CN104008234A - 密集模态含阻尼结构模型修正方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种密集模态含阻尼结构模型修正方法，其主要特点是：设定有限元各矩阵的误差是各单元相应子矩阵的误差累积而成，并假设初始的各单元子矩阵与准确矩阵只相差修正因子；在修正算法中首先将动力学方程转换为状态方程，并求特征解；对不同阶的初始状态方程与假设的准确的状态方程的特征方程分别前乘计算与试验得到的不同阶复振型，再相减并整理，得到关于修正因子的线性方程组；用最小二乘法计算修正因子，进而得到修正后的有限元矩阵。该方法实施规范，便于计算机编程实施，由于不要求获知试验与计算模态的一一对应情况，因此适用于密集模态含阻尼结构的模型修正。修正后的模型不仅可用于模态计算，还可用于动力学响应计算分析。

Description

密集模态含阻尼结构模型修正方法

技术领域

本发明涉及一种密集模态含阻尼结构模型修正方法，特别适用于飞机、汽车等具有密集模态特点的含阻尼结构的模型修正。

背景技术

在实际工程中，许多机械结构都是具有密集模态的含阻尼结构，利用试验结果修正初始建立的有限元模型是这类结构动力学准确建模的必由之路。但截至目前模型修正都是利用正则模态测试结果修正无阻尼模型；而且一般要求模态分离清楚，即不能出现密集模态现象，以保证测试模态与有限元计算模态的阶次对应关系明确。2007年Sau-LonJamesHu基于经典无阻尼系统提出了CMCM法，首次避开了模型修正中模态配对难题，但不适用于工程中最广泛存在的阻尼系统，而且其基本方程假设也决定了无法考虑阻尼的影响。中国专利CN101794338A公开了一种基于结构模态试验的矩阵型动力学模型修正方法，该方法利用多次同时改变结构质量分布和刚度后产生的新结构的模态试验结果，运用矩阵计算和代数方程求解，计算出有限元模型的质量阵和刚度阵的修正量。虽然该方法提高了修正精度，但它既不能处理含阻尼结构的模型修正问题，也不能解决含密集模态结构的模型修正问题。上述方法修正得到的模型除精度问题外，由于不涉及阻尼矩阵的修正，因此只能用于进行结构模态计算，而不能有效用于动力学响应计算分析。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种密集模态含阻尼结构模型修正方法。该方法一方面能够修正含阻尼结构的动力学模型，通过该方法获得的模型能够有效地应用于动力学响应计算分析。另一方面在修正过程中不要求获知试验与计算模态的一一对应情况，因此特别适用于密集模态含阻尼结构的模型修正。而且本发明的计算方法实施规范，便于用计算机编程实施。

为实现上述目的，本发明采用了如下技术方案：

本发明密集模态含阻尼结构模型修正方法，其特征在于：对于初始建立的有限元模型，假设其刚度、质量、阻尼矩阵分别为K、M、C，各矩阵规模为m×m，而各矩阵分别为Ne个元素的单元矩阵叠加构成；

通过对含阻尼结构进行复模态测试，来得到结构的若干个特征解，具体可假设包括2N个复特征值(r＝1,2,…2N)及2N个复特征向量(r＝1,2,…2N)；

利用K、M、C构建A，B矩阵，建立状态方程，实现微分方程的降阶，基于复模态理论与矩阵计算，构建出以各元素刚度、质量、阻尼的比例修正系数为未知量的线性方程组，再通过最小二乘法来获得这些修正系数的近似解；

粘性阻尼系统的自由振动方程为

$M\stackrel{\·\·}{u}\left(t\right)+C\stackrel{\·}{u}\left(t\right)+\mathrm{Ku}\left(t\right)=0---\left(1\right)$

其特征值方程

(λ²Μ+λC+Κ)Φ＝0   (2)

引入由位移和速度所组成的2N维状态向量

$v\left(t\right)\stackrel{\mathrm{def}}{=}{\left[u\left(t\right)\stackrel{\·}{u}\left(t\right)\right]}^T---\left(3\right)$

改写为状态方程形式，此时，方程(1)可写作由状态向量描述的一阶线性微分方程组

$\left\{\begin{array}{c}A\stackrel{\·}{v}\left(t\right)+\mathrm{Bv}\left(t\right)=0\\ v\left(0\right)=v_0\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中

