CN104111057B - 一种基于三站式光学测试相对角度的解算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于三站式光学测试相对角度的解算方法，包括：S1、观测方向矢量和入射方向矢量在目标坐标系与大地坐标系中的建模；目标坐标系中观测点与入射点的方位俯仰角转换为θ₁、θ₂、θ₃以及θ；由θ₁、θ₂、θ₃以及θ，解算观测点与入射点的方位俯仰。

Description

一种基于三站式光学测试相对角度的解算方法

技术领域

本发明涉及测试测量技术领域，特别涉及一种基于三站式光学测试相对角度的解算方法。

背景技术

利用光学探测器实施对空间目标的探测与跟踪是国内外普遍使用的手段之一，只有获得较为可靠的空间目标光学散射特性数据，才能保证自主捕获与跟踪任务的顺利完成。

为了可靠的空间目标光学散射特性数据，主要是通过数字建模仿真计算与地面测试校正获得。通过地面测试数据与仿真数据相互校正，从而获得可靠的目标光学特性数据。为了获得较全面的地面测试数据，通常入射点(一般指太阳)、观测点与目标本体之间存在较大的俯仰偏差，如依靠增加入射点、观测点与目标本体三者之间的高度差，实际测量过程中难以操作且要求的测量空间巨大。

发明内容

本发明针对现有技术存在的上述不足，提供了一种基于三站式光学测试相对角度的解算方法，本发明通过以下技术方案实现：

一种基于三站式光学测试相对角度的解算方法，包括以下步骤：

S1、观测方向矢量和入射方向矢量在目标坐标系与大地坐标系中的建模：

观测方向矢量在目标本体系中表示为O_t

$O_t=\left[\begin{array}{c}-\cos {\mathrm{\β}}_1\cos {\mathrm{\α}}_1\\ \cos {\mathrm{\β}}_1\sin {\mathrm{\α}}_1\\ \sin {\mathrm{\β}}_1\end{array}\right]$

式中α₁表示观测方向矢量的方位角，β₁表示观测方向矢量的俯仰角，取值范围是：-90°<α₁<90°，-90°<β₁<90°；

入射点方向矢量在目标本体系中表示为S_t

$S_t=\left[\begin{array}{c}-\cos {\mathrm{\&beta;}}_2\cos {\mathrm{\&alpha;}}_2\\ \cos {\mathrm{\&beta;}}_2\sin {\mathrm{\&alpha;}}_2\\ \sin {\mathrm{\&beta;}}_2\end{array}\right]$

式中α₂表示入射点方向矢量的方位角，β₂表示入射点方向矢量的俯仰角，取值范围是：-180°<α₂<-90°，-90°<β₂<90°；

观测方向矢量在大地本体系中表示为O_g

$O_g=\left[\begin{array}{c}-\cos \mathrm{\&theta;}\\ \sin \mathrm{\&theta;}\\ 0\end{array}\right]$

式中θ表示观测方向矢量的方位角，其取值范围是：-90°<θ<90°；

入射方向矢量在大地本体系中表示为S_g

$S_g=\left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0\end{array}\right]$

大地坐标系到目标坐标系的坐标变换矩阵M_tg

$\left[\begin{array}{cc}{t}_{11}& t_{12}\\ t_{21}& t_{22}\\ t_{31}& t_{32}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{O}_t& S_t\end{array}\right]=M_{\mathrm{tg}}\left[\begin{array}{cc}{O}_g& S_g\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{g}_{11}& g_{12}\\ g_{21}& g_{22}\\ g_{31}& g_{32}\end{array}\right]$

