CN104156563A - 基于多重欠采样实现光学遥感器像能量超频采样的方法 - Google Patents

Abstract

本发明基于多重欠采样实现光学遥感器像能量超频采样的方法，包括下列步骤：确定光学遥感器焦面像元尺寸以及在该像元尺寸下的采样频率f₁和所需采样频率f₂；计算成像信号的移动步数k和移动步长dx；利用采样频率f₁对光学遥感器像能量进行采样得到采样数据矩阵SD；将得到的采样数据矩阵SD进行数据处理，计算得到采样频率f₂下的采样值。本发明基于欠采样焦面对真实像能量分布的进行不同位置的采样，从而实现欠采样焦面的超分辨率采样。在提高采样频率的同时，采样数据都是真实像能量分布上的值，本发明有较高的实用价值，在实现光学遥感器光学传递函数的计算有着重要的应用。

Description

基于多重欠采样实现光学遥感器像能量超频采样的方法

技术领域

本发明涉及一种基于多重欠采样实现光学遥感器像能量超频采样的方法，属于光学测试技术领域。

背景技术

高分辨率、高光学传递函数值是光学遥感器长久发展以来一直追求的目标。由于其光学镜头的衍射极限的限制，焦面器件的采样间隔都不会小于光学镜头的极限分辨率，采样频率受到限制，在整机状态下焦面器件的采样频率都会低于重建实际像能量分布所需的频率，也即低于像能量分布的乃奎斯特频率，因此无法全面的评价遥感器整机的光学性能。

现有技术一是利用高倍率的显微物镜将像放大，再用焦面器件接收放大后的像能量，从而实现高频率的采样，但是这种方法在光学遥感器整机测试中因其整机为封闭结构，无法加入显微物镜。二是使用图像处理方法实现高频采样，主要有曲面拟合和模板运算，但这种方法得到的高频采样值并非真实像能量分布值，精度较差。

发明内容

本发明的技术解决问题是：针对现有技术的不足，提供了一种基于多重欠采样实现光学遥感器像能量超频采样的方法，本发明采用移相采样的方式实现光学遥感器的像能量分布的超频采样，且采样值为实际像能量分布值，为光学遥感器整机光学性能评价和实现超分辨率成像奠定了基础。

本发明的技术解决方案是：

基于多重欠采样实现光学遥感器像能量超频采样的方法，包括下列步骤：

(1)基于欠采样焦面器件的响应正比于落于其上的像能量在空间上的积分值的特性，再采用移相采样的方式实现像能量分布的超频采样。确定光学遥感器焦面像元尺寸a以及在该像元尺寸下的欠采样频率f₁和所需采样频率f₂，f₂>f₁(f₁为欠采样低频率，f₂为超频采样频率，通过利用f₁进行多次采样，求的在f₂采样下的能量分布)；

(2)计算成像信号的移动步数k和移动步长dx：

k＝f₂/f₁，且向上取整

dx＝a/k

相当于将每个像元等分成k个更小的宽度为dx的单元，将像相对于焦面以dx为步长移动，共移动k-1次。

(3)利用采样频率f₁对光学遥感器像能量进行采样得到采样数据矩阵SD；具体实现方法如下：

(3a)利用采样频率f₁对像能量进行采样，得到采样数据SD₁，记为：

SD₁＝[P₁₁ P₁₂...P_1n]

其中

$\begin{array}{c}{P}_{11}=x_1+x_2+..+x_k\\ P_{12}=x_{k+1}+x_{k+2}+..+x_{2k}\\ \·\\ \·\\ P_{1n}=x_{\mathrm{kn}-k+1}+x_{\mathrm{kn}-k+2}+..+x_{\mathrm{kn}}\end{array}$

P₁₁ P₁₂...P_1n为像能量在采样频率f₁下的采样值，n为采样像元数，取正整数，X＝[x₁,x₂...x_kn...]为像能量在采样频率f₂下的采样值；

(3b)将成像信号相对于光学遥感器的焦面移动dx，再利用采样频率f₁对像能量进行采样得到采样数据SD₂，记为：

SD₂＝[P₂₁ P₂₂...P_2n]

其中

$\begin{array}{c}{P}_{21}=x_2+x_3+..+x_{k+1}\\ P_{22}=x_{k+2}+x_{k+3}+..+x_{2k+1}\\ \·\\ \·\\ P_{2n}=x_{\mathrm{kn}-k+2}+x_{\mathrm{kn}-k+3}+..+x_{\mathrm{kn}+1}\end{array}$

