CN107292942B - 一种权值c2连续的线性混合形状编辑方法 - Google Patents

一种权值c2连续的线性混合形状编辑方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种权值C2连续的线性混合形状编辑方法，包括以下步骤：1)获取基础信息，包括用户输入的模型、实控制点和控制骨骼；2)使用实控制点离散化控制骨骼，并对实控制点初始化；3)估算模型各顶点到实控制点的内部距离；4)生成虚控制点；5)计算实控制点对虚控制点的权重以及控制点对模型顶点的权重；6)用户操作实控制点变换，虚控制点响应变换；7)GPU并行加速重构模型。本发明可以在编辑的过程中，尽量保持模型表面原有的细节特征，模型变形过渡平滑，能够感知模型的局部或整体形状，模型的编辑效果良好，重构模型阶段使用GPU并行计算加速，能够及时给用户的编辑反馈，高效的编辑效率能够达到实时效果。

Description

一种权值C2连续的线性混合形状编辑方法
技术领域
本发明涉及模型形状编辑技术领域，尤其是指一种权值C2连续线性混合形状编辑方法。
背景技术
模型形状编辑与计算机动画息息相关。采用编辑算法或者软件编辑成的模型，可以作为动画的关键帧，并通过插值算法等，生成动画序列。计算机动画也可以通过编程或者动画制作软件等方法，采用计算机图形图像处理算法产生一系列的景物模型或者场景的画面。一般地，当前帧是上一帧的局部修改。计算机动画是通过快速连续播放静止的画面来达到视觉上物体运动的效果。一般而言，刷新率为每秒25帧以上能让人眼感觉看到的是连续的视觉效果。
二维动画是最先被应用在印刷、制图、广告等领域，生成的有GIF文件、 MP4文件、Flash和PowerPoint动画等。二维动画图像一般由二维的位图或者二维向量图来表示或者编辑。这当中包括了自动化的传统动画技术、插值变形技术、Onion蒙皮算法以及对位插值。
三维动画是通过动画师对模型进行数字化建模和操作得到。动画师一般通过创建一个3D多边形网格，然后对其进行一系列的拉伸、旋转等操作，变形至需要的姿态或场景等。关于网格，在计算机图形学中是定义为一系列的点、边和面的集合，通过设定好的拓扑关系使之展示出固定的姿态，能够让人在视觉上形成一个三维的模型或者三维的场景。有时候，网格模型会给出内部数字骨架结构以及相应的关节点，使用户能够方便操作模型。在运动或操作的过程中，软件或者算法会产生一系列的关键帧，然后，再通过算法(如线性插值)对关键帧之间的帧进行插值，生成相应的动画序列。
近十多年来，随着三维网格模型的广泛应用，许多形状编辑算法在相关的领域中相继被提出。现有的模型编辑算法，归纳为基于表面微分坐标、基于重心坐标和控制网格、基于蒙皮插值的三类编辑算法。但是通过对比发现上述的第一类算法有一部分需要求解一组带约束的线性方程组，往往这种算法的求解最终会演变为最小化一组能量方程。这类算法大量耗时的计算会在编辑过程中影响模型对用户操作的响应速度，同时这算法的原理也不容易理解。上述的第二类算法通过构造包围盒或者控制网格等方式，然后用户通过操作包围盒和控制网格，间接地影响模型，达到编辑的目的。这类算法的编辑不够直观，用户要对相应的控制单元操作，需要一定的技巧和经验。而且，这类算法有一部分的包围盒和控制网格是半自动生成的，有些算法需要其他软件生成包围盒和控制网格，甚至需要用户参与生成的工作，不能自适应所有的三维模型。上述第三类算法会出现“糖纸效应”，对于有一部分对有细小特征的模型的编辑不能达到精细形变的编辑效果，那么，需要额外对这类模型添加约束。所以现有的算法均不能同时满足上述编辑的几点要求，缺少一个原理容易理解、高效、便于操作编辑和效果良好的编辑算法。一个编辑算法对模型的编辑效果主要体现在模型的形变质量、编辑的效率和简易的操作上，但是现有的大多数算法很少能够在上述三个方面都达到理想的效果。因此，研究一个针对三维网格模型的高质量、高效的编辑方法是十分有必要的。
