CN104006781A - 曲面法矢测量精度的计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种曲面法矢测量精度的计算方法，其包括步骤：S1，计算菱形布局距离传感器在截面YOZ中的误差：用截面YOZ截取待测曲面获得待测曲线，建立二维法矢测量误差模型，并将二维法矢测量误差δ_X分为由曲线曲率变化带来的误差δ_XP和由距离传感器测距带来的误差δ_XI；计算δ_XI的范围为假定距离传感器测距没有误差，获得tanδ_XP的范围为根据得出的δ_XI及δ_XP的范围，得到YOZ截面内测得的曲线法矢绕X转轴的最大误差δ_X＝|δ_XI|_max+|δ_XP|_max；S2，计算菱形布局距离传感器在截面XOZ中的误差：在XOZ截面中采用与步骤S1相同的计算过程，得到XOZ截面内测得的曲线法矢绕Y转轴的最大误差δ_Y＝|δ_YI|_max+|δ_YP|_max；S3，计算三维法矢测量的精度：三维法矢测量的精度为Δ，则三维法矢测量的精度Δ计算式为(tanΔ)²＝(tanδ_X)²+(tanδ_Y)²。

Description

曲面法矢测量精度的计算方法

技术领域

本发明涉及自动化装备及制造领域，尤其涉及一种曲面法矢测量精度的计算方法。

背景技术

在现代的自动化装备及制造中需要用到曲面法矢测量装置，其中常用的一种是利用四个距离传感器的曲面法矢测量装置。参照图1，该曲面法矢测量装置利用四个组成菱形的距离传感器3测量工件曲面4上待测点O’的法矢。该曲面法矢测量装置包括：法兰基准面1，安装于移动驱动装置(未示出)(例如经由连接孔11)；四个支架2，安装在法兰基准面1上；四个距离传感器3，分别安装于四个支架2，使各距离传感器3的轴线垂直于法兰基准面1且顶表面设置有测头点31，用于检测工件曲面4的距离。其中，各距离传感器3的测头点31到法兰基准面1的垂直投影点的连线构成菱形ABCD的四个顶点，四个距离传感器3的测头点31到工件曲面的垂直投影点分别对应为A’、B’、C’、D’，且使菱形ABCD的中心点O为工件曲面上待测点O’在法兰基准面1上的投影；以菱形ABCD的中心点O为原点、菱形ABCD的对角线AC为X轴及X转轴、菱形ABCD的对角线BD为Y轴及Y转轴、菱形ABCD的中心点O与待测点O’之间的连线为Z轴建立测量坐标系；通过距离传感器3测得菱形ABCD的四个顶点到工件曲面4的垂直距离分别为AA’＝h_A、B B’＝h_B、CC’＝h_C、D D’＝h_D，且AO＝CO＝R_Y、BO＝DO＝R_X；工件曲面4上待测点O’的法矢在测量坐标系中绕X转轴和Y转轴的偏角计算公式为：

${\mathrm{\α}}_X=\arctan \left(\frac{h_D-h_B}{{2R}_X}\right)$

${\mathrm{\α}}_Y=\arctan \left(\frac{h_C-h_A}{{2R}_Y}\right)$

精度是各类传感器最重要的指标。这种利用四个距离传感器3测量工件的曲面法矢测量装置，其工作对象是复杂曲面，而工作原理是将待测点O’附近区域看做小平面进行测量，因此会带来待测点O’的法矢测量误差；同时距离传感器3本身的测距误差，也会给待测点O’的法矢测量带来误差。

发明内容

鉴于背景技术中存在的问题，本发明的目的在于提供一种曲面法矢测量精度的计算方法，其能够量化地求出曲面法矢测量装置的精度。

为了实现上述目的，本发明提供了一种曲面法矢测量精度的计算方法，其包括步骤：S1，计算菱形布局距离传感器在截面YOZ中的误差；S2，计算菱形布局距离传感器在截面XOZ中的误差；以及S3，计算三维法矢测量的精度。

计算菱形布局距离传感器在截面YOZ中的误差的步骤S1包括子步骤：

S11，用截面YOZ截取待测曲面获得待测曲线，建立二维法矢测量误差模型，并将二维法矢测量误差δ_X分为由曲线曲率变化带来的误差δ_XP和由距离传感器测距带来的误差δ_XI：假定通过测量和调整使距离传感器A点和C点到工件曲面的垂直距离h_A和h_C读数相等，由于测距传感器误差，h_A不严格等于h_C，因此带来误差δ_XI；由于曲率变化，O’法矢并不垂直于A’C’，因此带来误差δ_XP；

