指派集其中(j，i)∈M表示上行列车j接续下行列车i。列车对数量等于列车对数n扣除重复运用的列车对数，而重复运用的列车对数就是将车场p_A和车站s_A不加区分情况下列车的接续次数，这种接续关系表示为一个指派集：构建有车场端车站的列车周转方案分层次多目标优化模型如下：

$\min Z_1=n-\left|\hat{M}\right|---\left(19\right)$

minZ₂＝2(n-|M|)(20)

minZ₃＝∑_(j，i)∈M(x_i-y_j-τ(s_A，s_B))(21)约束条件：

$y_j+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{TA}}^A\&le;x_i,(j,i1)\&Element;M---\left(22\right)$

|((j，i)∈M|y_j+τ(s_A，s_B)≤t≤x_i}|≤h^A(23)其中，目标函数(19)表示列车数量Z₁最少，目标函数(20)表示列车往返车场次数Z₂最少，目标函数(21)表示列车在站停留时间Z₃最少。式(22)表示列车接续约束，式(23)表示列车停放能力约束。

上述的城轨线路有车场端的列车周转方法，优选的，步骤三中的建立有车场端车站的列车周转方案分层次多目标优化模型的求解算法如下。

周转方案M的优化过程包括求解初始指派集M，以及对M中指派的交换和剔除。求解初始指派集M用到了2种方法。方法1为“先到先服务”顺序指派法：按照j＝1，2，…，n的顺序，在i＝1，2，…，n中为j寻找最小的指派对象i，并满足接续约束(22)。方法2为“后到先服务”逆序指派法：按照i＝n，n-1，…，1的顺序，在j＝1，2，…，n中为i寻找最大的指派对象j，并满足接续约束(22)。

剔除M中的指派，是剔除一些不满足停放能力约束(23)的指派。

交换M中的2个指派，是交换2个指派的指派对象。如图2所示，(a)(b)分别为交换前和交换后的2个指派。不妨设(j，i)，(j′，i′)∈M，满足y_j＜y′_j，x_i＜x′_i。(j，i)与(j′，i′)交换是在满足的条件下，将(j，i)和(j′，i′)更新为(j，i′)和(j′，i)。指派(j，i′)比指派(j，i)具有更大的时间跨度：yj＜yj′＜x_i＜x′_i。

方便算法描述起见，引入函数m(j)，j∈{1，2，…，n}描述指派集M：若存在i使得(j，i)∈M，则m(j)＝i，否则m(j)＝0。函数m(·)伴随着指派集M的变化而变化。

根据“顺序和逆序求解指派，交换和剔除指派”的思想，设计算法如下。

算法2：列车周转方案的指派优化算法

输入：列车发车时间(X，Y)，全程旅行时间τ(s_A，s_B)，折返作业时间停放能力h^A；

输出：列车周转方案M，列车数量Z₁、往返车场次数Z₂、列车在站停留时间Z₃。

开始

采用“先到先服务”顺序指派法求解{j＝1，2，…，n}与{i＝1，2，…，n}之间的指派集

采用“后到先服务”逆序指派法求解{j＝1，2，…，n}与{i＝1，2，…，n}之间的指派集

采用“先到先服务”顺序指派法求解{j|存在i使得与{i|存在j使得之间的指派集

$Z_1\&LeftArrow;n-\left|\hat{M}\right|;$

$M\&LeftArrow;\hat{M};$

对于k＝1，2，…，n，记t＝y_k+τ(s_A，s_B)，若m(k)≠0且能力约束(20)不

成立，则执行

开始1

对于j＝k+1，k+2，…，n，循环执行

若m(j)≠0且 $y_j+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{TA}}^A\&le;x_{m\left(k\right)},$ 则更新M：交换

(k，m(k))与(j，m(j))，否则终止循环；

J←k，I←m(k)；

对于j＝k，k-1，…，2，循环执行

若m(j-1)≠0且 $y_j+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{TA}}^A\&le;x_{m(j-1)},$ 则更新M：

