CN104143830A - 一种双回并行高压直流输电系统谐波不稳定的判定方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种双回并行高压直流输电系统谐波不稳定的判定方法，其特点是本发明结合变压器的直流偏磁效应，将直流偏磁系数带入了推导过程，省去了交流侧的负序阻抗参数，考虑双回直流线路阻抗的大小和相位差异，只采用交流侧正序二次阻抗和直流侧基频阻抗来判定系统是否会发生谐波不稳定，提出了新的判定并行双回高压直流输电系统是否会发生谐波不稳定的方法。

Description

一种双回并行高压直流输电系统谐波不稳定的判定方法

技术领域

本发明涉及一种双回并行高压直流输电系统谐波不稳定的判定方法，具体地说，本发明是采用交流侧正序二次阻抗和直流侧基频阻抗，并结合开关函数理论、谐波不稳定机理来判定双回并行高压直流输电系统是否会发生谐波不稳定，属于电气信息领域。 

背景技术

我国地理跨度大，一次能源分布不均，并且能源主要集中在西部地区，而能量消耗又集中在东部地区，所以需要大规模的电网进行电能的传输。传统的交流输电输送距离很难超出500～600km，而高压直流输电(HVDC)技术的成功应用之一就是远距离大容量输电。 

而随着越来越多高压直流输电系统的投入，其伴随而来的问题也越来越多，其中，谐波不稳定问题也越来越突出。直流输电引起的谐波不稳定是指在换流站附近有扰动时，谐波振荡不易衰减甚至放大现象，主要表现为换流站交流母线电压严重畸变。谐波不稳定发生时，谐波电流将会放大几倍甚至几十倍，这样对电力系统的危害是极其严重的。特别是对换流变压器、电抗器、电容器等元件造成很大威胁。谐波电流过大会造成电压的畸变，而电压畸变严重会引起换相失败，使直流输电系统运行困难甚至闭锁。严重情况下，直流输电系统的崩溃可能会造成交流系统的崩溃。 

到目前为止，已发现有四个系统发生过这种类型的不稳定，分别是Kristiansand，Nelson River，New England和Chateauguay直流系统。实际上，Nelson River HVDC系统和位于挪威和芬兰之间的Kristiansand HVDC系统都是由于在直流侧存在基频串联谐振而引起的谐波不稳定；Chateauguay背靠背直流系统是由于在交流系统发生二次谐波谐振而激发谐波不稳定。据报道，在天广直流、贵广直流以及三广直流电线路调试和运行时，均出现过输电线路周围部分500kV和220kV变压器的中性点直流电流分量大幅上升到30～50A的情况。这些直流电流分量的存在会激发变压器铁心磁通的饱和，进而产生各次谐波并注入交流电网中，大幅抬高电压总畸变率，引起谐波不稳定问题。 

谐波不稳定又称铁心饱和谐波不稳定，但现有的双回并行高压直流输电系统谐波不稳定的判定方法并没有加入变压器铁心饱和参数，与理论支撑没有完全结合，并且未考虑双 回直流线路网络拓扑参数的差异，判断方法有一定的误差，精确度不是很高。因此进一步研究谐波不稳定的判定方法，迫在眉睫。 

发明内容

本发明的目的是针对现有技术的不足而提供一种双回并行高压直流输电系统谐波不稳定的判定方法，其特点是采用换流变压器直流偏磁效应的影响，并考虑双回直流线路网络拓扑参数的不同，选取双回直流线路阻抗的矢量值，在此基础上结合开关函数的调制效应，由电路原理出发，提出一种基于交流侧正序二次阻抗和直流侧基频阻抗判定双回并行高压直流输电系统谐波不稳定的方法。 

