CN104268410A - 一种连锁故障多阶段动态博弈防御方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种应用在电力系统中的连锁故障多阶段动态博弈防御方法，其特征是首先设定博弈过程阶段总数以及故障方和防御方所处阶段数初始值；再依次经过计算有限理性故障方在所处阶段采取各行动的概率、后果以及风险系数，生成确定性策略集合和风险性策略集合；规定有限理性故障方选择策略顺序；判断有限理性故障方采取的行动是否造成线路过负荷或功角失稳，完全理性防御方根据判断结果可选择采取基于直流潮流灵敏度的过负荷控制或基于扩展等面积原则的稳定控制；判断是否满足博弈过程的结束条件；最后计算有限理性故障方和完全理性防御方防御方收益函数；结束多阶段动态博弈防御过程。本发明实现了对连锁故障的阻断，防止大停电事故发生。

Description

一种连锁故障多阶段动态博弈防御方法

技术领域

本发明涉及电力系统连锁故障防御控制领域，更具体的说是利用博弈理论构造一种连锁故障多阶段动态博弈防御的方法。

背景技术

近年来，国内外电力系统发生多起连锁故障导致的大停电事故，造成了巨大的经济损失和灾难性后果。这些事故虽然起始于偶然性的初始故障，但其发展成为大停电事故却需经过一个明显的连锁跳闸过程，在此期间有足够的时间去实施控制。例如2003年的美加“8.14”大停电事故，在初始故障发生后的62min内，有五条线路相继开断，期间分别有22min、9min、5min和29min可供调度部门采取控制措施，如果控制得当，就有可能避免新的相继开断，从而阻止大停电事故的发生。然而大电网连锁故障的发展过程极为复杂，多种故障因素相互叠加，多种电气量相互作用，因此建立适用于连锁故障的防御模型，对降低连锁故障的风险、防止大停电事故的发生具有重要的现实意义。

目前连锁故障防御的研究主要分为从规划角度的预防控制和从运行角度的阻断控制，涉及电力系统关键元件的搜索、连锁故障事故链的预测和防御模型的建立等，旨在找出电力系统的薄弱环节，寻找最佳的控制方案等。

由于在连锁故障的发展过程中扰动与控制交替进行，相互影响，共同作用于电网，具有互动性和对抗性，因此博弈论在连锁故障防御中得以应用。但目前的连锁故障博弈防御都是建立在假设故障方具有完全理性的基础上，即认为故障方总是能够有效识别并采取对电网影响最大的扰动，而实际上连锁故障的发展过程包含了大量的不确定性因素，不同故障的发生概率具有明显的差异性，上下级故障之间存在一定的关联性，忽略这些因素会导致故障方生成的策略集合偏于保守，不能涵盖当前运行工况下防御方最需关注的预想故障；此外，博弈过程的收益函数只考虑了系统失负荷量，没有考虑控制措施产生的代价，同时也忽略了连锁故障中不确定性因素的影响，因此不能准确评估控制措施的有效性。

发明内容

本发明目的是提供一种利用博弈理论的连锁故障动态博弈防御方法。通过对故障方策略集合的筛选，预测故障方的行动，指导防御方针对故障方的行动制定相应的对策，以实现对连锁故障的阻断，防止大停电事故的发生。

本发明为解决技术问题采用如下技术方案：

本发明连锁故障多阶段动态博弈防御方法的特点是按如下步骤进行：

步骤1、在一次连锁故障多阶段动态博弈过程中，规定故障方先采取行动，防御方后采取行动，双方行动交替进行；将故障方和防御方的一次行动组合作为一个阶段，定义D为设定的博弈过程的阶段总数，用d表示故障方和防御方处于第d个阶段，d的初始值取1；

步骤2、根据当前电力系统的运行工况，计算有限理性故障方在第d个阶段采取各行动的概率和后果并进一步计算在第d个阶段采取各行动的风险系数将概率为1的行动归入确定性策略集合，将概率不为1且风险系数大于设定值R₀的行动归入风险性策略集合；

步骤3、有限理性故障方在第d个阶段生成的策略集合中选择一个策略作为第d次行动，策略选择的顺序为：首先选择确定性策略集合中所有的策略，如果确定性策略集合为空，则按照风险系数由大到小的顺序在风险性策略集合中选择一个策略；

步骤4、判断第d次行动是否会造成线路过负荷或功角失稳，若出现线路过负荷，则完全理性的防御方采取基于直流潮流灵敏度的过负荷控制，直至消除过负荷，并进入步骤5；若出现功角失稳，则完全理性的防御方采取基于扩展等面积原则的稳定控制，直至消除功角失稳，进入步骤6；若未出现线路过负荷和功角失稳，则进入步骤5；

步骤5、判断有限理性故障方所处的阶段是否达到预先设定的阶段总数D，若未达到，则d＝d+1，并返回步骤2，若达到，进入步骤6；

步骤6、分别计算有限理性故障方各阶段行动造成的停电损失和完全理性防御方各阶段行动产生的控制代价结合有限理性故障方在各阶段行动的概率分别计算出有限理性故障方和完全理性防御方的收益函数u₁和u₂；

步骤7、多阶段动态博弈防御过程结束。

本发明连锁故障多阶段动态博弈防御方法的特点也在于：所述步骤2中有限理性故障方在第d个阶段采取各行动的概率的求解按如下过程进行：

①当有限理性故障方在第1个阶段采取行动时，d＝1时，首先分别计算各个线路的线路单位长度老化失效故障率λ_o和线路单位长度偶然失效故障率λ_w；

所述线路单位长度老化失效故障率λ_o是根据当前运行工况下线路的运行年限，在通过历史统计数据得到的线路老化失效故障率曲线中获得对应值；

所述线路单位长度偶然失效故障率λ_w为：

${\mathrm{\λ}}_w\left(z\right)=\left\{\begin{array}{cc}(1-\mathrm{\ϵ})\frac{N_1+N_2}{N_1}\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}& z=0\\ \mathrm{\ϵ}\frac{N_1+N_2}{N_1}\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}& z=1\end{array}\right.---\left(1\right)$

式(1)中，ε为线路在恶劣天气下的故障比率，N₁为正常天气持续时间，N₂为恶劣天气持续时间，为线路单位长度故障率的平均值，z表示线路所处的天气状况，其中z＝0表示正常天气，z＝1表示恶劣天气；

线路单位长度故障率λ为：λ＝λ_o+λ_w；

由式(2)得到有限理性故障方在第1个阶段采取第m个行动的概率为：

$p_{1m}^1=\frac{{\mathrm{\λ}}_m{\mathrm{Len}}_m}{\underset{m\∈L}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\λ}}_m{\mathrm{Len}}_m}---\left(2\right)$

式(2)中，λ_m为线路m的单位长度故障率，Len_m为线路m的长度，L为系统所有线路的集合；

②当有限理性故障方在后续阶段采取行动时，即d∈[2,D]时，分别计算线路严重过载时有限理性故障方在后续阶段采取行动的概率和线路未严重过载时有限理性故障方在后续阶段采取行动的概率，所述线路严重过载是指线路当前潮流大于或等于线路潮流极限值，线路未严重过载是指线路当前潮流小于线路潮流极限值；

(a)、当线路m发生严重过载时，有限理性故障方在后续阶段采取行动的概率为：

$p_{1m}^d=1---\left(3\right)$

(b)、当线路m未发生严重过载时，有限理性故障方在后续阶段采取行动的概率需考虑潮流转移引起线路停运的概率、隐性故障引起线路停运的概率和其他不明原因因素引起线路停运的概率；

潮流转移引起线路m停运的概率为：

$\begin{array}{cc}{p}_{1m1}^d=\frac{1-p_{1m}^1}{F_{\max ,m}{-F}_{\max ,m}^{\mathrm{normal}}}\×F_m+\frac{p_{1m}^1{F}_{\max ,m}{-F}_{\max ,m}^{\mathrm{normal}}}{F_{\max ,m}-F_{\max ,m}^{\mathrm{normal}}}& F_{\max ,m}^{\mathrm{normal}}\≤F_m\≤F_{\max ,m}\end{array}---\left(4\right)$

式(4)中F_m为线路m当前的潮流值，和分别为线路m的潮流正常值的上下限，F_max,m为线路m的潮流极限值；

隐性故障引起线路m停运的概率为：

$p_{1m2}^d=p_{\mathrm{mis}\_b}+p_{\mathrm{mis}\_d}---\left(5\right)$

式(5)中，p_{mis_d}为断路器误动概率，p_{mis_d}的取值来源于历史统计数据，p_{mis_b}为保护误动概率，并由式(6)计算获得：

$p_{\mathrm{mis}\_b}=\frac{({3Z}_{\mathrm{set}}-Z_k)}{{2Z}_{\mathrm{set}}}\×p_Z(Z_{\mathrm{set}}\≤Z_k\≤{3Z}_{\mathrm{set}})---\left(6\right)$

