CN103900691A - 一种用于分析大气湍流对波前整体倾斜扰动功率谱的方法 - Google Patents

Abstract

一种用于分析大气湍流对波前整体倾斜扰动功率谱的方法，其特征在于：在地平望远镜中，波前倾斜探测器探测得到的波前倾斜抖动功率谱中包含有大气湍流对波前整体倾斜扰动功率谱和望远镜跟踪误差功率谱，二阶AR模型迭代算法通过多次迭代，可以提高利用二阶AR模型拟合波前倾斜探测器探测得到的波前倾斜抖动功率谱中大气湍流对波前整体倾斜扰动功率谱的精度。本发明可以有效地提取波前倾斜探测器探测得到的波前倾斜抖动功率谱中包含的大气湍流对波前整体倾斜扰动功率谱，为大气湍流的研究以及望远镜的设计和改良提供基础。

Description

一种用于分析大气湍流对波前整体倾斜扰动功率谱的方法

技术领域

本发明涉及一种分析大气湍流对波前整体倾斜扰动功率谱的方法，特别是基于二阶AR模型的迭代算法从波前倾斜探测器探测得到的波前倾斜抖动功率谱中提取大气湍流对波前整体倾斜扰动功率谱。

背景技术

天文望远镜是观测天体的重要手段，天文望远镜的诞生和发展促进了现代天文学的发展。目前，随着天文望远镜各方面性能的改进和提高，天文学也正经历着巨大的飞跃，迅速推进着人类对宇宙的认识，从而帮助人类对自身和社会的认识。

然而，受到大气湍流的影响，到达望远镜口径处的光波会产生随机像差和抖动，为了获得达到衍射极限的成像图片，通常使用天文自适应光学系统来校正大气湍流引起的波前误差和望远镜光学系统的自身像差。天文自适应光学系统一般由复合轴跟踪系统和高阶像差校正系统构成，其中复合轴跟踪系统用于校正波前整体倾斜误差。在大气湍流所引起的光波波前像位误差中，波前整体倾斜占全部误差的87%左右，因此需要研究人们都在不断地研究跟踪精度更高、灵敏度更强的复合轴跟踪技术，满足天文自适应光学系统的需要。

为了达到最佳效果，在设计波前倾斜校正系统时，需要综合考虑大气湍流引起的波前整体倾斜误差功率谱和望远镜跟踪误差功率谱等。在利用望远镜和波前倾斜探测器测量得到的波前随机抖动中包含有大气湍流引起的波前整体倾斜误差和望远镜跟踪误差。受风载的影响，望远镜跟踪误差是一个随机变量，因此必须找到一种合适的算法，用于提取测量得到的波前随机抖动功率谱中大气湍流引起的波前整体倾斜误差的功率谱。

发明内容

本发明的技术解决问题是：克服现有技术的不足，提供一种用于分析大气湍流对波前整体倾斜扰动功率谱的方法，有效地从测量得到的波前随机抖动功率谱中提取大气湍流引起的波前整体倾斜误差的功率谱。

本发明的技术解决方案是：一种用于分析大气湍流对波前整体倾斜扰动功率谱的方法，将望远镜对准恒星，数据采集器采集波前倾斜探测器探测得到的波前倾斜抖动，测量得到的波前倾斜抖动功率谱中包含有大气湍流引起的波前整体倾斜误差功率谱和望远镜跟踪误差功率谱，计算机中的分析软件利用二阶AR模型迭代算法从测量得到的波前倾斜抖动中提取出大气湍流对波前整体倾斜扰动功率谱。二阶AR模型迭代算法的计算步骤如下：