本发明的目的由以下技术措施实现 

双回并行高压直流输电系统谐波不稳定的判定方法包括以下步骤： 

1)根据开关函数调制理论，可以得到直流侧电流调制到交流侧的关系为： 

$\left\{\begin{array}{c}\left|I_{\mathrm{ac}(n+1)}^{+}\left(t\right)\right|=\frac{\sqrt{3}}{\mathrm{\π}}\left|I_{\mathrm{dcn}}\left(t\right)\right|\\ \left|I_{\mathrm{ac}(n-1)}^{-}\left(t\right)\right|=\frac{\sqrt{3}}{\mathrm{\π}}\left|I_{\mathrm{dcn}}\left(t\right)\right|\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中，(t)为t时刻交流侧(n+1)次正序谐波电流，(t)为t时刻交流侧(n-1)次负序谐波电流，I_dcn(t)为t时刻直流侧n次谐波电流； 

交流侧电压调制到直流侧的关系为： 

$\left\{\begin{array}{c}\left|U_{\mathrm{dcn}}\left(t\right)\right|=\frac{3\sqrt{3}}{\mathrm{\π}}\left|U_{\mathrm{ac}(n+1)}^{+}\left(t\right)\right|\\ \left|U_{\mathrm{dcn}}\left(t\right)\right|=\frac{3\sqrt{3}}{\mathrm{\π}}\left|U_{\mathrm{ac}(n-1)}^{+}\left(t\right)\right|\end{array}\right.---\left(2\right)$

式中，(t)为t时刻交流侧(n+1)次正序谐波电压，(t)为t时刻交流侧(n-1)次负序谐波电压，U_dcn(t)为t时刻直流侧n次谐波电压； 

2)谐波不稳定一般考虑低次谐波；假设初始t时刻，直流线路1中的初始谐波电流为I_dc1(t)，直流侧谐波电流经换流器调制到交流侧为： 

$\left\{\begin{array}{c}\left|I_{\mathrm{ac}2}^{+}\left(t\right)\right|=\frac{\sqrt{3}}{\mathrm{\π}}\left|I_{\mathrm{dc}1}\left(t\right)\right|\\ \left|I_{\mathrm{ac}0}^{-}\left(t\right)\right|=\frac{\sqrt{3}}{\mathrm{\π}}\left|I_{\mathrm{dc}1}\left(t\right)\right|\end{array}\right.---\left(3\right)$

式中，(t)为t时刻交流侧2次正序谐波电流，(t)为t时刻交流侧0次负序直流谐波电流，I_dc1(t)为t时刻直流侧1次谐波电流；根据电路原理则有： 

$\left\{\begin{array}{c}\left|U_{\mathrm{ac}2}^{+}\left(t\right)\right|=\left|I_{\mathrm{ac}2}^{+}\left(t\right)\right|\·\left|Z_{\mathrm{ac}2}^{+}\right|=\frac{\sqrt{3}}{\mathrm{\π}}\left|I_{\mathrm{dc}1}\left(t\right)\right|\·\left|Z_{\mathrm{ac}2}^{+}\right|\\ \left|U_{\mathrm{ac}0}^{-}\left(t\right)\right|=\left|I_{\mathrm{ac}0}^{-}\left(t\right)\right|\·\left|Z_{\mathrm{ac}0}^{-}\right|=\frac{\sqrt{3}}{\mathrm{\π}}\left|I_{\mathrm{dc}1}\left(t\right)\right|\·\left|Z_{\mathrm{ac}0}^{-}\right|\end{array}\right.---\left(4\right)$

式中，(t)为t时刻交流侧2次正序谐波电压，(t)为t时刻交流侧0次负序谐波直流电压，为交流侧2次正序谐波阻抗，为交流系统侧0次负序谐波阻抗； 

此时，考虑换流变压器直流偏磁效应，假设变压器所产生的二次谐波电流分量和流入变压器直流电流之比为k，即使在最恶劣的情况下也是小于1，所以在此考虑最严重情况，取k＝1，交流侧二次谐波电流、电压分量表示为： 

