CN104361633A - 一种数据相关且具有物理意义的物体变形序列的还原方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种数据相关且具有物理意义的物体变形序列还原方法，该方法以在时间轴上稀疏采样的关键模型为输入，可以快速生成模型的整个变形序列。首先对关键模型进行模态分析，将得到的模态作为一组基对描述物体变形的动力学方程进行降维，并同时将互相耦合的方程组分解为多个互相独立的方程；再将求解时间连续的变形问题转化为求时间上积分的最小值，根据欧拉-拉格朗日定理得到解析表达式；最后求解线性方程组得到完整的变形序列。在模态分析过程中，所得到模态与数据相关，能很好地描述输入模型的变形，同时又极大地降低了数据的维度，并且结果具有解析表达式，可以实现实时交互。而且所求结果满足物体变形的动力学方程，具有物理真实性。

Description

一种数据相关且具有物理意义的物体变形序列的还原方法

技术领域

本发明涉及一种数据相关且具有物理意义的物体变形序列的还原方法

背景技术

近年来，随着计算机软硬件技术的不断发展，原本十分昂贵的动作捕捉设备变得越来越廉价(例如，Kinect)，而几何模型又可以很方便地从捕捉到的点云中重建出来。因此，通过捕捉和重建得到高质量的静态模型变得越来越简单容易。但是，在实际的应用当中，用户往往需要使获取到的静态模型实时地进行物理真实的形变，并且要满足给定的约束，而这其中依然存在很多技术问题。

首先，当前使用最常见的是基于物理的变形方法，它通过求解带有约束的动力学方程来达到目的。但是这种方法为了保证数值稳定性以及收敛性，需要使用计算量非常大的隐式积分的方法来求解复杂的物理方程。而且，当模型具有不同的材质分布时，这种方法将会变得更加复杂和不可控，因为模型的本构关系会随着时间呈非线性地变化，边界和初始条件也会变得更加复杂。

其次，几何主导的方法通过在形状空间生成一条通过关键模型的高维的曲线来达到目的，类似于常见的曲线拟合，而关键模型即是曲线的关键点。这种方法由于比较便于理解，而且实现比较简单，而得到青睐。但是，这种方法缺乏动力学的合理性和物理真实性，因此在某些情况下会产生错误，如自相交或者不自然的过度。为了达到真实的效果，就需要更多更密的关键模型，而这会导致计算量的增加和内存的大量消耗。

再次，无论是基于物理的方法还是基于几何的方法，都很难实现用户的交互的复杂变形。一方面，物理定律的简化很难保证建模的精确性，而且用户很难自定义物理真实的变形。另一方面，单纯的曲线拟合的方法在用户介入的情况下很难保证模型内在的某些特性。所以需要开发一种数据相关的方法，可以将基于物理的方法和基于几何的方法结合起来。

为了解决上述问题，本发明提供一种数据相关且具有物理意义的物体变形序列的还原方法，该方法以在时间轴上稀疏采样的关键模型为输入，可以快速生成模型的整个变形序列。。

发明内容

本发明解决的技术问题是：克服了现有的基于物理和基于几何的变形序列还原方法的不足，提供了一种数据相关且具有物理意义的物体变形序列的还原方法。

本发明采用的技术方案为：一种数据相关且具有物理意义的物体变形序列的还原方法，包括以下四个步骤：

步骤(1)、对关键模型的模态分析：根据定义在模型网格上的变形能量，计算模型的刚度矩阵，对其进行广义的特征分解，得到模型的线性模态，然后根据线性模态计算出对应的非线性模态作为线性模态的补充；

步骤(2)、动力学方程的降维和去耦：用步骤(1)中的到的线性模态和非线性模态组成一组标准正交基，利用这组基将动力学方程组从空间域投影到频率域达到降维的目的，同时由于基向量的正交性，方程组之间的关联被去除掉，得到了一组互相独立的方程；

步骤(3)、问题的转化和求解：将求解随时间变化的变形过程的问题转化为一个在时间上积分的最小化问题，并根据欧拉-拉格朗日定理得到问题的解析表达式，然后通过求解一组线性方程组得到频率域中的解；

