CN104122551A - 基于二维酉esprit的isar横向定标方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于二维酉ESPRIT的ISAR横向定标方法，首先构建目标转台模型r(t)≈R_o+xcos(ωt)+ysin(ωt)，和目标转台模型的ISAR信号回波模型应用目标转台模型的ISAR信号回波模型，基于2D U-ESPRIT进行散射中心提取；散射中心位置估计为 根据散射中心位置估计，基于调频率估计方法完成横向定标。本发明的有益效果是将二维酉ESPRIT超分辨技术应用于ISAR成像中，以获取超分辨ISAR图像。并将其应用于ISAR定标算法中获取目标的转动速度进而完成横向定标，使分辨率不会受到带宽与转角的限制。

Description

基于二维酉ESPRIT的ISAR横向定标方法

技术领域

本发明属于雷达成像技术领域，涉及基于二维酉ESPRIT的ISAR横向定标方法。

背景技术

逆合成孔径雷达成像是一种获取运动目标高分辨图像的有效手段，特别是应用在在雷达目标检测识别与分类中[1]。假设目标处于雷达的远场，雷达发射的电磁波可用平面波表示，若只有平动分量，目标上各散射点回波的多普勒完全相同，对雷达成像没有贡献。故需要设法将平动分量补偿掉，相当于把目标上的参考点移到转台轴上，而成为对转台目标成像[2]。转动是ISAR成像所必需的运动分量，可以通过多普勒频率表征目标方位向信息[3]。

定标不当将导致目标的形状和比例失真[4]，故此横向定标的精度对雷达目标识别至关重要。现有的横向定标算法中孤立散射点的提取大多是基于快速傅里叶变换(FFT)生成的ISAR图像以及最大对比度方法[5-6]。然而，由于分辨率的限制，散射中心位置估计精度不高。为了解决这一问题，本文提出了一种基于2D U-ESPRIT的超分辨ISAR目标散射中心提取算法。2D U-ESPRIT有以下优势来确保参数估计的准确性和实效性。首先，通过构造中复共轭对称矩阵可以有效的增加观测数据的长度[7]。其次，在计算过程中，所有计算均在实数域进行，避免了复数计算的复杂度[8]。

同一个距离单元内各个散射点的回波在慢时间域可以看作是一个线性调频信号。因此，每个散射中心都携带者其所在距离单元的多普勒信息即旋转速度信息[6]。这样，横向定标问题就转换成调频率估计的问题，进而可以利用分数阶傅里叶变换(FrFT)进行估计。

ISAR成像中，为获得目标的真实尺寸信息需已知目标与雷达相对总转角。实际ISAR成像中的转角通常是未知的。然而，同一个距离单元内各个散射点的回波在慢时间域可以看作是一个线性调频信号。因此，每个散射中心都携带者其所在距离单元的多普勒信息即旋转速度信息。因此，我们利用FrFT计算每个散射中心所在距离单元对应的调频率来获取目标的转速，然后计算出横向分辨率。然而，现有的散射中心提取方法大都基于快速傅里叶变换(FFT)，其分辨率受到带宽与转角的限制。为了突破该限制，我们将2D U-ESPRIT超分辨技术应用于ISAR成像中，以获取超分辨ISAR图像。并将其应用于ISAR定标算法中获取目标的转动速度进而完成横向定标。最后通过实测数据对本文算法进行检验，计算结果验证了该方法的可行性和准确性。

发明内容

本发明的目的在于提供基于二维酉ESPRIT的ISAR横向定标方法，解决了现有的散射中心提取方法大都基于快速傅里叶变换(FFT)，其分辨率受到带宽与转角的限制的问题。

本发明所采用的技术方案是按照以下步骤进行：

步骤1：构建目标转台模型r(t)≈R_o+xcos(ωt)+ysin(ωt)，和目标转台模型的ISAR信号回波模型：

$g\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{s}_i\·\exp \{-j\frac{4\mathrm{\π}{f}_c}{c}[x_i\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)+y_i\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\left]\right\};$