$\left\{\begin{array}{c}\left|I_{\mathrm{ac}2}^{+}\left(t\right)\right|=k\·\left|I_{\mathrm{ac}0}\left(t\right)\right|+\frac{\sqrt{3}}{\mathrm{\π}}\left|I_{\mathrm{dc}1}\left(t\right)\right|=(1+k)\frac{\sqrt{3}}{\mathrm{\π}}\left|I_{\mathrm{dc}1}\left(t\right)\right|\\ \left|U_{\mathrm{ac}2}^{+}\left(t\right)\right|=\left|I_{\mathrm{ac}2}^{+}\left(t\right)\right|\·\left|Z_{\mathrm{ac}2}^{+}\right|=\frac{(1+k)\sqrt{3}}{\mathrm{\π}}\left|I_{\mathrm{dc}1}\left(t\right)\right|\·\left|Z_{\mathrm{ac}2}^{+}\right|\end{array}\right.---\left(5\right)$

3)在t+Δt时刻，谐波从直流1变换到交流侧，再从交流侧变换回直流1，有： 

$\left|I_{\mathrm{dc}1\left(1\right)}(t+\mathrm{\Δt})\right|=\frac{\left|U_{\mathrm{dc}1\left(1\right)}(t+\mathrm{\Δt})\right|}{\left|Z_{\mathrm{dc}1\left(1\right)}\right|}=\frac{9(1+k)}{{\mathrm{\π}}^2}\×\frac{\left|I_{\mathrm{dc}1}\left(t\right)\right|\·\left|Z_{\mathrm{ac}2}^{+}\right|}{\left|Z_{\mathrm{dc}1\left(1\right)}\right|}---\left(6\right)$

式中，I_dc1(1)(t+Δt)表示在(t+Δt)时刻直流线路1中一次谐波电流值，其中，I_dc1(1)(t+Δt)下标的前一个1代表一次谐波，后一个(1)代表直流线路1，Z_dc1(1)表示直流线路1的一次谐波阻抗值，I_dc1(t)表示初始t时刻，直流线路1中的初始谐波值； 

同理，谐波从直流1变换到交流侧，再从交流侧变换回直流2，有： 

$\left|I_{\mathrm{dc}2\left(1\right)}(t+\mathrm{\Δt})\right|=\frac{\left|U_{\mathrm{dc}2\left(1\right)}(t+\mathrm{\Δt})\right|}{\left|Z_{\mathrm{dc}2\left(1\right)}\right|}=\frac{9(1+k)}{{\mathrm{\π}}^2}\×\frac{\left|I_{\mathrm{dc}1}\left(t\right)\right|\·\left|Z_{\mathrm{ac}2}^{+}\right|}{\left|Z_{\mathrm{dc}2\left(1\right)}\right|}---\left(7\right)$

式中，I_dc2(1)(t+Δt)表示在(t+Δt)时刻直流线路2中一次谐波电流值，Z_dc2(1)表示直流线路2的一次谐波阻抗值； 

4)在t+2Δt时刻，交流侧谐波为直流1和直流2谐波调制到交流侧之和；此时考虑两回直流线路之间的电流值不同(幅值、相角差)，由于换流器在直流侧表现电压源，所以其两回线路电流的相角差可以由阻抗的矢量形式来表示，同时考虑铁心饱和问题，并且根据电路原理等效两回直流的电阻，所以在(t+2Δt)时刻谐波从直流侧传递到交流侧得到： 

$\left|I_{\mathrm{ac}2}^{+}(t+2\mathrm{\Δt})\right|=\frac{9\sqrt{3}{(1+k)}^2\×\left|I_{\mathrm{dc}1}\left(t\right)\right|\·\left|Z_{\mathrm{ac}2}^{+}\right|}{{\mathrm{\π}}^3}\×|\frac{1}{Z_{\mathrm{dc}1\left(1\right)}^{\→}}+\frac{1}{Z_{\mathrm{dc}2\left(1\right)}^{\→}}|---\left(8\right)$