旋转顺序为y(θ₂)→z(θ₃)→x(θ₁)，Mt_g表示为

$M_{\mathrm{tg}}=\left[\begin{array}{ccc}\cos {\mathrm{\&theta;}}_2\cos {\mathrm{\&theta;}}_3& \sin {\mathrm{\&theta;}}_3& -\cos {\mathrm{\&theta;}}_3\sin {\mathrm{\&theta;}}_2\\ \sin {\mathrm{\&theta;}}_1\sin {\mathrm{\&theta;}}_2-\cos {\mathrm{\&theta;}}_1\cos {\mathrm{\&theta;}}_2\sin {\mathrm{\&theta;}}_3& \cos {\mathrm{\&theta;}}_1\cos {\mathrm{\&theta;}}_3& \cos {\mathrm{\&theta;}}_2\sin {\mathrm{\&theta;}}_1+\cos {\mathrm{\&theta;}}_1\sin {\mathrm{\&theta;}}_2\sin {\mathrm{\&theta;}}_3\\ \cos {\mathrm{\&theta;}}_1\sin {\mathrm{\&theta;}}_2+\cos {\mathrm{\&theta;}}_2\sin {\mathrm{\&theta;}}_1\sin {\mathrm{\&theta;}}_3& -\cos {\mathrm{\&theta;}}_3\sin {\mathrm{\&theta;}}_1& \cos {\mathrm{\&theta;}}_1\cos {\mathrm{\&theta;}}_2-\sin {\mathrm{\&theta;}}_1\sin {\mathrm{\&theta;}}_2\sin {\mathrm{\&theta;}}_3\end{array}\right];$

S2、目标坐标系中观测点与入射点的方位俯仰角转换为θ₁、θ₂、θ₃以及θ，得到：

$\left[\begin{array}{cc}{t}_{11}& t_{12}\\ t_{21}& t_{22}\\ t_{31}& t_{32}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\cos {\mathrm{\&beta;}}_1\cos {\mathrm{\&alpha;}}_1& -\cos {\mathrm{\&beta;}}_2\cos {\mathrm{\&alpha;}}_2\\ \cos {\mathrm{\&beta;}}_1\sin {\mathrm{\&alpha;}}_1& \cos {\mathrm{\&beta;}}_2\sin {\mathrm{\&alpha;}}_2\\ \sin {\mathrm{\&beta;}}_1& \sin {\mathrm{\&beta;}}_2\end{array}\right]$

令c＝cosθ、s＝sinθ、c₁＝cosθ₁、s₁＝sinθ₁、c₂＝cosθ₂、s₂＝sinθ₂、c₃＝cosθ₃、s₃＝sinθ₃，则

$\left[\begin{array}{cc}{t}_{11}& t_{12}\\ t_{21}& t_{22}\\ t_{31}& t_{32}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{g}_{11}& g_{12}\\ g_{21}& g_{22}\\ g_{31}& t_{32}\end{array}\right]$

其中，

$\left[\begin{array}{cc}{g}_{11}& g_{12}\\ g_{21}& g_{22}\\ g_{31}& g_{32}\end{array}\right]=\begin{array}{}\left[\begin{array}{cc}\sin {\mathrm{\&theta;}}_3\sin \mathrm{\&theta;}-\cos {\mathrm{\&theta;}}_2\cos {\mathrm{\&theta;}}_3\cos \mathrm{\&theta;}& -{\sin \mathrm{\&theta;}}_3\\ \cos {\mathrm{\&theta;}}_1\cos {\mathrm{\&theta;}}_3\sin \mathrm{\&theta;}-\cos \mathrm{\&theta;}(\sin {\mathrm{\&theta;}}_1\sin {\mathrm{\&theta;}}_2-\cos {\mathrm{\&theta;}}_1\cos {\mathrm{\&theta;}}_2\sin {\mathrm{\&theta;}}_3)& -\cos {\mathrm{\&theta;}}_1\cos {\mathrm{\&theta;}}_3\\ -\cos \mathrm{\&theta;}(\cos {\mathrm{\&theta;}}_1\sin {\mathrm{\&theta;}}_2+\cos {\mathrm{\&theta;}}_2\sin {\mathrm{\&theta;}}_1\sin {\mathrm{\&theta;}}_3)-\cos {\mathrm{\&theta;}}_3\sin {\mathrm{\&theta;}}_1\sin \mathrm{\&theta;}& \cos {\mathrm{\&theta;}}_3\sin {\mathrm{\&theta;}}_1\end{array}\right]\end{array}$

