CN104321708B - 分析飞行数据的方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种借助于飞行器的飞行数据记录器的分析在至少一个飞行器的N个飞行期间记录的飞行数据的方法，该数据按照飞行i在大小为d的飞行的特征向量X_i中进行分组，该特征向量的分量对应于在飞行器的所述飞行i期间记录的数据，因此，飞行i通过特征向量X_i定义，所述方法包括以下步骤：对飞行特征X_i进行高斯核熵分量分析以获得正常飞行的区域并且相对于它们到所述区域的距离将飞行特征X_i进行分类；针对每个飞行i确定异常分数z_i，异常分数z_i通过飞行特征X_i相对于正常飞行的区域的距离定义；根据异常分数z_i检测至少一个异常飞行。

Description

分析飞行数据的方法

技术领域

本发明涉及一种分析在至少一个飞行器的至少一个飞行期间所记录的飞行数据的集合的方法。

背景技术

在维护和空中交通方面的规则规定了航空公司需要遵守的标准，以确保用户最大的安全级别。

为了优化维护阶段，航空公司自己已配备有飞行数据分析系统。

已知被称为FDM(飞行数据监测)或者FOQA(飞行运行质量保证)的飞行数据分析系统。这些系统在于使飞行器配备有飞行数据记录器。这种记录器为例如黑盒子或者比如ACMS(飞行器状态监控系统)的特定记录器。

这些系统使航空公司能够从在每一个它们的飞机的每个飞行期间产生的这些飞行数据的值的定期记录详细地了解飞行的过程。

为此，这些系统检测在飞行期间发生的预先定义的事件并且之后专家对这些事件进行分析，这些事件表示在飞行期间已发生技术事故、没有遵守由飞行程序提供的实践或条件，因此在可能发生的任何事件或意外的很晚期(very advanced)的阶段发出警告。

这些技术需要预先定义用于检测通常被定义为超过一个或多个参数的阈值的事件的规则，其可以触发警报使得专家更加严密地分析飞行。

问题在于，这些技术不能够检测超出预先定义的规则之外的异常事件，其可能导致无法检测异常飞行。

发明内容

本发明的目的在于使得能够在不需要定义检测规则的情况下检测异常飞行。

为此，本发明提出一种分析在至少一个飞行器的N个飞行期间记录的飞行数据的方法，该数据按照飞行i在大小为d的飞行的特征向量X_i中进行分组，该特征向量X_i的分量对应于在飞行器的所述飞行i期间记录的数据，因此，飞行i通过特征向量X_i定义，该方法包括以下步骤：

-对飞行特征X_i进行高斯核熵分量分析以获得正常飞行的区域并且相对于它们到所述区域的距离将飞行特征X_i进行分类；

-针对每个飞行i确定异常分数z_i，所述异常分数z_i通过飞行特征X_i相对于正常飞行的区域的距离定义；

-根据异常分数z_i检测至少一个异常飞行。

本发明通过单独或以其任何技术上可行的组合利用以下特性有利地完成：

-对于检测到的每个异常飞行，确定最接近检测到的异常飞行同时在正常飞行的区域中的幻影飞行。

-将检测到的异常飞行的参数与所确定的幻影飞行的参数进行比较，以检测已致使所述检测到的异常飞行显现异常的异常飞行的至少一个参数。

-所述高斯核熵分量分析包括以下子步骤：

○确定大小为N×N的相似度矩阵K，所述相似度矩阵K的分量量化两个飞行特征X_i之间的接近度；

○分解成相似度矩阵K的特征向量以获得N个特征向量a₁,...,a_N和N个特征值λ₁,...,λ_N，使得K·a_i＝λ_i·a_i；

○针对每个特征向量确定所述每个特征向量的熵系数γ_i；

○选择特征向量{a_m}_m∈{1,...,N}的子集合，使得熵γ_m之和大于N个熵γ_i之和的百分比；

-所述熵系数通过如下定义：

-飞行i的异常分数通过如下定义：

-所述相似度矩阵K的分量通过如下定义：

$\begin{array}{cc}\∀i=1,\mathrm{...},N& K_{i,j}=\exp (-\frac{\left|\right|X_i-X_j|{|}^2}{2{\mathrm{\σ}}^2})\end{array},$