（1）设置望远镜跟踪误差的功率谱频段[f₁,f₂]和拟合误差阈值σ_t；

（2）利用经典周期图功率谱算法计算出波前倾斜探测器（1）探测得到的波前倾斜抖动的功率谱

并利用二阶AR模型拟合出大气湍流引起的波前整体倾斜误差功率谱

二阶AR模型拟合大气湍流引起的波前整体倾斜误差功率谱

的过程见图3所示；

（3）将

和

去除[f₁,f₂]频段后，求

和

的均方根值σ_s；

（4）如果σ_s＜σ_t，则

是利用二阶AR模型拟合出大气湍流引起的波前整体倾斜误差功率谱；

（5）如果σ_s≥σ_t，在[f₁,f₂]频段内，用

的值取代

得到

对

进行傅立叶逆变换，取实部数值后重构出望远镜跟踪误差；

（6）重复步骤（2）至步骤（5），直到σ_s＜σ_t，得到利用二阶AR模型拟合出大气湍流引起的波前整体倾斜误差功率谱。

所述步骤（2）中的利用二阶AR模型拟合出大气湍流引起的波前整体倾斜误差功率谱

的具体过程如下：

二阶AR模型系统差分方程为：

$x\left(n\right)=-\underset{k=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{k}x(x-k)+u\left(n\right)$

式中：x(n)为输出信号，a_k为模型系数，u(n)为输入噪声，n=1～N（N为数据长度）。

因此二阶AR模型的输出信号功率谱

为：

式中：σ²为输入噪声方差。

在实际应用中，可以通过Burg算法来估计基于AR模型中的模型系数(a₁,a₂)和输入噪声方差σ²，从而拟合出大气湍流引起的波前整体倾斜误差的功率谱。如图3所示，具体过程为：

（S1）准备初始条件：p=0初始阶次为0

0阶前向误差预测f₀(n)和后向预测误差b₀(n)为：

f₀(n)＝b₀(n)＝x(n)

0阶噪声方差

${\mathrm{\σ}}_0^2=\frac{1}{N}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|x\left(n\right)\right|}^2$

（S2）设一阶反射系数为h₁，将一阶反射系数h₁及0阶前向预测误差f₀(n)和0阶后向预测误差b₀(n)代入第二阶前后向预测误差公式得到一阶前向预测误差f₁(n)和一阶后向预测误差b₁(n)：

f₁(n)＝f₀(n)+h₁b₀(n-1)

b₁(n)＝b₀(n)+h₁f₀(n-1)

（S3）将一阶前向预测误差f₁(n)和一阶后向预测误差b₁(n)代入总均方误差之和P_fb公式：

$P_{\mathrm{fb}}=\frac{1}{N-1}\underset{n=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|f_1\left(n\right)\right|}^2+\frac{1}{N-1}\underset{n=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|b_1\left(n\right)\right|}^2$

令得到一阶反射系数h₁

（S4）一阶反射系数h₁预测值

为：

${\hat{h}}_1=\frac{-2{\mathrm{\Σ}}_{n=1}^{N-1}{f}_0\left(n\right)b_0(n-1)}{{\mathrm{\Σ}}_{n=1}^{N-1}{\left|f_0\left(n\right)\right|}^2+{\mathrm{\Σ}}_{n=1}^{N-1}{\left|b_0\left(n\right)\right|}^2}$

（S5）将一阶反射系数预测值

代入模型系数递推公式得到一阶模型系数a₁(1)为：

$a_1\left(1\right)={\hat{h}}_1$

（S6）将一阶反射系数预测值代入噪声方差递推公式，得到一阶模型噪声方差σ₁ ²为：

${{\mathrm{\σ}}_1}^2(1-{\left|{\hat{h}}_1\right|}^2){\mathrm{\σ}}_0^2$

（S7）设二阶反射系数h₂，将二阶反射系数h₂及一阶前向预测误差f₁(n)和一阶后向预测误差b₁(n)代入二阶前后向预测误差公式，得到二阶前向预测误差f₂(n)和二阶后向预测误差b₂(n)为：

f₂(n)＝f₁(n)+h₂b₁(n-1)

b₂(n)＝b₁(n)+h₂f₁(n-1)

