CN104217074A - 一种基于矩阵指数的电磁暂态隐式降阶仿真方法 - Google Patents

Abstract

一种基于矩阵指数的电磁暂态隐式降阶仿真方法，首先在状态分析框架下建立待研究电力系统的高维非线性电磁暂态仿真模型；设定降维子空间维数m等仿真参数，初始化并启动仿真程序；在每一个仿真步长内生成增广状态矩阵和状态向量，使用Arnoldi算法生成其降维Krylov子空间的正交基底；利用矩阵指数的Krylov子空间近似公式，以低维矩阵指数近似原系统高维矩阵指数，并求解非线性方程得到当前时刻的状态变量，仿真推进一个步长；依此迭代进行，直到仿真结束。本发明保留了矩阵指数积分方法良好的数值精度和刚性处理能力，对电力系统的非线性特性具有一般性的建模仿真能力，通过隐式降阶方法，扩展了矩阵指数积分方法的在大规模电力系统电磁暂态仿真领域的适用范围。

Description

一种基于矩阵指数的电磁暂态隐式降阶仿真方法

技术领域

本发明涉及一种电磁暂态隐式降阶仿真方法。特别是涉及一种适用于电力系统电磁暂态建模仿真应用的基于矩阵指数的电磁暂态隐式降阶仿真方法。

背景技术

电力系统电磁暂态仿真主要反映系统中电场与磁场的相互影响产生的电气量的变化过程，采用详细的动态建模和微秒级的仿真步长，得到从工频到几十kHz频谱范围内的三相电压电流瞬时值波形。近年来我国电力系统实际运行中出现的一些新的仿真场景，系统规模大，仿真时间长，使用传统电磁仿真算法会消耗较多计算资源和计算时间。在输电系统方面，随着特高压技术的发展与应用，互联电网规模逐渐增加；配电系统方面，随着分布式电源和电力电子装置的大量接入，传统的无源配网成为有源配网，其复杂的暂态特性需要使用电磁暂态仿真程序进行研究分析。这些因素无疑给电磁暂态仿真提出了新的挑战，需要结合问题特性从仿真算法层面提出针对性的改进。

电力系统电磁暂态仿真本质上可归结为对动力学系统时域响应的求取，它包括系统本身的数学模型和与之相适应的数值算法。

当前，电力系统电磁暂态仿真基本框架可分为两类，包括节点分析法(Nodal Analysis)和状态变量分析法(State-Variable Analysis)。基于节点分析框架的电磁暂态仿真方法可概括为先采用某种数值积分方法(通常为梯形积分法)将系统中动态元件的特性方程差分化，得到等效的计算电导与历史项电流源并联形式的诺顿等效电路，此时联立整个电气系统的元件特性方程形成节点电导矩阵，如式(1)所示，对其求解即可得到系统中各节点电压的瞬时值。

Gu＝i    (1)

式(1)所示的节点电导矩阵为线性方程组，可使用各种成熟的线性稀疏矩阵算法库进行求解。节点分析法广泛应用于EMTP、PSCAD/EMTDC等专业的电力系统电磁暂态仿真程序中，工程上也称基于节点分析框架的电磁暂态仿真工具为EMTP类程序。节点分析法的主要优势体现在程序实现难度和仿真计算效率方面，但由于式(1)的节点电导方程本身已将数值积分方法与系统模型融为一体，导致EMTP类程序在求解算法选择方面缺乏灵活性与开放性，同时式(1)已不能给出系统本身的特征信息。

状态变量分析法属于一般性建模方法(general purpose modeling)，不仅适于电路与电力系统仿真，同样也适于其它工程领域的动力学系统的建模与仿真。Matlab/SimPowerSystems软件是状态变量分析框架下暂态仿真程序的典型代表。与节点分析框架相比，状态方程在模型的计算求解方面具有高度的开放性和灵活性，可方便地选择与问题相适应的数值积分方法，同时能够提供关于系统各种特征的丰富信息(如系统的特征值)，进而能够从全局角度了解系统的动态特性，为各种快速、准确、高效的仿真算法的开发与测试工作提供了便利条件。

应用状态变量分析的基础是形成式(2)所示标准形式的状态-输出方程，此时系统中的电源作为输入u。

$\stackrel{\·}{x}=\mathrm{Ax}+\mathrm{Bu}$

y＝Cx+Du    (2)

