CN104165717A - 一种机床螺栓连接处应力检测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种机床螺栓连接处应力检测方法，包含五个步骤，步骤S1为器材准备，包括准备温度补偿块和测试应变的静态应变测试仪；步骤S2为测试准备，包括对螺栓连接处和所述温度补偿块的表面进行平整化以及清洁处理，黏贴应变花以及焊接引脚；步骤S3为仪器连接和参数设置，包括将通过引脚连接应变花的导线连接到静态应变测试仪上，将静态应变测试仪的接地端接地和将测试端连接计算机，以及设置静态应变仪的参数；步骤S4为应变检测；步骤S5为数据处理。本发明方法操作简单易行，可适用于现场，对环境要求低，并且准确度较高，可适用于满足弹塑性理论的材料的应力检测。

Description

一种机床螺栓连接处应力检测方法

技术领域

本发明属于应力检测领域，更具体地，涉及一种机床螺栓连接处应力检测方法。

背景技术

随着机床向高速、高精、高效方向发展，机床的动态性能引起了研究者的普遍关注。研究表明，机床上出现的振动问题有60％以上源自结合部，阻尼值的90％以上也同样来源于结合部。机床结构中大件装配后的动力学特性，即包括固有频率、模态阻尼、模态振型等极大地受到装配应力的影响。

目前应力测试方法主要分为破坏性与非破坏性两种，其中破坏性测试方法有钻孔法、取条法、切槽法、剥层法等，由于此类方法会破坏原件本身，故不适用于原件不可破坏的情况；非破坏性的无损测试方法又称物理测量法，主要包含X射线法，中子衍射法，超声波法，磁性法。

其中，X射线法是利用X射线入射到物质时的衍射现象，根据材料晶面间距的变化来确定应变，其精度较高，但其设备复杂，对测试表面要求高，因此其应用受到了一定的限制。中子衍射法是通过研究衍射束的峰值位置和强度，获得应力或应变的数据，是目前唯一可以测定大体积工件三维应力分布的方法，其具有许多的优点，穿透力强，空间分辨可调等等，但其与X射线法一样，设备昂贵复杂，对试件有严格的要求，目前中子衍射法只能固定在实验室测试。超声波法具有穿透性强，方向性好，可以实现定向发射的优点，其与中子衍射法相比，还具有测试仪方便携带的优点，但其测定结果受材料性能、工件形状和组织结构的影响，测量的灵敏度较低。磁性法是无损检测法中的新型测试方法之一，其相对于其他几种无损测试方法最显著的优点便是可以对使用中的对象进行测试，没有辐射危险，但其对材料结构和属性很敏感，容易影响测试结果的准确性，并且只能测试磁性材料。

发明内容

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种机床螺栓连接处应力检测方法，其目的在于采用简单易行的检测方法对满足弹塑性理论的材料进行应力检测，由此解决目前应力检测方法中工艺复杂、设备昂贵、测试条件苛刻、适用范围狭窄等技术问题。

为实现上述目的，本发明提供了一种机床螺栓连接处应力检测方法，其特征在于，包含以下步骤：

S1：器材准备，其中，包括准备温度补偿块和测试应变的静态应变测试仪；

S2：测试准备，其中，该步骤包括对螺栓连接处和所述温度补偿块的表面进行平整化以及清洁处理，在所述平整化以及清洁后的区域划上定位基准线，黏贴应变花且使应变花上的基准线和所述定位基准线对齐，以及焊接引脚以使引脚一端连接应变花且另一端连接导线；

S3：仪器连接和参数设置，其中，该步骤包括将所述通过引脚连接应变花的导线连接到所述静态应变测试仪上，将静态应变测试仪的接地端接地和将测试端连接计算机，以及设置静态应变仪的参数；

