CN104331534A - 局部误差驱动的等几何分析计算域自适应优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了局部误差驱动的等几何分析计算域自适应优化方法。等几何分析方法需要对全体内部控制顶点进行优化，因而仅适用于计算域为简单形状的情形。本发明首先利用残值法得到计算域子面片上的局部误差指示子，然后根据局部标记策略确定需要进行优化的控制顶点集合；通过标记曲面片上的误差指示子，得到所标记的内部控制顶点的最优分布；并且在自适应型细化算法基础上提出自适应型细化算法，得到计算域的最优参数化。本发明不仅提高模拟仿真效率、等几何分析的求解精度，而且使得

Description

局部误差驱动的等几何分析计算域自适应优化方法

技术领域

本发明属于计算机辅助设计与工程领域，涉及实现CAD/CAE阶段几何数据无缝融合的模拟仿真技术，具体涉及局部误差驱动的等几何分析计算域自适应优化方法。

背景技术

近年来，随着产品设计的复杂性与先进制造精度要求的不断提升，如何实现产品设计与模拟分析的无缝集成，已成为CAD/CAE领域亟需解决的难题，并成为研究热点。

为解决这一难题，2005年美国科学院院士T.Hughes提出了“等几何分析”(isogeometric analysis)方法，从而为实现CAD/CAE阶段几何数据模型的统一表示开辟了新思路，该方法的核心思想是采用与给定几何形状相同的样条模型来表示待求的物理场模型。对于二维等几何分析问题而言，不需要生成离散网格作为计算域，而是采用平面NURBS曲面作为计算域,并采用节点区间对计算域的自然划分作为计算单元，形状函数则采用NURBS基函数,拟求解的未知变量则为NURBS控制顶点所对应的物理属性分量，即通过类似于NURBS的控制网格结构来获得物理属性在整个NURBS计算域的分布情况。由于该方法的研究处于初级阶段，其在体参数化、求解效率、自适应性及应用的广度等方面仍有一些研究问题亟待解决。

由NURBS理论出发，等几何分析可通过基于节点插入的h型细化方法和基于基函数升阶的p型细化方法来提高模拟精度。但由于该方法需要对全体内部控制顶点进行优化，因而仅适用于计算域为简单形状的情形。

发明内容

本发明的目的是针对现有技术的不足，提出局部误差驱动的等几何分析计算域自适应优化方法，该方法采用自适应r型细化算法，并在自适应r型细化算法基础上提出自适应h-r型细化算法，得到计算域的最优参数化，提高模拟仿真效率。

本发明的具体步骤如下：

步骤1、将二维计算域Ω内的平面B样条初始参数化σ(u,v)；

步骤2、利用等几何分析方法计算二维Poisson方程

$\left\{\begin{array}{ccc}\mathrm{\ΔT}(x,y)=g(x,y)& \mathrm{in}& \mathrm{\Ω}\\ T(x,y)=0& \mathrm{on}& \∂\mathrm{\Ω}\end{array}\right.$

的逼近解

步骤3、计算二维计算域Ω内每个子面片上的局部误差指示子e_S；

步骤4、采用平均值标记算法确定二维计算域Ω内待优化的子面片集合；

步骤5、求解二维计算域Ω的最优参数化，求解过程可以采用自适应r型细化算法或自适应h-r型细化算法；

采用自适应r型细化算法：通过已标记的子面片上局部误差指示子e_S之和，利用最速下降法来优化σ(u,v)内部经步骤4标记的子面片的控制顶点位置，以得到最优参数化。

采用自适应h-r型细化算法：对每个所标记的子面片，若其所对应的节点区间为[u₀,u₁]×[v₀,v₁]，则分别在u参数方向和v参数方向插入节点和节点进行h型细化操作，得到h型细化后的计算域；按照自适应r型细化算法对计算域进行局部r型细化操作，得到二维计算域Ω的最优参数化。

所述的二维Poisson方程，其源函数为：

$g(x,y)=-\frac{4{\mathrm{\π}}^2}{9}\sin \left(\frac{\mathrm{\πx}}{3}\right)\sin \left(\frac{\mathrm{\πy}}{3}\right)$

该二维Poisson方程在计算域[3a,3b]×[3c,3d]内具有精确解

$T(x,y)=2\sin \left(\frac{\mathrm{\πx}}{3}\right)\sin \left(\frac{\mathrm{\πy}}{3}\right)$

其中a、b、c、d均为整数，且a、b、c、d不同时为0。

所述的自适应r型细化算法可基于几何造型开源平台AXEL实现。

本发明的有益效果：

本发明采用自适应r型细化算法，即首先利用残值法得到计算域子面片上的局部误差指示子，然后根据局部标记策略确定需要进行优化的控制顶点集合；通过标记曲面片上的误差指示子，得到所标记的内部控制顶点的最优分布；并且在自适应r型细化算法基础上提出自适应h-r型细化算法，得到计算域的最优参数化。在保持自由度数目的前提下，r型细化方法通过对计算域内部控制顶点进行重新定位来优化等几何分析结果，不仅提高模拟仿真效率、等几何分析的求解精度，而且使得r型细化方法可应用于几何形状比较复杂的CAD模型,拓宽了等几何分析方法的应用广度。

