CN104154879B - 一种非均匀条纹分段生成方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种非均匀条纹分段生成方法，该方法在倾斜投影系统中能够在参考平面上得到周期均匀的条纹。将该方法进一步改进以适用于双频投影，解决使用分段非均匀双频条纹相位展开不连续现象。本发明具体实现方法是，在硬件基础上，通过计算机软件按照本发明设计的非均匀条纹分段生成方法进行编程，得到系统所需要的分段非均匀条纹图形，由投影到参考平面上得到均匀条纹，提高三维测量的精度。将非均匀条纹分段生成方法应用到双频投影中时，会造成相位展开不连续的现象，因此又进一步提出了半级数移动法解决这一问题，使得非均匀条纹分段生成方法的使用范围得到了推广。

Description

一种非均匀条纹分段生成方法

技术领域

本发明属于机器视觉技术领域相位测量轮廓术，具体为利用计算机编程得到多幅相移条纹，由投影仪分别向参考平面和被测物体投影这些条纹，由CCD相机拍摄条纹图案，由计算机先后计算得到截断相位和展开相位，最后由计算机按照一定的算法计算得到物体的三维形貌技术。本发明主要涉及其中的计算机编程得到相移条纹，尤其涉及投影仪倾斜投影，CCD相机垂直拍摄的精密测量系统中所需要的条纹。

背景技术

在机器视觉领域，结构光测量法作为主要的三维立体视觉测量方法，在工业检测、逆向工程、快速原型模具、医学、文物保护等方面得到了广泛的发展。在传统的光栅投影三维测量技术中，通常采用倾斜投影、垂直摄像的系统模型。

现有的三维成像系统投影均匀条纹，由于相机和投影仪的光轴不平行，因此投影均匀条纹时，在与成像光轴垂直的平面上得到的是非均匀条纹。郝煜栋等人分析了光栅投影三维测量中的投影条纹误差，对投影的条纹采用二次方程进行近似，从而减小误差。David Towers等人将非均匀条纹应用到摄像机标定以及三维测量的四步相移法，以虚拟平面作为桥梁，建立虚拟平面和投影仪投影面之间条纹周期的对应关系，投影到参考平面上获得均匀条纹，使得被测物体深度和相位之间的关系与像素位置无关，但是这种方法需要精确移动的平板来确定方法中必要的参数，操作过程复杂。罗茜更简明的阐述了非均匀条纹的生成原理以及减小的测量误差，但是只分析了投影仪光轴与参考平面交点向CCD相机一侧的误差及非均匀条纹生成原理，并将其应用到了所有的条纹生成中，使得另外一侧条纹的周期误差更大。伏燕军等将条纹周期校正方法应用到了复杂大物体三维测量中，与五步相移法以及时间相位展开方法结合，条纹图像满足Φ(x")＝2πfF(L,d,N,x")，其中L，d，x”与本发明含义一致，N表示投影仪投影放大倍数，但并未按照分段理论生成非均匀条纹，也未解决相位展开过程中相位不连续的问题。

发明内容

针对现有技术的不足,本发明拟解决的技术问题是,提供一种非均匀条纹分段生成方法,该方法具有设计简单,使用方便,适用范围广等特点。

本发明解决所述技术问题的技术方案是：设计一种非均匀条纹分段生成方法，其特征在于该方法用于采用空域相位展开方法时的投影正弦光栅条纹的三维测量系统中，包括以下步骤：

1).首先，搭建三维测量系统：实现CCD相机的光轴垂直于参考平面；投影仪投影光轴和相机光轴共面，且相交于参考平面；投影仪出瞳距离和相机入瞳距离与参考平面的垂直距离相等；

