CN103905348A - 基于相关函数线性预测和泰勒分解的双阶段频率估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供的是一种基于相关函数线性预测和泰勒分解的双阶段频率估计方法。该方法将频率估计分成两个阶段来完成：基于相关函数线性预测的频率粗估计阶段和基于泰勒分解的频率精估计阶段。在频率粗估计阶段，利用线性预测的方法对信号的相关函数进行预测，之后根据线性预测的相关函数来估计信号的频率，得到了频率粗估计值。在频率精估计阶段，定义频率粗估计的估计偏差，将粗估计的偏差带入到相关函数中，再利用泰勒公式分解相关函数，分离出偏差项。根据最小均方误差准则估计该偏差，最终得到信号频率的精确估计。本发明具有频率估计范围广、性能稳定和精度高的优点。

Description

基于相关函数线性预测和泰勒分解的双阶段频率估计方法

技术领域

本发明涉及的是一种信号处理的参数估计方法，本发明还涉及无线通信系统的信号检测领域。

背景技术

在信号处理领域和无线通信系统中，接收信号的频率估计问题已经引起了人们的广泛注意。在无线信号的传输过程中，信号会受到反射、散射、干扰、多径和多普勒效应的影响，使得在信号接收机终端接收的信号已经和发射机发射的原始信号有很大的不同，因此只有从未知的信号中正确的估计出信号频率，才能从混合接收信号中解调出需要的有用信号。

频率估计算法可以分为频域的估计算法和时域的估计算法。频域的估计算法主要是以傅里叶变换（DFT）为基础，通过傅里叶变换将时域信号变成频域信号，进而根据频域信号的频谱特性估计信号的频率。由于DFT估计存在“栅栏效应”、“能量泄露”的问题，一些基于DFT的改进方法被人们提出，其中主要包括有DFT插值法、DFT比值法和DFT迭代算法。DFT插值法和DFT比值法，其主要思想是在离真实信号频率最近的两个频谱线之间插入新的谱线，或根据这两个谱线的值的比值对估计值进行修正。但是由于干扰噪声的影响，在信噪比较低的情况下这些方法可能会导致错误的插值区间判断和错误的谱线比值计算，因此不但不能降低原始的估计误差，反而会引入更大的修正误差。DFT迭代算法是采用迭代逼近的思想，通过多次的DFT估计以不断提高估计精度，虽然该方法的估计精度较高，但是其迭代运算的复杂度也是非常高，因此不适合于实际应用。

时域的频率估计方法主要包括基于线性预测的频率估计和基于信号相关性的频率估计。基于线性预测的基本思想是利用过去的信号信息来预测当前的信号信息。由于采用的预测长度较短和受噪声影响较大的原因，线性预测的精度不是很高。基于信号相关性的频率估计需要大量的数据来计算信号的相关性，在提高精度的同时带来了更高的复杂度。

发明内容

本发明的目的在于提供一种频率估计范围广、性能稳定和精度高的基于相关函数线性预测和泰勒分解的双阶段频率估计方法。

本发明的目的是这样实现的：

阶段一：频率粗估计

（1.1）信号相关性的估计

接受信号为

x(n)=Aexp[j(φ₀+wnT_s)]+v(n)  n=1,2,3,...,N

其中：A是信号的幅度，φ₀是信号的初始相位，w是信号的角频率，T_s是采样周期，N是信号长度，v(n)是服从复高斯分布的加性噪声；

选取长度为N的接收信号来估计信号的相关函数

$\hat{r}\left(p\right)=\frac{1}{N-p}\underset{n=1}{\overset{N-p}{\mathrm{\Σ}}}x*\left(n\right)x(n+p)$

其中：p为时延，0≤p≤N-1；

（1.2）相关函数的线性预测

用前一时刻的相关函数值

预测当前时刻的相关函数值

由接收信号x(n)理论上的相关函数

r(p)=E[x*(n)x(n+p)]=A²e^jwp

构建相关函数的线性预测，

r(p)=A²e^jwp=e^jwA²e^jw(p-1)=e^jwr(p-1)