步骤2：应用目标转台模型的ISAR信号回波模型，基于2DU-ESPRIT进行散射中心提取；散射中心位置估计为 ${\hat{x}}_i={\widehat{\mathrm{\ψ}}}_{\mathrm{xi}}/(-4\mathrm{\π\Δ}{f}^x/c),{\hat{y}}_i={\widehat{\mathrm{\ψ}}}_{\mathrm{yi}}/(-4\mathrm{\π\Δ}{f}^y/c);$

步骤3：根据散射中心位置估计，基于调频率估计方法完成横向定标。

本发明的有益效果是将二维酉ESPRIT超分辨技术应用于ISAR成像中，以获取超分辨ISAR图像。并将其应用于ISAR定标算法中获取目标的转动速度进而完成横向定标，使分辨率不会受到带宽与转角的限制。

附图说明

图1是本发明ISAR目标转台模型图；

图2是二维空间平滑技术示意图；

图3是基于2D U-ESPRIT的散射中心提取结果示意图；

图4是调频率估计值和最小二乘拟合结果示意图；

图5是目标ISAR像定标前后结果对比图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。

本发明按照以下3个步骤进行：

步骤1：构建目标转台模型和目标转台模型的ISAR信号回波模型；假设目标处于雷达的远场，雷达发射的电磁波可用平面波表示，若只有平动分量，目标上各散射点回波的多普勒完全相同，对雷达成像没有贡献。故需要设法将平动分量补偿掉，相当于把目标上的参考点移到转台轴上，而成为对转台目标成像。雷达与目标旋转中心之间的距离为R(t)，在起始时刻(t＝0)目标上某一点P(x,y)到雷达的距离为

r(t)≈R(t)+xcosθ(t)+ysinθ(t)   (1)

将R(t)和θ(t)用泰勒级数展开有

R(t)＝R_o+vt+0.5at²+…   (2)

θ(t)＝θ_o+ωt+0.5αt²+…   (3)

其中，R_o为雷达与目标旋转中心之间的距离。v和a为目标的平动速度和加速度。同样的，θ_o为初始方位角，ω和α分别为转动的速度和加速度。

这里假定回波已经过理想平运补偿，此处可利用最小熵法对平动速度进行补偿[9]消除距离徙动并完成相位粗补偿。利用相位梯度法(phase gradient autofocus,PGA)补偿高阶相位误差[10]，实现相位精补偿。于是有：

R(t)＝R_o   (4)

通常对于ISAR成像的研究都是基于散射点模型进行的，即对平稳飞行的非合作目标经过运动补偿后，运动目标等效于匀速转动的转台目标[11]，故有：

θ(t)＝θ_o+ωt   (5)

不失一般性令θ_o＝0，则有

r(t)≈R_o+xcos(ωt)+ysin(ωt)   (6)

由此我们得到一种理想化的转台模型，即假定目标放在转台上，绕其转动中心作匀速转动，雷达在固定的位置上接收目标回波，如图1所示。理想中的转台模型在成像时间内，需要满足以下近似：成像时间内相对运动产生的转角很小，使得在这期间，散射点的相对位置，强度均可视为不变，目标具有不变的散射特性；忽略目标高机动性引起的转动加速度，视为匀速转动；成像时间内转轴指向没有变换，即目标不存在三维转动。由(6)得到目标转台模型的ISAR信号回波为：

$g\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{s}_i\·\exp \{-j\frac{4\mathrm{\π}{f}_c}{c}[x_i\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)+y_i\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\left]\right\}---\left(7\right)$

公式(7)的回波模型即可应用到式(28)中进行二维采样处理。

步骤2：基于2D(二维)U-ESPRIT的散射中心提取；

一、2D U-ESPRIT算法：

这里介绍了基于2D U-ESPRIT的二维参数估计方法以应用到步骤B中的ISAR目标散射中心提取过程。

1)首先定义一个复矩阵

$V({\mathrm{\ψ}}_x,{\mathrm{\ψ}}_y)=v_N\left({\mathrm{\ψ}}_x\right)v_M^T\left({\mathrm{\ψ}}_y\right)---\left(8\right)$

其中v_N(ψ)满足如下的旋转不变关系[7]

e^jψJ_s1v_N(ψ)＝J_s2v_N(ψ)   (9)

其中J_s1和J_s2定义为

J_s1＝[I_N-1 0]∈R^(N-1)×N   (10)