2).其次，标定三维测量系统：确定投影仪光心和相机光心与参考平面之间的垂直距离L以及二者之间的水平距离d；

3).再次，确定投影条纹图像的横向分辨率M及条纹频率f；

4).然后，通过计算机按照下述(a)、(b)公式计算，

$\mathrm{\Φ}\left(x^{\′\′}\right)=2\mathrm{\πf}\·F(M,L,d,x^{\′\′})=\left\{\begin{array}{cc}2\mathrm{\πf}\·\frac{{\mathrm{OO}}^{\′2}\·(\frac{M}{2}-x^{\′\′})}{L\·{\mathrm{OO}}^{\′}+d\·(\frac{M}{2}-x^{\′\′})}& x^{\′\′}\∈[1,\frac{M}{2}]\\ 2\mathrm{\πf}\·\frac{{\mathrm{OO}}^{\′2}\·(x^{\′\′}-\frac{M}{2})}{L\·{\mathrm{OO}}^{\′}-d\·(x^{\′\′}-\frac{M}{2})}& x^{\′\′}\∈(\frac{M}{2},M]\end{array}\right.---\left(a\right)$

${\mathrm{\Φ}}_i\left(x^{\′\′}\right)=2\mathrm{\πf}\·F(M,L,d,x^{\′\′})+\frac{2\mathrm{\π}}{n}\·i(i=\mathrm{1,2},...,n)---\left(b\right)$

得到n组相位差为2π/n的像素与相位之间的分段关系，其中x”表示投影图案上某一点的横向像素坐标，F(M,L,d,x")是与M,L,d，x”相关的分段函数；

5).最后，通过下述(c)式将相位转化为图像像素的灰度，从而得到灰度按照正弦变化的n幅分段非均匀条纹相移图；

H_i＝sin(Φ_i(x"))(i＝1,2,...,n) (c)。

同时设计了另一种非均匀条纹分段生成方法，其特征在于该方法用于采用时域相位展开方法时的投影正弦光栅条纹的三维测量系统中，包括以下步骤：

1).首先，搭建三维测量系统系统：实现CCD相机的光轴垂直于参考平面；投影仪投影光轴和相机光轴共面，且相交于参考平面；投影仪出瞳距离和相机入瞳距离与参考平面的垂直距离相等；

2).其次，标定三维测量系统：确定投影仪光心和相机光心与参考平面之间的垂直距离L以及二者之间的水平距离d；

3).再次，确定投影条纹图像的横向分辨率M，根据多频外差原理公式(d)确定条纹频率f₁和f₂，其中p₁和p₂分别为所述频率f₁和f₂对应的条纹周期，p＝1/f，W为条纹图案横向总像素数，α＝arctan(d/L)为投影仪光轴和相机光轴夹角；

$\frac{p_1{p}_2}{p_2-p_1}b>W\sin \mathrm{\α}---\left(d\right)$

4).然后，将频率f₁和f₂分别代入公式(a)中，得到两组图像像素和相位之间的分段函数关系，其中x”表示投影图案上某一点的横向像素坐标，F(M,L,d,x")是与M,L,d，x”相关的分段函数；

5).最后，再通过下述公式(e)或(f)，即

$\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{1i}\left(x^{\′\′}\right)=2\mathrm{\π}{f}_1\·F(M,L,d,x^{\′\′})+\frac{2\mathrm{\π}}{n}\·i(i=\mathrm{1,2},...,n)\\ {\mathrm{\Φ}}_{2i}\left(x^{\′\′}\right)=2\mathrm{\π}{f}_2\·F(M,L,d,x^{\′\′})+\frac{2\mathrm{\π}}{n}\·i\±\mathrm{K\π}(i=\mathrm{1,2},...,n)\end{array}---\left(e\right)$

或

$\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{1i}\left(x^{\′\′}\right)=2\mathrm{\π}{f}_1\·F(M,L,d,x^{\′\′})+\frac{2\mathrm{\π}}{n}\·i\±\mathrm{K\π}(i=\mathrm{1,2},...,n)\\ {\mathrm{\Φ}}_{2i}\left(x^{\′\′}\right)=2\mathrm{\π}{f}_2\·F(M,L,d,x^{\′\′})+\frac{2\mathrm{\π}}{n}\·i(i=\mathrm{1,2},...,n)\end{array}---\left(f\right)$

