CN103956767B - 一种考虑尾流效应的风电场并网稳定性分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种考虑尾流效应的风电场并网稳定性分析方法，该方法包括以下步骤：建立风电场等值模型；构建该风电场的原始导纳矩阵并对其进行变换；生成测试电网系统的状态矩阵；进行稳定性分析。本发明方法能有效考虑风电场运行中的实际问题，提高了大规模风电场并网对电力系统小扰动稳定性分析方法的准确性；此外，本发明方法很好处理了考虑尾流效应的风电场并网对电网特性的改变，为电网运行人员准确分析风电波动性对电网安全稳定的影响提供了有效途径。

Description

一种考虑尾流效应的风电场并网稳定性分析方法

技术领域

本发明属于电力系统安全稳定运行的技术领域，具体讲涉及一种大规模风电场并网的小扰动稳定性分析方法。

背景技术

能源短缺和环境污染是世界性问题，利用可再生清洁能源发电是解决这个问题的一个有效途径。其中，风电研究较为成熟，并已逐渐成为重要的发电方式。近年来，世界各国都在努力发展风力发电，2012年底全球总装机容量已经达到282吉瓦。相比于传统能源，风电具有间歇、波动特性，大规模风电场并网将会给电力系统的稳定性和安全性带来新的影响和挑战。中国风资源储量丰富，陆地风力资源估计可发电23.8亿千瓦；5～20米水深线以内近海区域、海平面以上50米高度海上风电场可装机容量约2亿千瓦。其中，2012年新增风电机组7872台，新增装机容量12960兆瓦，累计安装风电机组53764台，累计装机容量75324.2兆瓦，同比增长了20.8%。我国风电装机容量如此巨大，并网后对现有电网的稳定运行会产生什么样的影响是左右中国未来风电发展所面临的最大问题和难点之一，同时也给电力系统的工程和研究人员提出了新的问题和挑战。由此可见，研究、探讨大规模风电并网后对电力系统稳定，特别是对电力系统小扰动稳定的影响对促进中国风电的发展以及建设坚强智能电网具有重要的理论意义和应用价值。

目前，国内外在风电场并网后对电力系统小扰动稳定的影响的研究主要集中于双馈风力发电机型（Double-fedInductionGenerator,DFIG）风电场的动态建模和其并网后对系统的小扰动稳定性的影响，对于直驱永磁型风力发电机（PermanentMagneticSynchronousGenerator,PMSG）的研究相对较少。而且，在为数不多的关于PMSG型风机并网对电力系统小扰动稳定性影响的研究当中，对风电场的建模都是把PMSG型风电场等值为一台风机，或者采用恒风速模型，并没有考虑到风机间的相互影响。实际上，迎风向前排风电机组的风速高于迎风向后排风电机组的风速，排与排相距越近，迎风向前排风电机组对后排风电机组风速的影响越大，这种现象被称作尾流效应。考虑尾流效应后的风电场建模会使得对PMSG型风电场并网的小扰动稳定性分析更为准确和符合实际情况。

发明内容

为了克服上述现有技术的不足，本发明提供一种大规模风电场并网的小扰动稳定性分析方法。

为了实现上述发明目的，本发明采取如下技术方案：

一种考虑尾流效应的风电场并网稳定性分析方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

A.建立风电场等值模型；

B.构建该风电场的原始导纳矩阵并对其进行变换；

C.生成测试电网系统的状态矩阵；

D.进行稳定性分析。

优选地，所述步骤A包括如下步骤：

A-1.风轮机建模；

A-2.PMSG建模；

A-3.换流器及其控制系统建模；

A-4.风电场建模。

优选地，所述步骤B中，所述原始导纳矩阵为不考虑尾流效应时的风电场导纳矩阵；所述变换包括：调整各母线对应于导纳矩阵中的顺序和扩充导纳矩阵阶数。

优选地，所述步骤C包括：对表示所述电网系统的微分方程组和代数方程组在稳态值线性化，消掉代数量，保留状态量，以形成所述状态矩阵，并求解该状态矩阵的特征值和特征向量；所述微分方程组和代数方程组分别如下式表示：

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=f(x,y)\\ 0=g(x,y)\end{array}---\left(1\right)$

式中：x是状态量，y是代数量；所述线性化之后得如下表达式：

$\left[\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d\Δx}}{\mathrm{dt}}\\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δx}\\ \mathrm{\Δy}\end{array}\right]---\left(2\right)$

式中：A、B、C、D为雅可比矩阵；所述消掉代数量，保留状态量之后得如下表达式：

$\frac{\mathrm{d\Δx}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\Λ\Δx}---\left(3\right)$

式中：Λ为系统状态矩阵，且Λ=A-BD-1C。

优选地，所述步骤D包括如下步骤：

D-1.计算所述状态矩阵的特征值及对应的右特征向量U和左特征向量V，得出参与因子；

D-2.依据所述参与因子和特征值λ_i的机电回路相关比得出低频振荡模式；

D-3.判断该低频振荡模式所属的类型；

D-4.对于互联系统区域间振荡模式，于机组上增加阻尼以减少振荡。

优选地，所述PMSG建模采用转子磁链定向控制策略；所述换流器为全功率换流器，其建模包括：发电机侧变换器建模、直流母线建模和电网侧变换器建模；所述控制系统由功率外环与电流内环组成；所述PMSG通过全功率换流器并入电网；所述风电场建模应用Jensen模型推导，其包括：

A-4-1.根据空气动力学原理，可以得到如下关系：

$\begin{array}{c}\mathrm{\ρ\π}{R}_W^{2}v\left(x_d\right)=\mathrm{\ρ\π}{R}^2{v}_T+\mathrm{\ρ\π}(R_W^2-R^2)v_0\\ \frac{{\mathrm{dR}}_W}{\mathrm{dt}}=k_W({\mathrm{\σ}}_G+{\mathrm{\σ}}_0)\\ \frac{{\mathrm{dR}}_W}{{\mathrm{dx}}_d}=\frac{d{R}_W}{\mathrm{dt}}\frac{\mathrm{dt}}{{\mathrm{dx}}_d}=k_W({\mathrm{\σ}}_G+{\mathrm{\σ}}_0)/v\end{array}---\left(4\right)$

