CN104360156A - 一种电力系统频率偏移时信号相角的测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种电力系统频率偏移时信号相角的测量方法，其特征在于：包括以下步骤：一、电力系统信号的采样；二、信号的偏π/4直角坐标映射；三、频率偏移百分比的计算;四、频率偏移的修正；五、电力系统信号相量的计算。目前传统的离散傅里叶变换(DFT)相角测量方法在精度方面效果不佳，尤其在频率扰动情况下离散傅里叶变换方法的相角误差较大，本发明方法利用坐标系中坐标轴的正交特性以及四相平衡关系，对相角误差中的动态相角误差尽可能地削减该方法对动态相角误差进行了较好的修正，使得相角测量的精确度得到提高。该算法在保证频率跟踪测量精度的前提下，对含有各种干扰的电力信号也具有良好的测量能力。

Description

一种电力系统频率偏移时信号相角的测量方法

技术领域

本发明涉及涉及电力系统的辅助设备技术领域，特别是涉及一种电力系统频率偏移时信号相角的测量方法。

背景技术

同步相量测量概念最早来源于上世纪70年代美国学者A.G.Phadke等人对“对称分量法距离保护”的研究,由于故障线路两端同步测量的需要,促成了在统一时间参考下进行异地同步测量的实现,并逐步发展成为同步相量测量技术在电力系统中得到推广应用。为强化对系统安全稳定的监测与控制,国家电力调度通信中心于2004年颁布了《电力系统实时动态监测系统技术规范》,这对于同步相量测量技术在国内的推广应用提供了强有力的规范与依据。在此推动下,目前已有多个实时动态监测系统在国内不同电网得到采用,近400个同步相量测量装置已取得良好运行效果。经过多年运行,结果表明同步相量测量装置不仅能实时提供精确的相量与功角数据,还能实时、完整地记录电网运行过程中发生的各类非正常工况,成为保障电力系统安全稳定运行的重要技术手段与工具。

随着数字信号处理器技术的不断进步,其处理速度和处理精度已经足够满足电力系统应用的需求,同步相量测量算法的精度成为影响同步相量测量技术应用效果的关键所在。多年来,为提高同步相量装置的测量精度并使之满足动态情况下工程应用的要求,国内外学者提出了多种相量测量算法。传统的离散傅里叶变换(DFT)相角测量方法主要通过对采样数据直接进行离散傅里叶变换，得到基波正序分量，然后通过公式求得基波相角。该算法在抗谐波干扰性上具有明显优势,但仅能在频偏较小时保证测量的精度,而一旦信号频率出现较大波动,其准确性难以保证,不利于在线应用。

设输入信号为式中ω₀＝2πf₀为信号角频率，f₀为基波额定频率，等于50Hz，X为信号幅值，φ为信号初始相角。根据欧拉公式cosφ＝(e^jφ+e^-jφ)/2可将x(t)表示为

$\left(t\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}X(e^{\mathrm{j\φ}}{e}^{j2\mathrm{\π}{f}_{0}t}+e^{-\mathrm{j\φ}}{e}^{-j2\mathrm{\π}{f}_{0}t})---\left(1\right)$

当频率f₀变化Δf时，有

$\left(t\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}X(e^{\mathrm{j\φ}}{e}^{j2\mathrm{\π}(f_0+\mathrm{\Δf})t}+e^{-\mathrm{j\φ}}{e}^{-j2\mathrm{\π}(f_0+\mathrm{\Δf})t})---\left(2\right)$

对x(t)进行采样，采样频率为f_s＝Nf0，其中N为每周波采样点数，则采样信号的离散形式为：

$\left(k\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}X(e^{\mathrm{j\φ}}{e}^{j2\mathrm{\π}(f_0+\mathrm{\Δf})\frac{k}{N{f}_0}}+e^{-\mathrm{j\φ}}{e}^{-j2\mathrm{\π}(f_0+\mathrm{\Δf})\frac{k}{N{f}_0}})---\left(3\right)$

将信号x(k)用矩形窗函数截断，则截断后的DFT表达式为：

$\stackrel{\·}{X}=\frac{2}{N}\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}x\left(k\right)e^{-j\frac{2\mathrm{\πk}}{N}}---\left(4\right)$

将式(3)代入上式(4)中，得到：

$\stackrel{\·}{X}=\sqrt{2}X{e}^{\mathrm{j\φ}}\frac{1}{N}\underset{k=0}{\overset{1}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{j(\frac{2\mathrm{\π}(f_0+\mathrm{\Δf})}{N{f}_0}-\frac{2\mathrm{\π}}{N})k}+\sqrt{2}X{e}^{-\mathrm{j\φ}}\frac{1}{N}\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{-j(\frac{2\mathrm{\π}(f_0+\mathrm{\Δf})}{N{f}_0}+\frac{2\mathrm{\π}}{N})k}---\left(5\right)$

对式(5)可以用以下式子进行整理：

$\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left(e^{\mathrm{j\φ}}\right)}^k=\frac{\sin (\mathrm{N\φ}/2)}{\sin (\mathrm{\φ}/2)}{e}^{j\frac{1}{2}(N-1)\mathrm{\φ}}---\left(6\right)$

为了计算方便，令频率偏移率λ＝Δf/f₀，则整理后变为：

$\stackrel{\·}{X}=K_1\×K_2\×K_3\×K_4---\left(7\right)$

其中： $K_1=\sqrt{2}X{e}^{\mathrm{j\φ}};$

$K_2=\frac{\sin \left(\mathrm{\π\λ}\right)}{N\sin (\mathrm{\π\λ}/N)};$

$K_3=e^{j\frac{(N-1)\mathrm{\π\λ}}{N}};$

$K_4=1+\frac{\sin (\mathrm{\π\λ}/N)}{\sin (\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})/N)}{e}^{-j(2\mathrm{\φ}+\frac{2\mathrm{\π}(N-1)(1+\mathrm{\λ})}{N})}.$

上式(7)的第一部分K₁表示信号频率f₀在理想条件下(Δf＝0，即λ＝0)，输入信号的实际幅值和初相角φ。但在实际电网中，系统的频率在额定频率上下小幅度浮动，容易引起非同步采样。第二部分K₂为非同步采样引起的幅值变化的系数。第三部分K₃为系统频率发生偏移下相角变化的比例系数。第四部分K₄表示系统频偏Δf信号幅值和相角的旋转偏移量。

