CN104239961A - 一种基于纵横交叉算法的电力系统经济调度优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于纵横交叉算法的电力系统经济调度优化方法，所述纵横交叉算法是一种全新的群智能优化算法，主要包括横向交叉算子和纵向交叉算子。其中，横向交叉将多维寻优空间拆分成一半种群大小的超立方体，每对配对父代粒子在各自的超立方体子空间及其外缘搜索子代；纵向交叉以一定概率对种群中不同维执行算数交叉搜索；两种交叉产生的中庸解通过竞争算子获得的占优解会呈链式反应迅速蔓延至在整个种群中，从而大大加快进化速度。本发明的有益效果在于：本发明的纵横交叉算法全局搜索能力强、收敛速度快，不仅适于求解非线性高维函数优化问题，也适于求解实际工程大规模复杂优化问题。

Description

一种基于纵横交叉算法的电力系统经济调度优化方法

技术领域

本发明涉及一种电力系统经济调度优化方法，尤其是涉及一种基于纵横交叉算法(CSO)的电力系统经济调度优化方法。

背景技术

电力系统经济调度对电力系统安全经济运行有着重要的意义，作为电力系统一个典型的优化问题，经济调度(ED)是指在满足电力调度需求以及各种约束条件下，将负荷优化分配给不同机组，从而使全系统的燃料消耗量或发电总费用最小。经济调度是一个非凸、非线性、高维度的复杂优化问题，近年来，许多相关研究将群智能优化算法用于求解此类此问题，如粒子群算法PSO，遗传算法(GA)等，人工蜂群算法(ABC)、和声搜索算法(HAS)，电磁仿真学算法(ELM)，引力搜索算法(GSA)，蚁群算法(ACO)、细菌觅食算法(BFO)等等。

虽然各种群智能优化算法在求解非线性复杂问题方面取得了一定进展，但仍然存在诸多不足之处：如PSO虽然收敛速度快，但在求解大规模ED优化问题时容易出现早熟问题，GSA、GA则优化过程耗费时间长，而其他一些算法如ABC、ACO、BFO则需要调整多个控制参数，表现出问题对参数敏感的特性。此外，一些群智能优化算法为保持种群多样性，往往不得不牺牲收敛速度或采用比较复杂的算法结构。迄今为止，没有哪一种群智能优化算法在求解各类复杂优化问题时能够表现出绝的优势。如何在提高全局收敛能力的同时不牺牲收敛速度仍然是群智能优化算法的研究热点和挑战。

发明内容

本发明所要解决的技术问题，就是提供一种能在提高全局收敛能力的同时收敛速度仍然很快的基于纵横交叉算法的电力系统经济调度优化方法。

解决上述技术问题，本发明采用的技术方案是:

一种基于纵横交叉算法的电力系统经济调度优化方法，其特征在于包括以下步骤：

S1建立经济调度数学模型

经济调度数学模型包括目标函数和约束条件，目标函数采用考虑燃料费用最低，约束条件包括功率平衡约束和机组出力约束；

考虑阀点效应的机组燃料费用的目标函数具体形式为：

$F_i\left(P_i\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(a_i{P}_i^2+b_i{P}_i+c_i+|e_i\·\sin (f_i\·(P_{i\min }-P_i))\left|\right)---\left(1\right);$

其中F_i是发电机组i的燃料费用函数；P_i是火电机组i的有功出力；N是火电机组台数；a_i、b_i、c_i分别是火电机组i的燃料费用系数；e_i、f_i分别是火电机组i的阀点效应系数；

功率平衡约束要求公式(1)满足：

$\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{P}_i=P_L+P_D---\left(2\right);$

其中P_L是系统总负荷需求；P_D是系统总传输网损；

机组出力约束要求发电机组出力P_i满足：

P_imin≤P_i≤P_imax(3)；

其中P_imin和P_imax分别是火电机组i的最小有功出力和最大有功出力；

S2对公式(1)采用基于纵横交叉算法进行优化，包括以下子步骤：

S2-1：初始化；

S2-2：执行横向交叉后进入竞争算子；

S2-3：执行纵向交叉后进入竞争算子；

S2-4：终止条件：如果达到指定的最大迭代次数，算法结束；否则转入步骤S2-2。

所述的步骤S2-1初始化具体为：

设定火电机组台数N，系统负荷总需求P_L，种群大小M，最大迭代次数Maxlter，纵向交叉概率P_vc，在机组最小有功出力和最大有功出力范围内随机产生初始化种群，并保存在矩阵X中；

所述的步骤S2-2执行横向交叉具体为：

(1)获取父代种群X(第一代为初始化种群，其它代均为纵向交叉产生的占优解矩阵DS_vc)；

(2)对父代种群X中所有个体粒子不重复随机配对，方法为：在1至M之间产生M个不重复的整数序列，将配对序号保存在矩阵B中；

(4)按顺序从矩阵B中取出相邻两个数作为父代配对粒子的序号i，j；

(5)假定父代粒子X(i)和X(j)在第d维进行横向交叉，则它们的子代繁殖采用如下公式：

MS_hc(i,d)＝r₁×X(i,d)+(1-r₁)×X(j,d)+c₁×(X(i,d)-X(j,d))   (4)；

MS_hc(j,d)＝r₂×X(j,d)+(1-r₂)×X(i,d)+c₂×(X(j,d)-X(i,d))   (5)；

其中，d∈(1，N)，r₁，r₂是0～1之间的随机数；c₁，c₂是-1～1之间的随机数；X(i,d)，X(j,d)分别是父代种群中个体粒子X(i)和X(j)的第d维，MS_hc(i,d)和MS_hc(j,d)分别是X(i,d)和X(j,d)通过横向交叉产生的第d维子代；

(6)重复步骤(4)和和步骤(5)次，最终获得横向交叉产生的中庸解，保存在中庸解矩阵MS_hc中；

(7)采用竞争算子，获取横向交叉占优解，保存在DS_hc中；

具体包括以下步骤：

INPUT:DS_vc，M，D；

LET X←DS_vc；

LET B＝permutate(M)//对1-M之间的整数进行随机排列；

FOR i＝1to M/2；

LET no1＝B(2×i-1)，no2＝B(2×i)；

FOR j＝1to D；

产生随机数r₁∈(0，1)，r₂∈(0，1)，c₁∈(-11)，c₂∈(-11)；

MS_hc(no1,j)＝r₁×X(no1,j)+(1-r₁)×X(no2,j)+c₁×(X(no1,j)-X(no2,j))