式中：R_w和R分别是尾流半径和叶轮半径，v₀为初始风速，v_T为通过叶片的风速，v(x_d)为与前排间距为x_d的后排风电机组处的风速，ρ是空气密度，k_W是常数，σ_G是风力发电机产生的湍流的标准差，σ₀是自然湍流标准差，v是平均风速，单位为m/s，其中，C_T是推力系数，取为0.2；

A-4-2.计算得出 $v\left(x_d\right)=v_0\left[1-(1-{(1-C_T)}^{\frac{1}{2}}){\left(\frac{R}{R+(k_w({\mathrm{\σ}}_G+{\mathrm{\σ}}_0)/v)x_d}\right)}^2\right];---\left(5\right)$

A-4-3.对PMSG型风电场进行等值简化；所述等值简化是对处在相似运行工况的风机进行合并；所述相似运行工况的风机为获得风速相同的风机。

优选地，所述母线按照先同步发电机母线，后风电场并网母线，最后其它负荷母线的顺序排列；所述扩充导纳矩阵阶数包括：（i）依据电压、电流需分解到d轴、q轴两个方向，将导纳矩阵的每个子导纳矩阵Y_ij变为下式表示的矩阵：

$Y_{\mathrm{ij}}=\left[\begin{array}{cc}{G}_{\mathrm{ij}}& -B_{\mathrm{ij}}\\ B_{\mathrm{ij}}& G_{\mathrm{ij}}\end{array}\right],(i,j=\mathrm{1,2}........,n+m)---\left(6\right)$

式中，G_ij和B_ij分别为电网母线节点i和j之间的电导和电纳；n为同步发电机并网母线节点的数目，m为非发电机并网母线节点的数目；（ii）增加额外的行和列以表示发电机侧参数；该参数包括d轴的电压u_ds和电流i_ds，q轴的电压u_qs和电流i_qs。

优选地，所述参与因子如下式表达：

$p_{\mathrm{ki}}=\frac{v_{\mathrm{ki}}{u}_{\mathrm{ki}}}{v_i^T{u}_i}---\left(7\right)$

式中，u_ki、v_ki分别为右特征向量矩阵和左特征向量矩阵中的k行i列元素；|p_ki|越大，第k个状态量x_k对第i个特征值λ_i的可观和可控性就越强；所述特征值λ_i的机电回路相关比如下式表达：

${\mathrm{\ρ}}_i=\left|\frac{\underset{X_k\∈(\mathrm{V\ω},\mathrm{V\δ})}{\mathrm{\Σ}}{p}_{\mathrm{ki}}}{\underset{X_k\∉(\mathrm{V\ω},\mathrm{V\δ})}{\mathrm{\Σ}}{p}_{\mathrm{ki}}}\right|---\left(8\right)$

式中，Δω为发电机电气角速度增量；Δδ为发电机功角增量；当第i个特征值λ_i满足则判定λ_i为一个低频振荡模式；

所述步骤D-3包括：若系统低频振荡频率在0.2～1Hz范围内，则判定其属于互联系统区域间振荡模式；若系统低频振荡频率在1～2.5Hz范围内，则判定其属于区域内机组间振荡模式；

所述步骤D-4包括：用阻尼比来衡量振荡幅值的衰减率和衰减特性，阻尼比定义为：

若低频振荡模态的阻尼比大于0.05，则判定其为可以接受的运行状态。

与现有技术相比，本发明的有益效果在于：

1.有效考虑风电场运行中的实际问题，提高了大规模风电场并网对电力系统小扰动稳定性分析方法的准确性；

2.很好处理了考虑尾流效应的风电场并网对电网特性的改变，为电网运行人员准确分析风电波动性对电网安全稳定的影响提供了有效途径。

附图说明

图1是本发明方法的实现示意图；

图2是本发明实施例中棋盘式拓扑结构的PMSG型风电场示意图；

图3是本发明实施例中建立的风电等值模型示意图；

图4是本发明实施例中Jensen模型示意图；

图5是本发明实施例中美国西部联合电网的3机9节节点电力系统示意图；

图6是本发明实施例中考虑尾流效应情况下计算得到的系统特征根分布图；

图7是本发明实施例中不考虑尾流效应情况下计算得到的系统特征根分布图；

图8是本发明实施例中考虑尾流效应时低频振荡模式1下的右特征向量幅值及相角；

图9是本发明实施例中考虑尾流效应时低频振荡模式2下的右特征向量幅值及相角；

图10是本发明实施例中考虑尾流效应时低频振荡模式3下的右特征向量幅值及相角；

图11是本发明实施例中不考虑尾流效应时低频振荡模式1下的右特征向量幅值及相角；

图12是本发明实施例中不考虑尾流效应时低频振荡模式2下的右特征向量幅值及相角；

图13是本发明实施例中不考虑尾流效应时低频振荡模式3下的右特征向量幅值及相角；

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步详细说明。

本发明的目的是针对现有技术中所存在的一些问题，提出了一种考虑尾流效应的大规模风电场并网小扰动稳定分析方法。本发明的实现示意图如图1所示。首先，根据一个如图2所示的棋盘式拓扑结构的PMSG型风电场，如大型海上风电场，在考虑风场内尾流效应的影响下建立风电场等值模型，如图3所示，并将图3所建立的等值风电场接入到电网中。接下来，为了分析所建立的考虑尾流效应的风电场等值模型对电网小扰动稳定的影响，对所形成的用于表征电网特性的导纳矩阵进行修改，以考虑尾流效应的作用。同时，根据电力系统小扰动稳定的原理，生成系统状态矩阵，为进一步分析风电场接入对电网小扰动稳定的影响做好准备。最后，对所生成的系统状态矩阵进行相应特征根分析，并根据计算得到的特征值来判断系统小扰动稳定性以及振荡模式特性分析。

参照图1、图2及图3，考虑尾流效应的大规模风电场并网小扰动稳定分析方法如下：

（1）建立风电场等值模型。包括风轮机建模、PMSG建模、换流器及其控制系统建模、尾流效应模型以及风电场建模。

(i)风轮机建模采用如下的风轮机输出机械功率与风速的3次方成正比的关系式，并计及最大功率点跟踪特性。

式中：P_m为风轮机所获机械功率（kW）；ρ为空气密度（kg/m3）；v_ω为风速（m/s）；R为风轮机半径（m）；C_P为功率系数；β为叶片桨距角；λ_con为最佳叶尖速比；v_cut-in为切入风速（m/s）；v_rated为额定风速（m/s）；v_cut-off为切出风速（m/s）。