其中σ²为预先确定的带宽参数。

-所述带宽参数σ²按照如下方式确定：

○确定对应于两个飞行之间的距离的大小为N×N的矩阵D，并且所述矩阵D按照如下方式定义：

D_i，j＝||X_i-X_j||²；

○每一列的每个分量以降序排列以获得矩阵D'；

○选择由此获得的矩阵D'的k个第一行，并且消除其他行以获得大小为k×N的矩阵D'；

○确定矩阵D'的每一列的平均值以获得N个值y₁,...,y_N；

○确定值y₁,...,y_N的绝对中位偏差，所述值y₁,...,y_N的绝对中位偏差通过mad＝mediane{|y_i-med}定义，其中med＝mediane{y1,...,y_N}；

○通过如下函数根据值y₁,…,y_N的绝对中位偏差确定带宽参数σ²。

-飞行i的数据以T×P维的矩阵F_i进行分组，其中T为在飞行i期间记录的数据的数量以及P为所记录的参数的数量，向量X_i具有首尾相连(end to end)的矩阵F_i的列作为分量，因此所述向量X_i为d＝T×P维并且通过如下定义：

X_i＝[F_i(t＝1,p＝1),...,F_i(t＝T,p＝1),...,F_i(t＝1,p＝P),...,F_i(t＝T,p＝P)。

-飞行i的数据以T×P维的矩阵F_i进行分组，其中T为在飞行i期间记录的数据的数量以及P为所记录的参数的数量，向量X_i具有矩阵F_i的列作为分量，矩阵F_i的列被采样以选择n＜T个参数的记录因此所述向量X_i为d＝n×P维并且通过如下定义：

$X_i=\[F_i(t=t_1^i,p=1),\mathrm{...},F_i(t=t_n^i,p=1),\mathrm{...},F_i(t=t_1^i,p=P),\mathrm{...},F_i(t=t_n^i,p=P).$

-飞行i的数据以T×P维的矩阵F_i进行分组，其中T为在飞行i期间记录的数据的数量以及P为所记录的参数的数量，向量X_i具有在该参数的所有记录之中的参数的平均值、方差、最小值、最大值作为分量，因此所述向量X_i通过如下定义：

$\begin{array}{c}{X}_i=\[mean\left(F_i\right(p=1\left)\right),\mathrm{var}\left(F_i\right(p=1\left)\right),\min \left(F_i\right(p=1\left)\right),\max \left(F_i\right(p=1\left)\right),\\ .\\ .\\ .\\ mean\left(F_i\right(p=P\left)\right),\mathrm{var}\left(F_i\right(p=P\left)\right),\min \left(F_i\right(p=P\left)\right),\max \left(F_i\right(p=P\left)\right)\]\end{array}.$

本发明具有多个优点。

利用本发明，异常飞行的检测是自动的并且不需要专家对所述检测进行干预。

利用本发明，检测以统计的方式同时考虑到参数来实施。以这种方式，产生了自动学习。

本发明能够突出意想不到的问题。

本发明能够检测到源于若干参数贡献的问题。

本发明的方法可被在统计或数据挖掘方面的非专家所使用。

此外，利用本发明，由于其能够产生基准飞行、检测到的每个异常飞行的幻影飞行，因此异常飞行的诊断是简单的。

附图说明

通过以下描述，本发明的其他特性、目的和优点将变得更清楚，以下描述仅是示例性的且是非限制性的，并且应当参照所附附图进行阅读，在所述附图中：

-图1a和1b示意性地示出了根据本发明的实施方案的方法的步骤；

-图2示出了根据本发明的实施方案的飞行数据的表示。

在所有附图中，相似的元件具有相同的附图标记。

具体实施方式

在分析飞行数据的方法中，在预备步骤(没有详细描述)中恢复在至少一个飞行器所进行的数个飞行期间记录的飞行数据。

这些飞行数据对应于例如速度、高度、温度等等的飞行参数。

然后，在第一步骤E1中，最好是针对每个飞行i在飞行i期间记录的所有数据中提取表征飞行i的飞行数据，换句话说则是每个飞行i的特征。

对于N≥1个飞行，存在在飞行时间T₀上记录的P₀个参数。举例来说，在某些记录器中，可以具有多达P₀＝2000个参数。

可以认为以相同频率记录/采样参数，如果有必要的话，对数据实施众所周知的过采样和线性逼近技术。

根据一个实施方案，为了提取E1，飞行i的数据特性，对时间T＜T₀的飞行阶段(例如，着陆)作出限制并且仅保留被限制数量P＜P₀的相干参数，以用于该飞行i的数据的分析。举例来说，可以作出限制为T＝1000秒以及P＝30个参数。