式中， 

式中，分别代表直流线路1、2的阻抗相位； 

5)在t+3Δt时刻，谐波从交流侧传递到直流线路1，此时谐波电压为： 

$\left|U_{\mathrm{dc}1\left(1\right)}(t+3\mathrm{\Δt})\right|=\frac{3\sqrt{3}}{\mathrm{\π}}\left|U_{\mathrm{ac}2}^{+}\left(t\right)\right|=\frac{{81(1+k)}^2\×\left|I_{\mathrm{dc}1}\left(t\right)\right|\·{\left|Z_{\mathrm{ac}2}^{+}\right|}^2}{{\mathrm{\π}}^4}\×|(\frac{1}{Z_{\mathrm{dc}1\left(1\right)}^{\→}}+\frac{1}{Z_{\mathrm{dc}2\left(1\right)}^{\→}})---\left(10\right)$

则直流线路1谐波电流为： 

$\left|I_{\mathrm{dc}1\left(1\right)}(t+3\mathrm{\Δt})\right|=\frac{{81(1+k)}^2\×\left|I_{\mathrm{dc}1}\left(t\right)\right|\·{\left|Z_{\mathrm{ac}2}^{+}\right|}^2}{{\mathrm{\π}}^4\left|Z_{\mathrm{dc}1\left(1\right)}\right|}\×|(\frac{1}{Z_{\mathrm{dc}1\left(1\right)}^{\→}}+\frac{1}{Z_{\mathrm{dc}2\left(1\right)}^{\→}})---\left(11\right)$

6)利用t+3Δt时刻和t时刻的电流之比，得出双回直流线路谐波不稳定的工程判定方法： 

$\frac{324\·{\left|Z_{\mathrm{ac}2}^{+}\right|}^2}{{\mathrm{\π}}^4\·\left|Z_{\mathrm{dc}1\left(1\right)}\right|}\·\left|(\frac{1}{Z_{\mathrm{dc}1\left(1\right)}^{\→}}+\frac{1}{Z_{\mathrm{dc}2\left(1\right)}^{\→}})\right|-1\≥0.---\left(12\right)$

本发明具有如下优点： 

本发明结合变压器的直流偏磁效应，省去了交流侧的负序阻抗参数，只采用交流侧正序二次阻抗和直流侧基频阻抗来判断系统是否会发生谐波不稳定。并且考虑了双回直流线路参数的差异，选取双回直流线路阻抗的矢量值，提出了新的判定双回并行高压直流输电系统是否会发生谐波不稳定的方法。 

附图说明

图1为双回并行高压直流输电系统中谐波传递的一次传递过程图 

图2为双回并行高压直流输电系统中谐波传递的两次传递过程图 

图3为含整流器的双回直流线路模型图 

图4为双回直流判定算例仿真直流线路1侧电流图 

图5为双回直流判定算例仿真直流线路2侧电流图 

具体实施方式

下面通过实施例对本发明进行具体的描述，有必要在此指出的是本实施例只用于对本发明进行进一步说明，不能理解为对本发明包括范围的限制，该领域的技术熟练人员可以根据上述本发明的内容做出一些非本质的改进和调整。 

实施例 

如图1所示，在t时刻，直流1侧存在谐波分量，经换流器调制到交流侧，在t+Δt时刻，谐波从交流侧调制到直流1和直流2侧，此过程为谐波传递的一次过程； 

如图2所示，在t+2Δt时刻，直流1侧和直流2侧谐波调制到交流侧，交流侧谐波为直流1侧和直流2侧谐波调制到交流侧之和，在t+3Δt时刻，谐波从交流侧传递到直流1侧和直流2侧，由此作为谐波传递的二次过程； 

如图3所示，模型交流侧系统经过一系列滤波装置由换流器与直流系统相连接，其中，直流系统为双回并行的两条直流输电线路，两条直流线路也设有一系列滤波装置。 

如图3所示，模型参数如表1所示，变压器参数如表2所示。扰动设为交母线处三相短路，持续0.1s，选取只含整流器的双回直流线路交直流系统模型作为电力系统仿真算例，在软件PSCAD中仿真，交流侧电压设定为100kV，直流侧电压设定为100kV，换流器为CIGRE定电流控制。 