S4：应变检测，其中，该步骤包括将所述静态应变仪通电一段时间以进行预热，使用扳手将螺栓连接处的螺栓拧紧，以及静态应变测试仪的数据采集以及输送至计算机；

S5：数据处理，采用平面应力计算公式，利用所述计算机计算出所述静态应变测试仪采集处的主应力及剪切应力的大小和方向，即获得螺栓连接处应力状态。

进一步的，所述步骤S1中温度补偿块的材料和被螺栓连接的工件材料相同，且其和螺栓连接处均黏贴有应变花，该温度补偿块通过该应变花与静态应变测试仪相连，再通过静态应变测试仪和计算机相连，该温度补偿块用于平衡螺栓连接处因为测试过程中温度变化而产生的应变。

进一步的，所述步骤S3中在计算机中设置相对应的测试所需的参数，所述参数包括应变花类型、桥路方式、应变计电阻、导线电阻、灵敏度系数、工件材料的弹性模量及泊松比、补偿通道。

进一步的，所述步骤S4中静态应变测试仪通电预热的时间为10～20分钟。

进一步的，所述步骤S2中表面平整化及清洁处理包括先进行表面打磨、再用砂纸研磨，接着采用无水酒精或者丙酮清洗表面。

进一步的，所述步骤S2中应变花与被黏贴工件间的长期绝缘电阻大于500MΩ或短期绝缘电阻大于20MΩ。长期绝缘电阻即为测量时间超过七天以上的绝缘电阻，短期绝缘电阻即为测量时间不超过七天的绝缘电阻。

进一步的，所述步骤S2中，焊接在引脚一端的导线为可防止周围电磁干扰的屏蔽导线。

进一步的，所述步骤S5中平面应力公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_1=\frac{E}{1-{\mathrm{\μ}}^2}({\mathrm{\ϵ}}_1+{\mathrm{\μ\ϵ}}_2)\\ {\mathrm{\σ}}_2=\frac{E}{1-{\mathrm{\μ}}^2}({\mathrm{\μ\ϵ}}_1+{\mathrm{\ϵ}}_2)\end{array}\right.$

其中，σ₁为最大主应力，σ₂为最小主应力，ε₁为最大主应变，ε₂为最小主应变，μ为材料泊松比，E为材料弹性模量。

该平面应力公式的推导过程如下：

首先，由弹性体力学理论可知，对于自由表面上一点，其法线方向为一个主应力方向，而另外两个应力主方向就位于该自由表面上，假设物体表面一点处的应变ε_x、ε_y和γ_xy皆为已知量，这里ε_x和ε_y表示沿x轴和_y轴方向的线应变，γ_xy表示剪应变，该点处任意方向的线应变及剪应变可由式(1)计算得到：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_x+{\mathrm{\ϵ}}_y}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_x-{\mathrm{\ϵ}}_y}{2}\cos 2\mathrm{\α}-\frac{{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{xy}}}{2}\sin 2\mathrm{\α}\\ \frac{{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{\α}}}{2}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_x-{\mathrm{\ϵ}}_y}{2}\sin 2\mathrm{\α}+\frac{{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{xy}}}{2}\cos 2\mathrm{\α}\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中α表示自由表面XOY平面上某一方向与X轴夹角为α，

将ε_α对α求导，得：

$\frac{{\mathrm{d\ϵ}}_{\mathrm{\α}}}{\mathrm{d\α}}=-2[\frac{{\mathrm{\ϵ}}_x-{\mathrm{\ϵ}}_y}{2}\sin 2\mathrm{\α}+\frac{{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{xy}}}{2}\cos 2\mathrm{\α}]---\left(2\right)$

当导数为0时，则此时α角所确定的截面上正应变ε_α取极值，同时将公式(1)、(2)进行比较可知此时剪应变γ_xy等于零，即此时方向为主应变方向，再将α值代入公式(1)即可求得此时主应变的大小及角度α的值，如式(3)下：

