CN103997314A - 一种改进的二级frm滤波器设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种改进的二级FRM滤波器设计方法，包括以下步骤：构建改进的二级FRM滤波器；分Case A和Case B两种情况分别计算原型滤波器的通阻带边缘参数、第二级遮蔽滤波器通阻带边缘参数和第一级遮蔽滤波器通阻带边缘参数；根据得到的各参数计算FRM滤波器的复杂度，找到搜索范围内复杂度最低的一组或几组[M，P，Q]；对改进的FRM滤波器进行优化。本发明有益效果：与传统的二级FRM滤波器设计方法相比，采用改进的方法设计可以降低窄带FIR滤波器的复杂度，从而在硬件实现中降低功耗。

Description

一种改进的二级FRM滤波器设计方法

技术领域

本发明涉及一种改进的二级FRM滤波器设计方法。

背景技术

频率遮蔽技术(FRM)是设计具有窄过渡带特性FIR滤波器的一种高效方法。当滤波器的过渡带比较窄的时候，可以用多级FRM进一步减少其复杂度。

滤波器由一个原型滤波器H_a(z)和两个遮蔽滤波器H_ma(z)，H_mc(z)构成。滤波器的过渡带由内插滤波器H_a(z^M)或者它的补提供，其中M为H_a(z)的内插因子。使用两个遮蔽滤波器H_ma(z)和H_mc(z)的目的是为了去除多余的周期子带。

二级FRM滤波器被广泛应用于现实中，二级FRM滤波器的结构如图2所示，过渡带形成滤波器由G(z)表示。内插因子M，P，Q之间的约束条件为：

M＝kP＝kQ        (3)

目前对于二级FRM滤波器的各种改进都是基于等式(3)的假设，满足等式(3)所导致的直接问题是第二级的输出必须是周期的幅度响应。但是只要第二级的输出提供了目标滤波器所需的过渡带，其输出不一定必须具有周期性。因此，如果能在更广的范围内搜索到三个因子的值，可以进一步降低FRM滤波器的复杂度。

发明内容

本发明的目的就是为了解决上述问题，提出了一种改进的二级FRM滤波器设计方法。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种改进的二级FRM滤波器设计方法，包括以下步骤：

(1)构建改进的二级FRM滤波器，所述滤波器的传输函数H(z)为：

$H\left(z\right)=G\left(z\right)H_{\mathrm{ma}}^{\left(1\right)}\left(z\right)+(1-G\left(z\right))H_{\mathrm{mc}}^{\left(1\right)}\left(z\right);$

其中， $G\left(z\right)=H_a^{\left(2\right)}\left(z^M\right)H_{\mathrm{ma}}^{\left(2\right)}\left(z^P\right)+(1+H_a^{\left(2\right)}\left(z^M\right))H_{\mathrm{mc}}^{\left(2\right)}\left(z^Q\right),$ 内插因子M，P，Q之间没有任何约束；

为原型滤波器，和分别为第一级遮蔽滤波器，和分别为第二级遮蔽滤波器；

(2)在搜索范围内对[M，P，Q]进行搜索，针对某一组[M，P，Q]，根据整个滤波器的过渡带来自或者的补，分Case A和Case B两种情况分别计算原型滤波器的通阻带边缘参数、第二级遮蔽滤波器通阻带边缘参数和第一级遮蔽滤波器通阻带边缘参数；

根据得到的各参数计算FRM滤波器的复杂度，找到搜索范围内复杂度最低的一组或几组[M，P，Q]；

(3)根据计算所得的滤波器参数，对改进的FRM滤波器进行优化。

所述步骤(2)中计算原型滤波器的通带边缘θ_a和阻带边缘的方法为：

当整个滤波器的过渡带为即Case A情况下：

θ_a＝ω_pM-2mπ

当整个滤波器的过渡带为的补，即Case B情况下：

θ_a＝2mπ-ω_sM

其中，表示不超过x的最大整数，表示不小于x的最小整数，分别判断两种情况下的结果是否满足如不满足，则舍弃。

所述步骤(2)中从0到π的各个通带依次由表示，从0到π的各个通带依次由表示；

假设标号为2m的通带提供了过渡带，把提取这个过渡带的遮蔽滤波器的通带定义为有效通带；为了降低第一级两个遮蔽滤波器的复杂度，设置如下限制条件：

通带2m要至少被完整的提取出来；通带2(m+1)要完全在有效通带范围之外。

当整个滤波器的过渡带由提供，即Case A情况下，计算第二级遮蔽滤波器的通带边缘和阻带边缘的方法为：

(1)当遮蔽由提供时，记为Case_p＝A情况：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{pma}}^{\left(2\right)}=\max (2\mathrm{\πp}-{\mathrm{\ω}}_{1}P,{\mathrm{\ω}}_{2}P-2\mathrm{\πp})\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}}^{\left(2\right)}={\mathrm{\ω}}_{3}P-2\mathrm{\πp}\end{array}\right.$

(2)当遮蔽由的补提供时，记为Case_p＝B情况：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{pma}}^{\left(2\right)}=2\mathrm{\πp}-{\mathrm{\ω}}_{3}P\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}}^{\left(2\right)}=\min ({\mathrm{\ω}}_{1}P-2\mathrm{\π}(p-1),2\mathrm{\πp}-{\mathrm{\ω}}_{2}P)\end{array}\right.$

其中，ω₁为原型滤波器通带2m的左边缘，ω₂为原型滤波器通带2m的右边缘，ω₃为原型滤波器通带2(m+1)的左边缘；P为内插因子，是给定值；

p为整数，且如果不存在满足条件的p，则舍弃此组参数。

当整个滤波器的过渡带由提供，即Case A情况下，计算第二级遮蔽滤波器的通带边缘和阻带边缘的方法为：

(1)当遮蔽由提供时，记为Case_q＝A情况：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{pmc}}^{\left(2\right)}=\max (2\mathrm{\πq}-{\mathrm{\ω}}_{4}Q,{\mathrm{\ω}}_{5}Q-2\mathrm{\πq})\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{smc}}^{\left(2\right)}=\min ({\mathrm{\ω}}_{6}Q-2\mathrm{\πq},2\mathrm{\π}(q+1)-{\mathrm{\ω}}_{7}Q)\end{array}\right.$