为了方便对式(7)的理解，我们画出它的相量图，如图1所示。图中，表示实际信号相量，由相量旋转角度γ得到相量得到 远小于将实际相量和因旋转偏移量K₄产生的相量相加得到相量再乘上幅值变化系数K₂和相角变化K₃，最终得到非同步采样下的相量

图1中: $\stackrel{\‾}{\mathrm{OA}}=\sqrt{2}X{e}^{\mathrm{j\φ}};$

$\stackrel{\‾}{\mathrm{AB}}=\sqrt{2}X{e}^{-\mathrm{j\φ}}\frac{\sin (\mathrm{\π\λ}/N)}{\sin (\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})/N)}{e}^{-j(2\mathrm{\φ}+\frac{2\mathrm{\π}(N-1)(1+\mathrm{\λ})}{N})}=\stackrel{\‾}{\mathrm{OA}}\frac{\sin (\mathrm{\π\λ}/N)}{\sin (\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})/N)}{e}^{-\mathrm{j\γ}};$

其中 $\mathrm{\γ}=2\mathrm{\φ}+\frac{2\mathrm{\π}(N-1)(1+\mathrm{\λ})}{N},$ 为旋转量；

$\left|\stackrel{\‾}{\mathrm{AC}}\right|=\left|\stackrel{\‾}{\mathrm{AB}}\right|=\left|\stackrel{\‾}{\mathrm{OA}}\right|=\frac{\sin (\mathrm{\π\λ}/N)}{\sin (\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})/N)};$

$\stackrel{\‾}{\mathrm{OB}}=\stackrel{\‾}{\mathrm{OA}}+\stackrel{\‾}{\mathrm{AB}};$

$\left|\stackrel{\‾}{\mathrm{OD}}\right|=\left|\stackrel{\‾}{\mathrm{OB}}\right|=\frac{\sin \left(\mathrm{\π\λ}\right)}{N\sin (\mathrm{\π}\mathrm{\λ}/N)};$

为固定相角误差；

$\mathrm{\β=arctan}\frac{\left|\stackrel{\‾}{\mathrm{AB}}\right|\sin \mathrm{\γ}}{\left|\stackrel{\‾}{\mathrm{OA}}\right|+\left|\stackrel{\‾}{\mathrm{AB}}\right|\cos \mathrm{\γ}},$ 为动态相角误差。

将和代入上式中，并对β进行化简，得

$\mathrm{\β}\≈\arctan \frac{\left|\stackrel{\‾}{\mathrm{AB}}\right|\sin \mathrm{\γ}}{\left|\stackrel{\‾}{\mathrm{OA}}\right|}\≈\frac{\sin (\mathrm{\π\λ}/N)}{\sin (\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})/N)}\sin \mathrm{\γ}---\left(8\right)$

考虑到在实际电网运行时候，频率偏差Δf往往小于额定频率的10％，采样长度N大于10，则上式(8)可化简为

$\mathrm{\β}\≈\frac{\mathrm{\π\λ}/N}{(\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})/N)}\sin \mathrm{\γ}=\frac{\mathrm{\λ}}{2+\mathrm{\λ}}\sin (2\mathrm{\φ}+\frac{2\mathrm{\π}(N-1)(1+\mathrm{\λ})}{N})---\left(9\right)$

综上所述，非同步采样下DFT算法的相角总误差等于固定相角误差加上动态相角误差，即

$\mathrm{\α}+\mathrm{\β}=\frac{(N-1)\mathrm{\π\λ}}{N}-\frac{\mathrm{\λ}}{2+\mathrm{\λ}}\sin (2\mathrm{\φ}+\frac{2\mathrm{\π}(N-1)(1+\mathrm{\λ})}{N})---\left(10\right)$

由上式可以看出，DFT算法的相角总误差除了跟同步采样的频率偏差有关，还与输入信号的初相角有关，其原因是离散傅里叶变换的矩形窗在非同步采样条件下所泄漏的信号能量与初相角具有直接关系，其中受电网频率偏移的影响较大。选取N＝128，λ＝0.1进行理论分析，则求出固定相角误差α＝0.3，动态相角误差β最大值为λ/(λ+2)＝0.0476，其相角误差与初相角之间的关系如图2所示。

对于固定相角误差α，它与频率偏差Δf成正比，一般通过频率跟踪就可以对其进行准确地补偿。对于动态相角误差β，它与频率偏差Δf和2倍的初相角的正弦函数有关，不易对其进行直接修正。因此传统的离散傅里叶变换(DFT)相角测量方法主要通过对采样数据直接进行离散傅里叶变换，得到基波正序分量，然后通过公式求得基波相角。该算法在抗谐波干扰性上具有明显优势,但仅能在频偏较小时保证测量的精度,而一旦信号频率出现较大波动,其准确性难以保证,不利于在线应用。

发明内容

鉴于传统的离散傅里叶变换(DFT)相角测量方法在精度方面效果不佳，尤其在频率扰动情况下离散傅里叶变换方法的相角误差较大，本发明提出了一种电力系统频率偏移时信号相角的测量方法。

为了解决上述问题，本发明所采取的技术方案是：

一种电力系统频率偏移时信号相角的测量方法，其特征在于：包括以下步骤：

一、电力系统信号的采样；

(1)、设电力系统连续信号为式中ω₀＝2πf₀为信号角频率，f₀为基波额定频率，等于50Hz，X为信号幅值，φ为信号初始相角，根据欧拉公式cosφ＝(e^jφ+e^-jφ)/2可将x(t)表示为

$\left(t\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}X(e^{\mathrm{j\φ}}{e}^{j2\mathrm{\π}{f}_{0}t}+e^{-\mathrm{j\φ}}{e}^{-j2\mathrm{\π}{f}_{0}t})---\left(1\right)$

(2)、对x(t)进行离散采样处理，采样频率为f_s＝Nf₀，其中N为每周波采样点数，则采样信号的离散形式为：

$\left(k\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}X(e^{\mathrm{j\φ}}{e}^{\frac{J2\mathrm{\πK}}{N}}+e^{-\mathrm{j\φ}}{e}^{\frac{-j2\mathrm{\πk}}{N}})---\left(3\right)$

其中x(k)为电力系统信号离散采样值，大小已知，

(3)、用矩形窗函数进行截断，截断后的DFT表达式为：

$\stackrel{\·}{X}=\frac{2}{N}\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}x\left(k\right)e^{-j\frac{2\mathrm{\πk}}{N}}---\left(4\right)$

二、信号的偏π/4直角坐标映射；

选取直角坐标系的x轴正方向为0°方向，将其逆时针旋转π/4、3π/4，将其顺时针旋转π/4、3π/4，其中2个反相的偏π/4和2个反相的偏3π/4构成偏π/4直角坐标系；