(ii)PMSG建模采用转子磁链定向控制策略，将d轴与转子磁链重合。假设在小扰动稳定分析过程中忽略定子磁链的暂态过程，则所建立的简化的PMSG电压方程、电磁功率方程及转子运动方程为

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{ds}}={\mathrm{\ω}}_e{L}_q{i}_{\mathrm{qs}}\\ u_{\mathrm{qs}}={\mathrm{\ω}}_e{\mathrm{\ψ}}_f-{\mathrm{\ω}}_e{L}_d{i}_{\mathrm{ds}}\end{array}---\left(2\right)\right.$

式中：u_ds,u_qs分别为定子d、q轴电压；i_ds,i_qs分别为定子d、q轴电流；ω_e为发电机电气角频率；ψ_f是永磁体的磁链;L_d,L_q分别为定子d、q轴电感。

$\left\{\begin{array}{c}{P}_s=u_{\mathrm{ds}}{i}_{\mathrm{ds}}+u_{\mathrm{qs}}{i}_{\mathrm{qs}}\\ Q_s=u_{\mathrm{qs}}{i}_{\mathrm{ds}}-u_{\mathrm{ds}}{i}_{\mathrm{qs}}\end{array}\right.---\left(3\right)$

式中：P_s,Q_s分别为风机产生的有功和无功功率。

$\left\{\begin{array}{c}2H\frac{d{\mathrm{\ω}}_e}{\mathrm{dt}}+D_e({\mathrm{\ω}}_e-1)=T_m-T_e\\ \frac{\mathrm{d\δ}}{\mathrm{dt}}={\mathrm{\ω}}_B({\mathrm{\ω}}_e-1)\end{array}---\left(4\right)\right.$

式中：H是惯性时间常数；D_e是阻尼系数；T_m为机械力矩；T_e为电磁力矩；δ为功角；ω_B是同步转速。

（iii）PMSG通过全功率换流器并入电网。其中，全功率换流器是为了得到稳定的电压和频率，同时控制有功、无功的输出。其建模包括3部分：发电机侧变换器模型、直流母线、电网侧变换器模型。

发电机侧变换器采用定子电压定向控制策略，使电压与d轴重合，从而实现输出有功及无功功率的解耦控制。控制系统由功率外环与电流内环组成，形成的控制方程为

$\frac{{\mathrm{dx}}_1}{\mathrm{dt}}=P_{\mathrm{sref}}-P_s---\left(5\right)$

i_dsref＝K_P1(P_sref-P_s)+K_I1x₁（6）

$\frac{{\mathrm{dx}}_2}{\mathrm{dt}}=i_{\mathrm{dsref}}-i_{\mathrm{ds}}=K_{P1}(P_{\mathrm{sref}}-P_s)+K_{I1}{x}_1-i_{\mathrm{ds}}---\left(7\right)$

u_ds＝K_P2(K_P1(P_sref-P_s)+K_I1x₁-i_ds)+K_I2x₂+ω_eL_qi_qs（8）

$\frac{{\mathrm{dx}}_3}{\mathrm{dt}}=Q_{\mathrm{sref}}-Q_s---\left(9\right)$

i_qsref＝K_P3(Q_sref-Q_s)+K_I3x₃（10）

$\frac{{\mathrm{dx}}_4}{\mathrm{dt}}=i_{\mathrm{qsref}}-i_{\mathrm{qs}}=K_{P3}(Q_{\mathrm{sref}}-Q_s)+K_{I3}{x}_3-i_{\mathrm{qs}}---\left(11\right)$

u_qs＝K_P4(K_P3(Q_sref-Q_s)+K_I3x₃-i_qs)+K_I4x₄+ω_eψ_f-ω_eL_di_ds（12）

式中：x₁,x₂,x₃,x₄为中间状态量；P_sref,Q_sref分别为有功功率和无功功率指令值；i_dref,i_qref分别为发电机侧变换器控制中经过比例-积分（PI）调节得到的d轴、q轴分量电流指令值；K_P1,K_P2,K_P3,K_P4为PI控制器的比例系数；K_I1,K_I2,K_I3,K_I4为PI控制器积分系数。

电网侧变换器采用电网电压定向控制策略，使d轴和电压重合，控制直流电压和输出无功。所形成的控制方程如下所示。

$\frac{{\mathrm{dx}}_5}{\mathrm{dt}}=U_{\mathrm{DCref}}-U_{\mathrm{DC}}---\left(13\right)$

i_dgref＝K_P5(U_DCref-U_DC)+K_I5x₅（14）

$\frac{{\mathrm{dx}}_6}{\mathrm{dt}}=i_{\mathrm{dgref}}-i_{\mathrm{dg}}=K_{P5}(U_{\mathrm{DCref}}-U_{\mathrm{DC}})+K_{I5}{x}_5-i_{\mathrm{dg}}---\left(15\right)$

u_dg＝K_P6(K_P5(U_DCref-U_DC)+K_I5x₅-i_dg)+K_I6x₆+u_dG-i_qgX_l（16）

$\frac{{\mathrm{dx}}_7}{\mathrm{dt}}=Q_{\mathrm{gref}}-Q_g---\left(17\right)$

i_qgref＝K_P7(Q_gref-Q_g)+K_I7x₇（18）

$\frac{{\mathrm{dx}}_8}{\mathrm{dt}}=i_{\mathrm{qgref}}-i_{\mathrm{qg}}=K_{P7}(Q_{\mathrm{gref}}-Q_g)+K_{I7}{x}_7-i_{\mathrm{qg}}---\left(19\right)$

u_qg＝K_P8(K_P7(Q_gref-Q_g)+K_I7x₇-i_qg)+K_I8x₈+u_qG+i_dgX_l（20）

$C_f{U}_{\mathrm{DC}}\frac{{\mathrm{dU}}_{\mathrm{DC}}}{\mathrm{dt}}=(u_{\mathrm{ds}}{i}_{\mathrm{ds}}+u_{\mathrm{qs}}{i}_{\mathrm{qs}})-(u_{\mathrm{dg}}{i}_{\mathrm{dg}}+u_{\mathrm{qg}}{i}_{\mathrm{qg}})---\left(21\right)$

