CN103939082A - 一种基于主动阻尼法抑制钻杆粘滑振动的系统及方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于主动阻尼法抑制钻杆粘滑振动的系统及方法，包括：1)变频器通过PLC控制系统给出电机主给定转速，传输至被控对象，得到电机实际转速和电机实际扭矩；2)变频器将电机实际转速和电机实际扭矩传输至控制单元；3)同时，人机交互装置将钻杆和钻具组合结构信息传输至控制单元；4)控制单元对获取的电机实际转速和电机实际扭矩和钻杆和钻具组合结构信息进行优化运算，得到辅给定优化转速，并用最大转速来对辅给定优化转速进行限幅；5)控制单元通过CAN总线将辅给定优化转速传输至变频器，与电机主给定转速相叠加，叠加转速控制驱动电机的转速，该方法能够准确地获取实际钻杆参数，实时显示电机实际转速和实际扭矩，从而达到抑制钻杆粘滑振动的目的。

Description

一种基于主动阻尼法抑制钻杆粘滑振动的系统及方法

技术领域

本发明属于石油钻井、地质勘探等技术领域，涉及一种基于主动阻尼法、总线通信技术和人机交互技术来抑制钻杆粘滑振动的系统及方法。

背景技术

石油钻井过程中由于地层复杂、钻杆运动不确定，容易发生钻杆振动，包括钻杆的横向振动、轴向振动和粘滑振动。其中，粘滑振动是由于钻头与地层的摩擦力矩引起的扭矩振荡，钻头速度或停或转，瞬间转速非常大，易造成钻杆和钻头的性能恶化；该现象不仅影响钻井效率也威胁到钻井的安全，因此需要采取合理的方法来抑制粘滑振动。

针对粘滑振动，减振途径和措施主要有：(1)增大顶部转速；(2)增大系统等效扭转刚度；(3)增大系统等效阻尼；(4)顶部扭矩负反馈。

目前国外已经开发了一些抑制粘滑振动的方法和系统。

2004年Navarro-Lo′pez和Suarez-Cortez提出在钻杆底部安装减振器；2000年，Richardson和Küttel提出了在钻具组合上安装液压扭矩驱动系统。但是这些方法都增加了钻杆系统的复杂性和成本，且使用时不具有通用性。

1988年Halsey，Kyllingstad和Kylling提出了钻杆扭矩负反馈的方法；2005年Canudas-de-Wit et al提出了钻井振动克星Drilling Oscillation Killer(D-OSKIL)，它利用钻头上的重量作为附加的控制参数。这些方法有的并不成熟，使用效果也并不十分理想。国内目前在领域的研究还比较欠缺，所以这方面的研究开发具有很好的工程应用价值。

发明内容

本发明的目的是针对石油钻井中常发生的粘滑振动现象，提供一种基于主动阻尼法抑制钻杆粘滑振动的系统及方法，采用本发明的系统，能够准确地获取实际钻杆参数，实时显示电机实际转速和电机实际扭矩的数值，能够发出转速命令来控制驱动电机的转速，从而抑制钻杆和钻具组合的扭矩振荡和转速振荡。该系统解决了现有技术中硬件连接复杂、系统工作不稳定、实现效果不理想的问题。