J←j-1，交换(j，I)与(J，m(J))，否则终止循环；

M←M\{(j，I)}；

返回1

Z₂←2(n-|M|)；

Z₃←∑_(j，i)∈M(x_i-y_j-τ(s_A，s_B))；

结束

算法2能够求解模型(19)-(23)的最优解并具有很高的求解效率，这一点可以由以下定理保证。

定理2：算法2求出的M是列车周转优化模型的最优解，算法复杂度是线性的。

证明：首先证明M的可行性。由于指派M的求解和交换都满足接续约束(22)，并且导致不满足停放能力约束(23)指派都被剔除，所以M是可行的。

然后证明M的最优性。由于和都是满足式(22)的最大基数指派集(即包含指派个数最多的指派集)，所以是所运用的最少列车数量。

在所有满足式(22)的最大基数指派集中，指派集对应的 ${\mathrm{\&Sigma;}}_{j:(j,i)\&Element;\stackrel{\&OverBar;}{M}}{y}_j=$ ${\mathrm{\&Sigma;}}_{j:(j,i)\&Element;\hat{M}}{y}_j$ 最小，指派集对应的 ${\mathrm{\&Sigma;}}_{i:(j,i)\&Element;\stackrel{\&OverBar;}{\stackrel{\&OverBar;}{M}}}{x}_i={\mathrm{\&Sigma;}}_{i:(j,i)\&Element;\hat{M}}{x}_i$ 最大，由此可知：指派集的接续时间

${\mathrm{\&Sigma;}}_{(j,i)\&Element;\hat{M}}(y_j+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)-x_i)={\mathrm{\&Sigma;}}_{j:(j,i)\&Element;\hat{M}}{y}_j-{\mathrm{\&Sigma;}}_{i:(j,i)\&Element;\hat{M}}{x}_i+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)\left|\hat{M}\right|$

在所有满足式(19)的最大基数指派集中最小。

可以证明：任意一个满足式(22)的最大基数指派集M′与均存在一一对应关系 $\{(j^{\&prime;},i^{\&prime;}),(j,i)|(j^{\&prime;},i^{\&prime;})\&Element;M^{\&prime;},(j,i)\&Element;\hat{M}\},$ 满足y′_j≤y_j＜x_i≤x′_i。

在交换与剔除过程中，算法2选择导致时间t能力超限的指派，将它与紧后所有可能的指派交换，获得一个从t往后时间跨度最长的指派(如图3的(a)，(b)所示，时刻t达到的列车超过了停车能力2列，时刻t达到列车的相关指派与紧后的3个指派进行了交换)。由于剔除一个指派意味着将这对列车推至车场接续，所以剔除这个指派比剔除跨越t的其它指派所导致的往返车场次数不会更多，所以，指派集M在所有列车数量Z₁最小的周转方案中，列车往返车场次数Z₂最少。

算法2在剔除指派之前，还与紧前所有可能的指派进行了交换，将更长的接续时间转移至车场，或者说，最大限度地缩短了车站接续时间(如图3的(b)，(c)，(d)所示，与紧前的2个指派进行了交换，并剔除了交换产生的最大跨度指派)。所以，在前2个目标Z₁，Z₂分层次达到最小的情况下，列车在站停留时间Z₃达到最小。

虽然算法中有一些关于二元组(j，i)的运算，但只要进行适当精细地描述，便可使算法2的计算复杂度成为线性的。证毕。

与现有技术相比，本发明的优点在于：本发明基于车站断面需求，结合旅客出行需求和服务水平，构造了最大发车间隔函数，在旅客服务水平和最大发车间隔函数约束下优化列车的运行成本。引入最大发车间隔函数的列车运行计划优化问题，隐去了车站断面需求，在很大程度上简化了问题的求解难度。本发明分别构建了列车发车时间优化模型和列车周转方案优化模型。对于列车发车时间优化子问题，提出了双向关联序列化优化算法，动态寻找当前最早列车并求解其最晚发车时间，满足无车场端列车周转约束，使列车趟数最少。对于列车周转方案优化子问题，提出了指派优化算法，通过求解最大基数指派优化列车数量；通过指派交换与剔除，优化列车往返车场次数和在站停留时间。使得单一尽头车场的列车运行成本低，并且满足旅客出行需求和服务水平。

