CN104101888A - 一种适合于中国区域的gnss电离层延迟精确建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种适合于中国区域的GNSS电离层延迟精确建模方法，首先将交叉点经纬度的地理坐标转换为建立的球冠坐标系下的坐标，以此获得交叉点的经纬度在球冠坐标下的范围，然后又把交叉点的经纬度变化范围经投影变换至全球坐标系下，再采用球谐函数建立区域电离层电子浓度总含量(TEC)模型，构建了适用于中国区域的电离层延迟精确建模方法。相对于现有方法，该方法通过旋转投影变换，使得电离层交叉点分布在形式上满足了球谐函数对物理量分布的要求，不仅解决了球谐函数应用于区域建模时存在的病态问题，有效利用了球谐函数对全球变化物理量的精确描述能力，还避免了球冠谐函数中非整阶次，降低了电离层TEC建模计算的复杂程度。

Description

一种适合于中国区域的GNSS电离层延迟精确建模方法

技术领域

本发明属于卫星导航、无线电波传播以及空间电离层领域，具体涉及一种适合于中国区域的GNSS电离层延迟建模方法。 

背景技术

GNSS(Global Navigation Satellite System)泛指基于空间卫星星座的无线电导航系统，其起源于美国空军在上世纪50年代末期建立的多普勒卫星导航系统。自美国国防部于1993年12月正式宣布GPS已具备全球工作能力以来，全球已建成或正在建设的GNSS系统包括美国GPS、俄罗斯GLONASS、中国BeiDou以及欧盟的Galileo。GNSS的建设与发展在一定程度上反映了系统拥有国的经济、军事和国防等综合实力。目前，GNSS拥有国正在从提高导航定位精度与提升导航服务水平等方面加紧系统的改进与建设，突出各自的服务特色与优势。 

GNSS卫星信号经过地球电离层，从卫星传播至用户接收终端，用户可测量获得终端至各个可视卫星的距离，进而解算得到用户的位置。在这个过程中，因电离层引起的信号传播误差是定位解算中的主要误差源之一。区域电离层延迟精确建模不仅可满足GNSS服务范围内单频用户的电离层误差修正，还可以有效辅助双频/多频用户精密定位快速收敛。精确可靠的实时电离层时延修正已成为进一步提升GNSS系统应用于服务性能亟待解决的主要技术问题之一。 

常用的区域电离层延迟建模方法通常采用多项式函数、低阶球谐函数以及球冠谐函数等进行建模。我国地域辽阔，南北纬度跨越较大，电离层复杂多变，多项式模型难以有效地实现我国区域电离层电子浓度总含量(TEC)的精确描述。球谐函数已被广泛应用于全球电离层TEC建模，并表现出显著的优势，但是， 球谐函数的数学特征要求其所描述的变量必须在整个球面上展开。然而，对于区域范围内的电离层TEC，其交叉点分布通常难以满足上述要求，从而使得球谐函数系数解算过程中法矩阵出现病态。球冠谐函数是由球谐函数演变而来的，可用于描述区域电离层TEC的变化。但是，为了满足球谐函数的正交性，球冠谐函数的阶次必须调整为非整数，非整数阶次显著增加了球冠谐函数计算的复杂程度。 

发明内容

有鉴于此，本发明提供了一种适合于中国区域的GNSS电离层延迟精确建模方法，通过旋转投影变换合理地解决了球谐函数应用于区域电离层TEC建模时存在的病态问题，有效利用了球谐函数优良的数学特性，提高了区域GNSS电离层延迟建模的整体精度与可靠性。 

本发明的一种适合于中国区域的GNSS电离层延迟精确建模方法，采用球谐函数建立适合于中国区域的GNSS电离层延迟模型，其中，获得球谐函数电离层电子浓度总含量模型系数的方法包括： 

步骤1、根据GNSS基准站的原始观测数据包括的伪距观测量和载波相位观测量，计算GNSS基准站在卫星视线方向上的电离层电子浓度总含量的信息； 

步骤2、将步骤1中解算得到的卫星视线方向的电离层电子浓度总含量信息转化为垂直方向的电子浓度总含量信息VTEC，即： 

令STEC表示步骤1中得到的卫星视线方向的电离层电子浓度总含量，则垂直方向的电子浓度总含量VTEC通过STEC＝VTEC·SF得到； 

其中，为倾斜因子，E_i是卫星在电离层交叉点处 的仰角；E₀是卫星在接收机位置处的仰角；r_e是地球的半径；h_m是电离层薄层的高度，取值为425.0公里；所述交叉点是指信号传播路径与所假设的电离层薄层的交点； 

