CN104111063A - 一种基于磁场的无线三维倾角传感器及其检测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于磁场的无线三维倾角传感器及其检测方法，涉及测量技术领域，包括外壳，在所述外壳内包括电源、两个微型三轴磁力计、数据接口、滤波器、微控制器、通信控制器和通信模块，所述电源分别与两个微型三轴磁力计连接，所述微型三轴磁力计、数据接口、滤波器、微控制器、通信控制器和通信模块顺次连接。本发明的有益效果在于：构造简单，可在土体、水中、岩石内使用，地球磁场不易受外界信号干扰，不需要用单片机进行数据处理，成本低廉，能广泛应用于室内、建筑物、水、泥土、岩土等各种环境中倾角的测量，且操作简单、性能稳定。实现了精确数据测量，为后续的三维倾角的计算提供数据支持。

Description

一种基于磁场的无线三维倾角传感器及其检测方法

技术领域

本发明属于测量技术领域，涉及一种基于磁场的无线三维倾角传感器及其检测方法。 

背景技术

倾角传感器广泛应用于建筑、地质、航空、交通、矿产钻探、石油钻井、军事等诸多领域，在仪器科学领域有重要的地位。传统倾角传感器的测量方式有固体摆式、液体摆式、气体摆式等，主要基于重力场的变化实现倾角测量，诸多学者基于上述测量原理改进研制了不同的倾角传感器，如液态介质差动电容式倾角传感器、加速度式倾角传感器、导电液倾角传感器、光纤布拉格光栅倾角传感器等，但存在不利于传感器小型化、材料选用范围有限、加工生产工艺较复杂等缺点，且大多具有非线性的问题，需要单片机进行数据处理和非线性校正，影响成本和测量精度。另一方面，上述倾角传感器通常仅测量一个方向或两个方向的倾角，难以测量三维倾角。 

随着光纤传感器技术的发展，采用光纤传感技术改进的光纤陀螺仪，克服了陀螺仪在倾角传感器测量方面的累积误差漂移等缺点，可实现三维倾角的高精度、快速测量，具有可承载高动态环境、线性度好、稳定性高等优点，但目前大多应用在军用领域，在民用领域的光 纤陀螺仪精度被大幅度降低，且其成本尚需进一步降低。通过光纤激光器可实现三维倾角的精确测量，但目前成本过高，仅应用在极少数军事工业领域。基于微机电系(Micro-Electro-Mechanical Systems,MEMS)和微加速度传感器、气体摆传感器制作的倾角传感器已得到广泛的研究，如果大规模应用在民用领域尚需进一步考虑价格并降低生产工艺的复杂程度，且不适合恶劣环境下长期工作。 

基于地磁场的磁场定位和磁力勘探，目前逐渐应用到水下目标定位与导航、金属物探、水域探测、城市工程物探、考古以及军事物探等方面，具有隐蔽性好、适应性强、不易受干扰等优点。随着高性能三轴磁力计的发展及小型化，目前可采用磁传感器通过地磁场的测量实现运动物体相对地磁北的方向角监测，已应用在腹腔镜微创手术和钻孔倾斜等领域的研究或应用，但仅为一维角度的测量，且构造过于复杂。总体而言，基于地磁场的磁测技术构造倾角传感器是一项值得借鉴的研究方法。 

鉴于亟需一种可在恶劣环境下服役、且操作简单、价格低廉的三维倾角传感器的现状，针对磁测技术可穿透水、岩石和土体，且适应恶劣环境下全天候工作的特征，本发明采用三轴磁力计构造一种简单、使用方便的无线三维倾角传感器及其检测方法。 

发明内容

有鉴于此，本发明要解决的技术问题在于提供一种基于磁场的无线三维倾角传感器及其检测方法，基于磁场的无线三维倾角传感器构 造简单，成本低廉，可以在室内、建筑物、水、泥土、岩土等各种环境中服役。 