附图说明

图1为本发明列车运行周转方法的流程图。

图2为本发明列车周转方案的指派交换示意图；其中(a)图表示交换前指派，(b)表示交换后指派。

图3为本发明列车周转方案的交换和剔除指派示意图；其中(a)表示初始指派集，(b)表示3次紧后交换，(c)表示2次紧前交换，(d)表示剔除指派。

图4为本发明实施例中断面需求概率密度分布函数曲线示意图。

图5为本发明实施例中最大发车间隔函数与阶梯函数示意图。

图6为本发明实施例中列车运行计划示意图。

具体实施方式

如图1-图6所示，本发明具体实施方式归纳如下：

(1)收集城轨线路列车运行和周转的环境参数和需求参数；

(2)构建最大发车间隔阶梯函数；

(3)按照算法1确定双向列车始发时间和无车场端列车周转方案；

(4)按照区间运行时间和停站时间确定各列车在各站的到达和发车时间；

(5)按照算法2确定有车场端列车周转方案。

由上述步骤便可从记录测试环境参数和需求参数开始，实现列车运行与周转全过程。

实施例

以某条城轨线路为例，首先收集城轨线路列车运行和周转的环境参数和需求参数：

测定该线路上共30个车站，测定列车在沿途各站停车时间分为s₅，s₇，s₈，s₁₉-s₂₈：30s；s₁，s₂₉，s₃₀：34s；s₉，s₁₄，s₁₅：45s；其它车站为40s，区间运行时间如表1所示，区段旅行时间等于途经的各区间运行时间和车站停车时间之和，全程旅行时间70min。列车载客定员C＝1200人/列，最小载客系数α＝0.75，最大载客系数β＝1.25，测定列车最小和最大发车间隔分别τ_min＝2.5min和τ_max＝15min。测定车站折返作业时间停放能力h^A＝h^B＝2列，测定车站s_B能力饱和时发到间隔时间全天运营时段为5：00-24：00。首班车双向最晚发车时间均为6：20；末班车双向最早发车时间均为22：30。

表1区间运行时间(单位：s)

车站断面需求强度分布由车站全天断面需求总量和车站断面需求概率密度分布共同确定。各车站全天断面需求总量如表2所示，概率密度分布函数曲线如图4所示。

表2全天断面需求总量(单位：人)

图4的每个小图块描绘一个车站下行方向D和上行方向U的断面需求分布曲线，小图块右上角标记了车站标识，概率密度分布曲线分别用实线和虚线表示，实线表示下行方向D，虚线表示上行方向U。图4表明：上行需求与城市出行早高峰同步；下行需求与城市出行晚高峰同步。

利用步骤2的方法，双向阶梯函数段数均设为10段，获得双向最大发车间隔函数F^D(x)，F^U(y)和阶梯函数如图5所示，实线表示下行方向D，虚线表示上行方向U。

先后利用算法1和算法2，获得列车运行计划如图6所示。图6中三角形表示列车出入车场的方向，实心三角形表示列车第一次出车场或最后一次进车场，空心三角形表示列车在车场的接续。图6展示的列车运行计划开行列车64趟，需要列车37列，往返车场116次，在车站s_A停留时间719min。其中，列车首末出入车场74次，因车站s_A停放能力不足而往返车场42次。

除了定理1和定理2已经证明的算法1和算法2的最优性以外，还可以与实际运行方案比较。在该线路的实际运行中，第1列列车发车时间与图6相同，下行列车发车间隔时间及趟数依次为：7min间隔5趟，3min间隔35趟，6min间隔98趟，4min间隔46趟，9min间隔16趟，所有下行列车到达车站s_B后立即折返。这样的列车开行计划开行列车400趟，需要列车43列，往返车场110次，在车站s_A停留时间816min。

相比上述2个方案，图6展示的列车运行计划具有明显优势，少开行列车64趟，少需要列车6列。主要原因在于图6展示的列车开行间隔变化相对频繁、列车开行频率与旅客出行需求吻合程度更高所致。

Claims (5)