表1算例参数设置 

表2变压器参数设置 

在系统稳定的前提下，在软件PSCAD中采用频率阻抗扫描模块分别在交流侧和直流侧进行动态的频率扫描分析，以获得送端系统的交/直流阻抗——频率特性，得到交流侧正序二次阻抗值直流侧线路1基频阻抗值|Z_dc1(1)|＝131.31、直流侧线路1阻抗的相位直流侧线路2基频阻抗值|Z_dc1(2)|和其相位此时根据阻抗频率扫描结果，带入双回直流判据可得，直流侧线路1的判据值为 

$\frac{324\·{\left|Z_{\mathrm{ac}2}^{+}\right|}^2}{{\mathrm{\π}}^4\·\left|Z_{\mathrm{dc}1\left(1\right)}\right|}\·\left|(\frac{1}{Z_{\mathrm{dc}1\left(1\right)}^{\→}}+\frac{1}{Z_{\mathrm{dc}2\left(1\right)}^{\→}})\right|-1=-0.03,$ 直流侧线路2的判据值为 

$\frac{324\·{\left|Z_{\mathrm{ac}2}^{+}\right|}^2}{{\mathrm{\π}}^4\·\left|Z_{\mathrm{dc}2\left(1\right)}\right|}\·\left|(\frac{1}{Z_{\mathrm{dc}1\left(1\right)}^{\→}}+\frac{1}{Z_{\mathrm{dc}2\left(1\right)}^{\→}})\right|-1=-0.73,$ 如表3所示： 

表3单回直流线路铁心饱和谐波不稳定风险评估值 

由表3得知，此时直流线路1判定值-0.03为负，说明直流线路1下一时刻的谐波电流比上前一时刻的谐波电流小于1，谐波不会放大，系统不会发生谐波不稳定，与图4仿真结果结论一致；直流线路2判定值-0.73为负，说明直流线路2下一时刻的谐波电流比 上前一时刻的谐波电流小于1，谐波不会放大，系统不会发生谐波不稳定，与图5仿真结果结论一致。 

结果表明：判定双回并行高压直流输电系统谐波不稳定的方法能有效地判定系统是否发生谐波不稳定。 

Claims (1)

1.一种双回高压直流输电并行系统谐波不稳定的判定方法，其特征在于该方法包括以下步骤：

1)根据开关函数调制理论，可以得到直流侧电流调制到交流侧的关系为：

$\left\{\begin{array}{c}\left|I_{\mathrm{ac}(n+1)}^{+}\left(t\right)\right|=\frac{\sqrt{3}}{\mathrm{\π}}\left|I_{\mathrm{dcn}}\left(t\right)\right|\\ \left|I_{\mathrm{ac}(n-1)}^{-}\left(t\right)\right|=\frac{\sqrt{3}}{\mathrm{\π}}\left|I_{\mathrm{dcn}}\left(t\right)\right|\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中，(t)为t时刻交流侧(n+1)次正序谐波电流，(t)为t时刻交流侧(n-1)次负序谐波电流，I_dcn(t)为t时刻直流侧n次谐波电流；

交流侧电压调制到直流侧的关系为：

$\left\{\begin{array}{c}\left|U_{\mathrm{dcn}}\left(t\right)\right|=\frac{3\sqrt{3}}{\mathrm{\π}}\left|U_{\mathrm{ac}(n+1)}^{+}\left(t\right)\right|\\ \left|U_{\mathrm{dcn}}\left(t\right)\right|=\frac{3\sqrt{3}}{\mathrm{\π}}\left|U_{\mathrm{ac}(n-1)}^{+}\left(t\right)\right|\end{array}\right.---\left(2\right)$

式中，(t)为t时刻交流侧(n+1)次正序谐波电压，(t)为t时刻交流侧(n-1)次负序谐波电压，U_dcn(t)为t时刻直流侧n次谐波电压；

2)谐波不稳定一般考虑低次谐波；假设初始t时刻，直流线路1中的初始谐波电流为I_dc1(t)，直流侧谐波电流经换流器调制到交流侧为：

$\left\{\begin{array}{c}\left|I_{\mathrm{ac}2}^{+}\left(t\right)\right|=\frac{\sqrt{3}}{\mathrm{\π}}\left|I_{\mathrm{dc}1}\left(t\right)\right|\\ \left|I_{\mathrm{ac}0}^{-}\left(t\right)\right|=\frac{\sqrt{3}}{\mathrm{\π}}\left|I_{\mathrm{dc}1}\left(t\right)\right|\end{array}\right.---\left(3\right)$