为了实现上述技术方案，本发明采取如下技术解决方案：

一种基于主动阻尼法抑制钻杆粘滑振动的系统，包括：

——被控对象，包括驱动电机连接的齿轮箱，以及由齿轮箱带动的钻杆和钻具组合，用于实现石油钻井；

——变频器，包括PLC控制系统，PLC控制系统控制驱动电机的启动、停止和调速的工作状态，并设定电机主给定转速，变频器将驱动电机的当前状态反馈至控制单元；

——控制单元，包括主动阻尼控制器，用于对驱动电机的当前状态进行控制，抑制钻杆和钻具组合的扭矩振荡和转速振荡；

——人机交互装置，包括ARM芯片，完成控制单元的数据管理、人机操控；

——CAN总线，用于实现变频器与控制单元的自由通信。

所述变频器与驱动电机相连，驱动电机与由齿轮箱带动的钻杆和钻具组合相连，变频器通过CAN总线连接控制单元，控制单元通过串口连接人机交互装置。

进一步地，所述主动阻尼控制器包括估计器和控制器，估计器与控制器相连，控制器连接至变频器，变频器分别连接被控对象、估计器和控制器。

相应地，本发明进而给出了主动阻尼法抑制钻杆粘滑振动的系统的控制方法，该方法包括下述步骤：

1)变频器通过PLC控制系统给出设定的电机主给定转速，传输至被控对象，驱动钻杆起转；

2)变频器通过CAN总线将电机实际转速和电机实际扭矩传输至控制单元；

3)同时，人机交互装置将钻杆和钻具组合结构信息传输至控制单元；

4)控制单元对获取的电机实际转速和电机实际扭矩和钻杆和钻具组合结构信息进行优化运算，得到辅给定优化转速，并用最大转速来对辅给定优化转速进行限幅；

5)控制单元通过CAN总线将限幅后的辅给定优化转速传输至变频器，电机主给定转速和限幅后的辅给定优化转速的叠加转速共同控制钻杆和钻具组合的旋转钻进，抑制钻杆粘滑振动；

6)同时，人机交互装置实时地保存和显示电机实际转速和电机实际扭矩数据。

进一步地，所述控制单元的优化运算是通过下述方法来实现的：

a)构建估计器，估计器根据电机转速和电机扭矩实时地获取钻头转速估计值和钻杆扭矩估计值，估计器通过二阶扰动模型来得到钻杆扭矩估计值和钻头转速估计值；

b)控制器将电机扭矩和所述钻杆扭矩估计值与变频器PLC控制系统设定的电机主给定转速进行比较运算，得到辅给定优化转速。

进一步地，所述通过二阶扰动模型得到钻杆扭矩估计值和钻头转速估计值的方法如下：

①构建二阶扰动模型：

式中，J₁为电机的转动惯量，为折算到电机轴侧的钻杆扭矩估计值，为折算到电机轴侧的钻杆扭矩微分的估计值，w₁为电机实际转速，为电机转速估计值，Ka、Kb、Kc分别为比例系数；

②对上式进行拉氏变换，与等式：

m₂＝m₁-J₁sw₁(s)

联立，式中，m₁为电机实际扭矩，m₂为折算到电机轴侧的钻杆扭矩，s为微分因子；

得到对m₂的传递函数H(s)：

③将上述(2)式传递函数H(s)的特征多项式：

A(s)＝(J₁/Kc)s³+(J₁Ka/Kc)s²+(Kb/Kc)s+1   (3)

各项系数选取最优特征比为0.5，得到比例系数Ka、Kb、Kc的值；

④钻杆扭矩估计值利用上述(2)式得到；

⑤将钻杆扭矩估计值带入式(1)，并与下式联立：

式中，i为齿轮箱的减速比，c为钻杆刚度系数，为钻头转速估计值；由此得到钻头转速估计值利用此估计值判断钻杆是否发生粘滑振动。

进一步地，所述通过控制器得到辅给定优化转速由如下方式实现：

①通过估计器得到的钻杆扭矩估计值得到辅给定优化转速w：

式中，k₁、k₂分别为比例项，m₁为电机实际扭矩；

②计算比例项k₁、k₂的值：

构建系统特征方程为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{Ts}}^5+(1+{\mathrm{kpk}}_1)s^4+(w_0^{2}T+\frac{\mathrm{kp}}{J_1}+\frac{{\mathrm{kpk}}_1}{\mathrm{\τ}})s^3+(w_0^2+\frac{\mathrm{kp}}{J_1\mathrm{\τ}}+{\mathrm{kpk}}_2{w}_{01}^2+{\mathrm{kpk}}_1{w}_0^2)s^2\\ +(\frac{{\mathrm{kpk}}_2{w}_{01}^2}{\mathrm{\τ}}+\frac{{\mathrm{kpw}}_{02}^2}{J_1}+\frac{{\mathrm{kpk}}_1{w}_0^2}{\mathrm{\τ}})s+\frac{{\mathrm{kpw}}_{02}^2}{J_1\mathrm{\τ}}=0\end{array}---\left(6\right)$

式中，T为采样时间，kp、τ分别是变频器转速环的比例增益和时间常数，J₁为电机的转动惯量，w₀₁、w₀₂、w₀分别为电机、钻具组合以及整个系统的振动自然频率；

期望系统特征方程为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{Ts}}^5+(1+T\frac{d}{c}{w}_0^2)s^4+(w_0^{2}T+\frac{\mathrm{kp}}{J_1}+\frac{T}{\mathrm{\τ}}\frac{d}{c}{w}_0^2)s^3+(w_0^2+\frac{\mathrm{kp}}{J_1\mathrm{\τ}}+\mathrm{kp}\frac{d}{c}\frac{w_{02}^2}{J_1})s^2\\ +(\frac{{\mathrm{kpw}}_{02}^2}{J_1}+\mathrm{kp}\frac{d}{c}\frac{w_{02}^2}{\mathrm{\τ}{J}_1})s+\frac{{\mathrm{kpw}}_{02}^2}{J_1\mathrm{\τ}}=0\end{array}---\left(7\right)$

