CN104036138A - 一种基于群体合作决策机制的数值优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于群体合作决策机制的数值优化方法。本发明方法首先建立个体位置协调项，该项的主要作用是保持个体之间的距离，便于群体能够探索较大的搜索空间；其次，建立个体速度协调项，该项的主要作用保持个体之间的速度一致，在速度一致过程中，个体之间的速度进行了协调，从而使一致后的速度方向能够指向全局最优值所在的位置；再次，建立方向协调项，该项的主要作用是使个体的运动方向和个体决策获得的运动方向保持一致，个体决策获得的运动方向是个体充分利用环境的信息对于全局最优位置所在方向的判断。本发明可以处理上述提出的当前数值优化方法所遇见的问题，而且，对于其它类型的数值优化问题，也能够获得好的优化结果。

Description

一种基于群体合作决策机制的数值优化方法

技术领域

本发明属于计算智能领域，涉及一种群体合作决策的数值优化方法。

背景技术

数值优化问题是一类真实世界优化问题的统称，研究数值优化问题对于人类社会有着重要的经济意义和社会意义，例如：危险气味源定位问题可以看作是一类数值优化问题，优化的目标是寻找具有最大浓度信息的气味源位置，对于该问题的解决具有重要的社会意义；此外，车间工序调度问题，优化的目标是如何找到工序的最优排序，从而使所需要的等待时间最小，对于该问题的解决则会产生较大的经济效益等等。然而，存在一类数值优化问题，该问题的特点要求数值优化算法中群体初始位置位于一个狭小的空间中，并且群体中个体的最大运动速度受限。在这一种情况下，当前的数值优化方法不能够获得好的优化结果，原因在于数值优化方法的优化性能主要取决于群体的位置分布。即，位置的空间分布越大，个体的运行动力越强，相应的探索能够越强。在这一背景下，本发明弥补了现有技术的不足。

发明内容

本发明的目标是针对现有技术的不足之处，提出基于群体合作决策机制的数值优化方法。该方法保留了传统方法的计算简单的优点，也弥补了传统数值优化方法的不足，在算法收敛性保证的前提下，具有较高的优化性能。

本发明方法首先建立个体位置协调项，该项的主要作用是保持个体之间的距离，便于群体能够探索较大的搜索空间，同时，位置协调项随迭代次数而变化，在群体进化过程中，将减少个体之间的距离，增强在迭代后期群体的挖掘能力；其次，建立个体速度协调项，该项的主要作用保持个体之间的速度一致，在速度一致性过程中，个体之间的速度进行了协调，从而使一致后的速度方向能够指向全局最优值所在的位置；再次，建立方向协调项，该项的主要作用是使个体的运动方向和个体决策获得的运动方向保持一致，个体决策获得的运动方向是个体充分利用环境信息对于全局最优位置所在方向的判断，因此，个体需要和个体决策获得的运动方向保持一致。本发明可以处理上述提出的当前数值优化方法所遇见的问题，而且，对于其它类型的数值优化问题，能够获得好的优化结果。

本发明方法的步骤包括：

第一步，初始化方法参数：

a.初始化群体中个体数量n和每个个体的维数m。

b.在数值优化问题的约束空间中，初始化群体中个体的位置(第i个个体第j维)和速度(第i个个体第j维)，i＝1，2，...，n，j＝1，2，...，m，其中：应满足数值优化问题的边界值条件，应满足 是根据数值优化问题的特点所给定的个体最大速度，|·|是绝对值符号。

c.初始化个体的邻居数N。根据邻居数N，计算第i个个体的邻居集合i＝1，2，...，n，需要说明的是，邻居集合的计算采用拓扑距离，即在所有个体中，离第i个个体距离最近的N个个体组成第i个个体的邻居集合。

d.初始化群体合作决策公式中，各部分权重参数p₁，p₂和p₃，并且权重参数应满足下列条件：

$\left\{\begin{array}{ccc}\frac{1-(1+T)p_3}{T}+1-(1+T)p_1{a}_{\max }& >& 0\\ -\frac{1-(1+T)p_3}{T}& >& 0\\ \frac{1-p_3}{T}-p_1{a}_{\max }& >& 0\\ 1-\frac{1-p_3}{T}& >& 0\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中：T＝p₂/p₁，α_max是所有可能的拉普拉斯矩阵L(A)的最大对角线值；L(A)是比邻矩阵A＝[a_ij]对应的拉普拉斯矩阵；比邻矩阵A=[a_ij]是n×n矩阵，表示个体之间的通信关系，如果比邻矩阵中的元素a_ij＝1(i≠j)，则说明群体中第i个个体和第j个个体能够通信；如果a_ij＝0(i≠j)，则说明群体中第i个个体和第j个个体不能通信，此外a_ii＝1表示个体自己可以和自己通信。相应的L(A)＝[l_ij]被定义如下：

