CN104376133B - 具有光滑曲线折纹的折纸结构的实现及应用方法 - Google Patents

Abstract

一种计算机图像处理技术领域的具有光滑曲线折纹的折纸结构的实现及应用方法，该折纸结构可用于制作板材填充材料，且本发明易于在计算机中编程实现、可在三维空间中直接设计。利用本发明可以方便计算得到大量折纸结构设计方案，从而免去了通过查阅大量文献寻找合适折纸结构的工作。

Description

具有光滑曲线折纹的折纸结构的实现及应用方法

技术领域

本发明涉及的是一种计算机图像处理技术领域的方法，具体是一种便于在计算机程序中实现的具有光滑曲线折纹的折纸结构的实现及应用方法。

背景技术

折纸结构具有非常广泛的用途，例如可以作为吸能材料(Ma J(2011)Thin-walledtubes with pre-folded origami patterns as energy absorption devices.PhDthesis(University of Oxford,Oxford,United Kingdom).)、飞机结构部件填充材料(F,Wolf K,Hauffe A,Alekseev KA,Zakirov IM(2011)Wedge-shaped foldedsandwich cores for aircraft applications:from design and manufacturingprocess to experimental structure validation.CEAS Aeronautical Journal2(1-4):203-212)、建筑结构部件(Elsayed EA,Basily BB(2004)A continuous folding processfor sheet materials.Int J Mater Prod Technol21:217-238.)、可展开式卫星太阳能帆板(Miura K,Natori M(1985)2-D array experiment on board a space flyerunit.Space Solar Power Rev5(4):345–356)、设计有效的购物袋或地图的折叠方法(WuW,You Z(2011)A solution for folding rigid tall shopping bags.Proc.R.Soc.A467(2133):2561-2574.)、植入式医疗器械(Kuribayashi K,et al.(2006)Self-deployableorigami stent grafts as a biomedical application of Ni-rich TiNishape memoryalloy foil.Mater Sci Eng A Struct Mater419(1-2):131-137.)、吸声材料(Wang ZJ,XuQH(2006)Experimental research on soundproof characteristics for the sandwichplates with folded core.J Vib Eng19:65-69.)、自折式薄膜材料(Pickett GT(2007)Self-folding origami membranes.Europhys Lett78(4):48003.)或者可折叠式超材料(Schenk M,Gues SD(2013)Geometry of Miura-folded metamaterials.PNAS110(9):3276-3281.)。上述应用到折纸结构的一个最基本也是最重要的问题是折纸结构的几何设计。只有获得了有效的折纸结构设计，才有可能将这些折纸结构应用到实际工程中。

虽然目前有数种折纸结构在文献中被提出(Nojima T(2002)Modelling offolding patterns in flat membranes and cylinders by origami.JSME Int J C45(1):364-370.；Nojima T(2003)Modelling of compact folding/wrapping of flatcircular membranes.JSME Int J C46(4):1547-1553.；Khaliulin VI(2003)Classification of regular row-arranged folded structures.Izvestiya VUZAviatsionnaya Tekhnika46(1):7-12.；Khaliulin VI(2005)A technique forsynthesizing the structures of folded cores of sandwich panels.Izvestiya VUZAviatsionnaya Tekhnika48(1):7-12.；Zakirov IM,Alekseev KA(2010)Design of awedge-shaped folded structure.Journal of Machinery Manufacture andReliability39(5):412-417.)，然而这些折纸结构种类有限，并且都是在平面折纹图案的基础上提出的，因此在实际应用中具有诸多不便。可见，目前缺少一种可以让工程师或者研究人员针对某一实际问题很方便地利用计算机获得大量潜在的折纸结构设计方案，从而从这些设计方案中选出适用于该问题的最佳折纸结构。

发明内容

本发明针对现有技术存在的上述不足，提出一种具有光滑曲线折纹的折纸结构的实现及应用方法，易于在计算机中编程实现、可在三维空间中直接设计的、并可得到诸多几何外形的折纸结构设计方法。利用本发明可以方便计算得到大量折纸结构设计方案，从而免去了通过查阅大量文献寻找合适折纸结构的工作。