MS_hc(no2,j)＝r₂×X(no2,j)+(1-r₂)×X(no1,j)+c₂×(X(no1,j)-X(no2,j))

END FOR；

END FOR；

采用竞争算子更新DS_hc。

所述的步骤S2-3执行纵向交叉具体为：

(1)获取父代种群X(即横向交叉产生的占优解矩阵DS_hc)；

(2)对父代种群X每一维进行归一化，归一化公式如下：

$X(i,d)=\frac{X(i,d)-P_{d\min }}{P_{d\max }-P_{d\min }}---\left(6\right);$

其中，d∈(1,N)，X(i,d)是种群X中个体粒子X(i)第d台机组的有功出力，P_dmin是第d台机组最小有功功率，P_dmax是第d台机组最大有功功率；

(3)对种群中所有的维进行不重复两两随机配，方法为：在1至N之间产生N个不重复的整数序列，将配对序号保存在矩阵B中；

(4)按顺序从矩阵B中取出相邻两个数即为配对的维序号d₁，d₂；

(5)种群中所有的个体粒子X(i)在纵向交叉概率P_vc条件下，根据公式(7)产生X(i,d₁)的子代MS_vc(i,d₁)：

MS_vc(i,d₁)＝r·X(i,d₁)+(1-r)·X(i,d₂)，i∈(1,M),d₁,d₂∈N、(1,D)   (7)

其中，r∈(0,1)，MS_vc(i,d₁)是个体粒子X(i)的第d₁维和第d₂维通过纵向交叉产生的第d₁维子代；

(6)重复步骤(4)和和步骤(5)次；

(7)对MS_vc进行反归一化，反归一化公式如下：

MS_vc(i,d)＝MS_vc(i,d)×(P_dmax-P_dmin)+P_dmin   (8)；

最终获得纵向交叉产生的中庸解，保存在中庸解矩阵MS_vc中；

(8)采用竞争算子，获取纵向交叉占优解，保存在DS_vc；

具体包括以下步骤：

INPUT:DS_hc，M，N；

X←DS_hc；

归一化X；

Let B＝permutate(N).对1-N之间的整数进行随机排列；

FOR i＝1to N/2；

产生一个随机数p∈(0，1)；

IF p<P_vc THEN Let no1＝B(2×i-1)，and no2＝B(2×i)；

FOR j＝1to M；

产生一个随机数r∈(0，1)；

MS_vc(j,no1)←r·X(j,no1)+(1-r)·X(j,no2)；

END FOR；

END IF；

END FOR；

对MS_vc进行反归一化操作；

采用竞争算子更新DS_vc；

上述纵向交叉操作概率P_vc取0.2～0.8。

所述的步骤S2-2和S2-3中的进入竞争算子具体为：

(1)计算中庸解矩阵和父代种群X中每个粒子的适应度，计算公式如下：

$f=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_i{P}_i^2+b_i{P}_i+c_i+|e_i\&CenterDot;\sin (f_i\&CenterDot;(P_{i\min }-P_i))|P_f\&CenterDot;|\underset{i}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{P}_i-P_L|---\left(9\right)$

其中:P_f为罚函数系数；

(2)如果中庸解MS(i)优于它的父代X(i)，则DS(i)←MS(i)；否则DS(i)←X(i)；

具体步骤如下：

FOR i＝1to M；

根据公式(9)评估MS(i)和X(i)；

IF MS(i)优于它的父代X(i)THEN；

DS(i)←MS(i)；

ELSE DS(i)←X(i)；

END IF；

END FOR。

与现有技术相比，本发明具有如下显著的效果：

(1)本发明提出的CSO算法步骤简单，控制参数少，求解容易，解决了群智能算法普遍容易陷入局部最优的共性关键问题。

(2)本发明提出CSO为横向交叉与纵向交叉的有机结合，两种交叉方式的优良结果会呈链式反应在整个种群中蔓延，相比它群智能优化算法，这种纵横交叉机制使得CSO在全局收敛能力和收敛速度方面具有明显的优势。

(3)本发明易于操作实施，其不但对连续非线性等一些标准测试问题有效，而且能够有效解决复杂大规模实际工程优化问题。

附图说明

图1为本发明的基于纵横交叉算法的电力系统经济调度优化方法的算法流程；

图2为CSO算法以及PSO、QPSO和ELM算法求解ED问题的收敛曲线；

图3为一维空间概率分布图；

图4为二维空间概率分布图；

图5a至图5f为不同函数在不同纵向交叉概率P_vc下CSO的优化结果比较图；

图6为函数f₁的优化结果图；

图7为函数f₂的优化结果图；

图8为函数f₃的优化结果图；

图9为函数f₄的优化结果图；

图10函数f₅的优化结果图；

图11函数f₆的优化结果图；

图12函数f₇的优化结果图；

图13函数f₈的优化结果图；

图14函数f₉的优化结果图；

图15函数f₁₀的优化结果图；

图16函数f₁₁的优化结果图。

具体实施方式

如图1所示是本发明的基于纵横交叉算法的电力系统经济调度优化方法在电力系统40机组系统实施例中的算法流程，包括以下步骤：

S1建立经济调度数学模型；

经济调度数学模型包括目标函数和约束条件；目标函数采用考虑燃料费用最低；约束条件包括功率平衡约束和机组出力约束；

考虑阀点效应的机组燃料费用的目标函数具体形式为：

$F_i\left(P_i\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}(a_i{P}_i^2+b_i{P}_i+c_i+|e_i\&CenterDot;\sin (f_i\&CenterDot;(P_{i\min }-P_i))\left|\right)---\left(1\right);$

其中F_i是发电机组i的燃料费用函数；P_i是火电机组i的有功出力；N是火电机组台数；a_i、b_i、c_i分别是火电机组i的燃料费用系数；e_i、f_i分别是火电机组i的阀点效应系数；

公式(1)满足：

$\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{P}_i=P_L+P_D---\left(2\right);$