$l_{\mathrm{ij}}=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\Σ}}_{j=1,j\≠i}^n{a}_{\mathrm{ij}},& i=j\\ -a_{\mathrm{ij}},& i\≠j\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中：l_ij是矩阵L(A)的第i行第j列的元素。

e.初始化调节个体之间距离的距离和方位参数(第i个个体第j维)，i＝1，2，...，n，j＝1，2，...，m。

f.根据数值优化问题的特点，记录每一个个体的适应度f_i(0)，i＝1，2，...，n，对第i个个体，计算x_il(0)，它是第i个个体所获得的历史具有最好适应度的位置，在初始时就是x_i(0)；计算它是第i个个体所获得的历史上所有邻居中所获得最好适应度的位置。如果最好适应度表示最大值，可以参见公式(3)，如果最好适应度表示最小值，可以将公式(3)中的最大值符号改为最小值符号。另外，记录群体中具有最好适应度的位置x_best(0)，可以参见公式(4)计算。

$x_{i_g}\left(0\right)=\arg \max \{f\left(x_{j_l}\left(0\right)\right),j\∈{\hat{N}}_i\}---\left(3\right)$

$x_{\mathrm{best}}\left(0\right)=\arg \max \{f\left(x_{i_g}\left(0\right)\right),i=\mathrm{1,2},...,n\}---\left(4\right)$

g.初始化最大迭代次数iter和迭代计数变量k＝0。

第二步，设定当前迭代k＝k+1，调节第i个个体(i＝1，2，...，n)第j维(j＝1，2，...，m)的距离和方位参数

$h_i^j\left(k\right)=(h_i^j\left(0\right)-h_i^j\left(0\right)\×k/\mathrm{iter})\×O_i^j---\left(5\right)$

其中：是用来调节个体之间的相对方位；可以调节个体之间的相对距离。

第三步，计算第i个个体(i＝1，2，...，n)第j维(j＝1，2，...，m)的位置协调项

$Q_i^j\left(k\right)={\mathrm{\Σ}}_{l\∈{\hat{N}}_i}{a}_{\mathrm{il}}((x_l^i(k-1)-h_l^j(k-1))-(x_i^j(k-1)-h_i^j(k-1)))---\left(6\right)$

其中：是第l个个体在第k-1次迭代时第j维的位置值；是第i个个体在第k-1次迭代时第j维的位置值；如果第l个个体在第i个个体的邻居集合中，即则a_il＝1，否则a_il＝0。

第四步，计算第i个个体(i＝1，2，...，n)第j维(j＝1，2，...，m)的速度协调项

$V_i^j\left(k\right)={\mathrm{\Σ}}_{l\∈{\hat{N}}_i}{a}_{\mathrm{il}}({\mathrm{\υ}}_l^j(k-1)-{\mathrm{\υ}}_i^j(k-1))---\left(7\right)$

其中：是第l个个体在第k-1次迭代时第j维的速度；是第i个个体在第k-1次迭代时第j维的速度。

第五步，计算第i个个体(i＝1，2，...，n)第j维(j＝1，2，...，m)的方向协调项

$D_i^j\left(k\right)={\stackrel{\‾}{\mathrm{\υ}}}_i^j(k,x_i^j\left(k\right))-{\mathrm{\υ}}_i^j(k-1)---\left(8\right)$

其中：第i个个体在第k次迭代时第j维的进化速度，可以进一步按公式(9)和(10)计算：

a.如果 ${\left|\right|\▿{\widehat{\mathrm{\υ}}}_i(k-1,x_i(k-1))\left|\right|}_2\≠0,$ 则