发明内容
本发明的目的在于克服现有技术的缺点与不足，提供了一种权值C2连续的线性混合形状编辑方法，该方法可以在编辑的过程中，尽量保持模型表面原有的细节特征，模型变形过渡平滑，能够感知模型的局部或整体形状，模型的编辑效果良好，重构模型阶段使用GPU并行计算加速，能够及时给用户的编辑反馈，高效的编辑效率能够达到实时效果。
为实现上述目的，本发明所提供的技术方案为：一种权值C2连续的线性混合形状编辑方法，包括以下步骤：
1)获取基础信息，包括用户输入的模型、实控制点和控制骨骼；
2)使用实控制点离散化控制骨骼，并对实控制点初始化；
3)估算模型各顶点到实控制点的内部距离；
4)生成虚控制点；
5)计算实控制点对虚控制点的权重以及控制点对模型顶点的权重；
6)用户操作实控制点变换，虚控制点响应变换；
7)GPU并行加速重构模型。
在步骤1)中，所述模型是用户输入的待编辑的模型，包括模型的顶点集合、模型的面集合；所述实控制点和控制骨骼是指获得用户输入实控制点位置信息和控制骨骼两端的位置信息。
在步骤2)中，用实控制点去模拟控制骨骼，并初始化实控制点，包括以下步骤：
2.1)对于每个控制骨骼的两端，分别使用两个实控制点去模拟控制骨骼；
2.2)然后初始化实控制点：对于用来模拟控制骨骼的实控制点，它的标架 N(nx,ny,nz)的第一个方向nx沿着连接的一根或者多根控制骨骼的加权方向，标架的另外两个方向只需要满足跟第一个方向两两相互垂直的要求即可；对于其他的实控制点，标架N(nx,ny,nz)的三个方向分别初始化为nx＝(1,0,0)，ny＝(0,1,0)， nz＝(0,0,1)；
在步骤3)中，先对模型体素化，得到模型致密的体素化结果，然后通过体素化的结果使用广度优先搜索的方法去估算模型顶点到各个实控制点的内部距离。
在步骤4)中，用户输入的实控制点有可能过于稀疏或者过于稠密，对于实控制点不满足约束的时候，插入两类虚控制点，包括如下步骤：
4.1)实控制点和虚控制点统称为控制点，以控制点为中心使用Voronoi划分模型区域，得到的划分区域是各个控制点的影响区域；影响区域内的顶点离该区域中心的控制点Hi的最大内部距离为该控制点Hi的支持度SZ(i)；对控制点Hi而言，其他控制点到Hi的内部距离的最小值为Hi的隔离距离GL(i)；
4.2)如果存在支持度大于隔离距离的控制点，其中控制点Hj是上述控制点中(支持度-隔离距离)/支持度的值是最大的点，则在Hj的影响区域内找出一个离Hj的内部距离最大的点，在上面生成一个第一类虚控制点，该虚控制点的标架N(nx,ny,nz)初始化为nx＝(1,0,0)，ny＝(1,0,0)，nz＝(1,0,0)；
4.3)迭代更新各个控制点的支持度和隔离距离，然后重复步骤4.2)，直到所有控制点的支持度不大于其隔离距离；
4.4)对于所有的控制骨骼：用于模拟某个控制骨骼的两个实控制点的支持度分别为SZ1和SZ2，取d＝min{SZ1,SZ2}，控制骨骼的长度为L，如果并且n＞2，则在控制骨骼的n等分点的位置上插入第二类虚拟控制点，该类控制点的标架N(nx,ny,nz)初始化时第一个方向nx沿着该控制骨骼的方向，nx、ny和nz保持两两垂直；
4.5)执行步骤4.3)。
在步骤5)中，先计算实控制点对虚控制点的权重，然后再计算控制点对模型顶点的权重，包括以下步骤：
5.1)以控制点为中心，使用Voronoi划分模型区域得到Voronoi图，构建该Voronoi图的对偶图DG；
5.2)赋予实控制点的调和场值为1，虚控制点的调和场值为0，通过步骤 6.1)的对偶图DG的邻接关系使用拉普拉斯算子把实控制点的调和场值分配给虚控制点，然后虚控制点获得各个实控制点的调和场值后归一化，得到的为实控制点对该虚控制点的权重；