步骤(4)、变形序列的还原：将步骤(3)得到的频率域中的解反映射回空间域，即得到最终的结果。

进一步地，步骤(1)中所述的模态分析方法，应用于表面三角网格模型，采用离散薄壳能量作为变形能量，并以能量的海森矩阵(二阶导数)作为刚度矩阵来得到模型的线性模态，并且引入了非线性模态来补偿由线性近似带来的误差。

进一步地，步骤(2)中所述的标准正交基是通过广义奇异值分解由线性模态和非线性模态组成的矩阵得到的，并由这组标准正交基组成投影矩阵，将动力学方程组由数万维映射到数百维的空间，同时将方程去耦化。

进一步地，步骤(3)中所述将求解问随时间变化的变形过程的问题转化为一个在时间上积分的最小化的问题，并根据欧拉-拉格朗日定理得到问题的解析表达式，利用已知的基函数，通过求解一组线性方程组得到频率域中的解。

本发明的原理在于：

本发明提供一种数据相关且具有物理意义的物体变形序列的还原方法，该方法以在时间轴上稀疏采样的关键模型为输入，可以快速生成模型的整个变形序列。首先对关键模型进行模态分析，得到相应的多种模态；然后将这些模态作为一组基对描述物体变形的动力学方程组进行降维，并同时将互相耦合的方程组分解为多个互相独立的方程；再将求解时间连续的变形过程的问题转化为在时间上积分的最小化问题，根据欧拉-拉格朗日定理得到其解析解；最后通过求解一组简单的线性方程组得到完整的变形序列。本发明的内容主要包括了一下三个方面：

(1)关键模型的模态分析。模态分析是研究物体结构动力特性的一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。通过模态分析方法搞清楚了结构物在各主要模态的特性，就可以预言结构在外部或内部各种作用下产生的实际响应。在计算机领域，模态分析被应用于大规模可变形模型的物理仿真，由于模态实际上可以看作是物体再受到外力作用下一种倾向性的响应，通过模态便可以描述物理在外力作用下的变形。本发明将模态分析应用于表面三角网格，利用定义在网格上的能量的二阶导来代替动力学方程中的刚度矩阵，并对刚度矩阵进行广义奇异值分解得到线性模态，而且根据线性模态计算出非线性模态以补偿由线性模态带来的误差。

(2)动力学方程的降维和去耦。由于模态的特性，可以将模型的变形用主要模态的线性组合来表示，这样就可以将原来数万维的动力学方程组降低到只有数百维甚至数十维的系统中，在不太损坏效果的情况下极大地提高了效率。与此同时，如果将模态转换成为一组标准正交基，就可以非常巧妙地将原来互相关联的常微分方程组去耦得到互相独立的微分方程，而这组标准正交基可以通过奇异值分解得到。

(3)问题的转化和求解。要解决的问题是求解随时间变化的变形过程的问题，这个问题很难计算，所以本发明将其转变为一个在时间上积分的最小化问题，根据变分理论，最小值满足欧拉-拉格朗日微分方程，而这个微分方程又可以通过由一组已知的基函数表示的线性系统求解，效率很高。

本发明与现有技术相比的有点在于：

1、本发明提出的模态分析方法，使用定义在网格上的能量的二阶导来替代动力学方程中的刚度矩阵，并对其进行广义奇异值分解来得到线性模态，由于能量的二阶导具有解析表达式，计算简单高效。而且引入了非线性模态来补偿线性模态的误差。