步骤3、以建模区域的中心为极点，通过极点和地理南极点的经线为起始经线，建立球冠坐标系，计算交叉点经纬度在球冠坐标系下的经纬度，具体为： 

令表示所述交叉点的地理经纬度坐标,表示球冠坐标系极点的地理经纬度坐标，则所述交叉点在球冠坐标系下的经纬度坐标为： 

步骤4，将步骤3得到的所述交叉点纬度坐标转换为球冠坐标系下的余纬θ_c： 

其中，所述余纬θ_c在球冠坐标系下的取值范围为[0,θ_max]，θ_max为球冠的半角； 

步骤5，根据步骤3得到的交叉点在球冠坐标系下的经纬度以及步骤4得到的交叉点在球冠坐标系下的余纬，将交叉点在球冠坐标系下的经纬度变化范围旋转投影变换至全球坐标系下的变化范围，即： 

其中，表示经过旋转投影变换之后的交叉点经纬度，经度的取值范围[-π,π)，纬度的取值范围为[-π/2,π/2)； 

步骤6，将经过旋转投影变换之后的交叉点经纬度作为球谐函数的输入变量，解算球谐函数电离层电子浓度总含量的模型系数，具体为： 

将步骤5得到的经过旋转投影变换之后的交叉点经纬度与λ′分别代替下 式中的与λ，解算球谐函数电离层电子浓度总含量模型系数与

其中，表示步骤2中得到的电离层交叉点处的电离层垂直方向的电子浓度总含量；n_dmax表示球谐函数的最大度数；表示n度m阶的归化勒让德函数；n和m取值根据用户要求的简单程度及精度进行选择；表示经典拉格朗日函数； $\mathrm{MC}(n,m)=\sqrt{(n-m)!(2n+1)(2-{\mathrm{\δ}}_{0m})/(n+m)!}$ 表示归化函数，其中，δ_0m为Kronecker型δ函数； 

根据上述解算得到的球谐函数电离层电子浓度总含量模型系数与建立电离层电子浓度总含量数学函数模型，即建立适合于中国区域的电离层延迟精确模型。 

所述步骤1具体包括如下方法： 

步骤11，采集GNSS基准站的原始观测数据，该原始观测数据包括伪距观测量、载波相位观测量以及导航卫星星历； 

步骤12，根据所述载波相位观测量或伪距观测量计算卫星视线方向的电离层TEC信息； 

忽略卫星和接收机硬件延迟参数，三频GNSS伪距观测量方程如式(1)所示： 

$\left\{\begin{array}{c}{P}_1=\mathrm{\ρ}+{\mathrm{\α}}_{1}I\\ P_2=\mathrm{\ρ}+{\mathrm{\α}}_{2}I\\ P_3=\mathrm{\ρ}+{\mathrm{\α}}_{3}I\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，P₁、P₂和P₃分别代表三个频率上修正了硬件延迟之后的伪距观测量，ρ表示卫星与接收机间的几何距离及与频率无关的误差项，I表示卫星视线方向上的电离层总电子含量；α₁、α₂和α₃分别表示电离层电子浓度总含量与三个频率上距离延迟量之间的转换关系，为一与频率相关的常数； 

将ρ与电离层总电子含量I分别看作未知量，则将方程(1)写成矩阵的形 式： 

L＝BX Q            (2) 

其中，L＝[P₁,P₂,P₃]^T， $B=\left[\begin{array}{cc}1& {\mathrm{\α}}_1\\ 1& {\mathrm{\α}}_1\\ 1& {\mathrm{\α}}_1\end{array}\right],$ X＝[ρ,I]^T， $Q=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\σ}}_{11}^2& 0& 0\\ 0& {\mathrm{\α}}_{22}^2& 0\\ 0& 0& {\mathrm{\α}}_{33}^2\end{array}\right],$ σ₁₁、σ₂₂和σ₃₃分别表示三个伪距观测量的误差，按照最小二乘的原理，解算得到位置参数X的估值： 

$\hat{X}=\left[\begin{array}{c}\widehat{\mathrm{\ρ}}\\ \hat{I}\end{array}\right]={\left(B^T\mathrm{QB}\right)}^{-1}{B}^T\mathrm{QL}---\left(3\right)$