本发明通过以下技术手段解决上述技术问题： 

一种基于磁场的无线三维倾角传感器，包括外壳，在所述外壳内包括电源、两个微型三轴磁力计、数据接口、滤波器、微控制器、通信控制器和通信模块，所述电源分别与两个微型三轴磁力计连接，所述微型三轴磁力计、数据接口、滤波器、微控制器、通信控制器和通信模块顺次连接。 

进一步，所述外壳为长方体； 

进一步，所述两个微型三轴磁力计分别位于无线三维无线倾角传感器的两端，所述两个微型三轴磁力计的x、y和z轴一致且x、y和z轴分别与所述无线三维倾角传感器的长度、宽度、高度方向平行； 

进一步，所述滤波器采用陷波滤波器； 

进一步，所述外壳为工程塑料外壳； 

进一步，所述通信模块为无线通信装置； 

一种利用基于磁场的无线三维倾角传感器检测倾角的方法，具体包括： 

步骤一：定义地磁坐标系为OXYZ,其中，北向N水平分量为X轴、东向E水平分量为Y轴、垂直D分量为Z轴，根据国际地磁场模型，得到地磁场感应强度的三分量计算值为(B_X，B_Y，B_Z)； 

步骤二：定义无线三维倾角传感器实测的坐标系为oxyz，其中，x轴、y轴和z轴分别为无线三维倾角传感器的长度、宽度和高度方 向，所述无线三维倾角传感器的起始坐标系与地磁坐标系OXYZ平行，OXYZ坐标绕Z轴转动θ角度得到坐标系OX′Y′Z，再绕的X′轴转动φ角度得到坐标系OX′Y₁Z′，最后绕Y₁轴转动角度得到OX₁Y₁Z₁坐标系，得到oxyz标系，第一微型三轴磁力计和第二微型三轴磁力计实测的磁感应强度的三分量分别为(B_x1，B_y1，B_z1)和(B_x2，B_y2，B_z2)； 

步骤三：根据三维坐标转换，所述实测磁感应强度与地磁感应强度的关系： $\left(\begin{array}{c}{B}_x\\ B_y\\ B_z\end{array}\right)=R\left(\begin{array}{c}{B}_X\\ B_Y\\ B_Z\end{array}\right)=R_3{R}_2{R}_1\left(\begin{array}{c}{B}_X\\ B_Y\\ B_Z\end{array}\right),$ 其中，(B_x,B_y,B_z)为实测磁感应强度，包括(B_x1，B_y1，B_z1)和(B_x2，B_y2，B_z2)，R₁,R₂,R₃,R为旋转矩阵，将所述两个微型三轴磁力计实测的磁感应强度和基于国际参考地磁场的三分量计算值代入上式中，根据罗格德矩阵的性质，求得旋转矩阵R； 

步骤四：根据无线三维倾角传感器的x轴在X、Y、Z的方向余弦为(a_X,a_Y,a_Z)，y轴在X、Y、Z的方向余弦为(b_X,b_Y,b_Z)，z轴在X、Y、Z的方向余弦为(c_X,c_Y,c_Z)，则得到： 

$\left(\begin{array}{ccc}{a}_X& b_X& c_X\\ a_Y& b_Y& c_Y\\ a_Z& b_Z& c_Z\end{array}\right)=R^{-1}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$ 其中，R-1表示矩阵R的逆矩阵； 

步骤五：根据无线三维倾角传感器的x轴在OXYZ地磁坐标系的三维倾角为(α_x,β_x,γ_x)，y轴在OXYZ地磁坐标系的三维倾角为(α_y,β_y,γ_y)，z轴在OXYZ地磁坐标系的三维倾角为(α_z,β_z,γ_z)，则 得到： 

$\left(\begin{array}{ccc}{\mathrm{\α}}_x& {\mathrm{\α}}_y& {\mathrm{\α}}_z\\ {\mathrm{\β}}_x& {\mathrm{\β}}_y& {\mathrm{\β}}_z\\ {\mathrm{\γ}}_x& {\mathrm{\γ}}_y& {\mathrm{\γ}}_z\end{array}\right)=\arccos \left(\begin{array}{ccc}{a}_X& b_X& c_X\\ a_Y& b_Y& c_Y\\ a_Z& b_Z& c_Z\end{array}\right),$ 得到无线三维倾角传感器三个轴线在地磁坐标系的绝对倾角大小； 