5.3)通过模型体素化的结果估算模型上某顶点p到所有控制点的内部距离并定义为d1,d2,…,dm，m为控制点的个数，控制点Hi对p的权重wi为：
上式的函数φ(·)是C2连续的基函数，SZ(i)是第i个控制点的支持度，SZ(j) 是第j个控制点的支持度，基函数φ(·)具有如下性质：
φ'(t)≤0； (3)
φ″(t)在区间(0,1)是连续的；
φ'(0)＝φ'(1)＝φ″(0)＝φ″(1)＝0 (4)
然后基函数选择贝塞尔多项式，通过方程(1)求解各个控制点对模型顶点的权重。
在步骤6)中，用户操作实控制点变换，虚控制点响应变换，包括以下步骤：
6.1)用户选取实控制点，可以通过平移实控制点或者旋转实控制点的标架来变换，得到r个实控制点的变换矩阵T1，T2，…,Tr；
6.2)对于第i个第一类虚控制点Hi响应实控制点的变换而变换，其变换矩阵Ti为虚控制点Hi的变换矩阵，qv为虚控制点Hi的旋转四元组，tv为虚控制点Hi的平移向量，wj(i)是第j个实控制点对第i个第一类虚控制点的权重，wsum是所有实控制点对虚拟控制点Hi的权重之和；对于第二类虚控制点，其中心位置始终处于对应的控制骨骼的等分点上，这是第二类虚控制点的强约束，而它的标架N(nx,ny,nz)的nx的方向也始终沿着所在控制骨骼的方向nx'，取旋转轴G＝nx×nx'，旋转角度则可求得绕旋转轴G旋转α角度的旋转矩阵R，第二类旋转矩阵的新标架N’为 N'＝RN＝R(nx,ny,nz)。
在步骤7)中，需要重构模型，包括求得所有m个控制点(包括实控制点和虚控制点)的变换矩阵T1，T2，…,Tm之后，对于模型的顶点p的新位置p’的坐标公式为上式的wi(p)为第i控制点对顶点p的权重，Ti为第 i个控制点的变换矩阵，p为顶点原来的坐标位置，通过上式，使用GPU并行加速计算，完成模型重构。
本发明与现有技术相比，具有如下优点与有益效果：
1、本发明首次使用模型体素化的方法去估算模型内两点的内部距离。
2、本发明首次提出使用C2连续的基函数显示求解权重的方法。
3、本发明通过生成虚控制点的方法，减少因为用户随意设置的控制点可能过于密集或者过于稀疏的可能而导致编辑过程中模型大幅度变形和不够平滑的过度，虚控制点的生成能够使得权重在模型上的分布更加均衡和离散。
4、本发明使用Voronoi划分模型，并构建Voronoi图的对偶图，通过该对偶图的邻接关系把实控制点的调和场值分配给虚控制点，从而生成实控制点对虚控制点的权重，达到编辑时实控制点操纵虚控制点的效果。
5、本发明方法首次给出虚控制点的变换规则，在特定的特则下，虚控制点的变换能够保证C2连续的权重的编辑性质，保证良好的编辑效果，使得编辑结果更加符合用户的需求，在编辑模型的时，模型的变形更加合理。
6、本发明方法在重构模型的过程中，利用编辑算法简单的顶点更新公式，使用GPU并行加速计算模型顶点的新位置，能够极大程度地提高计算效率，提高模型编辑时的响应速度，能够及时给用户提供模型变形的反馈，做到实时编辑的效果。
附图说明
图1为本发明形状编辑流程示意图。
图2为对模型手部骨骼离散化后使用实控制点模拟的效果图。
图3a为对模型体素化之前的示意图(展示了输入的模型和控制骨骼的信息)。
图3b为对模型体素化之后的示意图。
图4为本发明选用的C2连续的基函数的函数图。
图5a为输入的模型和控制点示意图。
图5b为生成虚控制点后的状态图。
图5c为对应图5a的Voronoi区域划分图。
图5d为对应图5b的Voronoi区域划分图。
图6a为用户输入的控制骨骼示意图。
图6b为用户输入的待编辑模型的渲染图。
图6c为用户变换控制实控制点后控制骨骼的状态图。
图6d为编辑算法重构模型的结果图。
具体实施方式
下面结合具体实施例对本发明作进一步说明。
如图1所示，本实施例所提供的权值C2连续的线性混合形状编辑方法，包括以下步骤：
1)如图3a所示，图3a主要的编辑单元为控制骨骼，首先读入用户输入的待编辑的模型，包括模型的顶点集合、模型的面集合；所述的实控制点和控制骨骼是指获得用户输入实控制点位置信息和控制骨骼两端的位置信息。