$A\stackrel{\mathrm{def}}{=}\left[\begin{array}{cc}C& M\\ M& 0\end{array}\right],B\stackrel{\mathrm{def}}{=}\left[\begin{array}{cc}-K& 0\\ 0& M\end{array}\right].v_0\stackrel{\mathrm{def}}{=}\left[\begin{array}{c}{u}_0\\ {\stackrel{\·}{u}}_0\end{array}\right]---\left(5\right)$

设系统在状态空间中的运动为

v(t)＝Ψe^λt   (6)

相应的特征值问题为

$(B-\mathrm{\λA})\mathrm{\Ψ}=(\left[\begin{array}{cc}-K& 0\\ 0& M\end{array}\right]-\mathrm{\λ}\left[\begin{array}{cc}C& M\\ M& 0\end{array}\right])\left[\begin{array}{c}\widetilde{\mathrm{\Ψ}}\\ \widehat{\mathrm{\Ψ}}\end{array}\right]=0---\left(7\right)$

或

BΨ＝λAΨ   (8)

将(8)展开与(2)比较，不难看出它们具有相同的特征值λ_r(r＝1,2,…2N)并且特征向量满足以下关系

${\mathrm{\Ψ}}_r\stackrel{\mathrm{def}}{=}\left[\begin{array}{c}{\widetilde{\mathrm{\Ψ}}}_r\\ {\widehat{\mathrm{\Ψ}}}_r\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_r\\ {\mathrm{\λ}}_r{\mathrm{\Φ}}_r\end{array}\right](r=\mathrm{1,2},\·\·\·2N)---\left(9\right)$

对于含有粘性阻尼结构的有限元模型(或“分析模型”)，设Ψ_i，λ_i分别为分析模型的第i阶复振型和第i阶复频率，根据(3.34)式有

BΨ_i＝λ_iAΨ_i   (10)

同样地假设对应结构的真实的质量，刚度和阻尼矩阵分别为K^*,M^*,C^*，并设分别为“真实模型”的第j阶复振型和第j阶复频率；它们自然也满足

$B^{*}{\mathrm{\Ψ}}_j^{*}={\mathrm{\λ}}_j^{*}{A}^{*}{\mathrm{\Ψ}}_j^{*}---\left(11\right)$

其中

$A^{*}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\left[\begin{array}{cc}{C}^{*}& M^{*}\\ M^{*}& 0\end{array}\right]---\left(12\right)$

$B^{*}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\left[\begin{array}{cc}{-K}^{*}& 0\\ 0& M^{*}\end{array}\right]---\left(13\right)$

假定真实模型与分析模型具有以下修正关系

$K^{*}=K+\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_n{K}_n,---\left(14\right)$

$M^{*}=M+\underset{n=1}{\overset{\mathrm{Ne}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_n{M}_n---\left(15\right)$

$C^{*}=C+\underset{n=1}{\overset{\mathrm{Ne}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\γ}}_n{C}_n---\left(16\right)$

其中，Κ_n，Μ_n，C_n是全局坐标下第n个单元的刚度矩阵，质量矩阵和阻尼矩阵，α_n,β_n,γ_n是相应的修正系数，N_e是分析模型中有限单元的个数；

方程(10)两边左乘方程(11)两边左乘(Ψ_i)^T得到

${\left({\mathrm{\Ψ}}_j^{*}\right)}^T{\mathrm{B\Ψ}}_i={\mathrm{\λ}}_i{\left({\mathrm{\Ψ}}_j^{*}\right)}^T{\mathrm{A\Ψ}}_i---\left(17\right)$

和

${\left({\mathrm{\Ψ}}_i\right)}^T{B}^{*}{\mathrm{\Ψ}}_j^{*}={\mathrm{\λ}}_j^{*}{\left({\mathrm{\Ψ}}_i\right)}^T{A}^{*}{\mathrm{\Ψ}}_j^{*}.---\left(18\right)$

已知A,B是对称矩阵，将(17)式两边转置得

${\left({\mathrm{\Ψ}}_i\right)}^T{\mathrm{B\Ψ}}_j^{*}={\mathrm{\λ}}_i{\left({\mathrm{\Ψ}}_i\right)}^T{\mathrm{A\Ψ}}_j^{*}---\left(19\right)$