式中，(t)为t时刻交流侧2次正序谐波电流，(t)为t时刻交流侧0次负序直流谐波电流，I_dc1(t)为t时刻直流侧1次谐波电流；根据电路原理则有：

$\left\{\begin{array}{c}\left|U_{\mathrm{ac}2}^{+}\left(t\right)\right|=\left|I_{\mathrm{ac}2}^{+}\left(t\right)\right|\·\left|Z_{\mathrm{ac}2}^{+}\right|=\frac{\sqrt{3}}{\mathrm{\π}}\left|I_{\mathrm{dc}1}\left(t\right)\right|\·\left|Z_{\mathrm{ac}2}^{+}\right|\\ \left|U_{\mathrm{ac}0}^{-}\left(t\right)\right|=\left|I_{\mathrm{ac}0}^{-}\left(t\right)\right|\·\left|Z_{\mathrm{ac}0}^{-}\right|=\frac{\sqrt{3}}{\mathrm{\π}}\left|I_{\mathrm{dc}1}\left(t\right)\right|\·\left|Z_{\mathrm{ac}0}^{-}\right|\end{array}\right.---\left(4\right)$

式中，(t)为t时刻交流侧2次正序谐波电压，(t)为t时刻交流侧0次负序谐波直流电压，为交流侧2次正序谐波阻抗，为交流系统侧0次负序谐波阻抗；

此时，考虑换流变压器直流偏磁效应，假设变压器所产生的二次谐波电流分量和流入变压器直流电流之比为k，即使在最恶劣的情况下也是小于1，所以在此考虑最严重情况，取k＝1，交流侧二次谐波电流、电压分量表示为：

$\left\{\begin{array}{c}\left|I_{\mathrm{ac}2}^{+}\left(t\right)\right|=k\·\left|I_{\mathrm{ac}0}\left(t\right)\right|+\frac{\sqrt{3}}{\mathrm{\π}}\left|I_{\mathrm{dc}1}\left(t\right)\right|=(1+k)\frac{\sqrt{3}}{\mathrm{\π}}\left|I_{\mathrm{dc}1}\left(t\right)\right|\\ \left|U_{\mathrm{ac}2}^{+}\left(t\right)\right|=\left|I_{\mathrm{ac}2}^{+}\left(t\right)\right|\·\left|Z_{\mathrm{ac}2}^{+}\right|=\frac{(1+k)\sqrt{3}}{\mathrm{\π}}\left|I_{\mathrm{dc}1}\left(t\right)\right|\·\left|Z_{\mathrm{ac}2}^{+}\right|\end{array}\right.---\left(5\right)$

3)在t+Δt时刻，谐波从直流1变换到交流侧，再从交流侧变换回直流1，有：

$\left|I_{\mathrm{dc}1\left(1\right)}(t+\mathrm{\Δt})\right|=\frac{\left|U_{\mathrm{dc}1\left(1\right)}(t+\mathrm{\Δt})\right|}{\left|Z_{\mathrm{dc}1\left(1\right)}\right|}=\frac{9(1+k)}{{\mathrm{\π}}^2}\×\frac{\left|I_{\mathrm{dc}1}\left(t\right)\right|\·\left|Z_{\mathrm{ac}2}^{+}\right|}{\left|Z_{\mathrm{dc}1\left(1\right)}\right|}---\left(6\right)$

式中，I_dc1(1)(t+Δt)表示在(t+Δt)时刻直流线路1中一次谐波电流值，其中，I_dc1(1)(t+Δt)下标的前一个1代表一次谐波，后一个(1)代表直流线路1，Z_dc1(1)表示直流线路1的一次谐波阻抗值，I_dc1(t)表示初始t时刻，直流线路1中的初始谐波值；