2)离散化控制骨骼，并使用实控制点去模拟控制骨骼，如图2所示，对模型手部的控制骨骼离散化后，并使用实控制点去模拟，并初始化实控制点的标架，对用于模拟控制骨骼的实控制点的标架其中的一个方向必须沿着连接的控制骨骼的加权方向，如图2的两个实控制点标架所示，其余的实控制点的标架直接简单地设为(1,0,0)、(0,1,0)和(0,0,1)。
3)估算模型各顶点到实控制点的内部距离，如图3b所示，对模型体素化后得到致密的体素结果。模型内部两点都肯定会位于体素化结果的两个体素中，利用致密的体素结果，使用广度优先遍历的方法估算出模型内两点的内部距离。
4)用户输入的实控制点有可能过于稀疏或者过于稠密，对于实控制点不满足约束的时候，插入两类虚控制点，包括如下步骤：
4.1)实控制点和虚控制点统称为控制点，如图5a所示为输入的模型和实控制点，以控制点为中心使用Voronoi划分模型区域，得到的划分区域是各个控制点的影响区域；影响区域内的顶点离该区域中心的控制点Hi的最大内部距离为该控制点Hi的支持度SZ(i)；对控制点Hi而言，其他控制点到Hi的内部距离的最小值为Hi的隔离距离GL(i)，如图5c所示，为对图5a的实控制点为中心的 Voronoi划分的结果。
4.2)如果存在支持度大于隔离距离的控制点，其中控制点Hj是上述控制点中(支持度-隔离距离)/支持度的值是最大的点，则在Hj的影响区域内找出一个离Hj的内部距离最大的点，在上面生成一个第一类虚控制点，该虚控制点的标架N(nx,ny,nz)初始化为nx＝(1,0,0)，ny＝(1,0,0)，nz＝(1,0,0)。
4.3)迭代更新各个控制点的支持度和隔离距离，然后重复步骤4.2)，直到所有控制点的支持度不大于其隔离距离。
4.4)对于所有的控制骨骼：用于模拟某个控制骨骼的两个实控制点的支持度分别为SZ1和SZ2，取d＝min{SZ1,SZ2}，控制骨骼的长度为L，如果并且n＞2，则在控制骨骼的n等分点的位置上插入第二类虚拟控制点，该类控制点的标架N(nx,ny,nz)初始化时第一个方向nx沿着该控制骨骼的方向，nx、ny和nz保持两两垂直，如图5b所以，为对图5a插入虚控制点后的结果，并对此图进行Voronoi划分后，得到图5d的Voronoi区域划分图。
5)先计算实控制点对虚控制点的权重，然后再计算控制点对模型顶点的权重，包括以下步骤：
5.1)以控制点为中心，使用Voronoi划分模型区域得到Voronoi图，构建该Voronoi图的对偶图DG。
5.2)赋予实控制点的调和场值为1，虚控制点的调和场值为0，通过步骤 6.1)的对偶图DG的邻接关系使用拉普拉斯算子把实控制点的调和场值分配给虚控制点，然后虚控制点获得各个实控制点的调和场值后归一化，得到的为实控制点对该虚控制点的权重。
5.3)通过模型体素化的结果估算模型上某顶点p到所有控制点的内部距离并定义为d1,d2,…,dm，m为控制点的个数，控制点Hi对p的权重wi为：
上式的函数φ(·)是C2连续的基函数，SZ(i)是第i个控制点的支持度，SZ(j) 是第j个控制点的支持度，基函数φ(·)具有如下性质：
φ'(t)≤0； (3)
φ″(t)在区间(0,1)是连续的；
φ'(0)＝φ'(1)＝φ″(0)＝φ″(1)＝0 (4)
然后基函数选择贝塞尔多项式，通过方程(1)求解各个控制点对模型顶点的权重，本方法使用的基函数是φ(t)＝(1-t)5+5t(1-t)4+10t2(1-t)3，其函数图像如图4所示，在[0,1]区间外的函数值为0，通过基函数可以显示求得控制点对模型顶点的权重。
6)用户操作实控制点变换，虚控制点响应变换，包括以下步骤：
