CN104202052B - 一种提高信噪比的Sigma‑Delta调制器自适应混合优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种提高信噪比的Sigma‑Delta调制器自适应混合优化方法，包括：建立Sigma‑Delta调制器的噪声传递函数并对噪声传递函数参数降维；利用基于自适应柯西分布和混沌映射的差分进化方法来优化降维后的噪声传递函数参数；根据待优化的参数最优值得到噪声传递函数参数最优值，进而确定最优的噪声传递函数，完成Sigma‑Delta调制器自适应混合优化；将Sigma‑Delta数模转换器的插值滤波器输出的正弦信号作为优化噪声传递函数后的Sigma‑Delta调制器的输入，并将Sigma‑Delta调制器的输出值变换到频域，进而计算Sigma‑Delta调制器的信噪比。本发明充分利用混沌映射的遍历性及自适应柯西分布扰动能力强的特点，建立目标函数并应用混合差分进化方法优化目标函数，在保持调制器稳定性同时显著提高了信噪比。

Description

一种提高信噪比的Sigma-Delta调制器自适应混合优化方法

技术领域

本发明属于电子信息技术领域，具体涉及一种提高信噪比的Sigma-Delta调制器自适应混合优化方法。

背景技术

当前通信技术的发展对具有高带宽和高分辨率数模转换器产生了巨大的需求。基于奈奎斯特的计数型转换器和积分型转换器可以实现比较高的精度，但是完成N位数据转换最长需要2^N周期，处理速度太慢，不易实现。其他类型的奈奎斯特转换器都需要高精度的模拟器件。而Sigma-Delta数模转换器在精度和速度之间达到一个较好的平衡，成为数模转换器的主流技术。Sigma-Delta数模转换器应用过采样和噪声整形技术，将低频量化噪声整形到高频处，降低了对模拟电路的要求，能以较低成本实现高精度的DAC。

Sigma-Delta DAC主要由插值滤波器、Sigma-Delta调制器和低通滤波器组成。系统首先通过一个插值滤波器将低速信号转化为高速的数字信号，高速高位的数字信号通过Sigma-Delta调制器转化为高速低位的数字信号，之后通过滤波器输出模拟信号。调制器在Sigma-Delta数模转换器中处于核心地位，插值滤波器的参数以及调制器之后模拟部分的参数都由调制器来决定，因此调制器性能的优化变得非常重要。

环路滤波器缩放法(scaling the loop filter coefficients)将调制器视为开关系统，通过缩放环路滤波器参数以降低信号传递方程的峰值，分析了不同的噪声传递方程条件下优化方法对信号传递方程的影响。该方法是一种考虑稳定性和信号传递方程峰值的优化方法，但没有讨论噪声传递方程和量化噪声的最小化。

非线性解码法(nonlinear decoding algorithm)采用非线性解码以获得最小量化噪声，但是没有考虑到噪声传递方程和信号传递方程。

切比雪夫滤波器法(Chebyshev filter method)在满足稳定性要求条件下，对归一化量化噪声功率求取偏微分，获得噪声传递方程零点值；采用Chebyshev或Butterworth滤波器设计极点，但该方法得到的零极点均为次优值。

半无限规划法(semi-infinite programming)用半无限规划约束函数的最大值，但这一方法仅使环路滤波器分母最小化，并不能使系统整体性能得到提升，也就是说不能降低噪声传递方程幅度的峰值，另外由于其无穷维优化运算量也是非常大的。

H无穷优化法(H^infin optimization)采用频域加权函数执行H^-∞优化衰减噪声传递函数幅度，如加权函数选择合可取得很好的性能，但仅仅是次优结果。

频域最大最小优化法(Frequency Domain Min-Max Optimization)采用min-max法将噪声传递方程幅度的最大值最小化，能有效提高信噪比。

混合正交基因算法(Hybrid orthogonal genetic)]采用混合正交基因算法优化，有效提高了信噪比和动态范围。

上述方法存在易于陷入局部极值、精度低、成功率不高等缺点。优化的目标函数是典型的多峰且不可微函数，采用启发式算法更易于获得全局最优值。

差分进化是一种基于群体差异的启发式随机搜索算法，原理简单、受控参数少、鲁棒性强，较上述优化方法有较强的优势。由于选择作用的影响，随着进化代数的增加，个体间的差异会逐渐降低，个体差异性的减少又影响变异所带来的多样性，形成早熟现象。