同理，谐波从直流1变换到交流侧，再从交流侧变换回直流2，有：

$\left|I_{\mathrm{dc}2\left(1\right)}(t+\mathrm{\Δt})\right|=\frac{\left|U_{\mathrm{dc}2\left(1\right)}(t+\mathrm{\Δt})\right|}{\left|Z_{\mathrm{dc}2\left(1\right)}\right|}=\frac{9(1+k)}{{\mathrm{\π}}^2}\×\frac{\left|I_{\mathrm{dc}1}\left(t\right)\right|\·\left|Z_{\mathrm{ac}2}^{+}\right|}{\left|Z_{\mathrm{dc}2\left(1\right)}\right|}---\left(7\right)$

式中，I_dc2(1)(t+Δt)表示在(t+Δt)时刻直流线路2中一次谐波电流值，Z_dc2(1)表示直流线路2的一次谐波阻抗值；

4)在t+2Δt时刻，交流侧谐波为直流1和直流2谐波调制到交流侧之和；此时考虑两回直流线路之间的电流值不同(幅值、相角差)，由于换流器在直流侧表现电压源，所以其两回线路电流的相角差可以由阻抗的矢量形式来表示，同时考虑铁心饱和问题，并且根据电路原理等效两回直流的电阻，所以在(t+2Δt)时刻谐波从直流侧传递到交流侧得到：

$\left|I_{\mathrm{ac}2}^{+}(t+2\mathrm{\Δt})\right|=\frac{9\sqrt{3}{(1+k)}^2\×\left|I_{\mathrm{dc}1}\left(t\right)\right|\·\left|Z_{\mathrm{ac}2}^{+}\right|}{{\mathrm{\π}}^3}\×|\frac{1}{Z_{\mathrm{dc}1\left(1\right)}^{\→}}+\frac{1}{Z_{\mathrm{dc}2\left(1\right)}^{\→}}|---\left(8\right)$

式中，

式中，分别代表直流线路1、2的阻抗相位；

5)在t+3Δt时刻，谐波从交流侧传递到直流线路1，此时谐波电压为：

$\left|U_{\mathrm{dc}1\left(1\right)}(t+3\mathrm{\Δt})\right|=\frac{3\sqrt{3}}{\mathrm{\π}}\left|U_{\mathrm{ac}2}^{+}\left(t\right)\right|=\frac{{81(1+k)}^2\×\left|I_{\mathrm{dc}1}\left(t\right)\right|\·{\left|Z_{\mathrm{ac}2}^{+}\right|}^2}{{\mathrm{\π}}^4}\×|(\frac{1}{Z_{\mathrm{dc}1\left(1\right)}^{\→}}+\frac{1}{Z_{\mathrm{dc}2\left(1\right)}^{\→}})---\left(10\right)$

则直流线路1谐波电流为：

$\left|I_{\mathrm{dc}1\left(1\right)}(t+3\mathrm{\Δt})\right|=\frac{{81(1+k)}^2\×\left|I_{\mathrm{dc}1}\left(t\right)\right|\·{\left|Z_{\mathrm{ac}2}^{+}\right|}^2}{{\mathrm{\π}}^4\left|Z_{\mathrm{dc}1\left(1\right)}\right|}\×|(\frac{1}{Z_{\mathrm{dc}1\left(1\right)}^{\→}}+\frac{1}{Z_{\mathrm{dc}2\left(1\right)}^{\→}})---\left(11\right)$

6)利用t+3Δt时刻和t时刻的电流之比，得出双回直流线路谐波不稳定的工程判定方法：

$\frac{324\·{\left|Z_{\mathrm{ac}2}^{+}\right|}^2}{{\mathrm{\π}}^4\·\left|Z_{\mathrm{dc}1\left(1\right)}\right|}\·\left|(\frac{1}{Z_{\mathrm{dc}1\left(1\right)}^{\→}}+\frac{1}{Z_{\mathrm{dc}2\left(1\right)}^{\→}})\right|-1\≥0.---\left(12\right)$