式中：x₅,x₆,x₇,x₈为中间状态量；U_DC为连接发电机侧变化器及电网侧变换器的直流母线电压；u_dG,u_qG分别为电网电压的d,q轴分量；u_dg,u_qg分别为电网侧变换器出口处电压的d,q轴分量；i_dg,i_qg分别为流入电网电流的d,q轴分量；U_DCref,Q_gref分别为直流母线电压和电网侧无功功率指令值；i_dgref,i_qgref分别为电网侧变换器控制中经过比例-积分（PI）调节得到的d轴、q轴分量电流指令值；K_P5,K_P6,K_P7,K_P8为PI控制器的比例系数；K_I5,K_I6,K_I7,K_I8为PI控制器积分系数。

式（4）-（21）构成了PMSG的11阶模型。其中，代数变量为u_ds，u_qs，u_dg，u_qg，i_ds，i_qs，i_dg，i_qg；状态变量为ω_e，δ，x₁，x₂，x₃，x₄，U_DC，x₅，x₆，x₇和x₈。有：

Δx＝[Δω_eΔδΔx₁Δx₂Δx₃Δx₄ΔU_DCΔx₅Δx₆Δx₇Δx₈]^T（22）

ΔU_dq＝[Δu_dsΔu_qsΔu_dgΔu_qg]^T（23）

ΔI_dq＝[Δi_dsΔi_qsΔi_dgΔi_qg]^T（24）

(iv)风电场一般情况下由几十乃至上百台风机组成。传统的分析方法中，假设所有的风机捕获的风速均相同，基于此假设单台风机的有功出力乘以风机数量便得到整个风电场的有功出力。但在实际的风电场中，每台风机捕获的风速是不一样的，相应输出的功率也不相同。本发明针对平坦地形中的风电场，如海上风电场的拓扑结构，应用国外成熟的Jensen模型来推导、建立风电场等值模型。Jensen模型如图4所示。图4中，前后排风电机组距离用X表示，R_w和R分别是尾流半径和叶轮半径。v₀为初始风速；v_T为通过叶片风速；v_X为受尾流效应影响的风速。

根据空气动力学原理，可以得到如下关系：

$\begin{array}{c}\mathrm{\ρ\π}{R}_W^2{v}_X=\mathrm{\ρ\π}{R}^2{v}_T+\mathrm{\ρ\π}(R_W^2-R^2)v_0\\ \frac{{\mathrm{dR}}_W}{\mathrm{dt}}=k_W({\mathrm{\σ}}_G+{\mathrm{\σ}}_0)\\ \frac{{\mathrm{dR}}_W}{{\mathrm{dx}}_d}=\frac{d{R}_W}{\mathrm{dt}}\frac{\mathrm{dt}}{{\mathrm{dx}}_d}=k_W({\mathrm{\σ}}_G+{\mathrm{\σ}}_0)/v\end{array}---\left(25\right)$

式中：ρ是空气密度；k_W是常数；σ_G是风力发电机产生的湍流的标准差；σ₀是自然湍流标准差；v是平均风速，单位为m/s；其中，C_T是推力系数，取为0.2。

最终可以得到风机后距离为X的位置处风速的大小为：

$v_x=v_0[1-(1-{(1-C_T)}^{\frac{1}{2}}){\left(\frac{R}{R+(k_w({\mathrm{\σ}}_G+{\mathrm{\σ}}_0)/v)X}\right)}^2]---\left(26\right)$

根据上述原理，本发明将对如图2所示的棋盘式拓扑结构的PMSG型风电场进行等值简化。模型简化原则是对处在相似运行工况的风机进行合并。可以认为获得风速相同的风机运行工况相同，尾流效应主要影响风机获得的风速，故根据尾流效应进行区域划分。在简化计算当中，认为迎风向处在同一排的风机获得的风速相同，因此对于图2所示风电场，即可将迎风向每排等值成一台风机。如图3所示，共等值成Y台风机。其中，每台风机所捕获的风速如下式所示：

${\mathrm{\ξ}}_d=1-(1-\sqrt{1-C_T}){\left(\frac{R}{R+(k_w({\mathrm{\σ}}_G+{\mathrm{\σ}}_0)/v)d_{\mathrm{row}}}\right)}^2---\left(27\right)$

$v_i=v_0{\mathrm{\ξ}}_d^{(i-1)}(i=1...Y)---\left(28\right)$

式中：d_row为风机的排间距；ξ_d是由Jensen模型得出的距离为d_row的前后排风机之间风速的衰减比例；v_i为第i排风机捕获的风速，单位为m/s。

根据该风电场等值模型，每一排的阻抗变为原来1/X，电流变为原来的X倍，电压不变。例如，在计算程序中，Y=3。取轮毂高度60m，风轮半径30m，排与排距离为300m，初始风速v₀＝12m/s。因此可以计算出第二排迎风面风速为10.947m/s，第三排迎风面风速为9.987m/s。由式（1）可以计算出，第一排每台风机发出有功功率为5MW，第二排每台风机发出有功功率为4.29MW，第三排每台发出有功功率为3.26MW。