${\stackrel{\‾}{\mathrm{\υ}}}_i^j(k,x_i^j\left(k\right))=V\×\▿{\widehat{\mathrm{\υ}}}_i^j(k-1,x_i^j(k-1))/{\left|\right|\▿{\widehat{\mathrm{\υ}}}_i(k-1,x_i(k-1))\left|\right|}_2---\left(9\right)$

b.如果 ${\left|\right|\▿{\widehat{\mathrm{\υ}}}_i(k-1,x_i(k-1))\left|\right|}_2=0,$ 则

${\stackrel{\‾}{\mathrm{\υ}}}_i^j(k,x_i^j\left(k\right))={\mathrm{\υ}}_i^j(k-1)---\left(10\right)$

其中：||·||₂是2范数； $\▿{\widehat{\mathrm{\υ}}}_i(k-1,x_i(k-1))={[\▿{\widehat{\mathrm{\υ}}}_i^1(k-1,x_i^1(k-1)),...,\▿{\widehat{\mathrm{\υ}}}_i^m(k-1,x_i^m(k-1))]}^H$ ；H表示矩阵的转置；是第i个个体在第k-1次迭代时第j维的评估速度，能够根据公式(11)计算：

$\▿{\widehat{\mathrm{\υ}}}_i^j(k-1,x_i^j(k-1))=p_i^j(k-1)-x_i^j(k-1)---\left(11\right)$

其中：是第i个个体在第k-1次迭代时第j维的振荡中心，并且，

$p_i^j(k-1)=\frac{{\mathrm{\α}}_1{x}_{i_l}^j(k-1)+{\mathrm{\α}}_2{x}_{i_g}^j(k-1)}{{\mathrm{\α}}_1+{\mathrm{\α}}_2}---\left(12\right)$

其中：α₁和α₂是在[0，2]之间的随机数；是第i个个体在第k-1次迭代时所获得的历史具有最好适应度的位置的第j维；第i个个体在第k-1次迭代时所获得的历史上所有邻居中所获得最好适应度的位置的第j维。

第六步，计算第i个个体(i＝1，2，...，n)第j维(j＝1，2，...，m)的群体合作决策项

$u_i^j\left(k\right)=p_1{Q}_i^j\left(k\right)+p_2{V}_i^j\left(k\right)+p_3{D}_i^j\left(k\right)---\left(13\right)$

其中：p₁是位置协调项在群体合作决策公式(13)中的权重系数；p₂是速度协调项在群体合作决策公式(13)中的权重系数；p₃是方向协调项在群体合作决策公式(13)中的权重系数。

第七步，更新第i个个体(i＝1，2，...，n)第j维(j＝1，2，...，m)的速度：

${\mathrm{\υ}}_i^j\left(k\right)={\mathrm{\υ}}_i^j(k-1)+u_i^j\left(k\right)---\left(14\right)$

其中：如果更新后的速度超过了则设定如果更新后的速度小于则设定 ${\mathrm{\υ}}_i^j\left(k\right)=-{\mathrm{\υ}}_{\max }^j.$

第八步，更新第i个个体(i＝1，2，...，n)第j维(j＝1，2，...，m)的位置：

$x_i^j\left(k\right)=x_i^j(k-1)+{\mathrm{\υ}}_i^j\left(k\right)---\left(15\right)$

其中：对更新后的位置进行边界判断，如果超过边界，则将边界值赋给

第九步，重新计算第i个个体的邻居集合i＝1，2，...，n。重新计算每个个体的适应度f_i(k)，重新计算和可以参见公式(16)和(17)，如果最好适应度表示最小值，可以将公式(16)和(17)中的最大值符号改为最小值符号。并记录群体中具有最好适应度的位置x_best(k)，可以参见公式(18)计算。

$x_{i_l}\left(k\right)=\arg \max \{f\left(x_{i_l}(k-1)\right),f_i\left(k\right)\}---\left(16\right)$

$x_{i_g}\left(k\right)=\arg \max \{f\left(x_{j_l}\left(k\right)\right),j\∈{\hat{N}}_i\}---\left(17\right)$

$x_{\mathrm{best}}\left(k\right)=\arg \max \{f\left(x_{i_g}\left(k\right)\right),i=\mathrm{1,2},...,n\}---\left(18\right)$

第十步，如果k≤iter，执行第二步，否则执行第十一步。

第十一步，报告群体中具有最好适应度的位置x_best(k)。

本发明提出的基于群体合作决策机制的数值优化方法能够弥补传统数值优化方法的不足，并能够提升优化性能，满足实际的需要。

具体实施方式

以基准测试函数Shifted Sphere为例，需要找到该函数的最小值，函数的边界范围是[-100，100]^m，初始化时，个体位置的初始化范围限定在[-100，-80]^m，速度的范围限定在[-1.5，1.5]^m，m是优化变量的维数，这里m＝2。