以此为基准，初相滞后0°方向π/4的信号相量为a相，初相滞后a相90°的信号相量为b相，初相滞后b相90°的信号相量为c相，初相滞后c相90°的信号相量为d相，则电力系统信号在偏π/4直角坐标下表示为：

${\stackrel{\·}{x}}_a=\frac{\sqrt{2}X}{N}{e}^{j(\mathrm{\φ}+\frac{\mathrm{\π}}{4})}+\frac{\sqrt{2}X}{N}{e}^{-j\frac{2\mathrm{\π}(N-1)}{N}}{e}^{-j(\mathrm{\φ}+\frac{\mathrm{\π}}{4})}$

${\stackrel{\·}{x}}_b=\frac{\sqrt{2}X}{N}{e}^{j(\mathrm{\φ}+\frac{3\mathrm{\π}}{4})}+\frac{\sqrt{2}X}{N}{e}^{-j\frac{2\mathrm{\π}(N-1)}{N}}{e}^{-j(\mathrm{\φ}+\frac{3\mathrm{\π}}{4})}$

${\stackrel{\·}{x}}_c=\frac{\sqrt{2}X}{N}{e}^{j(\mathrm{\φ}-\frac{3\mathrm{\π}}{4})}+\frac{\sqrt{2}X}{N}{e}^{-j\frac{2\mathrm{\π}(N-1)}{N}}{e}^{-j(\mathrm{\φ}-\frac{3\mathrm{\π}}{4})}$

${\stackrel{\·}{x}}_d=\frac{\sqrt{2}X}{N}{e}^{j(\mathrm{\φ}-\frac{\mathrm{\π}}{4})}+\frac{\sqrt{2}X}{N}{e}^{-j\frac{2\mathrm{\π}(N-1)}{N}}{e}^{-j(\mathrm{\φ}-\frac{\mathrm{\π}}{4})};$

(5)

三、频率偏移百分比的计算；

(1)、用三点法求出基波频率f

$f=\frac{{\mathrm{Nf}}_0}{2\mathrm{\π}}\arccos \left[\frac{x\left(k\right)+x(k+2)}{2x(k+1)}\right]---\left(6\right)$

(2)、利用二次最佳平方逼近进行简化得

$f=\frac{N{f}_0}{2\mathrm{\π}}\underset{k=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{p}_k---\left(7\right)$

其中最佳平方逼近系数由下式确定

$P_0=1,P_1=\frac{x\left(k\right)+x(k+1)}{2x(k+2)},P_2=\frac{3{P_1}^2-1}{2},a_k=\frac{{\∫}_{\frac{2\mathrm{\πk}}{N}}^{\frac{2\mathrm{\π}(k+1)}{N}}{p}_k\cos \mathrm{\θd\θ}}{{\∫}_{\frac{2\mathrm{\πk}}{N}}^{\frac{2\mathrm{\π}(k+1)}{N}}{p}_k^2\mathrm{d\θ}}$

可得频率偏移百分比

$\mathrm{\λ}=\frac{f-f_0}{f_0}\×100\%---\left(8\right)$

四、频率偏移的修正；

在0°方向相量表达式不变的情况下，若λ＜0.02％则可跳过此步，当λ≥0.02％时，需要对偏π/4直角坐标映射进行修正计算，则电力系统信号在偏π/4直角坐标下对频率偏移的修正映射为：

${\stackrel{\·}{x}}_a=\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\mathrm{\π\λ}\right)}{N\sin (\mathrm{\π\λ}/N)}{e}^{-j\frac{(N-1)\mathrm{\π\λ}}{N}}{e}^{j(\mathrm{\φ}+\frac{\mathrm{\π}(1+\mathrm{\λ})}{4})}+\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\mathrm{\π\λ}\right)}{N\sin (\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})/N)}{e}^{-j\frac{(N-1)\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})}{N}}{e}^{-j(\mathrm{\φ}+\frac{\mathrm{\π}(1+\mathrm{\λ})}{4})}$

${\stackrel{\·}{x}}_b=\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\mathrm{\π\λ}\right)}{N\sin (\mathrm{\π\λ}/N)}{e}^{j\frac{(N-1)\mathrm{\π\λ}}{N}}{e}^{j(\mathrm{\φ}+\frac{3\mathrm{\π}(1+\mathrm{\λ})}{4})}+\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\mathrm{\π\λ}\right)}{N\sin (\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})/N)}{e}^{-j\frac{(N-1)\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})}{N}}{e}^{-j(\mathrm{\φ}+\frac{3\mathrm{\π}(1+\mathrm{\λ})}{4})}$

${\stackrel{\·}{x}}_c=\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\mathrm{\π\λ}\right)}{N\sin (\mathrm{\π\λ}/N)}{e}^{j\frac{(N-1)\mathrm{\π\λ}}{N}}{e}^{j(\mathrm{\φ}+\frac{3\mathrm{\π}(1+\mathrm{\λ})}{4})}+\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\mathrm{\π\λ}\right)}{N\sin (\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})/N)}{e}^{-j\frac{(N-1)\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})}{N}}{e}^{-j(\mathrm{\φ}-\frac{3\mathrm{\π}(1+\mathrm{\λ})}{4})}$

${\stackrel{\·}{x}}_d=\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\mathrm{\π\λ}\right)}{N\sin (\mathrm{\π\λ}/N)}{e}^{j\frac{(N-1)\mathrm{\π\λ}}{N}}{e}^{j(\mathrm{\φ}-\frac{\mathrm{\π}(1+\mathrm{\λ})}{4})}+\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\mathrm{\π\λ}\right)}{N\sin (\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})/N)}{e}^{-j\frac{(N-1)\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})}{N}}{e}^{-j(\mathrm{\φ}-\frac{\mathrm{\π}(1+\mathrm{\λ})}{4})}$

(14)

五、电力系统信号相量的计算；

将0°方向的正序分量作为偏π/4直角坐标系的正序分量，根据序分量公式，得到正序分量：

$x_{+}=\frac{1}{4}(e^{-j\frac{\mathrm{\π}}{4}}{\stackrel{\·}{x}}_a+e^{-j\frac{3\mathrm{\π}}{4}}{\stackrel{\·}{x}}_b+e^{j\frac{3\mathrm{\π}}{4}}{\stackrel{\·}{x}}_c+e^{j\frac{\mathrm{\π}}{4}}{\stackrel{\·}{x}}_d)---\left(15\right)$