其中P_L是系统总负荷需求；P_D是系统总传输网损；

发电机组出力P_i满足：

P_imin≤P_i≤P_imax(3)；

其中P_imin和P_imax分别是火电机组i的最小有功出力和最大有功出力；

S2对公式(1)采用基于纵横交叉算法进行优化，包括以下子步骤：

S2-1：初始化；

S2-2：执行横向交叉后进入竞争算子；

S2-3：执行纵向交叉后进入竞争算子；

S2-4：终止条件：如果达到指定的最大迭代次数，算法结束；否则转入步骤S2-2。

所述的步骤S2-1初始化具体为：

设定火电机组台数N，系统负荷总需求P_L，种群大小M，最大迭代次数Maxlter，纵向交叉概率P_vc，在机组最小有功出力和最大有功出力范围内随机产生初始化种群，并保存在矩阵X中；

所述的步骤S2-2执行横向交叉具体为：

(1)获取父代种群X(第一代为初始化种群，其它代均为纵向交叉产生的占优解矩阵DS_vc)；

(2)对父代种群X中所有个体粒子不重复随机配对，方法为：在1至M之间产生M个不重复的整数序列，将配对序号保存在矩阵B中；

(4)按顺序从矩阵B中取出相邻两个数作为父代配对粒子的序号i，j；

(5)假定父代粒子X(i)和X(j)在第d维进行横向交叉，则它们的子代繁殖采用如下公式：

MS_hc(i,d)＝r₁×X(i,d)+(1-r₁)×X(j,d)+c₁×(X(i,d)-X(j,d))   (4)

MS_hc(j,d)＝r₂×X(j,d)+(1-r₂)×X(i,d)+c₂×(X(j,d)-X(i,d))   (5)

其中，d∈(1，N)，r₁，r₂是0～1之间的随机数；c₁，c₂是-1～1之间的随机数；X(i,d)，X(j,d)分别是父代种群中个体粒子X(i)和X(j)的第d维，MS_hc(i,d)和MS_hc(j,d)分别是X(i,d)和X(j,d)通过横向交叉产生的第d维子代；

(6)重复步骤(4)和和步骤(5)次，最终获得横向交叉产生的中庸解，保存在中庸解矩阵MS_hc中；

(7)采用竞争算子，获取横向交叉占优解，保存在DS_hc中；

具体包括以下步骤：

INPUT:DS_vc，M，D；

LET X←DS_vc；

LET B＝permutate(M)//对1-M之间的整数进行随机排列；

FOR i＝1to M/2；

LET no1＝B(2×i-1)，no2＝B(2×i)；

FOR j＝1to D；

产生随机数r₁∈(0，1)，r₂∈(0，1)，c₁∈(-11)，c₂∈(-11)；

MS_hc(no1,j)＝r₁×X(no1,j)+(1-r₁)×X(no2,j)+c₁×(X(no1,j)-X(no2,j))

MS_hc(no2,j)＝r₂×X(no2,j)+(1-r₂)×X(no1,j)+c₂×(X(no1,j)-X(no2,j))

END FOR；

END FOR；

采用竞争算子更新DS_hc。

所述的步骤S2-3执行纵向交叉具体为：

(1)获取父代种群X(即横向交叉产生的占优解矩阵DS_hc)；

(2)对父代种群X每一维进行归一化，归一化公式如下：

$X(i,d)=\frac{X(i,d)-P_{d\min }}{P_{d\max }-P_{d\min }}---\left(6\right);$

其中，d∈(1,N)，X(i,d)是种群X中个体粒子X(i)第d台机组的有功出力，P_dmin是第d台机组最小有功功率，P_dmax是第d台机组最大有功功率；

(3)对种群中所有的维进行不重复两两随机配，方法为：在1至N之间产生N个不重复的整数序列，将配对序号保存在矩阵B中；

(4)按顺序从矩阵B中取出相邻两个数即为配对的维序号d₁，d₂；

(5)种群中所有的个体粒子X(i)在纵向交叉概率P_vc条件下，根据公式(7)产生X(i,d₁)的子代MS_vc(i,d₁)：

MS_vc(i,d₁)＝r·X(i,d₁)+(1-r)·X(i,d₂)，i∈(1,M),d1,d2∈N、(1,D)   (7)

其中，r∈(0,1)，MS_vc(i,d₁)是个体粒子X(i)的第d₁维和第d₂维通过纵向交叉产生的第d₁维子代；

(6)重复步骤(4)和和步骤(5)次，

(7)对MS_vc进行反归一化，反归一化公式如下：

MS_vc(i,d)＝MS_vc(i,d)×(P_dmax-P_dmin)+P_dmin   (8)

最终获得纵向交叉产生的中庸解，保存在中庸解矩阵MS_vc中；

(8)采用竞争算子，获取纵向交叉占优解，保存在DS_vc；

具体包括以下步骤：

INPUT:DS_hc，M，D；

X←DS_hc；

归一化X；

Let B＝permutate(N).对1-N之间的整数进行随机排列；

FOR i＝1to N/2；

产生一个随机数p∈(0，1)；

IF p<P_vc THEN Let no1＝B(2×i-1)，and no2＝B(2×i)；

FOR j＝1to M；

产生一个随机数r∈(0，1)；

MS_vc(j,no1)←r·X(j,no1)+(1-r)·X(j,no2)；

END FOR；

END IF；

END FOR；

对MS_vc进行反归一化操作；

采用竞争算子更新DS_vc；

上述纵向交叉操作概率P_vc取0.2～0.8。

所述的步骤S2-2和S2-3中的进入竞争算子具体为：

(1)计算中庸解矩阵和父代种群X中每个粒子的适应度，计算公式如下：

$f=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_i{P}_i^2+b_i{P}_i+c_i+|e_i\&CenterDot;\sin (f_i\&CenterDot;(P_{i\min }-P_i))|P_f\&CenterDot;|\underset{i}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{P}_i-P_L|---\left(9\right)$

其中:P_f为罚函数系数；

(2)如果中庸解MS(i)优于它的父代X(i)，则DS(i)←MS(i)；否则DS(i)←

X(i)；

具体步骤如下：

FOR i＝1to M；

根据公式(9)评估MS(i)和X(i)；

IF MS(i)优于它的父代X(i)THEN；

DS(i)←MS(i)；

ELSE DS(i)←X(i)；

END IF；

END FOR。

设定火电机组台数N，系统负荷总需求P_L，种群大小M，最大迭代次数Maxlter，纵向交叉概率P_vc，在机组最小有功出力和最大有功出力范围内随机产生初始化种群，并保存在矩阵X中；

