CN104323777B - 一种扩散磁共振成像运动伪影的消除方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种扩散磁共振成像运动伪影的消除方法，属于扩散磁共振成像参量估计领域。该伪影消除方法包括以下步骤：1)扩散磁共振成像图像采集；2)扩散加权图像组织区域提取预处理；3)参考扩散加权图像获取；4)刚体变换；5)仿射变换；6)扩散加权图像运动伪影剔除。进一步地，本发明还包括以下步骤：7)图像平滑；8)扩散磁共振成像模型选择及参量估计。本发明可有效地消除被试运动导致的图像错配及信号丢失等运动伪影，运算量小且具有较高的可靠性。

Description

一种扩散磁共振成像运动伪影的消除方法

技术领域

本发明属于扩散磁共振成像技术领域，特别涉及一种扩散磁共振成像运动伪影的消除方法。

背景技术

基于水分子的扩散特性，扩散磁共振成像(diffusionmagneticresonanceimaging,dMRI)提供了能够反映组织微结构的量化指标，包括扩散加权成像(diffusionweightedimaging,DWI)、扩散张量成像(diffusiontensorimaging,DTI)、扩散峰度成像(diffusionkurtosisimaging,DKI)在内，dMRI在科学研究和医学影像诊断中得到了广泛的应用。在成像过程中，被试的不自主运动为扩散加权图像引入信号丢失或空间错配等运动伪影，运动伪影严重影响了dMRI参量的图像质量和量化分析的稳定性，该问题在特定人群(比如儿童、特发性震颤病人等等)的影像检查中尤为突出。基于运动伪影消除的后处理方法可提高参量估计的鲁棒性，将使包含运动伪影的dMRI数据的后处理成为可能。

在dMRI后处理质量控制的研究中，论文“QualityControlofDiffusionWeightedImages”(ProceedingsofSPIE.SanDiego,California,USA.2010,pp.76280J)研究结果表明，图像间的归一化二维相关系数可快速地实现运动伪影的剔除。但是，基于全图的二维相关系数对局部信号丢失的伪影图像不敏感，无法彻底剔除运动伪影。文章“AutomatedArtifactDetectionandRemovalforImprovedTensorEstimationinMotion-corruptedDTIDataSetsUsingtheCombinationofLocalBinaryPatternsand2DPartialLeastSquares”(MagneticResonanceImaging.2011,29:230～242)针对局部伪影剔除的问题提出使用局部纹理特征对伪影图像进行检测，该方法提高了伪影剔除的可靠性，然而，纹理特征的提取为后处理引入了更多的计算量，降低了伪影剔除的效率。论文“ImageCorruptionDetectioninDiffusionTensorImagingforPost-ProcessingandReal-TimeMonitoring”(PLOSONE.2013,8:e49764)提出了一种成像过程监测与后处理流程中进行伪影剔除相结合的方案，同时该论文指出，单独采用层间不连续性的伪影剔除方法无法实现对连续多层图像伪影的识别。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术中的不足，提供了一种扩散磁共振成像运动伪影的消除方法。

为达到上述目的，本发明通过以下技术方案予以实现：

一种扩散磁共振成像运动伪影的消除方法，包括以下步骤：

1)扩散磁共振成像图像采集：使用磁共振成像系统进行扩散磁共振成像扫描，设置扩散权重因子b，b值反映扩散感应强度的大小，由下式计算得到：

$b={\mathrm{\γ}}^2{G}^2{\mathrm{\δ}}^2(\mathrm{\Δ}-\frac{\mathrm{\δ}}{3})---\left(1\right)$

其中，γ是旋磁比，G代表扩散梯度磁场强度，Δ代表水分子扩散时间，δ代表单个梯度磁场的持续时间；

采集多个b值的扩散加权图像，b值的个数不少于3，针对每个大于0的b值采集不少于15个梯度磁场方向的扩散加权图像；

2)扩散加权图像组织区域提取预处理：在计算两幅扩散加权图像的加权相关系数之前进行扩散加权图像的图像分割处理，将人体组织区域从扩散加权图像中提取出来；

3)参考扩散加权图像获取：针对单次采集b0图的情况，b0图的b值为0，将获取的b0图作为后续处理的参考图像，后续处理包括运动刚体变换、仿射变换以及b值大于0的扩散加权图像的运动伪影剔除；针对多次采集b0图的情况，首先通过加权相关系数对多个b0图像进行评价，通过设置阈值将运动伪影从多个b0图中剔除，对伪影剔除处理后的b0图的灰度值进行图像间的平均计算，从而获得平均b0图，该平均b0图作为后续处理的参考图像；