(18)式减(19)式，并用(14)(15)(16)整理得

$\begin{array}{c}\left[{\mathrm{\Φ}}_i^T{\mathrm{\λ}}_i{\mathrm{\Φ}}_i^T\right]\left[\begin{array}{cc}-\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_n{K}_n& 0\\ 0& \underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_n{M}_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_j^{*}\\ {\mathrm{\λ}}_j^{*}{\mathrm{\Φ}}_j^{*}\end{array}\right]=\\ \left[{\mathrm{\Φ}}_i^T{\mathrm{\λ}}_i{\mathrm{\Φ}}_i^T\right]\left[\begin{array}{cc}({\mathrm{\λ}}_j^{*}-{\mathrm{\λ}}_i)C+{\mathrm{\λ}}_j^{*}\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\γ}}_n{C}_n& ({\mathrm{\λ}}_j^{*}-{\mathrm{\λ}}_i)M+{\mathrm{\λ}}_j^{*}\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_n{M}_n\\ ({\mathrm{\λ}}_j^{*}-{\mathrm{\λ}}_i)M+{\mathrm{\λ}}_j^{*}\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_n{M}_n& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_j^{*}\\ {\mathrm{\λ}}_j^{*}{\mathrm{\Φ}}_j^{*}\end{array}\right]\end{array}---\left(20\right)\begin{array}{}\end{array}$

展开上式并令：

$\left\{\begin{array}{c}{U}_{\mathrm{ij},n}={\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^T{K}_n{\mathrm{\Φ}}_j^{*}\\ V_{\mathrm{ij},n}={\left({\mathrm{\λ}}_j^{*}\right)}^2{\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^T{M}_n{\mathrm{\Φ}}_j^{*}\\ W_{\mathrm{ij},n}={\mathrm{\λ}}_j^{*}{\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^T{C}_n{\mathrm{\Φ}}_j^{*}\\ f_{\mathrm{ij}}={\left({\mathrm{\λ}}_i\right)}^2{\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^{T}M{\mathrm{\Φ}}_j^{*}-{\left({\mathrm{\λ}}_j^{*}\right)}^2{\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^{T}M{\mathrm{\Φ}}_j^{*}+\\ {\mathrm{\λ}}_i{\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^{T}C{\mathrm{\Φ}}_j^{*}-{\mathrm{\λ}}_j^{*}{\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^{T}C{\mathrm{\Φ}}_j^{*}\end{array}\right.---\left(21\right)$

得到

$\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_n{U}_{\mathrm{ij},n}+\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_n{V}_{\mathrm{ij},n}+\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\γ}}_n{W}_{\mathrm{ij},n}=f_{\mathrm{ij}}---\left(22\right)$

写成矩阵形式就得到

Uα+Vβ+Wγ＝f   (23)

其中U,V和W是N_m×N_e矩阵；α,β和γ是N_e维列向量，f是N_m维列向量；进一步地，(23)式可以写成

Gτ＝f   (24)

式中

G＝[U V W]   (25)

且

$\mathrm{\τ}=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\α}\\ \mathrm{\β}\\ \mathrm{\γ}\end{array}\right\}.---\left(26\right)$

(24)式为超定方程组，用最小二乘求解就得到修正参数的估计值，然后通过式(14)-(16)可以获得修正后准确的的刚度、质量、阻尼矩阵Κ^*，Μ^*，C^*。

附图说明

图1是本发明密集模态含阻尼结构模型修正方法的流程图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方案进行详细说明。

本发明密集模态含阻尼结构模型修正方法的特征在于：

对于初始建立的有限元模型，假设其刚度、质量、阻尼矩阵分别为K、M、C，各矩阵规模为m×m，而各矩阵分别为Ne个元素的单元矩阵叠加构成；

通过对含阻尼结构进行复模态测试，来得到结构的若干个特征解，具体可假设包括2N个复特征值(r＝1,2,…2N)及2N个复特征向量(r＝1,2,…2N)，该实测得到复模态不必连续按阶次排列，并允许一些阶次的复模态未被测量出来，更不要求知道测量复模态与计算模态的一一对应情况；

利用K、M、C构建A，B矩阵，建立状态方程，实现微分方程的降阶，基于复模态理论与矩阵计算，构建出以各元素刚度、质量、阻尼的比例修正系数为未知量的线性方程组，再通过最小二乘法来获得这些修正系数的近似解；

粘性阻尼系统的自由振动方程为

$M\stackrel{\·\·}{u}\left(t\right)+C\stackrel{\·}{u}\left(t\right)+\mathrm{Ku}\left(t\right)=0---\left(1\right)$

其特征值方程

(λ²Μ+λC+Κ)Φ＝0   (2)