(2)当遮蔽由的补提供时，记为Case_q＝B情况：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{pmc}}^{\left(2\right)}=\max (2\mathrm{\πq}-{\mathrm{\ω}}_{6}Q,{\mathrm{\ω}}_{7}Q-2\mathrm{\πq})\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{smc}}^{\left(2\right)}=\min ({\mathrm{\ω}}_{4}Q-2\mathrm{\π}(q-1),2\mathrm{\πq}-{\mathrm{\ω}}_{5}Q)\end{array}\right.$

其中，ω₄为原型滤波器的互补滤波器通带2m-1的左通带边缘，ω₅为原型滤波器的互补滤波器通带2m-1的右阻带边缘，ω₆为原型滤波器的互补滤波器通带2m+1的左通带边缘，ω₇为原型滤波器的互补滤波器通带2m+1的右阻带边缘；

g为一整数，并且如果不存在满足条件的g，则舍弃此组参数。

当整个滤波器的过渡带由的补提供，即Case B情况下，计算第二级遮蔽滤波器的通带边缘和阻带边缘的方法为：

(1)当遮蔽由提供时，记为Case_p＝A情况：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{pma}}^{\left(2\right)}=\max (2\mathrm{\πp}-{\mathrm{P\ω}}_4,{\mathrm{\ω}}_{5}P-2\mathrm{\πp})\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}}^{\left(2\right)}=\min ({\mathrm{\ω}}_{6}P-2\mathrm{\πp},2\mathrm{\π}(p+1)-{\mathrm{\ω}}_{7}P)\end{array}\right.$

(2)当遮蔽由的补提供时，记为Case_p＝B情况：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{pma}}^{\left(2\right)}=\max (2\mathrm{\πp}-{\mathrm{\ω}}_{6}P,{\mathrm{\ω}}_{7}P-2\mathrm{\πp})\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}}^{\left(2\right)}=\min ({\mathrm{\ω}}_{4}P-2\mathrm{\π}(p-1),2\mathrm{\πp}-{\mathrm{\ω}}_{5}P)\end{array}\right.$

其中，ω₄为原型滤波器通带2(m-1)的左通带边缘，ω₅为原型滤波器通带2(m-1)的右阻带边缘，ω₆为原型滤波器通带2m的左通带边缘，ω₇为原型滤波器通带2m的右阻带边缘；

p为整数，且如果不存在满足条件的p，则舍弃此组参数。

当整个滤波器的过渡带由的补提供，即Case B情况下，计算第二级遮蔽滤波器的通带边缘和阻带边缘的方法为：

(1)当遮蔽由提供时，记为Case_q＝A情况：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{pmc}}^{\left(2\right)}=\max (2\mathrm{\πq}-{\mathrm{\ω}}_{1}Q,{\mathrm{\ω}}_{2}Q-2\mathrm{\πq})\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{smc}}^{\left(2\right)}={\mathrm{\ω}}_{3}Q-2\mathrm{\πq}\end{array}\right.$

(2)当遮蔽由的补提供时，记为Case_q＝B情况：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{pmc}}^{\left(2\right)}=2\mathrm{\πq}-{\mathrm{\ω}}_{3}Q\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{smc}}^{\left(2\right)}=\min ({\mathrm{\ω}}_{1}Q-2\mathrm{\π}(q-1),2\mathrm{\πq}-{\mathrm{\ω}}_{2}Q)\end{array}\right.$

其中，ω₁为原型滤波器的互补滤波器通带2m-1的左阻带边缘，ω₂为原型滤波器的互补滤波器通带2m-1的右通带边缘，ω₃为原型滤波器的互补滤波器通带2m+1的左阻带边缘；

g为一整数，并且如果不存在满足条件的g，则舍弃此组参数。

当整个滤波器的过渡带由提供，即Case A情况下：

第一级遮蔽滤波器的通带边缘等于ω_p；

第一级遮蔽滤波器的阻带边缘的计算方法为：

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}}^{\left(1\right)}=\min ({\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}\_\mathrm{temp}1}^{\left(1\right)},{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}\_\mathrm{temp}2}^{\left(1\right)})$

其中，

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}\_\mathrm{temp}1}^{\left(1\right)}=\left\{\begin{array}{cc}{t}_1& t_1\∉R_{\mathrm{stop}}\left(k\right)\\ {\mathrm{\ω}}_8& t_1\∈R_{\mathrm{stop}}\left(k_1\right)\end{array}\right.$

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}\_\mathrm{temp}2}^{\left(1\right)}=\left\{\begin{array}{cc}{t}_2& t_2\∉R_{\mathrm{pass}}\left(k\right)\\ {\mathrm{\ω}}_9& t_2\∈R_{\mathrm{pass}}\left(k_2\right)\end{array}\right.$

ω₉＝(2πk₂+θ_a)/M；

(1)当使用遮蔽上支路多余的频带时

$t_1=(2\mathrm{\π}(p+1)-{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}}^{\left(2\right)})/P;$

(2)当使用的补遮蔽上支路多余的频带时

$t_1=(2\mathrm{\πp}+{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{pma}}^{\left(2\right)})/P;$

(3)当使用H_mc ⁽²⁾(Z^Q)遮蔽下支路多余的频带时

$t_2=(2\mathrm{\π}(q+1)-{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{smc}}^{\left(2\right)})/Q;$

(4)当使用H_mc ⁽²⁾(Z^Q)的下支路补遮蔽多余的频带时

$t_2=(2\mathrm{\πq}+{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{pmc}}^{\left(2\right)})/Q;$

其中，P，Q，M为内插因子，ω₈是R_stop(k₁)的右端点，k₁是满足t₁∈R_stop(k₁)的整数，ω₉是R_pass(k₂)的右端点，k₂是满足t₂∈R_stop(k₂)的整数，θ_a为的通带边缘，为的阻带边缘。

当整个滤波器的过渡带由的补提供，即Case B情况下：

第一级遮蔽滤波器的通带边缘等于ω_p；

第一级遮蔽滤波器的阻带边缘的计算方法为：

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}}^{\left(1\right)}=\min ({\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}\_\mathrm{temp}1}^{\left(1\right)},{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}\_\mathrm{temp}2}^{\left(1\right)})$