然后代入下式，可求得基波相量初始相角

$\mathrm{\φ}=\arccos \left(\frac{x_{+}}{\sqrt{2}X}\right)---\left(16\right).$

前述的一种电力系统频率偏移时信号相角的测量方法，其特征在于：步骤三的(1)步骤中，所述用三点法求出基波频率f具体包括以下步骤：由于

$\begin{array}{c}x\left(k\right)+x(k+2)=\sqrt{2}X\cos (\frac{2\mathrm{\πk}}{N}+\mathrm{\φ})+\sqrt{2}X\cos (\frac{2\mathrm{\πk}}{N}+\mathrm{\φ}+\frac{4\mathrm{\π}}{N})\\ =2\sqrt{2}X\cos (\frac{2\mathrm{\πk}}{N}+\mathrm{\φ}){\cos }^2\frac{2\mathrm{\π}}{N}-2\sqrt{2}X\sin (\frac{2\mathrm{\πk}}{N}+\mathrm{\φ})\sin \frac{2\mathrm{\π}}{N}\cos \frac{2\mathrm{\π}}{N}\end{array}$

$2x(k+1)=2\sqrt{2}X\cos (\frac{2\mathrm{\πk}}{N}+\mathrm{\φ}+\frac{2\mathrm{\π}}{N})=2\sqrt{2}X\cos (\frac{2\mathrm{\πk}}{N}+\mathrm{\φ})\cos \frac{2\mathrm{\π}}{N}-2\sqrt{2}X\sin (\frac{2\mathrm{\πk}}{N}+\mathrm{\φ})\sin \frac{2\mathrm{\π}}{N}$

所以 $\left(k\right)+x(k+2)=2x(k+1)\cos \frac{2\mathrm{\π}}{N}$

即 $\frac{2\mathrm{\π}}{N}=\arccos \left[\frac{x\left(k\right)+x(k+2)}{2x(k+1)}\right]$

故 $f=\frac{N{f}_0}{2\mathrm{\π}}\arccos \left[\frac{x\left(k\right)+x(k+2)}{2x(k+1)}\right]$ (6)。

前述的一种电力系统频率偏移时信号相角的测量方法，其特征在于：步骤三的(2)步骤中，利用二次最佳平方逼近对式(5)进行简化：假设arccosθ＝a₀p₀+a₁p₁+a₂p₂，其中

由Legendre多项式递推公式

可求得P₀＝1，P₁＝θ，

由于

$(P_0,P_0)={\∫}_0^{1}1\×1\mathrm{d\θ}=1,(P_0,P_1)={\∫}_0^{1}1\×\mathrm{\θd\θ}=\frac{1}{2}$

$(P_0,P_2)={\∫}_0^{1}1\×{\mathrm{\θ}}^2\mathrm{d\θ}=\frac{1}{3},(P_1,P_1)={\∫}_0^{1}1\×\mathrm{\θd\θ}=\frac{1}{3}$

$(P_1,P_1)={\∫}_0^1\mathrm{\θ}\×\frac{3{\mathrm{\θ}}^2-1}{2}\mathrm{d\θ}=\frac{1}{8}$

$(P_2,P_2)={\∫}_0^1\frac{3{\mathrm{\θ}}^2-1}{2}\×\frac{3{\mathrm{\θ}}^2-1}{2}\mathrm{d\θ}=\frac{1}{5}$

$(P_0,\arccos \mathrm{\θ})={\∫}_0^{1}1\×\arccos \mathrm{\θd\θ}=-1$

$(P_1,\arccos \mathrm{\θ})={\∫}_0^1\mathrm{\θ}\×\arccos \mathrm{\θd\θ}=\frac{\mathrm{\π}}{2}+1$

$(P_2,\arccos \mathrm{\θ})={\∫}_0^1{\mathrm{\θ}}^2\×\arccos \mathrm{\θd\θ}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2-3}$

最佳平方逼近的约束法方程为

$\left\{\begin{array}{c}{a}_0+\frac{1}{2}{a}_1+\frac{1}{3}{a}_2=-1\\ \frac{1}{2}{a}_0+\frac{1}{3}{a}_1+\frac{1}{8}{a}_2=\frac{\mathrm{\π}}{2}\\ \frac{1}{3}{a}_0+\frac{1}{8}{a}_1+\frac{1}{5}{a}_2=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2-3}\end{array},+1\right.$

解得

a₀＝-37.938，a₁＝52.713，a₂＝31.745

因此可求得 $f=\frac{N{f}_0}{2\mathrm{\π}}\underset{k=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{p}_k---\left(7\right).$

前述的一种电力系统频率偏移时信号相角的测量方法，其特征在于：步骤四频率偏移修正的具体过程为：在0°方向相量表达式不变的情况下，若λ＜0.02％则可跳过此步。当λ≥0.02％时，频率偏移会对相量计算产生影响，需要对偏π/4直角坐标映射进行修正计算，

当频率f₀变化Δf时，其中Δf＝f-f₀，有

$\left(t\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}X(e^{\mathrm{j\φ}}{e}^{j2\mathrm{\π}(f_0+\mathrm{\Δf})t}+e^{-\mathrm{j\φ}}{e}^{-j2\mathrm{\π}(f_0+\mathrm{\Δf})t})---\left(9\right)$

采样后信号的离散形式为：

$\left(k\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}X(e^{\mathrm{j\φ}}{e}^{j2\mathrm{\π}(f_0+\mathrm{\Δf})\frac{k}{N{f}_0}}+e^{-\mathrm{j\φ}}{e}^{-j2\mathrm{\π}(f_0+\mathrm{\Δf})\frac{k}{N{f}_0}})---\left(10\right)$

用矩形窗函数截断后的DFT表达式为：

$\stackrel{\·}{X}=\sqrt{2}X{e}^{\mathrm{j\φ}}\frac{1}{N}\underset{k=0}{\overset{1}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{j(\frac{2\mathrm{\π}(f_0+\mathrm{\Δf})}{N{f}_0}-\frac{2\mathrm{\π}}{N})k}+\sqrt{2}X{e}^{-\mathrm{j\φ}}\frac{1}{N}\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{-j(\frac{2\mathrm{\π}(f_0+\mathrm{\Δf})}{N{f}_0}+\frac{2\mathrm{\π}}{N})k}---\left(11\right)$