用估计的相关函数替代理论的相关函数得

$\hat{r}\left(p\right)\≈e^{\mathrm{jw}}r(p-1);$

（1.3）频率粗估计

相关函数线性预测的误差为e(p)，

$e\left(p\right)=\hat{r}(p+1){-e}^{\mathrm{jwp}}\hat{r}\left(p\right)$

根据最小均方误差估计准则，通过使线性预测的均方误差最小，来获得信号频率的估计值，

线性预测的均方误差为

$E\left(w\right)=\underset{p=1}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|e\left(p\right)\right|}^2=\underset{p=1}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\hat{r}(p+1)-e^{\mathrm{jwp}}\hat{r}\left(p\right)\right|}^2$

其中：M表示选取的相关函数的长度，1≤M≤N-1，通过最小化得到信号频率的估计值为

${\hat{w}}_1=\arg \underset{w}{\min }\left\{E\left(w\right)\right\}=\frac{1}{2}\∠\frac{\underset{p=1}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}\hat{r}*\left(p\right)\hat{r}(p+1)}{\underset{p=1}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}\hat{r}*(p+1)\hat{r}\left(p\right)}$

其中：∠x表示求取x的角度值，

即为在频率粗估计阶段得到频率粗估计值；

阶段二：频率精估计

（2.1）利用泰勒公式分解相关函数

频率偏差为

则信号的频率表示为

将信号频率的表达式代入估计的相关函数中，得到

$\hat{r}\left(p\right)\≈A^2{e}^{j({\hat{w}}_1+\mathrm{\Δw})p}$

与

相比，Δw是一个极小值，利用泰勒公式对相关函数进行分解，将信号的相关函数在

处展开，使频差信息Δw从相关函数的相位中分离出来，对相关函数进行泰勒分解，并且忽略高次项得

$\hat{r}\left(p\right)\≈A^2{e}^{j({\hat{w}}_1+\mathrm{\Δw})p}\≈A^2\{e^{j{\hat{w}}_{1}p}+e^{j{\hat{w}}_{1}p}\left(\mathrm{j\Δwp}\right)\};$

（2.2）频率精估计

估计的相关函数和泰勒分解式的差值为e′(p)，则

$e^{\′}\left(p\right)=\hat{r}\left(p\right)-A^2\{e^{j{\hat{w}}_{1}p}+e^{j{\hat{w}}_{1}p}\left(\mathrm{j\Δwp}\right)\}$

根据最小均方误差估计准则，通过使均方误差最小来获得频差Δw的估计值，均方误差为

$E^{\′}\left(\mathrm{\Δw}\right)=\underset{p=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\left|e^{\′}\left(p\right)\right|}^2=\underset{p=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{|\hat{r}\left(p\right)-A^2\{e^{j{\hat{w}}_{1}p}+e^{j{\hat{w}}_{1}p}\left(\mathrm{j\Δwp}\right)\left\}\right|}^2$

其中：M表示选取的相关函数的长度，1≤M≤N-1，求最小值，得频差的估计值为

$\mathrm{\Δ}\hat{w}=\arg \underset{\mathrm{\Δw}}{\min }\left\{E^{\′}\left(\mathrm{\Δw}\right)\right\}=\frac{1}{2}\frac{\underset{p=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{jp}\frac{\hat{r}*\left(p\right)}{A^2}{e}^{j{\hat{w}}_{1}p}-\underset{p=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{jp}\frac{\hat{r}\left(p\right)}{A^2}{e}^{-j{\hat{w}}_{1}p}}{\underset{p=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{p}^2}$

得到频差的估计值

之后，信号频率最终的估计值为

为了利用线性预测复杂度低的优点，同时克服线性预测精度不高的缺点，本发明采用双阶段的频率估计算法：第一阶段通过对相关函数进行线性预测得到频率的粗估计值，第二阶段利用泰勒公式分解相关函数，得到频率粗估计偏差的表达式，根据最小均方误差准则估计出该偏差，最终获得高精度的频率估计。