式(6)中，Z_set为整定阻抗，Z_k为测量阻抗，p_Z为保护最大误动概率；

其他不明原因因素引起线路m停运的概率记为是根据经验设定；

有限理性故障方在后续阶段采取第m个行动的概率如式(7)所示：

$p_{1m}^d=p_{1m1}^d+p_{1m2}^d+p_{1m3}^d---\left(7\right).$

本发明连锁故障多阶段动态博弈防御方法的特点也在于：所述步骤2中有限理性故障方在第d个阶段采取各行动的后果求解方法为：

有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动的潮流转移严重度如式(8)：

${\mathrm{Sev}}_{1m1}^d=\frac{F_{m,0}}{\underset{i\∈L}{\mathrm{\Σ}}{F}_{i,0}}\frac{F_{m,0}}{F_{m,\max }}\underset{n\∈L,n\≠m}{\mathrm{\Σ}}\frac{F_n-F_{n,0}}{F_{n,0}}\frac{F_n}{F_{n,\max }}---\left(8\right)$

式(8)中，F_m,0为线路m故障前承担的有功功率；F_n为线路n在线路m故障后承担的有功功率；F_n,0为线路n在线路m故障前承担的有功功率；F_m,max为线路m潮流极限值；F_n,max为线路n潮流极限值；

有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动的功角失稳严重度为：

${\mathrm{Sev}}_{1m2}^d=\left\{\begin{array}{cc}0& {\mathrm{\&Delta;\&delta;}}_m\&le;0.5{\mathrm{\&Delta;\&delta;}}_{\max }\\ \frac{{\mathrm{\&Delta;\&delta;}}_m}{{\mathrm{\&Delta;\&delta;}}_{\max }}& 0.5{\mathrm{\&Delta;\&delta;}}_{\max }<{\mathrm{\&Delta;\&delta;}}_m<{\mathrm{\&Delta;\&delta;}}_{\max }\\ 1& {\mathrm{\&Delta;\&delta;}}_m\&GreaterEqual;{\mathrm{\&Delta;\&delta;}}_{\max }\end{array}\right.---\left(9\right)$

式(9)中，Δδ_m是线路m故障后系统最大功角差，Δδ_max是系统失稳判据的角度，Δδ_max设定为180；

有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动的系统失负荷严重度为：

${\mathrm{Sev}}_{1m3}^d=\frac{1}{P_S}\underset{j\&Element;N}{\mathrm{\&Sigma;}}{P}_{\mathrm{Lj}}---\left(10\right)$

式(10)中，P_S为系统总负荷量，P_Lj为线路m故障后母线j的失负荷量，N为系统所有母线的集合；

则有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动的后果如式(11)所示：

${\mathrm{Sev}}_{1m}^d={\mathrm{omg}}_1{\mathrm{Sev}}_{1m1}^d+{\mathrm{omg}}_2{\mathrm{Sev}}_{1m2}^d+{\mathrm{omg}}_3{\mathrm{Sev}}_{1m3}^d---\left(11\right)$

式(11)中，omg₁、omg₂、omg₃为均权重因子，表示各指标在后果指标中的重要程度，采用层次分析法求取权重因子。

本发明连锁故障多阶段动态博弈防御方法的特点也在于：所述步骤4中完全理性防御方的控制策略按如下方法求解：

①针对线路过负荷的过负荷控制

节点k对线路m的灵敏度η_mk为：

${\mathrm{\&eta;}}_{\mathrm{mk}}=\frac{{\mathrm{\&Delta;P}}_k}{{\mathrm{\&Delta;F}}_{\mathrm{ij}}}=\frac{x_{\mathrm{ij}}{\mathrm{\&Delta;P}}_k}{{\mathrm{\&Delta;\&theta;}}_i-{\mathrm{\&Delta;\&theta;}}_j}=\frac{x_{\mathrm{ij}}}{e_{\mathrm{ik}}-e_{\mathrm{jk}}}---\left(12\right)$

式(12)中，ΔP_k为节点k的注入功率变化量，i和j分别为线路m的首节点和末节点，ΔF_ij为线路m的潮流变化量，Δθ_i-Δθ_j为线路m两端节点的相角差变化量，x_ij为线路m的电抗，e_ik和e_jk为节点电纳矩阵的逆矩阵中的元素；

当有一条线路过载时，选取对该过载线路灵敏度最大的发电机节点和灵敏度最小的负荷节点构成控制对；当有多条线路过载时，选取对这些过载线路灵敏度之和最大的发电机节点和灵敏度之和最小的负荷节点构成控制对；则由发电机节点g和负荷节点l构成的控制对对线路m的灵敏度η_m-gl为：

η_m-gl＝η_mg-η_ml    (13)

式(13)中，η_mg为发电机节点g对线路m的灵敏度，η_ml为负荷节点l对线路m的灵敏度；

根据所有过载线路的过载量和灵敏度η_m-gl，得到发电机节点g和负荷节点l为消除过载而需要的最大调节量ΔP_gl1为：

ΔP_gl1＝max(ΔP_m1/η_m1-gl)    (14)

式(14)中，ΔP_m1为线路m的过载量；

根据所有正常线路的冗余量和灵敏度η_m-gl，得到发电机节点g和负荷节点l为保证正常线路不越限而采取的最小调节量ΔP_gl2为：

ΔP_gl2＝min(ΔP_m2/η_m2-gl)    (15)

式(15)中，ΔP_m2为线路m的冗余量；

同时还考虑发电机节点g的可切除量和负荷节点l的可切除量得到控制对的一次调节量ΔP_gl如式(16)所示：

${\mathrm{\&Delta;P}}_{\mathrm{gl}}=\min ({\mathrm{\&Delta;P}}_{\mathrm{gl}1},{\mathrm{\&Delta;P}}_{\mathrm{gl}2},{\mathrm{\&Delta;P}}_g^{\max },{\mathrm{\&Delta;P}}_l^{\max })---\left(16\right)$

为了保证功率平衡，控制对中的发电机节点g和负荷节点l的调节量相同，各为控制对调节量ΔP_gl的一半；

当调整完成后，如果仍存在线路过载，则通过将发电机节点g和负荷节点l的调节量代入式(12)得到各线路的潮流变化量，用各线路在过负荷控制前的潮流值减去各线路在过负荷控制后的潮流变化量，得到各线路在过负荷控制后的潮流值，将过载线路在过负荷控制后的潮流值减去过载线路的潮流极限值得到过载线路在过负荷控制后的过载量，将正常线路的潮流极限值减去正常线路在过负荷控制后的潮流值得到正常线路在过负荷控制后的冗余量，完成线路过载量和冗余量的刷新，并根据式(12)所求的灵敏度，重新选择控制对进行调节，直至完全消除线路过载；

②针对功角失稳的稳定控制

当多机系统受到大扰动后，在存在发电机的功角差值超过180度的时刻，将各发电机的功角进行排序，以排序中相邻发电机功角差最大处为分界线，将发电机功角分为两部分，其中功角大的一部分发电机归为临界机群SA，功角小的一部分发电机归为剩余机群SB，分别用临界集群和剩余集群的局部惯量中心代替，得到等效双机系统如式(17)所示：

$\begin{array}{c}{M}_{\mathrm{sa}}=\underset{i\&Element;\mathrm{SA}}{\mathrm{\&Sigma;}}{M}_i,{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{sa}}=M_{\mathrm{sa}}^{-1}\underset{i\&Element;\mathrm{SA}}{\mathrm{\&Sigma;}}{M}_i{\mathrm{\&delta;}}_i,{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sa}}=M_{\mathrm{sa}}^{-1}\underset{i\&Element;\mathrm{SA}}{\mathrm{\&Sigma;}}{M}_i{\mathrm{\&omega;}}_i\\ M_{\mathrm{sb}}=\underset{j\&Element;\mathrm{SB}}{\mathrm{\&Sigma;}}{M}_i,{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{sb}}=M_{\mathrm{sb}}^{-1}\underset{j\&Element;\mathrm{SB}}{\mathrm{\&Sigma;}}{M}_j{\mathrm{\&delta;}}_j,{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sb}}=M_{\mathrm{sb}}^{-1}\underset{j\&Element;\mathrm{SB}}{\mathrm{\&Sigma;}}{M}_j{\mathrm{\&omega;}}_j\end{array}---\left(17\right)$

式(17)中,δ_i、ω_i、M_i分别为同步坐标下发电机i的功角和角速度偏差、发电机i的转子惯性时间常数，δ_j、ω_j、M_j分别为同步坐标下发电机j的功角和角速度偏差、发电机j的转子惯性时间常数，δ_sa、ω_sa分别为临界机群SA的等效功角和等效角速度偏差，M_sa为临界机群SA的转子惯性时间常数之和，δ_sb、ω_sb分别为剩余机群SB的等效功角和等效角速度偏差，M_sb为剩余机群SB的转子惯性时间常数之和；