式中，i为齿轮箱的减速比，c为钻杆刚度系数，d为钻杆阻尼系数；

由上述方程(6)与方程(7)，得到两个比例项的值：

$k_1=T\frac{d}{c}{w}_0^2/\mathrm{kp}$

$k_2=(\frac{d}{c}{w}_{02}^2/J_1-K_1{w}_0^2)/w_{01}^2$

③将比例项k₁、k₂的值代入上述(5)式，得到辅给定优化转速w。从而主动补偿系统阻尼，达到抑制粘滑振动的目的。

相对于现有技术，本发明的特点在于：

(1)本发明系统是基于顶部驱动钻井技术的地面控制技术，硬件结构简单，无需添加任何井底设备就能够实现抑制钻杆粘滑振动。

(2)本发明采用了主动阻尼控制器，与现有变频器顶驱PLC控制系统无缝集成，其运算处理速度快，具有良好的实时性能；

(3)本发明采用了主动阻尼控制器中的估计器和控制器进行优化运算，得到的辅给定优化转速与电机主给定转速叠加控制驱动电机，能够有效地抑制钻杆粘滑振动；

(4)估计器二阶扰动模型考虑了电机转速的估计误差，能够有效地估计当前的钻杆扭矩和钻头转速；

(5)控制器主动阻尼算法主动补偿系统阻尼，能够得到辅给定优化转速，并且用最大转速来对辅给定优化转速进行限幅，在能够保证系统安全的基础上达到控制的目的；

(6)具有人机交互界面，操作便捷，灵活性高；

(7)系统通信稳定，具有良好的抗干扰性。

在本发明的控制算法中，由于钻杆的实际转速和实际扭矩都是不可测的，所以采用估计器实时地估计钻杆扭矩和钻头转速，控制器主动补偿系统阻尼，控制变频器的输出转速，进而控制钻杆和钻具组合。

附图说明

图1是硬件结构和系统总体设计图；

图2是粘滑控制系统结构图；

图3是钻杆粘滑控制系统钻杆扭矩的控制曲线；

图4是钻杆粘滑控制系统钻头转速的控制曲线。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。

如图1所示，本发明的基于主动阻尼法抑制钻杆粘滑振动的系统，包括：

被控对象，包括驱动电机连接的齿轮箱，以及由齿轮箱带动的钻杆和钻具组合，用于实现石油钻井；变频器，包括PLC控制系统，PLC控制系统控制驱动电机的启动、停止和调速的工作状态，并设定主给电机定转速，变频器将驱动电机的当前状态反馈至控制单元；控制单元，包括主动阻尼控制器，用于对驱动电机的当前状态进行控制调整，抑制钻杆和钻具组合的扭矩振荡和转速振荡；人机交互装置，包括ARM芯片，完成控制单元的数据管理、人机操控，能够由此获取钻杆和钻具组合的结构信息，还能够实时保存和显示电机转速和电机扭矩等数据；CAN总线，用于实现变频器与控制单元的自由通信。变频器与驱动电机连接，驱动电机与由齿轮箱带动的钻杆和钻具组合相连，变频器通过CAN总线连接控制单元，控制单元通过串口连接人机交互装置。

其中，控制单元是控制系统的核心装置，主要由主动阻尼控制器采用主动阻尼算法实现。主动阻尼控制器包括估计器和控制器，估计器根据电机实际转速和电机实际扭矩实时地估计钻头转速和钻杆扭矩，控制器将所述钻头转速估计值和电机实际扭矩与变频器PLC控制系统设定的电机主给定转速和进行比较估算，得到辅给定优化转速，将最大转速限幅后的辅给定优化转速传输至变频器，进而控制钻杆和钻具组合的旋转钻进，抑制钻杆粘滑振动。见图2所示。