在电力系统仿真领域，式(2)可以由改进节点法Modified Nodal Analysis(MNA)通过KCL、KVL等约束关系以及元件伏安特性进行构造而得到MNA模型，再经过一定的正规化处理(regularization)转化而来。MNA模型是形如式(3)的状态-输出方程。

$C\stackrel{\·}{x}+\mathrm{Gx}=\mathrm{Bu}$

y＝Lx    (3)

也可以采用一般支路类方法，如Automated State Model Generator(ASMG)方法直接构造得到。基于这些方法得到的电力系统模型能够很容易的与本发明所采用的状态变量分析框架下的电磁暂态仿真程序进行接口。

在数值算法方面，传统数值积分方法可分为显式和隐式两类，不同积分方法所具有的数值稳定性和数值精度各不相同。一般来说，隐式方法处理仿真模型中刚性特征的能力较强。电力系统由于动态过程时间尺度差异较大，系统模型表现出一定刚性，这使得主流电磁暂态软件EMTP类程序采用隐式方法以保证数值稳定性。从计算开销方面来看，隐式方法在每一时步内需求解线性方程组，极大限制了其在大规模系统的应用能力。与之相对的，传统显式方法无需迭代，在每一时步内的运算量较小，但其有限的数值稳定域使得仿真步长受到约束，综合来看对刚性系统的仿真性能不佳。对于现代电力系统来说，系统中既存在微秒级的电力电子开关动态过程，又存在同步机组的励磁、调速等秒级的机电暂态过程，时间尺度差异极大，系统刚性特征十分显著。充分利用状态方程框架在数值算法选择方面的灵活性，结合电力系统电磁暂态仿真的应用场景与特殊需求，发展合适的数值积分方法，是提高电力系统电磁暂态仿真的计算性能和应用前景的关键。

矩阵指数积分方法(Exponential Integrator)是近年来从应用数学领域发端的一种数值积分方法。它使用矩阵指数算子e^hA精确描述动态系统的线性变化规律，可以准确求解形如

$\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{Bu}\left(t\right)$

的线性动力学系统，并具有计算效率高、刚性处理能力强等特点。矩阵指数积分方法已经在诸如应用物理、化学工程等领域得到一定应用。然而，现代电力系统的元件模型复杂，数量众多，网络规模庞大，结构各异，这使得实际电力系统的电磁暂态模型将是一个维数极高的动态系统。由于矩阵指数的直接计算算法复杂度为O(n³)，高维问题难以应用，这给矩阵指数积分方法应用于电力系统仿真带来了很大挑战。为了在电力系统电磁暂态仿真问题中使用矩阵指数积分方法，需要考虑的一定的化简与降维方法。

传统电磁暂态程序面向的是中小规模电力系统仿真算例，对于实际的大规模系统，通常采用等值的方法，在建模阶段对不关心的那一部分系统进行降维处理。这样的降维处理方法往往是经验性的，难以统一地、定量地得出降维过程对最终仿真结果精度的影响。事实上，互联动态系统的行为往往是复杂而难以预见的，孤立地对互联系统的一部分进行简化处理，很可能造成关键动态特性的丢失。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是，提供一种基于矩阵指数的电磁暂态隐式降阶仿真方法，保留了矩阵指数方法良好的数值精度和刚性处理能力，将模型降维过程隐式地集成在仿真计算的每一个时步，解决了矩阵指数积分方法在大规模电力系统电磁暂态仿真领域的适用性问题。

本发明所采用的技术方案是：一种基于矩阵指数的电磁暂态隐式降阶仿真方法，包括如下步骤：

1)在状态分析框架下，建立待研究电力系统的电磁暂态仿真模型，模型形式为

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=\mathrm{Ax}+f(x,t)+b\left(t\right)\\ y=g(x,t)\end{array}\right.$

其中，x是包含当前时刻电力系统所有电容、电感储能元件与控制器记忆元件状态的状态向量，t为时间，Ax和f(x,t)分别是电力系统动态特性中的线性和非线性部分，b(t)是系统外部激励，输出函数g(x,t)根据仿真结果显示的需要，由使用者任意指定；

2)设定仿真时间T，仿真步长Δt，Krylov子空间基底维数m，非线性迭代收敛精度ε，设定当前时刻t_n为仿真起始时刻t₀，依照仿真需要，设置仿真初值x₀，并赋值给当前时刻状态向量x_n，计算仿真起始时刻输出向量y₀＝g(x₀,t₀)，并写入输出文件；