进一步将等效双机系统等效为单机系统如式(18)所示：

$\begin{array}{c}\mathrm{\&delta;}{=\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{sa}}-{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{sb}},\mathrm{\&omega;}={\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sa}}-{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sb}}\\ P_m=M^{-1}\left(M_{\mathrm{sb}}\underset{i\&Element;\mathrm{SA}}{\mathrm{\&Sigma;}}{P}_{\mathrm{mi}}{-M}_{\mathrm{sa}}\underset{j\&Element;\mathrm{SB}}{\mathrm{\&Sigma;}}{P}_{\mathrm{mj}}\right)\\ P_e{=M}^{-1}(M_{\mathrm{sb}}\underset{i\&Element;\mathrm{SA}}{\mathrm{\&Sigma;}}{P}_{\mathrm{ei}}-M_{\mathrm{sa}}\underset{j\&Element;\mathrm{SB}}{\mathrm{\&Sigma;}}{P}_{\mathrm{ej}})\\ M=M_{\mathrm{sa}}{M}_{\mathrm{sb}}/(M_{\mathrm{sa}}+M_{\mathrm{sb}})\end{array}---\left(18\right)$

式(18)中，δ、ω分别为单机系统的等效功角和等效角速度偏差，M为单机系统的等效转子惯性时间常数，P_mi、P_ei分别为同步坐标下临界机群SA中发电机i的输入机械功率和输出电磁功率，P_mj、P_ej分别为同步坐标下剩余机群SB中发电机j的输入机械功率和输出电磁功率，P_m、P_e分别为单机系统的等效输入机械功率和输出电磁功率；

根据等效的单机系统，得到沿故障后轨迹的系统剩余加速面积如式(19)为:

$A_{\mathrm{KE}}\left(t\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{M\&omega;}}^2\left(t\right)---\left(19\right)$

式(19)中，A_KE(t)为t时刻系统剩余加速面积，ω(t)为t时刻单机系统等效角速度偏差；

定义故障后的不稳定平衡时刻t_u，在t_u时刻满足如式(20)所示的条件：

$\begin{array}{c}{P}_a\left(t_u\right)=P_e\left(t_u\right)-P_m\left(t_u\right)\\ {{\mathrm{dP}}_a\mathrm{dt}|}_{{t=t}_u}<0\end{array}---\left(20\right)$

式(20)中，P_a(t_u)为t_u时刻下的不平衡功率；

系统失稳判据如式(21)和式(22)所示：

$\mathrm{d\&omega;}\left(t\right)/\mathrm{d\&delta;}\left(t\right)>0,\&ForAll;t{>t}_0---\left(21\right)$

或 ${\frac{d^2\mathrm{\&omega;}\left(t\right)}{\mathrm{d\&delta;}{\left(t\right)}^2}|}_{{t=t}_u}>0---\left(22\right)$

式(21)中，δ(t)为t时刻单机系统等效功角，t₀为故障发生时刻；

当系统失稳时，根据故障轨迹计算出不稳定时刻的剩余加速面积，为使系统恢复临界稳定，控制措施增加的减速面积A_c等于不稳定时刻的剩余加速面积A_KE(t_u)，即满足式(23)：

$A_c=A_{\mathrm{KE}}\left(t_u\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{M\&omega;}}^2\left(t_u\right)---\left(23\right)$

假设采取控制措施的时刻为t_a，利用矩阵面积近似表示控制措施增加的减速面积，则控制量ΔP_m为：

${\mathrm{\&Delta;P}}_m=\frac{A_c}{\mathrm{\&delta;}\left(t_u\right)-\mathrm{\&delta;}\left(t_a\right)}---\left(24\right)$

进一步得到切机功率ΔP_sa如式(25)所示：

ΔP_sa＝ΔP_mM_saS_base    (25)

式(24)中，S_base是系统基准功率；

切机功率按照临界机群SA中各机组的机械功率的大小进行分配；

在完成切机后需继续观察采集相关的轨迹信息，包括各发电机的功角、角速度偏差和输出电磁功率，重新判断功角稳定性，若系统仍不稳定，则再次计算切机功率，采取控制措施，直到系统恢复稳定。

本发明中连锁故障多阶段动态博弈防御方法的特点也在于：所述步骤6中有限理性故障方和完全理性防御方的收益函数u₁和u₂按如上方式计算获得：

对于一次多阶段动态博弈防御过程中有限理性故障方和完全理性防御方在各个阶段的行动组成的行动序列，其停电风险R_k1和控制代价的风险R_k2表示为：

$R_{k1}=\underset{d=1}{\overset{D}{\mathrm{\&Sigma;}}}{p}_{1m}^1\&CenterDot;p_{1m}^2\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;p_{1m}^2{P}_{1m}^d---\left(26\right)$

$R_{k2}=\underset{d=1}{\overset{D}{\mathrm{\&Sigma;}}}{p}_{1m}^1\&CenterDot;p_{1m}^2\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;p_{1m}^d{P}_{2m}^d---\left(27\right)$

式(26)和式(27)中，D为多阶段动态博弈防御过程中的阶段总数，为有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动的概率，为在有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动造成的停电损失，为有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动后防御方付出的控制代价；其中，包含以下3个部分：①在有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动后，向某个或某几个负荷供电的线路全部断开，这种情况下的停电损失就是断开负荷的有功功率，②在有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动后，系统发生解列，分解为2个电气岛，这种情况下的停电损失近似为发电机总有功功率小于负荷总有功功率的电气岛中负荷总有功功率与发电机机总有功功率的差值，③在有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动后，系统失去稳定，这种情况下的停电损失就是权利要求4中防御方采取针对功角失稳的稳定控制时的切机功率；为在有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动后，权利要求4中防御方采取针对线路过负荷的过负荷控制时的切负荷量；

则：可得到有限理性故障方和完全理性防御方在该多阶段动态博弈防御过程中的收益函数u₁和u₂如式(28)、(29)所示：

u₁＝(R_k1,R_k2)    (28)

u₂＝(-R_k1,-R_k2)    (29)。

与已有技术相比，本发明有益效果体现在：

本发明提出一种利用博弈理论的连锁故障动态博弈防御方法。该方法综合考虑元件自身故障、外界环境、潮流转移和保护断路器误动等因素对元件停运概率的影响，提出基于实时运行条件的元件停运概率表征有限理性的故障方采取行动的概率；根据可掌握的事故状态信息，提出潮流转移严重度、功角失稳严重度和系统失负荷严重度表征故障方行动造成的后果；并进一步基于确定性和风险分析方法，生成故障方的确定性策略集合和风险性策略集合。该策略集合兼顾了有限理性故障方采取行动的可能性和严重性，体现了必然性和偶然性的结合，不仅能够帮助调度人员了解当前运行工况下最需关注的故障发展方向，为调度人员采取进一步对策提供有效信息，也能够通过对策略集合中策略总量的调节以简化工作量。在生成策略集合后，通过分析其对电网造成的潮流转移严重度和功角失稳严重度，采用基于直流潮流灵敏度矩阵的过负荷控制和基于扩展等面积原则的稳定控制，消除故障发生后系统出现的线路过负荷和功角失稳问题，阻断连锁故障的进一步发展，防止大停电的发生。

本发明从风险理论的角度出发，将停电风险和控制代价的风险作为收益函数，不仅能够更加客观准确的反映连锁故障带来的损失，还能够定量评估防御方行动的有效性，可以帮助调度人员了解连锁故障的严重性和防御控制的有效性。

本发明具有很强的可扩展型和通用性，根据研究目标的不同，可以通过对有限理性故障方行动的概率指标和后果指标进行替换，形成符合当前研究目标的有限理性故障方的策略集合。

附图说明

图1是全阻抗继电器动作特性；

图2是本发明所涉及的连锁故障多阶段动态博弈防御流程；

具体实施方式

本实施例中连锁故障多阶段动态博弈防御方法是按如下步骤进行：

步骤1、在一次连锁故障多阶段动态博弈过程中，规定故障方先采取行动，防御方后采取行动，双方行动交替进行；将故障方和防御方的一次行动组合作为一个阶段，定义D为设定的博弈过程的阶段总数，用d表示故障方和防御方处于第d个阶段，d的初始值取1；

步骤2、根据当前电力系统的运行工况，计算有限理性故障方在第d个阶段采取各行动的概率和后果并进一步计算在第d个阶段采取各行动的风险系数将概率为1的行动归入确定性策略集合，将概率不为1且风险系数大于设定值R₀的行动归入风险性策略集合；

步骤3、有限理性故障方在第d个阶段生成的策略集合中选择一个策略作为第d次行动，策略选择的顺序为：首先选择确定性策略集合中所有的策略，如果确定性策略集合为空，则按照风险系数由大到小的顺序在风险性策略集合中选择一个策略；

步骤4、判断第d次行动是否会造成线路过负荷或功角失稳，若出现线路过负荷，则完全理性的防御方采取基于直流潮流灵敏度的过负荷控制，直至消除过负荷，并进入步骤5；若出现功角失稳，则完全理性的防御方采取基于扩展等面积原则的稳定控制，直至消除功角失稳，进入步骤6；若未出现线路过负荷和功角失稳，则进入步骤5；

