CN102590615A - 电网的电压和电流信号的频率偏移情况下同步相量修正的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种电网的电压和电流信号的频率偏移情况下同步相量修正的方法，利用泛函中的一致逼近法，将表达式进行合理的修正，并在幅相空间也用同样的方法进行了公式修正，最终给出了量化后的修正表达式。本发明用

的幅相特性关系逼近椭圆，大大简化了计算量。采用一致逼近的方法，求解出幅值的修正公式，给出了工程实用的函数表达式。本发明与传统的算法相比主要解决了两个方面的问题：(1)解决了传统幅值修正带来的0/0的数据漂移问题；(2)解决了由于tan函数不连续带来的相角突变的问题。本发明的研究结果具有一定工程应用价值。

Description

电网的电压和电流信号的频率偏移情况下同步相量修正的方法

技术领域

本发明涉及电力系统分析和控制领域，具体涉及一种电网的电压和电流信号的频率偏移情况下同步相量修正的方法。

背景技术

电力系统的安全稳定状况历来受到人们的普遍重视，随着全球电力市场化的兴起，电网的安全稳定问题日益突出，这也导致近年来全世界大停电事故的发生频率和严重程度都有增加的趋势。为此，利用新的技术手段来加强电网的动态安全监控的需求迫在眉睫。近年来，广域测量系统的同步相量测量单元通过对电力系统各个节点的动态数据的同步采集，为电力系统在线应用中的分析和控制提供了数据源。

由于电网的频率是时刻波动的，尤其是在故障情况下，实际频率与理想基波频率的偏差有可能很大。故仅利用采集的数据进行离散傅里叶变换(DFT)，求得的信号幅值和相角误差很大，因此需对其进行一定的修正。目前有用锁相环PLL技术对频率进行跟踪，有用泰勒展开模型的同步相量估计算法，并对DFT算法进行修正，有提用自适应采样方法，消除非理想基波频率下的DFT算法产生的频率泄露造成的影响。以上方法都能取得较为理想的结果，并且能够很好地跟踪电网的频率。但是在正确跟踪电网频率后，对于DFT变换所造成的误差如何修正未给出具体方案。即使提出了相关的修正方案，但这种修正方案在Δf很小时，公式有可能出现0/0型，产生数据漂移。

发明内容

由于频率的偏移会导致DFT变换后的幅值和相移的失真，然而在频率跟踪之后，如何修正DFT带来的幅值和相角误差是关键问题。本发明的目的是提供一种推导出幅差公式，并利用泛函中的一致逼近法，将表达式进行合理的修正，并在幅相空间也用同样的方法进行了公式修正，最终给出了量化后的修正表达式频率偏移情况下同步相量修正的方法。

电网的电压和电流信号的频率偏移情况下同步相量修正的方法，其特征在于，具体步骤如下：

假设输入的电压或电流信号是理想的正弦波信号，仅含有基波分量。令基波的理想频率为f₀＝50Hz，对应的理想角频率为w₀，周期为T₀；由于电力系统的实际频率通常50Hz上下波动，故可以设基波的实际频率为f＝f₀+Δf，对应的实际角频率为w，周期为T，Δf表示实际频率与理想基波之间的偏移量。因此输入信号可表示为

x(t)＝U_msin(2πft+α₀)＝U_msin(2πf₀t+2πΔft+α₀)(1)

式中，U_m和α₀分别为输入正弦信号的幅值和初相角。

式(1)的傅里叶变换为：

$\left\{\begin{array}{c}a=\frac{2}{T}{\∫}_0^{T_0}x\left(t\right)\sin \left(\mathrm{wt}\right)\mathrm{dt}\\ b=\frac{2}{T}{\∫}_0^{T_0}x\left(t\right)\cos \left(\mathrm{wt}\right)\mathrm{dt}\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中w＝2πf＝2π(f₀+Δf)，将(1)带入(2)，可得：