得到2n组相位差为2π/n的像素与相位之间的分段关系；其中，K取1，表示条纹移动级数；进而通过(g)式，即

H_ji＝sin(Φ_ji(x"))(j＝1,2；i＝1,2,...,n) (g)

将相位转化为灰度按正弦规律变化图形，得到频率为f_j的n幅灰度按正弦规律变化的条纹图；K取1时，使用空域相位展开方法对所得条纹图进行相位展开，判断相位展开结果是否连续；如果不连续使K＝K+1，直至相位展开结果连续。

与现有技术相比,本发明方法充分考虑到倾斜投影系统中条纹相位与条纹所处位置的关系，从而有针对性的引入了新的生成非均匀条纹所必须的参数。基于现有的与解相位和非均匀条纹生成相关的发明及研究结果，取其中较为简便、易行的方法，引入新的参数对这些方法进行改进，因而能够缩短三维测量和解相位过程所需的时间，提高三维测量和解相位的精度。

附图说明

图1是本发明非均匀条纹分段生成方法一种实施例的工作原理示意图。

图2是使用本发明方法生成分段非均匀条纹相移图的流程图。

图3是本发明非均匀条纹分段生成方法一种实施例在L＝0.6m，d＝0.2m，周期p＝40pixel情况下，编程得到的非均匀条纹图案图。

图4是本发明非均匀条纹分段生成方法一种实施例得到的投影效果图。

图5是本发明非均匀条纹分段生成方法一种实施例在使用式(e)和式(g)时，采用双频投影及解相位方法得到的相位展开图。

图6是本发明非均匀条纹分段生成方法一种实施例得到的参考平面上某一行灰度与像素之间的关系图。

具体实施方式

本发明提供一种非均匀条纹分段生成方法(简称方法或生成方法，参见图1-6)。该方法通过计算机编程得到周期变化的非均匀条纹，这种非均匀条纹变化与投影仪倾斜投影均匀条纹时在参考平面上得到的条纹周期的变化相反，从而弥补由于投影仪倾斜投影时条纹周期的变化，进而减小误差。本发明方法的特征在于：通过分析投影仪与CCD相机光轴在参考平面上的交点分别到相机一侧条纹和投影仪一侧条纹的相位分布与投影仪投影图片的像素之间的关系，从而得到非均匀条纹分段生成方法。

本发明设计的非均匀条纹分段生成方法，基于如下硬件设计，如附图1：硬件包括计算机1、DLP投影仪(简称投影仪)2、CCD相机(简称相机)3和参考平面4。投影仪2和相机3分别通过导线51和52与计算机1控制连接，所述计算机1中包含与投影仪2配套的投影软件、与相机3配套的拍照软件、图像处理软件等。这些软件为公知技术，可以商购获得。

本发明方法要求CCD相机3的光轴31垂直于参考平面4；投影仪2的投影光轴21和相机光轴31共面，相交于参考平面上的O点；投影仪2出瞳O’和相机3入瞳O”距离参考平面4的距离都为L，二者的水平距离为d，因此投影仪光轴21和相机光轴31夹角为锐角此外，X’平面41为假想平面，它与投影仪光轴21垂直，因此X’平面41与参考平面4的夹角为也为α；X”平面42为投影仪投影图形平面，为假想平面，根据公知知识，42与21垂直。

本发明所述的分段非均匀条纹生成方法设计由来如下：

假设A点为参考平面X上两光轴交点O到投影仪一侧的任意一点，A’点为OA与虚拟参考平面X’的交点，θ为OA与投影仪光轴OO’的夹角，OA＝x₁，OA'＝x'₁，在ΔOAA'中，由正弦定理得

${x^{\′}}_1=\cos \mathrm{\α}\·x_1+\tan \mathrm{\θ}\·\sin \mathrm{\α}\·x_1=\frac{{{\mathrm{Lx}}^{\′}}_1}{{\mathrm{OO}}^{\′}}+\frac{{x^{\′}}_1}{{\mathrm{OO}}^{\′}}\·\frac{d}{{\mathrm{OO}}^{\′}}\·x_1---\left(2\right)$