（2）因考虑了风电场的尾流效应后，原来系统的网络拓扑发生改变，需要对用于描述电网特性的导纳矩阵进行相应修改。假设系统有n个同步发电机并网母线节点，m个非发电机并网母线节点，则原始导纳矩阵如下：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{VI}}_{G1}\\ g\\ g\\ {\mathrm{VI}}_{\mathrm{Gn}}\\ {\mathrm{VI}}_{B1}\\ g\\ {\mathrm{VI}}_{\mathrm{Bk}}\\ g\\ {\mathrm{VI}}_{\mathrm{Bm}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccccccccc}{Y}_{G1G1}& g& g& Y_{G1\mathrm{Gn}}& Y_{G1B1}& g& Y_{G1\mathrm{Bk}}& g& Y_{G1\mathrm{Bm}}\\ g& g& g& g& g& g& g& g& g\\ g& g& g& g& g& g& g& g& g\\ Y_{\mathrm{GnG}1}& g& g& Y_{\mathrm{GnGn}}& Y_{\mathrm{GnB}1}& g& Y_{\mathrm{GnBk}}& g& Y_{\mathrm{GnBm}}\\ Y_{B1G1}& g& g& Y_{B1\mathrm{Gn}}& Y_{B1B1}& g& Y_{B1\mathrm{Bk}}& g& Y_{B1\mathrm{Bm}}\\ g& g& g& g& g& g& g& g& g\\ Y_{\mathrm{BkG}1}& g& g& Y_{\mathrm{BkGn}}& Y_{\mathrm{BkB}1}& g& Y_{\mathrm{BkBk}}& g& Y_{\mathrm{BkBm}}\\ g& g& g& g& g& g& g& g& g\\ Y_{\mathrm{BmG}1}& g& g& Y_{\mathrm{BmGb}}& Y_{\mathrm{BmB}1}& g& Y_{\mathrm{BmBk}}& g& Y_{\mathrm{BmBm}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{VU}}_{G1}\\ g\\ g\\ {\mathrm{VU}}_{\mathrm{Gn}}\\ {\mathrm{VU}}_{B1}\\ g\\ {\mathrm{UV}}_{\mathrm{Bk}}\\ g\\ {\mathrm{VU}}_{\mathrm{Bm}}\end{array}\right]---\left(29\right)$

其中：I_G1-I_Gn是同步发电机母线节点的电流；U_G1-U_Gn是同步发电机母线节点的电压；I_B1-I_Bm是其余母线节点电流；U_B1-U_Bm是其余母线节点电压。导纳矩阵中的每一个元素不是子矩阵，而是具体数值。

主要包含以下3个方面的处理：

(i)改变各母线对应于导纳矩阵中的顺序;

为了始终按照先发电机母线后其余负荷母线的顺序排列，需要在风电场并网后作出调整。并网后母线按照先同步发电机母线，后风电场并网母线，最后其它负荷母线的顺序排列。假设风电场并到非同步发电机母线k，则修改后的导纳矩阵变为：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{VI}}_{G1}\\ g\\ g\\ {\mathrm{VI}}_{\mathrm{Gn}}\\ {\mathrm{VI}}_{\mathrm{Wk}}\\ {\mathrm{VI}}_{B1}\\ g\\ g\\ {\mathrm{VI}}_{\mathrm{Bm}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccccccccc}{Y}_{G1G1}& g& g& Y_{G1\mathrm{Gn}}& Y_{G1B1}& g& Y_{G1\mathrm{Wk}}& g& Y_{G1\mathrm{Bm}}\\ g& g& g& g& g& g& g& g& g\\ g& g& g& g& g& g& g& g& g\\ Y_{\mathrm{GnG}1}& g& g& Y_{\mathrm{GnGn}}& Y_{\mathrm{GnB}1}& g& Y_{\mathrm{GnWk}}& g& Y_{\mathrm{GnBm}}\\ Y_{\mathrm{WkG}1}& g& g& Y_{\mathrm{WkGn}}& Y_{\mathrm{WkB}1}& g& Y_{\mathrm{WkWk}}& g& Y_{\mathrm{WkB}}\\ Y_{B1G1}& g& g& Y_{B1\mathrm{Gn}}& Y_{B1B1}& g& Y_{B1\mathrm{Wk}}& g& Y_{B1\mathrm{Bm}}\\ g& g& g& g& g& g& g& g& g\\ g& g& g& g& g& g& g& g& g\\ Y_{\mathrm{BmG}1}& g& g& Y_{\mathrm{BmGn}}& Y_{\mathrm{BmB}1}& g& Y_{\mathrm{BmWk}}& g& Y_{\mathrm{BmBm}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{VU}}_{G1}\\ g\\ g\\ {\mathrm{VU}}_{\mathrm{Gn}}\\ {\mathrm{VU}}_{\mathrm{Wk}}\\ {\mathrm{VU}}_{B1}\\ g\\ g\\ {\mathrm{VU}}_{\mathrm{Bm}}\end{array}\right]---\left(30\right)$

其中：I_Wk是风电场并网母线节点的电流，U_Wk是风电场并网母线节点电压。

(ii)导纳矩阵阶数×2

因为需要将电压、电流分解到d、q两个方向，电流、电压个数都变为原来的2倍，导纳矩阵也需要变为原来的两倍。即将原导纳矩阵的每个Y_ij变为

$Y_{\mathrm{ij}}=\left[\begin{array}{cc}{G}_{\mathrm{ij}}& -B_{\mathrm{ij}}\\ B_{\mathrm{ij}}& G_{\mathrm{ij}}\end{array}\right]i,j=\mathrm{1,2}........,n+m---\left(31\right)$

(iii)扩充导纳矩阵阶数

本步是为了包含所有代数量。由式（8）和式（12）可知，最终代数量包括发电机侧参数u_ds、u_qs、i_ds、i_qs，但由于导纳矩阵是网络电压和网络电流的关系，所以导纳矩阵需要增加额外的行和列来表示发电机侧参数。由式（2）可得：

${\mathrm{VI}}_{\mathrm{dqs}}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔI}}_{\mathrm{ds}}\\ {\mathrm{\ΔI}}_{\mathrm{qs}}\end{array}\right]=Y_{\mathrm{dqs}}{\mathrm{UV}}_{\mathrm{dqs}}=\left[\begin{array}{cc}0& -\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_e{L}_d}\\ \frac{1}{{\mathrm{\ω}}_e{L}_q}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔU}}_{\mathrm{ds}}\\ {\mathrm{\ΔU}}_{\mathrm{qs}}\end{array}\right]---\left(32\right)$

如果风电场等值为一台风机，则需要额外增加两行两列：

如果把风电场的n排风机每排等值，对于第一排需要增加上述矩阵中的两行两列。但是对于剩余的每一排，除此之外，还需要额外增加并网母线节点导纳对应的两行两列。即对第n排（n≠1），需要增加下述矩阵：