在下文中，按照以下方式指定飞行i的每个数据的值：F_i(t＝5,p＝1)换句话说，在对于飞行i的第5秒(如果以秒来采样数据)处记录的第一参数的值。

那么，在d维的飞行i的特征向量X_i中的提取E1之后对数据进行分组E2。

因此，每个特征向量X_i包含关于飞行i的相干信息的集合。

可以根据三个实施方案实施分组E2。

根据第一实施方案，在向量中的分组E2在于保持所有数据。于是，这被称为穷举方法。

根据该第一实施方案，为了获得向量X_i，最好采用矩阵F_i并且一对一地排列多个列(stick columns)。

则向量X_i为d＝T×P维并且通过如下定义：

X_i＝[F_i(t＝1,p＝1),...,F_i(t＝T,p＝1),...,F_i(t＝1,p＝P),...,F_i(t＝T,p＝P)。

例如，如果T＝1000并且P＝30，则存在大小为30000的向量X_i(并不是大小为1000x30的矩阵)。

当具有不太广泛的工作知识时，根据该第一实施方案的分组是有用的，并且使得能够很容易地发现任何飞行路线偏离。

根据第二实施例，在向量X_i中的分组E2在于聚焦于被称为快照的在精确时刻处的参数的值。这些精确时刻具有操作感(operational sense)，例如对于着陆阶段，可从10000英尺的高度每1000英尺产生一个快照，或者之后可以在发生特定事件：放下起落架等等的时刻产生快照。

假定已限定快照的n个时刻，那么对于飞行i，记下快照的时刻应当注意，对于每个飞行，这些时刻不一定发生在相同的时间。

则向量X_i为d＝n×P维并且通过如下定义：

$X_i=\[F_i(t=t_1^i,p=1),\mathrm{...},F_i(t=t_n^i,p=1),\mathrm{...},F_i(t=t_1^i,p=P),\mathrm{...},F_i(t=t_n^i,p=P).$

该第二实施方案使得能够获得比利用第一实施方案更好的结果。实际上，在第二实施方案中，由于T＞＞n，因此用于处理的数据比在第一实施方案中更少。

根据第三实施方案，向量X_i中的分组E2在于以k≈5或10的值的小集合将每个参数的每个“曲线”“相加”：例如，这些k值可以是所记录的每个参数的平均值、方差、最小值、最大值。

然后针对所有参数组合这些k值，以获得如下定义的k≈4的d＝k×P维的特征向量X_i：

$\begin{array}{c}{X}_i=\[mean\left(F_i\right(p=1\left)\right),\mathrm{var}\left(F_i\right(p=1\left)\right),\min \left(F_i\right(p=1\left)\right),\max \left(F_i\right(p=1\left)\right),\\ .\\ .\\ .\\ mean\left(F_i\right(p=P\left)\right),\mathrm{var}\left(F_i\right(p=P\left)\right),\min \left(F_i\right(p=P\left)\right),\max \left(F_i\right(p=P\left)\right)\]\end{array}.$

例如，如果存在P＝30个参数，则一个参数具有大小为d＝120的特征向量X_i。

在分组步骤E2结束时，存在可用的N≥1个大小为d的特征向量X_i，特征向量X_i的分量对应于在飞行器的所述飞行i期间记录的相干数据。

在补充的方式中，每个特征向量X_i的分量中的每一个可以被归一化E3。

当每个特征向量X_i的分量已改变了数量级(orders of magnitude)，这种归一化证明是有用的。

在优选的方式中，归一化E3导致在所有飞行的集合上具有零平均值和标准偏差1的分量。

在下文中，使用X_i来指定飞行i的特征向量，该特征向量的分量被归一化或没有被归一化。

特征向量X_i将要经历数次处理以能够确定是否飞行是异常的。

为此，将实施特征向量X_i的高斯核熵分量分析E4以获得正常飞行的区域E，并且关于它们到所述区域的距离将特征向量X_i进行分类。

换句话说，E4涉及从所有飞行特征X_i中将它们分组，以划分正常飞行的区域E。

这种分析例如为R.Jenssen在如下文献中所描述的：“Kernel entropy componentanalysis”，IEEE模式分析与机器智能学报，第32卷，n°5，第847-860页，2010年5月。