整理得

$x_1=\frac{{\mathrm{OO}}^{\′2}\·{x^{\′}}_1}{L\·{\mathrm{OO}}^{\′}+d\·{x^{\′}}_1}---\left(3\right)$

同理，假设B点为两光轴交点到相机一侧的任意一点，λ为OB与投影仪光轴OO’的夹角，B’为OB与虚拟参考平面X’的交点，OB＝x₂，OB'＝x'₂，

整理得

$x_2=\frac{{\mathrm{OO}}^{\′2}\·{x^{\′}}_2}{L\·{\mathrm{OO}}^{\′}-d\·{x^{\′}}_2}---\left(4\right)$

A和B点分别与A’和B’点有相同的相位，假设平面X上为均匀条纹，则平面X’上应为非均匀条纹。如果X上相位为φ(x)＝2πfx，f为条纹频率，则X’上相位分布为

$\mathrm{\φ}\left({x^{\′}}_1\right)=\mathrm{\φ}\left(x_1\right)=2\mathrm{\π}{\mathrm{fx}}_1=\frac{2\mathrm{\πf}\·{\mathrm{OO}}^{\′2}\·{x^{\′}}_1}{L\·{\mathrm{OO}}^{\′}+d\·{x^{\′}}_1}---\left(5\right)$

$\mathrm{\φ}\left({x^{\′}}_2\right)=\mathrm{\φ}\left(x_2\right)=2\mathrm{\π}{\mathrm{fx}}_2=\frac{2\mathrm{\πf}\·{\mathrm{OO}}^{\′2}\·{x^{\′}}_2}{L\·{\mathrm{OO}}^{\′}-d\·{x^{\′}}_2}---\left(6\right)$

投影仪投影图像平面X”与虚拟参考平面X’平行，假设x”为投影仪投影图像平面上与X’平面上任意点的有相同相位的点的横向像素坐标，由此可以得

$\mathrm{\φ}\left({x^{\′\′}}_1\right)=\mathrm{\φ}\left({x^{\′}}_1\right)=\frac{2\mathrm{\πf}\·{\mathrm{OO}}^{\′2}\·{x^{\′\′}}_1}{L\·{\mathrm{OO}}^{\′}+d\·{x^{\′\′}}_1}---\left(7\right)$

$\mathrm{\φ}\left({x^{\′\′}}_2\right)=\mathrm{\φ}\left({x^{\′}}_2\right)=\frac{2\mathrm{\πf}\·{\mathrm{OO}}^{\′2}\·{x^{\′\′}}_2}{L\·{\mathrm{OO}}^{\′}-d\·{x^{\′\′}}_2}---\left(8\right)$

x"₁和x"₂的值与投影图像的横向分辨率有关，根据如上分析，可知x"₁为投影图案中心O’到图像左侧一点的横向像素数，x"₂为投影图案中心O’到图像右侧一点的横向像素数，即

$\begin{array}{cc}{x^{\′\′}}_1=x^{\′\′}-\frac{M}{2}& x^{\′\′}\∈[1,\frac{M}{2}]\\ {x^{\′\′}}_2=\frac{M}{2}-x^{\′\′}& x^{\′\′}\∈(\frac{M}{2},M]\end{array}---\left(9\right)$

其中，x”为投影图案平面任意一点的横向像素坐标，M为设定的投影条纹图案的横向像素数。由此可以得到非均匀条纹分段生成方法，即投影仪平面X”上相位与像素之间的关系为

$\mathrm{\Φ}\left(x^{\′\′}\right)=2\mathrm{\πf}\·F(M,L,d,x^{\′\′})=\left\{\begin{array}{cc}2\mathrm{\πf}\·\frac{{\mathrm{OO}}^{\′2}\·(\frac{M}{2}-x^{\′\′})}{L\·{\mathrm{OO}}^{\′}+d\·(\frac{M}{2}-x^{\′\′})}& x^{\′\′}\∈[1,\frac{M}{2}]\\ 2\mathrm{\πf}\·\frac{{\mathrm{OO}}^{\′2}\·(x^{\′\′}-\frac{M}{2})}{L\·{\mathrm{OO}}^{\′}-d\·(x^{\′\′}-\frac{M}{2})}& x^{\′\′}\∈(\frac{M}{2},M]\end{array}\right.---\left(10\right)$