2、数据相关：本发明得到的模态是根据输入的关键模型得到的，依赖于数据，描述了关键模型的内在特征，可以更好的描述模型的变形。

3、物理真实：本发明是基于描述物体变形的动力学方程的，所得到的结果都是满足物理真实和动力学合理性的。

4、效率高：本发明通过降维，解析求解等方式降低了计算量，提高了计算效率。

5、用户可以交互：由于高效率的实现，本发明还可以做到用户对结果进行编辑，并即时得到反馈。

附图说明

图1为数据相关且具有物理意义的物体变形序列的还原方法流程图；

图2为线性模态示例，以心脏模型为例；

图3第一行为线性模态不合理变形示例，第二行为线性模态示例，第三行为非线性模态示例，以恐龙模型为例；

图4为四个不同q_i(t)的示例，每个都进行了缩放以更好地展示；

图5为变形序列还原示例，深色为关键模型，浅色为还原得到的模型，以马为例；

图6为变形序列还原示例，深色为关键模型，浅色为还原得到的模型，以人脸为例；

图7为3种用户编辑结果示例，左图为编辑后得到的新的模型，右图为某一q_i(t)编辑前后对比。

具体实施方式

图1给出了数据相关且具有物理意义的物体变形序列的还原方法的总体处理流程，下面结合其他附图及具体实施方式进一步说明本发明。

本发明提供一种数据相关且具有物理意义的物体变形序列的还原方法，主要步骤介绍如下：

1、关键模型的模态分析

在读取输入模型之后，首先是对模型进行模态分析。根据定义在模型网格上的变形能量，利用能量的海森矩阵来替代刚度矩阵，对其进行广义的特征分解，得到模型的线性模态，然后根据线性模态计算出对应的非线性模态作为线性模态的补充。

1)能量定义

本发明采用离散薄壳能量，它是一种经典的变形能量，表示为弯折能量和薄膜能量的加权和：

E＝aE_F+b(E_A+E_L)

弯折能量E_F度量了表面的弯曲程度，薄膜能量(E_A+E_L)度量了表面的拉伸程度，其中，权重a和b分别反映了薄壳的厚度和它的材质属性。弯折能量可以用二面角变化来度量，薄膜能量可以用三角网格的边长度变化和面积变化来度量，这两种能量的计算方式可以在常见的文献中找到。而且这种能量的二阶导数具有显式的表达式，可以很方便快速地进行计算。

2)线性模态

从物体内在的角度来看，弹性物体总是倾向于朝着表面能量增长最小的方向进行变形。假设模型网格是一条自由振动的绳子，低频的模态即是引起绳子的弹性能量变化最小的变形方向，这种现象在三维物体中也存在。而且这种模态可以通过求解下列广义特征值问题得到：

Kx＝λMx

其中，特征值λ_i表示振动频率，特征向量φ_i(上面的方程为经典的广义特征值问题，这里的φ_i为x的解)即是振动模态(i＝1,2…,k)，也就是前文所说的线性模态，K,M分别是模型的刚度和质量矩阵，这里刚度矩阵是通过计算表面能量的二阶导数来得到的。如图2所示为一个心脏模型的9个不同频率的线性模态。

3)非线性模态

由于在实际应用当中，线性模态会导致一些不合理的变形，如图3第一行所示。所以本方法引入了非线性模态。它可以通过下面的公式计算得到：

$K\frac{{\∂}^{2}u}{\∂p_i\∂p_j}=-(H:{\mathrm{\φ}}_j){\mathrm{\φ}}_i$

其中，H为海森刚度张量，表示为刚度矩阵K的一阶导数，即是表面能量E的三阶导数，φ_i,φ_j为前面得到的线性模态，即是所谓的非线性模态，可由线性方程组求得。

图3第三行所示为输入恐龙模型的不同非线性模态。

2、动力学方程的降维和去耦

用上述步骤得到的线性模态和非线性模态组成一组标准正交基，利用这组基将动力学方程组从空间域投影到频率域达到降维的目的，同时由于基向量的正交性，方程组之间的关联被去除掉，得到了一组互相独立的方程。

1)降维

在基于物理的物体变形仿真中，位移满足如下的微分方程：

$M\stackrel{\·\·}{u}+D\stackrel{\·}{u}+\mathrm{Ku}=f$

其中，M,D,K分别表示模型的质量、阻尼和刚度矩阵，f为物体受到的外力。

此时该系统的维度为3n，n为模型网格的顶点数量，通常都可以达到数万，不利于计算。因此我们把上述过程得到的线性模态和非线性模态组合在一起，通过一次简单的广义奇异值分解得到一组标准正交基，并由这组基组成一个投影矩阵U，这样我们便用它来实现降维，把位移向量u表示为u＝Uq，其中，k为模态的个数(k＜＜3n)。而且我们定义系统的阻尼为M和K的线性组合D＝αM+βK，α,β为用户给定的参数，然后对上面的微分方程的左右两边都乘以U^T，得到新的简化的微分方程：