1.一种具有单一尽头车场城轨线路的列车运行周转方法，包括以下步骤：

步骤1：获取城轨线路列车运行环境与需求参数：

测定城轨系统运营时间[T₁，T₂]，城轨线路的车站数量N和车站集S，并记S＝{s₁，s₂，…，s_N}，其中s₁＝s_A为线路上的有车场的端点站，s_N＝s_B为线路上无车场的端点站，将列车由s_A运行到s_B记为列车运行的下行方向D，列车由s_B运行到s_A记为列车运行的上行方向U，将下行和上行首班列车的最晚发车时间分别记为 将下行和上行末班列车最早发车时间分别记为 在无车场端点站s_B测定列车停放能力为h^B、折返作业时间为停车饱和时列车发车与到达的最小间隔时间为对于线路上任意2个车站s_i和s_j构成的区段，测定列车运行时间，并记为τ(s_i，s_j)，s_i，s_j∈S；对于同一方向的相邻列车，测定最小发车间隔τ_min和最大发车间隔τ_max，测定列车载客定员C，在各个车站s∈S，分方向D和U，测定断面需求分布t∈[T₁，T₂]；

步骤2：分别构建方向D和U的最大发车间隔函数F^D(x)和F^U(x)，并按照指定预分段数生成最大间隔阶梯函数和其中最大间隔阶梯函数和满足：在的每一段水平线上，至少存在一点使 ${\stackrel{\&OverBar;}{F}}^D\left(x\right)=F^D\left(x\right),$ ${\stackrel{\&OverBar;}{F}}^U\left(x\right)\&le;F^U\left(x\right),$ 在的每一段水平线上，至少存在一点使 ${\stackrel{\&OverBar;}{F}}^U\left(x\right)=F^U\left(x\right);$

步骤3：确定全天开行列车对数、双向列车的发车时间表和无车场端列车周转方案：在满足首末班车发车时间、最小发车间隔、最大发车间隔、无车场端车站的列车接续与停放能力约束下，控制列车开行对数使线路全天开行的列车对数最少；通过列车发车时间的双向关联序列化优化算法，序列化确定列车最优发车时间，并根据该列车发车时间表控制列车的发车；同时，确定全天开行列车对数、控制该列车发车时间表下列车在无车场端的周转过程。

2.根据权利要求1所述的具有单一尽头车场城轨线路的列车运行周转方法，其特征在于：所述步骤2中，确定最大发车间隔函数的方法如下：

1)最大发车间隔时间的选择

对于下行方向D，一趟列车在始发站s_A的发车时间为x，该列车在车站s∈S\{s_B}的滞留人数为σ^s(x)，发车时间为x^s＝x+τ(s_A，s)，在已知x和σ^s(x)的条件下，当对任何s∈S\{s_B}，满足 ${\&Integral;}_{x^s}^{x^s+{\mathrm{\&tau;}}_{min}}{Q}_s^D\left(t\right)dt+{\mathrm{\&sigma;}}^s\left(x\right)\&le;\mathrm{\&alpha;}C,$

对于s∈S\{s_B}，如果存在τ^s≥τ_min+x^s，使得

${\&Integral;}_{x^s}^{{\mathrm{\&tau;}}^s}{Q}_s^D\left(t\right)dt+{\mathrm{\&sigma;}}^s\left(x\right)=\mathrm{\&alpha;}C$ α为最小载客系数(1)

则令t^s＝τ^s，否则令t^s＝∞，由此可得：

F^D(x)＝min{τ_max，min{t^s-x^s|s∈S\{s_B}}}(2)

σ^s(x+F^D(x))＝0，s∈S\{s_B}；(3)

当存在s∈S\{s_B}，满足 ${\&Integral;}_{x^s}^{x^s+{\mathrm{\&tau;}}_{min}}{Q}_s^D\left(t\right)dt+{\mathrm{\&sigma;}}^s\left(x\right)>\mathrm{\&alpha;}C$

由旅客服务水平要求可得：

F^D(x)＝τ_min(4)

${\mathrm{\&sigma;}}^s(x+F^D(x\left)\right)=max\{0,{\&Integral;}_{x^s}^{x^s+{\mathrm{\&tau;}}_{min}}{Q}_s^D\left(t\right)dt+{\mathrm{\&sigma;}}^s\left(x\right)-\mathrm{\&beta;}C\},s\&Element;S\backslash \left\{s_B\right\}---\left(5\right)$