步骤5、判断有限理性故障方所处的阶段是否达到预先设定的阶段总数D，若未达到，则d＝d+1，并返回步骤2，若达到，则进入步骤6；

步骤6、分别计算有限理性故障方各阶段行动造成的停电损失和完全理性防御方各阶段行动产生的控制代价结合有限理性故障方在各阶段行动的概率分别计算出有限理性故障方和完全理性防御方的收益函数u₁和u₂；

步骤7、多阶段动态博弈防御过程结束。

具体实施中，对于步骤2中有限理性故障方在第d个阶段采取各行动的概率的求解按如下过程进行：

①当有限理性故障方在第1个阶段采取行动时，d＝1时，首先分别计算各个线路的线路单位长度老化失效故障率λ_o和线路单位长度偶然失效故障率λ_w；

线路单位长度老化失效故障率λ_o是根据当前运行工况下线路的运行年限，在通过历史统计数据得到的线路老化失效故障率曲线中获得对应值；

线路单位长度偶然失效故障率λ_w主要考虑天气变化的影响。为简化起见，将天气变化处理为正常和恶劣这两种天气情况的随机过程，并假设同一条输电线路在同一时刻只会处于一种天气状况下，则在两状态天气模型下，线路单位长度偶然失效故障率λ_w为：

${\mathrm{\&lambda;}}_w\left(z\right)=\left\{\begin{array}{cc}(1-\mathrm{\&epsiv;})\frac{N_1+N_2}{N_1}\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&lambda;}}& z=0\\ \mathrm{\&epsiv;}\frac{N_1+N_2}{N_1}\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&lambda;}}& z=1\end{array}\right.---\left(1\right)$

式(1)中，ε为线路在恶劣天气下的故障比率，N₁为正常天气持续时间，N₂为恶劣天气持续时间，为线路单位长度故障率的平均值，z表示线路所处的天气状况，其中z＝0表示正常天气，z＝1表示恶劣天气；

线路单位长度故障率λ为：λ＝λ_o+λ_w；

在相同的时间内，线路的停运概率与线路的长度和单位长度故障率成正比，因此将所有线路长度与单位长度故障率乘积的归一化数值作为有限理性故障方在第1个阶段行动的概率，由式(2)得到有限理性故障方在第1个阶段采取第m个行动的概率为：

$p_{1m}^1=\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_m{\mathrm{Len}}_m}{\underset{m\&Element;L}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&lambda;}}_m{\mathrm{Len}}_m}---\left(2\right)$

式(2)中，λ_m为线路m的单位长度故障率，Len_m为线路m的长度，L为系统所有线路的集合；

②当有限理性故障方在后续阶段采取行动时，即d∈[2,D]时，分别计算线路严重过载时有限理性故障方在后续阶段采取行动的概率和线路未严重过载时有限理性故障方在后续阶段采取行动的概率，线路严重过载是指线路当前潮流大于或等于线路潮流极限值，线路未严重过载是指线路当前潮流小于线路潮流极限值；

(a)、当线路m发生严重过载时，有限理性故障方在后续阶段采取第m个行动的概率为过负荷保护不拒动且断路器不拒动的概率，但由于过负荷保护拒动概率和断路器拒动概率极小，因此有限理性故障方在后续阶段采取第m个行动的概率趋近于1，有限理性故障方在后续阶段采取行动的概率为：

$p_{1m}^d=1---\left(3\right)$

(b)、当线路m未发生严重过载时，有限理性故障方在后续阶段采取行动的概率需考虑潮流转移引起线路停运的概率、隐性故障引起线路停运的概率和其他不明原因因素引起线路停运的概率；

假设在后续阶段潮流转移引起的线路m的停运概率与线路m的潮流F_m具有线性关系，当F_m在线路m潮流正常值的下限与线路m潮流正常值的上限之间时，主要受线路老化失效和偶然失效的影响，此时当F_m超过线路m的潮流极限值F_max,m时，过负荷保护一般会动作，从而将线路开断，因此当Fm在与F_max,m之间时，会随着F_m的增大而增大。潮流转移引起线路m停运的概率为：

$\begin{array}{cc}{p}_{1m1}^d=\frac{1-p_{1m}^1}{F_{\max ,m}{-F}_{\max ,m}^{\mathrm{normal}}}\&times;F_m+\frac{p_{1m}^1{F}_{\max ,m}{-F}_{\max ,m}^{\mathrm{normal}}}{F_{\max ,m}-F_{\max ,m}^{\mathrm{normal}}}& F_{\max ,m}^{\mathrm{normal}}\&le;F_m\&le;F_{\max ,m}\end{array}---\left(4\right)$

式(4)中F_m为线路m当前的潮流值，和分别为线路m的潮流正常值的上下限，F_max,m为线路m的潮流极限值；

当线路开断后全网潮流重新分配的过程中，可能会发生因保护或断路器误动引起的线路停运，由于单重隐性故障的概率已经很小，多重隐性故障的概率就更小了，因此本文不考虑多重隐性故障。隐性故障引起线路m停运的概率为：

$p_{1m2}^d=p_{\mathrm{mis}\_b}+p_{\mathrm{mis}\_d}---\left(5\right)$

式(5)中，p_{mis_d}为断路器误动概率，p_{mis_d}的取值来源于历史统计数据，p_{mis_b}为保护误动概率；假设保护为全阻抗距离保护，全阻抗继电器的动作特性如图1所示，由图1可以看出，圆轨迹将阻抗复平面分为圆内和圆外两部分，分别对应着动作区和不动作区，而圆轨迹上处于动作的临界状态；假设保护误动概率在圆内误动概率为0，在圆周处误动概率最大，在圆外误动概率随着测量阻抗的增大而线性减小，且当测量阻抗增加到3Z_set时误动概率减小为0，因此p_{mis_b}为：

$p_{\mathrm{mis}\_b}=\frac{({3Z}_{\mathrm{set}}-Z_k)}{{2Z}_{\mathrm{set}}}\&times;p_Z(Z_{\mathrm{set}}\&le;Z_k\&le;{3Z}_{\mathrm{set}})---\left(6\right)$

式(6)中，Z_set为整定阻抗，Z_k为测量阻抗，pZ为保护最大误动概率；

其他不明原因因素引起线路m停运的概率记为是根据经验设定；

有限理性故障方在后续阶段采取第m个行动的概率如式(7)所示：

$p_{1m}^d=p_{1m1}^d+p_{1m2}^d+p_{1m3}^d---\left(7\right).$

具体实施中，对于步骤2中有限理性故障方在第d个阶段采取各行动的后果求解方法为：

连锁故障带来的最直接后果就是导致系统损失负荷，然而在连锁故障的发展过程中，并不是每一次有限理性故障方的行动都会直接导致系统损失负荷，但这些行动一定会给电网带来负面影响，如潮流转移引起线路潮流越限、系统功角稳定性变差等情况，而这些负面影响的累积使得电网运行状况不断恶化，并最终引起大停电；因此为了兼顾有限理性故障方行动的直接后果和负面影响，本文综合考虑有限理性故障方行动带来的系统负荷损失量和电气量越限程度，定义潮流转移严重度指标、功角失稳严重度指标和系统失负荷严重度指标；

有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动的潮流转移严重度如式(8)：

${\mathrm{Sev}}_{1m1}^d=\frac{F_{m,0}}{\underset{i\&Element;L}{\mathrm{\&Sigma;}}{F}_{i,0}}\frac{F_{m,0}}{F_{m,\max }}\underset{n\&Element;L,n\&NotEqual;m}{\mathrm{\&Sigma;}}\frac{F_n-F_{n,0}}{F_{n,0}}\frac{F_n}{F_{n,\max }}---\left(8\right)$

式(8)中，F_m,0为线路m故障前承担的有功功率；F_n为线路n在线路m故障后承担的有功功率；F_n,0为线路n在线路m故障前承担的有功功率；F_m,max为线路m潮流极限值；F_n,max为线路n潮流极限值；

有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动的功角失稳严重度为：

${\mathrm{Sev}}_{1m2}^d=\left\{\begin{array}{cc}0& {\mathrm{\&Delta;\&delta;}}_m\&le;0.5{\mathrm{\&Delta;\&delta;}}_{\max }\\ \frac{{\mathrm{\&Delta;\&delta;}}_m}{{\mathrm{\&Delta;\&delta;}}_{\max }}& 0.5{\mathrm{\&Delta;\&delta;}}_{\max }<{\mathrm{\&Delta;\&delta;}}_m<{\mathrm{\&Delta;\&delta;}}_{\max }\\ 1& {\mathrm{\&Delta;\&delta;}}_m\&GreaterEqual;{\mathrm{\&Delta;\&delta;}}_{\max }\end{array}\right.---\left(9\right)$

式(9)中，Δδ_m是线路m故障后系统最大功角差，Δδ_max是系统失稳判据的角度，Δδ_max设定为180；

有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动的系统失负荷严重度为：

${\mathrm{Sev}}_{1m3}^d=\frac{1}{P_S}\underset{j\&Element;N}{\mathrm{\&Sigma;}}{P}_{\mathrm{Lj}}---\left(10\right)$