引入由位移和速度所组成的2N维状态向量

$v\left(t\right)\stackrel{\mathrm{def}}{=}{\left[u\left(t\right)\stackrel{\·}{u}\left(t\right)\right]}^T---\left(3\right)$

改写为状态方程形式，此时，方程(1)可写作由状态向量描述的一阶线性微分方程组

$\left\{\begin{array}{c}A\stackrel{\·}{v}\left(t\right)+\mathrm{Bv}\left(t\right)=0\\ v\left(0\right)=v_0\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中

$A\stackrel{\mathrm{def}}{=}\left[\begin{array}{cc}C& M\\ M& 0\end{array}\right],B\stackrel{\mathrm{def}}{=}\left[\begin{array}{cc}-K& 0\\ 0& M\end{array}\right].v_0\stackrel{\mathrm{def}}{=}\left[\begin{array}{c}{u}_0\\ {\stackrel{\·}{u}}_0\end{array}\right]---\left(5\right)$

设系统在状态空间中的运动为

v(t)＝Ψe^λt   (6)

相应的特征值问题为

$(B-\mathrm{\λA})\mathrm{\Ψ}=(\left[\begin{array}{cc}-K& 0\\ 0& M\end{array}\right]-\mathrm{\λ}\left[\begin{array}{cc}C& M\\ M& 0\end{array}\right])\left[\begin{array}{c}\widetilde{\mathrm{\Ψ}}\\ \widehat{\mathrm{\Ψ}}\end{array}\right]=0---\left(7\right)$

或

BΨ＝λAΨ   (8)

将(8)展开与(2)比较，不难看出它们具有相同的特征值λ_r(r＝1,2,…2N)并且特征向量满足以下关系

${\mathrm{\Ψ}}_r\stackrel{\mathrm{def}}{=}\left[\begin{array}{c}{\widetilde{\mathrm{\Ψ}}}_r\\ {\widehat{\mathrm{\Ψ}}}_r\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_r\\ {\mathrm{\λ}}_r{\mathrm{\Φ}}_r\end{array}\right](r=\mathrm{1,2},\·\·\·2N)---\left(9\right)$

对于含有粘性阻尼结构的有限元模型(或“分析模型”)，设Ψ_i，λ_i分别为分析模型的第i阶复振型和第i阶复频率，根据(3.34)式有

BΨ_i＝λ_iAΨ_i   (10)

同样地假设对应结构的真实的质量，刚度和阻尼矩阵分别为K^*,M^*,C^*，并设分别为“真实模型”的第j阶复振型和第j阶复频率；它们自然也满足

$B^{*}{\mathrm{\Ψ}}_j^{*}={\mathrm{\λ}}_j^{*}{A}^{*}{\mathrm{\Ψ}}_j^{*}---\left(11\right)$

其中

$A^{*}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\left[\begin{array}{cc}{C}^{*}& M^{*}\\ M^{*}& 0\end{array}\right]---\left(12\right)$

$B^{*}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\left[\begin{array}{cc}{-K}^{*}& 0\\ 0& M^{*}\end{array}\right]---\left(13\right)$

假定真实模型与分析模型具有以下修正关系

$K^{*}=K+\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_n{K}_n,---\left(14\right)$

$M^{*}=M+\underset{n=1}{\overset{\mathrm{Ne}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_n{M}_n---\left(15\right)$

$C^{*}=C+\underset{n=1}{\overset{\mathrm{Ne}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\γ}}_n{C}_n---\left(16\right)$

其中，Κ_n，Μ_n，C_n是全局坐标下第n个单元的刚度矩阵，质量矩阵和阻尼矩阵，α_n,β_n,γ_n是相应的修正系数，N_e是分析模型中有限单元的个数；

方程(10)两边左乘方程(11)两边左乘(Ψ_i)^T得到

${\left({\mathrm{\Ψ}}_j^{*}\right)}^T{\mathrm{B\Ψ}}_i={\mathrm{\λ}}_i{\left({\mathrm{\Ψ}}_j^{*}\right)}^T{\mathrm{A\Ψ}}_i---\left(17\right)$

和

${\left({\mathrm{\Ψ}}_i\right)}^T{B}^{*}{\mathrm{\Ψ}}_j^{*}={\mathrm{\λ}}_j^{*}{\left({\mathrm{\Ψ}}_i\right)}^T{A}^{*}{\mathrm{\Ψ}}_j^{*}.---\left(18\right)$