S12，计算δ_XI：假定测距传感器到中心的距离为R_Y，其测量最大误差为±δ_h，则δ_XI的范围为

S13，假定距离传感器测距没有误差，计算δ_XP：

建立二维数学模型，假定待测曲线函数式为y＝f(x)，误差tanδ_XP＝|f'(0)|；

针对由曲线曲率变化带来的误差δ_XI的部分，假定传感器测距无误差，即有f(-R)＝f(R)；通过微分中值定理可得f'(0)＝ζf″(η)，其中ζ∈(-R,R)使f'(ζ)＝0，η∈(0,ζ)；

曲率范围为|K|_min≤|K|≤|K|_max，为了保证测量高精度，设计距离传感器布局时保证R≤0.1×|r|_min＝(10×|K|_max)^-1，通过计算可求得|f″(η)|≤1.02|K|_max及从而获得tanδ_XP的范围为 $\left|\tan {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{XP}}\right|\≤1.02R{\left|K\right|}_{\max }\frac{\sqrt{1.02{\left|K\right|}_{\max }}-\sqrt{{\left|K\right|}_{\min }}}{\sqrt{1.02{\left|K\right|}_{\max }}+\sqrt{{\left|K\right|}_{\min }}};$

S14，计算曲线法矢测量在截面YOZ中的最大误差：

根据得出的δ_XI及δ_XP的范围，得到YOZ截面内测得的曲线法矢绕X转轴的最大误差δ_X＝|δ_XI|_max+|δ_XP|_max。

计算菱形布局距离传感器在截面XOZ中的误差的步骤S2为：在XOZ截面中采用与步骤S1的子步骤S11-S14相同的计算过程，得到XOZ截面内测得的曲线法矢绕Y转轴的最大误差δ_Y＝|δ_YI|_max+|δ_YP|_max；

计算三维法矢测量的精度的步骤S3为：三维法矢测量的精度为Δ，则三维法矢测量的精度Δ计算式为(tanΔ)²＝(tanδ_X)²+(tanδ_Y)²。

本发明的有益效果如下：

本发明的曲面法矢测量精度的计算方法能够通过数学模型建立量化地求出上述曲面法矢测量装置的精度，而且所得精度数学表达式明确，可以帮助量化分析法矢测量精度的影响因素并对法矢测量装置的参数设计进行指导。

附图说明

图1为曲面法矢测量装置的立体图；

图2为曲面法矢测量装置测量工件曲面上待测点的法矢的示意图；

图3为根据本发明的曲面法矢测量精度的计算方法在YOZ平面中的二维法矢测量精度的示意图；

图4为根据本发明的曲面法矢测量精度的计算方法在YOZ平面中的二维法矢测量精度中针对δ_XP计算的示意图；

图5为根据本发明的曲面法矢测量精度的计算方法在YOZ平面中的二维法矢测量精度中针对δ_XP计算时求|f'(x)|_max的示意图；

图6为根据本发明的曲面法矢测量精度的计算方法在YOZ平面中的二维法矢测量精度中针对δ_XP计算时y＝f'(x)的函数曲线范围图；

图7为根据本发明的曲面法矢测量精度的计算方法在YOZ平面中的利用二维法矢测量精度计算三维法矢测量精度的示意图。

其中，附图标记说明如下：

1法兰基准面   3距离传感器

11连接孔    31测头点

2支架         4工件曲面

具体实施方式

下面参照附图来详细说明根据本发明的曲面法矢测量精度的计算方法。

参照图2至图7，根据本发明的曲面法矢测量精度的计算方法包括步骤：S1，计算菱形布局距离传感器在截面YOZ中的误差；S2，计算菱形布局距离传感器在截面XOZ中的误差；以及S3，计算三维法矢测量的精度。

计算菱形布局距离传感器在截面YOZ中的误差的步骤S1包括子步骤：

S11，用截面YOZ截取待测曲面获得待测曲线，建立二维法矢测量误差模型，并将二维法矢测量误差δ_X分为由曲线曲率变化带来的误差δ_XP和由距离传感器测距带来的误差δ_XI：假定通过测量和调整使距离传感器A点和C点到工件曲面的垂直距离h_A和h_C读数相等，由于测距传感器误差，h_A不严格等于h_C，因此带来误差δ_XI；由于曲率变化，O’法矢并不垂直于A’C’，因此带来误差δ_XP；