式(10)中，P_S为系统总负荷量，P_Lj为线路m故障后母线j的失负荷量，N为系统所有母线的集合；

则有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动的后果如式(11)所示：

${\mathrm{Sev}}_{1m}^d={\mathrm{omg}}_1{\mathrm{Sev}}_{1m1}^d+{\mathrm{omg}}_2{\mathrm{Sev}}_{1m2}^d+{\mathrm{omg}}_3{\mathrm{Sev}}_{1m3}^d---\left(11\right)$

式(11)中，omg₁、omg₂、omg₃为均权重因子，表示各指标在后果指标中的重要程度，采用层次分析法求取权重因子。

具体实施中，对于步骤4中完全理性防御方的控制策略按如下方法求解：

在连锁故障初期，连锁故障的发展过程主要以线路过负荷的形式呈现，而因潮流在某些线路的过分汇集导致的系统功角失稳也是连锁故障发展的重要推动因素，因此本文提出针对线路过负荷的过负荷控制和针对功角失稳的稳定控制。

①针对线路过负荷的过负荷控制

节点k对线路m的灵敏度ηmk为：

${\mathrm{\&eta;}}_{\mathrm{mk}}=\frac{{\mathrm{\&Delta;P}}_k}{{\mathrm{\&Delta;F}}_{\mathrm{ij}}}=\frac{x_{\mathrm{ij}}{\mathrm{\&Delta;P}}_k}{{\mathrm{\&Delta;\&theta;}}_i-{\mathrm{\&Delta;\&theta;}}_j}=\frac{x_{\mathrm{ij}}}{e_{\mathrm{ik}}-e_{\mathrm{jk}}}---\left(12\right)$

式(12)中，ΔP_k为节点k的注入功率变化量，i和j分别为线路m的首节点和末节点，ΔF_ij为线路m的潮流变化量，Δθ_i-Δθ_j为线路m两端节点的相角差变化量，x_ij为线路m的电抗，e_ik和e_jk为节点电纳矩阵的逆矩阵中的元素；

当有一条线路过载时，选取对该过载线路灵敏度最大的发电机节点和灵敏度最小的负荷节点构成控制对；当有多条线路过载时，选取对这些过载线路灵敏度之和最大的发电机节点和灵敏度之和最小的负荷节点构成控制对；则由发电机节点g和负荷节点l构成的控制对对线路m的灵敏度η_m-gl为：

η_m-gl＝η_mg-η_ml    (13)

式(13)中，η_mg为发电机节点g对线路m的灵敏度，η_ml为负荷节点l对线路m的灵敏度；

根据所有过载线路的过载量和灵敏度η_m-gl，得到发电机节点g和负荷节点l为消除过载而需要的最大调节量ΔP_gl1为：

ΔP_gl1＝max(ΔP_m1/η_m1-gl)    (14)

式(14)中，ΔP_m1为线路m的过载量；

根据所有正常线路的冗余量和灵敏度η_m-gl，得到发电机节点g和负荷节点l为保证正常线路不越限而采取的最小调节量ΔP_gl2为：

ΔP_gl2＝min(ΔP_m2/η_m2-gl)    (15)

式(15)中，ΔP_m2为线路m的冗余量；

同时还考虑发电机节点g的可切除量和负荷节点l的可切除量得到控制对的一次调节量ΔP_gl如式(16)所示：

${\mathrm{\&Delta;P}}_{\mathrm{gl}}=\min ({\mathrm{\&Delta;P}}_{\mathrm{gl}1},{\mathrm{\&Delta;P}}_{\mathrm{gl}2},{\mathrm{\&Delta;P}}_g^{\max },{\mathrm{\&Delta;P}}_l^{\max })---\left(16\right)$

为了保证功率平衡，控制对中的发电机节点g和负荷节点l的调节量相同，各为控制对调节量ΔP_gl的一半；

当调整完成后，如果仍存在线路过载，则通过将发电机节点g和负荷节点l的调节量代入式(12)得到各线路的潮流变化量，用各线路在过负荷控制前的潮流值减去各线路在过负荷控制后的潮流变化量，得到各线路在过负荷控制后的潮流值，将过载线路在过负荷控制后的潮流值减去过载线路的潮流极限值得到过载线路在过负荷控制后的过载量，将正常线路的潮流极限值减去正常线路在过负荷控制后的潮流值得到正常线路在过负荷控制后的冗余量，完成线路过载量和冗余量的刷新，并根据式(12)所求的灵敏度，重新选择控制对进行调节，直至完全消除线路过载；

②针对功角失稳的稳定控制

当多机系统受到大扰动后，在存在发电机的功角差值超过180度的时刻，将各发电机的功角进行排序，以排序中相邻发电机功角差最大处为分界线，将发电机功角分为两部分，其中功角大的一部分发电机归为临界机群SA，功角小的一部分发电机归为剩余机群SB，分别用临界集群和剩余集群的局部惯量中心代替，得到等效双机系统如式(17)所示：

$\begin{array}{c}{M}_{\mathrm{sa}}=\underset{i\&Element;\mathrm{SA}}{\mathrm{\&Sigma;}}{M}_i,{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{sa}}=M_{\mathrm{sa}}^{-1}\underset{i\&Element;\mathrm{SA}}{\mathrm{\&Sigma;}}{M}_i{\mathrm{\&delta;}}_i,{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sa}}=M_{\mathrm{sa}}^{-1}\underset{i\&Element;\mathrm{SA}}{\mathrm{\&Sigma;}}{M}_i{\mathrm{\&omega;}}_i\\ M_{\mathrm{sb}}=\underset{j\&Element;\mathrm{SB}}{\mathrm{\&Sigma;}}{M}_i,{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{sb}}=M_{\mathrm{sb}}^{-1}\underset{j\&Element;\mathrm{SB}}{\mathrm{\&Sigma;}}{M}_j{\mathrm{\&delta;}}_j,{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sb}}=M_{\mathrm{sb}}^{-1}\underset{j\&Element;\mathrm{SB}}{\mathrm{\&Sigma;}}{M}_j{\mathrm{\&omega;}}_j\end{array}---\left(17\right)$

式(17)中,δ_i、ω_i、M_i分别为同步坐标下发电机i的功角和角速度偏差、发电机i的转子惯性时间常数，δ_j、ω_j、M_j分别为同步坐标下发电机j的功角和角速度偏差、发电机j的转子惯性时间常数，δ_sa、ω_sa分别为临界机群SA的等效功角和等效角速度偏差，M_sa为临界机群SA的转子惯性时间常数之和，δ_sb、ω_sb分别为剩余机群SB的等效功角和等效角速度偏差，M_sb为剩余机群SB的转子惯性时间常数之和；

进一步将等效双机系统等效为单机系统如式(18)所示：

$\begin{array}{c}\mathrm{\&delta;}{=\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{sa}}-{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{sb}},\mathrm{\&omega;}={\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sa}}-{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sb}}\\ P_m=M^{-1}\left(M_{\mathrm{sb}}\underset{i\&Element;\mathrm{SA}}{\mathrm{\&Sigma;}}{P}_{\mathrm{mi}}{-M}_{\mathrm{sa}}\underset{j\&Element;\mathrm{SB}}{\mathrm{\&Sigma;}}{P}_{\mathrm{mj}}\right)\\ P_e{=M}^{-1}(M_{\mathrm{sb}}\underset{i\&Element;\mathrm{SA}}{\mathrm{\&Sigma;}}{P}_{\mathrm{ei}}-M_{\mathrm{sa}}\underset{j\&Element;\mathrm{SB}}{\mathrm{\&Sigma;}}{P}_{\mathrm{ej}})\\ M=M_{\mathrm{sa}}{M}_{\mathrm{sb}}/(M_{\mathrm{sa}}+M_{\mathrm{sb}})\end{array}---\left(18\right)$

式(18)中，δ、ω分别为单机系统的等效功角和等效角速度偏差，M为单机系统的等效转子惯性时间常数，P_mi、P_ei分别为同步坐标下临界机群SA中发电机i的输入机械功率和输出电磁功率，P_mj、P_ej分别为同步坐标下剩余机群SB中发电机j的输入机械功率和输出电磁功率，P_m、P_e分别为单机系统的等效输入机械功率和输出电磁功率；

根据等效的单机系统，得到沿故障后轨迹的系统剩余加速面积如式(19)为:

$A_{\mathrm{KE}}\left(t\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{M\&omega;}}^2\left(t\right)---\left(19\right)$

式(19)中，A_KE(t)为t时刻系统剩余加速面积，ω(t)为t时刻单机系统等效角速度偏差；

定义故障后的不稳定平衡时刻t_u，在t_u时刻满足如式(20)所示的条件：

$\begin{array}{c}{P}_a\left(t_u\right)=P_e\left(t_u\right)-P_m\left(t_u\right)\\ {{\mathrm{dP}}_a\mathrm{dt}|}_{{t=t}_u}<0\end{array}---\left(20\right)$