步骤六：将无线三维倾角传感器放在被检测物体上，分别检测出被检测物体的初始状态无线三维倾角传感器三个轴线与北向水平、东向水平、竖向的初始三维倾角和物体倾斜状态下的无线三维倾角传感器三个轴线与北向水平、东向水平、竖向的三维倾角，用所述倾斜状态下的三维倾角减去初始状态下的三维倾角，得到物体的三维倾角的变化量； 

进一步，所述步骤三中，所述 

$R_1=\left(\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\θ}& \sin \mathrm{\θ}& 0\\ -\sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$

$R_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \mathrm{\φ}& \sin \mathrm{\φ}\\ 0& -\sin \mathrm{\φ}& \cos \mathrm{\φ}\end{array}\right),$

本发明的有益效果：基于磁场的无线三维倾角传感器采用2个微型三轴磁力计对磁感应强度进行采集，克服了现有技术的倾角传感器 只能检测一维或二维倾角。采用工程塑料外壳可用于恶劣环境中检测，不受外界干扰，容易穿透水、泥土、岩土、建筑物等，可以用于实现三维倾角的检测系统中。基于磁场的无线三维倾角传感器构造简单，成本低廉，性能稳定，可广泛应用于民用领域的三维倾角检测。 

基于磁场的无线三维倾角传感器检测倾角的方法，通过2个微型三轴磁力计实时检测的磁场数据，通过实测的磁场数据与地磁场的几何关系和空间解析几何原理，计算出无线三维倾角传感器任一状态下与地磁坐标系的绝对倾角，把无线三维传感器放置到被测物体上，检测出被测物体初始状态和倾斜状态的无线三维倾角传感器三个轴线与北向水平、东向水平、竖向的三维倾角，再将倾斜状态的角度减去初始状态的角度即得到倾角的变化量。 

附图说明

下面结合附图和实施例对本发明作进一步描述。 

图1为本发明基于磁场的无线三维倾角传感器的结构示意图； 

图2为本发明的基于磁场的无线三维倾角传感器检测方法中三维倾角传感器的动坐标系与地磁场坐标系的关系图。 

具体实施方式

以下将结合附图对本发明进行详细说明，如图1所示： 

一种基于磁场的无线三维倾角传感器，包括外壳，在所述外壳内包括电源、2个微型三轴磁力计、数据接口、滤波器、微控制器、通 信控制器和通信模块，所述电源分别与2个微型三轴磁力计连接，所述微型三轴磁力计、数据接口、陷波滤波器、微控制器、通信控制器和通信模块顺次连接。通过2个微型三轴磁力计对现场的磁感应强度进行检测，将实际检测到的磁感应强度数据通过数据接口传送给滤波器的输入端，滤波器对数据进行滤波，滤除无用的数据。滤波器的输出端与微控制器连接，微控制器接收到滤波器输出的数据，对数据进行预处理及将数据缓存。采用微型三轴磁力计，可以检测三维磁感应强度数据，克服了现有技术中倾角传感器只能检测一维或二维的倾角的问题。由于微型三轴磁力计是基于磁场的数据采集，所以三维倾角传感器不容易受到外界环境的干扰，穿透能力强，能穿透水、泥土、岩土和建筑物等。三维倾角传感器不存在线性问题，没有采用单片机对线性处理进行处理，成本低廉，构造简单，性能稳定，能全天候准确检测到磁场数据。 

作为上述技术方案的进一步改进，外壳为长方体，便于放置在物体上。 

作为上述技术方案的进一步改进，两个微型三轴磁力计分别位于无线三维无线倾角传感器的两端，所述两个微型三轴磁力计的x、y和z轴一致且x、y和z轴分别与所述无线三维倾角传感器的长度、宽度、高度方向平行。 