3)计算当前时刻t_n时，电磁暂态仿真模型中的非线性项f(x_n,t_n)和激励项b(t_n)及激励项的前向数值导数采用二阶梯形公式对非线性项f(x,t)和激励项b(t)进行近似，形成增广状态矩阵A′和增广状态向量x′

$A^{\′}=\left[\begin{array}{ccc}A& \frac{b\left(t_{n+1}\right)-b\left(t_n\right)}{\mathrm{\Δt}}& b\left(t_n\right)\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

$x_n^{\′}=\left[\begin{array}{c}{x}_n+\frac{\mathrm{\Δt}}{2}f(x_n,t_n)\\ 0\\ 1\end{array}\right];$

4)采用标准Arnoldi算法求取m维Krylov子空间

K_m(A′，x′_n)＝span{x′_n，A′x′_n，…，(A′)^m-1x′_n}

的正交基底，得到增广状态矩阵A′在子空间上的近似矩阵H_m和基向量矩阵V_m，其中，span{v₁，v₂，…，v_n}指由一组向量{v_i}张成的向量空间；

5)利用Krylov子空间K_m(A′，x′_n)，将矩阵向量乘法e^ΔtA′x′_n作为一个整体进行近似计算，其中e^ΔtA′指任意矩阵ΔtA′的矩阵指数函数，从而通过一个低维矩阵的矩阵指数计算，得到近似原高维矩阵运算e^ΔtA′x′_n的效果，隐式地实现模型降维；

6)记下一个时刻时间值t_n+1＝t_n+Δt，，并求解非线性方程

$x_{n+1}=\frac{\mathrm{\Δt}}{2}f(x_{n+1},t_{n+1})+\left[\begin{array}{cc}I& 0_{n\×2}\end{array}\right]e^{\mathrm{\Δt}{A}^{\′}}{x}_n^{\′}$

至设定的非线性迭代收敛精度ε，得到t_n+1时刻的状态向量x_n+1，其中，I是单位矩阵；

7)由y_n+1＝g(x_n+1,t_n+1)得到t_n+1时刻输出向量的值并写入输出文件，更新当前时刻为下一时刻t_n＝t_n+1，仿真向前推进一个步长；

8)比较当前时刻t_n与仿真时间T，判断是否已经抵达仿真结束时刻，若已经达到，则仿真结束；若未达到，则回到步骤3)继续进行计算，依此循环迭代，直到仿真结束。

步骤4)得到的增广状态矩阵A′在子空间上的近似矩阵H_m和基向量矩阵V_m满足以下关系：

$V_m^T{V}_m=I_m---\left(1\right)$

$V_m{V}_m^T{x}_n^{\′}=x_n^{\′}---\left(2\right)$

(3)V_mx′_n＝‖x′_n‖e₁

$H_m=V_m^T\mathrm{\Δt}{A}^{\′}{V}_m---\left(4\right)$

其中，‖x′_n‖是向量x′_n的范数，e₁是m维空间中的基向量[1，0，…，0]^T。

步骤5)所述的近似计算为具体算法为：

(1)使用矩阵指数算法：Scalling & Squaring方法或Chebyshev逼近方法，计算低维矩阵ΔtH_m的矩阵指数并记矩阵指数的第一列为向量v_H；

(2)通过坐标变换将向量v_H转换到原始高维空间，即v_H＝V_mv_H；

(3)用当前时步状态向量初值的范数将向量v_H伸缩到正确的幅值，即v_H＝‖x′_n‖v_H，v_H就是高维矩阵指数与向量乘积e^ΔtA′x′_n的Krylov子空间近似。

本发明的一种基于矩阵指数的电磁暂态隐式降阶仿真方法，在状态分析框架下，基于矩阵指数算子在降维子空间的投影原理实现了大规模电力系统电磁暂态模型的仿真计算，使得矩阵指数电磁暂态仿真方法适用范围更广，更好地解决工程实际遇到的电力系统电磁暂态仿真问题。本发明无需在仿真计算之前进行任何模型简化处理，而是将降阶过程隐式地放在仿真计算的每一个时步当中；不依赖仿真程序的使用者按照自己的经验划分研究系统和外部系统并进一步调用外部的动态等值程序，而是将原始的高维非线性的整体动态模型送入仿真程序，使用严谨的数学方法同时实现模型降维和仿真计算，每一步都能定量的给出降维带来的精度偏差，易于对模型降阶过程进行误差控制。本发明保留了矩阵指数积分方法良好的数值精度和刚性处理能力，对电力系统元件的非线性环节具有一般性的建模和仿真能力，解决了矩阵指数积分方法在大规模电力系统电磁暂态仿真领域的适用性问题。