具体步骤如下：

第一步，初始化方法参数：

a.初始化群体中个体数量n＝20。

b.在[-100，-80]中随机初始化群体中个体的位置；在[-1.5，1.5]中随机初始化速度，i＝1，2，...，20，j＝1，2，初始化

c.初始化个体的邻居数N＝7。根据邻居数计算第i个个体的邻居集合i＝1，2，...，20。

d.初始化群体合作决策公式中，各部分权重参数p₁＝0.1，p₂＝0.03，和p₃＝0.78。

e.初始化调节个体之间距离的距离和方位参数i＝1，2，...，20，j＝1，2。

f.根据数值优化问题的特点，记录每一个个体的适应度f_i(0)，i＝1，2，...，20，对第i个个体，计算计算另外，记录群体中具有最好适应度的位置 $x_{\mathrm{best}}\left(0\right)=\arg \min \{f\left(x_{i_g}\left(0\right)\right),i=\mathrm{1,2},...,n\}.$

g.初始化最大迭代次数iter＝1000和迭代计数变量k＝0。

第二步，设定当前迭代k＝k+1，调节第i个个体(i＝1，2，...，20)第j维(j＝1，2)的距离和方位参数

$h_i^1\left(k\right)=(h_i^1\left(0\right)-h_i^1\left(0\right)\×k/\mathrm{iter})\×\cos (2\mathrm{\πi}/n+\mathrm{\π}/6)$

$h_i^2\left(k\right)=(h_i^2\left(0\right)-h_i^2\left(0\right)\×k/\mathrm{iter})\×\sin (2\mathrm{\πi}/n+\mathrm{\π}/6)$

第三步，计算第i个个体(i＝1，2，...，20)第j维(j＝1，2)的位置协调项

$Q_i^j\left(k\right)={\mathrm{\Σ}}_{l\∈{\hat{N}}_i}{a}_{\mathrm{il}}((x_l^i(k-1)-h_l^j(k-1))-(x_i^j(k-1)-h_i^j(k-1)))$

其中：是第l个个体在第k-1次迭代时第j维的位置值；是第i个个体在第k-1次迭代时第j维的位置值；如果第l个个体在第i个个体的邻居集合中，即则a_il＝1，否则a_il＝0。

第四步，计算第i个个体(i＝1，2，...，n)第j维(j＝1，2，...，m)的速度协调项

$V_i^j\left(k\right)={\mathrm{\Σ}}_{l\∈{\hat{N}}_i}{a}_{\mathrm{il}}({\mathrm{\υ}}_l^j(k-1)-{\mathrm{\υ}}_i^j(k-1))$

其中：是第l个个体在第k-1次迭代时第j维的速度；是第i个个体在第k-1次迭代时第j维的速度。

第五步，计算第i个个体(i＝1，2，...，n)第j维(j＝1，2，...，m)的方向协调项

$D_i^j\left(k\right)={\stackrel{\‾}{\mathrm{\υ}}}_i^j(k,x_i^j\left(k\right))-{\mathrm{\υ}}_i^j(k-1)$

其中：第i个个体在第k次迭代时第j维的进化速度，可以进一步按下列条件计算：

a.如果 ${\left|\right|\▿{\widehat{\mathrm{\υ}}}_i(k-1,x_i(k-1))\left|\right|}_2\≠0,$ 则 ${\stackrel{\‾}{\mathrm{\υ}}}_i^j(k,x_i^j\left(k\right))=V\×\frac{\▿{\widehat{\mathrm{\υ}}}_i^j(k-1,x_i^j(k-1))}{{\left|\right|\▿{\widehat{\mathrm{\υ}}}_i(k-1,x_i(k-1))\left|\right|}_2}.$

b.如果 ${\left|\right|\▿{\widehat{\mathrm{\υ}}}_i(k-1,x_i(k-1))\left|\right|}_2=0,$ 则 ${\stackrel{\‾}{\mathrm{\υ}}}_i^j(k,x_i^j\left(k\right))={\mathrm{\υ}}_i^j(k-1).$ 其中：||·||₂是2范数； $\▿{\widehat{\mathrm{\υ}}}_i(k-1,x_i(k-1))={[\▿{\widehat{\mathrm{\υ}}}_i^1(k-1,x_i^1(k-1)),\▿{\widehat{\mathrm{\υ}}}_i^2(k-1,x_i^2(k-1))]}^H;$ H表示矩阵的转置；是第i个个体在第k-1次迭代时第j维的评估速度：