混沌是介于确定性和随机之间，具有随机性、遍历性和规律性特点，可利用其遍历性作为陷入局部极小值的一种优化机制。

柯西分布是典型的长尾分布，在原点处的峰值比高斯分布小，两端长扁形状趋近于零的速度比高斯分布慢。如果在优化算法中采用柯西变异，它的扰动能力就比高斯变异强，就更有可能跳出局部极值，又能充分利用当前搜索到的状态信息，避免随机初始化的盲目性，提高搜索效率。

发明内容

针对现有技术存在的问题，本发明提供一种提高信噪比的Sigma-Delta调制器自适应混合优化方法。

本发明的技术方案是：

一种提高信噪比的Sigma-Delta调制器自适应混合优化方法，包括以下步骤：

步骤1：建立Sigma-Delta调制器的噪声传递函数并对噪声传递函数参数降维；

步骤1.1：建立Sigma-Delta调制器的噪声传递函数；

其中，a₀、a₁、…a_n，b₀、b₁、…b_m均为噪声传递函数参数，z为z变换算子；

步骤1.2：按照噪声传递函数优化规则将Sigma-Delta调制器的噪声传递函数的分子分母转换为乘积形式，实现噪声传递函数参数降维；

所述噪声传递函数优化规则如下：

(a)零点优化：如零点个数为奇数，则必有一个零点为直流点，其余零点从直流点以复共轭对方式沿单位圆移动；如果零点个数为偶数，则所有零点从直流点以复共轭对方式沿单位圆移动；

(b)稳定性要求：极点位于单位圆内；

(c)满足H(∞)＝1，则m＝n、b_m＝a_n；

步骤2：利用基于自适应柯西分布和混沌映射的差分进化算法来优化降维后的噪声传递函数参数；

步骤2.1：将降维后的噪声传递函数参数作为待优化的参数；

步骤2.2：确定种群中个体数量、待优化参数矢量维数、待优化参数的取值范围、最大迭代数、过采样率、噪声传递函数阶数；

种群中每个个体表示一组待优化参数，多组待优化的参数形成种群；

步骤2.3：建立待优化的参数的目标函数J_NTF，该函数以阻带内量化噪声功率最小化且保证调制器稳定为目标；

其中，NTF(k)为噪声传递函数的频率响应，阻带通带osr为过采样率；

步骤2.4：建立初始种群：随机生成一个个体，该个体中各待优化参数的取值范围在[0，1]之间，其余个体采用帐篷映射生成；

步骤2.5：计算初始种群中每一个体的目标函数值，找出最优个体，保存为当前最优个体；

步骤2.6：为种群中的每一个体随机生成比例因子和交叉概率，比例因子和交叉概率的取值均在[0，1]之间；

步骤2.7：迭代计数值初始化为1；

步骤2.8：利用当前交叉率采用正弦映射产生新的交叉概率；

步骤2.9：采用DE/best/1withjitter策略进行变异操作，生成变异矢量；

步骤2.10：对种群中的个体进行二项式交叉操作，生成试验矢量；

步骤2.11：若二项式交叉操作得到的试验矢量超出待优化参数的取值范围，则进行反弹操作，重新随机生成待优化参数取值范围内的新个体，计算生成的该新个体的目标函数值，同时生成Sigma-Delta调制器噪声传递函数；

步骤2.12：如果Sigma-Delta调制器噪声传递函数的极点位于单位圆外，需重新随机生成待优化参数取值范围内的个体，计算其目标函数值，直到生成满足稳定性要求的个体为止；

步骤2.13：若当前个体的目标函数小于上一代种群中对应个体的目标函数，则用当前个体代替上一代对应个体；

步骤2.14：重复步骤2.8～2.13，直到遍历所有个体；

步骤2.15：采用自适应柯西分布计算比例因子；

步骤2.16：保存当前的最优个体，重复步骤2.8～步骤2.15，直到达到最大迭代次数为止；

步骤2.17：得到的当前的最优个体即待优化的参数最优值；

步骤3：将待优化参数最优值代入噪声传递函数，并将噪声传递函数的分子分母换为多项式形式，进而得到噪声传递函数参数，完成Sigma-Delta调制器自适应混合优化；

步骤4：将Sigma-Delta数模转换器的插值滤波器输出的正弦信号作为优化噪声传递函数后的Sigma-Delta调制器的输入，并将Sigma-Delta调制器的输出值变换到频域，进而计算Sigma-Delta调制器的信噪比。