相应的角度解算为：

$\left\{\begin{array}{c}\sin {\mathrm{\&theta;}}_3=-t_{12}\\ \sin {\mathrm{\&theta;}}_1=\frac{t_{32}}{c_3}\\ \sin \mathrm{\&theta;}=s_3{t}_{11}+c_3{c}_1{t}_{21}-c_3{s}_1{t}_{31}\\ \sin {\mathrm{\&theta;}}_2=-\frac{s_1{t}_{21}+c_1{t}_{31}}{c}\end{array}\right.$

大地坐标系到本体坐标系之间的转动角度在-90°≤θ_i≤90°，i＝1,2,3范围内，则上式变为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&theta;}}_3=\arcsin \left({-t}_{12}\right)\\ {\mathrm{\&theta;}}_1=\arcsin \left(\frac{t_{32}}{c_3}\right)\\ \mathrm{\&theta;}=\arcsin (s_3{t}_{11}+c_3{c}_1{t}_{21}-c_3{s}_1{t}_{31})\\ {\mathrm{\&theta;}}_2=\arcsin (-\frac{s_1{t}_{21}+c_1{t}_{31}}{c})\end{array}\right.;$

S3、由θ₁、θ₂、θ₃以及θ，解算观测点与入射点的方位俯仰：

$\left\{\begin{array}{c}\sin {\mathrm{\&beta;}}_1=g_{31}\\ \sin {\mathrm{\&alpha;}}_1=\frac{g_{21}}{\cos {\mathrm{\&beta;}}_1}\\ \sin {\mathrm{\&beta;}}_2=g_{32}\\ \sin {\mathrm{\&alpha;}}_2=\frac{g_{22}}{\cos {\mathrm{\&beta;}}_2}\end{array}\right.;$

相应的，

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&beta;}}_1=\arcsin \left(g_{31}\right)\\ {\mathrm{\&alpha;}}_1=\arcsin \left(\frac{g_{21}}{\cos {\mathrm{\&beta;}}_1}\right)\\ {\mathrm{\&beta;}}_2=\arcsin \left(g_{32}\right)\\ {\mathrm{\&alpha;}}_2=\arcsin \left(\frac{g_{22}}{\cos {\mathrm{\&beta;}}_2}\right)\end{array}\right..$

利用本发明的方法可实现目标本体绕固定坐标系的三轴转动角度和观测点绕固定坐标系的单轴转动角度与观测点和入射点在目标坐标系的方位俯仰角之间的相互转换。

附图说明

图1所示的是本发明的流程图；

图2所示的是本发明的空间目标光学特性测试相对位置关系图。

具体实施方式

以下将结合本发明的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整的描述和讨论，显然，这里所描述的仅仅是本发明的一部分实例，并不是全部的实例，基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明的保护范围。

为了便于对本发明实施例的理解，下面将结合附图以具体实施例为例作进一步的解释说明，且各个实施例不构成对本发明实施例的限定。

如图1和图2所示，本发明提供了一种基于三站式光学测试相对角度的解算方法，包括以下步骤：

S1、观测方向矢量和入射方向矢量在目标坐标系与大地坐标系中的建模：

图2中，O-X_tY_tZ_t表示目标本体坐标系，O-X_gY_gZ_g表示大地坐标系。

观测方向矢量在目标本体系中表示为O_t

$O_t=\left[\begin{array}{c}-\cos {\mathrm{\&beta;}}_1\cos {\mathrm{\&alpha;}}_1\\ \cos {\mathrm{\&beta;}}_1\sin {\mathrm{\&alpha;}}_1\\ \sin {\mathrm{\&beta;}}_1\end{array}\right]$

式中α₁表示观测方向矢量的方位角，β₁表示观测方向矢量的俯仰角，取值范围是：-90°<α₁<90°，-90°<β₁<90°；

入射点方向矢量在目标本体系中表示为S_t

$S_t=\left[\begin{array}{c}-\cos {\mathrm{\&beta;}}_2\cos {\mathrm{\&alpha;}}_2\\ \cos {\mathrm{\&beta;}}_2\sin {\mathrm{\&alpha;}}_2\\ \sin {\mathrm{\&beta;}}_2\end{array}\right]$

式中α₂表示入射点方向矢量的方位角，β₂表示入射点方向矢量的俯仰角，取值范围是：-180°<α₂<-90°，-90°<β₂<90°；

观测方向矢量在大地本体系中表示为O_g

$O_g=\left[\begin{array}{c}-\cos \mathrm{\&theta;}\\ \sin \mathrm{\&theta;}\\ 0\end{array}\right]$