其中，

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}\_\mathrm{temp}1}^{\left(1\right)}=\left\{\begin{array}{cc}{t}_1& t_1\∉R_{\mathrm{stop}}\left(k\right)\\ {\mathrm{\ω}}_8& t_1\∈R_{\mathrm{stop}}\left(k_1\right)\end{array}\right.$

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}\_\mathrm{temp}2}^{\left(1\right)}=\left\{\begin{array}{cc}{t}_2& t_2\∉R_{\mathrm{pass}}\left(k\right)\\ {\mathrm{\ω}}_9& t_2\∈R_{\mathrm{pass}}\left(k_2\right)\end{array}\right.$

ω₈＝(2πk₁+θ_a)/M；

(1)当使用遮蔽多余的频带时

$t_1=(2\mathrm{\π}(q+1)-{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{smc}}^{\left(2\right)})/Q$

(2)当使用的补遮蔽多余的频带时

$t_1=(2\mathrm{\πq}+{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{pmc}}^{\left(2\right)})/Q$

(3)当使用遮蔽多余的频带时

$t_2=(2\mathrm{\π}(p+1)-{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}}^{\left(2\right)})/P$

(4)当使用的补遮蔽多余的频带时

$t_2=(2\mathrm{\πp}+{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{pma}}^{\left(2\right)})/P$

其中，ω₈是R_stop(k₁)的右端点，k₁是满足t₁∈R_stop(k₁)的整数，ω₉是R_pass(k₂)的右端点，k₂是满足t₂∈R_stop(k₂)的整数，P、Q、M为内插因子，θ_a为的通带边缘，为的阻带边缘。

(1)当整个滤波器的由提供，即Case A情况下：

第一级遮蔽滤波器的阻带边缘等于ω_s，

第一级遮蔽滤波器的通带边缘的确定方法为：

如果t₃≥t₄，则：

如果t₃＜t₄，则：

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{pmc}}^{\left(1\right)}=\left\{\begin{array}{cc}{t}_4& t_4\∉R_{\mathrm{pass}}\left(k\right)\\ \max (\frac{{2\mathrm{\πk}}_4-{\mathrm{\θ}}_a}{M},t_3)& t_4\∈R_{\mathrm{pass}}\left(k_4\right)\end{array}\right.$

(a)当使用遮蔽多余的频带时

$t_3=(2\mathrm{\πp}-{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{pma}}^{\left(2\right)})/P;$

(b)当使用的补遮蔽多余的频带时

$t_3=(2\mathrm{\π}(p-1)+{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}}^{\left(2\right)})/P;$

(c)当使用遮蔽多余的频带时

$t_4=(2\mathrm{\πq}-{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{pmc}}^{\left(2\right)})/Q;$

(d)当使用的补遮蔽多余的频带时

$t_4=(2\mathrm{\π}(q-1)+{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{smc}}^{\left(2\right)})/Q;$

(2)当整个滤波器的过渡带由的补提供，即Case B情况下：

第一级遮蔽滤波器的阻带边缘等于ω_s，

第一级遮蔽滤波器的通带边缘的确定方法为：

如果t₃≥t₄，则：

如果t₃＜t₄，则：

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{pmc}}^{\left(1\right)}=\left\{\begin{array}{cc}{t}_4& t_4\∉R_{\mathrm{pass}}\left(k\right)\\ \max (\frac{{2\mathrm{\πk}}_4-{\mathrm{\θ}}_a}{M},t_3)& t_4\∈R_{\mathrm{pass}}\left(k_4\right)\end{array}\right.$

(a)当使用遮蔽多余的频带时

$t_3=(2\mathrm{\π}(q-1)+{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}}^{\left(2\right)})/Q;$

(b)当使用的补遮蔽多余的频带时

$t_3=(2\mathrm{\π}(q-1)+{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}}^{\left(2\right)})/Q;$

(c)当使用遮蔽多余的频带时

$t_4=(2\mathrm{\π}(p-1)+{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}}^{\left(2\right)})/P;$

(d)当使用的补遮蔽多余的频带时

$t_4=(2\mathrm{\π}(p-1)+{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}}^{\left(2\right)})/P;$

其中，t₃和t₄分别为包含过渡带的那个通带和过渡带左边的第一个通带的左通带边缘，k₃是满足t₃∈R_stop(k₃)的整数，k₄是满足t₄∈R_pass(k₄)的整数，P、Q、M为内插因子，θ_a为的通带边缘，为的阻带边缘。

本发明的有益效果是：

本发明通过构建一改进的二级FRM滤波器结构，打破了传统结构中，内插因子必须满足M＝kP＝kQ约束条件的限制，并且采用非线性联合优化方法同时优化各个子滤波器。结果表明，与传统的二级FRM滤波器设计方法相比，采用改进的方法设计可以降低窄带FIR滤波器的复杂度，从而在硬件实现中降低功耗。

附图说明

图1为本发明改进的二级FRM滤波器结构示意图；

图2为本发明G(z)可能存在的一种幅度响应；

图3为本发明G(z)上分支的幅度响应；

图4为本发明G(z)下分支的幅度响应；

图5为本发明Case＝A时阻带边缘的计算示意图；

图6为本发明Case＝A时通带边缘的计算示意图。

具体实施方式：

下面结合附图与实施例对本发明做进一步说明：

改进的二级FRM滤波器结构如图1所示，其中M，P，Q为自由内插因子。滤波器的传输函数H(z)由下列式子表示：

$H\left(z\right)=G\left(z\right)H_{\mathrm{ma}}^{\left(1\right)}\left(z\right)+(1-G\left(z\right))H_{\mathrm{mc}}^{\left(1\right)}\left(z\right)---\left(4\right)$

$G\left(z\right)=H_a^{\left(2\right)}\left(z^M\right)H_{\mathrm{ma}}^{\left(2\right)}\left(z^P\right)+(1-H_a^{\left(2\right)}\left(z^M\right))H_{\mathrm{mc}}^{\left(2\right)}\left(z^Q\right)---\left(5\right)$

G(z)的Z变换传输函数由公式(5)表示，其可能存在的幅度响应如图2所示，其中ω_p和ω_s分别表示所设计滤波器的通带边缘和阻带边缘。应该注意的G(z)的幅度响应可能不是周期的，因为内插因子M，P，Q之间没有任何约束。滤波器的通阻带边缘和的通阻带边缘和如图2所示。我们用d₁表示和的距离，d₂表示和的距离。