所述的Sigma-Delta调制器的噪声传递函数为5阶噪声传递函数时，零点个数为奇数，有一个零点为1，其余4个零点以复共轭对沿着单位圆移动，则零点为(1，e^j*alpha1，e^-j*alpha1，e^j*alpha2，e^-j*alpha2)；极点个数同样为奇数，必有一个极点位于横轴，其余四个以复共轭对位于单位圆内，则极点为(r₁，r₂e^j*beta1，r₂e^-j*beta1，r₃e^j*beta2，r₃e^-j*beta2)，则对噪声传递函数参数降维后的Sigma-Delta调制器的噪声传递函数：

噪声传递函数参数的维数从12降低到7，确定降维后的噪声传递函数参数为r₁、r₂、r₃、alpha1、alpha2、beta1、beta2。

有益效果：

1.本发明充分利用了混沌映射的遍历性及自适应柯西分布扰动能力强的特点，并将这两种方法嵌入到差分进化方法中，有效克服差分进化的早熟现象，提高了跳出局部极值的可能性，又能充分利用当前搜索到的状态信息，避免了随机初始化的盲目性，提高了搜索效率。

2.本发明提出了噪声传递函数零极点的优化规则，应用优化规则确定零极点参数后，将传递函数的转换为乘积形式，可显著降低参数的维数，以5阶传递方程为例，参数维数可从12降低到7，极大的降低了运算量，提高了搜索效率。

3.本发明在考虑阻带内量化噪声功率最小化和调制器稳定性前提下建立目标函数，并应用混合差分进化算法优化目标函数，在保持调制器稳定性同时显著提高了信噪比。

附图说明

图1为本发明具体实施方式的一种提高信噪比的Sigma-Delta调制器自适应混合优化方法流程图；

图2为本发明具体实施方式的利用基于柯西分布和混沌映射的差分进化算法来优化降维后的噪声传递函数参数的流程图；

图3为本发明具体实施方式的Peaks函数的优化学习曲线图；

图4为本发明具体实施方式的R.Schreier工具箱仿真得到的噪声传递函数频率响应；

图5为本发明具体实施方式的R.Schreier工具箱仿真得到调制器输出频谱图；

图6为本发明具体实施方式的噪声传递函数的参数优化过程学习曲线；

图7为本发明具体实施方式的采用本发明优化调制器得到的噪声传递函数频率响应；

图8为本发明具体实施方式的方法优化调制器后得到输出频谱图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式做详细说明。

一种提高信噪比的Sigma-Delta调制器自适应混合优化方法，如图1所示，包括以下步骤：

步骤1：建立Sigma-Delta调制器的噪声传递函数并对噪声传递函数参数降维；

步骤1.1：建立Sigma-Delta调制器的噪声传递函数；

其中，a₀、a₁、…a_n，b₀、b₁、…b_m均为噪声传递函数参数，z为z变换算子；

步骤1.2：按照噪声传递函数优化规则将Sigma-Delta调制器的噪声传递函数的分子分母转换为乘积形式，实现噪声传递函数参数降维；

噪声传递函数优化规则如下：

(a)零点优化：如零点个数为奇数，则必有一个零点为直流点，其余零点从直流点以复共轭对方式沿单位圆移动；如果零点个数为偶数，则所有零点从直流点以复共轭对方式沿单位圆移动；