其中，初始化中取值为：火电机组台数N＝40，系统负荷总需求P_L＝10500MW，罚函数系数P_f＝100，种群大小M＝30，最大迭代次数为Maxlter＝3000，纵向交叉概率P_vc＝0.6；电力系统40机组系统参数(最小有功出力、最大有功出力、燃料费用系数和阀点效应系数)如表1，纵横交叉算法运行重复50次；

表1电力系统40机组系统参数表

为验证本发明所提出的纵横交叉算法CSO的优越性，在本案例，将CSO算法与粒子群算法PSO、量子粒子群算法QPSO以及电磁仿真学算法ELM进行了仿真结果对比。同时也与其他复杂的改进型群智能优化算法(如IFEP[1]、MPSO[2]、ESO[3]和IGA-MU[4])进行了结果对比。仿真结果包括50次优化的平均燃料费用，最大燃料费用，最小燃料费用以及CPU计算时间，仿真结果如表2所示：

表2电力系统40机经济调度优化结果

注：“-”表示无此项数据，“*”表示从参考文献引用；

可以看到，使用CSO优化得到的燃料费用比PSO和ELM都更好。并且，相比一些经过改进的优化算法如QPSO，IFEP，MPSO，ESO和IGA-MU的效果都更好，同时观察优化结果的标准差可见CSO的标准差是最小的，也就是说CSO具有最稳定的表现。同时，在计算时间上，除了PSO外，CSO比其他所有优化算法使用更少的计算时间。这是因为CSO每一代需要对进行两次适应度评估导致的。同时，图2给出了各种优化算法的收敛曲线：

表3给出了PSO、QPSO、ELM，MPSO、ESO、IGA-MU和CSO的最佳优化结果，其中MPSO，ESO和IGA-MU结果是从参考文献中摘录所得。结果表明CSO不仅得到了所有优化算法的最优解，而且能完全符合发电需求。

表3电力系统40机经济调度优化变量结果

注：“*”表示从参考文献引用；

参考文献：

[1]N.Sinha,R.Chakrabarti,and P.K.Chattopadhyay.Evolutionary programming techniques for economic load dispatch,IEEE Transactions on Evolutionary Computation,7(1)(2003)83–94.

[2]J.B.Park,K.S.Lee,J.R.Shin,and K.Y.Lee.A particle swarm optimization for economic dispatch with nonsmooth costfunction,IEEE Transactions on Power System,20(1)(2005)34–42.

[3]A.Pereira-Neto,C.Unsihuay and O.R.Saavedra.‘Efficient evolutionary strategy optimization procedure to solve thenonconvex economic dispatch problem with generator constraints’,IEE Proc.Generation Transmission Distribution,2005,152,(5),pp.653–660.

[4]C.L.Chiang.Genetic-based algorithm for power economic load dispatch,IET Generation Transmission Distribution,1(2)(2007),261–269

本发明用到一种新的纵横交叉算法CSO，下面详细介绍其来龙去脉。

本发明受儒家中庸思想和遗传算法的交叉操作的启发，提出了一种全新的群智能优化算法：纵横交叉算法(CSO)。中国历史上从未有其他哲学家像孔子那么深远的影响人们的生活。孔子的一个重要思想是中庸思想，也就是对所有事情都保持较温和的路线，而不走极端行为。受这种中间路线思想的启发，本发明提出了纵横交叉算法(CSO)，CSO采用一种双搜索机制，包括横向交叉和纵向交叉，两种搜索算子在每次种群进化迭代中分别在横向和纵向上产生中庸解。这两种交叉算子和竞争算子一起共同构成了CSO的搜索行为方式。在种群迭代的每一代，两种交叉算子会从种群两个不同的方向进行交叉，父代交叉所得的子代通过竞争算子与父代进行竞争，只有具有比父代更好适应度的子代会在竞争中保留下来，而竞争失败的子代会被淘汰，竞争算子的引入能够确保种群中的个体粒子始终维持历史上最优的位置，这种迭代方式无疑会大大加速种群的收敛速度。CSO的创新之处主要体现以下三点：1)、CSO的横向交叉将多维寻优空间拆分成一半种群大小的超立方体(父代包围空间)，每对配对父代粒子在各种的超立方体子空间及其外缘产生子代，在父代包围空间中，子代以平均概率产生，而在外缘空间产生子代的概率则会随着与父代粒子的距离呈线性下降概率分布，这种方式能减少横向交叉的搜索盲点，增强CSO全局搜索能力。2)、CSO中的垂直交叉是通过种群中不同维进行交叉实现的，这种交叉方式是基于我们大量的观察发现：绝大多数群智能优化算法的早熟问题往往是因为种群的部分维陷入了停滞不前，我们称之为维局部最优，垂直交叉方式不仅能使陷入局部最优的维有机会摆脱出来，进而使整个种群摆脱局部最优，同时它的变异方式能较好的维持种群的多样性。3)、两种交叉方式的有机结合不仅加速了种群的收敛速度，同时大大提高了收敛精度。一旦种群中某个个体粒子陷入停滞不前的某维在纵向交叉作用下摆脱局部最优，会通过横向交叉的方式迅速传播至整个种群，而更新后的维也会使其余陷入局部最优的其它维有更多的机会通过纵向交叉跳出局部最优，两种交叉方式的结果会呈链式反应在整个种群中蔓延，相比它群智能优化算法，这种纵横交叉机制使得CSO在全局收敛能力和收敛速度方面具有明显的优势。

本发明使用12个标准测试函数验证CSO的优化能力，最后将CSO应用于电力系统的40机经济调度这样一个复杂的优化问题。实验结果表明本发明提出的算法不但对连续非线性等一些标准测试问题有效，而且也能有效解决实际复杂大规模实际工程优化问题。

纵横交叉算法

与PSO类似，纵横交叉算法(CSO)是一种基于种群的随机搜索算法，种群则由个体粒子(particle)组成；其搜索行为由横向交叉和纵向交叉两种方式组成，迭代过程中每一代都会由这两种交叉方式交替进行，通过加入竞争算子，使得这两种交叉方式完美的结合起来：每次交叉操作之后都会进入竞争算子，与父代进行竞争，只有比父代更优秀的粒子会被保留下来进入下次迭代。为方便说明CSO的流程，对以下概念加以说明：