$\left\{\begin{array}{c}\tan 2\mathrm{\α}=-\frac{{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{xy}}}{{\mathrm{\ϵ}}_x-{\mathrm{\ϵ}}_y}\\ \left.\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_1\\ {\mathrm{\ϵ}}_2\end{array}\right\}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_x+{\mathrm{\ϵ}}_y}{2}\±\sqrt{{\left(\frac{{\mathrm{\ϵ}}_x-{\mathrm{\ϵ}}_y}{2}\right)}^2+{\left(\frac{{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{xy}}}{2}\right)}^2}\end{array}\right.---\left(3\right)$

使用仪器直接测量物体应变时，由于剪应变γ_xy不能直接测得，所以一般先测出三个选定方向α₁、α₂和α₃上的线应变，然后代入公式(1)得式(4)并求解该方程组而得到：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_{{\mathrm{\α}}_1}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_x+{\mathrm{\ϵ}}_y}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_x-{\mathrm{\ϵ}}_y}{2}\cos 2{\mathrm{\α}}_1-\frac{{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{xy}}}{2}\sin {2\mathrm{\α}}_1\\ {\mathrm{\ϵ}}_{{\mathrm{\α}}_2}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_x+{\mathrm{\ϵ}}_y}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_x-{\mathrm{\ϵ}}_y}{2}\cos {2\mathrm{\α}}_2-\frac{{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{xy}}}{2}\sin {2\mathrm{\α}}_2\\ {\mathrm{\ϵ}}_{{\mathrm{\α}}_3}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_x+{\mathrm{\ϵ}}_y}{2}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_x-{\mathrm{\ϵ}}_y}{2}\cos {2\mathrm{\α}}_3-\frac{{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{xy}}}{2}\sin 2{\mathrm{\α}}_3\end{array}\right.---\left(4\right)$

实际测量中，一般把α₁、α₂、α₃选取为便于计算的数值，以简化计算，例如将应变片的三个方向分别选为0°、45°、90°，这样就得到了直角应变花，在实际使用时将应变花的三个方向的应变分别代入公式(4)，计算简化为：

求解上述方程(5)即可得出线应变及剪应变大小：

将式(6)代入式(3)即可计算得出主应变大小及其方向：

由弹性体力学的胡克定理即可得到该主应变状态下的主应力状态，如式(8)：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_1=\frac{E}{1-{\mathrm{\μ}}^2}({\mathrm{\ϵ}}_1+{\mathrm{\μ\ϵ}}_2)\\ {\mathrm{\σ}}_2=\frac{E}{1-{\mathrm{\μ}}^2}({\mathrm{\μ\ϵ}}_1+{\mathrm{\ϵ}}_2)\end{array}\right.---\left(8\right)$

式(8)即为本发明中步骤S5中使用的平面应力公式，其中，σ₁为最大主应力，σ₂为最小主应力，ε₁为最大主应变，ε₂为最小主应变，μ为材料泊松比，E为材料弹性模量。

针对不同螺栓联接装配工艺下造成的联接工件的应力分布情况进行测试，得到联接工件的应力分布，比较各种装配工艺下应力分布的均匀性、稳定性，得到最优的装配工艺，可使机床达到最佳工作性能。

本发明中，温度补偿块和被螺栓固定的工件上均黏贴应变花，以上两处的应变花均与静态应变测试仪相连后再与计算机相连，通过计算机设置补偿通道，即同时采集在同一温度场下温度补偿块上应变花和工件上应变花的应变，根据温度补偿块应变和应变花的应变，确定该材料在该温度场下由于温度变化产生的应变值，然后再通过静态应变测试仪及相关软件对工件上的应变花应变进行补偿，以消除由于温度变化而产生的应变，使测试结果更加准确可靠。

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，由于使用电阻应变计测量应变，进而根据应变获得应力，这一电测法设备便宜，操作简单易行，可适用于现场，对环境要求低，可适用于满足弹塑性理论的材料，并且采用了温度补偿块以消除因为温度变化造成的应变，其准确度较高，满足了一般情况下的应力测试的需要。