P₂₁ P₂₂...P_2n为像能量在采样频率f₁下的采样值；

(3c)以此类推，将成像信号相对于光学遥感器的焦面第k-1次移动dx，再利用采样频率f₁对像能量进行采样得到采样数据SD_k，记为：

SD_k＝[P_k1 P_k2...P_kn]

其中

$\begin{array}{c}{P}_{k1}=x_k+x_{k+1}+..+x_{2k-1}\\ P_{k2}=x_{2k}+x_{2k+1}+..+x_{3k-1}\\ \·\\ \·\\ P_{\mathrm{kn}}=x_{\mathrm{kn}}+x_{\mathrm{kn}+1}+..+x_{\mathrm{kn}+k-1}\end{array}$

P_k1 P_k2...P_kn为像能量在采样频率f₁下的采样值；

(3d)将步骤(3a)-(3c)得到采样数据SD₁,SD₂...SD_k组成采样数据矩阵SD：

$\mathrm{SD}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SD}}_1\\ \·\\ \·\\ {\mathrm{SD}}_r\\ \·\\ \·\\ {\mathrm{SD}}_k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}{P}_{11}& ..& P_{1c}& ..& P_{1n}\\ \·& & \·& & \·\\ \·& & \·& & \·\\ P_{r1}& ..& P_{\mathrm{rc}}& ..& P_{\mathrm{rn}}\\ \·& & \·& & \·\\ \·& & \·& & \·\\ P_{k1}& ..& P_{\mathrm{kc}}& ..& P_{\mathrm{kn}}\end{array}\right]$

其中，r为小于k的正整数，c为小于n的正整数；

(4)将步骤(3)中得到的采样数据矩阵SD进行数据处理，计算得到采样频率f₂下的采样值X＝[x₁,x₂...x_kn...]，具体计算方法如下：

令 $\left[\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{kn}+1}\\ x_{\mathrm{kn}+2}\\ \·\\ \·\\ x_{\mathrm{kn}+k-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{P}_{1n}/k\\ P_{1n}/k\\ \·\\ \·\\ P_{1n}/k\end{array}\right],$ 得到

$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ \·\\ \·\\ x_{k-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{P}_{1n}/k-(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{2i}-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{1i})\\ P_{1n}/k-(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{3i}-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{2i})\\ \·\\ \·\\ P_{1n}/k-(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{\mathrm{ki}}-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{(k-1)i})\end{array}\right]$

将 $\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ \·\\ \·\\ x_{k-1}\end{array}\right]$ 代入下式得到在采样频率f₂下的采样值X＝[x₁,x₂...x_kn...]：

$X_s=P_{\mathrm{ij}}-\underset{h=s-k}{\overset{s-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_h$

其中P_ij为采样矩阵SD中的值，s＝k:1:kn，的余数，

本发明与现有技术相比的有益效果是：

(1)对于光学遥感器的整机测试，焦面器件对测试信号的采样会形成欠采样，也就是采样频率达不到测试计算的要求；对于整机光学传递函数测试来说，需要使用焦面器件对星点像进行采样，但只能形成欠采样，本发明能够实现焦面器件的超频采样，从而实现完整的光学传递函数曲线的测试，进而对整机状态下的光学遥感器的成像性能进行评价，本发明适用性强，测试成本低，效果高。

(2)本发明能够实现相机的超分辨率成像，通过移动成像位置，利用多幅欠采样图像，计算得到更高分辨率的图像；同时本发明在光学测试和相机超分辨率成像上有着重要的作用，并且易于实现，能够大大降低光学遥感器的制造成本。

附图说明

图1为本发明流程图；

图2为本发明的原理示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的工作原理和工作过程作进一步解释和说明。

本发明使用欠采样焦面器件，实现了超频采样，并且超频采样值为实际像能量分布值。在实现光学遥感器光学传递函数的计算有着重要的应用。光学遥感器在整机状态下起焦面器件的采样频率都会低于重建实际像能量分布所需的频率，也即低于像能量分布的乃奎斯特频率，因此无法全面的评价遥感器整机的光学性能，本发明采用移相采样的方式实现光学遥感器的像能量分布的超频采样，且采样值为实际像能量分布值，为光学遥感器整机光学性能评价和实现超分辨率成像奠定了基础。