根据式(3)解算得到卫星视线方向上的电离层电子浓度总含量I。 

本发明具有如下有益效果： 

本发明的一种适合于中国区域的GNSS电离层延迟精确建模方法，首先将交叉点经纬度的地理坐标转换为建立的球冠坐标系下的坐标，以此获得交叉点的经纬度在球冠坐标下的范围，然后又把交叉点的经纬度变化范围经投影变换至全球坐标系下，再采用球谐函数建立区域电离层电子浓度总含量(TEC)模型，构建了适用于中国区域的电离层延迟精确建模方法。相对于现有方法，该方法通过旋转投影变换，使得电离层交叉点分布在形式上满足了球谐函数对物理量分布的要求，不仅解决了球谐函数应用于区域建模时存在的病态问题，有效利用了球谐函数对全球变化物理量的精确描述能力，还避免了球冠谐函数中非整阶次，降低了电离层TEC建模计算的复杂程度。 

附图说明

图1为本发明中建立的球冠坐标系。 

具体实施方式

下面结合附图并举实施例，对本发明进行详细描述。 

本发明提供了一种适合于中国区域的电离层延迟精确建模方法，包含基准站卫星视线方向上的电离层电子浓度总含量(TEC)信息计算、卫星视线方向的电离层TEC信息与垂直方向的TEC信息的转化、交叉点经纬度在球冠坐标系下的经纬度计算、交叉点纬度到球冠坐标系下余纬的转换、交叉点的经纬度变化范围经投影至全球的变换、球谐函数电离层TEC模型系数解算六大步骤，具体步骤如下： 

步骤1、基准站卫星视线方向上电离层TEC信息计算 

基准站三频GNSS接收机接收卫星导航定位的信号，获得三个频率上的伪距或载波相位观测量；基于电离层的弥散性质，利用上述三个频率上的伪距或载波相位观测量，可分别计算得到伪距或载波相位电离层延迟观测信息。本发明通过基准站三频观测量数据联合解算获得基准站各可视卫星视线方向上的电离层延迟信息，具体包括如下步骤： 

S11、采集基准站GNSS原始观测数据： 

采集GNSS原始三频观测数据，包含伪距观测数据、载波相位观测数据以及导航卫星星历。以f₁,f₂和f₃三个频率为例，上述伪距观测量和以及载波相位观测量和如式(11)所示： 

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{1,i}^j={\mathrm{\ρ}}_i^j+c\·(d{t}^j-{\mathrm{dt}}_i)+d_{{\mathrm{trop}}_i}^i+d_{{\mathrm{ion}}_{1,i}}^j+c\·(d_{{\mathrm{dcb}}_{1,i}}+d_{{\mathrm{dcb}}_1}^j)\\ P_{2,i}^j={\mathrm{\ρ}}_i^j+c\·({\mathrm{dt}}^i-{\mathrm{dt}}_i)+d_{{\mathrm{trop}}_i}^j+d_{{\mathrm{ion}}_{2,i}}^j+c\·(d_{{\mathrm{dcb}}_{2,i}}+d_{{\mathrm{dcb}}_2}^j)\\ P_{3,i}^j={\mathrm{\ρ}}_i^j+c\·({\mathrm{dt}}^j-{\mathrm{dt}}_i)+d_{{\mathrm{trop}}_i}^j+d_{{\mathrm{ion}}_{3,i}}^j+c\·(d_{{\mathrm{dcb}}_{3,i}}+d_{{\mathrm{dcb}}_3}^j)\\ L_{1,i}^j={\mathrm{\ρ}}_i^j+c\·({\mathrm{dt}}^j-{\mathrm{dt}}_i)+d_{{\mathrm{trop}}_i}^j-d_{{\mathrm{ion}}_{2,i}}^j-{\mathrm{\λ}}_1\·N_{1,i}^j+c\·(d_{{\mathrm{dcb}}_{1,i}}+d_{{\mathrm{dcb}}_1}^j)\\ L_{2,i}^j={\mathrm{\ρ}}_i^j+c\·({\mathrm{dt}}^j-{\mathrm{dt}}_i)+d_{{\mathrm{trop}}_i}^j-d_{i{\mathrm{on}}_{2,i}}^j-{\mathrm{\λ}}_2\·N_{2,i}^j+c\·(d_{{\mathrm{dcb}}_{2,i}}+d_{{\mathrm{dcb}}_2}^j)\\ L_{3,i}^j={\mathrm{\ρ}}_i^j+c\·({\mathrm{dt}}^j-{\mathrm{dt}}_i)+d_{{\mathrm{trop}}_i}^j-d_{{\mathrm{ion}}_{3,i}}^j-{\mathrm{\λ}}_3\·N_{3,i}^j+c\·(d_{{\mathrm{dcb}}_{3,i}}+d_{{\mathrm{dcb}}_3}^j)\end{array}\right.---\left(11\right)$