假如滤波器的通带波纹和阻带波纹分别用δ_p和δ_s来表示。因为不能使用传统的计算方法确定各个子滤波器的通阻带边缘，所以需要采用新的方法来获得。

整个滤波器的过渡带可以由或者它的补形成，所以存在两种情况：Case A和CaseB。在Case A中，滤波器的过渡带由提供；在Case B中，滤波器的过度带由的补提供。此外，遮蔽可以由和或者他们的补完成。为了区别以上情况，我们定义如下两个参数：

当使用时，Case_p＝A，当使用时，Case_q＝A；

当使用的补时，Case_p＝B，当使用的补时，Case_q＝B；

根据通阻带边缘的位置，改进的结构包含多种情况。既然Case A和Case B是相似的，那么我们先把注意力集中于Case A的设计。通过全局搜索可以找到使滤波器复杂度最低的内插因子集[M，P，Q]，复杂度由乘法器的数目决定。对于给定的M，P和Q，我们将说明如何确定这些子滤波器的参数。

I.原型滤波器通阻带边缘的计算

根据传统方法确定原型滤波器的通阻带边缘。的通带边缘θ_a和阻带边缘很容易获得：

对于Case A，

θ_a＝ω_pM-2mπ，           (6b)

对于Case B，

θ_a＝2mπ-ω_sM，            (7b)

其中表示不超过x的最大整数。表示不小于x的最小整数。两种情况都必须满足并且只有一种情况符合要求。

II.第二级遮蔽滤波器通阻带的计算

我们用和分别表示和的通带和阻带边缘。此外，从0到π的各个通带依次由表示。从0到π的各个通带依次由表示。

1)Case A

G(z)的上分支幅值响应如图3所示。假设标号为2m的通带提供了过渡带，把提取这个过渡带的遮蔽滤波器的通带定义为“有效通带”。依照图3，为了避免d₁太小，我们设置一个限制条件：通带2m至少应该被完整的提取出来。为了避免d₂太小，我们也设置一个限制条件：通带2(m+1)应该完全在有效通带范围之外。这两个约束条件也可以描述如下：

1)有效通带的左通带边缘χ₁不能大于通带2m的左边缘ω₁。

2)有效通带的右通带边缘x₂不能小于通带2m的右边缘ω₂。

3)有效通带的右阻带边缘x₃不能大于通带2(m+1)的左边缘ω₃。

相关的不等式和变量值如表I所示，其中对于已知的内插因子集[M，P，Q]，如果存在p使得和满足(10a)至(10c)的这三个不等式，我们将继续计算其他滤波器参数，否则放弃这个内插因子集。求解不等式以后，可以得到和的上下界。我们分别取的最大值和的最小值，此时滤波器的过渡带最宽，和的值为：

对于Case_p＝A，

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{pma}}^{\left(2\right)}=\max (2\mathrm{\πp}-{\mathrm{\ω}}_{1}P,{\mathrm{\ω}}_{2}P-2\mathrm{\πp}),\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}}^{\left(2\right)}={\mathrm{\ω}}_{3}P-2\mathrm{\πp}.\end{array}\right.---\left(8\right)$

对于Case_p＝B，

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{pma}}^{\left(2\right)}=2\mathrm{\πp}-{\mathrm{\ω}}_{3}P,\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}}^{\left(2\right)}=\min ({\mathrm{\ω}}_{1}P-2\mathrm{\π}(p-1),2\mathrm{\πp}-{\mathrm{\ω}}_{2}P).\end{array}\right.---\left(9\right)$

表I在Case A时计算通阻带的变量值和不等式

可以用相似方法确定的通阻带边缘。G(z)的下分支幅值响应如图4所示。为了避免d₁太小，通带2(m-1)完全保留。为了避免d₂太小，通带(2m+1)完全去除。相应的不等式和变量值如表II所示，其中如果存在参数q使得和满足(14a)至(14d)这四个不等式，我们继续计算其他滤波器的参数，否则我们放弃这个内插因子集。为了使的过渡带最宽，我们分别取的最大值和的最小值。

对于Case_q＝A，

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{pmc}}^{\left(2\right)}=\max (2\mathrm{\πq}-{\mathrm{\ω}}_{4}Q,{\mathrm{\ω}}_{5}Q-2\mathrm{\πq}),\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{smc}}^{\left(2\right)}=\min ({\mathrm{\ω}}_{6}Q-2\mathrm{\πq},2\mathrm{\π}(q+1)-{\mathrm{\ω}}_{7}Q).\end{array}\right.---\left(12\right)$

对于Case_q＝B，

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{pmc}}^{\left(2\right)}=\max (2\mathrm{\πq}-{\mathrm{\ω}}_{6}Q,{\mathrm{\ω}}_{7}Q-2\mathrm{\πq})\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{smc}}^{\left(2\right)}=\min ({\mathrm{\ω}}_{4}Q-2\mathrm{\π}(q-1),2\mathrm{\πq}-{\mathrm{\ω}}_{5}Q)\end{array}\right.---\left(13\right)$

表II在Case A时计算通阻带的变量值和不等式

2)Case B

对于Case B，G(z)的过渡带由的补形成。通阻带边缘的确定与Case A中求解的通阻带边缘相似。相应的不等式和参数如表III所示。通阻带边缘如下所示：

对于Case_p＝A，

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{pma}}^{\left(2\right)}=\max (2\mathrm{\πp}-{\mathrm{P\ω}}_4,{\mathrm{\ω}}_{5}P-2\mathrm{\πp}),\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}}^{\left(2\right)}=\min ({\mathrm{\ω}}_{6}P-2\mathrm{\πp},2\mathrm{\π}(p+1)-{\mathrm{\ω}}_{7}P).\end{array}\right.---\left(17\right)$

对于Case_p＝B，

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{pma}}^{\left(2\right)}=\max (2\mathrm{\πp}-{\mathrm{\ω}}_{6}P,{\mathrm{\ω}}_{7}P-2\mathrm{\πp}),\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}}^{\left(2\right)}=\min ({\mathrm{\ω}}_{4}P-2\mathrm{\π}(p-1),2\mathrm{\πp}-{\mathrm{\ω}}_{5}P).\end{array}\right.---\left(18\right)$