$\left\{\begin{array}{c}a=\frac{2}{T}{\∫}_0^{T_0}x\left(t\right)\sin \left(2\mathrm{\πft}\right)\mathrm{dt}=U_m\cos \left({\mathrm{\α}}_0\right)\\ b=\frac{2}{T}{\∫}_0^{T_0}x\left(t\right)\cos \left(2\mathrm{\πft}\right)\mathrm{dt}=U_m\sin \left({\mathrm{\α}}_0\right)\end{array}\right.---\left(3\right)$

因此若采用w进行变换，得到的幅值和相角为A＝U_m，

然而，进行傅里叶变换时，由于w通常在w₀附近波动，所以在实际角频率w未知的情况下，通常采用的办法是用理想角频率w₀近似计算，这样就产生了误差。

进行相量测量的算法时，主要用离散傅里叶变换(DFT)法，即将上述的积分量变为级数求和的形式，可得到DFT的变换公式：

假定采样的模拟信号中只含有基波分量，即X(t)＝asinw₀t+bcosw₀t。

频率的偏移会导致DFT变换后的幅值和相移的失真，然而在频率跟踪之后，如何修正DFT带来的幅值和相角误差是关键问题。

式(5)-(9)给出了传统的幅值和相角的修正公式：

$\left\{\begin{array}{c}a=\frac{2}{N}\underset{k=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{X}_k\sin \left(\frac{2\mathrm{\πk}}{N}\right)\\ b=\frac{1}{N}(X_0+2\underset{k=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{X}_k\cos \left(\frac{2\mathrm{\πk}}{N}\right)+X_n)\end{array}\right.---\left(5\right)$

$a^{\′}=\frac{{2U}_m{f}_N^2}{\mathrm{\π}(f^2-f_N^2)}\cos (\mathrm{\π}\frac{f-f_N}{f_N}+{\mathrm{\α}}_0)\sin \left(\mathrm{\π}\frac{f-f_N}{f_N}\right)---\left(6\right)$

$b^{\′}=\frac{{2U}_m{f}_{N}f}{\mathrm{\π}(f^2-f_N^2)}\sin (\mathrm{\π}\frac{f-f_N}{f_N}+{\mathrm{\α}}_0)\sin \left(\mathrm{\π}\frac{f-f_N}{f_N}\right)---\left(7\right)$

ΔA＝A′-A

式(8)和式(9)所描述的修正式十分复杂，直接求解会浪费大量时间。对于100帧的PMU装置，每隔0.01s必须对采样的数据进行计算，计算出信号的相角和幅值，实时性要求很高。另一方面，由于

的变化范围是[0，2π]，而tan函数在此区间是不连续的，从而有可能会造成式(9)的突变。在Δf很小的时候，分母

和分子

都趋于0，这样会出现0/0型，可能造成数据漂移，

因此有必要对修正式进行进一步的修正，避免上述几点不利因素的出现。

令 $K=\frac{{2U}_m{f}_N}{\mathrm{\π}(f^2-f_N^2)}\×\sin \left(\mathrm{\π}\frac{f-f_N}{f_N}\right),$ $k=\frac{f}{f_N},$ 在定义两个新的变量，频率变化量的标幺值 ${\mathrm{\Δf}}_{*}=\frac{f-f_N}{f_N}=k-1,$ 平均频率标幺值 $\stackrel{\‾}{f_{*}}=\frac{(f+f_N)/2}{f_N}.$

1)避免计算出现0/0的漂移：

由于电网正常运行时，频率偏差很小，即使在故障情况下也不会出现过大的频率偏差，这里假设电网频率的变化范围为[45，55]Hz。计算中可能出现的0/0漂移问题主要存在于上述定义的K中，此时Δf∈[-5，+5]，