式中θ表示观测方向矢量的方位角(又称为周视角)，其取值范围是：-90°<θ<90°；

入射方向矢量在大地本体系中表示为S_g，考虑测试过程中，入射点在大地坐标系中保持不变，表示为

$S_g=\left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0\end{array}\right]$

大地坐标系到目标坐标系的坐标变换矩阵M_tg

$\left[\begin{array}{cc}{t}_{11}& t_{12}\\ t_{21}& t_{22}\\ t_{31}& t_{32}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{O}_t& S_t\end{array}\right]=M_{\mathrm{tg}}\left[\begin{array}{cc}{O}_g& S_g\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{g}_{11}& g_{12}\\ g_{21}& g_{22}\\ g_{31}& g_{32}\end{array}\right]$

旋转顺序为y(θ₂)→z(θ₃)→x(θ₁)，M_tg表示为

$M_{\mathrm{tg}}=\left[\begin{array}{ccc}\cos {\mathrm{\&theta;}}_2\cos {\mathrm{\&theta;}}_3& \sin {\mathrm{\&theta;}}_3& -\cos {\mathrm{\&theta;}}_3\sin {\mathrm{\&theta;}}_2\\ \sin {\mathrm{\&theta;}}_1\sin {\mathrm{\&theta;}}_2-\cos {\mathrm{\&theta;}}_1\cos {\mathrm{\&theta;}}_2\sin {\mathrm{\&theta;}}_3& \cos {\mathrm{\&theta;}}_1\cos {\mathrm{\&theta;}}_3& \cos {\mathrm{\&theta;}}_2\sin {\mathrm{\&theta;}}_1+\cos {\mathrm{\&theta;}}_1\sin {\mathrm{\&theta;}}_2\sin {\mathrm{\&theta;}}_3\\ \cos {\mathrm{\&theta;}}_1\sin {\mathrm{\&theta;}}_2+\cos {\mathrm{\&theta;}}_2\sin {\mathrm{\&theta;}}_1\sin {\mathrm{\&theta;}}_3& -\cos {\mathrm{\&theta;}}_3\sin {\mathrm{\&theta;}}_1& \cos {\mathrm{\&theta;}}_1\cos {\mathrm{\&theta;}}_2-\sin {\mathrm{\&theta;}}_1\sin {\mathrm{\&theta;}}_2\sin {\mathrm{\&theta;}}_3\end{array}\right];$

S2、目标坐标系中观测点与入射点的方位俯仰角转换为θ₁、θ₂、θ₃以及θ，得到：

$\left[\begin{array}{cc}{t}_{11}& t_{12}\\ t_{21}& t_{22}\\ t_{31}& t_{32}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\cos {\mathrm{\&beta;}}_1\cos {\mathrm{\&alpha;}}_1& -\cos {\mathrm{\&beta;}}_2\cos {\mathrm{\&alpha;}}_2\\ \cos {\mathrm{\&beta;}}_1\sin {\mathrm{\&alpha;}}_1& \cos {\mathrm{\&beta;}}_2\sin {\mathrm{\&alpha;}}_2\\ \sin {\mathrm{\&beta;}}_1& \sin {\mathrm{\&beta;}}_2\end{array}\right]$

令c＝cosθ、s＝sinθ、c₁＝cosθ₁、s₁＝sinθ₁、c₂＝cosθ₂、s₂＝sinθ₂、c₃＝cosθ₃、s₃＝sinθ₃，则

$\left[\begin{array}{cc}{t}_{11}& t_{12}\\ t_{21}& t_{22}\\ t_{31}& t_{32}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{g}_{11}& g_{12}\\ g_{21}& g_{22}\\ g_{31}& t_{32}\end{array}\right]$