如图1所示，基于多重欠采样实现光学遥感器像能量超频采样的方法，包括下列步骤：

(1)基于欠采样焦面器件的响应正比于落于其上的像能量在空间上的积分值的特性，再采用移相采样的方式实现像能量分布的超频采样；确定光学遥感器焦面像元尺寸a以及在该像元尺寸下的欠采样频率f₁和所需采样频率f₂，f₂>f₁(f₁为欠采样低频率，f₂为超频采样频率，通过利用f₁进行多次采样，求的在f₂采样下的能量分布)；

(2)计算成像信号的移动步数k和移动步长dx：

k＝f₂/f₁，且向上取整

dx＝a/k

相当于将每个像元等分成k个更小的宽度为dx的单元，将像相对于焦面以dx为步长移动，共移动k-1次。

(3)利用采样频率f₁对光学遥感器像能量进行采样得到采样数据矩阵SD；具体实现方法如下：

(3a)利用采样频率f₁对像能量进行采样，得到采样数据SD₁，记为：

SD₁＝[P₁₁ P₁₂...P_1n]

其中

$\begin{array}{c}{P}_{11}=x_1+x_2+..+x_k\\ P_{12}=x_{k+1}+x_{k+2}+..+x_{2k}\\ \·\\ \·\\ P_{1n}=x_{\mathrm{kn}-k+1}+x_{\mathrm{kn}-k+2}+..+x_{\mathrm{kn}}\end{array}$

P₁₁ P₁₂...P_1n为像能量在采样频率f₁下的采样值，n为采样像元数，取正整数，X＝[x₁,x₂...x_kn...]为像能量在采样频率f₂下的采样值；

(3b)将成像信号相对于光学遥感器的焦面移动dx，再利用采样频率f₁对像能量进行采样得到采样数据SD₂，记为：

SD₂＝[P₂₁ P₂₂...P_2n]

其中

$\begin{array}{c}{P}_{21}=x_2+x_3+..+x_{k+1}\\ P_{22}=x_{k+2}+x_{k+3}+..+x_{2k+1}\\ \·\\ \·\\ P_{2n}=x_{\mathrm{kn}-k+2}+x_{\mathrm{kn}-k+3}+..+x_{\mathrm{kn}+1}\end{array}$

P₂₁ P₂₂...P_2n为像能量在采样频率f₁下的采样值；

(3c)以此类推，将成像信号相对于光学遥感器的焦面第k-1次移动dx，再利用采样频率f₁对像能量进行采样得到采样数据SD_k，记为：

SD_k＝[P_k1 P_k2...P_kn]

其中

$\begin{array}{c}{P}_{k1}=x_k+x_{k+1}+..+x_{2k-1}\\ P_{k2}=x_{2k}+x_{2k+1}+..+x_{3k-1}\\ \·\\ \·\\ P_{\mathrm{kn}}=x_{\mathrm{kn}}+x_{\mathrm{kn}+1}+..+x_{\mathrm{kn}+k-1}\end{array}$

P_k1 P_k2...P_kn为像能量在采样频率f₁下的采样值；

(3d)将步骤(3a)-(3c)得到采样数据SD₁,SD₂...SD_k组成采样数据矩阵SD：

$\mathrm{SD}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SD}}_1\\ \·\\ \·\\ {\mathrm{SD}}_r\\ \·\\ \·\\ {\mathrm{SD}}_k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}{P}_{11}& ..& P_{1c}& ..& P_{1n}\\ \·& & \·& & \·\\ \·& & \·& & \·\\ P_{r1}& ..& P_{\mathrm{rc}}& ..& P_{\mathrm{rn}}\\ \·& & \·& & \·\\ \·& & \·& & \·\\ P_{k1}& ..& P_{\mathrm{kc}}& ..& P_{\mathrm{kn}}\end{array}\right]$

其中，r为小于k的正整数，c为小于n的正整数；

(4)将步骤(3)中得到的采样数据矩阵SD进行数据处理，计算得到采样频率f₂下的采样值X＝[x₁,x₂...x_kn...]；具体计算方法如下：

首先将采样数据矩阵SD相邻行相减，得到矩阵TM₁：

${\mathrm{TM}}_1=\left[\begin{array}{cccc}{x}_{k+1}-x_1& x_{2k+1}-x_{k+1}& ..& x_{\mathrm{kn}+1}-x_{\mathrm{kn}-k+1}\\ x_{k+2}-x_2& x_{2k+2}-x_{k+2}& ..& x_{\mathrm{kn}+2}-x_{\mathrm{kn}-k+2}\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ x_{2k-1}-x_{k-1}& x_{3k-1}-x_{2k-1}& ..& x_{\mathrm{kn}+k-1}-x_{\mathrm{kn}-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{P}_{21}-P_{11}& P_{22}-P_{12}& ..& P_{2n}-P_{1n}\\ P_{31}-P_{21}& P_{32}-P_{22}& ..& P_{3n}-P_{2n}\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ P_{k1}-P_{(k-1)1}& P_{k2}-P_{(k-1)2}& ..& P_{\mathrm{kn}}-P_{(k-1n)}\end{array}\right]$