本发明是一种高精度且复杂度较低的频率估计方法。在频率粗估计阶段，利用线性预测对接收信号的相关函数进行预测，根据最小均方误差准则得到信号频率的粗估计。在频率精估计阶段，定义粗估计阶段的估计频差，利用泰勒公式分解相关函数，得到频差的表达式，再根据最小均方误差准则估计出频差，最终实现高精度的频率估计。本发明具有频率估计范围广、性能稳定和精度高的优点。

附图说明

图1是频率粗估计的操作流程图。

图2是频率精估计的操作流程图。

图3是在低频时（w=0.05）时本发明与其他频率估计方法的性能比较图。

图4是在中频时（w=0.35）时本发明与其他频率估计方法的性能比较图。

图5是在中频时（w=0.85）时本发明与其他频率估计方法的性能比较图。

图6是总体流程图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作更详细的描述：

本发明主要包括两个阶段：频率粗估计阶段（如图1所示）和频率精估计阶段（如图2所示）。频率粗估计阶段主要包括有：信号的接收、信号相关函数的估计、线性预测相关函数和根据最小均方误差准则估计信号频率。频率精估计阶段主要包括有：定义频率粗估计偏差、将粗估计偏差代入到相关函数中、利用泰勒公式分解相关函数和根据最小均方误差准则估计粗估计偏差。接下来详细介绍每个流程都是如何操作的。

步骤一：频率粗估计

（1）信号的接收

在实际的通信系统中，接收信号一般用含有噪声的复正弦信号进行表示，经过接收机终端采样后，实际处理的信号为

x(n)=Aexp[j(φ₀+wnT_s)]+v(n)  n=1,2,3,...,N

其中，A是信号的幅度，φ₀是信号的初始相位，w是信号的角频率，T_s是采样周期，N是信号长度，v(n)是服从复高斯分布的加性噪声。

（2）信号相关函数的估计

由于接收信号中含有噪声，因此为了降低噪声的影响，通常利用信号的相关函数进行频率估计。对于接收信号x(n)来说，它的相关函数为

r(p)=E[x*(n)x(n+p)]

其中，p为时延，0≤p≤N-1，E[]表示求均值，()*表示求共轭。

上式的相关函数是理论上的定义，而在实际中，由于噪声的存在，无法知道x*(n)x(n+p)的均值是多少。因此在实际中，通过对一定长度的接收信号进行求和操作来消除噪声的影响，同时实现求均值的操作。

设选取的接收信号长度为N，则估计的相关函数为

$\hat{r}\left(p\right)=\frac{1}{N-p}\underset{n=1}{\overset{N-p}{\mathrm{\Σ}}}x*\left(n\right)x(n+p),p=\mathrm{0,1,2},\·\·\·,N-1$

（3）线性预测相关函数

由于信号的相关函数中包含有信号的频率信息，而通过对相关函数的线性预测，可以实现对预测方程中的包含频率信息的系数的估计，进而得到信号频率的估计值。具体分析如下：

将接收信号x(n)=Aexp[j(φ₀+wnT_s)]+v(n)带入其理论的相关函数中，可以得到

r(p)=E[x*(n)x(n+p)]=A²e^jwp

对上式进行相应的变换可得

r(p)=A²e^jwp=A²e^jw(p-1)e^jw=r(p-1)e^jw

从上式中可以看到，前一时刻的相关函数值r(p-1)与当前时刻的相关函数值r(p)满足线性关系，而线性方程的系数e^jw刚好包含有信号的频率信息，因此可以通过方程系数e^jw的估计来实现对信号频率w的估计。

将估计的相关函数值带入理论的相关函数线性预测方程，可得

$\hat{r}\left(p\right)\≈\hat{r}(p-1)e^{\mathrm{jw}}$

（4）根据最小均方误差准则估计信号频率

由于噪声的影响，估计的相关函数值与理论的相关函数会存在偏差，因此利用估计的相关函数进行线性预测时也会差生误差。定义相关函数线性预测的误差为：

$e\left(p\right)=\hat{r}(p+1)-\hat{r}\left(p\right)e^{\mathrm{jw}}$

则相应的均方均方误差可以表示为

$E\left(w\right)=\underset{p=1}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|e\left(p\right)\right|}^2=\underset{p=1}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\hat{r}(p+1)-\hat{r}\left(p\right)e^{\mathrm{jw}}\right|}^2$