附图说明

图1是IEEE123节点基准电网算例结构图；

图2是本发明的一种基于矩阵指数的电磁暂态隐式降阶仿真方法的流程图；

图3是IEEE123节点算例中配电变压器上流过的C相电流；

图4是IEEE123节点算例中配电变压器上流过的C相电流在区间[0.0332，0.03355]上的放大图；

图5是IEEE123节点算例中配电变压器上流过的C相电流在区间[0.01664，0.01666]上的放大图；

图6是IEEE123节点算例中配电变压器上流过的C相电流，采用不同数值积分方法时的绝对误差比较。

具体实施方式

下面结合实施例和附图对本发明的一种基于矩阵指数的电磁暂态隐式降阶仿真方法做出详细说明。

本发明的一种基于矩阵指数的电磁暂态隐式降阶仿真方法，如图2所示，包括如下步骤(并以图1所示的IEEE123节点算例作为实施例说明)：

1)在状态分析框架下，建立待研究电力系统的电磁暂态仿真模型，模型形式为

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=\mathrm{Ax}+f(x,t)+b\left(t\right)\\ y=g(x,t)\end{array}\right.$

其中，x是包含当前时刻电力系统所有电容、电感储能元件与控制器记忆元件状态的状态向量，t为时间，Ax和f(x,t)分别是电力系统动态特性中的线性和非线性部分，b(t)是系统外部激励，输出函数g(x,t)根据仿真结果显示的需要，由使用者任意指定；

本实例，采用ASMG(Automated State Model Generator)进行系统建模，得到形如

$\left\{\begin{array}{c}C\stackrel{\·}{x}+\mathrm{Gx}=\mathrm{Bu}\\ y=\mathrm{Lx}\end{array}\right.$

的配电网络动态模型。状态向量x(t)包含支路电流和部分节点电压，状态矩阵A＝-C^-1G，激励源b(t)＝C^-1Bu(t)是115kV母线的等效电压源，输出函数g(x,t)＝Lx给出与节点150相连的配电变压器上流过的三相电流。

2)设定仿真时间T，仿真步长Δt，Krylov子空间基底维数m，非线性迭代收敛精度ε，设定当前时刻t_n为仿真起始时刻t₀，依照仿真需要，设置仿真初值x₀，并赋值给当前时刻状态向量x_n，计算仿真起始时刻输出向量y₀＝g(x₀,t₀)，并写入输出文件；

本实例从初始零时刻以零状态启动，设定仿真时间0.06s，仿真步长5us，Krylov子空间基底维数为45。

3)计算当前时刻t_n时，电磁暂态仿真模型中的非线性项f(x_n,t_n)和激励项b(t_n)及激励项的前向数值导数采用二阶梯形公式对非线性项f(x,t)和激励项b(t)进行近似，形成增广状态矩阵A′和增广状态向量x′

$A^{\′}=\left[\begin{array}{ccc}A& \frac{b\left(t_{n+1}\right)-b\left(t_n\right)}{\mathrm{\Δt}}& b\left(t_n\right)\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

$x_n^{\′}=\left[\begin{array}{c}{x}_n+\frac{\mathrm{\Δt}}{2}f(x_n,t_n)\\ 0\\ 1\end{array}\right];$

4)采用标准Arnoldi算法求取m维Krylov子空间

K_m(A′，x′_n)＝span{x′_n，A′x′_n，…，(A′)^m-1x′_n}

的正交基底，得到增广状态矩阵A′在子空间上的近似矩阵H_m和基向量矩阵V_m，其中，span{v₁，v₂，…，v_n}指由一组向量{v_i}张成的向量空间；

得到的增广状态矩阵A′在子空间K_m(A′，x′_n)上的近似矩阵H_m和基向量矩阵V_m满足以下关系：

$V_m^T{V}_m=I_m---\left(1\right)$

$V_m{V}_m^T{x}_n^{\′}=x_n^{\′}---\left(2\right)$

(3)V_mx′_n＝‖x′_n‖e₁

$H_m=V_m^T\mathrm{\Δt}{A}^{\′}{V}_m---\left(4\right)$

其中，‖x′_n‖是向量x′_n的范数，e₁是m维空间中的基向量[1，0，…，0]^T。

5)利用Krylov子空间K_m(A′，x′_n)，将矩阵向量乘法e^ΔtA′x′_n作为一个整体进行近似计算，其中e^ΔtA′指任意矩阵ΔtA′的矩阵指数函数，从而通过一个低维矩阵的矩阵指数计算，得到近似原高维矩阵运算e^ΔtA′x′_n的效果，隐式地实现模型降维；