表III在CaseB时计算通阻带的变量值和不等式

通阻带边缘的确定和CaseA中计算通阻带边缘的方法相似。相应的不等式和变量值如表IV所示，的通阻带边缘如下所示，

对于Case_q＝A，

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{pmc}}^{\left(2\right)}=\max (2\mathrm{\πq}-{\mathrm{\ω}}_{1}Q,{\mathrm{\ω}}_{2}Q-2\mathrm{\πq}),\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{smc}}^{\left(2\right)}={\mathrm{\ω}}_{3}Q-2\mathrm{\πq}.\end{array}\right.---\left(22\right)$

对于Case_q＝B，

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{pmc}}^{\left(2\right)}=2\mathrm{\πq}-{\mathrm{\ω}}_{3}Q,\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{smc}}^{\left(2\right)}=\min ({\mathrm{\ω}}_{1}Q-2\mathrm{\π}(q-1),2\mathrm{\πq}-{\mathrm{\ω}}_{2}Q).\end{array}\right.---\left(23\right)$

表IV在C_ASEB时计算通阻带的变量值和不等式

III.第一阶遮蔽滤波器通阻带边缘的计算

1).CaseA

对于遮蔽滤波器由于H(z)的过度带由提供，所以通带边缘等于ω_p。阻带边缘的确定如图5所示。

阻带边缘是d₂的右端点，因此，我们关注于过渡带右边第一个遮蔽滤波器通带。这两个通带的左阻带截止点分别记为t₁和t₂，需要找到t₁在中的位置和t₂在的位置。的通带和阻带区域可以由下式得出，

根据t₁的位置，我们得到的一个临时值，记作

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}\_\mathrm{temp}1}^{\left(1\right)}=\left\{\begin{array}{cc}{t}_1& t_1\∉R_{\mathrm{stop}}\left(k\right)\\ {\mathrm{\ω}}_8& t_1\∈R_{\mathrm{stop}}\left(k_1\right)\end{array}\right.---\left(29\right)$

其中ω₈是R_stop(k₁)的右端点，k₁是满足t₁∈R_stop(k₁)的整数。

根据t₂的位置，我们得到的另一个临时值，记作

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}\_\mathrm{temp}2}^{\left(1\right)}=\left\{\begin{array}{cc}{t}_2& t_2\∉R_{\mathrm{pass}}\left(k\right)\\ {\mathrm{\ω}}_9& t_2\∈R_{\mathrm{pass}}\left(k_2\right)\end{array}\right.---\left(30\right)$

其中ω₉是R_pass(k₂)的右端点，k₂是满足t₂∈R_stop(k₂)的整数。

的值由下式得到：

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}}^{\left(1\right)}=\min ({\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}\_\mathrm{temp}1}^{\left(1\right)},{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sma}\_\mathrm{temp}2}^{\left(1\right)})---\left(31\right)$

其中参数t₁，t₂，ω₈和ω₉值如表V所示。

表V CaseA中计算的变量值

对于遮蔽滤波器阻带边缘等于ω_s，我们只需要确定通带边缘的计算如图6所示。因为是d₁的左端点，所以对于我们只关注包含过渡带的那个通带，对于我们关注过渡带左边的第一个通带。这两个通带的左通带边缘分别定义为t₃和t₄。

如果t₃≥t₄，则：

如果t₃<t₄，则：

${\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pmc}}^{\left(1\right)}=\left\{\begin{array}{cc}{t}_4& t_4\&NotElement;R_{\mathrm{pass}}\left(k\right)\\ \max (\frac{2\mathrm{\&pi;}{k}_4-{\mathrm{\&theta;}}_a}{M},t_3)& t_4\&Element;R_{\mathrm{pass}}\left(k_4\right)\end{array}\right.---\left(39\right)$

其中参数t₃和t₄值如表VI所示。

表V Case A中计算的变量值

2)Case B

Case B中和的计算方法和Case A相似，相应的参数如表VII和表VIII所示。需要注意的是所有子滤波器的通阻带边缘必须在0至π这个范围内，否则我们认为这一内插因子集[M，P，Q]的后续设计是没有意义的。

表VII Case B中计算的变量值

表VIII C_ASE B中计算的变量值

优化方法

Step1

在所有有效的内插因子集中挑选一些乘法器数目比较低的作为优化对象(一般不超过最少乘法器数目的105％)。乘法器数目的计算可以由下式计算，

其中，和分别是和估计的滤波器阶数，其中使用matlab中的firpmord函数即可估计出阶数。

Step2

根据Parks-McClellan算法设计各个子滤波器。根据经验，优化之后的阶数N_a等于估计的阶数遮蔽滤波器的阶数N_ma2，N_mc2，N_ma和N_mc为相应估计阶数的60％。当子滤波器的阶数不为整数时，对其四舍五入。需要注意的是，原型滤波器的阶数和第二级遮蔽滤波器的阶数必须为偶数，第一级两个遮蔽滤波器的阶数同时为奇数或者偶数。

Step3

采用非线性优化算法同时优化各个子滤波器，我们定义向量为各个子滤波器的参数组合，如下所示，

为了优化各个滤波器参数，下面的目标函数应该最小化。

其中为系统函数H(z)的零相位频率响应，D(ω)为理想的零相位频率函数，W(ω)为加权向量。对于通带ω∈[0，ω_p]，W(ω)和D(ω)等于1，对于阻带ω∈[ω_s，π]，W(ω)等于δ_p/δ_s，D(ω)等于0。

这属于极小化极大化问题，MathWorks公司提供的优化工具箱中的fminimax函数可以解决这一问题。为了使优化更加有效，我们采用非均匀的频率点，越靠近通带边缘和阻带边缘的区域，频率点越密集。建议在最靠近通带边缘10％区域的频率点占总点数的25％，阻带边缘采用相同的方法。使用fminimax函数优化时，只有当E不大于δ_p时才能满足滤波器的参数要求。