4)刚体变换：针对b值大于0的扩散加权图像，通过刚体变换的方法将b值大于0的扩散加权图像配准至步骤3)获得的参考b0图像上；

5)仿射变换：针对步骤4)刚体变换后的b值大于0的扩散加权图像，以参考b0图像为标准，通过仿射变换的方法对图像中的畸变进行校正；

6)扩散加权图像运动伪影剔除：经上述步骤处理的所有b值大于0的扩散加权图像，分别计算各个b值下不同梯度磁场方向上的扩散加权图像与参考图像的加权相关系数，在同一b值条件下，通过设置阈值的方法实现运动伪影的剔除。

本发明进一步的改进在于，还包括以下步骤：

7)图像平滑：使用高斯滤波器对剔除运动伪影后的b0图像及b值大于0的扩散加权图像进行图像平滑处理；

8)扩散磁共振成像模型选择及参量估计：选择扩散磁共振成像模型，按照下列步骤进行参量估计：

(a)扩散加权成像模型

DWI模型中磁共振回波信号强度与扩散权重因子b的关系式为：

S＝S₀e^-b·ADC(8)

其中，e表示自然指数函数，b＝γ²G²δ²(Δ-δ/3)，S为经扩散梯度磁场编码后的磁共振回波信号强度，S₀是未经扩散梯度磁场编码的磁共振回波信号强度，ADC为表观扩散系数，ADC可通过上述公式计算获得；

(b)扩散张量成像模型

DTI模型中磁共振回波信号强度与扩散权重因子b的关系式为：

$S=S_0{e}^{-b\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{n}_i{n}_j{D}_{\mathrm{ij}}}---\left(9\right)$

其中，n_i、n_j表示单位方向向量的元素，D_ij为扩散率张量D的元素，扩散率张量D为：

$D=\left[\begin{array}{ccc}{D}_{11}& D_{12}& D_{13}\\ D_{21}& D_{22}& D_{23}\\ D_{31}& D_{32}& D_{33}\end{array}\right]---\left(10\right)$

对扩散率张量D正交化：

$D=[e_1,e_2,e_3]\·\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\λ}}_1& 0& 0\\ 0& {\mathrm{\λ}}_2& 0\\ 0& 0& {\mathrm{\λ}}_3\end{array}\right]\·{[e_1,e_2,e_3]}^{-1}---\left(11\right)$

其中，e₁、e₂、e₃为特征向量，λ₁、λ₂、λ₃为特征值，MD＝(λ₁+λ₂+λ₃)/3；

各向异性参数：

$\mathrm{FA}=\frac{\sqrt{3[{({\mathrm{\λ}}_1-\mathrm{MD})}^2+{({\mathrm{\λ}}_2-\mathrm{MD})}^2+{({\mathrm{\λ}}_3-\mathrm{MD})}^2]}}{\sqrt{2({{\mathrm{\λ}}_1}^2+{{\mathrm{\λ}}_2}^2+{{\mathrm{\λ}}_3}^2)}}---\left(12\right)$

(c)扩散峰度成像模型

DKI模型中磁共振回波信号强度与扩散权重因子b的关系式为：

$S=S_0{e}^{-b\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{n}_i{n}_j{D}_{\mathrm{ij}}+\frac{1}{6}{b}^2{\left(\underset{I=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\frac{D_{\mathrm{ii}}}{3}\right)}^2\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{n}_i{n}_j{n}_k{n}_l{W}_{\mathrm{ijkl}}}---\left(13\right)$

其中，W_ijkl为扩散峰度张量元素，针对方向向量n，其扩散峰度K(n)为：

$K\left(n\right)=\frac{{\mathrm{MD}}^2}{D{\left(n\right)}^2}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{n}_i{n}_j{n}_k{n}_l{W}_{\mathrm{ijkl}}---\left(14\right)$

其中，D(n)为向量n方向上的扩散率；

平均扩散峰度：

$\mathrm{MK}=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{K}_i---\left(15\right)$