由于sinx≈x-x³/6+L，然而第二项|x³/6|≤0.0052，这与第一项的0.314相比，相差近100倍，而后面的各项更小，因此可以完全忽略，即

$K=\frac{2A{f}_N}{\mathrm{\π}(f^2-f_N^2)}\×\sin \left(\mathrm{\π}\frac{f-f_N}{f_N}\right)\≈\frac{2A}{f+f_N}$

2)对幅值修正公式进行简化计算：

将K的近似值带入式(8)可得：

令K₁＝-A/2×Δf_*，

K₃＝2πΔf_*，则得到

3)对相角修正公式进行修改：

由式(6)和(7)可得

$\frac{{\left(a^{\′}\right)}^2}{{\left({\mathrm{Kf}}_N\right)}^2}+\frac{{\left(b^{\′}\right)}^2}{{\left(\mathrm{Kf}\right)}^2}=1---\left(10\right)$

式(10)的极坐标方程为：

再令 $K_4=-\frac{A\×k^2}{4\×\stackrel{\‾}{f_{*}}}{\mathrm{\Δf}}_{*},$ $K_5=\frac{A\×k^2}{4\×\stackrel{\‾}{f_{*}}}\×(4-{\mathrm{\Δf}}_{*}),$ 则有

综上所述，可得到修正量为：

为进一步简化计算，对式(11)进行一致逼近修正。

首先，

假设α₀给定，则A′为关于Δf_*的函数，可得

并且有|Δf_*|≤0.1时，|K₃|≤0.628。

研究函数在x∈[-0.628，+0.628]时的特性。

$\left\{\begin{array}{c}f\left(x\right)=x\cos \left(x\right)\\ g\left(x\right)=x\sin \left(x\right)\end{array}\right.---\left(12\right)$

f(x)可由x的一次函数逼近，g(x)可由x的二次函数逼近。在中点x＝0时频率偏差为0，并且必须为0，其各阶导数也应为0。

则求解 $\left\{\begin{array}{c}\min {\∫}_{-0.2\mathrm{\π}}^{+0.2\mathrm{\π}}|x\cos \left(x\right)-c_{1}x|\mathrm{dx}\\ \min {\∫}_{-0.2\mathrm{\π}}^{+0.2\mathrm{\π}}|x\sin \left(x\right)-c_2{x}^2|\mathrm{dx}\end{array}\right.$ 的简单优化问题，可解得 $\left\{\begin{array}{c}{c}_1=0.9034\\ c_2=0.9611\end{array}\right..$

因此，可以得到

则

幅值误差的精确值和两种近似值的比较如图1，可以看出修正后的幅值误差变小了。

令

由式(11)可得

即

如果|Δf|≤0.5，即|Δf_*|＝|k-1|≤0.01，那么上式可以进一步化简为：

$=\frac{1}{2A}\sqrt{\frac{(A+A^{\′})\·[(k+1)A^{\′}+2A]}{2(k+1)}}=\frac{1}{2A}\sqrt{(A+A^{\′})\·(\frac{A^{\′}}{2}+\frac{A}{k+1})}$

则有，最终的修正量为：

得到的修正量与实际电网的电压与电流信号的频率的幅值和相角误差很小，从而使得电网的电力系统为广域测量系统的同步相量测量装置(PMU)提供的在线分析和控制数据源与实际情况的偏差不大，广域测量系统的同步相量测量装置(PMU)能够同步采集到电力系统各个节点的动态数据。

与已有技术相比，本发明的有益效果在于：

本发明用

的幅相特性关系逼近椭圆，大大简化了计算量。采用一致逼近的方法，求解出幅值的修正公式，给出了工程实用的函数表达式。本发明与传统的算法相比主要解决了两个方面的问题：(1)解决了传统幅值修正带来的0/0的数据漂移问题；(2)解决了由于tan函数不连续带来的相角突变的问题。本发明的研究结果具有一定工程应用价值。