β为最大载客系数，

对于在上行方向U，最大间隔F^U(x)推导方法与下行方向完全相同；

2)确定最大发车间隔函数

对于下行方向D，在运营时段[T₁，T₂]中，将编制列车运行计划的最小时间单位τ为间隔，均匀划分区间[T₁-τ_max，T₁]获得K个时间点k＝1，2，…，K；将按时间顺序统一排列，获得新的时间序列并记为{t₁，t₂，…t_i…}，连续的最大发车间隔函数为：

$F^D\left(x\right)=\frac{x-t_i}{t_{i-1}-t_i}{F}^D\left(t_{i-1}\right)+\frac{x-t_{i-1}}{t_i-t_{i-1}}{F}^D\left(t_i\right),x\&Element;\&lsqb;t_{i-1},t_i\&rsqb;,i=2,3,...,M---\left(6\right)$

对于在上行方向U，最大间隔F^U(x)推导方法与下行方向F^D(x)的构造完全相同；

3)确定最大发车间隔阶梯函数

对于给定的最大间隔函数F(x)可以是F^U(x)或F^D(x)的任意一个x∈[T₁，T₂]以及预分区间数k，先将[T₁，T₂]均分成M＝10×k区间，所有分段依次记为Ω₁，Ω₂，…，Ω_M，并记下面通过相邻区间逐步合并使得区间数量达到k为止；

对于i＝1，2，…，M-1，求

$r_i=\left\{\begin{array}{cc}\left(\stackrel{\&OverBar;}{F}\left({\mathrm{\&Omega;}}_{i+1}\right)-\stackrel{\&OverBar;}{F}\left({\mathrm{\&Omega;}}_i\right)\right)\&times;L_{i+1},& \stackrel{\&OverBar;}{F}\left({\mathrm{\&Omega;}}_i\right)\&le;\stackrel{\&OverBar;}{F}\left({\mathrm{\&Omega;}}_{i+1}\right)\\ \left(\stackrel{\&OverBar;}{F}\left({\mathrm{\&Omega;}}_i\right)-\stackrel{\&OverBar;}{F}\left({\mathrm{\&Omega;}}_{i+1}\right)\right)\&times;L_i,& \stackrel{\&OverBar;}{F}\left({\mathrm{\&Omega;}}_i\right)>\stackrel{\&OverBar;}{F}\left({\mathrm{\&Omega;}}_{i+1}\right)\end{array}\right.$

记I＝argmin{r_i|i＝1，2，…，M-1}；若 $\stackrel{\&OverBar;}{F}\left({\mathrm{\&Omega;}}_I\right)>\stackrel{\&OverBar;}{F}\left({\mathrm{\&Omega;}}_{I+1}\right),$ 则 $\stackrel{\&OverBar;}{F}({\mathrm{\&Omega;}}_I\&cup;{\mathrm{\&Omega;}}_{I+1})\&LeftArrow;$ $\stackrel{\&OverBar;}{F}\left({\mathrm{\&Omega;}}_{I+1}\right),$ 否则 $\stackrel{\&OverBar;}{F}({\mathrm{\&Omega;}}_I\&cup;{\mathrm{\&Omega;}}_{I+1})\&LeftArrow;\stackrel{\&OverBar;}{F}\left({\mathrm{\&Omega;}}_I\right);$ Ω_I←Ω_I∪Ω_I+1，对于j＝I+1，I+2，…，M-1，Ω_j←Ω_j+1；M←M-1；如此循环，直至M＝k为止，由此获得将[T₁，T₂]划分的k区间Ω₁，Ω₂，…，Ω_k以及每个区间上的最小值

3.根据权利要求1所述的具有单一尽头车场城轨线路的列车运行周转方法，其特征在于：所述步骤3的具体操作如下：

记列车对数为n；下行列车在始发站s_A的发车时间为X＝(x_i|i＝1，2，…，n)，其中x₁＜x₂＜…＜x_n；上行列车在始发站s_B的发车时间为Y＝(y_j|j＝1，2，…，n)，其中y₁＜y₂＜…＜y_n；控制列车开行对数使线路全天开行的列车对数最少，即

minZ＝n(7)