作为上述技术方案的进一步改进，滤波器采用陷波滤波器，滤出微型三轴磁力计采集到的无用磁场数据。 

作为上述技术方案的进一步改进，外壳采用工程塑料外壳，工程 塑料外壳可以使三维倾角传感器恶劣的环境下进行工作。 

作为上述技术方案的进一步改进，通信模块采用无线通信装置。采用无线通信装置与数据处理终端进行通信，可以省去USB接线的麻烦。 

一种利用基于磁场的无线三维倾角传感器检测倾角的方法，具体包括以下步骤： 

步骤一：定义地磁坐标系为OXYZ：北向N水平分量为X轴、东向E水平分量为Y轴、垂直D分量为Z轴，在一般情况下，地磁坐标系与地理坐标系重合，在地磁坐标系OXYZ上计算地磁场磁感应强度的理论值。在地磁坐标系OXYZ上，根据国际参考地磁场(IGRF)是描述地球主磁场的标准全球模型，对磁位球谐函数计算沿轴向的微商，则得到地磁场磁感应强度的三分量的计算值为(B_X,B_Y,B_Z)。 

步骤二：定义无线三维倾角传感器的动坐标系为oxyz，其中，x轴，y轴和z轴，分别为无线三维倾角传感器的长度、宽度和高度方向，在无线三维倾角传感器的动坐标系oxyz上可得到地磁场磁感应强度的实测值。根据在2个坐标系中的地磁场磁感应强度及旋转变换中的欧拉定理，假设倾角传感器的起始坐标系oxyz与地磁坐标系OXYZ平行，OXYZ坐标绕Z轴转动θ角度得到坐标系OX′Y′Z，再绕的X′轴转动φ角度得到坐标系OX′Y₁Z′，最后绕Y₁轴转动角度得到OX₁Y₁Z₁坐标系，即oxyz坐标系。根据空间解析几何的概念，即可得到无线三维倾角传感器的三个轴线在地磁坐标系OXYZ中各自的三维倾角(α_x,β_x,γ_x)、(α_y,β_y,γ_y)和(α_z,β_z,γ_z)，其夹角关系见图2。在地 球磁场磁感应强度的测量过程中，无线三维倾角传感器的平动对实测值的影响远小于旋转自由度，故坐标转换中忽略平动的因素。在倾角传感器的动坐标系oxyz上，第一微型三轴磁力计和第二微型三轴磁力计实测的磁感应强度的三分量分别为(B_x1，B_y1，B_z1)和(B_x2，B_y2，B_z2)。 

步骤三：根据空间三维坐标转换，则实测磁感应强度与地磁场磁感应强度之间的关系为： 

$\left(\begin{array}{c}{B}_x\\ B_y\\ B_z\end{array}\right)=R\left(\begin{array}{c}{B}_X\\ B_Y\\ B_Z\end{array}\right)=R_3{R}_2{R}_1\left(\begin{array}{c}{B}_X\\ B_Y\\ B_Z\end{array}\right)---\left(1\right),$

式(1)中，(B_x,B_y,B_z)为实测磁感应强度，包括(B_x1，B_y1，B_z1)和(B_x2，B_y2，B_z2)。R₁、R₂、R₃、R为旋转矩阵。分别为： 

$R_1=\left(\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\θ}& \sin \mathrm{\θ}& 0\\ -\sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)---\left(2\right),$

$R_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \mathrm{\φ}& \sin \mathrm{\φ}\\ 0& -\sin \mathrm{\φ}& \cos \mathrm{\φ}\end{array}\right)---\left(3\right),$

将两个微型三轴磁力计实测的磁感应强度的三分量(B_x1，B_y1，B_z1)和(B_x2，B_y2，B_z2)，及基于国际参考地磁场(IGRF)的计算值代入式(1)，根据罗格德矩阵的性质，可求得旋转矩阵R。 

步骤四：根据三维倾角传感器的x轴在X、Y、Z的方向余弦为(a_X,a_Y,a_Z)，y轴在X、Y、Z的方向余弦为(b_X,b_Y,b_Z)，z轴在X、Y、Z的方向余弦为(c_X,c_Y,c_Z)，则 