式(20)中，P_a(t_u)为t_u时刻下的不平衡功率；

在哈密顿单机无穷大系统中，发电机在故障清除后会存在以下几种状态：1)发电机不存在减速面积，则发电机转子始终处于加速，dω(t)/dδ(t)始终大于零，系统失稳；2)发电机存在减速面积，进入减速面积后，在到达t_u之前，发电机转速的加速度小于零，转速差逐渐减小，dω(t)/dδ(t)小于零，由于发电机转速回复不到同步速，在达到t_u时，dω(t)/dδ(t)等于零，过了t_u后，dω(t)/dδ(t)大于零，系统失稳；因此系统失稳判据如式(21)和式(22)所示：

$\mathrm{d\&omega;}\left(t\right)/\mathrm{d\&delta;}\left(t\right)>0,\&ForAll;t{>t}_0---\left(21\right)$

或 ${\frac{d^2\mathrm{\&omega;}\left(t\right)}{\mathrm{d\&delta;}{\left(t\right)}^2}|}_{{t=t}_u}>0---\left(22\right)$

式(21)中，δ(t)为t时刻单机系统等效功角，t₀为故障发生时刻；

当系统失稳时，根据故障轨迹计算出不稳定时刻的剩余加速面积，为使系统恢复临界稳定，控制措施增加的减速面积A_c等于不稳定时刻的剩余加速面积A_KE(t_u)，即满足式(23)：

$A_c=A_{\mathrm{KE}}\left(t_u\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{M\&omega;}}^2\left(t_u\right)---\left(23\right)$

假设采取控制措施的时刻为t_a，利用矩阵面积近似表示控制措施增加的减速面积，则控制量ΔP_m为：

${\mathrm{\&Delta;P}}_m=\frac{A_c}{\mathrm{\&delta;}\left(t_u\right)-\mathrm{\&delta;}\left(t_a\right)}---\left(24\right)$

进一步得到切机功率ΔP_sa如式(25)所示：

ΔP_sa＝ΔP_mM_saS_base    (25)

式(24)中，S_base是系统基准功率；

切机功率按照临界机群SA中各机组的机械功率的大小进行分配；

在完成切机后需继续观察采集相关的轨迹信息，包括各发电机的功角、角速度偏差和输出电磁功率，重新判断功角稳定性，若系统仍不稳定，则再次计算切机功率，采取控制措施，直到系统恢复稳定。

具体实施中，对于步骤6中有限理性故障方和完全理性防御方的收益函数u₁和u₂按如上方式计算获得：

对于一次多阶段动态博弈防御过程中有限理性故障方和完全理性防御方在各个阶段的行动组成的行动序列，其停电风险R_k1和控制代价的风险R_k2表示为：

$R_{k1}=\underset{d=1}{\overset{D}{\mathrm{\&Sigma;}}}{p}_{1m}^1\&CenterDot;p_{1m}^2\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;p_{1m}^2{P}_{1m}^d---\left(26\right)$

$R_{k2}=\underset{d=1}{\overset{D}{\mathrm{\&Sigma;}}}{p}_{1m}^1\&CenterDot;p_{1m}^2\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;p_{1m}^d{P}_{2m}^d---\left(27\right)$

式(26)和式(27)中，D为多阶段动态博弈防御过程中的阶段总数，为有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动的概率，为在有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动造成的停电损失，为有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动后防御方付出的控制代价；

其中，包含以下3个部分：①在有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动后，向某个或某几个负荷供电的线路全部断开，这种情况下的停电损失就是断开负荷的有功功率，②在有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动后，系统发生解列，分解为2个电气岛，为保持2个电气岛有功分别平衡，加入控制措施后导致的失负荷量，这种情况下的停电损失近似为发电机总有功功率小于负荷总有功功率的电气岛中负荷总有功功率与发电机机总有功功率的差值，③在有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动后，系统失去稳定，为使系统恢复稳定，实施稳定控制后导致的失负荷量，这种情况下的停电损失就是权利要求4中防御方采取针对功角失稳的稳定控制时的切机功率，值得注意的是，由于失稳后系统处于一种不可控状态，停电损失难以估计，所以用受控的主动停电代替不受控的被动停电，便于衡量系统失稳带来的停电损失，因此虽然系统失稳后的负荷损失是由稳定控制产生的，但由于其目的是为了衡量失稳带来的后果，因此本文将其归为停电损失的一部分；为在有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动后，权利要求4中防御方采取针对线路过负荷的过负荷控制时的切负荷量；

则：可得到有限理性故障方和完全理性防御方在该多阶段动态博弈防御过程中的收益函数u₁和u₂如式(28)、(29)所示：

u₁＝(R_k1,R_k2)   (28)

u₂＝(-R_k1,-R_k2)    (29)。

仿真计算以IEEE39节点系统为例：

各线路的潮流正常值的下限都取0，线路m的潮流正常值的上限取线路m的潮流额定值，线路m的潮流极限值F_max,m取线路m潮流额定值的1.4倍，保护最大误动概率pZ取0.0013，断路器误动概率p_{mis_d}取0.0001，其他不明原因的因素引起的有限理性故障方在后续阶段行动的概率取0.0002，风险系数设定值R₀取1。

1、故障方初始策略集合

由于有限理性故障方在第1个阶段采取各行动的概率都不为1，因此其确定性策略集合为空。计算有限理性故障方在第1个阶段采取各行动的风险系数，按风险系数设定值进行筛选，得到有限理性故障方在第1个阶段的风险性策略集合如表1所示。

表1：故障方初始风险性策略集合

2、连锁故障的多阶段动态博弈防御

选取风险系数最大的线路27故障并退出运行作为故障方在第1个阶段的行动，分析连锁故障的多阶段动态博弈防御过程。

线路27开断后连锁故障的演化过程如表2所示。

表2：线路27开断后的连锁故障演化过程

从表2可以看出，当线路27开断后，线路24、28和29成为发电机6和7向外输送功率的唯一路径，线路27承担的功率转移至该输电通道，导致线路24、28过载，同时导致线路29严重过载并开断，发电机6和7从主网脱离，主网出现大量功率缺额；发电机2和3通过线路18向负荷16、21、24供电，使得线路18的潮流大幅增加，同时线路18作为发电机2和3向外输送功率的重要通道，线路18开断会造成较大的潮流转移，因此线路18具有较高的风险系数；线路18开断后，线路7严重过载并开断，潮流过分汇集于线路1、2、14、15组成的输电通道，导致系统发生暂态功角失稳。

针对表2的连锁故障演化过程，本文根据图2中连锁故障多阶段动态博弈防御流程，生成每个阶段针对有限理性故障方行动的防御策略，具体如表3所示。

表3：线路27开断后的连锁故障多阶段动态博弈防御过程

3、连锁故障博弈过程的收益函数

根据表2和表3所示的连锁故障过程，分别计算完全理性防御方未采取行动和采取行动时博弈过程的收益函数，计算结果如表4所示。

表4：博弈过程的收益函数对比

基于风险的观念，如果控制措施可以使事件的风险降低，并且其控制代价小于风险降低的数值，则该控制可作为应对该事件的选项，并具有经济上的可行性。从表4可以看出，完全理性防御方采取行动后，有限理性故障方的停电风险收益降低了15.708，而完全理性防御方的控制代价风险收益只增加了6.142，说明本文的防御模型是有效的。

Claims (5)

1.一种连锁故障多阶段动态博弈防御方法，其特征是所述方法按如下步骤进行：

步骤1、在一次连锁故障多阶段动态博弈过程中，规定故障方先采取行动，防御方后采取行动，双方行动交替进行；将故障方和防御方的一次行动组合作为一个阶段，定义D为设定的博弈过程的阶段总数，用d表示故障方和防御方处于第d个阶段，d的初始值取1；

步骤2、根据当前电力系统的运行工况，计算有限理性故障方在第d个阶段采取各行动的概率和后果并进一步计算在第d个阶段采取各行动的风险系数 将概率为1的行动归入确定性策略集合，将概率不为1且风险系数大于设定值R₀的行动归入风险性策略集合；

步骤3、有限理性故障方在第d个阶段生成的策略集合中选择一个策略作为第d次行动，策略选择的顺序为：首先选择确定性策略集合中所有的策略，如果确定性策略集合为空，则按照风险系数由大到小的顺序在风险性策略集合中选择一个策略；

步骤4、判断第d次行动是否会造成线路过负荷或功角失稳，若出现线路过负荷，则完全理性的防御方采取基于直流潮流灵敏度的过负荷控制，直至消除过负荷，并进入步骤5；若出现功角失稳，则完全理性的防御方采取基于扩展等面积原则的稳定控制，直至消除功角失稳，进入步骤6；若未出现线路过负荷和功角失稳，则进入步骤5；

步骤5、判断有限理性故障方所处的阶段是否达到预先设定的阶段总数D，若未达到，则d＝d+1，并返回步骤2，若达到，进入步骤6；

步骤6、分别计算有限理性故障方各阶段行动造成的停电损失和完全理性防御方各阶段行动产生的控制代价结合有限理性故障方在各阶段行动的概率分别计算出有限理性故障方和完全理性防御方的收益函数u₁和u₂；