同时满足以下约束控制条件：

$x_1\&le;t_L^D---\left(8\right)$

$y_1\&le;t_L^U---\left(9\right)$

$x_1+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)+{\mathrm{\&tau;}}_{TA}^B\&le;t_L^U---\left(10\right)$

$x_n\&GreaterEqual;t_E^D---\left(11\right)$

$y_n\&GreaterEqual;t_E^U---\left(12\right)$

x_i+1-x_i≥τ_min，i＝1，2，…，n-1(13)

y_j+1-y_j≥τ_min，j＝1，2，…，n-1(14)

$x_{i+1}-x_i\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{F}}^D\left(x_i\right),i=1,2,...,n-1---\left(15\right)$

$y_{j+1}-y_j\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{F}}^U\left(y_j\right),j=1,2,...,n-1---\left(16\right)$

$y_j\&GreaterEqual;x_j+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)+{\mathrm{\&tau;}}_{TA}^B,j=1,2,...,n---\left(17\right)$

$x_i+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)\&GreaterEqual;y_{i-h^B}+{\mathrm{\&tau;}}_{DA}^B,i=h^B+1,h^B+2,...,n---\left(18\right)$

其中，式(8)、(9)分别为下行和上行首班车发车时间约束，式(10)表示下行首班车到达终点站时间x₁+τ(s_A，s_B)必须接续上行首班车最晚发车时间还须提前折返作业时间式(11)、(12)分别为下行和上行末班车发车时间约束，式(13)、(14)分别为下行和上行最小发车间隔约束，式(15)、(16)分别为下行和上行最大发车间隔约束，式(17)为无车场端车站s_B列车接续约束，式(18)为无车场端车站s_B停放能力约束。

4.根据权利要求1-3任一项所述的具有单一尽头车场城轨线路的列车运行周转方法，其特征在于：所述列车运行周转方法还包括有车场端的列车周转方法，包括以下步骤：

步骤一：获取有车场端列车周转相关参数：测定下行列车在始发站s_A的发车时间：X＝(x_i|i＝1，2，…，n)，其中x₁＜x₂＜…＜x_n；上行列车在始发站s_B的发车时间：Y＝(y_j|j＝1，2，…，n)，其中y₁＜y₂＜…＜y_n，在有车场端的车站s_A，测定停放列车数量的能力h^A、折返时间测定列车全程运行时间τ(s_A，s_B)；

步骤二：确定有车场端列车周转方案：给定发车时间，在车场端车站s_A列车接续、停放能力约束下，确定列车周转方案，控制列车数量、列车往返车场次数和所有列车在站停留时间，使得列车数量最少、列车往返车场次数最少以及所有列车在站停留时间最短；

步骤三：通过求解初始指派集，并进行指派交换和剔除，使列车数量、列车往返车场次数和所有列车在站停留时间最少，并最终确定有车场端列车周转方案；根据最终确定的有车场端列车周转方案，控制列车在有车场端的周转过程。

5.根据权利要求4所述的具有单一尽头车场城轨线路的列车运行周转方法，其特征在于：所述步骤二的具体操作如下：

记列车在车站s_A的周转方案为指派集其中(j，i)∈M表示上行列车j接续下行列车i，列车对数量等于列车对数n扣除重复运用的列车对数，而重复运用的列车对数就是将车场p_A和车站s_A不加区分情况下列车的接续次数，这种接续关系表示为一个指派集构建有车场端车站的列车周转方案分层次多目标优化模型如下：

$\min Z_1=n-\left|\hat{M}\right|---\left(19\right)$

minZ₂＝2(n-|M|)(20)

minZ₃＝∑_(j，i)∈M(x_i-y_j-τ(s_A，s_B))(21)

约束条件： $y_j+\mathrm{\&tau;}(s_A,s_B)+{\mathrm{\&tau;}}_{TA}^A\&le;x_i,(j,i)\&Element;M---\left(22\right)$

|{(j，i)∈M|y_j+τ(s_A，s_B)≤t≤x_i}|≤h^A(23)

其中，目标函数(19)表示列车数量Z₁最少，目标函数(20)表示列车往返车场次数Z₂最少，目标函数(21)表示列车在站停留时间Z₃最少，式(22)表示列车接续约束，式(23)表示列车停放能力约束。