为了进行分析，确定大小为N×N的相似度矩阵KE41,相似度矩阵K的分量量化两个特征向量X_i之间(换句话说两个飞行之间)的接近度。

该矩阵K被称为革兰氏(Gram)矩阵。

矩阵K根据应用具有预先确定的带宽参数σ²的高斯函数的距离D的矩阵获得(后面将描述该参数的确定)。

矩阵K具有表达式

带宽参数通过计算每个特征向量X_i到其k个最近邻的距离而获得，其中k为4到10之间的整数。k的值取决于飞行的数量N和维数d。

为了确定带宽参数σ²E42，确定大小为N×N的矩阵D，矩阵D对应于两个飞行之间的距离并且按照如下方式定义：D_i，j＝||X_i-X_j||²。

接着，对于矩阵D的每一列，其元素按照降序排列以获得矩阵D'，使得D′_1j＜...＜D'_Nj。

接着，选择由此获得的矩阵D'的k个第一行，并且消除其他行以获得大小为k×N的矩阵D'。

然后，确定矩阵D'的每一列的平均值以获得N个值y₁,...,y_N，y₁,...,y_N实际上表示每个向量到其k个最近邻的平均距离。

接着，消除异常的值y₁,...,y_N。为此，其通过确定集合y₁,...,y_N的中间值med开始，y₁,...,y_N的中间值被写成med＝median{y1,…,yN}。接着，确定值y₁,...,y_N的绝对中位偏差，值y₁,…,y_N的绝对中位偏差被定义为集合{|y1–med|,…|yN–med|}的中间值，其被写成mad＝mediane{|y_i-med|}。

然后，通过如下函数从值y₁,…,y_N的绝对中位偏差确定带宽参数σ²。换句话说，消除大于med+20.mad的所有值y_i，并且剩余的值中最大的被选择作为带宽参数。

一旦获得矩阵K，将相似度矩阵K分解成特征向量E43，以获得N个特征向量a₁,…,a_N和N个特征值λ₁,…,λ_N，使得K·a_i＝λ_i·a_i。

应当注意，特征向量a_i中的每一个的大小为N：并且a_i,j指定向量a_i的第j个分量。λ_i也被称为能量系数。

根据所获得的向量和特征值确定每个向量的熵系数γ_iE44，熵系数γ_i通过以下定义：

$\begin{array}{cc}\∀i=1,\mathrm{...},N& {\mathrm{\γ}}_i=\frac{{\mathrm{\λ}}_i\·\left(\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{i,j}\right)}{N^2}\end{array}.$