(b)稳定性要求：极点位于单位圆内；

(c)满足H(∞)＝1，则m＝n、b_m＝a_n；

步骤2：利用基于自适应柯西分布和混沌映射的差分进化方法来优化降维后的噪声传递函数参数，如图2所示；

步骤2.1：将降维后的噪声传递函数参数作为待优化的参数；

步骤2.2：确定种群中个体数量、待优化参数矢量维数、待优化参数的取值范围、最大迭代数、过采样率、噪声传递函数阶数；

种群中每个个体表示一组待优化参数，多组待优化的参数形成种群；

步骤2.3：建立待优化的参数的目标函数J_NTF，该函数以阻带内量化噪声功率最小化且保证调制器稳定为目标；

其中，NTF(k)为噪声传递函数的频率响应，阻带通带osr为过采样率；

提高Sigma-Delta调制器的信噪比，可通过降低阻带内量化噪声功率实现，Sigma-Delta调制器输出的阻带量化噪声功率可表示为：

其中，Δ为量化步长，对上式进行等效变换，可得

因量化步长为常量，信噪比的优化可以通过最小化实现。

最小化可保证通带在П弧度处具有单位增益而不具有通带峰值，进而保证调制器的稳定性。

综合以上分析，目标方程为：

对上式进行N点离散傅里叶变换，目标函数约等于

步骤2.4：建立初始种群：随机生成一个个体，该个体中各待优化参数的取值范围在[0，1]之间，其余个体采用帐篷映射生成；

第一个个体随机生成，该个体中的各待优化的参数的取值范围在[0，1]之间，其余个体采用帐篷映射生成，x_i，j为个体i的第j个参数，映射方式如下：

步骤2.5：计算初始种群中每一个体的目标函数值，找出最优个体，保存为当前最优个体；

步骤2.6：为种群中的每一个体随机生成比例因子CR_0，i和交叉概率F_0，i，比例因子和交叉概率的取值均在[0，1]之间；

CR_0，i＝rand

F_0，i＝rand

其中，i为个体序号；

步骤2.7：迭代计数值初始化为1，即G＝1；

步骤2.8：利用当前交叉率采用正弦映射产生新的交叉概率；

正弦映射方式如下：

其中，a＝2.3，G为迭代计数值，i为个体序号，CR_G，i为当前种群中个体i的交叉率，CR_G-1，i为上一代种群中个体i的交叉率。

步骤2.9：采用DE/best/1with jitter策略进行变异操作，生成变异矢量；

其中，best_G当前最优个体，jitter＝0.0001*rand+F_G-1，i，G为迭代次数，i为个体序号，F_G-1，i为上一代种群中个体i的比例因子。

步骤2.10：对种群中的个体进行二项式交叉操作，生成试验矢量；

步骤2.11：若二项式交叉操作得到的试验矢量超出待优化参数的取值范围，则进行反弹操作，重新随机生成待优化参数取值范围内的新个体，计算生成的该新个体的目标函数值，同时生成Sigma-Delta调制器噪声传递函数；

步骤2.12：如果Sigma-Delta调制器噪声传递函数的极点位于单位圆外，需重新随机生成待优化参数取值范围内的个体，计算其目标函数值，直到生成满足稳定性要求的个体为止；

步骤2.13：若当前个体的目标函数小于上一代种群中对应个体的目标函数，则用当前个体代替上一代对应个体；

步骤2.14：重复步骤2.8～2.13，直到遍历所有个体；

步骤2.15：采用自适应柯西分布计算比例因子；

F_G，i＝F_G-1，i+F_G-1，i*Cauchy(0，1)

其中，F_G，i为当前代中个体i的比例因子。

步骤2.16：保存当前的最优个体，重复步骤2.8～步骤2.15，直到达到最大迭代次数为止；

步骤2.17：得到的当前的最优个体即待优化的参数最优值；

步骤3：将待优化参数最优值代入噪声传递函数，并将噪声传递函数的分子分母换为多项式形式，进而得到噪声传递函数参数，完成Sigma-Delta调制器自适应混合优化；

步骤4：将Sigma-Delta数模转换器的插值滤波器输出的正弦信号作为优化噪声传递函数后的Sigma-Delta调制器的输入，并将Sigma-Delta调制器的输出值变换到频域，进而计算Sigma-Delta调制器的信噪比。

所述的Sigma-Delta调制器的噪声传递函数为5阶噪声传递函数时，零点个数为奇数，有一个零点为1，其余4个零点以复共轭对沿着单位圆移动，则零点为(1，e^j*alpha1，e^-j*alpha1，e^j*alpha2，e^-j*alpha2)；极点个数同样为奇数，必有一个极点位于横轴，其余四个以复共轭对位于单位圆内，则极点为(r₁，r₂e^j*beta1，r₂e^-j*beta1，r₃e^j*beta2，r₃e^-j*beta2)，则对噪声传递函数参数降维后的Sigma-Delta调制器的噪声传递函数：