（S8）将二阶前向预测误差f₂(n)和二阶后向预测误差b₂(n)代入总均方误差之和公式得到此时的总均方误差之和P_fb为：

$P_{\mathrm{fb}}=\frac{1}{N-2}\underset{n=2}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|f_2\left(n\right)\right|}^2+\frac{1}{N-2}\underset{n=2}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|b_2\left(n\right)\right|}^2$

令

得到二阶反射系数h₂

（S9）二阶反射系数h₂预测值为：

${\hat{h}}_2=\frac{-2{\mathrm{\Σ}}_{n=2}^{N-1}{f}_1\left(n\right)b_1(n-1)}{{\mathrm{\Σ}}_{n=2}^{N-1}{\left|f_1\left(n\right)\right|}^2+{\mathrm{\Σ}}_{n=2}^{N-1}{\left|b_1\left(n\right)\right|}^2}$

（S10）将二阶反射系数预测值

代入模型系数递推公式，得到二阶模型系数a₂(1)和a₂(2)为：

$\begin{array}{cc}{a}_2\left(2\right)={\hat{h}}_2& a_2\left(1\right)=a_1\left(1\right)+{\hat{h}}_2{a}_1\left(1\right)\end{array}$

（S11）将二阶反射系数预测值

及一阶噪声方差σ₁ ²代入噪声方差递推公式，得二阶噪声方差

为：

${\mathrm{\α}}_2^2=(1-{\left|{\hat{h}}_2\right|}^2){{\mathrm{\σ}}_1}^2$

（S12）将二阶模型系数a₂(1)和a₂(2)及二阶噪声方差

代入信号功率谱公式,得到二阶AR模型功率谱为：

本发明的原理是：望远镜的跟踪误差通常是由于风载引起的，在风载的作用下，望远镜桁架次镜系统的震动在频域内表现为二阶窄带扰动，而大气湍流对波前的整体倾斜扰动几乎存在于全频率段，所以可以利用迭代方法在窄带范围内去除风载引起的望远镜跟踪误差，从而有效地从测量得到的波前随机抖动功率谱中提取大气湍流引起的波前整体倾斜误差的功率谱。

本发明与现有技术相比有如下优点：

（1）由于时间相关性，大气湍流对波前整体倾斜的扰动可以看作是二阶扰动，因此可以基于二阶AR模型根据测量得到的波前倾斜抖动的功率谱拟合出大气湍流扰动的整体倾斜误差的功率谱；由于测量得到的波前倾斜抖动的功率谱中包含有望远镜的跟踪误差的功率谱，所以直接采用二阶AR模型拟合过程中，望远镜的跟踪误差会影响拟合精度，而本发明利用迭代的方式，不断地降低采用二阶AR模型拟合大气湍流引起的波前整体倾斜误差的功率谱时望远镜跟踪误差功率谱的干扰，可以有效地从测量得到的波前随机抖动功率谱中提取大气湍流引起的波前整体倾斜误差的功率谱。

（2）本发明对硬件没有改变，仅采用软件的方式，就可以提高提取大气湍流引起的波前整体倾斜误差功率谱的精度，在实际应用中方便适用。

附图说明

图1为本发明的方法实现流程图；

图2为地基望远镜和波前倾斜探测器的结构图；

图3为利用二阶AR模型拟合出大气湍流引起的波前整体倾斜误差功率谱实现流程图；

图4为波前倾斜测量单元测量得到的波前倾斜抖动；

图5为测量得到的波前倾斜抖动的功率谱；

图6为利用二阶AR模型直接拟合得到的大气湍流对波前倾斜扰动的功率谱；

图7为利用二阶AR模型迭代算法拟合得到的大气湍流对波前倾斜扰动的功率谱。

图中：1：波前倾斜探测器，2：数据采集器，3：计算机，4：望远镜。

具体实施方式

如图2所示，本发明实施例是利用1.8米望远镜4中的波前倾斜探测器1在有风载条件下探测得到的X轴波前斜率和Y轴波前斜率；利用数据采集器2保存探测得到的X轴波前斜率和Y轴波前斜率；最后利用计算机3通过软件采用二阶AR模型迭代算法提取大气湍流对波前整体倾斜扰动功率谱。