步骤7、多阶段动态博弈防御过程结束。

2.根据权利要求1所述的连锁故障多阶段动态博弈防御方法，其特征是所述步骤2中有限理性故障方在第d个阶段采取各行动的概率的求解按如下过程进行：

①当有限理性故障方在第1个阶段采取行动时，d＝1时，首先分别计算各个线路的线路单位长度老化失效故障率λ_o和线路单位长度偶然失效故障率λ_w；

所述线路单位长度老化失效故障率λ_o是根据当前运行工况下线路的运行年限，在通过历史统计数据得到的线路老化失效故障率曲线中获得对应值；

所述线路单位长度偶然失效故障率λ_w为：

${\mathrm{\&lambda;}}_w\left(z\right)=\left\{\begin{array}{cc}(1-\mathrm{\&epsiv;})\frac{N_1+N_2}{N_1}\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&lambda;}}& z=0\\ \mathrm{\&epsiv;}\frac{N_1+N_2}{N_1}\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&lambda;}}& z=1\end{array}\right.---\left(1\right)$

式(1)中，ε为线路在恶劣天气下的故障比率，N₁为正常天气持续时间，N₂为恶劣天气持续时间，为线路单位长度故障率的平均值，z表示线路所处的天气状况，其中z＝0表示正常天气，z＝1表示恶劣天气；

线路单位长度故障率λ为：λ＝λ_o+λ_w；

由式(2)得到有限理性故障方在第1个阶段采取第m个行动的概率为：

$p_{1m}^1=\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_m{\mathrm{Len}}_m}{\underset{m\&Element;L}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&lambda;}}_m{\mathrm{Len}}_m}---\left(2\right)$

式(2)中，λ_m为线路m的单位长度故障率，Len_m为线路m的长度，L为系统所有线路的集合；

②当有限理性故障方在后续阶段采取行动时，即d∈[2,D]时，分别计算线路严重过载时有限理性故障方在后续阶段采取行动的概率和线路未严重过载时有限理性故障方在后续阶段采取行动的概率，所述线路严重过载是指线路当前潮流大于或等于线路潮流极限值，线路未严重过载是指线路当前潮流小于线路潮流极限值；

(a)、当线路m发生严重过载时，有限理性故障方在后续阶段采取行动的概率为：

$p_{1m}^d=1---\left(3\right)$

(b)、当线路m未发生严重过载时，有限理性故障方在后续阶段采取行动的概率需考虑潮流转移引起线路停运的概率、隐性故障引起线路停运的概率和其他不明原因因素引起线路停运的概率；

潮流转移引起线路m停运的概率为：

$p_{1m1}^1=\frac{1-p_{1m}^1}{F_{\max ,m}-F_{\max ,m}^{\mathrm{normal}}}\&times;F_m+\frac{p_{1m}^1{F}_{\max ,m}-F_{\max ,m}^{\mathrm{normal}}}{F_{\max ,m}-F_{\max ,m}^{\mathrm{normal}}},F_{\max ,m}^{\mathrm{normal}}\&le;F_m\&le;F_{\max ,m}---\left(4\right)$

式(4)中F_m为线路m当前的潮流值，和分别为线路m的潮流正常值的上下限，F_max,m为线路m的潮流极限值；

隐性故障引起线路m停运的概率为：

$p_{1m2}^d=P_{\mathrm{mis}\_b}+p_{\mathrm{mis}\_d}---\left(5\right)$

式(5)中，p_{mis_d}为断路器误动概率，p_{mis_d}的取值来源于历史统计数据，p_{mis_b}为保护误动概率，并由式(6)计算获得：

$p_{\mathrm{mis}\_b}=\frac{(3Z_{\mathrm{set}}-Z_k)}{2Z_{\mathrm{set}}}\&times;p_Z(Z_{\mathrm{set}}\&le;Z_k\&le;3Z_{\mathrm{set}})---\left(6\right)$

式(6)中，Z_set为整定阻抗，Z_k为测量阻抗，pZ为保护最大误动概率；

其他不明原因因素引起线路m停运的概率记为是根据经验设定；

有限理性故障方在后续阶段采取第m个行动的概率如式(7)所示：

$p_{1m}^d=p_{1m1}^d+p_{1m2}^d+p_{1m3}^d---\left(7\right).$

3.根据权利要求1所述的连锁故障多阶段动态博弈防御方法，其特征是所述步骤2中有限理性故障方在第d个阶段采取各行动的后果求解方法为：

有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动的潮流转移严重度如式(8)：

${\mathrm{Sev}}_{1m1}^d=\frac{F_{m,0}}{\underset{i\&Element;L}{\mathrm{\&Sigma;}}{F}_{i,0}}\frac{F_{m,0}}{F_{m,\max }}\underset{n\&Element;L,n\&NotEqual;m}{\mathrm{\&Sigma;}}\frac{F_n-F_{n,0}}{F_{n,0}}\frac{F_n}{F_{n,\max }}---\left(8\right)$

式(8)中，F_m,0为线路m故障前承担的有功功率；F_n为线路n在线路m故障后承担的有功功率；F_n,0为线路n在线路m故障前承担的有功功率；F_m,max为线路m潮流极限值；F_n,max为线路n潮流极限值；

有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动的功角失稳严重度为：

${\mathrm{Sev}}_{1m2}^d=\left\{\begin{array}{cc}0& \mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&delta;}}_m\&le;0.5\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&delta;}}_{\max }\\ \frac{\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&delta;}}_m}{\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&delta;}}_{\max }}& 0.5\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&delta;}}_{\max }<\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&delta;}}_m<\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&delta;}}_{\max }\\ 1& \mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&delta;}}_m\&GreaterEqual;\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&delta;}}_{\max }\end{array}\right.---\left(9\right)$

式(9)中，Δδ_m是线路m故障后系统最大功角差，Δδ_max是系统失稳判据的角度，Δδ_max设定为180；

有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动的系统失负荷严重度为：

${\mathrm{Sev}}_{1m3}^d=\frac{1}{P_S}\underset{j\&Element;N}{\mathrm{\&Sigma;}}{P}_{\mathrm{Lj}}---\left(10\right)$

式(10)中，P_S为系统总负荷量，P_Lj为线路m故障后母线j的失负荷量，N为系统所有母线的集合；

则有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动的后果如式(11)所示：

${\mathrm{Sev}}_{1m}^d={\mathrm{omg}}_1{\mathrm{Sev}}_{1m1}^d+{\mathrm{omg}}_2{\mathrm{Sev}}_{1m2}^d+{\mathrm{omg}}_3{\mathrm{Sev}}_{1m3}^d---\left(11\right)$

式(11)中，omg₁、omg₂、omg₃为均权重因子，表示各指标在后果指标中的重要程度，采用层次分析法求取权重因子。

4.根据权利要求1所述的连锁故障多阶段动态博弈防御方法，其特征是所述步骤4中完全理性防御方的控制策略按如下方法求解：

①针对线路过负荷的过负荷控制

节点k对线路m的灵敏度η_mk为：

${\mathrm{\&eta;}}_{\mathrm{mk}}=\frac{\mathrm{\&Delta;}{P}_k}{\mathrm{\&Delta;}{F}_{\mathrm{ij}}}=\frac{x_{\mathrm{ij}}\mathrm{\&Delta;}{P}_k}{\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&theta;}}_i-\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&theta;}}_j}=\frac{x_{\mathrm{ij}}}{e_{\mathrm{ik}}-e_{\mathrm{jk}}}---\left(12\right)$

式(12)中，ΔP_k为节点k的注入功率变化量，i和j分别为线路m的首节点和末节点，ΔF_ij为线路m的潮流变化量，Δθ_i-Δθ_j为线路m两端节点的相角差变化量，x_ij为线路m的电抗，e_ik和e_jk为节点电纳矩阵的逆矩阵中的元素；

当有一条线路过载时，选取对该过载线路灵敏度最大的发电机节点和灵敏度最小的负荷节点构成控制对；当有多条线路过载时，选取对这些过载线路灵敏度之和最大的发电机节点和灵敏度之和最小的负荷节点构成控制对；则由发电机节点g和负荷节点l构成的控制对对线路m的灵敏度η_m-gl为：

η_m-gl＝η_mg-η_ml   (13)

式(13)中，η_mg为发电机节点g对线路m的灵敏度，η_ml为负荷节点l对线路m的灵敏度；

根据所有过载线路的过载量和灵敏度η_m-gl，得到发电机节点g和负荷节点l为消除过载而需要的最大调节量ΔP_gl1为：

ΔP_gl1＝max(ΔP_m1/η_m1-gl)   (14)

式(14)中，ΔP_m1为线路m的过载量；

根据所有正常线路的冗余量和灵敏度η_m-gl，得到发电机节点g和负荷节点l为保证正常线路不越限而采取的最小调节量ΔP_gl2为：

ΔP_gl2＝min(ΔP_m2/η_m2-gl)   (15)