其中，j和i分别表示卫星和接收机的编号；表示第j卫星到第i接收机的几何距离(单位为m)；c表示真空中的光速，取值为2.99792458×10⁸m/s；dt^j和dt_i 分别是卫星和接收机的钟差(单位为s)；和分别是对流层和电离层延迟(单位为m)；和分别是卫星和接收机在频率f₁,f₂和f₃上的硬件延迟(单位为s)；λ₁,λ₂和λ₃分别表示频率f₁,f₂和f₃对应的波长(单位为m)；和分别表示载波相位和的模糊度；上述表达式中忽略了多路径和天线相位偏差等误差和观测值的噪声。 

式(11)中的各类误差项可分为与频率相关的误差项(如：  $d_{{\mathrm{ion}}_{1,i}}^j,d_{{\mathrm{dcb}}_{1,i}},d_{{\mathrm{dcb}}_1}^j,d_{{\mathrm{ion}}_{2,i}}^j,d_{{\mathrm{dcb}}_{2,i}},d_{{\mathrm{dcb}}_2}^j{d}_{{\mathrm{ion}}_{3,i}}^j,d_{{\mathrm{dcb}}_{3,i}}$ 和 $d_{{\mathrm{dcb}}_3}^j$ )以及与频率无关的误差项(如：dt^j,dt_i和)。 

S12、根据载波相位观测量或伪距观测量计算卫星视线方向的电离层TEC信息： 

以GNSS伪距观测量为例，忽略卫星和接收机硬件延迟参数，其伪距观测方程如式(12)所示： 

$\left\{\begin{array}{c}{P}_1=\mathrm{\ρ}+{\mathrm{\α}}_{1}I\\ P_2=\mathrm{\ρ}+{\mathrm{\α}}_{2}I\\ P_3=\mathrm{\ρ}+{\mathrm{\α}}_{3}I\end{array}\right.---\left(12\right)$

其中，P₁，P₂，P₃分别代表三个频率上修正了硬件延迟之后的伪距观测量，ρ表示卫星与接收机间的几何距离及其他与频率无关的误差项，I表示卫星视线方向上的电离层总电子含量TEC，单位为TECu，α₁，α₂，α₃分别表示电离层TEC与三个频率上距离延迟量之间的转换关系，为一与频率相关的常数，本发明中的电离层延迟建模即是对电离层总电子含量TEC进行建模。将ρ与I分别看作未知量，则上述方程可写成矩阵的形式： 

L＝BX Q            (13) 

其中，L＝[P₁,P₂,P₃]^T， $B=\left[\begin{array}{cc}1& {\mathrm{\α}}_1\\ 1& {\mathrm{\α}}_1\\ 1& {\mathrm{\α}}_1\end{array}\right],$ X＝[ρ,I]^T， $Q=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\σ}}_{11}^2& 0& 0\\ 0& {\mathrm{\α}}_{22}^2& 0\\ 0& 0& {\mathrm{\α}}_{33}^2\end{array}\right],$ σ₁₁,σ₂₂,σ₃₃分别 表示三个伪距观测量的误差，按照最小二乘的原理，可解算得到位置参数X的估值。 

$\hat{X}=\left[\begin{array}{c}\widehat{\mathrm{\ρ}}\\ \hat{I}\end{array}\right]={\left(B^T\mathrm{QB}\right)}^{-1}{B}^T\mathrm{QL}---\left(14\right)$

根据式(14)可得到卫星视线方向上的电离层总电子含量I。 

步骤2、卫星视线方向电离层TEC信息与垂直方向TEC信息的转化 

将步骤1中解算得到的卫星视线方向的电离层TEC信息转化为垂直方向的TEC信息；步骤1中求解出的即为卫星视线方向的电离层STEC，通过式(15)把STEC转换为垂直方向的VTEC， 

STEC＝VTEC·SF          (15) 