CSO的种群用矩阵X表示，矩阵中每一行(代表问题的一个解)表示为一个粒子X(i)，而矩阵中每一个元素X(i,j)表示第i个个体粒子的第j维；矩阵的行数M，列数D分别代表种群规模大小和问题解空间的维数；横向交叉和纵向交叉得到的解称之为中庸解，分别用MS_hc和MS_vc表示；MS_hc和MS_vc经过竞争算子后得到的解称之为占优解，分别表示为DS_hc和DS_vc。

CSO的流程如下：

步骤1：初始化种群；

步骤2：执行横向交叉后进入竞争算子；

步骤3：执行纵向交叉后进入竞争算子；

步骤4：终止条件：如果达到指定的最大迭代次数，算法结束；否则转入步骤2。

下面分别介绍横向交叉、纵向交叉和竞争算子的具体操作流程。

(1)横向交叉

横向交叉是在种群中两个不同个体粒子所有维之间进行一种算数交叉；假设父代个体粒子X(i)和X(j)的第d维进行横向交叉，则它们的繁殖的子代采用如下公式：

MS_hc(i,d)＝r₁×X(i,d)+(1-r₁)×X(j,d)+c₁×(X(i,d)-X(j,d))   (10)

MS_hc(j,d)＝r₂×X(j,d)+(1-r₂)×X(i,d)+c₂×(X(j,d)-X(i,d))   (11)

其中，d∈(1，D)，r₁，r₂是0～1之间的随机数；c₁，c₂是-1～1之间的随机数；MS_hc(i,d)，X(j,d)分别是父代种群中个体粒子X(i)和X(j)的第d维，MS_hc(i,d)和MS_hc(j,d)分别是X(i,d)和X(j,d)通过横向交叉产生的第d维子代；

从公式(1)和(2)可以看出，水平交叉以较大概率在以父代个体粒子X(i)和X(j)为对角顶点的超立方体内繁殖后代MS_hc(i)和MS_hc(j)，同时，为减少搜索盲点，水平交叉以较小概率在超立方体外缘搜索新的位置，这种跨界搜索机制区别于遗传算法的交叉操作，是提高全局收敛能力的重要保障，横向交叉的伪码流程如下：

Procedure横向交叉

输入:DS_vc，M，D；

令X＝DS_vc；

令B＝permutate(M)对1-M之间的整数进行随机排列；

FOR i＝1to M/2；

令no1＝B(2×i-1)，no2＝B(2×i)；

FOR j＝1to D；

产生随机数r1，r2∈(0，1)，c1，c2∈(-11)；

MS_hc(no1,j)←r1·X(no1,j)+(1-r1)·X(no2,j)+c1·(X(no1,j)-X(no2,j))；

MS_hc(no2,j)←r2·X(no2,j)+(1-r2)·X(no1,j)+c2·(X(no1,j)-X(no2,j))；

END FOR；

END FOR；

采用竞争算子更新DS_hc。

在迭代过程中横向交叉总是出现在纵向交叉后(第一代除外)，为了进行横向交叉操作，需要对DS_vc中的个体粒子进行配对，方法是产生一列从1到M随机整数排序序列(前后相邻的两个数代表每个配对中两个父代个体粒子在种群的序号)，被选中的个体粒子如X(no1)和X(no2)通过公式(10)和(11)产生他们的后代(MS_hc(no1)和MS_hc(no2))；横向交叉得到中庸解MS_hc后，MS_hc会通过竞争算子与父代种群DS_vc进行比较，只有具有更好的适应度的粒子会被保留下来，更新的结果保存在矩阵DS_hc中；

(2)纵向交叉

纵向交叉是在种群所有个体粒子两个不同的维之间进行的一种算数交叉；假定种群的第d₁维和第d₂维是参与纵向交叉操作，则根据公式(3)繁殖MS_vc(i,d1)：MS_vc(i,d1)＝r·X(i,d1)+(1-r)·X(i,d2)，i∈N(1,M),d_q,d₂∈N(1,D)   (3)

其中，r∈U(0,1)，MS_vc(i,d1)是个体粒子X(i)的第d₁维和第d₂维通过纵向交叉产生的第d₁维后代；

纵向交叉操作的父代种群是横向交叉后经过竞争算子保留下来的占优解DS_hc；

相比较于横向交叉，纵向交叉在以下几个方面存在明显区别：第一，由于种群不同维上下限不同，所以在进行纵向交叉前需要对根据每一维的上下限进行归一化操作，以确保纵向交叉产生的子代在反归一化后不超过原来的上下限；第二，每次纵向交叉发生在同一个个体粒子的不同维之间，看似不可思议，但是这种交叉机制却能有效防止优化过程中在某些维度陷入局部最优；第三，一次纵向交叉每次只产生一个子代，其目的是促使可能陷入停滞不前的维(如d₁)跳出局部最优，同时不破坏另外可能正常进化的维(如d₂)；第四，纵向交叉实际上是对种群某些维进行整维变异，以帮助陷入局部最优的维摆脱出来。

根据我们的实验发现：陷入局部最优的重要原因往往是种群的部分维集体陷入了局部最优；鉴于以上事实，我们设置纵向交叉操作概率P在0.2～0.8之间，这在经验上是一个比较好的范围；

纵向交叉操作完成后，竞争算子将其所得的矩阵MS_vc和其父代种群进行竞争操作；同样，只有拥有更好的适应度的粒子会在竞争中被保留，更新的结果保存在矩阵DS_vc，纵向交叉的伪码流程如下：

Procedure纵向交叉

输入:DS_hc，M，D；

X←DS_hc；

归一化X；

Let B＝permutate(D).对1-D之间的整数进行随机排列；

FOR i＝1to D/2；

产生一个随机数p∈(0，1)；

IF p<P_vc THEN Let no1＝B(2×i-1)，and no2＝B(2×i)；

FOR j＝1to M；

产生一个随机数r∈(0，1)；

MS_vc(j,no1)←r·X(j,no1)+(1-r)·X(j,no2)；

END FOR；

END IF；

END FOR；

P对MS_vc进行反归一化操作；

采用竞争算子更新DS_vc；

(3)竞争算子

竞争算子是为子代种群和父代种群提供一个相互竞争的机会，以横向交叉为例，子代粒子只有具有比父代粒子更好的适应度时，才能取代父代粒子进入迭代；同样的，纵向交叉后也会进行相似的竞争操作；竞争算子使得种群总是保持当前最佳位置，这种机制能保证种群总是朝着适应度更好的方向发展，从而大大加快了种群收敛的速度；

竞争算子的流程下：.