$\left(\begin{array}{ccc}{a}_X& b_X& c_X\\ a_Y& b_Y& c_Y\\ a_Z& b_Z& c_Z\end{array}\right)=R^{-1}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)---\left(6\right),$ 其中，R-1为矩阵R的逆矩阵。 

步骤五：根据三维倾角传感器的x轴在OXYZ坐标系的三维倾角为(α_x,β_x,γ_x)，y轴在OXYZ坐标系的三维倾角为(α_y,β_y,γ_y)，z轴在OXYZ坐标系的三维倾角为(α_z,β_z,γ_z)，则 

$\left(\begin{array}{ccc}{\mathrm{\α}}_x& {\mathrm{\α}}_y& {\mathrm{\α}}_z\\ {\mathrm{\β}}_x& {\mathrm{\β}}_y& {\mathrm{\β}}_z\\ {\mathrm{\γ}}_x& {\mathrm{\γ}}_y& {\mathrm{\γ}}_z\end{array}\right)=\arccos \left(\begin{array}{ccc}{a}_X& b_X& c_X\\ a_Y& b_Y& c_Y\\ a_Z& b_Z& c_Z\end{array}\right)---\left(7\right),$

由式(7)得到三维倾角传感器的三个轴线(长度、宽度和高度方向)任一状态下与地磁坐标系的绝对倾角，即：(α_x,β_x,γ_x)为无线三维倾角传感器的长度方向分别在北向水平、东向水平、竖向的三维倾角；(α_y,β_y,γ_y)为无线三维倾角传感器的宽度方向分别在北向水平、东向水平、竖向的三维倾角；(α_z,β_z,γ_z)为无线三维倾角传感器的高度方向分别在北向水平、东向水平、竖向的三维倾角。 

步骤六：将无线三维倾角传感器放在被检测物体上，分别检测出物体的初始状态三个轴线与北向水平、东向水平、竖向的初始三维倾角和物体倾斜状态下的三个轴线与北向水平、东向水平、竖向的三维倾角，用所述倾斜状态下的三维倾角减去初始状态下的三维倾角，就得到物体的三维倾角的变化量。 

比如在检测建筑物的倾角时，将无线倾角传感器布置在建筑物，根据上述的步骤测得无线三维倾角传感器的三个轴线与北向水平、东向水平、竖向的初始三维倾角。当建筑物发生倾斜时，无线三维倾角传感器随建筑物倾斜，根据上述步骤测得无线三维倾角传感器的三个轴线与北向水平、东向水平、竖向的三维倾角；初始状态和倾斜状态的三个轴线与北向水平、东向水平、竖向的三维倾角相减，即可得到建筑物的三维倾角的变化量。 

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。 

Claims (8)

1.一种基于磁场的无线三维倾角传感器，包括外壳，其特征在于：在所述外壳内包括电源、两个微型三轴磁力计、数据接口、滤波器、微控制器、通信控制器和通信模块，所述电源分别与两个微型三轴磁力计连接，所述微型三轴磁力计、数据接口、滤波器、微控制器、通信控制器和通信模块顺次连接。

2.如权利要求1所述的基于磁场的无线三维倾角传感器，其特征在于：所述外壳为长方体。

3.如权利要求1所述的基于磁场的无线三维倾角传感器，其特征在于：所述两个微型三轴磁力计分别位于无线三维无线倾角传感器的两端，所述两个微型三轴磁力计的x、y和z轴一致且x、y和z轴分别与所述无线三维倾角传感器的长度、宽度、高度方向平行。

4.如权利要求1所述的基于磁场的无线三维倾角传感器，其特征在于：所述滤波器采用陷波滤波器。

5.如权利要求1所述的基于磁场的无线三维倾角传感器，其特征在于：所述外壳采用工程塑料外壳。

6.如权利要求1所述的基于磁场的无线三维倾角传感器，其特征在于：所述通信模块为无线通信装置。

7.一种利用基于磁场的无线三维倾角传感器的检测方法，其特征在于：具体包括：

步骤一：定义地磁坐标系为OXYZ,其中，北向N水平分量为X轴、东向E水平分量为Y轴、垂直D分量为Z轴，据国际地磁场模型，得到地磁场感应强度的三分量计算值为(B_X，B_Y，B_Z)；