$\▿{\widehat{\mathrm{\υ}}}_i^j(k-1,x_i^j(k-1))=p_i^j(k-1)-x_i^j(k-1)$

其中：是第i个个体在第k-1次迭代时第j维的振荡中心，并且，

$p_i^j(k-1)=\frac{{\mathrm{\α}}_1{x}_{i_l}^j(k-1)+{\mathrm{\α}}_2{x}_{i_g}^j(k-1)}{{\mathrm{\α}}_1+{\mathrm{\α}}_2}$

其中：α₁和α₂是在[0，2]之间的随机数；是第i个个体在第k-1次迭代时所获得的历史具有最小适应度的位置的第j维；第i个个体在第k-1次迭代时所获得的历史上所有邻居中所获得最小适应度的位置的第j维。

第六步，计算第i个个体(i＝1，2，...，n)第j维(j＝1，2，...，m)的群体合作决策项

$u_i^j\left(k\right)=p_1{Q}_i^j\left(k\right)+p_2{V}_i^j\left(k\right)+p_3{D}_i^j\left(k\right)$

其中：p₁是位置协调项在群体合作决策公式中的权重系数；p₂是速度协调项在群体合作决策公式中的权重系数；p₃是方向协调项在群体合作决策公式中的权重系数。

第七步，更新第i个个体(i＝1，2，...，20)第j维(j＝1，2)的速度：

${\mathrm{\υ}}_i^j\left(k\right)={\mathrm{\υ}}_i^j(k-1)+u_i^j\left(k\right)$

其中：如果更新后的速度超过了，则设定如果更新后的速度小于则设定 ${\mathrm{\υ}}_i^j\left(k\right)=-{\mathrm{\υ}}_{\max }^j.$

第八步，更新第i个个体(i＝1，2，...，20)第j维(j＝1，2)的位置：

$x_i^j\left(k\right)=x_i^j(k-1)+{\mathrm{\υ}}_i^j\left(k\right)$

其中：对更新后的位置进行边界判断，如果超过边界，则将边界值赋给

第九步，重新计算第i个个体的邻居集合i＝1，2，...，20。重新计算每个个体的适应度f_i(k)，重新计算 $x_{i_l}\left(k\right)=\arg \min \{f\left(x_{i_l}(k-1)\right),f_i\left(k\right)\}$ 和 $x_{i_g}\left(k\right)=\arg \min \{f\left(x_{j_l}\left(k\right)\right),j\∈{\hat{N}}_i\},$ 记录 $x_{\mathrm{best}}\left(k\right)=\arg \min \{f\left(x_{i_g}\left(k\right)\right),i=\mathrm{1,2},...,20\}.$

第十步，如果k≤iter，执行第二步，否则执行第十一步。

第十一步，报告群体中具有最好适应度的位置x_best(k)。

Claims (1)

1.一种基于群体合作决策机制的数值优化方法，该方法包括以下步骤：

第一步，初始化方法参数：

a.初始化群体中个体数量n和每个个体的维数m；

b.在数值优化问题的约束空间中，初始化群体中个体的位置(第i个个体第j维)和速度i＝1，2，...，n，j＝1，2，...，m，其中：应满足数值优化问题的边界值条件，应满足 是根据数值优化问题的特点所给定的个体最大速度，|·|是绝对值符号；

c.初始化个体的邻居数N；根据邻居数N，计算第i个个体的邻居集合i＝1，2，...，n，邻居集合的计算采用拓扑距离，即在所有个体中，离第i个个体距离最近的N个个体组成第i个个体的邻居集合；