本发明是通过以下技术方案实现的，本发明包括以下步骤：

步骤一，在一个三维坐标系的x-z平面定义一条曲线方程z=f_x(x)，x∈[x₁,x₂]，其中：z代表三维坐标系的x-z平面内z轴坐标，x代表三维坐标系的x-z平面内x轴上在[x₁,x₂]区间内的坐标。

步骤二，选定N，N为大于1的自然数，对区间[x₁,x₂]进行N等分，每一小段的长度为x₂-x₁/N，由此得到N+1个x轴坐标i=1,2,…,N+1。

步骤三，以为x轴坐标，在上述定义的x-z平面的曲线进行离散化，得到N+1个离散点i=1,2,…,N+1，其中：其中：为三维坐标系的z轴坐标。

步骤四，在同一个三维坐标系的y-z平面输入m+2个点坐标，m为大于1的自然数，用表示，其中：j=0,2,…,m+1，为三维坐标系的y轴坐标，为三维坐标系的z轴坐标。

步骤五，确定(N+1)×m个顶点坐标V_i,j，具体为：

其中：x_i,j代表三维坐标系的x轴坐标，y_i,j代表三维坐标系的y轴坐标，z_i,j代表三维坐标系的z轴坐标，矩阵[A_j]是一个3×3的矩阵，具体为：

其中：参数θ_j,j=1,2,…,m为一个取之范围在[0，2π]的角度变量，其表征具体为：

其中：i_y=[0 1 0]^T为y坐标轴的单位向量，i_z=[0 0 1]^T为z坐标轴的单位向量，||■||表示对向量取模。

上述得到的(N+1)×m个顶点V_i,j,i=1,2,…,N+1;j=1,2,…,m即构成了目标折纸结构的顶点。

步骤六，定义{V_i,j V_i+1,j}i=1,2,…,N;j=1,2,…,m或者{V_i,j V_i,j+1},i=1,2,…,N+1;j=1,2,…,m-1，为一对相邻顶点，其中：将所有相邻顶点用直线连接起来，这些相邻顶点之间的连接线段即构成了目标折纸结构的折纹；当N→∞，上述得到的折纸结构具有曲线折纹。而当N足够大时，上述得到的折纸结构具有准曲线折纹。

步骤七，定义i＝1，2...，N+1；j=1,2,…,m为上述设计得到的三维折纸结构的顶点V_i,j在该三维折纸结构所对应的平面折纹图案(folding pattern)中所对应的坐标，其中，为平面折纹图案所在二维直角坐标系的x轴坐标，为平面折纹图案所在二维直角坐标系的y轴坐标。利用公式(5)-公式(7)，可以获得全部

或

其中：i=1,2…,m-1为取之范围在[0，π]之间的角度变量，其值可通过公式(8.1)确定，ξ_i，i=1,2…,m-1为取之范围在[0，π]之间的角度变量，其值可通过公式(8.2)确定。

步骤八，利用与步骤六中类似的规则，将相邻的用直线段连接起来，即构成了三维折纸结构的平面折纹图案。

本发明涉及上述具有光滑曲线折纹的折纸结构的应用，用于制作板材填充材料。

所述的板材包括但不限于用于汽车前后保险杠的吸能结构、飞机尾翼、垂直翼或副翼、建筑物室外及室内的墙板等。

技术效果

与现有技术相比，本发明技术效果包括：一种易于在计算机中编程实现、可在三维空间中直接设计的、并可得到诸多几何外形的折纸结构设计方法。利用这种方法，对于一个不了解却希望应用折纸结构的工程师，可以很方便地利用计算机获得大量折纸结构设计方案，从而免去了通过查阅大量文献寻找合适折纸结构的工作。