对式(11)可以用以下式子进行整理：

$\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left(e^{\mathrm{j\φ}}\right)}^k=\frac{\sin (\mathrm{N\φ}/2)}{\sin (\mathrm{\φ}/2)}{e}^{j\frac{1}{2}(N-1)\mathrm{\φ}}---\left(12\right)$

由于频率偏移率λ＝Δf/f₀，整理后变为：

$\stackrel{\·}{X}=K_1\×K_2\×K_3\×K_4---\left(13\right)$

其中： $K_1=\sqrt{2}X{e}^{\mathrm{j\φ}};$

$K_2=\frac{\sin \left(\mathrm{\π\λ}\right)}{N\sin (\mathrm{\π\λ}/N)};$

$K_3=e^{j\frac{(N-1)\mathrm{\π\λ}}{N}};$

$K_4=1+\frac{\sin (\mathrm{\π\λ}/N)}{\sin (\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})/N)}{e}^{-j(2\mathrm{\φ}+\frac{2\mathrm{\π}(N-1)(1+\mathrm{\λ})}{N})}.$

上式(13)的第一部分K₁表示信号频率f₀在理想条件下Δf＝0，即λ＝0，输入信号的实际幅值和初相角φ，但在实际电网中，系统的频率在额定频率上下小幅度浮动，容易引起非同步采样，第二部分K₂为非同步采样引起的幅值变化的系数，第三部分K₃为系统频率发生偏移下相角变化的比例系数，第四部分K₄表示系统频偏Δf信号幅值和相角的旋转偏移量。

则电力系统信号在偏π/4直角坐标下对频率偏移的修正映射为

${\stackrel{\·}{x}}_a=\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\mathrm{\π\λ}\right)}{N\sin (\mathrm{\π\λ}/N)}{e}^{-j\frac{(N-1)\mathrm{\π\λ}}{N}}{e}^{j(\mathrm{\φ}+\frac{\mathrm{\π}(1+\mathrm{\λ})}{4})}+\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\mathrm{\π\λ}\right)}{N\sin (\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})/N)}{e}^{-j\frac{(N-1)\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})}{N}}{e}^{-j(\mathrm{\φ}+\frac{\mathrm{\π}(1+\mathrm{\λ})}{4})}$

${\stackrel{\·}{x}}_b=\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\mathrm{\π\λ}\right)}{N\sin (\mathrm{\π\λ}/N)}{e}^{j\frac{(N-1)\mathrm{\π\λ}}{N}}{e}^{j(\mathrm{\φ}+\frac{3\mathrm{\π}(1+\mathrm{\λ})}{4})}+\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\mathrm{\π\λ}\right)}{N\sin (\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})/N)}{e}^{-j\frac{(N-1)\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})}{N}}{e}^{-j(\mathrm{\φ}+\frac{3\mathrm{\π}(1+\mathrm{\λ})}{4})}$

${\stackrel{\·}{x}}_c=\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\mathrm{\π\λ}\right)}{N\sin (\mathrm{\π\λ}/N)}{e}^{j\frac{(N-1)\mathrm{\π\λ}}{N}}{e}^{j(\mathrm{\φ}+\frac{3\mathrm{\π}(1+\mathrm{\λ})}{4})}+\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\mathrm{\π\λ}\right)}{N\sin (\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})/N)}{e}^{-j\frac{(N-1)\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})}{N}}{e}^{-j(\mathrm{\φ}-\frac{3\mathrm{\π}(1+\mathrm{\λ})}{4})}$

${\stackrel{\·}{x}}_d=\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\mathrm{\π\λ}\right)}{N\sin (\mathrm{\π\λ}/N)}{e}^{j\frac{(N-1)\mathrm{\π\λ}}{N}}{e}^{j(\mathrm{\φ}-\frac{\mathrm{\π}(1+\mathrm{\λ})}{4})}+\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\mathrm{\π\λ}\right)}{N\sin (\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})/N)}{e}^{-j\frac{(N-1)\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})}{N}}{e}^{-j(\mathrm{\φ}-\frac{\mathrm{\π}(1+\mathrm{\λ})}{4})}$

(14)

前述的一种电力系统频率偏移时信号相角的测量方法，其特征在于：步骤二中，选取直角坐标系的x轴正方向为0°方向，将其逆时针旋转π/4、3π/4，形成a轴和b轴；将其顺时针旋转π/4、3π/4，形成d轴和c轴。2个反相的偏π/4的a轴和c轴，和2个反相的偏3π/4的b轴和d轴构成偏π/4直角坐标系。

前述的一种电力系统频率偏移时信号相角的测量方法，其特征在于：步骤一的(2)步骤中，其中N为每周波采样点数，需要取为4的倍数。

本发明所达到的有益效果：

本发明从相角算法上对该动态相角误差进行削减，使之接近于0，提高相角计算的精确度。

因此采用本发明后，其动态相角误差为

${\mathrm{\β}}^{\′}=\frac{\mathrm{\π\λ}}{4}\frac{\mathrm{\λ}}{2+\mathrm{\λ}}\sin (2\mathrm{\φ}+\frac{2\mathrm{\π}(N-1)(1+\mathrm{\λ})}{N})$

而传统算法动态相角误差为

$\mathrm{\β}=\frac{\mathrm{\λ}}{2+\mathrm{\λ}}\sin (2\mathrm{\φ}+\frac{2\mathrm{\π}(N-1)(1+\mathrm{\λ})}{N})$

同传统算法相比，动态相角误差调整率为：

$\mathrm{\η}=\frac{\mathrm{\β}-{\mathrm{\β}}^{\′}}{\mathrm{\β}}\×100\%=99.21\%$

本发明提供一种电力系统频率偏移时信号相角的测量方法，与传统算法相比，采用本发明对动态相角误差的调整率达到99.21％，在电网频率偏移较大时，也能保证较高的相角测量精度。

附图说明

图1是现有技术中公式(7)的相量图。

图2是现有技术中相角误差与初相角之间的关系图。

图3本发明相位角的直角坐标系示意图。

图4本发明相角测量方法流程图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。

如图4所示，一种电力系统频率偏移时信号相角的测量方法，采取的技术方案为：

一、电力系统信号的采样；

设电力系统连续信号为式中ω₀＝2πf₀为信号角频率，f₀为基波额定频率，等于50Hz，X为信号幅值，φ为信号初始相角。根据欧拉公式cosφ＝(e^jφ+e^-jφ)/2可将x(t)表示为

$\left(t\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}X(e^{\mathrm{j\φ}}{e}^{j2\mathrm{\π}{f}_{0}t}+e^{-\mathrm{j\φ}}{e}^{-j2\mathrm{\π}{f}_{0}t})---\left(1\right)$