将TM₁的相邻列两两相加，得到矩阵TM₂：

${\mathrm{TM}}_2=\left[\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{kn}+1}-x_1\\ x_{\mathrm{kn}+2}-x_2\\ \·\\ \·\\ x_{\mathrm{kn}+k-1}-x_{k-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{2i}-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{1i}\\ \underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{3i}-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{2i}\\ \·\\ \·\\ \underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{\mathrm{ki}}-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{(k-1)i}\end{array}\right]$

一般数据采样区域边缘成像能量已非常微弱，可认为成像能量在边缘像元处分布均匀，所以可以令 $\left[\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{kn}+1}\\ x_{\mathrm{kn}+2}\\ \·\\ \·\\ x_{\mathrm{kn}+k-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{P}_{1n}/k\\ P_{1n}/k\\ \·\\ \·\\ P_{1n}/k\end{array}\right],$ 得到

$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ \·\\ \·\\ x_{k-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{P}_{1n}/k-(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{2i}-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{1i})\\ P_{1n}/k-(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{3i}-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{2i})\\ \·\\ \·\\ P_{1n}/k-(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{\mathrm{ki}}-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{(k-1)i})\end{array}\right]$

将 $\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ \·\\ \·\\ x_{k-1}\end{array}\right]$ 代入下式得到在采样频率f₂下的采样值X＝[x₁,x₂...x_kn...]：

$X_s=P_{\mathrm{ij}}-\underset{h=s-k}{\overset{s-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_h$

其中P_ij为采样矩阵SD中的值，s＝k:1:kn，的余数，例如根据P₁₁＝x₁+x₂+..+x_k和可以求出x_k，再利用P₂₁＝x₂+x₃+..+x_k+1和可以求出x_k+1，依次类推能够全部求出。

下面以一个具体实施例对本发明的工作过程和工作原理作进一步解释：

如图2所示，焦面像元尺寸为a，所需采样频率为f₂。

(1)确定在该焦面像元尺寸的采样频率使

(2)计算成像信号的移动步数k和移动步长dx：

k＝f₂/f₁＝2

dx＝a/k＝a/2

(3)利用采样频率f₁对光学遥感器像能量进行采样得到采样数据矩阵SD：

(3a)利用采样频率f₁对像能量进行采样，得到采样数据SD₁，记为：

SD₁＝[P₁₁ P₁₂ P₁₃]

其中：

P₁₁＝x1+x2

P₁₂＝x3+x4

P₁₃＝x5+x6

(3b)将成像信号相对于光学遥感器的焦面移动再利用采样频率f₁对像能量进行采样得到采样数据SD₂，记为：

SD₂＝[P₂₁ P₂₂ P₂₃]

其中：

P₂₁＝x2+x3

P₂₂＝x4+x5

P₂₃＝x6+x7

得到欠采样数据矩阵SD：

$\mathrm{SD}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SD}}_1\\ {\mathrm{SD}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{P}_{11}& P_{12}& P_{13}\\ P_{21}& P_{22}& P_{23}\end{array}\right]$

(4)对SD进行数据处理，得到采样频率f₂下的采样值X＝[x1 x2 x3 x4 x5 x6]：

令 $x7=\frac{P_{13}}{2},$ 得到

$x1=\frac{P_{13}}{2}-(\underset{1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{2i}-\underset{1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{1i})$

由x1计算x2， $s=2,i=\frac{s-(k-1)}{k}=\frac{2-(2-1)}{2}$ 的余数， $i=1,j=\frac{s-(k-1)-i}{k}+1=1,$

因此可得：

x2＝P₁₁-x1

同理可得：

x3＝P₂₁-x2

x4＝P₁₂-x3

x5＝P₂₂-x4

x6＝P₁₃-x5

由此就得到了在采样频率f₂下的采样值X。

本发明已经经过专家评定，应用在航天某探测卫星型号上，效果良好。

本发明未公开的部分都是公知常识。

Claims (1)