式(15)中，ΔP_m2为线路m的冗余量；

同时还考虑发电机节点g的可切除量和负荷节点l的可切除量得到控制对的一次调节量ΔP_gl如式(16)所示：

$\mathrm{\&Delta;}{P}_{\mathrm{gl}}=\min (\mathrm{\&Delta;}{P}_{\mathrm{gl}1},\mathrm{\&Delta;}{P}_{\mathrm{gl}2},\mathrm{\&Delta;}{P}_g^{\max },\mathrm{\&Delta;}{P}_l^{\max })---\left(16\right)$

为了保证功率平衡，控制对中的发电机节点g和负荷节点l的调节量相同，各为控制对调节量ΔP_gl的一半；

当调整完成后，如果仍存在线路过载，则通过将发电机节点g和负荷节点l的调节量代入式(12)得到各线路的潮流变化量，用各线路在过负荷控制前的潮流值减去各线路在过负荷控制后的潮流变化量，得到各线路在过负荷控制后的潮流值，将过载线路在过负荷控制后的潮流值减去过载线路的潮流极限值得到过载线路在过负荷控制后的过载量，将正常线路的潮流极限值减去正常线路在过负荷控制后的潮流值得到正常线路在过负荷控制后的冗余量，完成线路过载量和冗余量的刷新，并根据式(12)所求的灵敏度，重新选择控制对进行调节，直至完全消除线路过载；

②针对功角失稳的稳定控制

当多机系统受到大扰动后，在存在发电机的功角差值超过180度的时刻，将各发电机的功角进行排序，以排序中相邻发电机功角差最大处为分界线，将发电机功角分为两部分，其中功角大的一部分发电机归为临界机群SA，功角小的一部分发电机归为剩余机群SB，分别用临界集群和剩余集群的局部惯量中心代替，得到等效双机系统如式(17)所示：

$M_{\mathrm{sa}}=\underset{i\&Element;\mathrm{SA}}{\mathrm{\&Sigma;}}{M}_i,{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{sa}}=M_{\mathrm{sa}}^{-1}\underset{i\&Element;\mathrm{SA}}{\mathrm{\&Sigma;}}{M}_i{\mathrm{\&delta;}}_i,{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sa}}=M_{\mathrm{sa}}^{-1}\underset{i\&Element;\mathrm{SA}}{\mathrm{\&Sigma;}}{M}_i{\mathrm{\&omega;}}_i$    (17)

$M_{\mathrm{sb}}=\underset{i\&Element;\mathrm{SB}}{\mathrm{\&Sigma;}}{M}_i,{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{sb}}=M_{\mathrm{sb}}^{-1}\underset{i\&Element;\mathrm{SB}}{\mathrm{\&Sigma;}}{M}_i{\mathrm{\&delta;}}_i,{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sb}}=M_{\mathrm{sb}}^{-1}\underset{i\&Element;\mathrm{Sb}}{\mathrm{\&Sigma;}}{M}_i{\mathrm{\&omega;}}_i$

式(17)中,δ_i、ω_i、M_i分别为同步坐标下发电机i的功角和角速度偏差、发电机i的转子惯性时间常数，δ_j、ω_j、M_j分别为同步坐标下发电机j的功角和角速度偏差、发电机j的转子惯性时间常数，δ_sa、ω_sa分别为临界机群SA的等效功角和等效角速度偏差，M_sa为临界机群SA的转子惯性时间常数之和，δ_sb、ω_sb分别为剩余机群SB的等效功角和等效角速度偏差，M_sb为剩余机群SB的转子惯性时间常数之和；

进一步将等效双机系统等效为单机系统如式(18)所示：

δ＝δ_sa-δ_sb,ω＝ω_sa-ω_sb

$P_m=M^{-1}(M_{\mathrm{sb}}\underset{i\&Element;\mathrm{SA}}{\mathrm{\&Sigma;}}{P}_{\mathrm{mi}}-M_{\mathrm{sa}}\underset{j\&Element;\mathrm{SB}}{\mathrm{\&Sigma;}}{P}_{\mathrm{mj}})$    (18)

$P_e=M^{-1}(M_{\mathrm{sb}}\underset{i\&Element;\mathrm{SA}}{\mathrm{\&Sigma;}}{P}_{\mathrm{ei}}-M_{\mathrm{sa}}\underset{j\&Element;\mathrm{SB}}{\mathrm{\&Sigma;}}{P}_{\mathrm{ej}})$

M＝M_saM_sb/(M_sa+M_sb)

式(18)中，δ、ω分别为单机系统的等效功角和等效角速度偏差，M为单机系统的等效转子惯性时间常数，P_mi、P_ei分别为同步坐标下临界机群SA中发电机i的输入机械功率和输出电磁功率，P_mj、P_ej分别为同步坐标下剩余机群SB中发电机j的输入机械功率和输出电磁功率，P_m、P_e分别为单机系统的等效输入机械功率和输出电磁功率；

根据等效的单机系统，得到沿故障后轨迹的系统剩余加速面积如式(19)为:

$A_{\mathrm{KE}}\left(t\right)=\frac{1}{2}M{\mathrm{\&omega;}}^2\left(t\right)---\left(19\right)$

式(19)中，A_KE(t)为t时刻系统剩余加速面积，ω(t)为t时刻单机系统等效角速度偏差；

定义故障后的不稳定平衡时刻t_u，在t_u时刻满足如式(20)所示的条件：

P_a(t_u)＝P_c(t_u)-P_m(t_u)＝0   (20)

$d{P}_a/\mathrm{dt}{|}_{t=t_u}<0$

式(20)中，P_a(t_u)为t_u时刻下的不平衡功率；

系统失稳判据如式(21)和式(22)所示：

$\mathrm{d\&omega;}\left(t\right)/\mathrm{d\&delta;}\left(t\right)>0,\&ForAll;t>t_0---\left(21\right)$

或 $\frac{d^2\mathrm{\&omega;}\left(t\right)}{\mathrm{d\&delta;}{\left(t\right)}^2}{|}_{t=t_u}>0---\left(22\right)$

式(21)中，δ(t)为t时刻单机系统等效功角，t₀为故障发生时刻；

当系统失稳时，根据故障轨迹计算出不稳定时刻的剩余加速面积，为使系统恢复临界稳定，控制措施增加的减速面积A_c等于不稳定时刻的剩余加速面积A_KE(t_u)，即满足式(23)：

$A_c=A_{\mathrm{KE}}\left(t_u\right)=\frac{1}{2}M{\mathrm{\&omega;}}^2\left(t_u\right)---\left(23\right)$

假设采取控制措施的时刻为t_a，利用矩阵面积近似表示控制措施增加的减速面积，则控制量ΔP_m为：

$\mathrm{\&Delta;}{P}_m=\frac{A_c}{\mathrm{\&delta;}\left(t_u\right)-\mathrm{\&delta;}\left(t_a\right)}---\left(24\right)$

进一步得到切机功率ΔP_sa如式(25)所示：

ΔP_sa＝ΔP_mM_saS_base   (25)

式(24)中，S_base是系统基准功率；

切机功率按照临界机群SA中各机组的机械功率的大小进行分配；

在完成切机后需继续观察采集相关的轨迹信息，包括各发电机的功角、角速度偏差和输出电磁功率，重新判断功角稳定性，若系统仍不稳定，则再次计算切机功率，采取控制措施，直到系统恢复稳定。

5.根据权利要求1所述的连锁故障多阶段动态博弈防御方法，其特征是所述步骤6中有限理性故障方和完全理性防御方的收益函数u₁和u₂按如上方式计算获得：

对于一次多阶段动态博弈防御过程中有限理性故障方和完全理性防御方在各个阶段的行动组成的行动序列，其停电风险R_k1和控制代价的风险R_k2表示为：

$R_{k1}=\underset{d=1}{\overset{D}{\mathrm{\&Sigma;}}}{p}_{1m}^1\&CenterDot;p_{1m}^2\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;p_{1m}^d{P}_{1m}^d---\left(26\right)$

$R_{k2}=\underset{d=1}{\overset{D}{\mathrm{\&Sigma;}}}{p}_{1m}^1\&CenterDot;p_{1m}^2\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;p_{1m}^d{C}_{1m}^d---\left(27\right)$

式(26)和式(27)中，D为多阶段动态博弈防御过程中的阶段总数，为有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动的概率，为在有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动造成的停电损失，为有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动后防御方付出的控制代价；其中，包含以下三个部分：①在有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动后，向某个或某几个负荷供电的线路全部断开，这种情况下的停电损失就是断开负荷的有功功率，②在有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动后，系统发生解列，分解为两个电气岛，这种情况下的停电损失近似为发电机总有功功率小于负荷总有功功率的电气岛中负荷总有功功率与发电机机总有功功率的差值，③在有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动后，系统失去稳定，这种情况下的停电损失就是权利要求4中防御方采取针对功角失稳的稳定控制时的切机功率；为在有限理性故障方在第d个阶段采取第m个行动后，权利要求4中防御方采取针对线路过负荷的过负荷控制时的切负荷量；

则：有限理性故障方和完全理性防御方在该多阶段动态博弈防御过程中的收益函数u₁和u₂分别如式(28)和式(29)所示：

u₁＝(R_k1,R_k2)   (28)

u₂＝(-R_k1,-R_k2)   (29)。