${\mathrm{\Φ}}_i\left(x^{\′\′}\right)=2\mathrm{\πf}\·F(M,L,d,x^{\′\′})+\frac{2\mathrm{\π}}{n}\·i(i=\mathrm{1,2},...,n)---\left(11\right)$

公式(10)即公式(a),公式(11)即公式(b)，式中F(M,L,d,x")是与M，L，d，x”相关的分段函数，从而得到n组相位差为2π/n的像素和相位之间的关系。由于本方法生成的条纹图案的分布规律在投影图形M/2像素处发生了变化，所以称之为非均匀条纹分段生成方法。按照式(12)(即公式(c))将相位转化为灰度，即可得到分段非均匀条纹。

H_i＝sin(Φ_i(x"))(i＝1,2,...,n) (12)

将分段非均匀条纹用于空域相位展开方法时，如双频相位展开，会出现相位展开结果不连续的现象，需要对两种频率条纹中的某一种进行级数移动即可，如式(13)或式(14)，即如公式(e)和(f)。

$\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{1i}\left(x^{\′\′}\right)=2\mathrm{\π}{f}_1\·F(M,L,d,x^{\′\′})+\frac{2\mathrm{\π}}{n}\·i(i=\mathrm{1,2},...,n)\\ {\mathrm{\Φ}}_{2i}\left(x^{\′\′}\right)=2\mathrm{\π}{f}_2\·F(M,L,d,x^{\′\′})+\frac{2\mathrm{\π}}{n}\·i\±\mathrm{K\π}(i=\mathrm{1,2},...,n)\end{array}---\left(13\right)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{1i}\left(x^{\′\′}\right)=2\mathrm{\π}{f}_1\·F(M,L,d,x^{\′\′})+\frac{2\mathrm{\π}}{n}\·i\±\mathrm{K\π}(i=\mathrm{1,2},...,n)\\ {\mathrm{\Φ}}_{2i}\left(x^{\′\′}\right)=2\mathrm{\π}{f}_2\·F(M,L,d,x^{\′\′})+\frac{2\mathrm{\π}}{n}\·i(i=\mathrm{1,2},...,n)\end{array}---\left(14\right)$

这样便得到了适用于时域相位展开方法的分段非均匀条纹像素和相位之间的关系。最后再通过式(15)(即式(g))将相位转化为灰度，即可得到经过级数移动后的分段非均匀条纹。

H_ji＝sin(Φ_ji(x"))(j＝1,2；i＝1,2,...,n) (15)。

下面结合实施例及附图进一步详细描述本发明。

首先，进行系统标定、投影仪标定和相机标定工作，实现上述要求，得到系统参数L，d并设定投影图像横向像素数M。

其次，根据需求，确定相位展开方法，根据相位展开方法的不同确定分段非均匀条纹生成方法，流程图如附图2：

(1)当采用空域相位展开方法时，需要设定投影仪所投影条纹的频率f。图3为计算机根据式(a)、(b)和(c)编程得到的L＝0.6m，d＝0.2m，条纹周期p＝40pixel的分段非均匀条纹图。图4为将图3投影到参考平面上使用CCD相机进行图像采集的效果图，再使用空域相位展开方法进行展开。