$Y_{\mathrm{WFn}}=\left[\begin{array}{cc}{Y}_{\mathrm{dqsn}}& \\ & Y_{\mathrm{WkB}1}\end{array}\right],n\≠1---\left(34\right)$

如果风电场有3排风机，导纳矩阵增加的行数和列数都为1×2+(3-1)×4＝10。

（3）在对网络导纳矩阵修改完成后，以形成系统的状态矩阵并进行小扰动稳定分析。

已知电力系统可以写成微分方程组和代数方程组的形式：

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}f(x,y)\\ 0=g(x,y)\end{array}---\left(35\right)$

式中：x是状态量，y是代数量。

将式（35）在稳态值线性化后，可以得到：

$\left[\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d\Δx}}{\mathrm{dt}}\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δx}\\ \mathrm{\Δy}\end{array}\right]---\left(36\right)$

式中：A、B、C、D为雅可比矩阵。

采用消去法消掉代数量，仅保留状态量，最终可得到：

$\frac{\mathrm{d\Δx}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\Λ\Δx}---\left(37\right)$

式中：Λ为系统状态矩阵，且Λ=A-BD^-1C

求取系统状态矩阵Λ的特征值，如果有特征值落在虚轴右侧，则系统不稳定，否则系统稳定。

设系统有S个状态变量，N条母线。风电场等值为p台风机。系统的A、B、C、D四个雅可比矩阵可表示为：

$A=A_G={\left[\begin{array}{cccccc}{A}_{G1}& & & & & \\ & ....& & & & \\ & & A_{\mathrm{Gn}}& & & \\ & & & A_{\mathrm{WF}1}& & \\ & & & & ....& \\ & & & & & A_{\mathrm{WFp}}\end{array}\right]}_{S\×S}---\left(38\right)$

$B=\left[\begin{array}{cc}{B}_G& 0\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccccccc}{B}_{G1}& & & & & & 0\\ & ....& & & & & \\ & & B_{\mathrm{Gn}}& & & & 0\\ & & & B_{\mathrm{WF}1}& & & 0\\ & & & & ....& & \\ & & & & & B_{\mathrm{WFp}}& 0\end{array}\right]}_{S\×2N}---\left(39\right)$

$C=\left[\begin{array}{c}-C_G\\ 0\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cccccc}-C_{G1}& & & & & \\ & ....& & & & \\ & & -C_{\mathrm{Gn}}& & & \\ & & & -C_{\mathrm{WF}1}& & \\ & & & & ....& \\ & & & & & -C_{\mathrm{WFp}}\\ 0& & 0& 0& & 0\end{array}\right]}_{2N\×S}---\left(40\right)$

$D=\left[\begin{array}{cc}{Y}_{\mathrm{GG}}-D_G& Y_{\mathrm{GL}}\\ Y_{\mathrm{LG}}& Y_{\mathrm{LL}}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccccccc}{Y}_{G1}-C_{G1}& & Y_{G1\mathrm{Gn}}& Y_{G1\mathrm{WF}1}& & Y_{G1\mathrm{WFp}}& Y_{G1L}\\ M& ....& & & & & \\ Y_{\mathrm{GnG}1}& & Y_{\mathrm{Gn}}-C_{\mathrm{Gn}}& Y_{\mathrm{GnWF}1}& & Y_{\mathrm{GnWFp}}& Y_{\mathrm{GnL}}\\ Y_{\mathrm{WF}1G1}& & Y_{\mathrm{WF}1\mathrm{Gn}}& Y_{\mathrm{WF}1}-C_{\mathrm{WF}1}& & & Y_{\mathrm{WF}1L}\\ M& & & & ...& & \\ Y_{\mathrm{WFpG}1}& & Y_{\mathrm{WFpGn}}& Y_{\mathrm{WFpWF}1}& & Y_{\mathrm{WFp}}-C_{\mathrm{WFp}}& Y_{\mathrm{WFpL}}\\ Y_{\mathrm{LG}1}& & Y_{\mathrm{LGn}}& Y_{\mathrm{LWF}1}& & Y_{\mathrm{LWFp}}& Y_{\mathrm{LL}}\end{array}\right]}_{2N\×2N}---\left(41\right)$

式中：G₁～G_n表示n台同步发电机；WF₁～WF_p表示等值的p台风机。

其中，风机雅可比矩阵需做如下变换处理。

首先列出风机系统微分方程和代数方程：

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dVx}}{\mathrm{dt}}=A_{\mathrm{pmsg}}\mathrm{Vx}+B_{\mathrm{pmsg}}{\mathrm{VI}}_{\mathrm{dq}}\\ {\mathrm{VU}}_{\mathrm{dq}}=C_{\mathrm{pmsg}}\mathrm{Vx}+D_{\mathrm{pmsg}}{\mathrm{VI}}_{\mathrm{dq}}\end{array}---\left(42\right)$

为了和位于x-y旋转坐标系的电力网络统一，需要将d-q旋转坐标系的运行代数量变换到x-y旋转坐标系中：

VU_dq＝TVU_xy（43）

VI_dq＝TVI_xy（44）

式中： $T=\left[\begin{array}{cc}\sin \mathrm{\δ}& -\cos \mathrm{\δ}\\ \cos \mathrm{\δ}& \sin \mathrm{\δ}\end{array}\right]$

除风机外，其它动态元件的输入量都是电压。为了统一输入量，需要把风机的电流输入变为电压输入。由式（34）可知

VI_xy＝Y_WFVU_xy（45）

因此，有

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dVx}}{\mathrm{dt}}=A_{\mathrm{WF}}\mathrm{Vx}+B_{\mathrm{WF}}{\mathrm{VU}}_{\mathrm{dq}}\\ 0=C_{\mathrm{WF}}\mathrm{Vx}+D_{\mathrm{WF}}{\mathrm{VU}}_{\mathrm{dq}}\\ A_{\mathrm{WF}}=A_{\mathrm{pmsg}}\\ B_{\mathrm{WF}}=B_{\mathrm{pmsg}}{\mathrm{TY}}_{\mathrm{WF}}\\ C_{\mathrm{WF}}=-T^{-1}{C}_{\mathrm{pmsg}}\\ D_{\mathrm{WF}}=I_{4\×4}-T^{-1}{D}_{\mathrm{pmsg}}{\mathrm{TY}}_{\mathrm{WF}}\end{array}---\left(46\right)$