S12，计算δ_XI：假定测距传感器到中心的距离为R_Y，其测量最大误差为±δ_h，则δ_XI的范围为

S13，假定距离传感器测距没有误差，计算δ_XP：

建立二维数学模型，假定待测曲线函数式为y＝f(x)，误差tanδ_XP＝|f'(0)|；

针对由曲线曲率变化带来的误差δ_XI的部分，假定传感器测距无误差，即有f(-R)＝f(R)；通过微分中值定理可得f'(0)＝ζf″(η)，其中ζ∈(-R,R)使f'(ζ)＝0，η∈(0,ζ)；

曲率范围为|K|_min≤|K|≤|K|_max，为了保证测量高精度，设计距离传感器布局时保证R≤0.1×|r|_min＝(10×|K|_max)^-1，通过计算可求得|f″(η)|≤1.02|K|_max及从而获得tanδ_XP的范围为 $\left|\tan {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{XP}}\right|\≤1.02R{\left|K\right|}_{\max }\frac{\sqrt{1.02{\left|K\right|}_{\max }}-\sqrt{{\left|K\right|}_{\min }}}{\sqrt{1.02{\left|K\right|}_{\max }}+\sqrt{{\left|K\right|}_{\min }}};$

S14，计算曲线法矢测量在截面YOZ中的最大误差：

根据得出的δ_XI及δ_XP的范围，得到YOZ截面内测得的曲线法矢绕X转轴的最大误差δ_X＝|δ_XI|_max+|δ_XP|_max。

计算菱形布局距离传感器在截面XOZ中的误差的步骤S2为：在XOZ截面中采用与步骤S1的子步骤S11-S14相同的计算过程，得到XOZ截面内测得的曲线法矢绕Y转轴的最大误差δ_Y＝|δ_YI|_max+|δ_YP|_max；

计算三维法矢测量的精度的步骤S3为：三维法矢测量的精度为Δ，则三维法矢测量的精度Δ计算式为(tanΔ)²＝(tanδ_X)²+(tanδ_Y)²。

以下将详细说明上述曲面法矢测量精度的计算方法的过程。

参照图2，本发明所述的曲面法矢测量精度的计算方法针对一种曲面法矢测量装置，该曲面法矢测量装置利用四个组成菱形的距离传感器3测量工件曲面4上待测点O’的法矢。该曲面法矢测量装置测量工件曲面上待测点O’的法矢在测量坐标系中绕X转轴和Y转轴的偏角计算公式为：

${\mathrm{\α}}_X=\arctan \left(\frac{h_D-h_B}{{2R}_X}\right)$ ……(式1)

${\mathrm{\α}}_Y=\arctan \left(\frac{h_C-h_A}{{2R}_Y}\right)$ ……(式2)

用上述曲面法矢测量装置测量工件曲面4的法矢，其算法原理是将工件曲面4在待测点O’附近看做小平面，且距离传感器3本身具有误差，由此带来法矢测量的误差。因此，本发明的曲面法矢测量精度的计算方法针对以上问题，通过数学模型建立，量化地计算出法矢检测精度，可以计算出曲面法矢测量装置的精度指标，并能对精度影响因素的分析进行指导。

根据本发明的曲面法矢测量精度的计算原理为：用截面YOZ、XOZ截取待测曲面获得待测曲线，建立二维法矢测量误差模型，并将二维法矢测量误差δ_X、δ_Y分为由曲线曲率变化带来的误差δ_XP、δ_YP和由距离传感器测距带来的误差δ_XI、δ_YI；各截面中的计算δ_XI、δ_YI；假定距离传感器测距没有误差，计算各截面中的δ_XP、δ_YP；基于两个截面的计算结果来计算三维法矢测量的精度。

以下将主要以截面YOZ为例进行详细说明。

参照图3，用截面YOZ截取待测曲面获得待测曲线；假定通过测量和调整使A点和C点距离传感器读数相等，此时认为测得法矢为Z轴方向，而实际法矢为O’J方向，即法矢测量的误差。由于测距传感器误差，h_A不严格等于h_C，因此带来误差δ_XI；由于曲率变化，O’法矢并不垂直于A’C’，因此带来误差δ_XP。其中，测距传感器到中心的距离为R_Y，其测量最大误差为±δ_h；因此计算可得δ_XI的范围为：