附图说明

图1为本发明的算法和传统的算法的幅值修正的比较效果图。

图2为本发明计算频率时的频率跟踪算法框图。

图3为本发明的系统框图。

具体实施方式

电网的电压和电流信号的频率偏移情况下同步相量修正的方法，具体步骤如下：

正弦交流相量进行傅里叶变换，将输入的采样值转化为频域信号：假设输入的电压或电流信号是理想的正弦波信号，仅含有基波分量。令基波的理想频率为f₀＝50Hz，对应的理想角频率为w₀，周期为T₀；由于电力系统的实际频率通常50Hz上下波动，故可以设基波的实际频率为f＝f₀+Δf，对应的实际角频率为w，周期为T，Δf表示实际频率与理想基波之间的偏移量。因此输入信号可表示为x(t)＝U_msin(2πft+α₀)＝U_msin(2πf₀t+2πΔft+α₀)(1)

式中，U_m和α₀分别为输入正弦信号的幅值和初相角。

式(1)的傅里叶变换为：

$\left\{\begin{array}{c}a=\frac{2}{T}{\∫}_0^{T_0}x\left(t\right)\sin \left(\mathrm{wt}\right)\mathrm{dt}\\ b=\frac{2}{T}{\∫}_0^{T_0}x\left(t\right)\cos \left(\mathrm{wt}\right)\mathrm{dt}\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中w＝2πf＝2π(f₀+Δf)，将(1)带入(2)，可得：

$\left\{\begin{array}{c}a=\frac{2}{T}{\∫}_0^{T_0}x\left(t\right)\sin \left(2\mathrm{\πft}\right)\mathrm{dt}=U_m\cos \left({\mathrm{\α}}_0\right)\\ b=\frac{2}{T}{\∫}_0^{T_0}x\left(t\right)\cos \left(2\mathrm{\πft}\right)\mathrm{dt}=U_m\sin \left({\mathrm{\α}}_0\right)\end{array}\right.---\left(3\right)$

因此若采用w进行变换，得到的幅值和相角为A＝U_m，然而，进行傅里叶变换时，由于w通常在w₀附近波动，所以在实际角频率w未知的情况下，通常采用的办法是用理想角频率w₀近似计算，这样就产生了误差。

进行相量测量的算法时，主要用离散傅里叶变换(DFT)法，即将上述的积分量变为级数求和的形式，可得到DFT的变换公式：

假定采样的模拟信号中只含有基波分量，即X(t)＝asinw₀t+bcosw₀t。

频率的偏移会导致DFT变换后的幅值和相移的失真，然而在频率跟踪之后，如何修正DFT带来的幅值和相角误差是关键问题。

式(5)-(9)给出了传统的幅值和相角的修正公式：

$\left\{\begin{array}{c}a=\frac{2}{N}\underset{k=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{X}_k\sin \left(\frac{2\mathrm{\πk}}{N}\right)\\ b=\frac{1}{N}(X_0+2\underset{k=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{X}_k\cos \left(\frac{2\mathrm{\πk}}{N}\right)+X_n)\end{array}\right.---\left(5\right)$

$a^{\′}=\frac{{2U}_m{f}_N^2}{\mathrm{\π}(f^2-f_N^2)}\cos (\mathrm{\π}\frac{f-f_N}{f_N}+{\mathrm{\α}}_0)\sin \left(\mathrm{\π}\frac{f-f_N}{f_N}\right)---\left(6\right)$

$b^{\′}=\frac{{2U}_m{f}_{N}f}{\mathrm{\π}(f^2-f_N^2)}\sin (\mathrm{\π}\frac{f-f_N}{f_N}+{\mathrm{\α}}_0)\sin \left(\mathrm{\π}\frac{f-f_N}{f_N}\right)---\left(7\right)$

ΔA＝A′-A

式(8)和式(9)所描述的修正式十分复杂，直接求解会浪费大量时间。对于100帧的PMU装置，每隔0.01s必须对采样的数据进行计算，计算出信号的相角和幅值，实时性要求很高。另一方面，由于