Procedure竞争算子

FOR i＝1to M；

评估MS(i)；

IF the MS(i)优于它的父代X(i)THEN；

DS(i)←MS(i)；

ELSE DS(i)←X(i)；

END IF；

END FOR。

CSO的搜索行为

CSO的搜索行为由横向交叉和纵向交叉组成，自然也就继承了两者的优点。从信息认知的角度看，纵向交叉是基于个体粒子的自我认知进行的搜索，而横向交叉是基于社会群体之间的相互学习进行的搜索。

(1)横向交叉的行为分析

取一维空间作为例子分析横向交叉的搜索行为。多维空间的搜索行为可以通过一维空间扩展即可。

横向交叉的搜索是通过公式(10)和(11)实现的。可以将公式(10)简单的进行如下拆分，得公式如下：

Z＝X₁+X₂   (12)

X₁＝r₁·x₁+(1-r₁)·x₂   (13)

X₂＝c·(x₂-x₁)   (14)

方便起见，假设x₁＝0,x₂＝1，则X₁和X₂的概率分布可以如下表示：

$f_{X_1}=1,X_1\&Element;\left(\mathrm{0,1}\right)---\left(15\right)$

$f_{X_2}=\frac{1}{2},X_2\&Element;(-\mathrm{1,1})---\left(16\right)$

X₁和X₂是两个独立变量，那么Z的概率分布可如下表示：

$f_Z\left(z\right)={\&Integral;}_{-\&infin;}^{\&infin;}{f}_{X_1}\left(x_1\right)f_{X_2}(z-x_1){\mathrm{dx}}_1---\left(17\right)$

从 $\left\{\begin{array}{c}0<X_1<1\\ -1<Z-X_1<1\end{array}\right.\&DoubleRightArrow;\left\{\begin{array}{c}0<X_1<1\\ Z-1<X_1<Z+1\end{array}\right.$ 知

Z可以分成如下三个范围(-1，0)，(0，1)，(1，2)

当z∈(-1,0)

$f_Z\left(z\right)={\&Integral;}_0^{z+1}1\&times;\frac{1}{2}\mathrm{dx}=\frac{1}{2}x{|}_0^{z+1}=\frac{1}{2}(z+1)---\left(18\right)$

当z∈(0,1)

$f_Z\left(z\right)={\&Integral;}_0^{1}1\&times;\frac{1}{2}\mathrm{dx}=\frac{1}{2}{\&Integral;}_0^1=\frac{1}{2}---\left(19\right)$

当z∈(1,2)

$f_Z\left(z\right)={\&Integral;}_{z-1}^{1}1\&times;\frac{1}{2}\mathrm{dx}=\frac{1}{2}x{|}_{z-1}^1=\frac{1}{2}(2-z)---\left(20\right)$

从公式(18)-(20)得Z的概率分布如图3所示：

二维解空间的概率分布可以类似求得，其分布概率如图4所示：

通过图3可见，对于一维空间，横向交叉产生的子代以较大概率均匀分布在父代所包含的范围[x1，x2]之间，在此范围之外的[x1-(x2-x1)，x1]和[x2，x2+(x2-x1)]则呈现线性减小的概率密度分布；

如此一来，横向交叉既能以较大概率搜索父代空间的同时，也有以较小的概率搜索其外围空间，从而减少搜索盲点，增加搜索行为的探索性和开发性；

而对于(x₁,y₁)和(x₁,y₁)构成的二维空间，粒子在空间出现的概率密度如图4所示，其结论也与一维空间相似，粒子仍然在父代包含空间中进行较大概率的均匀搜索，而其外围扩张空间则呈线性减小的概率密度分布。多维空间也可以得到类似结论。

从以上可知，横向交叉将多维解空间随机拆分成一半种群大小的超立方体子空间，每个子空间以配对的父代个体粒子(如X(i)和X(j))为其对角顶点。每对父代粒子以较大概率在自身所包围超的超立方体繁殖后代，在超立方体外围呈线性减少的概率搜索新解。这种搜索机制加强了种群的空间探索性，使得算法全局优化能力得到了大大增强。

(2)纵向交叉的行为分析

纵向交叉在CSO中扮演另外一个十分重要的角色，它不仅是一种解决如旋转函数这样的复杂优化问题的有效搜索方法，同时能有效地使得种群中陷入停滞不前的维迅速摆脱出来。根据观察函数的优化过程发现，大多数群智能优化算法(包括横向交叉)陷入局部最优的根本原因往往是因为部分维出现了停滞不前。当种群中部分维集体停滞不前时，这时候横向交叉已经无能为力，而纵向交叉则通过个体粒子不同维度之间进行信息交换，为陷入局部最优的维提供了跳出局部最优的机会。而一旦跳出局部最优，这时候新解则会通过横向交叉迅速传播到其它不同的粒子上，从而摆脱局部最优。正是因为CSO中这种双向交叉的交替进行，使得两种交叉方式的结果会呈链式反应在整个种群中蔓延，这种纵横交叉机制使得CSO在解决复杂优化问题(如含众多局部最优点的多模问题)时，相比它群智能优化算法，在全局收敛能力和收敛速度方面具有明显的优势。不同于其它优化算法的变异操作，纵向交叉是将种群中整维进行交叉操作，并且最后通过竞争算子将具有更佳适应度的个体粒子保留。

(3)CSO的参数设置

大部分群智能优化算法都存在参数设置的问题。CSO算法中只有唯一的一个参数(即纵向交叉概率P_vc)需要设置。纵向交叉的概率P_vc是影响CSO优化能力的一个重要因素，过多或过少的维参与纵向交叉操作都会影响粒子的自我认知行为，不利于种群的寻优。为了测试不同的概率P_vc对CSO优化能力的影响，本文使用表4中几种不同类型的函数让P_vc在0～1的概率间以0.1为分辨率共11种不同的概率下进行优化，每种概率下优化30次，取其平均值作为在该概率下的优化结果，观察不同概率对函数优化的影响。仿真结果如图5a-5e所示；