$\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{XI}}\right|\≤\arctan \left(\frac{{\mathrm{\δ}}_h}{R_Y}\right)$ ……(式3)

参照图4，建立二维数学模型，假定待测曲线函数式为y＝f(x)，所以误差tanδ_XP＝|f'(0)|。针对由曲线曲率变化带来的误差δ_XI的部分，假定传感器测距无误差，即有f(-R)＝f(R)；通过微分中值定理可得，存在ζ∈(-R,R)使

$f^{\′}\left(\mathrm{\ζ}\right)=\frac{f\left(R\right)-f(-R)}{R-(-R)}0$ ……(式4)

且存在η∈(0,ζ)使

$f^{\′\′}\left(\mathrm{\η}\right)=\frac{f^{\′}\left(\mathrm{\ζ}\right)-f^{\′}\left(0\right)}{\mathrm{\ζ}-0}$ ……(式5)

由式(3)及式(5)可得：

tanδ_XP＝f'(0)＝ζf″(η)……(式6)

工件曲面的曲率K范围为|K|_min≤|K|≤|K|_max，为了保证测量精度(±0.5°内)，设计距离传感器布局时保证R≤0.1×|r|_min＝(10×|K|_max)^-1，其中r为曲率半径。

参照图5，当曲线为曲率恒为|K|_max且R＝(10×|K|_max)^-1时|f'(x)|能取到最大值，所以有：

${\left|f^{\′}\right(x\left)\right|}_{\max }=\tan \mathrm{\β}=\tan \mathrm{\α}=\frac{0.1r}{\sqrt{r^2-{0.01r}^2}}$ ……(式7)

根据曲率公式及曲率的范围并结合式(7)以及曲率和曲率半径之间的关系(即K×r＝1)，可得：

|f″(x)|≤1.02|K|_max……(式8)

参照图6，由于式(8)所得的结论，所以曲线y＝f'(x)在两条过点(ζ,0)、斜率为±1.02|K|_max的直线之间，所以有：

$\frac{{\left|K\right|}_{\min }}{2}{(R+\mathrm{\ζ})}^2\≤\left|{\∫}_{-R}^{\mathrm{\ζ}}{f}^{\′}\left(x\right)\mathrm{dx}\right|\≤\frac{1.02{\left|K\right|}_{\max }}{2}{(R+\mathrm{\ζ})}^2$ ……(式9)

$\frac{{\left|K\right|}_{\min }}{2}{(R-\mathrm{\ζ})}^2\≤\left|{\∫}_{\mathrm{\ζ}}^{\mathrm{R\ζ}}{f}^{\′}\left(x\right)\mathrm{dx}\right|\≤\frac{1.02{\left|K\right|}_{\max }}{2}{(R-\mathrm{\ζ})}^2$ ……(式10)

又因为 ${\∫}_{-R}^{\mathrm{\ζ}}{f}^{\′}\left(x\right)\mathrm{dx}+{\∫}_{\mathrm{\ζ}}^R{f}^{\′}\left(x\right)\mathrm{dx}={\∫}_{-R}^R{f}^{\′}\left(x\right)\mathrm{dx}=f\left(R\right)-f(-R)=0,$ 所以可得：

$\left|{\∫}_{-R}^{\mathrm{\ζ}}{f}^{\′}\left(x\right)\mathrm{dx}\right|=\left|{\∫}_{\mathrm{\ζ}}^R{f}^{\′}\left(x\right)\mathrm{dx}\right|$ |……(式11)

设 $\left|{\∫}_{-R}^{\mathrm{\ζ}}{f}^{\′}\left(x\right)\mathrm{dx}\right|=\frac{K_1}{2}{(R+\mathrm{\ζ})}^2$ 及 $\left|{\∫}_{\mathrm{\ζ}}^R{f}^{\′}\left(x\right)\mathrm{dx}\right|=\frac{K_2}{2}{(R-\mathrm{\ζ})}^2,$ 并代入式(11)可得：

$\mathrm{\ζ}=R(1-\frac{2}{\sqrt{\frac{k_2}{K_1}}+1})$ ……(式12)

又根据式(9)及式(10)可以求得

0＜|K|_min≤K₁≤1.02|K|_max……(式13)

0＜|K|_min≤K₂≤1.02|K|_max……(式14)