熵系数为仅选择所有飞行的特征向量的集合中最相干数据的相干标准。

具体而言，选择特征向量{a_m}_{m∈{1,...,N}}的子集合E45，使得对应的熵γ_m之和大于N个熵γ_i之和的百分比。

在优选的方式中，该百分比包括在75％到95％之间，优选为90％。

该子集合的选择使得能够定义追溯到与所选择的特征向量相关的每个向量X_i的参数的正常飞行的区域E。

关于图2，如果简单示例考虑两个参数，则能够在二维图形中表示所有飞行，并且因此能够将正常飞行的区域E确定为围绕数据集群的圆。

然后，针对每个飞行i确定异常分数z_iE5，异常分数z_i通过飞行X_i相对于正常飞行的区域E的距离定义。

异常分数通过定义，其中a_k为所选择的特征向量以及λ_k为它们的相关的特征值。

异常分数包括在0到1之间。分数越接近1，飞行被更多地认为是异常的。

参照图2，远离正常飞行的区域E的飞行具有“异常”分数。

在优选的方式中，可以认为异常分数大于0.99的飞行i很有可能是异常的，并且分数大于0.999的飞行i非常确定是异常的。

因此，根据异常分数z_i检测至少一个飞行是否是异常的E6。

异常分数可以显示成可被分析者查看。

正如将被理解的，为了确定飞行是否是异常的，该方法本身使用供其使用的所有数据以确定在什么状态可以认为是正常的，从而确定哪些飞行不正常。因此，不一定实施检测规则。

如果检测到异常飞行，对于这种情况确定最接近该检测到的异常飞行同时在正常飞行的区域中的标称基准飞行E7(称为“幻影飞行”)，幻影飞行能够不同于特征飞行X_i。

换句话说，幻影飞行被定义为最接近检测到的异常飞行同时在正常飞行的区域中的推想飞行。

尤其是幻影飞行的特征Z₀是将要被确定的。

幻影飞行具有小于0.99(或0.95，如果真的希望确保该飞行的正常性)的分数z。

因此，幻影飞行为在正常飞行的区域中检测到的异常飞行的投影。具体而言，它是最接近的投影。

在该方法期间产生幻影飞行，其可能与所分析的飞行无关。

经由约束非线性优化程序产生与特征X_i的检测到的异常飞行相关的特征Z₀的幻影飞行。对于固定的阈值seuil，该优化程序以如下方式表示：

$Z_0=\underset{z\left(Z\right)<seuil}{\mathrm{argmin}}\left|\right|X_i-Z|{|}_1.$

应当注意，以上的规范(norm)1使得能够确保分量的最小值在异常飞行和其幻影飞行之间变化。

该优化程序需要计算分数z(Z)以获得幻影飞行的特征Z₀。

为此，以下向量被定义为k_Z，对于所有有效：

$k_Z=\left[\begin{array}{c}\exp (-\frac{\left|\right|Z-X_1|{|}^2}{2{\mathrm{\&sigma;}}^2})\\ .\\ .\\ .\\ \exp (-\frac{\left|\right|Z-X_N|{|}^2}{2{\mathrm{\&sigma;}}^2})\end{array}\right].$

因此，给出的任何向量的分数的函数z通过如下定义：

$z\left(Z\right)=1-\underset{k=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{{\left(k_Z^T{a}_k\right)}^2}{{\mathrm{\&lambda;}}_k}.$

其中，a₁,...,a_m为预先保留的m个特征向量(覆盖总熵的90％)以及λ₁,…,λ_m为它们的相关的特征值。

关于图2，如果对应于标记为20的参数的飞行是异常的，则对应的幻影飞行为参数标记为20’的飞行。

这使得能够将检测到的异常飞行的参数与所确定的幻影飞行的参数进行比较E8，以检测已致使所述检测到的异常飞行显现异常的异常飞行的至少一个参数。

Claims (9)

1.一种分析在至少一个飞行器的N个飞行期间记录的飞行数据的方法，所述方法借助于飞行器的飞行数据记录器，所述数据按照飞行i在大小为d的飞行i的特征向量X_i中进行分组(E2)，所述特征向量的分量对应于在飞行器的所述飞行i期间记录的数据，因此，飞行i通过特征向量X_i定义，所述方法包括以下步骤：

-对特征向量X_i进行高斯核熵分量分析(E4)以获得正常飞行的区域(E)并且相对于它们到所述区域的距离将特征向量X_i进行分类；

-针对每个飞行i确定异常分数z_i(E5)，所述异常分数z_i通过特征向量X_i相对于正常飞行的区域(E)的距离定义；

-根据所述异常分数z_i检测至少一个异常飞行(E6)，

其中，所述高斯核熵分量分析包括以下子步骤：

-确定大小为N×N的相似度矩阵K，所述相似度矩阵K的分量量化两个特征向量X_i之间的接近度；

-分解成相似度矩阵K的特征向量以获得N个特征向量a₁,...,a_N和N个特征值λ₁,...,λ_N，使得K·a_i＝λ_i·a_i；

-针对每个特征向量确定所述每个特征向量的熵系数γ_i；

-选择特征向量{a_m}_{m∈{1,...,N}}的子集合，使得熵γ_m之和大于N个熵γ_i之和的百分比，

-对于检测到的每个异常飞行，确定最接近检测到的异常飞行同时在正常飞行的区域中的幻影飞行。

2.根据权利要求1所述的分析在至少一个飞行器的N个飞行期间记录的飞行数据的方法，其中，将检测到的异常飞行的参数与所确定的幻影飞行的参数进行比较，以检测已致使所述检测到的异常飞行显现异常的所述异常飞行的至少一个参数。