(1)对x(t)进行离散采样处理，采样频率为f_s＝Nf₀，其中N为每周波采样点数，需要取为4的倍数，则采样信号的离散形式为：

$\left(k\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}X(e^{\mathrm{j\φ}}{e}^{j2\mathrm{\π}(f_0+\mathrm{\Δf})\frac{k}{N{f}_0}}+e^{-\mathrm{j\φ}}{e}^{-j2\mathrm{\π}(f_0+\mathrm{\Δf})\frac{k}{N{f}_0}})---\left(3\right)$

其中x(k)为电力系统信号离散采样值，大小已知。

(2)用矩形窗函数进行截断，截断后的DFT表达式为：

$\stackrel{\·}{X}=\frac{2}{N}\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}x\left(k\right)e^{-j\frac{2\mathrm{\πk}}{N}}---\left(4\right)$

二、电力系统信号的偏π/4直角坐标映射；

如图3所示，选取直角坐标系的x轴正方向为0°方向，将其逆时针旋转π/4、3π/4，形成a轴和b轴；将其顺时针旋转π/4、3π/4，形成d轴和c轴。2个反相的偏π/4的a轴和c轴，和2个反相的偏3π/4的b轴和d轴构成偏π/4直角坐标系。

以此为基准，初相滞后0°方向π/4的信号相量为a相，初相滞后a相90°的信号相量为b相，初相滞后b相90°的信号相量为c相，初相滞后c相90°的信号相量为d相，则电力系统信号在偏π/4直角坐标下表示为

${\stackrel{\·}{x}}_a=\frac{\sqrt{2}X}{N}{e}^{j(\mathrm{\φ}+\frac{\mathrm{\π}}{4})}+\frac{\sqrt{2}X}{N}{e}^{-j\frac{2\mathrm{\π}(N-1)}{N}}{e}^{-j(\mathrm{\φ}+\frac{\mathrm{\π}}{4})}$

${\stackrel{\·}{x}}_b=\frac{\sqrt{2}X}{N}{e}^{j(\mathrm{\φ}+\frac{3\mathrm{\π}}{4})}+\frac{\sqrt{2}X}{N}{e}^{-j\frac{2\mathrm{\π}(N-1)}{N}}{e}^{-j(\mathrm{\φ}+\frac{3\mathrm{\π}}{4})}$

${\stackrel{\·}{x}}_c=\frac{\sqrt{2}X}{N}{e}^{j(\mathrm{\φ}-\frac{3\mathrm{\π}}{4})}+\frac{\sqrt{2}X}{N}{e}^{-j\frac{2\mathrm{\π}(N-1)}{N}}{e}^{-j(\mathrm{\φ}-\frac{3\mathrm{\π}}{4})}$

${\stackrel{\·}{x}}_d=\frac{\sqrt{2}X}{N}{e}^{j(\mathrm{\φ}-\frac{\mathrm{\π}}{4})}+\frac{\sqrt{2}X}{N}{e}^{-j\frac{2\mathrm{\π}(N-1)}{N}}{e}^{-j(\mathrm{\φ}-\frac{\mathrm{\π}}{4})};$

(5)

三、频率偏移百分比的计算；

用三点法求出基波频率

由于

$\begin{array}{c}x\left(k\right)+x(k+2)=\sqrt{2}X\cos (\frac{2\mathrm{\πk}}{N}+\mathrm{\φ})+\sqrt{2}X\cos (\frac{2\mathrm{\πk}}{N}+\mathrm{\φ}+\frac{4\mathrm{\π}}{N})\\ =2\sqrt{2}X\cos (\frac{2\mathrm{\πk}}{N}+\mathrm{\φ}){\cos }^2\frac{2\mathrm{\π}}{N}-2\sqrt{2}X\sin (\frac{2\mathrm{\πk}}{N}+\mathrm{\φ})\sin \frac{2\mathrm{\π}}{N}\cos \frac{2\mathrm{\π}}{N}\end{array}$

$2x(k+1)=2\sqrt{2}X\cos (\frac{2\mathrm{\πk}}{N}+\mathrm{\φ}+\frac{2\mathrm{\π}}{N})=2\sqrt{2}X\cos (\frac{2\mathrm{\πk}}{N}+\mathrm{\φ})\cos \frac{2\mathrm{\π}}{N}-2\sqrt{2}X\sin (\frac{2\mathrm{\πk}}{N}+\mathrm{\φ})\sin \frac{2\mathrm{\π}}{N}$

所以 $\left(k\right)+x(k+2)=2x(k+1)\cos \frac{2\mathrm{\π}}{N}$

即 $\frac{2\mathrm{\π}}{N}=\arccos \left[\frac{x\left(k\right)+x(k+2)}{2x(k+1)}\right]$

故 $f=\frac{N{f}_0}{2\mathrm{\π}}\arccos \left[\frac{x\left(k\right)+x(k+2)}{2x(k+1)}\right]$

                                  (6)

由于微机系统中arccos求取较为复杂，简单的使用查表法求解误差较大,因此可利用二次最佳平方逼近对式(5)进行简化。

假设arccosθ＝a₀p₀+a₁p₁+a₂p₂，其中

由Legendre多项式递推公式

可求得P₀＝1，P₁＝θ，

由于

$(P_0,P_0)={\∫}_0^{1}1\×1\mathrm{d\θ}=1,(P_0,P_1)={\∫}_0^{1}1\×\mathrm{\θd\θ}=\frac{1}{2}$

$(P_0,P_2)={\∫}_0^{1}1\×{\mathrm{\θ}}^2\mathrm{d\θ}=\frac{1}{3},(P_1,P_1)={\∫}_0^{1}1\×\mathrm{\θd\θ}=\frac{1}{3}$

$(P_1,P_1)={\∫}_0^1\mathrm{\θ}\×\frac{3{\mathrm{\θ}}^2-1}{2}\mathrm{d\θ}=\frac{1}{8}$

$(P_2,P_2)={\∫}_0^1\frac{3{\mathrm{\θ}}^2-1}{2}\×\frac{3{\mathrm{\θ}}^2-1}{2}\mathrm{d\θ}=\frac{1}{5}$

$(P_0,\arccos \mathrm{\θ})={\∫}_0^{1}1\×\arccos \mathrm{\θd\θ}=-1$

$(P_1,\arccos \mathrm{\θ})={\∫}_0^1\mathrm{\θ}\×\arccos \mathrm{\θd\θ}=\frac{\mathrm{\π}}{2}+1$