其中，K_i为第i个扩散梯度磁场方向上的扩散峰度，N为扩散梯度磁场方向总数。

与现有技术相比，本发明采用刚体变换对运动位移进行校正，数据采集过程中被试的运动造成图像间无法对齐，但图像中仍保留着完整的组织信息，这类图像需要进行运动位移校正，通过刚体变换的方法将扩散加权图像配准至参考b0图像上，使有效数据得到充分利用。

本发明提出了一种加权的图像相关系数，分两步对dMRI图像数据进行评价，设置阈值对伪影图像进行剔除：首先针对b0图像，剔除伪影后的b0图像经过平均运算获取可靠的参考图像，既消除了运动伪影对参量估计的影响，又可提高参考图像的信噪比；在图像畸变校正后进行扩散加权图像运动伪影的剔除，一方面剔除了数据中的运动伪影，另一方面也排除了由于配准误差而存在变形的图像，为参量估计提供可靠的数据。

附图说明

图1为基于运动伪影消除的dMRI参量估计流程图；

图2为加权相关系数计算示意图；

图3为本发明实施例中不同b0图像加权相关系数数值分布图；

图4为本发明实施例中b值为500s/mm²时不同梯度磁场方向上扩散加权图像加权相关系数数值分布图；

图5为伪影消除前后dMRI参量图像；其中图5a为直接基于原始数据进行参数估计的参量图像，图5b为使用本发明提出的参数估计流程生成的参量图像。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明做进一步详细说明。

本实施例是对一例成年人大脑进行扩散磁共振成像而获得的dMRI数据进行参量估计，数据处理流程图如图1所示，首先输入扩散加权图像，进行脑区提取预处理，对b0图像伪影剔除处理后进行灰度平均运算生成参考图像(mb₀图像)，以mb₀图像为参考，对扩散加权图像进行刚体变换、仿射变换以及伪影剔除，经过图像平滑处理后选择曲线拟合模型(DWI、DTI或DKI)，最后获取dMRI参量图像。具体实施步骤如下：

1)扩散磁共振成像图像采集：使用磁共振成像系统进行扩散磁共振成像扫描，设置扩散权重因子b，b值反映扩散感应强度的大小，由下式计算得到：

$b={\mathrm{\γ}}^2{G}^2{\mathrm{\δ}}^2(\mathrm{\Δ}-\frac{\mathrm{\δ}}{3})---\left(1\right)$

其中，γ是旋磁比，G代表扩散梯度磁场强度，Δ代表水分子扩散时间，δ代表单个梯度磁场的持续时间。

本实施例中的数据包括6个b值：0、500、1000、1500、2000、2500s/mm²，其中，5个b0图像(b_0,1～b_0,5)，每个大于0的b值采集25个梯度磁场方向(b₁G₁～b₁G_25、b₂G₁～b₂G_25、…、b₅G₁～b₅G₂₅)。

2)扩散加权图像脑组织区域提取预处理：

应用StephenM.Smith提出的一种快速脑区提取方法(FastRobustAutomatedBrainExtraction.HumanBrainMapping.2002,17:143～155)对输入的扩散加权图像进行预处理，提取脑区，即保留脑区部位的信号，将脑区以外体素的信号设为0。

3)参考扩散加权图像获取：

实施例中dMRI数据包括5个b0图像(b_0,1～b_0,5)，首先通过加权相关系数对图像进行评价，加权相关系数的计算示意图如图2所示，原始图像大小为16384个体素，将参考图像和目标图像分别划分为256个子区域，每个子区域含64个体素，逐个子区域计算参考图像和目标图像的相关系数，得到各个子区域相关系数r，由256个子区域相关系数构成相关系数向量，其公式如下：

R＝[r₁,r₂,…,r₂₅₆]^T(2)

相关系数向量对应的权重向量：

W＝[w₁,w₂,…,w₂₅₆](3)

其中，α为局部相关系数权重比例系数，取非负整数，β为归一化调整系数，由下式计算得到：

$\mathrm{\β}={\left(\underset{i=1}{\overset{256}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{{r_i}^{\mathrm{\α}}}\right)}^{-1}---\left(4\right)$

加权相关系数r_w：

r_w＝WR(5)

通过设置阈值将运动伪影图像从b0图像中剔除，加权相关系数阈值(R_threshold)：

R_threshold＝μ(r_w)-f·σ(r_w)(6)