得到系统状态矩阵后即可求出所有特征值和右特征向量，通过特征值判断系统小扰动稳定性。

（4）在得到考虑尾流效应的系统状态矩阵后，通过特征根分析方法找出系统内的低频振荡模式，以观察风电接入对系统小扰动稳定的影响。

根据特征根矩阵，求出特征值对应的右特征向量U和左特征向量V，可以得到参与因子：

$P_{\mathrm{ki}}=\frac{v_{\mathrm{ki}}{u}_{\mathrm{ki}}}{v_i^T{u}_i}---\left(47\right)$

式中，u_ki、v_ki分别为右特征向量矩阵和左特征向量矩阵中的k行i列元素。|p_ki|越大，第k个状态量x_k对第i个特征值λ_i的可观和可控性就越强。

低频振荡模式不仅要满足频率在0.2～2.5Hz内，而且要和同步发电机的电气角速度Δω和功角Δδ强相关。因此，定义特征值λ_i的机电回路相关比ρ_i

${\mathrm{\ρ}}_i=\left|\frac{\underset{X_k\∈(\mathrm{V\ω},\mathrm{V\δ})}{\mathrm{\Σ}}{p}_{\mathrm{ki}}}{\underset{X_k\∉(\mathrm{V\ω},\mathrm{V\δ})}{\mathrm{\Σ}}{p}_{\mathrm{ki}}}\right|---\left(48\right)$

故，只有当第i个特征值λ_i满足：

$\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\ρ}}_i>1& \\ {\mathrm{\λ}}_i=\mathrm{\α}\±\mathrm{j\Ω}& \mathrm{\Ω}\∈0.2~2.5\mathrm{Hz}\end{array}\right.---\left(49\right)$

才可以认为λ_i为一个低频振荡模式。

在找到所有低频振荡模式后，需要判断这些振荡是互联系统区域间振荡模式还是区域内机组间振荡模式。若系统低频振荡频率在0.2～1Hz范围内，一般认为属于互联系统区域间振荡模式，这是因为机组电气距离大时相应机组间振荡频率较低。一般认为区域内机组间振荡模式的系统低频振荡频率在1～2.5Hz范围内，这是因为机组电气距离小时相应机组间振荡频率较高。对于区域内振荡模式，参与机组较少，振荡频率比较高，只要在其中的强相关机组上增加阻尼就可以明显减弱振荡。但对于互联系统区域间振荡模式，参与机组很多，振荡频率较低，必须在多个机组上增加阻尼才能有效减少振荡。

用阻尼比来衡量振荡幅值的衰减率和衰减特性，阻尼比定义为：

$\mathrm{\ζ}=\frac{-\mathrm{\σ}}{\sqrt{{\mathrm{\σ}}^2+{\mathrm{\ω}}^2}}---\left(50\right)$

在实际的电力系统中，一般认为低频振荡模态的阻尼比要大于0.05才是可以接受的运行状态，但如果在系统运行方式变化的过程中模态的变化比较小，也可以接受较低的阻尼比。

之后，对低频振荡模式右特征向量中对应的发电机转速项进行分析，从相角和幅值两方面来观察模态的表现形式：模值相差不大（即在5%之内）、方向基本相同（即在90°之内）的一组分量说明为相应的发电机同群；不同群之间相应的分量方向基本相反，由此可判断出与此振荡模式所对应的发电机。

本发明的方法是在现有技术的基础上，针对现有技术应用领域的不足，提出的一种考虑尾流效应的大规模风电场并网小扰动稳定分析方法。本发明方法能有效考虑风电场运行中的实际问题，提高了大规模风电场并网对电力系统小扰动稳定性分析方法的准确性。此外，本发明方法很好处理了考虑尾流效应的风电场并网对电网特性的改变，为电网运行人员准确分析风电波动性对电网安全稳定的影响提供了有效途径。

以图5所示的美国西部联合电网的3机9节节点电力系统进行仿真实验作实施例，进一步说明如下：

该系统中，由18台单机容量为5MW的PMSG型风机组成的风电场接入负荷母线7。

图6和图7分别给出了考虑/不考虑尾流效应情况下计算得到的系统特征根分布图。

由图中可以看出：不论是否考虑尾流效应，系统所有特征值实部全部为负表示此时系统是小扰动稳定的。

表1和表2分别给出了考虑尾流效应和不考虑尾流效应的低频振荡模式特性。

表1并网至母线7（考虑尾流效应）低频振荡模式特性

序号	对应特征值	振荡频率（Hz）	阻尼比	机电回路相关比
					1	-0.644+12.29i	1.956	0.052	24
2	-0.155+9.585i	1.525	0.016	103
					3	-0.023+4.925i	0.784	0.0047	49

表2并网至母线7（不考虑尾流效应）低频振荡模式特性

序号	对应特征值	振荡频率（Hz）	阻尼比	机电回路相关比
					1	-0.838+13.007i	2.07	0.064	20
2	-0.53+10.274i	1.635	0.051	24
					3	-0.011+5.208i	0.829	0.0041	131

图8-10和图11-13分别给出了考虑尾流效应和不考虑尾流效应的发电机各模式下的右特征向量幅值和相角表示的振荡关系。

最后应当说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非对其限制，尽管参照上述实施例对本发明进行了详细的说明，所属领域的普通技术人员应当理解：依然可以对本发明的具体实施方式进行修改或者等同替换，而未脱离本发明精神和范围的任何修改或者等同替换，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (7)

1.一种考虑尾流效应的风电场并网稳定性分析方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

A.建立风电场等值模型；

B.构建该风电场的原始导纳矩阵并对其进行变换；

C.生成测试电网系统的状态矩阵；

D.进行稳定性分析；

所述步骤D包括如下步骤：

D-1.计算所述状态矩阵的特征值及对应的右特征向量和左特征向量，得出参与因子；

D-2.依据所述参与因子和特征值λ_i的机电回路相关比得出低频振荡模式；

D-3.判断该低频振荡模式所属的类型；

D-4.对于互联系统区域间振荡模式，于机组上增加阻尼以减少振荡。

2.如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤A包括如下步骤：

A-1.风轮机建模；

A-2.PMSG建模；

A-3.换流器及其控制系统建模；

A-4.风电场建模。

3.如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤B中，所述原始导纳矩阵为不考虑尾流效应时的风电场导纳矩阵；所述变换包括：调整各母线对应于导纳矩阵中的顺序和扩充导纳矩阵阶数。