附图说明

图1为曲线方程示意图。

图2为目标折纸结构的折纹示意图。

图3为正弦曲线示意图。

图4为实施例1中公式(11)曲线示意图。

图5为实施例1中三维折纸结构示意图，图中N为100。

图6为实施例1中三维折纸结构示意图，图中N为200。

图7为图6所示的三维折纸结构的平面折纹图案。

图8为实施例2中公式(12)曲线示意图。

图9为实施例2中公式(14)曲线示意图。

图10为实施例2中三维折纸结构示意图，图中N为100。

图11为实施例2中三维折纸结构示意图，图中N为200。

图12为图11所示的三维折纸结构的平面折纹图案。

图13为实施例3中公式(15)曲线示意图。

图14为实施例3中三维折纸结构示意图，图中N为100。

图15为实施例3中三维折纸结构示意图，图中N为200。

图16为图15所示的三维折纸结构的平面折纹图案。

图17为实施例4中三维折纸结构示意图，图中N为200。

图18为图17所示的三维折纸结构的平面折纹图案。

图19为实施例5中三维折纸结构示意图，图中N为200。

图20为图19所示的三维折纸结构的平面折纹图案。

具体实施方式

下面对本发明的实施例作详细说明，本实施例在以本发明技术方案为前提下进行实施，给出了详细的实施方式和具体的操作过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。

实施例1

本实施例包括以下步骤：

在x-z平面上定义一条由公式(9)给出的正弦曲线，如图3所示。

将x轴上区间[0，3T]等分为N等分，得到N+1个坐标i=1,2,…,N+1。以上述x坐标。以为x轴坐标，对上述正弦曲线进行离散化，得到由公式(10)给出的N+1个离散点。

在y-z平面定义由公式(11)给出的m+2个坐标点，如图4所示。

根据步骤五和步骤六，可得到折纸结构的(N+1)×m个顶点坐标V_i,j和折纹。令A=1，T=4，β=π/4，m=7，图5至图7分别显示了当N取100和200时的三维折纸结构。可以看到，通过增加N，可得到更加光滑的曲线折纹。

根据步骤七和八，可进一步得到三维折纸结构对应的平面折纹图案。图7显示了图6所示的三维折纸结构的平面折纹图案，其中：实线代表峰折纹，虚线代表谷折纹。

本实施例得到折纸结构设计可用作复合板夹层结构的夹层材料。

实施例2

本实施例包括以下步骤：

在x-z平面上定义一条由公式(12)给出的曲线，如图8所示。

将x轴上区间[0，12R]等分为N等分，得到N+1个坐标i=1,2,…,N+1。以为x轴坐标，对上述正弦曲线进行离散化，得到由公式(13)给出的N+1个离散点。

其中：表示对实数R求整。

在y-z平面定义由公式(14)给出的m+2个坐标点，如图9所示。

根据步骤五和步骤六，可得到折纸结构的(N+1)×m个顶点坐标V_i,j和折纹。令R=0.1，b=1,β=π/4，m=8，图10至图11分别显示了当N取100和200时的三维折纸结构。同样，通过增加N，可得到更加光滑的曲线折纹。

根据步骤七和八，可进一步得到三维折纸结构对应的平面折纹图案。图12显示了图11所示的三维折纸结构的平面折纹图案，其中：实线代表峰折纹，虚线代表谷折纹。

本实施例得到折纸结构可用于建筑物屋顶设计。

实施例3

本实施例包括以下步骤：

在x-z平面上定义一条由公式(9)给出的正弦曲线，如图3所示。将x轴上区间[0，3T]等分为N等分，得到N+1个坐标i=1,2,…,N+1。以上述x坐标。以为x轴坐标，对上述正弦曲线进行离散化，得到由公式(10)给出的N+1个离散点。

在y-z平面定义由公式(15)给出的m+2个坐标点，如图13所示。

根据步骤五和步骤六，可得到折纸结构的(N+1)×m个顶点坐标V_i,j和折纹。令R=0.5，b=1,β=π/4，m=8，图14至图15分别显示了当N取100和200时的三维折纸结构。同样，通过增加N，可得到更加光滑的曲线折纹。与此同时，该折纸结构具有弯曲的空间形态。