已知A,B是对称矩阵，将(17)式两边转置得

${\left({\mathrm{\Ψ}}_i\right)}^T{\mathrm{B\Ψ}}_j^{*}={\mathrm{\λ}}_i{\left({\mathrm{\Ψ}}_i\right)}^T{\mathrm{A\Ψ}}_j^{*}---\left(19\right)$

(18)式减(19)式，并用(14)(15)(16)整理得

$\begin{array}{c}\left[{\mathrm{\Φ}}_i^T{\mathrm{\λ}}_i{\mathrm{\Φ}}_i^T\right]\left[\begin{array}{cc}-\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_n{K}_n& 0\\ 0& \underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_n{M}_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_j^{*}\\ {\mathrm{\λ}}_j^{*}{\mathrm{\Φ}}_j^{*}\end{array}\right]=\\ \left[{\mathrm{\Φ}}_i^T{\mathrm{\λ}}_i{\mathrm{\Φ}}_i^T\right]\left[\begin{array}{cc}({\mathrm{\λ}}_j^{*}-{\mathrm{\λ}}_i)C+{\mathrm{\λ}}_j^{*}\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\γ}}_n{C}_n& ({\mathrm{\λ}}_j^{*}-{\mathrm{\λ}}_i)M+{\mathrm{\λ}}_j^{*}\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_n{M}_n\\ ({\mathrm{\λ}}_j^{*}-{\mathrm{\λ}}_i)M+{\mathrm{\λ}}_j^{*}\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_n{M}_n& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_j^{*}\\ {\mathrm{\λ}}_j^{*}{\mathrm{\Φ}}_j^{*}\end{array}\right]\end{array}---\left(20\right)\begin{array}{}\end{array}$

展开上式并令：

$\left\{\begin{array}{c}{U}_{\mathrm{ij},n}={\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^T{K}_n{\mathrm{\Φ}}_j^{*}\\ V_{\mathrm{ij},n}={\left({\mathrm{\λ}}_j^{*}\right)}^2{\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^T{M}_n{\mathrm{\Φ}}_j^{*}\\ W_{\mathrm{ij},n}={\mathrm{\λ}}_j^{*}{\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^T{C}_n{\mathrm{\Φ}}_j^{*}\\ f_{\mathrm{ij}}={\left({\mathrm{\λ}}_i\right)}^2{\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^{T}M{\mathrm{\Φ}}_j^{*}-{\left({\mathrm{\λ}}_j^{*}\right)}^2{\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^{T}M{\mathrm{\Φ}}_j^{*}+\\ {\mathrm{\λ}}_i{\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^{T}C{\mathrm{\Φ}}_j^{*}-{\mathrm{\λ}}_j^{*}{\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^{T}C{\mathrm{\Φ}}_j^{*}\end{array}\right.---\left(21\right)$

得到

$\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_n{U}_{\mathrm{ij},n}+\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_n{V}_{\mathrm{ij},n}+\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\γ}}_n{W}_{\mathrm{ij},n}=f_{\mathrm{ij}}---\left(22\right)$

写成矩阵形式就得到

Uα+Vβ+Wγ＝f   (23)

其中U,V和W是N_m×N_e矩阵；α,β和γ是N_e维列向量，f是N_m维列向量；进一步地，(23)式可以写成

Gτ＝f   (24)

式中

G＝[U V W]   (25)

且

$\mathrm{\τ}=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\α}\\ \mathrm{\β}\\ \mathrm{\γ}\end{array}\right\}.---\left(26\right)$

(24)式为超定方程组，用最小二乘求解就得到修正参数的估计值，然后通过式(14)-(16)可以获得修正后准确的的刚度、质量、阻尼矩阵Κ^*，Μ^*，C^*。

本发明的优点是：实施规范，便于计算机编程实施，由于不要求获知试验与计算模态的一一对应情况，因此适用于密集模态含阻尼结构的模型修正。修正后的模型不仅可用于模态计算，还可用于动力学响应计算分析。

Claims (1)

1.一种密集模态含阻尼结构模型修正方法，其特征在于：

对于初始建立的有限元模型，假设其刚度、质量、阻尼矩阵分别为K、M、C，各矩阵规模为m×m，而各矩阵分别为Ne个元素的单元矩阵叠加构成；

通过对含阻尼结构进行复模态测试，来得到结构的若干个特征解，具体可假设包括2N个复特征值(r＝1,2,…2N)及2N个复特征向量(r＝1,2,…2N)；

利用K、M、C构建A，B矩阵，建立状态方程，实现微分方程的降阶，基于复模态理论与矩阵计算，构建出以各元素刚度、质量、阻尼的比例修正系数为未知量的线性方程组，再通过最小二乘法来获得这些修正系数的近似解；