其中，SF为倾斜因子，SF的表达式如下式： 

$\mathrm{SF}=\frac{1}{\sin E_i}=\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{r_e\cos E_0}{r_e+h_m}\right)}^2}}---\left(16\right)$

其中，E_i是卫星在电离层交叉点处的仰角；E₀是卫星在接收机位置处的仰角；r_e是地球的半径，通常取值为6378137.0公里；h_m是电离层薄层的高度，通常取值为425.0公里。 

步骤3、交叉点经纬度在球冠坐标系下的经纬度计算： 

为了解决球谐函数应用于区域电离层建模时存在的病态问题，需建立球冠坐标系，并对观测数据进行坐标系转换。以建模区域的中心为极点，通过极点和地理南极点的经线为起始经线，建立球冠坐标系，计算交叉点经纬度在球冠坐标系下的经纬度； 

如附图1所示，P点为北极点，A、B点为经线与赤道的交点；以建模区域的中心为极点，通过极点和地理南极点的经线为起始经线，建立球冠坐标系，假设球冠坐标系的极点为D点，地理坐标为假设C点为交叉点，地理坐 标为球冠坐标系下的坐标为则球面角CPD为λ₀-λ，球面角PDC为π-λ_c，PD为的弧，PC为的弧，CD为球冠坐标系下的弧。在球面三角形PCD中，根据球面余弦公式有： 

即是： 

也得到： 

另外，根据球面正弦公式有： 

即是： 

则有交叉点在球冠坐标系下的经纬度如式(23)所示。其中球冠坐标系下交叉点经度的取值范围为[-π,π)，纬度的取值范围取决于所选区域的大小。 

步骤4、交叉点纬度到球冠坐标系下余纬的转换： 

交叉点纬度到球冠坐标系下余纬的转换关系如式(24)所示，其取值范围为[0,θ_max]，则θ_max可认为球冠的半角。 

步骤5、交叉点的经纬度变化范围经投影至全球的变换 

将交叉点纬度按线性变化的关系投影至全球，经度保持不变。如式(25)所示。 

其中，表示经过旋转投影变换之后的交叉点经纬度，经度的取值范围[-π,π)，纬度的取值范围为[-π/2,π/2)，至此，可认为电离层交叉点分布在一假设的球面上，满足球谐函数对拟合变量分布的要求。 

步骤6.球谐函数电离层TEC模型系数解算 

以步骤5所得交叉点经纬度作为球谐函数的输入变量，解算球谐函数电离层TEC模型系数。 

以交叉点经纬度作为球谐函数的输入变量，即用式(25)中的与λ′分别代替式(26)中的与λ，解算球谐函数电离层TEC模型系数。 

其中，表示步骤2得到的电离层交叉点处的电离层VTEC；与λ分别表示电离层交叉点的纬度和经度；n_dmax表示球谐函数的最大度数； 表示n度m阶的归化勒让德函数；选择不同的度数和阶数，可以得到不同的球谐函数模型，选取时需综合考虑模型的简单易用及其精度；为经典拉格朗日函数；MC(n,m)表示归化函数，如式(27)所示；δ_0m为Kronecker型δ函数，与分别表示待估的模型系数。 

$\mathrm{MC}(n,m)=\sqrt{(n-m)!(2n+1)(2-{\mathrm{\δ}}_{0m})/(n+m)!}$

由解算得到的球谐函数电离层TEC模型系数，可建立电离层延迟的数学函 数模型，即为适合于中国区域的GNSS电离层延迟精确建模方法。 

综上所述，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。 

Claims (2)

1.一种适合于中国区域的GNSS电离层延迟精确建模方法，其特征在于，采用球谐函数建立适合于中国区域的GNSS电离层延迟模型，其中，获得球谐函数电离层电子浓度总含量模型系数的方法包括：

步骤1、根据GNSS基准站的原始观测数据包括的伪距观测量和载波相位观测量，计算GNSS基准站在卫星视线方向上的电离层电子浓度总含量的信息；

步骤2、将步骤1中解算得到的卫星视线方向的电离层电子浓度总含量信息转化为垂直方向的电子浓度总含量信息VTEC，即：

令STEC表示步骤1中得到的卫星视线方向的电离层电子浓度总含量，则垂直方向的电子浓度总含量VTEC通过STEC＝VTEC·SF得到；

其中，为倾斜因子，E_i是卫星在电离层交叉点处的仰角；E₀是卫星在接收机位置处的仰角；r_e是地球的半径；h_m是电离层薄层的高度，取值为425.0公里；所述交叉点是指信号传播路径与所假设的电离层薄层的交点；