为了找到最优解，对于每个内插因子集，各个子滤波器的阶数需要在估计的阶数附近变动，然后再进行优化。根据经验，的阶数不再变动，只需改变各个遮蔽滤波器的阶数。对于N_ma2，N_mc2，N_ma和N_mc，变化的范围为4，N_ma2和N_mc2的变化量为2，N_ma和N_mc的变化量为1。优化之后，可能存在多个满足滤波器指标的解，我们选取乘法器数目最少的为最优解。如果有多个最优解，我们选择时延最小的那一个。

实施例1

一个过渡带非常窄的滤波器，具体指标为：ω_p＝0.6π，ω_s＝0.602π，δ_p＝0.01，δ_s＝0.01。通过本设计方法，最终的结果为N_a＝28，N_ma2＝20，N_mc2＝16，N_ma＝17，N_mc＝29。三个内插因子M，P，Q分别为69，9，9，属于Case B类型，Case_p＝B并且Case_q＝B。乘法器数目为59，群时延为1070.5。通阻带波纹分别为0.01和0.00999。本发明方法与其他现有方法的结果比较如表IX所示。

表IX例1中采用各种方法设计滤波器的结果与比较

从表IX中可以看出，与传统的二级FRM，SFFM，连续遮蔽FRM方法相比，本发明所提出的方法复杂度更低。与传统的二级FRM相比，降低了35.8％，与SFFM-FRM相比，降低了31.4％，与连续遮蔽滤波器相比，降低了28.9％。与Non-periodical FRM相比，虽然乘法器数目增加了7.3％，但是群时延降低了11.8％。该结果的时延除了Serial-masking FRM外，与其他方法相比是最小的。虽然比Serial-masking FRM的时延增加了5.1％，但是乘法器数目降低了28.9％。

通过新的设计方法打破了传统FRM滤波器内插因子间的约束条件，并且采用非线性联合优化方法同时优化各个子滤波器。结果表明，与传统的二级FRM滤波器设计方法相比，采用改进的方法设计滤波器复杂度更低。

上述虽然结合附图对本发明的具体实施方式进行了描述，但并非对本发明保护范围的限制，所属领域技术人员应该明白，在本发明的技术方案的基础上，本领域技术人员不需要付出创造性劳动即可做出的各种修改或变形仍在本发明的保护范围以内。

Claims (10)

1.一种改进的二级FRM滤波器设计方法，其特征是，包括以下步骤：

(1)构建改进的二级FRM滤波器，所述滤波器的传输函数H(z)为：

$H\left(z\right)=G\left(z\right)H_{\mathrm{ma}}^{\left(1\right)}\left(z\right)+(1-G\left(z\right))H_{\mathrm{mc}}^{\left(1\right)}\left(z\right);$

其中， $G\left(z\right)=H_a^{\left(2\right)}{\left(z^M\right)H}_{\mathrm{ma}}^{\left(2\right)}\left(z^P\right)+(1-H_a^{\left(2\right)}\left(z^M\right))H_{\mathrm{mc}}^{\left(2\right)}\left(z^Q\right),$ 内插因子M，P，Q之间没有任何约束；

为原型滤波器，和分别为第一级遮蔽滤波器，和分别为第二级遮蔽滤波器；

(2)在搜索范围内对[M，P，Q]进行搜索，针对某一组[M，P，Q]，根据整个滤波器的过渡带来自或者的补，分Case A和Case B两种情况分别计算原型滤波器的通阻带边缘参数、第二级遮蔽滤波器通阻带边缘参数和第一级遮蔽滤波器通阻带边缘参数；

根据得到的各参数计算FRM滤波器的复杂度，找到搜索范围内复杂度最低的一组或几组[M，P，Q]；

(3)根据计算所得的滤波器参数，对改进的FRM滤波器进行优化。

2.如权利要求1所述的一种改进的二级FRM滤波器设计方法，其特征是，所述步骤(2)中计算原型滤波器的通带边缘θ_a和阻带边缘的方法为：

当整个滤波器的过渡带为即Case A情况下：

θ_a＝ω_pM-2mπ

当整个滤波器的过渡带为的补，即Case B情况下：

θ_a＝2mπ-ω_sM

其中，表示不超过x的最大整数，表示不小于x的最小整数，分别判断两种情况下的结果是否满足如不满足，则舍弃。

3.如权利要求1所述的一种改进的二级FRM滤波器设计方法，其特征是，所述步骤(2)由从0到π的各个通带依次由表示，从0到π的各个通带依次由表示；

假设标号为2m的通带提供了过渡带，把提取这个过渡带的遮蔽滤波器的通带定义为有效通带；为了降低第一级两个遮蔽滤波器的复杂度，设置如下限制条件：

通带2m要至少被完整的提取出来；通带2(m+1)要完全在有效通带范围之外。

4.如权利要求1所述的一种改进的二级FRM滤波器设计方法，其特征是，当整个滤波器的过渡带由提供，即Case A情况下，计算第二级遮蔽滤波器的通带边缘和阻带边缘的方法为：

(1)当遮蔽由提供时，记为Case_p＝A情况：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pma}}^{\left(2\right)}=\max (2\mathrm{\&pi;p}-{\mathrm{\&omega;}}_{1}P,{\mathrm{\&omega;}}_{2}P-2\mathrm{\&pi;p})\\ {\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sma}}^{\left(2\right)}={\mathrm{\&omega;}}_{3}P-2\mathrm{\&pi;p}\end{array}\right.$

(2)当遮蔽由的补提供时，记为Case_p＝B情况：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pma}}^{\left(2\right)}=2\mathrm{\&pi;p}-{\mathrm{\&omega;}}_{3}P\\ {\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sma}}^{\left(2\right)}=\min ({\mathrm{\&omega;}}_{1}P-2\mathrm{\&pi;}(p-1),2\mathrm{\&pi;p}-{\mathrm{\&omega;}}_{2}P)\end{array}\right.$

其中，ω₁为原型滤波器通带2m的左边缘，ω₂为原型滤波器通带2m的右边缘，ω₃为原型滤波器通带2(m+1)的左边缘；P为内插因子，是给定值；

p为整数，且如果不存在满足条件的p，则舍弃此组参数。

5.如权利要求1所述的一种改进的二级FRM滤波器设计方法，其特征是，当整个滤波器的过渡带由提供，即Case A情况下，计算第二级遮蔽滤波器的通带边缘和阻带边缘的方法为：