$(P_2,\arccos \mathrm{\θ})={\∫}_0^1{\mathrm{\θ}}^2\×\arccos \mathrm{\θd\θ}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2-3}$

最佳平方逼近的约束法方程为

$\left\{\begin{array}{c}{a}_0+\frac{1}{2}{a}_1+\frac{1}{3}{a}_2=-1\\ \frac{1}{2}{a}_0+\frac{1}{3}{a}_1+\frac{1}{8}{a}_2=\frac{\mathrm{\π}}{2}\\ \frac{1}{3}{a}_0+\frac{1}{8}{a}_1+\frac{1}{5}{a}_2=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2-3}\end{array},+1\right.$

解得

a₀＝-37.938，a₁＝52.713，a₂＝31.745

因此可求得 $f=\frac{N{f}_0}{2\mathrm{\π}}\underset{k=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{p}_k---\left(7\right)$

可得频率偏移百分比

$\mathrm{\λ}=\frac{f-f_0}{f_0}\×100\%---\left(8\right)$

四、频率偏移的修正；

在相量测量算法中，当输入信号的频率为标准值f₀时，采样间隔为2π/N；发生频率偏移时，则采样间隔变为2πf/(Nf₀)＝2π(f₀+Δf)/(Nf₀)。此外，考虑到在偏π/4直角坐标系中四相相量相差π/2，且与0°方向相差π/4或3π/4，很容易想到这里的采样点数N是8的整数倍数。0°方向的起始点后移N/8个点得到a相的起始点，同理0°方向的起始点后移3N/8个点得到b相的起始点,0°方向的起始点前移3N/8个点得到c相的起始点，0°方向的起始点前移N/8个点得到d相的起始点。然而，当存在频率偏移时，N/8个点对应的相角会发生变化，并非是π/4。

因此，在0°方向相量表达式不变的情况下，若λ＜0.02％则可跳过此步。当λ≥0.02％时，频率偏移会对相量计算产生影响，需要对偏π/4直角坐标映射进行修正计算。

当频率f₀变化Δf时(其中Δf＝f-f₀)，有

$\left(t\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}X(e^{\mathrm{j\φ}}{e}^{j2\mathrm{\π}(f_0+\mathrm{\Δf})t}+e^{-\mathrm{j\φ}}{e}^{-j2\mathrm{\π}(f_0+\mathrm{\Δf})t})---\left(9\right)$

采样后信号的离散形式为：

$\left(k\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}X(e^{\mathrm{j\φ}}{e}^{j2\mathrm{\π}(f_0+\mathrm{\Δf})\frac{k}{N{f}_0}}+e^{-\mathrm{j\φ}}{e}^{-j2\mathrm{\π}(f_0+\mathrm{\Δf})\frac{k}{N{f}_0}})---\left(10\right)$

用矩形窗函数截断后的DFT表达式为：

$\stackrel{\·}{X}=\sqrt{2}X{e}^{\mathrm{j\φ}}\frac{1}{N}\underset{k=0}{\overset{1}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{j(\frac{2\mathrm{\π}(f_0+\mathrm{\Δf})}{N{f}_0}-\frac{2\mathrm{\π}}{N})k}+\sqrt{2}X{e}^{-\mathrm{j\φ}}\frac{1}{N}\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{-j(\frac{2\mathrm{\π}(f_0+\mathrm{\Δf})}{N{f}_0}+\frac{2\mathrm{\π}}{N})k}---\left(11\right)$

对式(11)可以用以下式子进行整理：

$\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left(e^{\mathrm{j\φ}}\right)}^k=\frac{\sin (\mathrm{N\φ}/2)}{\sin (\mathrm{\φ}/2)}{e}^{j\frac{1}{2}(N-1)\mathrm{\φ}}---\left(12\right)$

由于频率偏移率λ＝Δf/f0，整理后变为：

$\stackrel{\·}{X}=K_1\×K_2\×K_3\×K_4---\left(13\right)$

其中： $K_1=\sqrt{2}X{e}^{\mathrm{j\φ}};$

$K_2=\frac{\sin \left(\mathrm{\π\λ}\right)}{N\sin (\mathrm{\π\λ}/N)};$

$K_3=e^{j\frac{(N-1)\mathrm{\π\λ}}{N}};$

$K_4=1+\frac{\sin (\mathrm{\π\λ}/N)}{\sin (\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})/N)}{e}^{-j(2\mathrm{\φ}+\frac{2\mathrm{\π}(N-1)(1+\mathrm{\λ})}{N})}.$

上式(7)的第一部分K₁表示信号频率f₀在理想条件下(Δf＝0，即λ＝0)，输入信号的实际幅值和初相角φ。但在实际电网中，系统的频率在额定频率上下小幅度浮动，容易引起非同步采样。第二部分K₂为非同步采样引起的幅值变化的系数。第三部分K₃为系统频率发生偏移下相角变化的比例系数。第四部分K₄表示系统频偏Δf信号幅值和相角的旋转偏移量。

则电力系统信号在偏π/4直角坐标下对频率偏移的修正映射为

${\stackrel{\·}{x}}_a=\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\mathrm{\π\λ}\right)}{N\sin (\mathrm{\π\λ}/N)}{e}^{-j\frac{(N-1)\mathrm{\π\λ}}{N}}{e}^{j(\mathrm{\φ}+\frac{\mathrm{\π}(1+\mathrm{\λ})}{4})}+\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\mathrm{\π\λ}\right)}{N\sin (\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})/N)}{e}^{-j\frac{(N-1)\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})}{N}}{e}^{-j(\mathrm{\φ}+\frac{\mathrm{\π}(1+\mathrm{\λ})}{4})}$

${\stackrel{\·}{x}}_b=\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\mathrm{\π\λ}\right)}{N\sin (\mathrm{\π\λ}/N)}{e}^{j\frac{(N-1)\mathrm{\π\λ}}{N}}{e}^{j(\mathrm{\φ}+\frac{3\mathrm{\π}(1+\mathrm{\λ})}{4})}+\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\mathrm{\π\λ}\right)}{N\sin (\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})/N)}{e}^{-j\frac{(N-1)\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})}{N}}{e}^{-j(\mathrm{\φ}+\frac{3\mathrm{\π}(1+\mathrm{\λ})}{4})}$