本发明下面具体给出了主动阻尼法抑制钻杆粘滑振动的系统的控制方法，包括下述步骤：

1)变频器通过PLC控制系统给出设定的电机主给定转速，传输至被控对象，驱动钻杆起转；

2)变频器通过CAN总线将电机实际转速和电机实际扭矩传输至控制单元；

3)同时，人机交互装置将钻杆和钻具组合结构信息传输至控制单元；

4)控制单元对获取的电机实际转速和电机实际扭矩和钻杆和钻具组合结构信息进行优化运算，得到辅给定优化转速，并用最大转速来对辅给定优化转速进行限幅；

控制单元的优化运算是通过下述方法来实现的：

a)构建估计器，估计器根据电机转速和电机扭矩实时地获取钻头转速估计值和钻杆扭矩估计值，估计器通过二阶扰动模型来得到钻杆扭矩估计值和钻头转速估计值，方法如下：

①构建二阶扰动模型：

式中，J₁为电机的转动惯量，为折算到电机轴侧的钻杆扭矩估计值，为折算到电机轴侧的钻杆扭矩微分的估计值，w₁为电机实际转速，为电机转速估计值，Ka、Kb、Kc分别为比例系数；

②将上式进行拉氏变换，与等式m₂＝m₁-J₁sw₁(s)联立，式中，m₁为电机实际扭矩，m₂为折算到电机轴侧的钻杆扭矩，s为微分因子；

得到对m₂的传递函数H(s)：

③将上述(2)式传递函数H(s)的特征多项式：

A(s)＝(J₁/Kc)s³+(J₁Ka/Kc)s²+(Kb/Kc)s+1   (3)

各项系数选取最优特征比为0.5，得到比例系数Ka、Kb、Kc的值；

④钻杆扭矩估计值利用上述(2)式得到；

⑤将钻杆扭矩估计值带入式(1)，并与下式联立：

式中，i为齿轮箱的减速比，c为钻杆刚度系数，为钻头转速估计值。由此得到钻头转速估计值利用此估计值判断钻杆是否发生粘滑振动；

b)控制器将电机实际扭矩和所述钻杆扭矩估计值与变频器PLC控制系统设定的电机主给定转速进行比较运算，得到辅给定优化转速。其具体方法如下：

①通过估计器得到的钻杆扭矩估计值得到辅给定优化转速w：

式中，k₁、k₂分别为比例项，m₁为电机实际扭矩；

②计算比例项k₁、k₂的值：

构建系统特征方程为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{Ts}}^5+(1+{\mathrm{kpk}}_1)s^4+(w_0^{2}T+\frac{\mathrm{kp}}{J_1}+\frac{{\mathrm{kpk}}_1}{\mathrm{\τ}})s^3+(w_0^2+\frac{\mathrm{kp}}{J_1\mathrm{\τ}}+{\mathrm{kpk}}_2{w}_{01}^2+{\mathrm{kpk}}_1{w}_0^2)s^2\\ +(\frac{{\mathrm{kpk}}_2{w}_{01}^2}{\mathrm{\τ}}+\frac{{\mathrm{kpw}}_{02}^2}{J_1}+\frac{{\mathrm{kpk}}_1{w}_0^2}{\mathrm{\τ}})s+\frac{{\mathrm{kpw}}_{02}^2}{J_1\mathrm{\τ}}=0\end{array}---\left(6\right)$

式中，T为采样时间，kp、τ分别是变频器转速环的比例增益和时间常数，J₁为电机的转动惯量，w₀₁、w₀₂、w₀分别为电机、钻具组合以及整个系统的振动自然频率；

期望系统特征方程为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{Ts}}^5+(1+T\frac{d}{c}{w}_0^2)s^4+(w_0^{2}T+\frac{\mathrm{kp}}{J_1}+\frac{T}{\mathrm{\τ}}\frac{d}{c}{w}_0^2)s^3+(w_0^2+\frac{\mathrm{kp}}{J_1\mathrm{\τ}}+\mathrm{kp}\frac{d}{c}\frac{w_{02}^2}{J_1})s^2\\ +(\frac{{\mathrm{kpw}}_{02}^2}{J_1}+\mathrm{kp}\frac{d}{c}\frac{w_{02}^2}{\mathrm{\τ}{J}_1})s+\frac{{\mathrm{kpw}}_{02}^2}{J_1\mathrm{\τ}}=0\end{array}---\left(7\right)$