其中，M表示选取的相关函数的长度，1≤M≤N-1。

根据最小均方误差准则，同时使上式的值最小得到估计的频率值为

${\hat{w}}_1=\arg \underset{w}{\min }\left\{E\left(w\right)\right\}=\frac{1}{2}\∠\frac{\underset{p=1}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}\hat{r}*\left(p\right)\hat{r}(p+1)}{\underset{p=1}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}\hat{r}*(p+1)\hat{r}\left(p\right)}$

其中，∠x表示求取x的角度值。

步骤二：频率精估计

（1）定义频率粗估计偏差

在前面的频率粗估计阶段，通过线性预测信号的相关函数，得到了信号频率的粗估计值

但是由于线性预测的精度不是很高，估计的频率值

与信号的实际频率值w存在一定的偏差。接下来为了提高频率估计的精度，需要估计在频率粗估计阶段产生的估计偏差。

定义在频率粗估计阶段产生的估计偏差为

$\mathrm{\Δw}=w-{\hat{w}}_1$

频率精估计的最终目的就是实现对粗估计偏差Δw的估计，进而得到更精确的信号频率估计值。

（2）将粗估计偏差代入到相关函数中

在定义了粗估计偏差Δw之后，需要将粗估计偏差代入到相关函数中，之后再根据相关函数值估计粗估计偏差Δw。用频率粗估计值

和粗估计偏差Δw来表示信号的实际频率，可得

$w={\hat{w}}_1+\mathrm{\Δw}$

将上式带入到信号理论上的相关函数中，可得

$\hat{r}\left(p\right)=A^2{e}^{j({\hat{w}}_1+\mathrm{\Δw})p}$

在频率粗估计阶段已经对信号的相关函数进行过估计，因此将估计的相关函数值代入上式可得

$\hat{r}\left(p\right)\≈A^2{e}^{j({\hat{w}}_1+\mathrm{\Δw})p}$

由于估计的相关函数值是已知的，因此可以通过上式估计出粗估计偏差Δw。

（3）利用泰勒公式分解相关函数

虽然得到了粗估计偏差Δw与估计的相关函数

的对应关系，但是由于

和Δw一起存在于

的相位信息中，当p值较大时，的值很可能大于2π，此时就会引起相位模糊问题，无法通过求取

的相位信息直接估计粗估计偏差Δw。

基于上述问题，本发明利用泰勒公式对相关函数进行分解，不仅可以将Δw与

分离，而且还能将Δw从相关函数的相位信息中分离出来，这样就解决了相位模糊的问题，进而可以对Δw进行估计。

与

相比，Δw是一个极小量，因此可以利用泰勒分解公式，将理论的相关函数在频率粗估计值

处展开，得到

$A^2{e}^{j({\hat{w}}_1+\mathrm{\Δw})p}=A^2\{e^{j{\hat{w}}_{1}p}+e^{j{\hat{w}}_{1}p}\left(\mathrm{j\Δwp}\right)+\frac{1}{2}{e}^{j{\hat{w}}_{1}p}{\left(\mathrm{j\Δwp}\right)}^2+\·\·\·+R_n\left({\hat{w}}_1\right)\}$

其中，

表示拉格朗日余子式，n为正整数。

$R_n\left({\hat{w}}_1\right)=\frac{1}{(n+1)!}{e}^{j{\hat{w}}_{1}p}{\left(\mathrm{j\Δwp}\right)}^{n+1}$

其中，()!表示阶乘操作。

由于Δw为极小值，泰勒分解式中含有Δw高阶项的值更加小，因此忽略泰勒分解式中的高阶项，可得

$A^2{e}^{j({\hat{w}}_1+\mathrm{\Δw})p}\≈A^2\{e^{j{\hat{w}}_{1}p}+e^{j{\hat{w}}_{1}p}\left(\mathrm{j\Δwp}\right)\}$