$\stackrel{\·\·}{q}+(\mathrm{\αI}+\mathrm{\β\Λ})\stackrel{\·}{q}+\mathrm{\Λq}=U^{T}f$

其中，I＝U^TMU是一个单位矩阵，Λ＝U^TKU是一个对角矩阵，并且它对角线上的元素正是对应的特征值λ_i。

2)去耦

因为矩阵I,Λ均是对角矩阵，可以明显地看到上述简化后的微分方程各个分量之间已经没有了联系，即q_i与q_j没有关联，相互独立，由于位移u是关于时间t的函数，所以向量q也是关于时间的函数，可以将微分方程写成以下形式：

${\stackrel{\·\·}{q}}_i\left(t\right)+(\mathrm{\α}+\mathrm{\β}{\mathrm{\λ}}_i){\stackrel{\·}{q}}_i\left(t\right)+{\mathrm{\λ}}_i{q}_i\left(t\right)={\left(U^{T}f\left(t\right)\right)}_i$

其中每一个i对应一个一维的时空问题，(i＝1,2…,k)。

3、问题的转化和求解

将求解随时间变化的变形过程的问题转化为一个在时间上积分的最小化问题，并根据欧拉-拉格朗日定理得到问题的解析表达式，然后通过求解一组线性方程组得到频率域中的解。

1)问题的定义

要解决的问题是给定m+1个稀疏采样的关键模型，找到一个连续的、随时间变化的变形过程，要求分别在时间t₀,t₁,…,t_m的时候经过模型x₀,x₁,…,x_m。而关键模型在频率域中表示为：

${\mathrm{\Ω}}_k=U^{T}M(x_k-\stackrel{\‾}{x})$

2)时空优化问题定义

从物理的角度看，找到一个这样的过程就是找到一组合适的外力，来驱动模型变形并且经过关键模型。而直接解决这个问题的比较困难，所以我们将其转化为一个在时间上对外力平方进行积分的过程，我们要求这个积分的值最小：

$\arg \underset{q_i}{\min }\underset{t_0}{\overset{t_m}{\∫}}{({\stackrel{\·\·}{q}}_i\left(t\right)+(\mathrm{\α}+\mathrm{\β}{\mathrm{\λ}}_i){\stackrel{\·}{q}}_i\left(t\right)+{\mathrm{\λ}}_i{q}_i\left(t\right))}^2\mathrm{dt}$

满足

$q_i\left(t\right)={\left({\mathrm{\Ω}}_k\right)}_i,\∀k\∈\mathrm{0,1},...,m,i\∈\mathrm{1,2},...,d$

其中d为系统的维度，即所用模态的个数。

3)问题的求解

上述最小化问题是变分领域的一个典型的稳定点问题，求解这样积分形式的最小值可以通过求解它的欧拉-拉格朗日微分方程得到：

${q_i}^{\left(4\right)}\left(t\right)+2({\mathrm{\λ}}_i-2{\mathrm{\δ}}_i^2){\stackrel{\·\·}{q}}_i\left(t\right)+{\mathrm{\λ}}_i^2{q}_i\left(t\right)=0$

其中这是一个四阶常微分方程，它的解可以张成一个四维的仿射向量空间，并且基函数可以依据δ_i和λ_i的关系分为六种情况，各种情况的基向量可以在相关的数学课本中找到。

我们把时间范围[t₀,t_m]分成m个区间，在所有的区间(t_k,t_k+1)中，q_i(t)四阶连续可导，并且满足上述常微分方程。特别地，q_i(t)在t_k处二阶连续可导。在每个区间[t_k,t_k+1]中，q_i(t)可以表示为基函数的线性组合：

$q_i{\left(t\right)}_{[t_k,t_{k+1}]}=q_{i,k}\left(k\right)=\underset{l=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i,k}^l{b}_i^l\left(t\right)$

要得到q_i(t)，我们需要得到4m个系数这些系数可以通过以下的条件得到：

q_i,k(t_k-1)＝(Ω_k-1)_i和q_i,k(t_k)＝(Ω_k)_i,k∈1,2,…,m

${\stackrel{\·}{q}}_{i,k}\left(t_k\right)={\stackrel{\·}{q}}_{i,k+1}\left(t_k\right)$ 和 ${\stackrel{\·\·}{q}}_{i,k}\left(t_k\right)={\stackrel{\·\·}{q}}_{i,k+1}\left(t_k\right),k\∈\mathrm{1,2},...,m-1$