(2)当使用时域相位展开方法时，例如双频相位展开方法，需要根据相关理论设定投影仪所投影条纹的频率f₁和f₂，并根据相位展开结果的连续性确定K值。图5为投影式(e)和式(g)生成的双频分段非均匀条纹(K＝1)经过CCD相机图像采集后，使用双频相位展开方法得到的相位展开结果图，其中，L＝0.6m，d＝0.2m，条纹周期p₁＝40pixel，p₂＝42pixel。图6为图5某一行灰度与像素之间的关系，呈现明显的线性关系。

(3)得到相位展开结果后，将被测物体放在参考平面上，投影相同的分段非均匀条纹图案，使用相同的方法进行相位提取、相位展开，得到受被测物体调制后的相位展开结果。最后由计算机按照三维测量相关理论进行高度求取、三维恢复和点云拼接等后续工作。

本发明方法的创新之处主要在于确立了像素与相位之间的对应关系。通过创新的公式及公知的生成条纹的思路，得到了所述的分段非均匀条纹，即权利要求1所述的技术方案。但是将这种条纹应用于时域相位展开方法时是不适用的，需要进行改进。权利要求2所述的技术方案即是这种改进。权利要求1与权利要求2所述的技术方案二者相位与像素关系公式相差Kπ，二者相互补充，使得本发明分段非均匀条纹生成方法能够适用于所有的三维测量系统中。

本发明所述生成分段非均匀条纹的方法，可以用于：

1.对条纹进行半级数移动后可以应用于时域相位展开方法，如双频解相位，也可以继续扩展应用到多频解相位；

2.在三维测量系统中，使用相移法对投影仪进行标定时，为了减小标定误差，同样也可以应用本方法生成条纹，向标定板上投影条纹并解相位后求取标定板上标定点的坐标。

本发明未述及之处适用于现有技术。

Claims (2)

1.一种非均匀条纹分段生成方法，其特征在于该方法用于采用空域相位展开方法时的投影正弦光栅条纹的三维测量系统中，包括以下步骤：

1).首先，搭建三维测量系统：实现CCD相机的光轴垂直于参考平面；投影仪投影光轴和相机光轴共面，且相交于参考平面上O点；投影仪光心O’点到参考平面的垂直距离等于相机光心到参考平面的垂直距离；

2).其次，标定三维测量系统：确定投影仪光心和相机光心到参考平面之间的垂直距离L，并确定投影仪光心与相机光心之间的水平距离d；

3).再次，确定投影条纹图像的横向分辨率M及条纹频率f；

4).然后，通过计算机按照下述(a)、(b)公式计算，

$\mathrm{\Φ}\left(x^{\′\′}\right)=2\mathrm{\π}f\·F(M,L,d,x^{\′\′})=\left\{\begin{array}{cc}2\mathrm{\π}f\·\frac{{\mathrm{OO}}^{\′2}\·(\frac{M}{2}-x^{\′\′})}{L\·{\mathrm{OO}}^{\′}+d\·(\frac{M}{2}-x^{\′\′})}& x^{\′\′}\∈\[1,\frac{M}{2}\]\\ 2\mathrm{\π}f\·\frac{{\mathrm{OO}}^{\′2}\·(x^{\′\′}-\frac{M}{2})}{L\·{\mathrm{OO}}^{\′}-d\·(x^{\′\′}-\frac{M}{2})}& x^{\′\′}\∈(\frac{M}{2},M\]\end{array}\right.---\left(a\right)$

${\mathrm{\Φ}}_i\left(x^{\′\′}\right)=2\mathrm{\π}f\·F(M,L,d,x^{\′\′})+\frac{2\mathrm{\π}}{n}\·i,(i=1,2,\mathrm{...},n)---\left(b\right)$

得到n组相位差为2π/n的像素与相位之间的分段关系，其中x”表示投影图案上某一点的横向像素坐标，F(M,L,d,x")是与M,L,d，x”相关的分段函数；

5).最后，通过下述(c)式将相位转化为图像像素的灰度，从而得到灰度按照正弦变化的n幅分段非均匀条纹相移图；

H_i＝sin(Φ_i(x"))(i＝1,2,...,n) (c)。

2.一种非均匀条纹分段生成方法，其特征在于该方法用于采用双频相位展开法时的投影正弦光栅条纹的三维测量系统中，包括以下步骤：

1).首先，搭建三维测量系统系统：实现CCD相机的光轴垂直于参考平面；投影仪投影光轴和相机光轴共面，且相交于参考平面上O点；投影仪光心O’点到参考平面的垂直距离等于相机光心到参考平面的垂直距离；