(1)当遮蔽由提供时，记为Case_q＝A情况：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pmc}}^{\left(2\right)}=\max (2\mathrm{\&pi;q}-{\mathrm{\&omega;}}_{4}Q,{\mathrm{\&omega;}}_{5}Q-2\mathrm{\&pi;q})\\ {\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{smc}}^{\left(2\right)}=\min ({\mathrm{\&omega;}}_{6}Q-2\mathrm{\&pi;q},2\mathrm{\&pi;}(q+1)-{\mathrm{\&omega;}}_{7}Q)\end{array}\right.$

(2)当遮蔽由的补提供时，记为Case_q＝B情况：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pmc}}^{\left(2\right)}=\max (2\mathrm{\&pi;q}-{\mathrm{\&omega;}}_{6}Q,{\mathrm{\&omega;}}_{7}Q-2\mathrm{\&pi;q})\\ {\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{smc}}^{\left(2\right)}=\min ({\mathrm{\&omega;}}_{4}Q-2\mathrm{\&pi;}(q-1),2\mathrm{\&pi;q}-{\mathrm{\&omega;}}_{5}Q)\end{array}\right.$

其中，ω₄为原型滤波器的互补滤波器通带2m-1的左通带边缘，ω₅为原型滤波器的互补滤波器通带2m-1的右阻带边缘，ω₆为原型滤波器的互补滤波器通带2m+1的左通带边缘，ω₇为原型滤波器的互补滤波器通带2m+1的右阻带边缘；

q为一整数，并且如果不存在满足条件的q，则舍弃此组参数。

6.如权利要求1所述的一种改进的二级FRM滤波器设计方法，其特征是，当整个滤波器的过渡带由的补提供，即Case B情况下，计算第二级遮蔽滤波器的通带边缘和阻带边缘的方法为：

(1)当遮蔽由提供时，记为Case_p＝A情况：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pma}}^{\left(2\right)}=\max (2\mathrm{\&pi;p}-P{\mathrm{\&omega;}}_4,{\mathrm{\&omega;}}_{5}P-2\mathrm{\&pi;p})\\ {\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sma}}^{\left(2\right)}=\min ({\mathrm{\&omega;}}_{6}P-2\mathrm{\&pi;p},2\mathrm{\&pi;}(p+1)-{\mathrm{\&omega;}}_{7}P)\end{array}\right.$

(2)当遮蔽由的补提供时，记为Case_p＝B情况：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pma}}^{\left(2\right)}=\max (2\mathrm{\&pi;p}-{\mathrm{\&omega;}}_{6}P,{\mathrm{\&omega;}}_{7}P-2\mathrm{\&pi;p})\\ {\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sma}}^{\left(2\right)}=\min ({\mathrm{\&omega;}}_{4}P-2\mathrm{\&pi;}(p-1),2\mathrm{\&pi;p}{-\mathrm{\&omega;}}_{5}P)\end{array}\right.$

其中，ω₄为原型滤波器通带2(m-1)的左通带边缘，ω₅为原型滤波器通带2(m-1)的右阻带边缘，ω₆为原型滤波器通带2m的左通带边缘，ω₇为原型滤波器通带2m的右阻带边缘；

p为整数，且如果不存在满足条件的p，则舍弃此组参数。

7.如权利要求1所述的一种改进的二级FRM滤波器设计方法，其特征是，当整个滤波器的过渡带由的补提供，即Case B情况下，计算第二级遮蔽滤波器的通带边缘和阻带边缘的方法为：

(1)当遮蔽由提供时，记为Case_q＝A情况：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pmc}}^{\left(2\right)}=\max (2\mathrm{\&pi;q}-{\mathrm{\&omega;}}_{1}Q,{\mathrm{\&omega;}}_{2}Q-2\mathrm{\&pi;q})\\ {\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{smc}}^{\left(2\right)}={\mathrm{\&omega;}}_{3}Q-2\mathrm{\&pi;q}\end{array}\right.$

(2)当遮蔽由的补提供时，记为Case_q＝B情况：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pmc}}^{\left(2\right)}=2\mathrm{\&pi;q}-{\mathrm{\&omega;}}_{3}Q\\ {\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{smc}}^{\left(2\right)}=\min ({\mathrm{\&omega;}}_{1}Q-2\mathrm{\&pi;}(q-1),2\mathrm{\&pi;q}-{\mathrm{\&omega;}}_{2}Q)\end{array}\right.$

其中，ω₁为原型滤波器的互补滤波器通带2m-1的左阻带边缘，ω₂为原型滤波器的互补滤波器通带2m-1的右通带边缘，ω₃为原型滤波器的互补滤波器通带2m+1的左阻带边缘；

q为一整数，并且如果不存在满足条件的q，则舍弃此组参数。

8.如权利要求1所述的一种改进的二级FRM滤波器设计方法，其特征是，当整个滤波器的过渡带由提供，即Case A情况下：

第一级遮蔽滤波器的通带边缘等于ω_p；

第一级遮蔽滤波器的阻带边缘的计算方法为：

${\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sma}}^{\left(1\right)}=\min ({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sma}\_\mathrm{temp}1}^{\left(1\right)},{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sma}\_\mathrm{temp}2}^{\left(1\right)})$

其中，

${\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sma}\_\mathrm{temp}1}^{\left(1\right)}=\left\{\begin{array}{cc}{t}_1& t_1\&NotElement;R_{\mathrm{stop}}\left(k\right)\\ {\mathrm{\&omega;}}_8& t_1\&Element;R_{\mathrm{stop}}\left(k_1\right)\end{array}\right.$

${\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sma}\_\mathrm{temp}2}^{\left(1\right)}=\left\{\begin{array}{cc}{t}_2& t_2\&NotElement;R_{\mathrm{pass}}\left(k\right)\\ {\mathrm{\&omega;}}_9& t_2\&Element;R_{\mathrm{pass}}\left(k_2\right)\end{array}\right.$

ω₉＝(2πk₂+θ_a)/M；

(1)当使用遮蔽上支路多余的频带时

$t_1=(2\mathrm{\&pi;}(p+1)-{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sma}}^{\left(2\right)})/P;$

(2)当使用的补遮蔽上支路多余的频带时

$t_1=(2\mathrm{\&pi;p}+{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pma}}^{\left(2\right)})/P;$