其中，

$\left[\begin{array}{cc}{g}_{11}& g_{12}\\ g_{21}& g_{22}\\ g_{31}& g_{32}\end{array}\right]=\begin{array}{}\left[\begin{array}{cc}\sin {\mathrm{\&theta;}}_3\sin \mathrm{\&theta;}-\cos {\mathrm{\&theta;}}_2\cos {\mathrm{\&theta;}}_3\cos \mathrm{\&theta;}& -{\sin \mathrm{\&theta;}}_3\\ \cos {\mathrm{\&theta;}}_1\cos {\mathrm{\&theta;}}_3\sin \mathrm{\&theta;}-\cos \mathrm{\&theta;}(\sin {\mathrm{\&theta;}}_1\sin {\mathrm{\&theta;}}_2-\cos {\mathrm{\&theta;}}_1\cos {\mathrm{\&theta;}}_2\sin {\mathrm{\&theta;}}_3)& -\cos {\mathrm{\&theta;}}_1\cos {\mathrm{\&theta;}}_3\\ -\cos \mathrm{\&theta;}(\cos {\mathrm{\&theta;}}_1\sin {\mathrm{\&theta;}}_2+\cos {\mathrm{\&theta;}}_2\sin {\mathrm{\&theta;}}_1\sin {\mathrm{\&theta;}}_3)-\cos {\mathrm{\&theta;}}_3\sin {\mathrm{\&theta;}}_1\sin \mathrm{\&theta;}& \cos {\mathrm{\&theta;}}_3\sin {\mathrm{\&theta;}}_1\end{array}\right]\end{array}$

相应的角度解算为：

$\left\{\begin{array}{c}\sin {\mathrm{\&theta;}}_3=-t_{12}\\ \sin {\mathrm{\&theta;}}_1=\frac{t_{32}}{c_3}\\ \sin \mathrm{\&theta;}=s_3{t}_{11}+c_3{c}_1{t}_{21}-c_3{s}_1{t}_{31}\\ \sin {\mathrm{\&theta;}}_2=-\frac{s_1{t}_{21}+c_1{t}_{31}}{c}\end{array}\right.$

大地坐标系到本体坐标系之间的转动角度在-90°≤θ_i≤90°，i＝1,2,3范围内，一般情况下可由三轴姿态转台来实现，则上式变为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&theta;}}_3=\arcsin \left({-t}_{12}\right)\\ {\mathrm{\&theta;}}_1=\arcsin \left(\frac{t_{32}}{c_3}\right)\\ \mathrm{\&theta;}=\arcsin (s_3{t}_{11}+c_3{c}_1{t}_{21}-c_3{s}_1{t}_{31})\\ {\mathrm{\&theta;}}_2=\arcsin (-\frac{s_1{t}_{21}+c_1{t}_{31}}{c})\end{array}\right.;$

S3、由θ₁、θ₂、θ₃以及θ，解算观测点与入射点的方位俯仰：

$\left\{\begin{array}{c}\sin {\mathrm{\&beta;}}_1=g_{31}\\ \sin {\mathrm{\&alpha;}}_1=\frac{g_{21}}{\cos {\mathrm{\&beta;}}_1}\\ \sin {\mathrm{\&beta;}}_2=g_{32}\\ \sin {\mathrm{\&alpha;}}_2=\frac{g_{22}}{\cos {\mathrm{\&beta;}}_2}\end{array}\right.;$

相应的，

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&beta;}}_1=\arcsin \left(g_{31}\right)\\ {\mathrm{\&alpha;}}_1=\arcsin \left(\frac{g_{21}}{\cos {\mathrm{\&beta;}}_1}\right)\\ {\mathrm{\&beta;}}_2=\arcsin \left(g_{32}\right)\\ {\mathrm{\&alpha;}}_2=\arcsin \left(\frac{g_{22}}{\cos {\mathrm{\&beta;}}_2}\right)\end{array}\right..$

本发明在目标光学特性测试过程中设计了依靠目标本体绕固定坐标系的三轴转动和观测点绕固定坐标系的单轴转动来实现。解决了目标本体绕固定坐标系的三轴转动角度和观测点绕固定坐标系的单轴转动角度与观测点和入射点在目标坐标系的方位俯仰角的相互转换。

以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应该以权利要求的保护范围为准。

Claims (1)

1.一种基于三站式光学测试相对角度的解算方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、观测方向矢量和入射方向矢量在目标坐标系与大地坐标系中的建模：