噪声传递函数参数的维数从12降低到7，确定降维后的噪声传递函数参数为r₁、r₂、r₃、alpha1、alpha2、beta1、beta2。

通过测试函数peaks验证本发明中的基于柯西分布和混沌映射的差分进化算法的正确性，但不需要稳定性验证和计算带内均方根增益及信噪比，表1为参数设置。

表1参数设置

目标函数如下：

该函数是典型的多峰函数，包含了两个局部极小值，在(0.2282712187047551，-1.62553724235999)处有一个全局极小值-6.551133332257844，两个局部极小值距离全局极小值很近，因此很容易停滞在此局部极小值。迭代1500次后，如果连续50次精度没有进一步提高，则认为算法收敛。方法连续运行40次，运行结果显示收敛于全局最优值的概率为95％，均值为-6.551112579402066，标准差为1.848567503843173e-09。与混合正交基因算法(Hybrid orthogonal genetic)相比，收敛速度快、精度高且鲁棒性好。图3为peaks函数优化过程的学习曲线。仿真结果显示其全局最优值为-6.551133332835842，最优值位于(0.2282789234727577，-1.625534955286471)。

采用本发明方法优化5阶噪声传递函数以提高调制器的信噪比。实现噪声传递函数的拓扑结构不是唯一的，对于高精度调制器需要优化零极点以得到更好的噪声整形，从而实现更高的精度。CRFF结构更为简单且电路规模更小，所以采用CRFF结构。若满足H(∞)＝1，则m＝n＝5，且b₅＝a₅，其噪声传递函数如下：

零点个数为奇数，必有一个零点在直流，其余四个零点以复共轭对沿着单位圆移动，则零点为(1，e^j*alpha1，e^-j*alpha1，e^j*alpha2，e^-j*alpha2)；极点个数同样为奇数，必有一个极点位于横轴，其余四个以复共轭对位于单位圆内，则极点为(r₁，r₂e^j*beta1，r₂e^-j*beta1，r₃e^j*beta2，r₃e^-j*beta2)。故噪声传递函数可改写为

从上式看出未知数为7，表2为基于柯西分布和混沌映射的差分进化方法参数设置。

表2参数设置

经过5000次迭代，得到传递方程参数分别为：

b₅＝1

b₄＝-4.994025152058236

b₃＝9.982076898309352

b₂＝-9.982076898309352

b₁＝4.994025152058236

b₀＝-1

a₅＝1

a₄＝-3.713371655741597

a₃＝5.618148175773906

a₂＝-4.310242618900316

a₁＝1.677584898248255

a₀＝-0.264894024397211

将优化后的传递函数植入Schreier&Temes工具箱，应用SimulateDSM函数仿真得到噪声传递函数的信噪比及带内均方根增益。

图4～图5为采用Schreier&Temes方法设计调制器得到的仿真结果。其中图4为噪声传递函数的频率响应，通带内均方根增益为-66dB；图5是调制器输出频谱，信噪比为83.2dB。

图6～图8为采用本发明优化调制器得到的仿真结果。其中图6噪声传递函数优化学习曲线；图7是噪声传递函数频率响应，带内均方根增益为-78dB；图8是调制器的输出频谱，信噪比为88dB。

分别比较图4和图7、图5和图8，可以看出采用本发明方法调制器的带内均方根增益降低了12dB，信噪比增加4.8dB。与Schreier&Temes的方法相比性能更优异。

Claims (2)

1.一种提高信噪比的Sigma-Delta调制器自适应混合优化方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：建立Sigma-Delta调制器的噪声传递函数并对噪声传递函数参数降维；

步骤1.1：建立Sigma-Delta调制器的噪声传递函数；

$H\left(z\right)=NTF=\frac{b_m{z}^m+b_{m-1}{z}^{m-1}+...+b_{1}z+b_0}{a_n{z}^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+...+a_{1}z+a_0}$

其中，a₀、a₁、…a_n，b₀、b₁、…b_m均为噪声传递函数参数，z为z变换算子；

步骤1.2：按照噪声传递函数优化规则将Sigma-Delta调制器的噪声传递函数的分子分母转换为乘积形式，实现噪声传递函数参数降维；

所述噪声传递函数优化规则如下：

(a)零点优化：如零点个数为奇数，则必有一个零点为直流点，其余零点从直流点以复共轭对方式沿单位圆移动；如果零点个数为偶数，则所有零点从直流点以复共轭对方式沿单位圆移动；