6.1)用户选取实控制点，可以通过平移实控制点或者旋转实控制点的标架来变换，得到r个实控制点的变换矩阵T1，T2，…,Tr,如图6a所示为控制骨骼原始的状态，如图6b所示为用户输入的待编辑模型的渲染图，用户通过变换实控制点后，得出图6c的控制骨骼的状态。
6.2)对于第i个第一类虚控制点Hi响应实控制点的变换而变换，其变换矩阵Ti为虚控制点Hi的变换矩阵，qv为虚控制点Hi的旋转四元组，tv为虚控制点Hi的平移向量，wj(i)是第j个实控制点对第i个第一类虚控制点的权重，wsum是所有实控制点对虚拟控制点Hi的权重之和；对于第二类虚控制点，其中心位置始终处于对应的控制骨骼的等分点上，这是第二类虚控制点的强约束，而它的标架N(nx,ny,nz)的nx的方向也始终沿着所在控制骨骼的方向nx'，取旋转轴G＝nx×nx'，旋转角度则可求得绕旋转轴G旋转α角度的旋转矩阵R，第二类旋转矩阵的新标架N’为 N'＝RN＝R(nx,ny,nz)。
7)重构模型，包括求得所有m个控制点(包括实控制点和虚控制点)的变换矩阵T1，T2，…,Tm之后，对于模型的顶点p的新位置p’的坐标公式为上式的wi(p)为第i控制点对顶点p的权重，Ti为第i个控制点的变换矩阵，p为顶点原来的坐标位置，通过上式，使用GPU并行加速计算，完成模型重构，图6d为模型重构后的结果。
综上所述，本发明为高效的模型形状编辑提供了新的方法，允许用户自定义设置实控制点和控制骨骼，严格定义了模型内部距离并使用模型体素化方法估算内部距离。在编辑的过程中，根据用户预先设置的实控制点的位置而迭代生成虚控制点，并给出虚控制点的变换规则。虚控制点能够使得权重在模型区域的分布更均衡。C2连续的权重使得编辑的结果更加平滑自然，可以精确保持模型原有的特征，符合用户需求，GPU并行计算的高效的编辑效率保证用户的实时编辑。总之，本发明在模型形状编辑领域提供了一种高效便捷的编辑方法，能够及时给用户编辑反馈，达到实时编辑的效果，具有实际应用价值，值得推广。
以上所述实施例只为本发明之较佳实施例，并非以此限制本发明的实施范围，故凡依本发明之形状、原理所作的变化，均应涵盖在本发明的保护范围内。

Claims (5)

1.一种权值C2连续的线性混合形状编辑方法，其特征在于，包括以下步骤：
1)获取基础信息，包括用户输入的模型、实控制点和控制骨骼；
2)使用实控制点离散化控制骨骼，并对实控制点初始化；
3)估算模型各顶点到实控制点的内部距离；
4)生成虚控制点；即用户输入的实控制点有可能过于稀疏或者过于稠密，对于实控制点不满足约束的时候，插入两类虚控制点，包括如下步骤：
4.1)实控制点和虚控制点统称为控制点，以控制点为中心使用Voronoi划分模型区域，得到的划分区域是各个控制点的影响区域；影响区域内的顶点离该区域中心的控制点Hi的最大内部距离为该控制点Hi的支持度SZ(i)；对控制点Hi而言，其他控制点到Hi的内部距离的最小值为Hi的隔离距离GL(i)；
4.2)如果存在支持度大于隔离距离的控制点，其中控制点Hj是上述控制点中(支持度-隔离距离)/支持度的值是最大的点，则在Hj的影响区域内找出一个离Hj的内部距离最大的点，在上面生成一个第一类虚控制点，该虚控制点的标架N(nx,ny,nz)初始化为nx＝(1,0,0)，ny＝(1,0,0)，nz＝(1,0,0)；
4.3)迭代更新各个控制点的支持度和隔离距离，然后重复步骤4.2)，直到所有控制点的支持度不大于其隔离距离；
4.4)对于所有的控制骨骼：用于模拟某个控制骨骼的两个实控制点的支持度分别为SZ1和SZ2，取d＝min{SZ1,SZ2}，控制骨骼的长度为L，如果并且n＞2，则在控制骨骼的n等分点的位置上插入第二类虚拟控制点，该类控制点的标架N(nx,ny,nz)初始化时第一个方向nx沿着该控制骨骼的方向，nx、ny和nz保持两两垂直；
4.5)执行步骤4.3)；
5)计算实控制点对虚控制点的权重以及控制点对模型顶点的权重；
其中，先计算实控制点对虚控制点的权重，然后再计算控制点对模型顶点的权重，包括以下步骤：