其中，μ和σ分别代表加权相关系数的均值和标准差，f为加权相关系数的标准差因子，实施例中b0图像个数为5，f因子设为0.05(如图3所示)。将加权相关系数高于R_threshold的b0图进行图像间的平均处理，获得平均b0图(mb₀图像)，mb₀图像作为后续处理的参考图像。

4)刚体变换：

针对实施例中被试的头动未能导致信号丢失或畸变等严重的运动伪影的图像，可通过刚性配准的方法将该类图像配准至mb₀图像上，实施例中使用具有6个自由度(即沿x轴、y轴、z轴的平移及旋转)的三维刚体变换。

5)仿射变换：

针对各种物理因素(如磁场不均匀、涡流效应等)引起的图像畸变，实施例中采用具有12个独立的变换参数(e_ij，i＝1～3，j＝1～4)的三维仿射变换进行校正，从空间坐标(x，y，z)到新坐标(x’，y’，z’)的变换表示为：

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\′}\\ y^{\′}\\ z^{\′}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{e}_{11}& e_{12}& e_{13}& e_{14}\\ e_{21}& e_{22}& e_{23}& e_{24}\\ e_{31}& e_{32}& e_{33}& e_{34}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]---\left(7\right)$

6)扩散加权图像(b值大于0的图像)运动伪影剔除：

实施例中分别计算每个大于0的b值对应的25个梯度磁场方向上的扩散加权图像与参考图像的加权相关系数，在同一b值条件下，使用步骤3)中的公式(6)的方法设置阈值，f因子设为3(如图4所示)。

伪影剔除具体操作如下：

(a)首先判断25个梯度磁场方向上高于阈值的图像个数是否大于15，在DKI模型中，至少需要2个大于0的b值及每个b值的15个梯度磁场方向的图像数据方可进行峰度张量估计，如果某大于0的b值的25个梯度磁场方向的有效图像个数大于15，则进行下一步判断；否则，剔除该b值对应的所有图像。

(b)对某大于0的b值下25个加权相关系数进行排序，选择最大的15个作为统计对象，按照步骤3)中的公式(6)对其它图像进行纳入判断，凡加权相关系数大于阈值的图像则纳入有效图像集合，如此循环，直至无有效图像纳入为止，其它方向的扩散加权图像则被判断为伪影图像进行剔除。

7)图像平滑：

为了减少配准误差对参数估计精度的影响，实施例中使用高斯滤波器对剔除运动伪影后的扩散加权图像(包括b0图像及b值大于0的扩散加权图像)进行图像平滑处理。

8)扩散磁共振成像模型选择及参量估计：

选择扩散磁共振成像模型(DWI、DTI或DKI)，按照下列步骤进行参量估计：

(a)扩散加权成像模型

DWI模型中磁共振回波信号强度与扩散权重因子b的关系式为：

S＝S₀e^-b·ADC(8)

其中，e表示自然指数函数，b＝γ²G²δ²(Δ-δ/3)，S为经扩散梯度磁场编码后的磁共振回波信号强度，S₀是未经扩散梯度磁场编码的磁共振回波信号强度，ADC为表观扩散系数(apparentdiffusioncoefficient)，ADC可通过上述公式计算获得。

(b)扩散张量成像模型

DTI模型中磁共振回波信号强度与扩散权重因子b的关系式为：

$S=S_0{e}^{-b\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{n}_i{n}_j{D}_{\mathrm{ij}}}---\left(9\right)$

其中，n_i、n_j表示单位方向向量的元素，D_ij为扩散率张量D元素，扩散率张量D为：

$D=\left[\begin{array}{ccc}{D}_{11}& D_{12}& D_{13}\\ D_{21}& D_{22}& D_{23}\\ D_{31}& D_{32}& D_{33}\end{array}\right]---\left(10\right)$

对扩散率张量D正交化：

$D=[e_1,e_2,e_3]\·\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\λ}}_1& 0& 0\\ 0& {\mathrm{\λ}}_2& 0\\ 0& 0& {\mathrm{\λ}}_3\end{array}\right]\·{[e_1,e_2,e_3]}^{-1}---\left(11\right)$