J_s2＝[0 I_N-1]∈R^(N-1)×N   (11)

I为单位矩阵。为了将v(ψ)转换为一个实的阵列流形矢量，可以引入一个酉矩阵Q_N[12]，N为偶数时

$Q_{2K}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}{I}_K& {\mathrm{jI}}_K\\ {\mathrm{\Π}}_K& -j{\mathrm{\Π}}_K\end{array}\right]---\left(12\right)$

对于N为奇数时，有

$Q_{2K+1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{ccc}{I}_K& 0& j{I}_K\\ 0^T& \sqrt{2}& 0^T\\ {\mathrm{\Π}}_K& 0& -j{\mathrm{\Π}}_K\end{array}\right]---\left(13\right)$

Π_K为K×K维的实交换矩阵，其反对角线上的元素为1，其他元素均为0。0为零值列向量。为酉矩阵，用左乘v_N(ψ)得到实的阵列流形矢量为其中符号(·)^Hb表示共轭转置。故此，式(8)可以用实矩阵形式表示成

$V_R({\mathrm{\ψ}}_x,{\mathrm{\ψ}}_y)=Q_N^H{v}_N\left(\mathrm{\ψ}\right)v_M^T\left(\mathrm{\ψ}\right)Q_M^{*}=d_N\left({\mathrm{\ψ}}_x\right)d_M^T\left({\mathrm{\ψ}}_y\right)---\left(14\right)$

2)基于以上定义，d_N(ψ)满足公式(9)中的旋转不变关系

tan(ψ_x/2)K_x1vec[V_R(ψ)]＝K_x2vec[V_R(ψ)]   (15)

tan(ψ_y/2)K_y1vec[V_R(ψ)]＝K_y2vec[V_R(ψ)]   (16)

其中vec(·)定义为：可以将N×M维矩阵转换成NM×1向量。公式中引入的Κ_x1，Κ_x2,Κ_y1和Κ_y2定义如下[14]。

$\begin{array}{ccc}{K}_{x1}=I_M\⊗K_1& \mathrm{and}& K_{x2}=I_M\⊗K_2\end{array}---\left(17\right)$

$\begin{array}{ccc}{K}_{y1}=K_3\⊗I_N& \mathrm{and}& K_{y2}=K_4\⊗I_N\end{array}---\left(18\right)$

$\begin{array}{cc}{K}_1=\mathrm{Re}\left\{Q_{N-1}^H{J}_{s2}^{\left(N\right)}{Q}_M\right\}\mathrm{and}& K_2=\mathrm{Im}\left\{Q_{N-1}^H{J}_{s2}^{\left(N\right)}{Q}_M\right\}\end{array}---\left(19\right)$

$\begin{array}{cc}{K}_3=\mathrm{Re}\left\{Q_{M-1}^H{J}_{s2}^{\left(M\right)}{Q}_M\right\}\mathrm{and}& K_4=\mathrm{Im}\left\{Q_{M-1}^H{J}_{s2}^{\left(M\right)}{Q}_M\right\}\end{array}---\left(20\right)$

其中符号表示克罗内克尔积(Kroneckermatrixproduct)。

3)接下来引入一个NM×D的阵列流形矩阵

$\tilde{V}={\left[\mathrm{vec}\left(V_R\left({\mathrm{\ψ}}_i\right)\right)\right]}_{i=1}^D---\left(21\right)$

将(21)带人(15)和(16)得到

$K_{x1}\tilde{V}{\mathrm{\Ω}}_x=K_{x2}\tilde{V}---\left(22\right)$

$K_{y1}\tilde{V}{\mathrm{\Ω}}_y=K_{y2}\tilde{V}---\left(23\right)$

其中 ${\mathrm{\Ω}}_x=\mathrm{diag}{\left\{\tan ({\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{xi}}/2)\right\}}_{i=1}^D,$ 并且 ${\mathrm{\Ω}}_y=\mathrm{diag}{\left\{\tan ({\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{yi}}/2)\right\}}_{i=1}^D.$

4)此时，为了找到NM×D维的信号子空间估计值我们引入一个未知的d×d维实矩阵T满足将带人(22)和(23)中可得

$K_{x1}{\hat{U}}_s{\mathrm{\Ψ}}_x=K_{x2}{\hat{U}}_s$ 其中 ${\widehat{\mathrm{\Ψ}}}_x=T^{-1}{\mathrm{\Ω}}_{x}T---\left(24\right)$