步骤3、以建模区域的中心为极点，通过极点和地理南极点的经线为起始经线，建立球冠坐标系，计算交叉点经纬度在球冠坐标系下的经纬度，具体为：

令表示所述交叉点的地理经纬度坐标,表示球冠坐标系极点的地理经纬度坐标，则所述交叉点在球冠坐标系下的经纬度坐标为：

步骤4，将步骤3得到的所述交叉点纬度坐标转换为球冠坐标系下的余纬θ_c：

其中，所述余纬θ_c在球冠坐标系下的取值范围为[0,θ_max]，θ_max为球冠的半角；

步骤5，根据步骤3得到的交叉点在球冠坐标系下的经纬度以及步骤4得到的交叉点在球冠坐标系下的余纬，将交叉点在球冠坐标系下的经纬度变化范围旋转投影变换至全球坐标系下的变化范围，即：

其中，表示经过旋转投影变换之后的交叉点经纬度，经度的取值范围[-π,π)，纬度的取值范围为[-π/2,π/2)；

步骤6，将经过旋转投影变换之后的交叉点经纬度作为球谐函数的输入变量，解算球谐函数电离层电子浓度总含量的模型系数，具体为：

将步骤5得到的经过旋转投影变换之后的交叉点经纬度与λ′分别代替下式中的与λ，解算球谐函数电离层电子浓度总含量模型系数与

其中，表示步骤2中得到的电离层交叉点处的电离层垂直方向的电子浓度总含量；n_dmax表示球谐函数的最大度数；表示n度m阶的归化勒让德函数；n和m取值根据用户要求的简单程度及精度进行选择；表示经典拉格朗日函数； $\mathrm{MC}(n,m)=\sqrt{(n-m)!(2n+1)(2-{\mathrm{\δ}}_{0m})/(n+m)!}$ 表示归化函数，其中，δ_0m为Kronecker型δ函数；

根据上述解算得到的球谐函数电离层电子浓度总含量模型系数与建立电离层电子浓度总含量数学函数模型，即建立适合于中国区域的电离层延迟精确模型。

2.如权利要求1所述的一种适合于中国区域的GNSS电离层延迟精确建模方法，其特征在于，所述步骤1具体包括如下方法：

步骤11，采集GNSS基准站的原始观测数据，该原始观测数据包括伪距观测量、载波相位观测量以及导航卫星星历；

步骤12，根据所述载波相位观测量或伪距观测量计算卫星视线方向的电离层TEC信息；

忽略卫星和接收机硬件延迟参数，三频GNSS伪距观测量方程如式(1)所示：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_1=\mathrm{\ρ}+{\mathrm{\α}}_{1}I\\ P_2=\mathrm{\ρ}+{\mathrm{\α}}_{2}I\\ P_3=\mathrm{\ρ}+{\mathrm{\α}}_{3}I\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，P₁、P₂和P₃分别代表三个频率上修正了硬件延迟之后的伪距观测量，ρ表示卫星与接收机间的几何距离及与频率无关的误差项，I表示卫星视线方向上的电离层总电子含量；α₁、α₂和α₃分别表示电离层电子浓度总含量与三个频率上距离延迟量之间的转换关系，为一与频率相关的常数；

将ρ与电离层总电子含量I分别看作未知量，则将方程(1)写成矩阵的形式：

L＝BX Q           (2)

其中，L＝[P₁,P₂,P₃]^T， $B=\left[\begin{array}{cc}1& {\mathrm{\α}}_1\\ 1& {\mathrm{\α}}_1\\ 1& {\mathrm{\α}}_1\end{array}\right],$ X＝[ρ,I]^T， $Q=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\σ}}_{11}^2& 0& 0\\ 0& {\mathrm{\α}}_{22}^2& 0\\ 0& 0& {\mathrm{\α}}_{33}^2\end{array}\right],$ σ₁₁、σ₂₂和σ₃₃分别表示三个伪距观测量的误差，按照最小二乘的原理，解算得到位置参数X的估值：

$\hat{X}=\left[\begin{array}{c}\widehat{\mathrm{\ρ}}\\ \hat{I}\end{array}\right]={\left(B^T\mathrm{QB}\right)}^{-1}{B}^T\mathrm{QL}---\left(3\right)$

根据式(3)解算得到卫星视线方向上的电离层电子浓度总含量I。