其中，e₁、e₂、e₃为特征向量，λ₁、λ₂、λ₃为特征值，MD＝(λ₁+λ₂+λ₃)/3。

各向异性参数(fractionalanisotropy，FA)：

$\mathrm{FA}=\frac{\sqrt{3[{({\mathrm{\λ}}_1-\mathrm{MD})}^2+{({\mathrm{\λ}}_2-\mathrm{MD})}^2+{({\mathrm{\λ}}_3-\mathrm{MD})}^2]}}{\sqrt{2({{\mathrm{\λ}}_1}^2+{{\mathrm{\λ}}_2}^2+{{\mathrm{\λ}}_3}^2)}}---\left(12\right)$

(c)扩散峰度成像模型

DKI模型中磁共振回波信号强度与扩散权重因子b的关系式为：

$S=S_0{e}^{-b\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{n}_i{n}_j{D}_{\mathrm{ij}}+\frac{1}{6}{b}^2{\left(\underset{I=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\frac{D_{\mathrm{ii}}}{3}\right)}^2\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{n}_i{n}_j{n}_k{n}_l{W}_{\mathrm{ijkl}}}---\left(13\right)$

其中，W_ijkl为扩散峰度张量元素，针对方向向量n，其扩散峰度K(n)为：

$K\left(n\right)=\frac{{\mathrm{MD}}^2}{D{\left(n\right)}^2}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{n}_i{n}_j{n}_k{n}_l{W}_{\mathrm{ijkl}}---\left(14\right)$

其中，D(n)为向量n方向上的扩散率。

平均扩散峰度(meankurtosis，MK)：

$\mathrm{MK}=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{K}_i---\left(15\right)$

其中，K_i为第i个方向上的扩散峰度，N为扩散梯度场方向总数。

上述实施例中运动伪影既包含图像错配，又有图像信号丢失，如图5a所示，DWI、DTI、DKI的典型参量图像均存在严重的图像伪影，经运动伪影消除处理后的参量图像如图5b所示。

综上所述，发明采用刚体变换对运动位移进行校正，数据采集过程中被试的运动造成图像间无法对齐，但图像中仍保留着完整的组织信息，这类图像需要进行运动位移校正，通过刚体变换的方法将扩散加权图像配准至参考b0图像上，使有效数据得到充分利用。

本发明提出了一种加权的图像相关系数，分两步对dMRI图像数据进行评价，设置阈值对伪影图像进行剔除：首先针对b0图像，剔除伪影后的b0图像经过平均运算获取可靠的参考图像，既消除了运动伪影对参量估计的影响，又可提高参考图像的信噪比；在图像畸变校正后进行扩散加权图像运动伪影的剔除，一方面剔除了数据中的运动伪影，另一方面也排除了由于配准误差而存在较大变形的图像，为参量估计提供可靠的数据。

Claims (2)

1.一种扩散磁共振成像运动伪影的消除方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)扩散磁共振成像图像采集：使用磁共振成像系统进行扩散磁共振成像扫描，设置扩散权重因子b，b值反映扩散感应强度的大小，由下式计算得到：

$b={\mathrm{\γ}}^2{G}^2{\mathrm{\δ}}^2(\mathrm{\Δ}-\frac{\mathrm{\δ}}{3})---\left(1\right)$

其中，γ是旋磁比，G代表扩散梯度磁场强度，Δ代表水分子扩散时间，δ代表单个梯度磁场的持续时间；

采集多个b值的扩散加权图像，b值的个数不少于3，针对每个大于0的b值采集不少于15个梯度磁场方向的扩散加权图像；

2)扩散加权图像组织区域提取预处理：在计算两幅扩散加权图像的加权相关系数之前进行扩散加权图像的图像分割处理，将人体组织区域从扩散加权图像中提取出来；

3)参考扩散加权图像获取：针对单次采集b0图的情况，b0图的b值为0，将获取的b0图作为后续处理的参考图像，后续处理包括运动刚体变换、仿射变换以及b值大于0的扩散加权图像的运动伪影剔除；针对多次采集b0图的情况，首先通过加权相关系数对多个b0图像进行评价，通过设置阈值将运动伪影从多个b0图中剔除，对伪影剔除处理后的b0图的灰度值进行图像间的平均计算，从而获得平均b0图，该平均b0图作为后续处理的参考图像；

4)刚体变换：针对b值大于0的扩散加权图像，通过刚体变换的方法将b值大于0的扩散加权图像配准至步骤3)获得的参考b0图像上；

5)仿射变换：针对步骤4)刚体变换后的b值大于0的扩散加权图像，以参考b0图像为标准，通过仿射变换的方法对图像中的畸变进行校正；

6)扩散加权图像运动伪影剔除：经上述步骤处理的所有b值大于0的扩散加权图像，分别计算各个b值下不同梯度磁场方向上的扩散加权图像与参考图像的加权相关系数，在同一b值条件下，通过设置阈值的方法实现运动伪影的剔除。