$K_{y1}{\hat{U}}_s{\mathrm{\Ψ}}_y=K_{y2}{\hat{U}}_s$ 其中 ${\widehat{\mathrm{\Ψ}}}_y=T^{-1}{\mathrm{\Ω}}_{y}T---\left(25\right)$

根据以上两式，利用最小二乘法即可求得和

5)计算的特征值则空间频率估计为

${\widehat{\mathrm{\ψ}}}_{\mathrm{xi}}=2{\tan }^{-1}{\left\{\mathrm{Re}\left({\widehat{\mathrm{\λ}}}_i\right)\right\}}_{i=1}^D---\left(26\right)$

${\widehat{\mathrm{\ψ}}}_{\mathrm{yi}}=2{\tan }^{-1}{\left\{\mathrm{Im}\left({\widehat{\mathrm{\λ}}}_i\right)\right\}}_{i=1}^D---\left(27\right)$

二、基于2DU-ESPRIT的散射中心提取：

1)目标可以看作绕其中心作旋转运动。另外，在很短的累计时间内目标可以看成在平面内作匀速转动[15]。目标后向散射场可以表示成所有散射中心后向散射场的累积

$x(m,n)=\underset{i=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{s}_i\·\exp [-j\frac{4\mathrm{\π}{f}_n}{c}(x_i\·\cos {\mathrm{\θ}}_m+y_i\sin {\mathrm{\θ}}_m)]---\left(28\right)$

其中P为散射中心数目，为散射强度，(x_i,y_i)为第i个散射中心的位置坐标。f_n＝[f_c-B/2,f_c+B/2]和θ_m＝[-Δθ/2,Δθ/2]s是频率角度域M×N维采样结果，其中f_c表示雷达发射信号的中心频率，B信号带宽，Δθ为目标总转角。c为光速。

2)由(28)中的ISAR数据可以看出，其不满足(8)和(9)的条件，故首先要对数据进行近似处理。在实际ISAR成像中，典型的方法就是在小角度范围内采集窄带回波数据[1]。目标转动速度很小时，可以采用小角度近似，即cos(ωt)≈1，sin(ωt)≈ωt此时[16]：

$x(m,n)=\underset{i=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{s}_i\·\exp [-j\frac{4\mathrm{\π}}{c}(f_n^x\·x_i+f_m^y\·y_i)]---\left(29\right)$

其中 $f_n^x\≅f_n=\mathrm{n\δf},f_m^y\≅f_c{\mathrm{\θ}}_m={\mathrm{mf}}_c\mathrm{\δ\θ},$ δf和δθ分别为频率和角度采样间隔。定义ψ_xi＝-j4πx_iδf/c和ψ_yi＝-j4πy_if_cδθ/c，此时，(29)可以写成

$x(m,n)=\underset{i=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{s}_i\·\exp \left(n{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{xi}}\right)\·\exp \left(m{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{yi}}\right)---\left(30\right)$

显然，此时(30)满足(8)和(9)的条件，故可以应用于2D U-ESPRIT方法中。

3)由2D U-ESPRIT的计算流程可以注意到需要多次快拍，而雷达成像数据只有一次快拍无法直接利用2D U-ESPRIT[17]。利用空间平滑技术可以很好的解决这个问题。如图2所示我们定义K个R×L维的互相重叠的子阵列

子阵列的个数为K＝(M-R+1)(N-L+1)。

4)为了获得信号子空间估计值，我们定义矢量Y为

$Y\left(k\right)=(Q_L^H\⊗Q_R^H)\mathrm{vec}\left(X_k\right)=(Q_L^H\⊗Q_R^H)\tilde{X}\left(k\right)---\left(31\right)$

根据(23)可知所有子阵列均满足2D U-ESPRIT需求，可直接进行参数估计。

5)信号子空间的估计可以通过由[ReY，ImY]的d个最大的左奇异矢量计算得到。其中d为目标散射中心数目。

6)利用(24)和(25)计算的特征值，此时，空间频率的估计值为

${\widehat{\mathrm{\ψ}}}_{\mathrm{xi}}=2{\tan }^{-1}{\left\{\mathrm{Re}\left({\widehat{\mathrm{\λ}}}_i\right)\right\}}_{i=1}^d---\left(32\right)$