附图说明

图1是本发明实施例的三向应变花的平面结构示意图；

图2是本发明实施例测点布置图；

图3为本发明实施例中第一种螺栓拧紧顺序图；

图4为本发明实施例中第二种螺栓拧紧顺序图；

图5为本发明实施例中机床立柱上测点处检测得到的主应力曲线图；

图6为本发明实施例中机床床身上测点处检测得到的主应力曲线图。

在所有附图中，相同的附图标记用来表示相同的元件或结构，其中：

A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L、M、N、O、P、Q、R分别表示不同的18个测点；

1～26分别表示拧紧螺栓的先后顺序，1表示最先拧紧，26表示最后拧紧，其他数字依次类推。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

实施例1

S1：器材准备。

准备好以下器材：BE120-2BC三向应变花、DH3816N静态应变测试仪、温度补偿块、笔记本计算机，502胶水、电烙铁、焊锡、松香、无水酒精、不锈钢镊子、脱脂棉、粗砂纸、金相砂纸、屏蔽导线、钢尺、划针、扭矩扳手、北京工研精机股份有限公司生产的μ2000/400H卧式加工中心的床身与立柱，M16的螺栓26个，利用螺栓将立柱装配到床身上。其中，温度补偿块材料和被螺栓连接的立柱材料相同，均为HT150(即灰铁150)。BE120-2BC三向应变花的平面结构示意图如图1所示，其沿与X夹角为0°、45°以及90°的方向分别布置有电阻，该电阻会随自身应变而变化。

S2：测试准备。

(a)先给各个测点按照英文字母从A到R编号。其中，采用一共26个螺栓将床身与立柱进行装配连接，在26个螺栓连接处选择18个作为检测应力的位置，即为18个测点，各个测点按照英文字母从A到R编号，每个测点处分别在床身和立柱上布置应变花，一共布置了36个应变花。图2是本发明实施例测点布置图，该图中圆圈表示螺栓，A至R为测点编号，每个测点对应两个应变花，床身和立柱上各一个，对称布置。

(b)接着对布置应变花的位置和温度补偿块进行表面平整化和清洁处理，具体过程为：先用砂轮机打磨机床测点表面，去除油漆、锈迹及氧化层，直至表面平整有光泽；然后用粗砂纸沿着与所测应变轴线成45°方向交叉轻度研磨，接着用金相砂沿着与所测应变轴线成45°方向交叉轻度研磨，直至试件表面呈细密、均匀的交叉网状纹路。

(c)然后划定定位基准线，根据应变花大小，使用钢尺和划针划出应变片粘贴位置的定位基准线。

(d)清洗测试表面，用脱脂棉球蘸无水酒精清洗待贴应变花的表面以去除污物，反复更换脱脂棉球，直到其表面没有污迹为止。

(e)粘贴应变花，左手捏住应变花引出线，右手向应变花基底底面涂抹适量502胶水，然后立即将应变花底面向下平放在工件贴片部位上，并使应变花底基准线与试件上的定位基准线对齐；取一片玻璃纸，覆盖在应变花上，右手食指按在其上，轻轻施加压力，使胶水充满应变片与试样的间隙，5-6秒后，右手食指指肚在玻璃纸上滚动，将多余的胶水与气泡从边上挤出，单向滚压两至三次后再在垂直方向上进行滚压，确保应变片与试样贴合紧密、无气泡，滚压的时候要注意手指不要移动应变片的位置，且避免将引出线按下去被胶水粘合，然后继续保持压力约一分钟以确保应变花粘贴牢固，松开手指后掀开玻璃纸，检查有无气泡、翘曲、脱胶现象。黏贴应变花的胶水在室温下固化。

(f)对干燥固化后的应变花用数字万用表检查有无短路、断路现象，用万用表或者其他精密仪器测出各个屏蔽导线的电阻值，并且进行记录。检测应变花与机床粘结处以及立柱连接处的长期测量的绝缘电阻，本实施例中实验是长期检测，测试时间为8天，绝缘电阻均大于500MΩ。

(g)最后焊接引脚，采用三线连接法将屏蔽导线与应变花通过引脚焊接成1/4桥，再次用万用表检查焊接后应变花，检查其是否通路以及绝缘电阻是否大于20MΩ，需要保证其为绝缘状态，才可进行下一步。