观测方向矢量在目标坐标系中表示为O_t

$O_t=\left[\begin{array}{c}-{\mathrm{cos\&beta;}}_1{\mathrm{cos\&alpha;}}_1\\ {\mathrm{cos\&beta;}}_1{\mathrm{sin\&alpha;}}_1\\ {\mathrm{sin\&beta;}}_1\end{array}\right]$

式中α₁表示观测方向矢量的方位角，β₁表示观测方向矢量的俯仰角，取值范围是：-90°＜α₁＜90°，-90°＜β₁＜90°；

入射方向矢量在目标坐标系中表示为S_t

$S_t=\left[\begin{array}{c}-{\mathrm{cos\&beta;}}_2{\mathrm{cos\&alpha;}}_2\\ {\mathrm{cos\&beta;}}_2{\mathrm{sin\&alpha;}}_2\\ {\mathrm{sin\&beta;}}_2\end{array}\right]$

式中α₂表示入射方向矢量的方位角，β₂表示入射方向矢量的俯仰角，取值范围是：-180°＜α₂＜-90°，-90°＜β₂＜90°；

观测方向矢量在大地坐标系中表示为O_g

$O_g=\left[\begin{array}{c}-cos\mathrm{\&theta;}\\ \sin \mathrm{\&theta;}\\ 0\end{array}\right]$

式中θ表示观测方向矢量的方位角，其取值范围是：-90°＜θ＜90°；

入射方向矢量在大地坐标系中表示为S_g

$S_g=\left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0\end{array}\right]$

大地坐标系到目标坐标系的坐标变换矩阵M_tg

$\left[\begin{array}{cc}{t}_{11}& t_{12}\\ t_{21}& t_{22}\\ t_{31}& t_{32}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{O}_t& S_t\end{array}\right]=M_{tg}\&lsqb;\begin{array}{cc}{O}_g& S_g\end{array}\&rsqb;=\left[\begin{array}{cc}{g}_{11}& g_{12}\\ g_{21}& g_{22}\\ g_{31}& g_{32}\end{array}\right]$

旋转顺序为y(θ₂)→z(θ₃)→x(θ₁)，M_tg表示为

$M_{tg}=\left[\begin{array}{ccc}{\cos }_2{\mathrm{cos\&theta;}}_3& {\mathrm{sin\&theta;}}_3& -{\mathrm{cos\&theta;}}_3{\mathrm{sin\&theta;}}_2\\ {\mathrm{sin\&theta;}}_1{\mathrm{sin\&theta;}}_2-{\mathrm{cos\&theta;}}_1{\mathrm{cos\&theta;}}_2{\mathrm{sin\&theta;}}_3& {\mathrm{cos\&theta;}}_1{\mathrm{cos\&theta;}}_3& {\mathrm{cos\&theta;}}_2{\mathrm{sin\&theta;}}_1+{\mathrm{cos\&theta;}}_1{\mathrm{sin\&theta;}}_2{\mathrm{sin\&theta;}}_3\\ {\mathrm{cos\&theta;}}_1{\mathrm{sin\&theta;}}_2+{\mathrm{cos\&theta;}}_2{\mathrm{sin\&theta;}}_1{\mathrm{sin\&theta;}}_3& -{\mathrm{cos\&theta;}}_3{\mathrm{sin\&theta;}}_1& {\mathrm{cos\&theta;}}_1{\mathrm{cos\&theta;}}_2-{\mathrm{sin\&theta;}}_1{\mathrm{sin\&theta;}}_2{\mathrm{sin\&theta;}}_3\end{array}\right];$

S2、目标坐标系中观测方向矢量与入射方向矢量的方位角和俯仰角转换为θ₁、θ₂、θ₃以及θ，得到：

$\left[\begin{array}{cc}{t}_{11}& t_{12}\\ t_{21}& t_{22}\\ t_{31}& t_{32}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-{\mathrm{cos\&beta;}}_1{\mathrm{cos\&alpha;}}_1& -{\mathrm{cos\&beta;}}_2{\mathrm{cos\&alpha;}}_2\\ {\mathrm{cos\&beta;}}_1{\mathrm{sin\&alpha;}}_1& {\mathrm{cos\&beta;}}_2{\mathrm{sin\&alpha;}}_2\\ {\mathrm{sin\&beta;}}_1& {\mathrm{sin\&beta;}}_2\end{array}\right]$