从上式中可以看到，利用泰勒分解相关函数之后，将Δw从相位中分离了出来，此时不再存在相位模糊问题了，可以利用该式估计Δw的值。

（4）根据最小均方误差准则估计粗估计偏差

利用估计的相关函数值替代理论的相关函数值，同时定义估计的相关函数和泰勒分解式的差值为e′(p)，于是有

$e^{\′}\left(p\right)=\hat{r}\left(p\right)-A^2\{e^{j{\hat{w}}_{1}p}+e^{j{\hat{w}}_{1}p}\left(\mathrm{j\Δwp}\right)\}$

则相应的均方误差表示为

$E^{\′}\left(\mathrm{\Δw}\right)=\underset{p=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\left|e^{\′}\left(p\right)\right|}^2=\underset{p=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{|\hat{r}\left(p\right)-A^2\{e^{j{\hat{w}}_{1}p}+e^{j{\hat{w}}_{1}p}\left(\mathrm{j\Δwp}\right)\left\}\right|}^2$

其中，M表示选取的相关函数的长度，1≤M≤N-1。

根据最小均方误差准则，通过使均方误差最小可以得到Δw的估计值为

$\mathrm{\Δ}\hat{w}=\arg \underset{\mathrm{\Δw}}{\min }\left\{E^{\′}\left(\mathrm{\Δw}\right)\right\}=\frac{1}{2}\frac{\underset{p=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{jp}\frac{\hat{r}*\left(p\right)}{A^2}{e}^{j{\hat{w}}_{1}p}-\underset{p=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{jp}\frac{\hat{r}\left(p\right)}{A^2}{e}^{-j{\hat{w}}_{1}p}}{\underset{p=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{p}^2}$

最终得到信号频率的估计值为

结合附图对本发明的性能进行分析。

（1）在低频时（w=0.05）将本发明与其他频率估计方法进行性能比较

在信号频率极低（w=0.05）时，通过与其他的一些传统的频率估计算法进行比较来验证本发明的性能。如图3所示，将本发明与加权的相位平均法、加权的相关函数平均法、迭代傅里叶法以及克拉美罗下界进行对比。克拉美罗下界是用来描述频率估计算法理论上可以达到的最小均方误差。

从图3可以看到，本发明的性能可以达到克拉美罗下界，接近于理论上的最优估计性能。与其他估计算法相比，本发明性能也明显好于其他算法。

（2）在中频时（w=0.35）将本发明与其他频率估计方法进行性能比较

在信号频率适中（w=0.35）时，通过与其他的一些传统的频率估计算法进行比较来验证本发明的性能。如图4所示，将本发明与加权的相位平均法、加权的相关函数平均法、迭代傅里叶法以及克拉美罗下界进行对比。

从图4可以看到，本发明的性能可以达到克拉美罗下界，接近于理论上的最优估计性能。与其他估计算法相比，本发明与加权的相关函数平均法性能相近，且好于另外两种的算法。（3）在高频时（w=0.85）将本发明与其他频率估计方法进行性能比较

在信号频率很高（w=0.85）时，通过与其他的一些传统的频率估计算法进行比较来验证本发明的性能。如图5所示，将本发明与加权的相位平均法、加权的相关函数平均法、迭代傅里叶法以及克拉美罗下界进行对比。

从图5可以看到，本发明的性能可以达到克拉美罗下界，接近于理论上的最优估计性能。与其他估计算法相比，本发明与加权的相关函数平均法性能相近，且好于另外两种的算法。

综合来看，本发明在信号频率为低频、中频和高频时都具有极佳的估计性能，因此本发明具有频率估计范围广、性能稳定和精度高的优点。

Claims (1)

1.一种基于相关函数线性预测和泰勒分解的双阶段频率估计方法，其特征是：

阶段一：频率粗估计

（1.1）信号相关性的估计

接受信号为

x(n)=Aexp[j(φ₀+wnT_s)]+v(n)  n=1,2,3,...,N

其中：A是信号的幅度，φ₀是信号的初始相位，w是信号的角频率，T_s是采样周期，N是信号长度，v(n)是服从复高斯分布的加性噪声；

选取长度为N的接收信号来估计信号的相关函数

$\hat{r}\left(p\right)=\frac{1}{N-p}\underset{n=1}{\overset{N-p}{\mathrm{\Σ}}}x*\left(n\right)x(n+p)$