d.初始化群体合作决策公式中，各部分权重参数p₁，p₂和p₃，并且权重参数应满足下列条件：

$\left\{\begin{array}{ccc}\frac{1-(1+T)p_3}{T}+1-(1+T)p_1{a}_{\max }& >& 0\\ -\frac{1-(1+T)p_3}{T}& >& 0\\ \frac{1-p_3}{T}-p_1{a}_{\max }& >& 0\\ 1-\frac{1-p_3}{T}& >& 0\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中：T＝p₂/p₁，a_max是所有可能的拉普拉斯矩阵L(A)的最大对角线值；L(A)是比邻矩阵A＝[a_ij]对应的拉普拉斯矩阵；比邻矩阵A＝[a_ij]是n×n矩阵，表示个体之间的通信关系，如果比邻矩阵中的元素a_ij＝1(i≠j)，则说明群体中第i个个体和第j个个体能够通信；如果a_ij＝0(i≠j)，则说明群体中第i个个体和第j个个体不能通信，此外a_ii＝1表示个体自己可以和自己通信；相应的L(A)＝[l_ij]被定义如下：

$l_{\mathrm{ij}}=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\Σ}}_{j=1,j\≠i}^n{a}_{\mathrm{ij}},& i=j\\ -a_{\mathrm{ij}},& i\≠j\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中：l_ij是矩阵L(A)的第i行第j列的元素；

e.初始化调节个体之间距离的距离和方位参数i＝1，2，...，n，j＝1，2，...，m；

f.根据数值优化问题的特点，记录每一个个体的适应度f_i(0)，i＝1，2，...，n，对第i个个体，计算它是第i个个体所获得的历史具有最好适应度的位置，在初始时就是x_i(0)；计算它是第i个个体所获得的历史上所有邻居中所获得最好适应度的位置；如果最好适应度表示最大值，参见公式(3)，如果最好适应度表示最小值，将公式(3)中的最大值符号改为最小值符号；另外，记录群体中具有最好适应度的位置x_best(0)，参见公式(4)计算；

$x_{i_g}\left(0\right)=\arg \max \{f\left(x_{j_l}\left(0\right)\right),j\∈{\hat{N}}_i\}---\left(3\right)$

$x_{\mathrm{best}}\left(0\right)=\arg \max \{f\left(x_{i_g}\left(0\right)\right),i=\mathrm{1,2},...,n\}---\left(4\right)$

g.初始化最大迭代次数iter和迭代计数变量k＝0；

第二步，设定当前迭代k＝k+1，调节第i个个体(i＝1，2，...，n)第j维(j＝1，2，...，m)的距离和方位参数

$h_i^j\left(k\right)=(h_i^j\left(0\right)-h_i^j\left(0\right)\×k/\mathrm{iter})\×O_i^j---\left(5\right)$

其中：是用来调节个体之间的相对方位；可以调节个体之间的相对距离；

第三步，计算第i个个体(i＝1，2，...，n)第j维(j＝1，2，...，m)的位置协调项

$Q_i^j\left(k\right)={\mathrm{\Σ}}_{l\∈{\hat{N}}_i}{a}_{\mathrm{il}}((x_l^i(k-1)-h_l^j(k-1))-(x_i^j(k-1)-h_i^j(k-1)))---\left(6\right)$

其中：是第l个个体在第k-1次迭代时第j维的位置值；是第i个个体在第k-1次迭代时第j维的位置值；如果第l个个体在第i个个体的邻居集合中，即则a_il＝1，否则a_il＝0；

第四步，计算第i个个体(i＝1，2，...，n)第j维(j＝1，2，...，m)的速度协调项

$V_i^j\left(k\right)={\mathrm{\Σ}}_{l\∈{\hat{N}}_i}{a}_{\mathrm{il}}({\mathrm{\υ}}_l^j(k-1)-{\mathrm{\υ}}_i^j(k-1))---\left(7\right)$

其中：是第l个个体在第k-1次迭代时第j维的速度；是第i个个体在第k-1次迭代时第j维的速度；

第五步，计算第i个个体(i＝1，2，...，n)第j维(j＝1，2，...，m)的方向协调项

$D_i^j\left(k\right)={\stackrel{\‾}{\mathrm{\υ}}}_i^j(k,x_i^j\left(k\right))-{\mathrm{\υ}}_i^j(k-1)---\left(8\right)$

其中：第i个个体在第k次迭代时第j维的进化速度，可以进一步按公式(9)和(10)计算：

a.如果 ${\left|\right|\▿{\widehat{\mathrm{\υ}}}_i(k-1,x_i(k-1))\left|\right|}_2\≠0,$ 则