根据步骤七和八，可进一步得到三维折纸结构对应的平面折纹图案。图16显示了图15所示的三维折纸结构的平面折纹图案，其中：实线代表峰折纹，虚线代表谷折纹。

本实施例得到的空间折纸结构可用作弯曲复合板夹层结构的夹层材料。

实施例4

本实施例包括以下步骤：

在x-z平面上定义一条由公式(9)给出的正弦曲线，如图3所示。将x轴上区间[0，3T]等分为N等分，得到N+1个坐标i=1,2,…,N+1。以上述x坐标。以为x轴坐标，对上述正弦曲线进行离散化，得到由公式(10)给出的N+1个离散点。

在y-z平面定义由公式(16)给出的4m+2个坐标点，其中m为自然数

根据步骤五和步骤六，可得到折纸结构的(N+1)×4m个顶点坐标V_i,j和折纹。令A=1，T=4，β=π/4,m=4，图17显示了当N取200时的三维折纸结构。可以看到，该折纸结构呈楔形(wedge-shape)。

根据步骤七和八，可进一步得到三维折纸结构对应的平面折纹图案。图18显示了图17所示的三维折纸结构的平面折纹图案，其中：实线代表峰折纹，虚线代表谷折纹。

本实施例得到的折纸结构可以作为飞机尾翼、垂直翼或副翼的内部结构填充材料。

实施例5

本实施例包括以下步骤：

在x-z平面上定义一条由公式(9)给出的正弦曲线，如图3所示。将x轴上区间[0，3T]等分为N等分，得到N+1个坐标i=1,2,…,N+1。以上述x坐标。以为x轴坐标，对上述正弦曲线进行离散化，得到由公式(10)给出的N+1个离散点。

在y-z平面定义由公式(17-24)给出的9个坐标点

根据步骤五和步骤六，可得到折纸结构的(N+1)×7个顶点坐标V_i,j和折纹。令A=1，T=6，b=5，图19显示了当N取200时的三维折纸结构。可以看到，该折纸结构呈一六边形环状结构。

根据步骤七和八，可进一步得到三维折纸结构对应的平面折纹图案。图20显示了图19所示的三维折纸结构的平面折纹图案，其中：实线代表峰折纹，虚线代表谷折纹。

本实施例得到的折纸结构可以用来设计汽车前后保险杠的吸能结构。

Claims (2)

1.一种具有光滑曲线折纹的折纸结构的应用，其特征在于，用于制作板材填充材料；所述的折纸结构通过以下方式得到：

步骤一，在一个三维坐标系的x-z平面定义一条曲线方程z＝f_x(x)，x∈[x₁,x₂]，其中：z代表三维坐标系的x-z平面内z轴坐标，x代表三维坐标系的x-z平面内x轴上在[x₁,x₂]区间内的坐标；

步骤二，选定N，N为大于1的自然数，对区间[x₁,x₂]进行N等分，每一小段的长度为(x₂-x₁)/N，由此得到N+1个x轴坐标i＝1,2,…,N+1；

步骤三，以为x轴坐标，在上述定义的x-z平面的曲线进行离散化，得到N+1个离散点i＝1,2,…,N+1，其中：其中：为三维坐标系的z轴坐标；

步骤四，在同一个三维坐标系的y-z平面输入m+2个点坐标，m为大于1的自然数，用表示，其中：j＝0,2,…,m+1，为三维坐标系的y轴坐标，为三维坐标系的z轴坐标；

步骤五，确定(N+1)×m个顶点坐标V_i,j，具体为：

$V_{i,j}=\left[\begin{array}{c}{x}_{i,j}\\ y_{i,j}\\ z_{i,j}\end{array}\right]=V_j^y+\[A_j\]V_i^x,i=1,2,...,N+1;j=1,2,...,m---\left(1\right)$