可以看到，纵向交叉概率在0.2-0.8之间，大部分函数都能取得较好的优化结果；

图5a-5e为函数在不同概率下的优化结果比较；

从图5a-5e中可以看出，对于单模函数f₁-f₃和多模函数f₄-f₆，30次独立优化表明CSO中的P_vc不论设为[0，1]中任何值，都能精确地搜索到全局最优解。因此对于相对简单的单模函数和多模函数而言，P_vc建议设置为0，这样做可以省去纵向交叉操作，减少一半的适应度评估开销；而对于旋转函数或者位移函数，试验结果表明：如果将纵向交叉的概率P_vc设为0，那么对于位移函数(如f₇和f₉)，种群中大概会10％-30％的维陷入局部最优点，而对于旋转函数(如f₁₀和f₁₁)则为20％-40％。为了使陷入停滞不前的维尽快摆脱出来，CSO中的纵向交叉提供了一种新颖的摆脱机制。由于一次纵向交叉只产生一个子代，例如P_vc设为0.8，那么实际上只有40％的维会在交叉过程中发生变异；鉴于以上事实，对于复杂的位移函数优化，P_vc建议设置在[0.2，0.6]区间，对于复杂的旋转函数优化，P_vc建议设置在[0.6，0.8]区间；

实验仿真与比较

为了展示CSO的行为和性能，首先使用11个标准测试函数对CSO以及横向交叉、纵向交叉的行为进行分析。然后使用PSO、QPSO、ELM和CSO对比它们的优化效果。

(1)标准测试函数和参数设置

本发明中的测试函数可以分成四组：f₁-f₃是单模函数，f₄-f₆是多模函数，f₇-f₉是位移函数，f₁₀-f₁₁是旋转函数。表4中，参数ξ表示可接受解范围，当优化结果与实际最优值间的误差小于等于ξ时，可认为寻优成功。函数范围则是函数优化空间的上下限。实验中，算法的参数设置如下：CSO中，纵向交叉概率P_vc设为0.8。PSO中，惯性权重设为加速系数设为c1＝c2＝2.0.QPSO中，设为搜索扩张系数从1.0线性下降到0.5。所有重复30次测试中，解空间维数设为D＝30。种群大小设为M＝40。f₁-f₆最大迭代次数设为Maxlter＝2000，f₇-f₁₁最大迭代次数设为Maxlter＝5000。

表4标准测试函数

(2)仿真结果

CSO由横向交叉和纵向交叉两种进化方式组成，然而横向交叉和纵向交叉可以分别看作是两种搜索算法。为了展现它们的效果，使用CSO、横向交叉和纵向交叉对表4中标准测试函数进行优化对比。优化结果如表5所示，优化过程的CSO收敛曲线如图6-16；

表5 CSO、横向交叉和纵向交叉的标准函数测试结果

表5中分别给出了CSO、横向交叉和纵向交叉的最小误差、平均误差和标准差。通过试验可以发现在函数f₁-f₃，f₅-f₉中，横向交叉具有比纵向交叉更好的优化结果。在函数f₄，f₁₀-f₁₁中，纵向交叉则表现的比横向交叉更好。尽管横向交叉在大多数测试函数中具有比纵向交叉更好的优化结果，在多模函数(f₄)或者旋转函数(f₁₀-f₁₁)中仍会有陷入局部最优的风险，而纵向交叉则在这些函数具有很好的优化效果。而CSO很好的吸收两者的优势，因此从表5我们可以看见CSO的优化能力比两者都要强，它的优化结果比可接受范围ξ小得多，这说明CSO集成了横向交叉和纵向交叉两者的有点，因此表现出很强的全局优化能力。

进一步的，我们使用CSO和其它智能优化算法PSO，ELM，QPSO进行对比，列出它们的最小误差，平均误差、标准差以及优化时间；

结果如表3。

观察可以发现CSO具有比其他算法更好的收敛结果，其中单模函数f₁-f₃中，虽然所有函数都表现出很好的优化结果，但是只有CSO能每次都无误差的达到理论最优解。在具有很多局部最优点的多模函数f₄-f₆中，CSO与其它测试函数的优化效果则表现出明显优势，证明了其面对复杂问题时的强大优化能力。而位移函数或者旋转函数f₇-f₁₁因为其位移和旋转特性使得其更难通过优化算法寻得全局最优点，而实验结果表明：CSO比其群智能优化算法均表现出压倒性的优势。

结论

本发明提出了一种全新的智能优化算法：纵横交叉算法(CSO)。CSO通过横向交叉和纵向交叉两种行为方式在解空间里寻找全局最优解。CSO中，横向交叉着眼于在不同的不同粒子间的交叉进行寻优，而纵向交叉则着眼于粒子的不同维之间的交叉，为陷入局部最优的维提供跳出局部最优的机会。两种交叉方式通过竞争算子进行选择使得CSO比其它一些随机优化算法在收敛精度和收敛速度上都具有明显的优势。尽管每代迭代CSO需要进行两次不同的交叉操作，也就使得每代需要比PSO等优化算法进行多一倍的目标函数评估，但是CSO仍然表现出更快的收敛速度和更好的收敛精度。另外，CSO只有一个参数：纵向交叉概率P_vc需要调整，然而实验中表明在[0.2，0.8]这样一个概率下能对许多优化问题(如带位移或者旋转的标准测试函数)都获得较好的解。

对标准函数的测试和电力系统经济调度的成功优化均表明CSO在工程科学领域的复杂优化问题具有很好的表现。

Claims (3)

1.一种基于纵横交叉算法的电力系统经济调度优化方法，其特征在于包括以下步骤： 

S1建立经济调度数学模型 

经济调度数学模型包括目标函数和约束条件，目标函数采用考虑燃料费用最低，约束条件包括功率平衡约束和机组出力约束； 

考虑阀点效应的机组燃料费用的目标函数具体形式为： 

其中F_i是发电机组i的燃料费用函数；P_i是火电机组i的有功出力；N是火电机组台数；a_i、b_i、c_i分别是火电机组i的燃料费用系数；e_i、f_i分别是火电机组i的阀点效应系数； 