(3)当使用H_mc ⁽²⁾(Z^Q)遮蔽下支路多余的频带时

$t_2=(2\mathrm{\&pi;}(q+1)-{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{smc}}^{\left(2\right)})/Q;$

(4)当使用H_mc ⁽²⁾(Z^Q)的下支路补遮蔽多余的频带时

$t_2=(2\mathrm{\&pi;q}+{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pmc}}^{\left(2\right)})/Q;$

其中，P，Q，M为内插因子，ω₈是R_stop(k₁)的右端点，k₁是满足t₁∈R_stop(k₁)的整数，ω₉是R_pass(k₂)的右端点，k₂是满足t₂∈R_stop(k₂)的整数，θ_a为的通带边缘，为的阻带边缘。

9.如权利要求1所述的一种改进的二级FRM滤波器设计方法，其特征是，当整个滤波器的过渡带由的补提供，即Case B情况下：

第一级遮蔽滤波器的通带边缘等于ω_p；

第一级遮蔽滤波器的阻带边缘的计算方法为：

${\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sma}}^{\left(1\right)}=\min ({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sma}\_\mathrm{temp}1}^{\left(1\right)},{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sma}\_\mathrm{temp}2}^{\left(1\right)})$

其中，

${\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sma}\_\mathrm{temp}1}^{\left(1\right)}=\left\{\begin{array}{cc}{t}_1& t_1\&NotElement;R_{\mathrm{stop}}\left(k\right)\\ {\mathrm{\&omega;}}_8& t_1\&Element;R_{\mathrm{stop}}\left(k_1\right)\end{array}\right.$

${\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sma}\_\mathrm{temp}2}^{\left(1\right)}=\left\{\begin{array}{cc}{t}_2& t_2\&NotElement;R_{\mathrm{pass}}\left(k\right)\\ {\mathrm{\&omega;}}_9& t_2\&Element;R_{\mathrm{pass}}\left(k_2\right)\end{array}\right.$

ω₈＝(2πk₁＋θ_a)/M；

(1)当使用(z^Q)遮蔽多余的频带时

$t_1=(2\mathrm{\&pi;}(q+1)-{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{smc}}^{\left(2\right)})/Q$

(2)当使用(z^Q)的补遮蔽多余的频带时

$t_1=(2\mathrm{\&pi;q}+{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pmc}}^{\left(2\right)})/Q$

(3)当使用(z^P)遮蔽多余的频带时

$t_2=(2\mathrm{\&pi;}(p+1)-{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sma}}^{\left(2\right)})/P$

(4)当使用(z^P)的补遮蔽多余的频带时

$t_2=(2\mathrm{\&pi;p}+{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pma}}^{\left(2\right)})/P$

其中，ω₈是R_stop(k₁)的右端点，k₁是满足t₁∈R_stop(k₁)的整数，ω₉是R_pass(k₂)的右端点，k₂是满足t₂∈R_stop(k₂)的整数，P、Q、M为内插因子，θ_a为(z)的通带边缘，为(z)的阻带边缘。

10.如权利要求1所述的一种改进的二级FRM滤波器设计方法，其特征是，

(1)当整个滤波器的由(z^M)提供，即CaseA情况下：

第一级遮蔽滤波器(z)的阻带边缘等于ω_s，

第一级遮蔽滤波器(z)的通带边缘的确定方法为：

如果t₃≥t₄，则：

如果t₃＜t₄，则：

${\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pmc}}^{\left(1\right)}=\left\{\begin{array}{cc}{t}_4& t_4\&NotElement;R_{\mathrm{pass}}\left(k\right)\\ \max (\frac{2\mathrm{\&pi;}{k}_4-{\mathrm{\&theta;}}_a}{M},t_3)& t_4\&Element;R_{\mathrm{pass}}\left(k_4\right)\end{array}\right.$

(a)当使用(z^P)遮蔽多余的频带时

$t_3=(2\mathrm{\&pi;p}+{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pma}}^{\left(2\right)})/P;$

(b)当使用(z^P)的补遮蔽多余的频带时

$t_3=(2\mathrm{\&pi;}(p+1)-{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sma}}^{\left(2\right)})/P;$

(c)当使用(z^Q)遮蔽多余的频带时

$t_4=(2\mathrm{\&pi;q}+{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pmc}}^{\left(2\right)})/Q;$

(d)当使用(z^Q)的补遮蔽多余的频带时

$t_4=(2\mathrm{\&pi;}(q-1)-{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{smc}}^{\left(2\right)})/Q;$

(2)当整个滤波器的过渡带由(z^M)的补提供，即CaseB情况下：第一级遮蔽滤波器(z)的阻带边缘等于ω_s，

第一级遮蔽滤波器(z)的通带边缘的确定方法为：

如果t₃≥t₄，则：

如果t₃＜t₄，则：

${\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pmc}}^{\left(1\right)}=\left\{\begin{array}{cc}{t}_4& t_4\&NotElement;R_{\mathrm{pass}}\left(k\right)\\ \max (\frac{2\mathrm{\&pi;}{k}_4-{\mathrm{\&theta;}}_a}{M},t_3)& t_4\&Element;R_{\mathrm{pass}}\left(k_4\right)\end{array}\right.$

(a)当使用(z^Q)遮蔽多余的频带时

$t_3=(2\mathrm{\&pi;}(q+1)-{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{smc}}^{\left(2\right)})/Q;$

(b)当使用(z^Q)的补遮蔽多余的频带时

$t_3=(2\mathrm{\&pi;}(q+1)-{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{smc}}^{\left(2\right)})/Q;$

(c)当使用(z^P)遮蔽多余的频带时

$t_4=(2\mathrm{\&pi;}(p+1)-{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sma}}^{\left(2\right)})/P;$

(d)当使用(z^P)的补遮蔽多余的频带时

$t_4=(2\mathrm{\&pi;}(p+1)-{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{sma}}^{\left(2\right)})/P;$

其中，t₃和t₄分别为包含过渡带的那个通带和过渡带左边的第一个通带的左通带边缘，k₃是满足t₃∈R_stop(k₃)的整数，k₄是满足t₄∈R_pass(k₄)的整数，P、Q、M为内插因子，θ_a为(z)的通带边缘为(z)的阻带边缘。