2.根据权利要求1所述的一种扩散磁共振成像运动伪影的消除方法，其特征在于，还包括以下步骤：

7)图像平滑：使用高斯滤波器对剔除运动伪影后的b0图像及b值大于0的扩散加权图像进行图像平滑处理；

8)扩散磁共振成像模型选择及参量估计：选择扩散磁共振成像模型，按照下列步骤进行参量估计：

(a)扩散加权成像DWI模型

扩散加权成像DWI模型中磁共振回波信号强度与扩散权重因子b的关系式为：

S＝S₀e^-b·ADC(8)

其中，e表示自然指数函数，b＝γ²G²δ²(Δ-δ/3)，S为经扩散梯度磁场编码后的磁共振回波信号强度，S₀是未经扩散梯度磁场编码的磁共振回波信号强度，ADC为表观扩散系数，ADC可通过上述公式计算获得；

(b)扩散张量成像DTI模型

扩散张量成像DTI模型中磁共振回波信号强度与扩散权重因子b的关系式为：

$S=S_0{e}^{-b\underset{i=1}{\overset{3}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{3}{\Σ}}{n}_i{n}_j{D}_{ij}}---\left(9\right)$

其中，n_i、n_j表示单位方向向量的元素，D_ij为扩散率张量D的元素，扩散率张量D为：

$D=\left[\begin{array}{ccc}{D}_{11}& D_{12}& D_{13}\\ D_{21}& D_{22}& D_{23}\\ D_{31}& D_{32}& D_{33}\end{array}\right]---\left(10\right)$

对扩散率张量D正交化：

$D=\[e_1,e_2,e_3\]\·\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\λ}}_1& 0& 0\\ 0& {\mathrm{\λ}}_2& 0\\ 0& 0& {\mathrm{\λ}}_3\end{array}\right]\·{\[e_1,e_2,e_3\]}^{-1}---\left(11\right)$

其中，e₁、e₂、e₃为特征向量，λ₁、λ₂、λ₃为特征值，MD＝(λ₁+λ₂+λ₃)/3；

各向异性参数：

$FA=\frac{\sqrt{3\[{({\mathrm{\λ}}_1-MD)}^2+{({\mathrm{\λ}}_2-MD)}^2+{({\mathrm{\λ}}_3-MD)}^2\]}}{\sqrt{2({{\mathrm{\λ}}_1}^2+{{\mathrm{\λ}}_2}^2+{{\mathrm{\λ}}_3}^2)}}---\left(12\right)$

(c)扩散峰度成像DKI模型

扩散峰度成像DKI模型中磁共振回波信号强度与扩散权重因子b的关系式为：

$S=S_0{e}^{-b\underset{i=1}{\overset{3}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{3}{\Σ}}{n}_i{n}_j{D}_{ij}+\frac{1}{6}{b}^2{\left(\underset{I=1}{\overset{3}{\Σ}}\frac{D_{ij}}{3}\right)}^2\underset{i=1}{\overset{3}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{3}{\Σ}}\underset{k=1}{\overset{3}{\Σ}}\underset{i=1}{\overset{3}{\Σ}}{n}_i{n}_j{n}_k{n}_l{W}_{ijkl}}---\left(13\right)$

其中，n_k、n_l表示单位方向向量的元素，W_ijkl为扩散峰度张量元素，针对方向向量n，其扩散峰度K(n)为：

$K\left(n\right)=\frac{{\mathrm{MD}}^2}{D{\left(n\right)}^2}\underset{i=1}{\overset{3}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{3}{\Σ}}\underset{k=1}{\overset{3}{\Σ}}\underset{l=1}{\overset{3}{\Σ}}{n}_i{n}_j{n}_k{n}_l{W}_{ijkl}---\left(14\right)$

其中，D(n)为向量n方向上的扩散率，MD＝(λ₁+λ₂+λ₃)/3；

平均扩散峰度：

$MK=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{K}_i---\left(15\right)$

其中，K_i为第i个扩散梯度磁场方向上的扩散峰度，N为扩散梯度磁场方向总数。