3.根据权利要求1所述的分析在至少一个飞行器的N个飞行期间记录的飞行数据的方法，其中，所述熵系数通过如下定义：

$\begin{array}{cc}\&ForAll;i=1,...,N& {\mathrm{\&gamma;}}_i=\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_i\&CenterDot;\left(\underset{j=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{a}_{i,j}\right)}{N^2}\end{array}.$

4.根据权利要求1所述的分析在至少一个飞行器的N个飞行期间记录的飞行数据的方法，其中，飞行i的异常分数通过如下定义：

5.根据权利要求1所述的分析在至少一个飞行器的N个飞行期间记录的飞行数据的方法，其中，所述相似度矩阵K的分量通过如下定义：

$\begin{array}{cc}\&ForAll;i=1,...,N& K_{i,j}=\exp (-\frac{\left|\right|X_i-X_j|{|}^2}{2{\mathrm{\&sigma;}}^2})\end{array},$

其中σ²为预先确定的带宽参数。

6.根据权利要求5所述的分析在至少一个飞行器的N个飞行期间记录的飞行数据的方法，其中，所述带宽参数σ²按照如下方式确定：

-确定对应于两个飞行之间的距离的大小为N×N的矩阵D，并且所述矩阵D按照如下方式定义：D_i，j＝||X_i-X_j||²；

-每一列的每个分量以降序排列以获得矩阵D'；

-选择由此获得的矩阵D'的k个第一行，并且消除其他行以获得大小为k×N的矩阵D'；

-确定矩阵D'的每一列的平均值以获得N个值y₁,...,y_N；

-确定值y₁,...,y_N的绝对中位偏差，所述值y₁,...,y_N的绝对中位偏差通过mad＝mediane{|y_i-med|}定义，其中med＝mediane{y₁,...,y_N}；

-通过如下函数根据值y₁,...,y_N的绝对中位偏差确定带宽参数σ²。

7.根据权利要求1所述的分析在至少一个飞行器的N个飞行期间记录的飞行数据的方法，其中，飞行i的数据以T×P维的矩阵F_i进行分组，其中T为在飞行i期间记录的数据的数量以及P为所记录的参数的数量，特征向量X_i具有首尾相连的矩阵F_i的列作为分量，因此所述特征向量X_i为d＝T×P维并且通过如下定义：

X_i＝[F_i(t＝1,p＝1),...,F_i(t＝T,p＝1),...,F_i(t＝1,p＝P),...,F_i(t＝T,p＝P)。

8.根据权利要求1所述的分析在至少一个飞行器的N个飞行期间记录的飞行数据的方法，其中，飞行i的数据以T×P维的矩阵F_i进行分组，其中T为在飞行i期间记录的数据的数量以及P为所记录的参数的数量，特征向量X_i具有矩阵F_i的列作为分量，矩阵F_i的列被采样以选择n＜T个参数的记录因此所述特征向量X_i为d＝n×P维并且通过如下定义：

$X_i=\&lsqb;F_i(t=t_1^i,p=1),...,F_i(t=t_n^i,p=1),...,F_i(t=t_1^i,p=P),...,F_i(t=t_n^i,p=P).$

9.根据权利要求1所述的分析在至少一个飞行器的N个飞行期间记录的飞行数据的方法，其中，飞行i的数据以T×P维的矩阵F_i进行分组，其中T为在飞行i期间记录的数据的数量以及P为所记录的参数的数量，特征向量X_i具有在该参数的所有记录之中的参数的平均值、方差、最小值、最大值作为分量，因此所述特征向量X_i通过如下定义：

$\begin{array}{c}{X}_i=\&lsqb;mean\left(F_i\right(p=1\left)\right),\mathrm{var}\left(F_i\right(p=1\left)\right),\min \left(F_i\right(p=1\left)\right),\max \left(F_i\right(p=1\left)\right),\\ .\\ .\\ .\\ mean\left(F_i\right(p=P\left)\right),\mathrm{var}\left(F_i\right(p=P\left)\right),\min \left(F_i\right(p=P\left)\right),\max \left(F_i\right(p=P\left)\right)\&rsqb;\end{array}.$