1.基于多重欠采样实现光学遥感器像能量超频采样的方法，其特征在于包括下列步骤：

(1)确定光学遥感器焦面像元尺寸a以及在该像元尺寸下的采样频率f₁和所需采样频率f₂，f₂>f₁。

(2)计算成像信号的移动步数k和移动步长dx：

k＝f₂/f₁，且向上取整

dx＝a/k

(3)利用采样频率f₁对光学遥感器像能量进行采样得到采样数据矩阵SD；具体实现方法如下：

(3a)利用采样频率f₁对像能量进行采样，得到采样数据SD₁，记为：

SD₁＝[P₁₁ P₁₂...P_1n]

其中

$\begin{array}{c}{P}_{11}=x_1+x_2+..+x_k\\ P_{12}=x_{k+1}+x_{k+2}+..+x_{2k}\\ \·\\ \·\\ P_{1n}=x_{\mathrm{kn}-k+1}+x_{\mathrm{kn}-k+2}+..+x_{\mathrm{kn}}\end{array}$

P₁₁ P₁₂...P_1n为像能量在采样频率f₁下的采样值，n为采样像元数，取正整数，X＝[x₁,x₂...x_kn...]为像能量在采样频率f₂下的采样值。

(3b)将成像信号相对于光学遥感器的焦面移动dx，再利用采样频率f₁对像能量进行采样得到采样数据SD₂，记为：

SD₂＝[P₂₁ P₂₂...P_2n]

其中

$\begin{array}{c}{P}_{21}=x_2+x_3+..+x_{k+1}\\ P_{22}=x_{k+2}+x_{k+3}+..+x_{2k+1}\\ \·\\ \·\\ P_{2n}=x_{\mathrm{kn}-k+2}+x_{\mathrm{kn}-k+3}+..+x_{\mathrm{kn}+1}\end{array}$

P₂₁ P₂₂...P_2n为像能量在采样频率f₁下的采样值；

(3c)以此类推，将成像信号相对于光学遥感器的焦面第k-1次移动dx，再利用采样频率f₁对像能量进行采样得到采样数据SD_k，记为：

SD_k＝[P_k1 P_k2...P_kn]

其中

$\begin{array}{c}{P}_{k1}=x_k+x_{k+1}+..+x_{2k-1}\\ P_{k2}=x_{2k}+x_{2k+1}+..+x_{3k-1}\\ \·\\ \·\\ P_{\mathrm{kn}}=x_{\mathrm{kn}}+x_{\mathrm{kn}+1}+..+x_{\mathrm{kn}+k-1}\end{array}$

P_k1 P_k2...P_kn为像能量在采样频率f₁下的采样值；

(3d)将步骤(3a)-(3c)得到采样数据SD₁,SD₂...SD_k组成采样数据矩阵SD：

$\mathrm{SD}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SD}}_1\\ \·\\ \·\\ {\mathrm{SD}}_r\\ \·\\ \·\\ {\mathrm{SD}}_k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}{P}_{11}& ..& P_{1c}& ..& P_{1n}\\ \·& & \·& & \·\\ \·& & \·& & \·\\ P_{r1}& ..& P_{\mathrm{rc}}& ..& P_{\mathrm{rn}}\\ \·& & \·& & \·\\ \·& & \·& & \·\\ P_{k1}& ..& P_{\mathrm{kc}}& ..& P_{\mathrm{kn}}\end{array}\right]$

其中，r为小于k的正整数，c为小于n的正整数；

(4)将步骤(3)中得到的采样数据矩阵SD进行数据处理，计算得到采样频率f₂下的采样值X＝[x₁,x₂...x_kn...]，具体计算方法如下：

令 $\left[\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{kn}+1}\\ x_{\mathrm{kn}+2}\\ \·\\ \·\\ x_{\mathrm{kn}+k-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{P}_{1n}/k\\ P_{1n}/k\\ \·\\ \·\\ P_{1n}/k\end{array}\right],$ 得到

$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ \·\\ \·\\ x_{k-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{P}_{1n}/k-(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{2i}-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{1i})\\ P_{1n}/k-(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{3i}-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{2i})\\ \·\\ \·\\ P_{1n}/k-(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{\mathrm{ki}}-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{(k-1)i})\end{array}\right]$

将 $\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ \·\\ \·\\ x_{k-1}\end{array}\right]$ 代入下式得到在采样频率f₂下的采样值X＝[x₁,x₂...x_kn...]：

$X_s=P_{\mathrm{ij}}-\underset{h=s-k}{\overset{s-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_h$

其中P_ij为采样矩阵SD中的值，s＝k:1:kn，的余数，