${\widehat{\mathrm{\ψ}}}_{\mathrm{yi}}=2{\tan }^{-1}{\left\{\mathrm{Im}\left({\widehat{\mathrm{\λ}}}_i\right)\right\}}_{i=1}^d---\left(33\right)$

7)散射中心位置估计为

${\hat{x}}_i={\widehat{\mathrm{\ψ}}}_{\mathrm{xi}}/(-4\mathrm{\π\Δ}{f}^x/c)---\left(34\right)$

${\hat{y}}_i={\widehat{\mathrm{\ψ}}}_{\mathrm{yi}}/(-4\mathrm{\π\Δ}{f}^y/c)---\left(35\right)$

其中Δf^x≌δf和Δf^y≌f_cδθ为距离向和方位向的频率间隔。

步骤3：基于调频率估计方法完成横向定标；

考虑转台目标，其相对雷达的运动等效于以均匀角速度ω转动，回波信号的多普勒频率为：

$f_d=\frac{2}{\mathrm{\λ}}\frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dt}}=\frac{2[-\mathrm{x\ω}\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)+\mathrm{y\ω}\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)]}{\mathrm{\λ}}---\left(36\right)$

考虑到实际成像中的小转角特点，容易得到

$f_d=-\frac{2{\mathrm{\ω}}^{2}x}{\mathrm{\λ}}t+\frac{2\mathrm{\ωy}}{\mathrm{\λ}}---\left(37\right)$

从(39)中可以看出，在不考虑越距离单元走动的情况下，同一个距离单元内各个散射点的回波在慢时间域可以看作是一个线性调频信号，且调频率和转速的平方成线性关系，因此，可以估计散射点回波在慢时间域的调频率，得到目标的转速。其中每个线性调频信号的调频率可以表示成

$K=-\frac{2{\mathrm{\ω}}^2{x}_o}{\mathrm{\λ}}---\left(38\right)$

可见调频率和散射点所在的纵向距离有关，而与散射点所处的横向距离无关，故同一个距离单元内所有散射点的调频信号的调频率是相等的。

基于FrFT的调频率估计方法：

根据步骤2得到的散射中心位置估计结果，结合距离向分辨率找到每个散射中心所在距离单元

δx＝c/(2B)   (39)

其中B为带宽。

接下来利用FrFT估计每个散射中心所在距离单元的调频率，然后利用最小二乘法拟合调频率随转速变化的直线，进而估计出转速。对每个距离单元内的回波信号以采样频率f_s进行抽样，得到N点的离散信号，做FrFT变换，若在角度为α_o时，幅度最大，则可得调频率K的估计值[18]

$\hat{K}=-\mathrm{ctg}\left({\mathrm{\α}}_o\right)\·{f_s}^2/N---\left(40\right)$

通过式(37)可知，不同的纵向距离单元具有不同的调频率K，且调频率K与纵向距离x_o成正比例关系，即

K＝μx_o   (41)

其中

$\mathrm{\μ}=-\frac{2{\mathrm{\ω}}^2}{\mathrm{\λ}}---\left(42\right)$

由于用单个距离单元上的信号来估计调频率计算误差可能较大，通常需计算多个不同纵向距离单元对应的K值，最终得到一组K值和x_o值，采用最小二乘进行直线拟合并估计出最优的μ值，进而可得到角速度的估计值[5]:

$\mathrm{\ω}=\left|\sqrt{\mathrm{\μ\λ}/2}\right|---\left(43\right)$

因观测时间T已知，则可得到最终转角估计值：Δθ＝ΩT，根据下式计算横向分辨率完成横向定标

δy＝λ/(2Δθ)   (44)

式中λ为雷达波长。

本发明利用实测数据计算结果：

利用一组雅克-42型飞机的雷达实测数据来验证算法的有效性。雅克-42型飞机的轮廓尺寸为，长36.38m，宽34.88m，高9.83m。采用128×128的步进频率雷达脉冲进行照射，目标距离雷达R＝15km，观测时间T＝5.12s，雷达中心频率f₀＝5.52GHz，总带宽B＝400MHz，脉冲重复频率PRF＝400Hz，脉冲宽度为25.6μs。