S3：仪器连接和参数设置。

(a)先校准静态应变测试仪，并将接地端可靠接地，消除交流电源影响；

(b)按照编号将三向应变花的屏蔽导线连接到静态应变测试仪的对应端子上；

(c)按照仪器说明，将静态应变测试仪与计算机通过网线联接起来，根据实际情况设置通道参数，设置桥路方式为方式2，应变花电阻设置为120Ω，应变花电阻的灵敏度系数设置为2.15，根据步骤S2中第(f)步测量得到屏蔽导线电阻设置导线电阻，床身和立柱材料相同均为HT150，其弹性模量均设置为135GPa，泊松比均设置为0.27，补偿通道设置为温度补偿块。

S4：应变检测。

(a)测试前，先将静态应变测试仪通电10分钟，进行预热，然后进行静态应变测试仪平衡操作；

(b)使用扭力扳手按照工厂实际装配工艺将各个螺栓拧紧至规定力矩，静态应变测试仪同时进行采样，并输出到计算机上进行显示；

装配连接床身与立柱的螺栓工艺分为两种，方式一为从中间往两边依次顺序拧紧，方式二为对称顺序拧紧，每种方式按照力量增加50％→80％→100％的顺序拧紧至规定力矩，具体的螺栓拧紧方式见图3和图4所示，其中，数字1-26分别表示拧紧的先后顺序，1表示最先拧紧，26表示最后拧紧，其他数字依次类推。

S5：数据处理，采用平面应力计算公式，利用笔记本计算机计算出所述静态应变测试仪采集处的主应力的大小和方向，即获得螺栓连接处应力状态。

其中，该步骤的平面应力公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_1=\frac{E}{1-{\mathrm{\μ}}^2}({\mathrm{\ϵ}}_1+{\mathrm{\μ\ϵ}}_2)\\ {\mathrm{\σ}}_2=\frac{E}{1-{\mathrm{\μ}}^2}({\mathrm{\μ\ϵ}}_1+{\mathrm{\ϵ}}_2)\end{array}\right.$

其中，σ₁为最大主应力，σ₂为最小主应力，ε₁为最大主应变，ε₂为最小主应变，μ为材料泊松比，E为材料弹性模量。

本实施例中，对于螺栓连接处的立柱上应力进行计算时，ε₁为黏贴在立柱上的应变花的最大主应变，ε₂为黏贴在立柱上的应变花的最小主应变，μ为立柱所采用材料的泊松比，E为立柱材料弹性模量，计算得到σ₁为螺栓连接处的立柱上最大主应力，σ₂为螺栓连接处的立柱上最小主应力。

同理，对于计算螺栓连接处机床上的最大主应力和最小主应力时，最大主应变和最小主应变根据黏贴在机床上的应变花的应变获得，泊松比和弹性模量采用机床材料的实际弹性模量和泊松比。

本实施例中床身和立柱的材料均为HT150，则其弹性模量和泊松比分别相同。

实施例2

本实施例与实施例1相同，不同的是:

S2中，采用脱脂棉清洗测试表面，用脱脂棉球蘸丙酮清洗待贴片表面以去除污物，反复更换脱脂棉球，直到其表面没有污迹为止；

S2中，检测应变花与机床粘结处以及应变花与立柱连接处的短期绝缘电阻，由于本次测试的时间为6天，测试获得其电阻分别大于20MΩ。

S4中，测试前，先将静态应变测试仪通电15分钟，进行预热，然后进行静态应变测试仪平衡操作。

实施例3

本实施例与实施例1相同，不同的是:

S4中，测试前，先将静态应变测试仪通电20分钟，进行预热，然后进行静态应变测试仪平衡操作。

图5和图6分别为本发明实施例中立柱上测点处检测得到的主应力曲线图、床身上测点处检测得到的主应力曲线图。其为本发明实施例3中获得的测试结果。从床身和立柱最大主应力曲线图可以看出，不同的螺栓装配工艺对床身立柱联接的应力场分布有很大影响，在第二种方式的装配工艺下，螺栓联接装配造成的应力场分布相对均匀，各个测点之间的波动没有方式一大，比较而言方式二装配工艺更优，更能保证机床精度的稳定性。

本发明中，对于步骤S4中静态应变测试仪通电预热的时间不限于上述实施例中的具体数值，只要在权利要求书的保护范围内，即静态应变测试仪通电预热的时间为10～20分钟，均属于本发明所要求保护的范围。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种机床螺栓连接处应力检测方法，其特征在于，包含以下步骤：

S1：器材准备，其中，包括准备温度补偿块和测试应变的静态应变测试仪；

S2：测试准备，其中，该步骤包括对螺栓连接处和所述温度补偿块的表面进行平整化以及清洁处理，在所述平整化及清洁后的区域划上定位基准线，黏贴应变花且使应变花上的基准线和所述定位基准线对齐，以及焊接引脚以使引脚一端连接应变花且另一端连接导线；

S3：仪器连接和参数设置，其中，该步骤包括将所述通过引脚连接应变花的导线连接到所述静态应变测试仪上，将静态应变测试仪的接地端接地和将测试端连接计算机，以及设置静态应变仪的参数；

S4：应变检测，其中，该步骤包括将所述静态应变仪通电一段时间以进行预热，使用扳手将螺栓拧紧，以及静态应变测试仪的数据采集以及输送至计算机；

S5：数据处理，采用平面应力计算公式，利用所述计算机计算出所述静态应变测试仪采集处的主应力的大小和方向，即获得螺栓连接处应力状态。

2.如权利要求1所述的一种机床螺栓连接处应力检测方法，其特征在于，所述步骤S1中温度补偿块的材料和被螺栓连接的工件材料相同，且其与螺栓连接处均黏贴有应变花，该温度补偿块通过该应变花与静态应变测试仪相连，该温度补偿块用于平衡螺栓连接处因为测试过程中温度变化而产生的应变。

3.如权利要求1或2所述的一种机床螺栓连接处应力检测方法，其特征在于，所述步骤S3中在计算机中设置相对应的测试所需的参数，所述参数包括应变花类型、桥路方式、应变计电阻、导线电阻、灵敏度系数、工件材料的弹性模量、工件材料的泊松比、补偿通道。

4.如权利要求1-3之一所述的一种机床螺栓连接处应力检测方法，其特征在于，所述步骤S4中静态应变测试仪通电预热的时间为10～20分钟。

5.如权利要求1-4之一所述的一种机床螺栓连接处应力检测方法，其特征在于，所述步骤S2中表面平整化及清洁处理包括先进行表面打磨、再用砂纸研磨，接着采用无水酒精或者丙酮清洗表面。

6.如权利要求1-5之一所述的一种机床螺栓连接处应力检测方法，其特征在于，所述步骤S2中应变花与被黏贴工件间的长期绝缘电阻大于500MΩ或短期绝缘电阻大于20MΩ。

7.如权利要求1-6之一所述的一种机床螺栓连接处应力检测方法，其特征在于，所述步骤S2中，焊接在引脚一端的导线为可防止周围电磁干扰的屏蔽导线。

8.如权利要求1-7之一所述的一种机床螺栓连接处应力检测方法，其特征在于，所述步骤S5中平面应力公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_1=\frac{E}{1-{\mathrm{\μ}}^2}({\mathrm{\ϵ}}_1+{\mathrm{\μ\ϵ}}_2)\\ {\mathrm{\σ}}_2=\frac{E}{1-{\mathrm{\μ}}^2}({\mathrm{\μ\ϵ}}_1+{\mathrm{\ϵ}}_2)\end{array}\right.$

其中，σ₁为最大主应力，σ₂为最小主应力，ε₁为最大主应变，ε₂为最小主应变，μ为材料泊松比，E为材料弹性模量。