式中，i为齿轮箱的减速比，c为钻杆刚度系数，d为钻杆阻尼系数。

由上述方程(6)与方程(7)，得到两个比例项的值：

$k_1=T\frac{d}{c}{w}_0^2/\mathrm{kp}$

$k_2=(\frac{d}{c}{w}_{02}^2/J_1-K_1{w}_0^2)/w_{01}^2$

③将比例项k₁、k₂的值代入上述(5)式，得到辅给定优化转速w；从而主动补偿系统阻尼，达到抑制粘滑振动的目的；

5)控制单元通过CAN总线将限幅后的辅给定优化转速传输至变频器，电机主给定转速和限幅后的辅给定优化转速的叠加转速共同控制钻杆和钻具组合的旋转钻进，抑制钻杆粘滑振动；

6)同时，人机交互装置实时地保存和显示电机实际转速和电机实际扭矩等数据。

本发明的优点可通过以下仿真实验进一步说明：

1.仿真条件

基于以上分析，搭建了被控对象模型，并建立了钻杆粘滑控制的仿真模型。变频器在100s前输入为电机主给定转速，模拟粘滑振动形式，在100s后系统引入控制算法，变频器输入为电机主给定转速和辅给定优化转速的叠加转速。其中，电机主给定转速为n＝2400rpm，辅给定优化转速的最大转速为n_max＝400rpm。

2.仿真结果

利用以上仿真条件建立控制系统模型，将电机实际扭矩和电机实际转速引入到估计器，电机实际扭矩估计器和输出的钻杆扭矩估计值送入到控制器得到辅给定优化转速，辅给定优化转速与电机主给定转速求和得到的叠加转速送入到变频器，进而控制驱动电机。钻杆扭矩控制曲线见图3所示，钻头转速控制曲线见图4所示。

从图中结果可以看出，钻杆扭矩和钻头速度在50s后就进入稳定状态，可见该控制器能够快速准确地抑制粘滑振动，动态性能和稳态性能良好。

以上所述，仅是本发明针对本发明应用的实施例，可以使本领域的技术人员更全面的理解本发明，但并非对本发明做任何限制。按照本发明技术方案，上述实施例可举出很多例子。凡是根据本发明技术方案所给出的范围和对以上实施例所做的任何简单的修改和变更，均属于本发明技术方案的保护范围。大量的实验结果表明，在本发明权利要求书所提出的范围，均可达到本发明的目的。

Claims (6)

1.一种基于主动阻尼法抑制钻杆粘滑振动的系统，其特征在于，包括：

——被控对象，包括驱动电机连接的齿轮箱，以及由齿轮箱带动的钻杆和钻具组合，用于实现石油钻井；

——变频器，包括PLC控制系统，PLC控制系统控制驱动电机的启动、停止和调速的工作状态，并设定电机主给定转速，变频器将驱动电机的当前状态反馈至控制单元；

——控制单元，包括主动阻尼控制器，用于对驱动电机的当前状态进行控制，抑制钻杆和钻具组合的扭矩振荡和转速振荡；

——人机交互装置，包括ARM芯片，完成控制单元的数据管理、人机操控；

——CAN总线，用于实现变频器与控制单元的自由通信；

所述变频器与驱动电机相连，驱动电机与由齿轮箱带动的钻杆和钻具组合相连，变频器通过CAN总线连接控制单元，控制单元通过串口连接人机交互装置。

2.根据权利要求1所述的系统，其特征在于，所述主动阻尼控制器包括估计器和控制器，估计器与控制器相连，控制器连接至变频器，变频器分别连接被控对象、估计器和控制器。

3.基于权利要求1所述主动阻尼法抑制钻杆粘滑振动的系统的控制方法，其特征在于，该方法包括下述步骤：

1)变频器通过PLC控制系统给出设定的电机主给定转速，传输至被控对象，驱动钻杆起转；

2)变频器通过CAN总线将电机实际转速和电机实际扭矩传输至控制单元；

3)同时，人机交互装置将钻杆和钻具组合结构信息传输至控制单元；

4)控制单元对获取的电机实际转速和电机实际扭矩和钻杆和钻具组合结构信息进行优化运算，得到辅给定优化转速，并用最大转速来对辅给定优化转速进行限幅；

5)控制单元通过CAN总线将限幅后的辅给定优化转速传输至变频器，电机主给定转速和限幅后的辅给定优化转速的叠加转速共同控制钻杆和钻具组合的旋转钻进，抑制钻杆粘滑振动；