${\stackrel{\·}{x}}_c=\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\mathrm{\π\λ}\right)}{N\sin (\mathrm{\π\λ}/N)}{e}^{j\frac{(N-1)\mathrm{\π\λ}}{N}}{e}^{j(\mathrm{\φ}+\frac{3\mathrm{\π}(1+\mathrm{\λ})}{4})}+\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\mathrm{\π\λ}\right)}{N\sin (\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})/N)}{e}^{-j\frac{(N-1)\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})}{N}}{e}^{-j(\mathrm{\φ}-\frac{3\mathrm{\π}(1+\mathrm{\λ})}{4})}$

${\stackrel{\·}{x}}_d=\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\mathrm{\π\λ}\right)}{N\sin (\mathrm{\π\λ}/N)}{e}^{j\frac{(N-1)\mathrm{\π\λ}}{N}}{e}^{j(\mathrm{\φ}-\frac{\mathrm{\π}(1+\mathrm{\λ})}{4})}+\sqrt{2}X\frac{\sin \left(\mathrm{\π\λ}\right)}{N\sin (\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})/N)}{e}^{-j\frac{(N-1)\mathrm{\π}(2+\mathrm{\λ})}{N}}{e}^{-j(\mathrm{\φ}-\frac{\mathrm{\π}(1+\mathrm{\λ})}{4})}$

五、电力系统信号相量的计算；

将0°方向的正序分量作为偏π/4直角坐标系的正序分量，根据序分量公式，得到正序分量：

$x_{+}=\frac{1}{4}(e^{-j\frac{\mathrm{\π}}{4}}{\stackrel{\·}{x}}_a+e^{-j\frac{3\mathrm{\π}}{4}}{\stackrel{\·}{x}}_b+e^{j\frac{3\mathrm{\π}}{4}}{\stackrel{\·}{x}}_c+e^{j\frac{\mathrm{\π}}{4}}{\stackrel{\·}{x}}_d)---\left(15\right)$

然后代入下式，可求得基波相量

$\mathrm{\φ}=\arccos \left(\frac{x_{+}}{\sqrt{2}X}\right)---\left(16\right)$

以上显示和描述了本发明的基本原理、主要特征及优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。

Claims (6)

1.一种电力系统频率偏移时信号相角的测量方法，其特征在于：包括以下步骤： 

一、电力系统信号的采样； 

(1)、设电力系统连续信号为式中ω₀＝2πf₀为信号角频率，f₀为基波额定频率，等于50Hz，X为信号幅值，φ为信号初始相角，根据欧拉公式cosφ＝(e^jφ+e^-jφ)/2可将x(t)表示为 

(2)、对x(t)进行离散采样处理，采样频率为f_s＝Nf₀，其中N为每周波采样点数，则采样信号的离散形式为： 

其中x(k)为电力系统信号离散采样值，大小已知， 

(3)、用矩形窗函数进行截断，截断后的DFT表达式为： 

二、信号的偏π/4直角坐标映射； 

选取直角坐标系的x轴正方向为0°方向，将其逆时针旋转π/4、3π/4，将其顺时针旋转π/4、3π/4，其中2个反相的偏π/4和2个反相的偏3π/4构成偏π/4直角坐标系； 

以此为基准，初相滞后0°方向π/4的信号相量为a相，初相滞后a相90°的信号相量为b相，初相滞后b相90°的信号相量为c相，初相滞 后c相90°的信号相量为d相，则电力系统信号在偏π/4直角坐标下表示为： 

(5) 

三、频率偏移百分比的计算； 

(1)、用三点法求出基波频率f 

(2)、利用二次最佳平方逼近进行简化得 

其中最佳平方逼近系数由下式确定 

P₀＝1，

可得频率偏移百分比 

四、频率偏移的修正； 

在0°方向相量表达式不变的情况下，若λ＜0.02％则可跳过此步，当λ≥0.02％时，需要对偏π/4直角坐标映射进行修正计算，则电力系统信号在偏π/4直角坐标下对频率偏移的修正映射为： 

(14) 

五、电力系统信号相量的计算； 

将0°方向的正序分量作为偏π/4直角坐标系的正序分量，根据序分量公式，得到正序分量： 

然后代入下式，可求得基波相量初始相角 

2.根据权利要求1所述的一种电力系统频率偏移时信号相角的测量方法，其特征在于：步骤三的(1)步骤中，所述用三点法求出基波频率f具体包括以下步骤：由于 

所以

即

故

(6)。 

3.根据权利要求2所述的一种电力系统频率偏移时信号相角的测量方法，其特征在于：步骤三的(2)步骤中，利用二次最佳平方逼近对式(5)进行简化：假设p其中 

由Legendre多项式递推公式

可求得P₀＝1，P₁＝θ，

由于 

最佳平方逼近的约束法方程为 

解得 

a₀＝-37.938，a₁＝52.713，a₂＝31.745 

因此可求得

4.根据权利要求3所述的一种电力系统频率偏移时信号相角的测量方法，其特征在于：步骤四频率偏移修正的具体过程为：在0°方向相量表达式不变的情况下，若λ＜0.02％则可跳过此步。当λ≥0.02％时，频率偏移会对相量计算产生影响，需要对偏π/4直角坐标映射进行修正计算， 

当频率f₀变化Δf时，其中Δf＝f-f₀，有 

采样后信号的离散形式为： 

用矩形窗函数截断后的DFT表达式为： 

对式(11)可以用以下式子进行整理： 

由于频率偏移率λ＝Δf/f₀，整理后变为： 

其中：

上式(13)的第一部分K₁表示信号频率f₀在理想条件下Δf＝0，即λ＝0，输入信号的实际幅值和初相角φ，但在实际电网中，系统的频率在额定频率上下小幅度浮动，容易引起非同步采样，第二部分K₂为非同步采样引起的幅值变化的系数，第三部分K₃为系统频率发生偏移下相角变化的比例系数，第四部分K₄表示系统频偏Δf信号幅值和相角的旋转偏移量。 

则电力系统信号在偏π/4直角坐标下对频率偏移的修正映射为 

(14)。 

5.根据权利要求4所述的一种电力系统频率偏移时信号相角的测量方法，其特征在于：步骤二中，选取直角坐标系的x轴正方向为0°方向，将其逆时针旋转π/4、3π/4，形成a轴和b轴；将其顺时针旋转π/4、3π/4，形成d轴和c轴。2个反相的偏π/4的a轴和c轴，和2个反相的偏3π/4的b轴和d轴构成偏π/4直角坐标系。 

6.根据权利要求5所述的一种电力系统频率偏移时信号相角的测量方法，其特征在于：步骤一的(2)步骤中，其中N为每周波采样点数，需要取为4的倍数。