2).其次，标定三维测量系统：确定投影仪光心和相机光心到参考平面之间的垂直距离L，并确定相机光心与投影仪光心之间的水平距离d；

3).再次，确定投影条纹图像的横向分辨率M，根据多频外差原理公式(d)确定条纹频率f₁和f₂，其中p₁和p₂分别为所述频率f₁和f₂对应的条纹周期，p₁＝1/f₁，p₂＝1/f₂，W为条纹图案横向总像素数，α＝arctan(d/L)为投影仪光轴和相机光轴夹角；

$\frac{p_1{p}_2}{p_2-p_1}=b>Wsin\mathrm{\α}---\left(d\right)$

4).然后，将频率f₁和f₂分别代入公式(a)中，得到两组图像像素和相位之间的分段函数关系，

$\mathrm{\Φ}\left(x^{\′\′}\right)=2\mathrm{\π}f\·F(M,L,d,x^{\′\′})=\left\{\begin{array}{cc}2\mathrm{\π}f\·\frac{{\mathrm{OO}}^{\′2}\·(\frac{M}{2}-x^{\′\′})}{L\·{\mathrm{OO}}^{\′}+d\·(\frac{M}{2}-x^{\′\′})}& x^{\′\′}\∈\[1,\frac{M}{2}\]\\ 2\mathrm{\π}f\·\frac{{\mathrm{OO}}^{\′2}\·(x^{\′\′}-\frac{M}{2})}{L\·{\mathrm{OO}}^{\′}-d\·(x^{\′\′}-\frac{M}{2})}& x^{\′\′}\∈(\frac{M}{2},M\]\end{array}\right.---\left(a\right)$

其中x”表示投影图案上某一点的横向像素坐标，F(M,L,d,x")是与M,L,d，x”相关的分段函数；

5).最后，再通过下述公式(e)或(f)，即

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Φ}}_{1i}\left(x^{\′\′}\right)=2{\mathrm{\πf}}_1\·F(M,L,d,x^{\′\′})+\frac{2\mathrm{\π}}{n}\·i& (i=1,2,\mathrm{...},n)\\ {\mathrm{\Φ}}_{2i}\left(x^{\′\′}\right)=2{\mathrm{\πf}}_2\·F(M,L,d,x^{\′\′})+\frac{2\mathrm{\π}}{n}\·i\±K\mathrm{\π}& (i=1,2,\mathrm{...},n)\end{array}---\left(e\right)$

或

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Φ}}_{1i}\left(x^{\′\′}\right)=2{\mathrm{\πf}}_1\·F(M,L,d,x^{\′\′})+\frac{2\mathrm{\π}}{n}\·i\±K\mathrm{\π}& (i=1,2,\mathrm{...},n)\\ {\mathrm{\Φ}}_{2i}\left(x^{\′\′}\right)=2{\mathrm{\πf}}_2\·F(M,L,d,x^{\′\′})+\frac{2\mathrm{\π}}{n}\·i& (i=1,2,\mathrm{...},n)\end{array}---\left(f\right)$

得到2n组相位差为2π/n的像素与相位之间的分段关系；其中，K取1，表示条纹移动级数；进而通过(g)式，即

H_ji＝sin(Φ_ji(x"))(j＝1,2；i＝1,2,...,n) (g)

将相位转化为灰度按正弦规律变化图形，得到频率为f_j的n幅灰度按正弦规律变化的条纹图；K取1时，使用空域相位展开方法对所得条纹图进行相位展开，判断相位展开结果是否连续；如果不连续使K＝K+1，直至相位展开结果连续。