功率平衡约束要求公式(1)满足： 

其中P_L是系统总负荷需求；P_D是系统总传输网损； 

机组出力约束要求发电机组出力P_i满足： 

P_imin≤P_i≤P_imax(3)； 

其中P_imin和P_imax分别是火电机组i的最小有功出力和最大有功出力； 

S2对公式(1)采用基于纵横交叉算法进行优化，包括以下子步骤： 

S2-1：初始化； 

S2-2：执行横向交叉后进入竞争算子； 

S2-3：执行纵向交叉后进入竞争算子； 

S2-4：终止条件：如果达到指定的最大迭代次数，算法结束；否则转入步骤S2-2。 

2.根据权利要求1所述的基于纵横交叉算法的电力系统经济调度优化方法，其特征在于：所述的步骤S2-1初始化具体为： 

设定火电机组台数N，系统负荷总需求P_L，种群大小M，最大迭代次数 Maxlter，纵向交叉概率P_vc，在机组最小有功出力和最大有功出力范围内随机产生初始化种群，并保存在矩阵X中； 

所述的步骤S2-2执行横向交叉具体为： 

(1)获取父代种群X：第一代为初始化种群，其它代均为纵向交叉产生的占优解矩阵DS_vc； 

(2)对父代种群X中所有个体粒子不重复随机配对，方法为：在1至M之间产生M个不重复的整数序列，将配对序号保存在矩阵B中； 

(3)按顺序从矩阵B中取出相邻两个数作为父代配对粒子的序号i,j； 

(4)假定父代粒子X(i)和X(j)在第d维进行横向交叉，则它们的子代繁殖采用如下公式： 

MS_hc(i,d)＝r₁×X(i,d)+(1-r₁)×X(j,d)+c₁×(X(i,d)-X(j,d))    (4)； 

MS_hc(j,d)＝r₂×X(j,d)+(1-r₂)×X(i,d)+c₂×(X(j,d)-X(i,d))    (5)； 

其中，d∈(1，N)，r₁，r₂是0～1之间的随机数；c₁，c₂是-1～1之间的随机数；X(i,d)，X(j,d)分别是父代种群中个体粒子X(i)和X(j)的第d维，MS_hc(i,d)和MS_hc(j,d)分别是X(i,d)和X(j,d)通过横向交叉产生的第d维子代； 

(5)重复步骤(3)和步骤(4)次，最终获得横向交叉产生的中庸解，保存在中庸解矩阵MS_hc中； 

(6)采用竞争算子，获取横向交叉占优解，保存在DS_hc中； 

具体包括以下步骤： 

INPUT:DS_vc，M，D； 

LET X←DS_vc； 

LET B＝pertutate(M)//对1-M之间的整数进行随机排列； 

FOR i＝1to M/2； 

LET no1＝B(2×i-1)，no2＝B(2×i)； 

FOR j＝1to D； 

产生随机数r₁∈(0，1)，r₂∈(0，1)，c₁∈(-11)，c₂∈(-11)； 

MS_hc(no1,j)＝r₁×X(no1,j)+(1-r₁)×X(no2,j)+c₁×(X(no1,j)-X(no2,j)) 

MS_hc(no2,j)＝r₂×X(no2,j)+(1-r₂)×X(no1,j)+c₂×(X(no1,j)-X(no2,j)) 

END FOR； 

END FOR； 

采用竞争算子更新DS_hc； 

所述的步骤S2-3执行纵向交叉具体为： 

(1)获取父代种群X，其等于横向交叉产生的占优解矩阵DS_hc； 

(2)对父代种群X每一维进行归一化，归一化公式如下： 

其中，d∈(1,N)，X(i,d)是种群X中个体粒子X(i)第d台机组的有功出力，P_dmin是第d台机组最小有功功率，P_dmax是第d台机组最大有功功率； 

(3)对种群中所有的维进行不重复两两随机配，方法为：在1至N之间产生N个不重复的整数序列，将配对序号保存在矩阵B中； 

(4)按顺序从矩阵B中取出相邻两个数即为配对的维序号d₁，d₂； 

(5)种群中所有的个体粒子X(i)在纵向交叉概率P_vc条件下，根据公式(7)产生X(i,d₁)的子代MS_vc(i,d1)： 

MS_vc(i,d₁)＝r·X(i,d₁)+(1-r)·X(i,d₂)，i∈(1,M),d₁,d₂∈N(1,D) (7) 

其中，r∈(0,1)，MS_vc(i,d1)是个体粒子X(i)的第d₁维和第d₂维通过纵向交叉产生的第d₁维子代； 

(6)重复步骤(4)和和步骤(5)次； 

(7)对MS_vc进行反归一化，反归一化公式如下： 

MS_vc(i,d)＝MS_vc(i,d)×(P_dmax-P_dmin)+P_dmin    (8)； 

最终获得纵向交叉产生的中庸解，保存在中庸解矩阵MS_vc中； 

(8)采用竞争算子，获取纵向交叉占优解，保存在DS_vc； 

具体包括以下步骤： 

INPUT:DS_hc，M，N； 

X←DS_hc； 

归一化X； 

Let B＝ipertutate(N).对1-N之间的整数进行随机排列； 

FOR i＝1to N/2； 

产生一个随机数p∈(0，1)； 

IF p<P_vc THEN Let no1＝B(2×i-1)，and no2＝B(2×i)； 

FOR j＝1to M； 

产生一个随机数r∈(0，1)； 

MS_vc(j,no1)←r·X(j,no1)+(1-r)·X(j,no2)； 

END FOR； 

END IF； 

END FOR； 

对MS_vc进行反归一化操作； 

采用竞争算子更新DS_vc； 

上述纵向交叉操作概率P_vc取0.2～0.8。 

3.根据权利要求2所述的基于纵横交叉算法的电力系统经济调度优化方法，其特征在于：所述的步骤S2-2和S2-3中的进入竞争算子具体为： 

(1)计算中庸解矩阵和父代种群X中每个粒子的适应度，计算公式如下： 

其中:P_f为罚函数系数； 

(2)如果中庸解MS(i)优于它的父代X(i)，则DS(i)←MS(i)；否则DS(i)←X(i)； 

具体步骤如下： 

FOR i＝1to M； 

根据公式(9)评估MS(i)和X(i)； 

IF MS(i)优于它的父代X(i)THEN； 

DS(i)←MS(i)； 

ELSE DS(i)←X(i)； 

END IF； 

END FOR。