联合式(12)、式(13)及式(14)可得：

$\left|\mathrm{\ζ}\right|\≤\frac{\sqrt{1.02{\left|K\right|}_{\max }}-\sqrt{{\left|K\right|}_{\min }}}{\sqrt{1.02{\left|K\right|}_{\max }}+\sqrt{{\left|K\right|}_{\min }}}R$ ……(式15)

综上，即可求得tanδ_XP的范围为：

$\left|\tan {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{XP}}\right|\≤1.02R{\left|K\right|}_{\max }\frac{\sqrt{1.02{\left|K\right|}_{\max }}-\sqrt{{\left|K\right|}_{\min }}}{\sqrt{1.02{\left|K\right|}_{\max }}+\sqrt{{\left|K\right|}_{\min }}};$ ……(式16)

根据式(3)及式(16)中分别求出的δ_XI及δ_XP的范围，可得该YOZ截面内测得的曲线法矢绕X转轴的最大误差δ_X＝|δ_XI|_max+|δ_XP|_max。

对于截面XOZ中的误差计算，截取XOZ截面采用与在XOZ截面内的上述计算过程相同，从而同样可得到XOZ截面内测得的曲线法矢绕Y转轴的最大误差δ_Y＝|δ_YI|_max+|δ_YP|_max。

在YOZ截面、XOZ截面的计算完成之后，参照图7，利用勾股定理，根据各三角表达式及|FO|²+|GO|²＝|HO|²可得：

(tanΔ)²＝(tanδ_X)²+(tanδ_Y)²……(式17)

即可计算出三维法矢测量的精度Δ。

本发明的曲面法矢测量精度的计算方法能够通过数学模型建立量化地求出上述曲面法矢测量装置的精度，而且所得精度数学表达式明确，可以帮助分析法矢测量精度的影响因素并对法矢测量装置的参数设计进行指导。

Claims (1)

1.一种曲面法矢测量精度的计算方法，其特征在于，包括步骤：

S1，计算菱形布局距离传感器在截面YOZ中的误差，包括子步骤：

S11，用截面YOZ截取待测曲面获得待测曲线，建立二维法矢测量误差模型，并将二维法矢测量误差δ_X分为由曲线曲率变化带来的误差δ_XP和由距离传感器测距带来的误差δ_XI：假定通过测量和调整使距离传感器A点和C点到工件曲面的垂直距离h_A和h_C读数相等，由于测距传感器误差，h_A不严格等于h_C，因此带来误差δ_XI；由于曲率变化，O’法矢并不垂直于A’C’，因此带来误差δ_XP；

S12，计算δ_XI：假定测距传感器到中心的距离为R_Y，其测量最大误差为±δ_h，则δ_XI的范围为

S13，假定距离传感器测距没有误差，计算δ_XP：

建立二维数学模型，假定待测曲线函数式为y＝f(x)，误差tanδ_XP＝|f'(0)|；

针对由曲线曲率变化带来的误差δ_XI的部分，假定传感器测距无误差，即有f(-R)＝f(R)；通过微分中值定理可得f'(0)＝ζf″(η)，其中ζ∈(-R,R)使f'(ζ)＝0，η∈(0,ζ)；

曲率范围为|K|_min≤|K|≤|K|_max，为了保证测量高精度，设计距离传感器布局时保证R≤0.1×|r|_min＝(10×|K|_max)^-1，通过计算可求得|f″(η)|≤1.02|K|_max及从而获得tanδ_XP的范围为 $\left|\tan {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{XP}}\right|\≤1.02R{\left|K\right|}_{\max }\frac{\sqrt{1.02{\left|K\right|}_{\max }}-\sqrt{{\left|K\right|}_{\min }}}{\sqrt{1.02{\left|K\right|}_{\max }}+\sqrt{{\left|K\right|}_{\min }}};$

S14，计算曲线法矢测量在截面YOZ中的最大误差：

根据得出的δ_XI及δ_XP的范围，得到YOZ截面内测得的曲线法矢绕X转轴的最大误差δ_X＝|δ_XI|_max+|δ_XP|_max；

S2，计算菱形布局距离传感器在截面XOZ中的误差

在XOZ截面中采用与步骤S1的子步骤S11-S14相同的计算过程，得到XOZ截面内测得的曲线法矢绕Y转轴的最大误差δ_Y＝|δ_YI|_max+|δ_YP|_max；

S3，计算三维法矢测量的精度

三维法矢测量的精度为Δ，则三维法矢测量的精度Δ计算式为(tanΔ)²＝(tanδ_X)²+(tanδ_Y)²。