${\stackrel{\‾}{\mathrm{\υ}}}_i^j(k,x_i^j\left(k\right))=V\×\▿{\widehat{\mathrm{\υ}}}_i^j(k-1,x_i^j(k-1))/{\left|\right|\▿{\widehat{\mathrm{\υ}}}_i(k-1,x_i(k-1))\left|\right|}_2---\left(9\right)$

b.如果 ${\left|\right|\▿{\widehat{\mathrm{\υ}}}_i(k-1,x_i(k-1))\left|\right|}_2=0,$ 则

${\stackrel{\‾}{\mathrm{\υ}}}_i^j(k,x_i^j\left(k\right))={\mathrm{\υ}}_i^j(k-1)---\left(10\right)$

其中：||·||₂是2范数； $\▿{\widehat{\mathrm{\υ}}}_i(k-1,x_i(k-1))={[\▿{\widehat{\mathrm{\υ}}}_i^1(k-1,x_i^1(k-1)),...,\▿{\widehat{\mathrm{\υ}}}_i^m(k-1,x_i^m(k-1))]}^H$ ；H表示矩阵的转置；是第i个个体在第k-1次迭代时第j维的评估速度，能够根据公式(11)计算：

$\▿{\widehat{\mathrm{\υ}}}_i^j(k-1,x_i^j(k-1))=p_i^j(k-1)-x_i^j(k-1)---\left(11\right)$

其中：是第i个个体在第k-1次迭代时第j维的振荡中心，并且，

$p_i^j(k-1)=\frac{{\mathrm{\α}}_1{x}_{i_l}^j(k-1)+{\mathrm{\α}}_2{x}_{i_g}^j(k-1)}{{\mathrm{\α}}_1+{\mathrm{\α}}_2}---\left(12\right)$

其中：α₁和α₂是在[0，2]之间的随机数；是第i个个体在第k-1次迭代时所获得的历史具有最好适应度的位置的第j维；第i个个体在第k-1次迭代时所获得的历史上所有邻居中所获得最好适应度的位置的第j维；

第六步，计算第i个个体(i＝1，2，...，n)第j维(j＝1，2，...，m)的群体合作决策项

$u_i^j\left(k\right)=p_1{Q}_i^j\left(k\right)+p_2{V}_i^j\left(k\right)+p_3{D}_i^j\left(k\right)---\left(13\right)$

其中：p₁是位置协调项在群体合作决策公式(13)中的权重系数；p₂是速度协调项在群体合作决策公式(13)中的权重系数；p₃是方向协调项在群体合作决策公式(13)中的权重系数；

第七步，更新第i个个体(i＝1，2，...，n)第j维(j＝1，2，...，m)的速度：

${\mathrm{\υ}}_i^j\left(k\right)={\mathrm{\υ}}_i^j(k-1)+u_i^j\left(k\right)---\left(14\right)$

其中：如果更新后的速度超过了则设定如果更新后的速度小于则设定 ${\mathrm{\υ}}_i^j\left(k\right)=-{\mathrm{\υ}}_{\max }^j;$

第八步，更新第i个个体(i＝1，2，...，n)第j维(j＝1，2，...，m)的位置：

$x_i^j\left(k\right)=x_i^j(k-1)+{\mathrm{\υ}}_i^j\left(k\right)---\left(15\right)$

其中：对更新后的位置进行边界判断，如果超过边界，则将边界值赋给

第九步，重新计算第i个个体的邻居集合i＝1，2，...，n；重新计算每个个体的适应度f_i(k)，重新计算和参见公式(16)和(17)，如果最好适应度表示最小值，将公式(16)和(17)中的最大值符号改为最小值符号；并记录群体中具有最好适应度的位置x_best(k)，参见公式(18)计算；

$x_{i_l}\left(k\right)=\arg \max \{f\left(x_{i_l}(k-1)\right),f_i\left(k\right)\}---\left(16\right)$

$x_{i_g}\left(k\right)=\arg \max \{f\left(x_{j_l}\left(k\right)\right),j\∈{\hat{N}}_i\}---\left(17\right)$

$x_{\mathrm{best}}\left(k\right)=\arg \max \{f\left(x_{i_g}\left(k\right)\right),i=\mathrm{1,2},...,n\}---\left(18\right)$

第十步，如果k≤iter，执行第二步，否则执行第十一步；

第十一步，报告群体中具有最好适应度的位置x_best(k)。