由于目标的旋转运动会影响定标的结果，因此，在进行定标处理之前，我们先对实测数据进行旋转运动补偿以得到聚焦的ISAR像结果。得到聚焦的ISAR像结果后，就可以利用2D U-ESPRIT算法对其进行散射中心提取操作，这里，如图3(a)～(d)所示，以提取的散射中心个数分别为5、6、7、8为例。为了更清楚地显示提取的散射中心所在位置，我们对图4(a)～(d)所示的原始ISAR像进行了轮廓提取，将所得的轮廓线一并绘制在图3中。

不难发现，无论提取多少个散射中心，ISAR像中最强的点一定会被提取出来，这一点也表明了我们提出的2D U-ESPRIT散射中心提取算法的正确性。

散射中心提取完成后，计算每个散射中心所在距离单元对应的调频率。得益于2D U-ESPRIT散射中心提取算法的高度准确性，调频率估计结果的可靠性得到保证，如图3(a)～(d)所示。图中“.”表示提取的散射中心所在距离单元的调频率估计结果，实线“-”则是对估计结果进行了最小二乘拟合。需要说明的是，由于部分散射中心同处同一距离单元内，且彼此间十分接近，它们的调频率估计结果差异很小，导致了视觉效果上的重叠，因此图4(a)～(d)中的调频率估计结果的个数“好像不是”5、6、7、8。

如图4所示，对应不同散射中心提取个数，RV的估计值分别为0.01419rad/s、0.014413rad/s、0.014382rad/s、0.014188rad/s。我们取其平均值0.0143rad/s作为最终的估计结果，据此可得雅克42型飞机的定标结果如图5(b)所示，图5(a)为定标前的示意图。可以看出，目标在成像时间内转过的角度为4.195°，显然，定标后的结果可以很好的反应目标的真实尺寸。文献[5]中雅克42型飞机定标后的方位向尺寸为37.38m，误差为2.75％。利用我们的方法，定标后的尺寸为36.2m，误差仅为0.494％。这也证明了我们的方法相较于基于IC处理的方法，性能明显提高。

本文提出了一种基于FrFT方法和超分辨2D U-ESPRIT相结合的ISAR横向定标方法。根据各散射点存在相同的调制率这一特点，通过提取散射中心并估计调频率来完成ISAR横向定标。在实际应用中，通常需对多个纵向距离单元进行计算，然后对各估计值统计平均从而提高定标的精度。得益于2D U-ESPRIT散射中心提取算法的高度准确性，调频率估计结果的可靠性得到保证，定标算法具有较好的稳健性，实测数据的处理结果表明了该方法的有效性。

以上所述仅是对本发明的较佳实施方式而已，并非对本发明作任何形式上的限制，凡是依据本发明的技术实质对以上实施方式所做的任何简单修改，等同变化与修饰，均属于本发明技术方案的范围内。

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[18]J.J.Gao,F.L.Su,“A new cross-range scaling algorithm based on FrFT,”SignalProcessing(ICSP),2010 IEEE 10th Int.Conf.pp.2043-2046,2010.

Claims (1)

1.基于二维酉ESPRIT的ISAR横向定标方法，其特征在于按照以下步骤进行：

步骤1：构建目标转台模型r(t)≈R_o+xcos(ωt)+ysin(ωt)，和目标转台模型的ISAR信号回波模型 $g\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{s}_i\·\exp \{-j\frac{4\mathrm{\π}{f}_c}{c}[x_i\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)+y_i\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\left]\right\};$

步骤2：应用目标转台模型的ISAR信号回波模型，基于2DU-ESPRIT进行散射中心提取；

散射中心位置估计为 ${\hat{x}}_i={\widehat{\mathrm{\ψ}}}_{\mathrm{xi}}/(-4\mathrm{\π\Δ}{f}^x/c),{\hat{y}}_i={\widehat{\mathrm{\ψ}}}_{\mathrm{yi}}/(-4\mathrm{\π\Δ}{f}^y/c);$

步骤3：根据散射中心位置估计，基于调频率估计方法完成横向定标。