4.如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤C包括：对表示所述电网系统的微分方程组和代数方程组在稳态值线性化，消掉代数量，保留状态量，以形成所述状态矩阵，并求解该状态矩阵的特征值和特征向量；所述微分方程组和代数方程组分别如下式表示：

$\frac{dx}{dt}=f(x,y)---\left(1\right)$

0＝g(x,y)

式中：x是状态量，y是代数量；所述线性化之后得如下表达式：

$\left[\begin{array}{c}\frac{d\mathrm{\Δ}x}{dt}\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}x\\ \mathrm{\Δ}y\end{array}\right]---\left(2\right)$

式中：A、B、C、D为雅可比矩阵；所述消掉代数量，保留状态量之后得如下表达式：

$\frac{d\mathrm{\Δ}x}{dt}=\mathrm{\Λ}\mathrm{\Δ}x---\left(3\right)$

式中：Λ为系统状态矩阵，且Λ＝A-BD^-1C。

5.如权利要求2所述的方法，其特征在于，所述PMSG建模采用转子磁链定向控制策略；所述换流器为全功率换流器，其建模包括：发电机侧变换器建模、直流母线建模和电网侧变换器建模；所述控制系统由功率外环与电流内环组成；所述PMSG通过全功率换流器并入电网；所述风电场建模应用Jensen模型推导，其包括：

A-4-1.根据空气动力学原理，可以得到如下关系：

${\mathrm{\ρ\πR}}_W^{2}v\left(x_d\right)={\mathrm{\ρ\πR}}^2{v}_T+\mathrm{\ρ}\mathrm{\π}(R_W^2-R^2)v_0$

$\frac{{\mathrm{dR}}_W}{dt}=k_W({\mathrm{\σ}}_G+{\mathrm{\σ}}_0)---\left(4\right)$

$\frac{{\mathrm{dR}}_W}{{\mathrm{dx}}_d}=\frac{{\mathrm{dR}}_W}{dt}\frac{dt}{{\mathrm{dx}}_d}=k_W({\mathrm{\σ}}_G+{\mathrm{\σ}}_0)/v$

式中：R_w和R分别是尾流半径和叶轮半径，v₀为初始风速，v_T为通过叶片的风速，v(x_d)为与前排间距为x_d的后排风电机组处的风速，ρ是空气密度，k_W是常数，σ_G是风力发电机产生的湍流的标准差，σ₀是自然湍流标准差，v是平均风速，单位为m/s，其中，C_T是推力系数，取为0.2；

A-4-2.计算得出 $v\left(x_d\right)=v_0\[1-\left(1-{\left(1-C_T\right)}^{\frac{1}{2}}\right){\left(\frac{R}{R+\left(k_w\right({\mathrm{\σ}}_G+{\mathrm{\σ}}_0)/v)x_d}\right)}^2\];---\left(5\right)$

A-4-3.对PMSG型风电场进行等值简化；所述等值简化是对处在相似运行工况的风机进行合并；所述相似运行工况的风机为获得风速相同的风机。

6.如权利要求3所述的方法，其特征在于，所述母线按照先同步发电机母线，后风电场并网母线，最后其它负荷母线的顺序排列；所述扩充导纳矩阵阶数包括：

(i)依据电压、电流需分解到d轴、q轴两个方向，将导纳矩阵的每个子导纳矩阵Y_ij变为下式表示的矩阵：

$Y_{ij}=\left[\begin{array}{cc}{G}_{ij}& -B_{ij}\\ B_{ij}& G_{ij}\end{array}\right],(i,j=1,2......\mathrm{..},n+m)---\left(6\right)$

式中，G_ij和B_ij分别为电网母线节点i和j之间的电导和电纳；n为同步发电机并网母线节点的数目，m为非发电机并网母线节点的数目；(ii)增加额外的行和列以表示发电机侧参数；该参数包括d轴的电压u_ds和电流i_ds，q轴的电压u_qs和电流i_qs。

7.如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述参与因子如下式表达：

$p_{ki}=\frac{v_{ki}{u}_{ki}}{{v_i}^T{u}_i}---\left(7\right)$

式中，v_i ^T表示第i排风捕获的风速的转置，u_i表示第i排的右特征向量，u_ki、v_ki分别为右特征向量矩阵和左特征向量矩阵中的k行i列元素；|p_ki|越大，第k个状态量x_k对第i个特征值λ_i的可观和可控性就越强；所述特征值λ_i的机电回路相关比ρ_i如下式表达：

${\mathrm{\ρ}}_i=\left|\frac{\underset{X_k\∈(\mathrm{\Δ}\mathrm{\ω},\mathrm{\Δ}\mathrm{\δ})}{\Σ}{p}_{ki}}{\underset{X_k\∉(\mathrm{\Δ}\mathrm{\ω},\mathrm{\Δ}\mathrm{\δ})}{\Σ}{p}_{ki}}\right|---\left(8\right)$

式中，Δω为发电机电气角速度增量；Δδ为发电机功角增量；当第i个特征值λ_i满足 $\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\ρ}}_i>1& \\ {\mathrm{\λ}}_i=\mathrm{\α}\±j\mathrm{\Ω}& \mathrm{\Ω}\∈0.2~2.5Hz\end{array}\right.$ 时，则判定λ_i为一个低频振荡模式，α表示特征根λ_i的实部，j表示特征根λ_i的虚部；

所述步骤D-3包括：若系统低频振荡频率在0.2～1Hz范围内，则判定其属于互联系统区域间振荡模式；若系统低频振荡频率在1～2.5Hz范围内，则判定其属于区域内机组间振荡模式；

所述步骤D-4包括：用阻尼比来衡量振荡幅值的衰减率和衰减特性，阻尼比定义为：ω表示角频率，σ表示标准差；若低频振荡模态的阻尼比大于0.05，则判定其为可以接受的运行状态。