的变化范围是[0，2π]，而tan函数在此区间是不连续的，从而有可能会造成式(9)的突变。在Δf很小的时候，分母和分子

都趋于0，这样会出现0/0型，可能造成数据漂移，因此有必要对修正式进行进一步的修正，避免上述几点不利因素的出现。

令 $K=\frac{{2U}_m{f}_N}{\mathrm{\π}(f^2-f_N^2)}\×\sin \left(\mathrm{\π}\frac{f-f_N}{f_N}\right),$ $k=\frac{f}{f_N},$ 在定义两个新的变量，频率变化量的标幺值 ${\mathrm{\Δf}}_{*}=\frac{f-f_N}{f_N}=k-1,$ 平均频率标幺值 $\stackrel{\‾}{f_{*}}=\frac{(f+f_N)/2}{f_N}.$

1)避免计算出现0/0的漂移：

由于电网正常运行时，频率偏差很小，即使在故障情况下也不会出现过大的频率偏差，这里假设电网频率的变化范围为[45，55]Hz。计算中可能出现的0/0漂移问题主要存在于上述定义的K中，此时Δf∈[-5，+5]，由于sinx≈x-x³/6+L，然而第二项|x³/6|≤0.0052，这与第一项的0.314相比，相差近100倍，而后面的各项更小，因此可以完全忽略，即

$K=\frac{2A{f}_N}{\mathrm{\π}(f^2-f_N^2)}\×\sin \left(\mathrm{\π}\frac{f-f_N}{f_N}\right)\≈\frac{2A}{f+f_N}$

2)对幅值修正公式进行简化计算：

将K的近似值带入式(8)可得：

令K₁＝-A/2×Δf_*，

K₃＝2πΔf_*，则得到

3)对相角修正公式进行修改：

由式(6)和(7)可得

$\frac{{\left(a^{\′}\right)}^2}{{\left({\mathrm{Kf}}_N\right)}^2}+\frac{{\left(b^{\′}\right)}^2}{{\left(\mathrm{Kf}\right)}^2}=1---\left(10\right)$

式(10)的极坐标方程为：

再令 $K_4=-\frac{A\×k^2}{4\×\stackrel{\‾}{f_{*}}}{\mathrm{\Δf}}_{*},$ $K_5=\frac{A\×k^2}{4\×\stackrel{\‾}{f_{*}}}\×(4-{\mathrm{\Δf}}_{*}),$ 则有

综上所述，可得到修正量为：

为进一步简化计算，对式(11)进行一致逼近修正。

首先，

假设α₀给定，则A′为关于Δf_*的函数，可得

并且有|Δf_*|≤0.1时，|K₃|≤0.628。

研究函数在x∈[-0.628，+0.628]时的特性。

$\left\{\begin{array}{c}f\left(x\right)=x\cos \left(x\right)\\ g\left(x\right)=x\sin \left(x\right)\end{array}\right.---\left(12\right)$

f(x)可由x的一次函数逼近，g(x)可由x的二次函数逼近。在中点x＝0时频率偏差为0，并且

必须为0，其各阶导数也应为0。

则求解 $\left\{\begin{array}{c}\min {\∫}_{-0.2\mathrm{\π}}^{+0.2\mathrm{\π}}|x\cos \left(x\right)-c_{1}x|\mathrm{dx}\\ \min {\∫}_{-0.2\mathrm{\π}}^{+0.2\mathrm{\π}}|x\sin \left(x\right)-c_2{x}^2|\mathrm{dx}\end{array}\right.$ 的简单优化问题，可解得 $\left\{\begin{array}{c}{c}_1=0.9034\\ c_2=0.9611\end{array}\right..$