5.1)以控制点为中心，使用Voronoi划分模型区域得到Voronoi图，构建该Voronoi图的对偶图DG；
5.2)赋予实控制点的调和场值为1，虚控制点的调和场值为0，通过步骤5.1)对偶图DG的邻接关系使用拉普拉斯算子把实控制点的调和场值分配给虚控制点，然后虚控制点获得各个实控制点的调和场值后归一化，得到的为实控制点对该虚控制点的权重；
5.3)通过模型体素化的结果估算模型上某顶点p到所有控制点的内部距离并定义为d1,d2,…,dm，m为控制点的个数，控制点Hi对p的权重wi为：
上式的函数φ(·)是C2连续的基函数，SZ(i)是第i个控制点的支持度，SZ(j)是第j个控制点的支持度，基函数φ(·)具有如下性质：
φ(0)＝1，并且φ(t)＝0，
φ'(t)≤0； (3)
φ”(t)在区间(0,1)是连续的；
φ'(0)＝φ'(1)＝φ”(0)＝φ”(1)＝0 (4)
然后基函数选择贝塞尔多项式，通过方程(1)求解各个控制点对模型顶点的权重，使用的基函数是φ(t)＝(1-t)5+5t(1-t)4+10t2(1-t)3；
6)用户操作实控制点变换，虚控制点响应变换；
7)GPU并行加速重构模型；
其中，需要重构模型，包括求得所有m个控制点，包括实控制点和虚控制点的变换矩阵T1，T2，…,Tm之后，对于模型的顶点p的新位置p’的坐标公式为式中的wi(p)为第i控制点对顶点p的权重，Ti为第i个控制点的变换矩阵，p为顶点原来的坐标位置，通过上式，使用GPU并行加速计算，完成模型重构。
2.根据权利要求1所述的一种权值C2连续的线性混合形状编辑方法，其特征在于：在步骤1)中，所述模型是用户输入的待编辑的模型，包括模型的顶点集合、模型的面集合；所述实控制点和控制骨骼是指获得用户输入实控制点位置信息和控制骨骼两端的位置信息。
3.根据权利要求1所述的一种权值C2连续的线性混合形状编辑方法，其特征在于：在步骤2)中，用实控制点去模拟控制骨骼，并初始化实控制点，包括以下步骤：
2.1)对于每个控制骨骼的两端，分别使用两个实控制点去模拟控制骨骼；
2.2)然后初始化实控制点：对于用来模拟控制骨骼的实控制点，它的标架N(nx,ny,nz)的第一个方向nx沿着连接的一根或者多根控制骨骼的加权方向，标架的另外两个方向只需要满足跟第一个方向两两相互垂直的要求即可；对于其他的实控制点，标架N(nx,ny,nz)的三个方向分别初始化为nx＝(1,0,0)，ny＝(0,1,0)，nz＝(0,0,1)。
4.根据权利要求1所述的一种权值C2连续的线性混合形状编辑方法，其特征在于：在步骤3)中，先对模型体素化，得到模型致密的体素化结果，然后通过体素化的结果使用广度优先搜索的方法去估算模型顶点到各个实控制点的内部距离。
5.根据权利要求1所述的一种权值C2连续的线性混合形状编辑方法，其特征在于：在步骤6)中，用户操作实控制点变换，虚控制点响应变换，包括以下步骤：
6.1)用户选取实控制点，通过平移实控制点或者旋转实控制点的标架来变换，得到r个实控制点的变换矩阵T1，T2，…,Tr；
6.2)对于第i个第一类虚控制点Hi响应实控制点的变换而变换，其变换矩阵Ti为虚控制点Hi的变换矩阵，qv为虚控制点Hi的旋转四元组，tv为虚控制点Hi的平移向量，wj(i)是第j个实控制点对第i个第一类虚控制点的权重，wsum是所有实控制点对虚拟控制点Hi的权重之和；对于第二类虚控制点，其中心位置始终处于对应的控制骨骼的等分点上，这是第二类虚控制点的强约束，而它的标架N(nx,ny,nz)的nx的方向也始终沿着所在控制骨骼的方向nx'，取旋转轴G＝nx×nx'，旋转角度则求得绕旋转轴G旋转α角度的旋转矩阵R，第二类旋转矩阵的新标架N’为N'＝RN＝R(nx,ny,nz)。
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