粘性阻尼系统的自由振动方程为

$M\stackrel{\·\·}{u}\left(t\right)+C\stackrel{\·}{u}\left(t\right)+\mathrm{Ku}\left(t\right)=0---\left(1\right)$

其特征值方程

(λ²Μ+λC+Κ)Φ＝0   (2)

引入由位移和速度所组成的2N维状态向量

$v\left(t\right)\stackrel{\mathrm{def}}{=}{\left[u\left(t\right)\stackrel{\·}{u}\left(t\right)\right]}^T---\left(3\right)$

改写为状态方程形式，此时，方程(1)可写作由状态向量描述的一阶线性微分方程组

$\left\{\begin{array}{c}A\stackrel{\·}{v}\left(t\right)+\mathrm{Bv}\left(t\right)=0\\ v\left(0\right)=v_0\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中

$A\stackrel{\mathrm{def}}{=}\left[\begin{array}{cc}C& M\\ M& 0\end{array}\right],B\stackrel{\mathrm{def}}{=}\left[\begin{array}{cc}-K& 0\\ 0& M\end{array}\right].v_0\stackrel{\mathrm{def}}{=}\left[\begin{array}{c}{u}_0\\ {\stackrel{\·}{u}}_0\end{array}\right]---\left(5\right)$

设系统在状态空间中的运动为

v(t)＝Ψe^λt   (6)

相应的特征值问题为

$(B-\mathrm{\λA})\mathrm{\Ψ}=(\left[\begin{array}{cc}-K& 0\\ 0& M\end{array}\right]-\mathrm{\λ}\left[\begin{array}{cc}C& M\\ M& 0\end{array}\right])\left[\begin{array}{c}\widetilde{\mathrm{\Ψ}}\\ \widehat{\mathrm{\Ψ}}\end{array}\right]=0---\left(7\right)$

或

BΨ＝λAΨ   (8)

将(8)展开与(2)比较，不难看出它们具有相同的特征值λ_r(r＝1,2,…2N)并且特征向量满足以下关系

${\mathrm{\Ψ}}_r\stackrel{\mathrm{def}}{=}\left[\begin{array}{c}{\widetilde{\mathrm{\Ψ}}}_r\\ {\widehat{\mathrm{\Ψ}}}_r\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_r\\ {\mathrm{\λ}}_r{\mathrm{\Φ}}_r\end{array}\right](r=\mathrm{1,2},\·\·\·2N)---\left(9\right)$

对于含有粘性阻尼结构的有限元模型(或“分析模型”)，设Ψ_i，λ_i分别为分析模型的第i阶复振型和第i阶复频率，根据(3.34)式有

BΨ_i＝λ_iAΨ_i   (10)

同样地假设对应结构的真实的质量，刚度和阻尼矩阵分别为K^*,M^*,C^*，并设分别为“真实模型”的第j阶复振型和第j阶复频率；它们自然也满足

$B^{*}{\mathrm{\Ψ}}_j^{*}={\mathrm{\λ}}_j^{*}{A}^{*}{\mathrm{\Ψ}}_j^{*}---\left(11\right)$

其中

$A^{*}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\left[\begin{array}{cc}{C}^{*}& M^{*}\\ M^{*}& 0\end{array}\right]---\left(12\right)$

$B^{*}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\left[\begin{array}{cc}{-K}^{*}& 0\\ 0& M^{*}\end{array}\right]---\left(13\right)$

假定真实模型与分析模型具有以下修正关系

$K^{*}=K+\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_n{K}_n,---\left(14\right)$

$M^{*}=M+\underset{n=1}{\overset{\mathrm{Ne}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_n{M}_n---\left(15\right)$

$C^{*}=C+\underset{n=1}{\overset{\mathrm{Ne}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\γ}}_n{C}_n---\left(16\right)$