所述的近似计算为 $e^{\mathrm{\Δt}{A}^{\′}}{x}_n^{\′}\≈\left|\right|x_n^{\′}\left|\right|V_m{e}^{\mathrm{\Δt}{H}_m}{e}_1,$ 具体算法为：

(1)使用矩阵指数算法：Scalling & Squaring方法或Chebyshev逼近方法，计算低维矩阵ΔtH_m的矩阵指数并记矩阵指数的第一列为向量v_H；

(2)通过坐标变换将向量v_H转换到原始高维空间，即v_H＝V_mv_H；

(3)用本时步状态向量初值的范数将向量v_H伸缩到正确的幅值，即v_H＝‖x′_n‖v_H，v_H就是高维矩阵指数与向量乘积e^ΔtA′x′_n的Krylov子空间近似。

6)记下一个时刻时间值t_n+1＝t_n+Δt，并求解非线性方程

$x_{n+1}=\frac{\mathrm{\Δt}}{2}f(x_{n+1},t_{n+1})+\left[\begin{array}{cc}I& 0_{n\×2}\end{array}\right]e^{\mathrm{\Δt}{A}^{\′}}{x}_n^{\′}$

至设定的非线性迭代收敛精度ε，得到t_n+1时刻的状态向量x_n+1，其中，I是单位矩阵；

7)由y_n+1＝g(x_n+1,t_n+1)得到t_n+1时刻输出向量的值并写入输出文件，更新当前时刻为下一时刻t_n＝t_n+1，仿真向前推进一个步长；

8)比较当前时刻t_n与仿真时间T，判断是否已经抵达仿真结束时刻，若已经达到，则仿真结束；若未达到，则回到步骤3)继续进行计算，依此循环迭代，直到仿真结束。

本发明的一种基于矩阵指数的电磁暂态隐式降阶仿真方法，执行仿真计算的计算机硬件环境为Intel Core2 Q8400 2.66GHz CPU，内存容量2GB；软件环境为Windows7操作系统。

分别将本发明所提出的本发明的一种基于矩阵指数的电磁暂态隐式降阶仿真方法(MEXP Krylov)与原始矩阵指数方法(MEXP original)以及目前电力系统电磁暂态仿真最广泛使用的梯形法(TRAP)进行比较，并采用有误差控制的变步长Adams方法得到仿真的基准曲线。

附图3至图6比较了本发明提出的矩阵指数方法和其它几种数值方法的仿真结果，其中图3为总体图，图4和图5为放大图，图6为误差曲线。

从放大的图4中可以看出，基于矩阵指数的电磁仿真方法所得仿真结果与作为基准值的变步长Adams法较为接近，而梯形法的仿真结果则与其他方法有显著差异，曲线中存在不合理的尖峰，不能真实反映系统较高频率上的振荡特性。

从进一步放大的图5中可以看出，本发明提出的一种基于矩阵指数的电磁暂态隐式降阶仿真方法，采用子空间维数m＝45时，所得仿真结果在时轴的每一个离散点(即图5中的圆圈)，与未使用Krylov子空间隐式降阶的矩阵指数方法(即图5中的方块)基本完全重合，没有显著的降阶误差。

图6给出了不同仿真方法所得曲线与基准曲线之间绝对误差的比较，图中的纵坐标是10为底的对数坐标。本发明提出的一种基于矩阵指数的电磁暂态隐式降阶仿真方法绝对误差比传统的隐式梯形法绝对误差小两个数量级。充分验证了本发明提出的仿真方法在数值精度上的突出优势。

以上算例测试结果证明，本发明提出的一种基于矩阵指数的电磁暂态隐式降阶仿真方法具有良好的可行性与适用性，为解决大规模电力系统电磁暂态仿真提供了一种很好的解决思路。

Claims (3)

1.一种基于矩阵指数的电磁暂态隐式降阶仿真方法，其特征在于，包括如下步骤：

1)在状态分析框架下，建立待研究电力系统的电磁暂态仿真模型，模型形式为

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=\mathrm{Ax}+f(x,t)+b\left(t\right)\\ y=g(x,t)\end{array}\right.$