(b)稳定性要求：极点位于单位圆内；

(c)满足H(∞)＝1，则m＝n、b_m＝a_n；

步骤2：利用基于自适应柯西分布和混沌映射的差分进化方法来优化降维后的噪声传递函数参数；

步骤2.1：将降维后的噪声传递函数参数作为待优化的参数；

步骤2.2：确定种群中个体数量、待优化参数矢量维数、待优化参数的取值范围、最大迭代数、过采样率、噪声传递函数阶数；

种群中每个个体表示一组待优化参数，多组待优化的参数形成种群；

步骤2.3：建立待优化的参数的目标函数J_NTF，该函数以阻带内量化噪声功率最小化且保证调制器稳定为目标；

$J_{NTF}=\mathrm{\α}\left|\right|NTF\left(e^{j\mathrm{\ω}}\right)|{|}_{2_{\mathrm{\ω}\∈{\mathrm{\ω}}_{sb}}}^2+(1-\mathrm{\α})||1-|NTF\left(k\right)\left|\right|{|}_{1_{\mathrm{\ω}\∈{\mathrm{\ω}}_{pb}}}$

其中，NTF(k)为噪声传递函数的频率响应，阻带通带osr为过采样率；

步骤2.4：建立初始种群：随机生成一个个体，该个体中各待优化参数的取值范围在[0，1]之间，其余个体采用帐篷映射生成；

步骤2.5：计算初始种群中每一个体的目标函数值，找出最优个体，保存为当前最优个体；

步骤2.6：为种群中的每一个体随机生成比例因子和交叉概率，比例因子和交叉概率的取值均在[0，1]之间；

步骤2.7：迭代计数值初始化为1；

步骤2.8：利用当前交叉率采用正弦映射产生新的交叉概率；

步骤2.9：采用DE/best/1with jitter策略进行变异操作，生成变异矢量；

步骤2.10：对种群中的个体进行二项式交叉操作，生成试验矢量；

步骤2.11：若二项式交叉操作得到的试验矢量超出待优化参数的取值范围，则进行反弹操作，重新随机生成待优化参数取值范围内的新个体，计算生成的该新个体的目标函数值，同时生成Sigma-Delta调制器噪声传递函数；

步骤2.12：如果Sigma-Delta调制器噪声传递函数的极点位于单位圆外，需重新随机生成待优化参数取值范围内的个体，计算其目标函数值，直到生成满足稳定性要求的个体为止；

步骤2.13：若当前个体的目标函数小于上一代种群中对应个体的目标函数，则用当前个体代替上一代对应个体；

步骤2.14：重复步骤2.8～2.13，直到遍历所有个体；

步骤2.15：采用自适应柯西分布计算比例因子；

步骤2.16：保存当前的最优个体，重复步骤2.8～步骤2.15，直到达到最大迭代次数为止；

步骤2.17：得到的当前的最优个体即待优化的参数最优值；

步骤3：将待优化参数最优值代入噪声传递函数，并将噪声传递函数的分子分母换为多项式形式，进而得到噪声传递函数参数，完成Sigma-Delta调制器自适应混合优化；

步骤4：将Sigma-Delta数模转换器的插值滤波器输出的正弦信号作为优化噪声传递函数后的Sigma-Delta调制器的输入，并将Sigma-Delta调制器的输出值变换到频域，进而计算Sigma-Delta调制器的信噪比。

2.根据权利要求1所述的提高信噪比的Sigma-Delta调制器自适应混合优化方法，其特征在于：所述的Sigma-Delta调制器的噪声传递函数为5阶噪声传递函数时，零点个数为奇数，有一个零点为1，其余4个零点以复共轭对沿着单位圆移动，则零点为(1，e^j*alpha1，e^-j*alpha1，e^j*alpha2，e^-j*alpha2)；极点个数同样为奇数，必有一个极点位于横轴，其余四个以复共轭对位于单位圆内，则极点为(r₁，r₂e^j*beta1，r₂e^-j*beta1，r₃e^j*beta2，r₃e^-j*beta2)，则对噪声传递函数参数降维后的Sigma Delta调制器的噪声传递函数：

$NTF=\frac{(z-1)(z-e^{j*alpha1})(z-e^{-j*alpha1})(z-e^{j*alpha2})(z-e^{-j*alpha2})}{(z-r_1)(z-r_2{e}^{j*beta1})(z-r_2{e}^{-j*beta1})(z-r_3{e}^{j*beta2})(z-r_3{e}^{-j*beta2})}$

噪声传递函数参数的维数从12降低到7，确定降维后的噪声传递函数参数为r₁、r₂、r₃、alpha1、alpha2、beta1、beta2。