6)同时，人机交互装置实时地保存和显示电机实际转速和电机实际扭矩数据。

4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，所述控制单元的优化运算是通过下述方法来实现的：

a)构建估计器，估计器根据电机实际转速和电机实际扭矩实时地获取钻头转速估计值和钻杆扭矩估计值，估计器通过二阶扰动模型来得到钻杆扭矩估计值和钻头转速估计值；

b)控制器对电机实际扭矩和所述钻杆扭矩估计值与变频器PLC控制系统设定的电机主给定转速进行比较运算，得到辅给定优化转速。

5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，所述通过二阶扰动模型得到钻杆扭矩估计值和钻头转速估计值的方法如下：

①构建二阶扰动模型：

式中，J₁为电机的转动惯量，为折算到电机轴侧的钻杆扭矩估计值，为折算到电机轴侧的钻杆扭矩微分的估计值，w₁为电机实际转速，为电机转速估计值，Ka、Kb、Kc分别为比例系数；

②对上式进行拉氏变换，与等式：

m₂＝m₁-J₁sw₁(s)

联立，式中，m₁是电机实际扭矩，m₂为折算到电机轴侧的钻杆扭矩，s为微分因子；

得到对m₂的传递函数H(s)：

③将上述(2)式传递函数H(s)的特征多项式：

A(s)＝(J₁/Kc)s³+(J₁Ka/Kc)s²+(Kb/Kc)s+1   (3)

各项系数选取最优特征比为0.5，得到比例系数Ka、Kb、Kc的值；

④钻杆扭矩估计值利用上述(2)式得到；

⑤将钻杆扭矩估计值带入式(1)，并与下式联立：

式中，i为齿轮箱的减速比，c为钻杆刚度系数，为钻头转速估计值；由此得到钻头转速估计值利用此估计值判断钻杆是否发生粘滑振动。

6.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，所述通过控制器得到辅给定优化转速由如下方式实现：

①通过估计器得到的钻杆扭矩估计值得到辅给定优化转速w：

式中，k₁、k₂分别为比例项，m₁为电机实际扭矩；

②计算比例项k₁、k₂的值：

构建系统特征方程为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{Ts}}^5+(1+{\mathrm{kpk}}_1)s^4+(w_0^{2}T+\frac{\mathrm{kp}}{J_1}+\frac{{\mathrm{kpk}}_1}{\mathrm{\τ}})s^3+(w_0^2+\frac{\mathrm{kp}}{J_1\mathrm{\τ}}+{\mathrm{kpk}}_2{w}_{01}^2+{\mathrm{kpk}}_1{w}_0^2)s^2\\ +(\frac{{\mathrm{kpk}}_2{w}_{01}^2}{\mathrm{\τ}}+\frac{{\mathrm{kpw}}_{02}^2}{J_1}+\frac{{\mathrm{kpk}}_1{w}_0^2}{\mathrm{\τ}})s+\frac{{\mathrm{kpw}}_{02}^2}{J_1\mathrm{\τ}}=0\end{array}---\left(6\right)$

式中，T为采样时间，kp、τ分别是变频器转速环的比例增益和时间常数，J₁为电机的转动惯量，w₀₁、w₀₂、w₀分别为电机、钻具组合以及整个系统的振动自然频率；

期望系统特征方程为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{Ts}}^5+(1+T\frac{d}{c}{w}_0^2)s^4+(w_0^{2}T+\frac{\mathrm{kp}}{J_1}+\frac{T}{\mathrm{\τ}}\frac{d}{c}{w}_0^2)s^3+(w_0^2+\frac{\mathrm{kp}}{J_1\mathrm{\τ}}+\mathrm{kp}\frac{d}{c}\frac{w_{02}^2}{J_1})s^2\\ +(\frac{{\mathrm{kpw}}_{02}^2}{J_1}+\mathrm{kp}\frac{d}{c}\frac{w_{02}^2}{\mathrm{\τ}{J}_1})s+\frac{{\mathrm{kpw}}_{02}^2}{J_1\mathrm{\τ}}=0\end{array}---\left(7\right)$

式中，i为齿轮箱的减速比，c为钻杆刚度系数，d为钻杆阻尼系数；

由上述方程(6)与方程(7)，得到两个比例项的值：

$k_1=T\frac{d}{c}{w}_0^2/\mathrm{kp}$

$k_2=(\frac{d}{c}{w}_{02}^2/J_1-K_1{w}_0^2)/w_{01}^2$

③将比例项k₁、k₂的值代入上述(5)式，得到辅给定优化转速w。