其中，Κ_n，Μ_n，C_n是全局坐标下第n个单元的刚度矩阵，质量矩阵和阻尼矩阵，α_n,β_n,γ_n是相应的修正系数，N_e是分析模型中有限单元的个数；

方程(10)两边左乘方程(11)两边左乘(Ψ_i)^T得到

${\left({\mathrm{\Ψ}}_j^{*}\right)}^T{\mathrm{B\Ψ}}_i={\mathrm{\λ}}_i{\left({\mathrm{\Ψ}}_j^{*}\right)}^T{\mathrm{A\Ψ}}_i---\left(17\right)$

和

${\left({\mathrm{\Ψ}}_i\right)}^T{B}^{*}{\mathrm{\Ψ}}_j^{*}={\mathrm{\λ}}_j^{*}{\left({\mathrm{\Ψ}}_i\right)}^T{A}^{*}{\mathrm{\Ψ}}_j^{*}.---\left(18\right)$

已知A,B是对称矩阵，将(17)式两边转置得

${\left({\mathrm{\Ψ}}_i\right)}^T{\mathrm{B\Ψ}}_j^{*}={\mathrm{\λ}}_i{\left({\mathrm{\Ψ}}_i\right)}^T{\mathrm{A\Ψ}}_j^{*}---\left(19\right)$

(18)式减(19)式，并用(14)(15)(16)整理得

$\begin{array}{c}\left[{\mathrm{\Φ}}_i^T{\mathrm{\λ}}_i{\mathrm{\Φ}}_i^T\right]\left[\begin{array}{cc}-\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_n{K}_n& 0\\ 0& \underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_n{M}_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_j^{*}\\ {\mathrm{\λ}}_j^{*}{\mathrm{\Φ}}_j^{*}\end{array}\right]=\\ \left[{\mathrm{\Φ}}_i^T{\mathrm{\λ}}_i{\mathrm{\Φ}}_i^T\right]\left[\begin{array}{cc}({\mathrm{\λ}}_j^{*}-{\mathrm{\λ}}_i)C+{\mathrm{\λ}}_j^{*}\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\γ}}_n{C}_n& ({\mathrm{\λ}}_j^{*}-{\mathrm{\λ}}_i)M+{\mathrm{\λ}}_j^{*}\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_n{M}_n\\ ({\mathrm{\λ}}_j^{*}-{\mathrm{\λ}}_i)M+{\mathrm{\λ}}_j^{*}\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_n{M}_n& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_j^{*}\\ {\mathrm{\λ}}_j^{*}{\mathrm{\Φ}}_j^{*}\end{array}\right]\end{array}---\left(20\right)\begin{array}{}\end{array}$

展开上式并令：

$\left\{\begin{array}{c}{U}_{\mathrm{ij},n}={\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^T{K}_n{\mathrm{\Φ}}_j^{*}\\ V_{\mathrm{ij},n}={\left({\mathrm{\λ}}_j^{*}\right)}^2{\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^T{M}_n{\mathrm{\Φ}}_j^{*}\\ W_{\mathrm{ij},n}={\mathrm{\λ}}_j^{*}{\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^T{C}_n{\mathrm{\Φ}}_j^{*}\\ f_{\mathrm{ij}}={\left({\mathrm{\λ}}_i\right)}^2{\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^{T}M{\mathrm{\Φ}}_j^{*}-{\left({\mathrm{\λ}}_j^{*}\right)}^2{\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^{T}M{\mathrm{\Φ}}_j^{*}+\\ {\mathrm{\λ}}_i{\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^{T}C{\mathrm{\Φ}}_j^{*}-{\mathrm{\λ}}_j^{*}{\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^{T}C{\mathrm{\Φ}}_j^{*}\end{array}\right.---\left(21\right)$

得到

$\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_n{U}_{\mathrm{ij},n}+\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_n{V}_{\mathrm{ij},n}+\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\γ}}_n{W}_{\mathrm{ij},n}=f_{\mathrm{ij}}---\left(22\right)$

写成矩阵形式就得到

Uα+Vβ+Wγ＝f   (23)

其中U,V和W是N_m×N_e矩阵；α,β和γ是N_e维列向量，f是N_m维列向量；进一步地，(23)式可以写成

Gτ＝f   (24)

式中

G＝[U V W]   (25)

且

$\mathrm{\τ}=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\α}\\ \mathrm{\β}\\ \mathrm{\γ}\end{array}\right\}.---\left(26\right)$

(24)式为超定方程组，用最小二乘求解就得到修正参数的估计值，然后通过式(14)-(16)可以获得修正后准确的的刚度、质量、阻尼矩阵Κ^*，Μ^*，C^*。