令c＝cosθ、s＝sinθ、c₁＝cosθ₁、s₁＝sinθ₁、c₂＝cosθ₂、s₂＝sinθ₂、c₃＝cosθ₃、s₃＝sinθ₃，则

$\left[\begin{array}{cc}{t}_{11}& t_{12}\\ t_{21}& t_{22}\\ t_{31}& t_{32}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{g}_{11}& g_{12}\\ g_{21}& g_{22}\\ g_{31}& g_{32}\end{array}\right]$

其中，

$\left[\begin{array}{cc}{g}_{11}& g_{12}\\ g_{21}& g_{22}\\ g_{31}& g_{32}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{sin\&theta;}}_3\sin \mathrm{\&theta;}-{\mathrm{cos\&theta;}}_2{\mathrm{cos\&theta;}}_3\cos \mathrm{\&theta;}& -{\mathrm{sin\&theta;}}_3\\ {\mathrm{cos\&theta;}}_1{\mathrm{cos\&theta;}}_3\sin \mathrm{\&theta;}-\cos \mathrm{\&theta;}({\mathrm{sin\&theta;}}_1{\mathrm{sin\&theta;}}_2-{\mathrm{cos\&theta;}}_1{\mathrm{cos\&theta;}}_2{\mathrm{sin\&theta;}}_3)& -{\mathrm{cos\&theta;}}_1{\mathrm{cos\&theta;}}_3\\ -\cos \mathrm{\&theta;}({\mathrm{cos\&theta;}}_1{\mathrm{sin\&theta;}}_2+{\mathrm{cos\&theta;}}_2{\mathrm{sin\&theta;}}_1{\mathrm{sin\&theta;}}_3)-{\mathrm{cos\&theta;}}_3{\mathrm{sin\&theta;}}_1\sin \mathrm{\&theta;}& {\mathrm{cos\&theta;}}_3{\mathrm{sin\&theta;}}_1\end{array}\right]$

相应的角度解算为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{sin\&theta;}}_3=-t_{12}\\ {\mathrm{sin\&theta;}}_1=\frac{t_{32}}{c_3}\\ \sin \mathrm{\&theta;}=s_3{t}_{11}+c_3{c}_1{t}_{21}-c_3{s}_1{t}_{31}\\ {\mathrm{sin\&theta;}}_2=-\frac{s_1{t}_{21}+c_1{t}_{31}}{c}\end{array}\right.$

大地坐标系到目标坐标系之间的转动角度在-90°≤θ_i≤90°，i＝1,2,3范围内，则上式变为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&theta;}}_3=arcsin(-t_{12})\\ {\mathrm{\&theta;}}_1=arcsin\left(\frac{t_{32}}{c_3}\right)\\ \mathrm{\&theta;}=\arcsin (s_3{t}_{11}+c_3{c}_1{t}_{21}-c_3{s}_1{t}_{31})\\ {\mathrm{\&theta;}}_2=\arcsin (-\frac{s_1{t}_{21}+c_1{t}_{31}}{c})\end{array}\right.;$

S3、由θ₁、θ₂、θ₃以及θ，解算观测点与入射点的方位角和俯仰角：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{sin\&beta;}}_1=g_{31}\\ {\mathrm{sin\&alpha;}}_1=\frac{g_{21}}{{\mathrm{cos\&beta;}}_1}\\ {\mathrm{sin\&beta;}}_2=g_{32}\\ {\mathrm{sin\&alpha;}}_2=\frac{g_{22}}{{\mathrm{cos\&beta;}}_2}\end{array}\right.;$

相应的，

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&beta;}}_1=\arcsin \left(g_{31}\right)\\ {\mathrm{\&alpha;}}_1=\arcsin \left(\frac{g_{21}}{{\mathrm{cos\&beta;}}_1}\right)\\ {\mathrm{\&beta;}}_2=\arcsin \left(g_{32}\right)\\ {\mathrm{\&alpha;}}_2=\arcsin \left(\frac{g_{22}}{{\mathrm{cos\&beta;}}_2}\right)\end{array}\right..$