其中：p为时延，0≤p≤N-1；

（1.2）相关函数的线性预测

用前一时刻的相关函数值

预测当前时刻的相关函数值

由接收信号x(n)理论上的相关函数

r(p)=E[x*(n)x(n+p)]=A²e^jwp

构建相关函数的线性预测，

r(p)=A²e^jwp=e^jwA²e^jw(p-1)=e^jwr(p-1)

用估计的相关函数替代理论的相关函数得

$\hat{r}\left(p\right)\≈e^{\mathrm{jw}}r(p-1);$

（1.3）频率粗估计

相关函数线性预测的误差为e(p)，

$e\left(p\right)=\hat{r}(p+1){-e}^{\mathrm{jwp}}\hat{r}\left(p\right)$

根据最小均方误差估计准则，通过使线性预测的均方误差最小，来获得信号频率的估计值，线性预测的均方误差为

$E\left(w\right)=\underset{p=1}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|e\left(p\right)\right|}^2=\underset{p=1}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\hat{r}(p+1)-e^{\mathrm{jwp}}\hat{r}\left(p\right)\right|}^2$

其中：M表示选取的相关函数的长度，1≤M≤N-1，通过最小化得到信号频率的估计值为

${\hat{w}}_1=\arg \underset{w}{\min }\left\{E\left(w\right)\right\}=\frac{1}{2}\∠\frac{\underset{p=1}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}\hat{r}*\left(p\right)\hat{r}(p+1)}{\underset{p=1}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}\hat{r}*(p+1)\hat{r}\left(p\right)}$

其中：∠x表示求取x的角度值，即为在频率粗估计阶段得到频率粗估计值；

阶段二：频率精估计

（2.1）利用泰勒公式分解相关函数

频率偏差为

则信号的频率表示为

将信号频率的表达式代入估计的相关函数中，得到

$\hat{r}\left(p\right)\≈A^2{e}^{j({\hat{w}}_1+\mathrm{\Δw})p}$

与

相比，Δw是一个极小值，利用泰勒公式对相关函数进行分解，将信号的相关函数在

处展开，使频差信息Δw从相关函数的相位中分离出来，对相关函数进行泰勒分解，并且忽略高次项得

$\hat{r}\left(p\right)\≈A^2{e}^{j({\hat{w}}_1+\mathrm{\Δw})p}\≈A^2\{e^{j{\hat{w}}_{1}p}+e^{j{\hat{w}}_{1}p}\left(\mathrm{j\Δwp}\right)\};$

（2.2）频率精估计

估计的相关函数和泰勒分解式的差值为e′(p)，则

$e^{\′}\left(p\right)=\hat{r}\left(p\right)-A^2\{e^{j{\hat{w}}_{1}p}+e^{j{\hat{w}}_{1}p}\left(\mathrm{j\Δwp}\right)\}$

根据最小均方误差估计准则，通过使均方误差最小来获得频差Δw的估计值，均方误差为

$E^{\′}\left(\mathrm{\Δw}\right)=\underset{p=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\left|e^{\′}\left(p\right)\right|}^2=\underset{p=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{|\hat{r}\left(p\right)-A^2\{e^{j{\hat{w}}_{1}p}+e^{j{\hat{w}}_{1}p}\left(\mathrm{j\Δwp}\right)\left\}\right|}^2$

其中：M表示选取的相关函数的长度，1≤M≤N-1，求最小值，得频差的估计值为

$\mathrm{\Δ}\hat{w}=\arg \underset{\mathrm{\Δw}}{\min }\left\{E^{\′}\left(\mathrm{\Δw}\right)\right\}=\frac{1}{2}\frac{\underset{p=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{jp}\frac{\hat{r}*\left(p\right)}{A^2}{e}^{j{\hat{w}}_{1}p}-\underset{p=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{jp}\frac{\hat{r}\left(p\right)}{A^2}{e}^{-j{\hat{w}}_{1}p}}{\underset{p=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{p}^2}$

得到频差的估计值

之后，信号频率最终的估计值为

Images