因此，可以得到

则

比较式(8)、(11)和(13)之间的误差关系如图1，可以得到精确值和两种近似值的比较，可以看出修正后的幅值误差变小了。

令

由式(11)可得

即

如果|Δf|≤0.5，即|Δf_*|＝|k-1|≤0.01，那么上式可以进一步化简为：

$=\frac{1}{2A}\sqrt{\frac{(A+A^{\′})\·[(k+1)A^{\′}+2A]}{2(k+1)}}=\frac{1}{2A}\sqrt{(A+A^{\′})\·(\frac{A^{\′}}{2}+\frac{A}{k+1})}$

则有，最终的修正量为：

Claims (1)

1.一种电网的电压和电流信号的频率偏移情况下同步相量修正的方法，其特征在于，具体步骤如下：

(1)正弦交流相量进行傅里叶变换，将输入的采样值转化为频域信号：

假设输入的电网的电压或电流信号是理想的正弦波信号，仅含有基波分量，令基波的理想频率为f₀＝50Hz，对应的理想角频率为w₀，周期为T₀；由于电力系统的实际频率通常50Hz上下波动，故可以设基波的实际频率为f＝f₀+Δf，对应的实际角频率为w，周期为T，Δf表示实际频率与理想基波之间的偏移量，因此输入信号可表示为

x(t)＝U_msin(2πft+α₀)＝U_msin(2πf₀t+2πΔft+α₀)(1)

式中，U_m和α₀分别为输入正弦信号的幅值和初相角；

式(1)的傅里叶变换为：

$\left\{\begin{array}{c}a=\frac{2}{T}{\∫}_0^{T_0}x\left(t\right)\sin \left(\mathrm{wt}\right)\mathrm{dt}\\ b=\frac{2}{T}{\∫}_0^{T_0}x\left(t\right)\cos \left(\mathrm{wt}\right)\mathrm{dt}\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中w＝2πf＝2π(f₀+Δf)，将(1)带入(2)，可得：

$\left\{\begin{array}{c}a=\frac{2}{T}{\∫}_0^{T_0}x\left(t\right)\sin \left(2\mathrm{\πft}\right)\mathrm{dt}=U_m\cos \left({\mathrm{\α}}_0\right)\\ b=\frac{2}{T}{\∫}_0^{T_0}x\left(t\right)\cos \left(2\mathrm{\πft}\right)\mathrm{dt}=U_m\sin \left({\mathrm{\α}}_0\right)\end{array}\right.---\left(3\right)$

若采用w进行变换，得到的幅值和相角为A＝U_m，

进行相量测量的算法时，主要用离散傅里叶变换(DFT)法，即将上述的积分量变为级数求和的形式，可得到DFT的变换公式：

假定采样的模拟信号中只含有基波分量，即X(t)＝asinw₀t+bcosw₀t；

(2)推导出幅值、相角、极坐标的修正量：

$\left\{\begin{array}{c}a=\frac{2}{N}\underset{k=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{X}_k\sin \left(\frac{2\mathrm{\πk}}{N}\right)\\ b=\frac{1}{N}(X_0+2\underset{k=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{X}_k\cos \left(\frac{2\mathrm{\πk}}{N}\right)+X_n)\end{array}\right.---\left(5\right)$

$a^{\′}=\frac{{2U}_m{f}_N^2}{\mathrm{\π}(f^2-f_N^2)}\cos (\mathrm{\π}\frac{f-f_N}{f_N}+{\mathrm{\α}}_0)\sin \left(\mathrm{\π}\frac{f-f_N}{f_N}\right)---\left(6\right)$

$b^{\′}=\frac{{2U}_m{f}_{N}f}{\mathrm{\π}(f^2-f_N^2)}\sin (\mathrm{\π}\frac{f-f_N}{f_N}+{\mathrm{\α}}_0)\sin \left(\mathrm{\π}\frac{f-f_N}{f_N}\right)---\left(7\right)$