步骤二：定义无线三维倾角传感器实测的坐标系为oxyz，其中，x轴、y轴和z轴分别为无线三维倾角传感器的长度、宽度和高度方向，所述无线三维倾角传感器的起始坐标系与地磁坐标系OXYZ平行，OXYZ坐标绕Z轴转动θ角度得到坐标系OX′Y′Z，再绕的X′轴转动φ角度得到坐标系OX′Y₁Z′，最后绕Y₁轴转动角度得到OX₁Y₁Z₁坐标系，得到oxyz标系，第一微型三轴磁力计和第二微型三轴磁力计实测的磁感应强度的三分量分别为(B_x1，B_y1，B_z1)和(B_x2，B_y2，B_z2)；

步骤三：根据三维坐标转换，所述实测磁感应强度与地磁感应强度的关系： $\left(\begin{array}{c}{B}_x\\ B_y\\ B_x\end{array}\right)=R\left(\begin{array}{c}{B}_X\\ B_Y\\ B_Z\end{array}\right)=R_3{R}_2{R}_1\left(\begin{array}{c}{B}_X\\ B_Y\\ B_Z\end{array}\right),$ 其中，(B_x，B_y，B_z)为实测磁感应强度，包括(B_x1，B_y1，B_z1)和(B_x2，B_y2，B_z2)，R₁，R₂，R₃，R为旋转矩阵，将所述两个微型三轴磁力计实测的磁感应强度和基于国际参考地磁场的三分量计算值代入上式中，根据罗格德矩阵的性质，求得旋转矩阵R；

步骤四：根据无线三维倾角传感器的x轴在X、Y、Z的方向余弦为(a_X，a_Y，a_Z)，y轴在X、Y、Z的方向余弦为(b_X，b_Y，b_Z)，z轴在X、Y、Z的方向余弦为(c_X，c_Y，c_Z)，则得到：

$\left(\begin{array}{ccc}{a}_X& b_X& c_X\\ a_Y& b_Y& c_Y\\ a_Z& b_Z& c_Z\end{array}\right)=R^{-1}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$ 其中，R^-1表示矩阵R的逆矩阵；

步骤五：根据无线三维倾角传感器的x轴在OXYZ地磁坐标系的三维倾角为(α_x，β_x，γ_x)，y轴在OXYZ地磁坐标系的三维倾角为(α_y，β_y，γ_y)，z轴在OXYZ地磁坐标系的三维倾角为(α_z，β_z，γ_z)，则得到：

$\left(\begin{array}{ccc}{\mathrm{\α}}_x& {\mathrm{\α}}_y& {\mathrm{\α}}_z\\ {\mathrm{\β}}_x& {\mathrm{\β}}_y& {\mathrm{\β}}_z\\ {\mathrm{\γ}}_x& {\mathrm{\γ}}_y& {\mathrm{\γ}}_z\end{array}\right)=\arccos \left(\begin{array}{ccc}{a}_X& b_X& c_X\\ a_Y& b_Y& c_Y\\ a_Z& b_Z& c_Z\end{array}\right),$ 得到无线三维倾角传感器三个轴线在地磁坐标系的绝对倾角大小；

步骤六：将无线三维倾角传感器放在被检测物体上，分别检测出被检测物体的初始状态无线三维倾角传感器三个轴线与北向水平、东向水平、竖向的初始三维倾角和物体倾斜状态下的无线三维倾角传感器三个轴线与北向水平、东向水平、竖向的三维倾角，用所述倾斜状态下的三维倾角减去初始状态下的三维倾角，得到物体的三维倾角的变化量。

8.如权利要求7所述的方法，其特征在于：所述步骤三中，所述

$R_1=\left(\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\θ}& \sin \mathrm{\θ}& 0\\ -\sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$

$R_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \mathrm{\φ}& \sin \mathrm{\φ}\\ 0& -\sin \mathrm{\φ}& \cos \mathrm{\φ}\end{array}\right),$