其中，x是包含当前时刻电力系统所有电容、电感储能元件与控制器记忆元件状态的状态向量，t为时间，Ax和f(x,t)分别是电力系统动态特性中的线性和非线性部分，b(t)是系统外部激励，输出函数g(x,t)根据仿真结果显示的需要，由使用者任意指定；

2)设定仿真时间T，仿真步长Δt，Krylov子空间基底维数m，非线性迭代收敛精度ε，设定当前时刻t_n为仿真起始时刻t₀，依照仿真需要，设置仿真初值x₀，并赋值给当前时刻状态向量x_n，计算仿真起始时刻输出向量y₀＝g(x₀,t₀)，并写入输出文件；

3)计算当前时刻t_n时，电磁暂态仿真模型中的非线性项f(x_n,t_n)和激励项b(t_n)及激励项的前向数值导数采用二阶梯形公式对非线性项f(x,t)和激励项b(t)进行近似，形成增广状态矩阵A′和增广状态向量x′

$A^{\′}=\left[\begin{array}{ccc}A& \frac{b\left(t_{n+1}\right)-b\left(t_n\right)}{\mathrm{\Δt}}& b\left(t_n\right)\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

$x_n^{\′}=\left[\begin{array}{c}{x}_n+\frac{\mathrm{\Δt}}{2}f(x_n,t_n)\\ 0\\ 1\end{array}\right];$

4)采用标准Arnoldi算法求取m维Krylov子空间

K_m(A′，x′_n)＝span{x′_n，A′x′_n，…，(A′)^m-1x′_n}

的正交基底，得到增广状态矩阵A′在子空间上的近似矩阵H_m和基向量矩阵V_m，其中，span{v₁，v₂，…，v_n}指由一组向量{v_i}张成的向量空间；

5)利用Krylov子空间K_m(A′，x′_n)，将矩阵向量乘法e^ΔtA′x′_n作为一个整体进行近似计算，其中e^ΔtA′指任意矩阵ΔtA′的矩阵指数函数，从而通过一个低维矩阵的矩阵指数计算，得到近似原高维矩阵运算e^ΔtA′x′_n的效果，隐式地实现模型降维；

6)记下一个时刻时间值t_n+1＝t_n+Δt，，并求解非线性方程

$x_{n+1}=\frac{\mathrm{\Δt}}{2}f(x_{n+1},t_{n+1})+\left[\begin{array}{cc}I& 0_{n\×2}\end{array}\right]e^{\mathrm{\Δt}{A}^{\′}}{x}_n^{\′}$

至设定的非线性迭代收敛精度ε，得到t_n+1时刻的状态向量x_n+1，其中，I是单位矩阵；

7)由y_n+1＝g(x_n+1,t_n+1)得到t_n+1时刻输出向量的值并写入输出文件，更新当前时刻为下一时刻t_n＝t_n+1，仿真向前推进一个步长；

8)比较当前时刻t_n与仿真时间T，判断是否已经抵达仿真结束时刻，若已经达到，则仿真结束；若未达到，则回到步骤3)继续进行计算，依此循环迭代，直到仿真结束。

2.权利要求1所述的一种基于矩阵指数的电磁暂态隐式降阶仿真方法，其特征在于，步骤4)得到的增广状态矩阵A′在子空间上的近似矩阵H_m和基向量矩阵V_m满足以下关系：

$V_m^T{V}_m=I_m---\left(1\right)$

$V_m{V}_m^T{x}_n^{\′}=x_n^{\′}---\left(2\right)$

(3)V_mx′_n＝‖x′_n‖e₁

$H_m=V_m^T\mathrm{\Δt}{A}^{\′}{V}_m---\left(4\right)$

其中，‖x′_n‖是向量x′_n的范数，e₁是m维空间中的基向量[1，0，…，0]^T。

3.权利要求1所述的一种基于矩阵指数的电磁暂态隐式降阶仿真方法，其特征在于，步骤5)所述的近似计算为具体算法为：

(1)使用矩阵指数算法：Scalling&Squaring方法或Chebyshev逼近方法，计算低维矩阵ΔtH_m的矩阵指数并记矩阵指数的第一列为向量v_H；

(2)通过坐标变换将向量v_H转换到原始高维空间，即v_H＝V_mv_H；

(3)用当前时步状态向量初值的范数将向量v_H伸缩到正确的幅值，即v_H＝‖x′_n‖v_H，v_H就是高维矩阵指数与向量乘积e^ΔtA′x′_n的Krylov子空间近似。