其中：x_i,j代表三维坐标系的x轴坐标，y_i,j代表三维坐标系的y轴坐标，Z_i,j代表三维坐标系的z轴坐标，矩阵[A_j]是一个3×3的矩阵，具体为：

$\[A_j\]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& {(-1)}^j\frac{{\mathrm{cos\θ}}_{j-1}+{\mathrm{cos\θ}}_j}{\sin ({\mathrm{\θ}}_{j-1}-{\mathrm{\θ}}_j)}\\ 0& 0& {(-1)}^j\frac{{\mathrm{sin\θ}}_{j-1}+{\mathrm{sin\θ}}_j}{\sin ({\mathrm{\θ}}_{j-1}-{\mathrm{\θ}}_j)}\end{array}\right],j=1,2,\mathrm{...},m---\left(2\right)$

其中：参数θ_j,j＝1,2,…,m为一个取之范围在[0，2π]的角度变量，其表征具体为：

${\mathrm{sin\θ}}_j=\frac{i_z\·(V_{j+1}^y-V_j^y)}{\left|\right|V_{j+1}^y-V_j^y\left|\right|}---\left(3\right)$

${\mathrm{cos\θ}}_j=\frac{i_y\·(V_{j+1}^y-V_j^y)}{\left|\right|V_{j+1}^y-V_j^y\left|\right|}---\left(4\right)$

其中：i_y＝[0 1 0]^T为y坐标轴的单位向量，i_z＝[0 0 1]^T为z坐标轴的单位向量，‖■‖表示对向量取模；

步骤六，定义{V_i,j V_i+1,j}i＝1,2,…,N；j＝1,2,…,m或者{V_i,j V_i,j+1},i＝1,2,…,N+1；j＝1,2,…,m-1，为一对相邻顶点，其中：将所有相邻顶点用直线连接起来，这些相邻顶点之间的连接线段即构成了目标折纸结构的折纹；当N→∞，上述得到的折纸结构具有曲线折纹；

步骤七，定义i＝1,2,…,N+1；j＝1,2,…,m为上述折纸结构得到的三维折纸结构的顶点V_i,j在该三维折纸结构所对应的平面折纹图案中所对应的坐标，其中，为平面折纹图案所在二维直角坐标系的x轴坐标，为平面折纹图案所在二维直角坐标系的y轴坐标；利用公式(5)-公式(7)，可以获得全部

${\tilde{V}}_{1,1}={\left[\begin{array}{cc}0& 0\end{array}\right]}^T---\left(5\right)$

或

${\tilde{V}}_{i,1}={\tilde{V}}_{i-1,1}+\left|\right|V_{i-1,1}-V_{i,1}\left|\right|\left[\begin{array}{c}{\mathrm{sin\ξ}}_{i-1}\\ -{\mathrm{cos\ξ}}_{i-1}\end{array}\right],i=2,3,...,m---\left(6.2\right)$

${\tilde{V}}_{i,j}={\tilde{V}}_{i,j-1}+\left|\right|V_{i,j-1}-V_{i,j}\left|\right|\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right],i=1,2,...,m;j=2,3,...,n---\left(7\right)$

其中：i＝1,2…,m-1为取之范围在[0，π]之间的角度变量，其值可通过公式(8.1)确定，ξ_i，i＝1,2…,m-1为取之范围在[0，π]之间的角度变量，其值可通过公式(8.2)确定；

${\mathrm{cos\ξ}}_i=\frac{\left|\right|V_{i+1,1}-V_{i+1,2}|{|}^2+||V_{i,1}-V_{i+1,1}|{|}^2-\left|\right|V_{i+1,2}-V_{i,1}|{|}^2}{2\left|\right|V_{i+1,1}-V_{i+1,2}\left|\right|\left|\right|V_{i,1}-V_{i+1,1}\left|\right|},{\mathrm{\ξ}}_i\∈(0,\mathrm{\π})---\left(8.2\right)$

步骤八，利用与步骤六中类似的规则，将相邻的用直线段连接起来，即构成了三维折纸结构的平面折纹图案。

2.根据权利要求1所述的应用，其特征是，所述的板材包括：用于汽车前后保险杠的吸能结构、飞机尾翼、垂直翼或副翼、建筑物室外及室内的墙板。