幅值修正量

令 $K=\frac{{2U}_m{f}_N}{\mathrm{\π}(f^2-f_N^2)}\×\sin \left(\mathrm{\π}\frac{f-f_N}{f_N}\right),$ $k=\frac{f}{f_N},$ 再定义两个新的变量：频率变化量的标幺值 ${\mathrm{\Δf}}_{*}=\frac{f-f_N}{f_N}=k-1,$ 平均频率标幺值 $\stackrel{\‾}{f_{*}}=\frac{(f+f_N)/2}{f_N};$

由于电网正常运行时，频率偏差很小，即使在故障情况下也不会出现过大的频率偏差，这里假设电网频率的变化范围为[45，55]Hz，此时Δf∈[-5，+5]，

由于sinx≈x-x³/6+L，然而第二项|x³/6|≤0.0052，这与第一项的0.314相比，相差近100倍，而后面的各项更小，因此可以完全忽略，即

$K=\frac{2A{f}_N}{\mathrm{\π}(f^2-f_N^2)}\×\sin \left(\mathrm{\π}\frac{f-f_N}{f_N}\right)\≈\frac{2A}{f+f_N}$

将K的近似值带入式(8)可得：

令K₁＝-A/2×Δf_*，

K₃＝2πΔf_*，则得到幅值修正公式：

由式(6)和(7)可得

$\frac{{\left(a^{\′}\right)}^2}{{\left({\mathrm{Kf}}_N\right)}^2}+\frac{{\left(b^{\′}\right)}^2}{{\left(\mathrm{Kf}\right)}^2}=1---\left(9\right)$

式(9)的极坐标方程为：

再令 $K_4=-\frac{A\×k^2}{4\×\stackrel{\‾}{f_{*}}}{\mathrm{\Δf}}_{*},$ $K_5=\frac{A\×k^2}{4\×\stackrel{\‾}{f_{*}}}\×(4-{\mathrm{\Δf}}_{*}),$ 则有

综上所述，可得到修正量为：

(3)对式(10)进行一致逼近修正，进一步简化计算，得出最终的修正量；

首先，

假设α₀给定，则A′为关于Δf_*的函数，可得

并且有|Δf_*|≤0.1时，|K₃|≤0.628；

研究函数在x∈[-0.628，+0.628]时的特性：

$\left\{\begin{array}{c}f\left(x\right)=x\cos \left(x\right)\\ g\left(x\right)=x\sin \left(x\right)\end{array}\right.---\left(11\right)$

f(x)可由x的一次函数逼近，g(x)可由x的二次函数逼近，在中点x＝0时频率偏差为0，并且

必须为0，其各阶导数也应为0；

则求解 $\left\{\begin{array}{c}\min {\∫}_{-0.2\mathrm{\π}}^{+0.2\mathrm{\π}}|x\cos \left(x\right)-c_{1}x|\mathrm{dx}\\ \min {\∫}_{-0.2\mathrm{\π}}^{+0.2\mathrm{\π}}|x\sin \left(x\right)-c_2{x}^2|\mathrm{dx}\end{array}\right.$ 的简单优化问题，可解得 $\left\{\begin{array}{c}{c}_1=0.9034\\ c_2=0.9611\end{array}\right.;$

因此，可以得到

则

令

由式(10)可得

即

如果|Δf|≤0.5，即|Δf_*|＝|k-1|≤0.01，那么上式可以进一步化简为：

$=\frac{1}{2A}\sqrt{\frac{(A+A^{\′})\·[(k+1)A^{\′}+2A}{2(k+1)}}=\frac{1}{2A}\sqrt{(A+A^{\′})\·(\frac{A^{\′}}{2}+\frac{A}{k+1})}$

则有，最终的修正量为：

得到的修正量与实际电网的电压与电流信号的频率的幅值和相角误差很小，从而使得电网的电力系统为广域测量系统的同步相量测量装置(PMU)提供的在线分析和控制数据源与实际情况的偏差不大，广域测量系统的同步相量测量装置(PMU)能够同步采集到电力系统各个节点的动态数据。

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