具体实施方式：

实施例1：

局部误差驱动的等几何分析计算域自适应优化方法，具体步骤如下：

步骤1、将二维计算域Ω内的平面B样条初始参数化σ(u,v)＝{(u,v)|0≤u≤15,0≤v≤15}；

步骤2、利用等几何分析方法计算二维Poisson方程

$\left\{\begin{array}{ccc}\mathrm{\ΔT}(x,y)=g(x,y)& \mathrm{in}& \mathrm{\Ω}\\ T(x,y)=0& \mathrm{on}& \∂\mathrm{\Ω}\end{array}\right.$

的逼近解

该二维Poisson方程的源函数为：

$g(x,y)=-\frac{4{\mathrm{\π}}^2}{9}\sin \left(\frac{\mathrm{\πx}}{3}\right)\sin \left(\frac{\mathrm{\πy}}{3}\right),$

在计算域[3a,3b]×[3c,3d]内具有精确解

$T(x,y)=2\sin \left(\frac{\mathrm{\πx}}{3}\right)\sin \left(\frac{\mathrm{\πy}}{3}\right)$

其中a、b、c、d均为整数，且a、b、c、d不同时为0。

步骤3、计算二维计算域Ω内每个子面片上的局部误差指示子e_S＝0.05,0.87,0.23,0.85,0.18,0.74,1.35,2.35,2.67,0,245,2.56,2.69,0.559,1.756,2.456,0.786；

步骤4、采用平均值标记算法确定二维计算域Ω内待优化的子面片集合；

步骤5、采用自适应r型细化算法，求解二维计算域Ω的最优参数化：通过已标记的子面片上局部误差指示子e_S之和，利用最速下降法来优化σ(u,v)内部经步骤4标记的子面片的控制顶点位置，以得到最优参数化。

实施例2：

局部误差驱动的等几何分析计算域自适应优化方法，具体步骤如下：

步骤1、将二维计算域Ω内的平面B样条初始参数化σ(u,v)＝{(u,v)|0≤u≤6,0≤v≤6}；

步骤2、利用等几何分析方法计算二维Poisson方程

$\left\{\begin{array}{ccc}\mathrm{\ΔT}(x,y)=g(x,y)& \mathrm{in}& \mathrm{\Ω}\\ T(x,y)=0& \mathrm{on}& \∂\mathrm{\Ω}\end{array}\right.$

的逼近解

步骤3、计算二维计算域Ω内每个子面片上的局部误差指示子e_S，

e_S＝0.08,0.94,0.33,0.95,2.86,1.07,1.80,2.53,2.87

步骤4、采用平均值标记算法确定二维计算域Ω内待优化的子面片集合；

步骤5、采用自适应h-r型细化算法，求解二维计算域Ω的最优参数化：对每个所标记的子面片，在其节点区间的中点处分别在u参数方向和v参数方向插入节点，进行h型细化操作，得到h型细化后的计算域；按照自适应r型细化算法对计算域进行局部r型细化操作，得到二维计算域Ω的最优参数化。

Claims (3)

1.局部误差驱动的等几何分析计算域自适应优化方法，其特征在于：该方法的具体步骤是：

步骤1、将二维计算域Ω内的平面B样条初始参数化σ(u,v)；

步骤2、利用等几何分析方法计算二维Poisson方程

$\left\{\begin{array}{ccc}\mathrm{\ΔT}(x,y)=g(x,y)& \mathrm{in}& \mathrm{\Ω}\\ T(x,y)=0& \mathrm{on}& \∂\mathrm{\Ω}\end{array}\right.$

的逼近解

步骤3、计算二维计算域Ω内每个子面片上的局部误差指示子e_S；

步骤4、采用平均值标记算法确定二维计算域Ω内待优化的子面片集合；

步骤5、求解二维计算域Ω的最优参数化，求解过程可以采用自适应r型细化算法或自适应h-r型细化算法；

采用自适应r型细化算法：通过已标记的子面片上局部误差指示子e_S之和，利用最速下降法来优化σ(u,v)内部经步骤4标记的子面片的控制顶点位置，以得到最优参数化；

采用自适应h-r型细化算法：对每个所标记的子面片，若其所对应的节点区间为[u₀,u₁]×[v₀,v₁]，则分别在u参数方向和v参数方向插入节点和节点进行h型细化操作，得到h型细化后的计算域；按照自适应r型细化算法对计算域进行局部r型细化操作，得到二维计算域Ω的最优参数化。

2.根据权利要求1所述的局部误差驱动的等几何分析计算域自适应优化方法，其特征在于：所述的二维Poisson方程，其源函数为：

$g(x,y)=-\frac{{4\mathrm{\π}}^2}{9}\sin \left(\frac{\mathrm{\πx}}{3}\right)\sin \left(\frac{\mathrm{\πy}}{3}\right)$

该二维Poisson方程在计算域[3a,3b]×[3c,3d]内具有精确解

$T(x,y)=2\sin \left(\frac{\mathrm{\πx}}{3}\right)\sin \left(\frac{\mathrm{\πy}}{3}\right)$

其中a、b、c、d均为整数，且a、b、c、d不同时为0。

3.根据权利要求1所述的局部误差驱动的等几何分析计算域自适应优化方法，其特征在于：所述的自适应r型细化算法可基于几何造型开源平台AXEL实现。