但是上述只有4m-2个方程。如果变形过程是周期性的，我们增加两个方程：

${\stackrel{\·}{q}}_{i,m}\left(t_m\right)={\stackrel{\·}{q}}_{i,1}\left(t_0\right)$ 和 ${\stackrel{\·\·}{q}}_{i,m}\left(t_m\right)={\stackrel{\·\·}{q}}_{i,1}\left(t_0\right)$

如果不是周期性的，我们增加两个条件：

${\stackrel{\·}{q}}_{i,1}\left(t_0\right)={\left({\mathrm{\ψ}}_0\right)}_i$ 和 ${\stackrel{\·}{q}}_{i,m}\left(t_m\right)={\left({\mathrm{\ψ}}_m\right)}_i$

Ψ₀和Ψ_m为频率域中的速度约束，由用户的输入y₀,y_m得出，参照Ω_k的计算方式。

得到这样一个q(t)可以非常简单地通过u(t)＝Uq(t)来得到最终的变形过程。图4所示为以11个马模型为输入得到的四个不同的q_i(t)，图5为还原得到的变形序列。图6为以9个不同人脸模型得到的变形序列。

4、用户编辑

本发明还提供了简单的用户编辑功能，在计算得到q_i(t)之后，用户可以通过软件界面对关键模型在频率域中的位置进行编辑，即是通过鼠标拖动界面中代表关键模型的点，然后重新计算q_i(t)，如图7为用户编辑之后产生的新的人脸模型，和编辑前后q_i(t)的变化。

本发明未详细阐述的技术内容属于本领域技术人员的公知技术。

尽管上面对本发明说明性的具体实施方式进行了描述，以便于本技术领的技术人员理解本发明，但应该清楚，本发明不限于具体实施方式的范围，对本技术领域的普通技术人员来讲，只要各种变化在所附的权利要求限定和确定的本发明的精神和范围内，这些变化是显而易见的，一切利用本发明构思的发明创造均在保护之列。

Claims (4)

1.一种数据相关且具有物理意义的物体变形序列的还原方法，其特征在于包括以下四个步骤：

步骤(1)、对关键模型数据进行模态分析：根据定义在模型网格上的变形能量，计算模型的刚度矩阵，对其进行广义的特征分解，得到模型的线性模态，然后根据线性模态计算出对应的非线性模态作为线性模态的补充；

步骤(2)、动力学方程的降维和去耦：用步骤(1)中得到的线性模态和非线性模态组成一组标准正交基，利用这组基将动力学方程组从空间域投影到频率域达到降维的目的，同时由于基向量的正交性，方程组之间的关联被去除掉，得到了一组互相独立的方程；

步骤(3)、问题的转化和求解：将求解随时间变化的变形过程的问题转化为一个在时间上积分的最小化问题，并根据欧拉-拉格朗日定理得到问题的解析表达式，然后通过求解一组线性方程组得到频率域中的解；

步骤(4)、变形序列的还原：将步骤(3)得到的频率域中的解反映射回空间域，即得到最终的结果。

2.根据权利要求1所述的还原方法，其特征在于：步骤(1)中所述的模态分析，应用于表面三角网格模型，采用离散薄壳能量作为变形能量，并以能量的海森矩阵作为刚度矩阵来得到模型的线性模态，并且引入了非线性模态来补偿由线性近似带来的误差。

3.根据权利要求1所述的还原方法，其特征在于：步骤(2)中所述的标准正交基是通过广义奇异值分解由线性模态和非线性模态组成的矩阵得到的，并由这组标准正交基组成投影矩阵，将动力学方程组由数万维映射到数百维的空间，同时将方程去耦化。

4.根据权利要求1所述的还原方法，其特征在于：步骤(3)中所述将求解随时间变化的变形过程的问题转化为一个在时间上积分的最小化的问题，并根据欧拉-拉格朗日定理得到问题的解析表达式，利用已知的基函数，通过求解一组线性方程组得到频率域中的解。