本发明具体实现如图1所示，整个过程如下：

（1）由于恒星离地球很远，恒星到达望远镜的波前可以看作是平面波受大气湍流扰动后的波前。因此可以将望远镜指向一颗明亮的恒星，利用数据采集器2采集恒星在波前倾斜探测器1上成像的抖动作为波前倾斜抖动W_t，如图4所示；

（2）利用波前倾斜抖动W_t计算得到的功率谱

如图5所示；利用二阶AR模型直接拟合得到的大气湍流对波前倾斜扰动的功率谱

如图6所示，图6中，实线为计算得到的功率谱

点线为直接拟合得到的大气湍流对波前倾斜扰动的功率谱

显然，受到望远镜跟踪误差的影响，直接拟合得到的大气湍流对波前倾斜扰动的功率谱（点线）并不十分贴近利用波前倾斜抖动计算得到的功率谱（点线），而是有一个“上抬”的效应；

（3）由于高空大气和近地面风载荷是互相独立的两个过程，决定了大气湍流对波前倾斜扰动和风载引起的望远镜跟踪误差这两个信号是互相独立的；并且望远镜主镜筒及桁架系统的刚性非常大，桁架次镜共振表现出的模态频率较少，同时桁架系统极大的刚性和单根桁架的模量抑制了次镜低频（频率低于15Hz）振动；这两方面都表明次镜振动产生波前倾斜扰动影响，主要发生在共振频率段，在频域内表现为二阶窄带扰动（作用频段为10～20Hz），因此可以选择望远镜跟踪误差的功率谱频段为[10Hz,20Hz]，同时根据拟合误差的特性取拟合误差阈值σ_t＝0.5；

（4）将

和

去除[10Hz,20Hz]频段后，求

和

的均方根值：

σ_s＝1.2，由于σ_s＞σ_t，因此在[10Hz,20Hz]频段内，用

的值取代

得到

对

进行傅立叶逆变换，取实后重构出望远镜跟踪误差W_t'；

（5）用W_t'取代W_t，重复步骤（2）到步骤（4），直到σ_s＜σ_t，得到拟合大气湍流扰动的整体倾斜误差的功率谱如图7所示。

由图7可得，与直接采用二阶AR模型拟合得到的大气湍流对波前倾斜扰动的功率谱相比，本发明的多次迭代后拟合得到的大气湍流对波前倾斜扰动的功率谱的整体十分贴近利用波前倾斜抖动直接计算得到的功率谱，消除了直接采用二阶AR模型拟合产生的“上抬”效应，有效地从测量得到的波前随机抖动功率谱中提取大气湍流引起的波前整体倾斜误差的功率谱，符合理论预期。

Claims (2)

1.一种用于分析大气湍流对波前整体倾斜扰动功率谱的方法，其特征在于：将望远镜（4）对准恒星，数据采集器（2）采集波前倾斜探测器（1）探测得到的波前倾斜抖动，测量得到的波前倾斜抖动功率谱中包含有大气湍流引起的波前整体倾斜误差功率谱和望远镜跟踪误差功率谱，计算机（3）利用二阶AR模型迭代算法从测量得到的波前倾斜抖动中提取出大气湍流对波前整体倾斜扰动功率谱，所述二阶AR模型迭代算法的实现步骤如下：

（1）设置望远镜跟踪误差的功率谱频段[f₁,f₂]和阈值σ_t；

（2）利用经典周期图功率谱算法计算出波前倾斜探测器（1）探测得到的波前倾斜抖动的功率谱

并利用二阶AR模型拟合出大气湍流引起的波前整体倾斜误差功率谱

（3）将

和

去除[f₁,f₂]频段后，求和的均方根值σ_s；

（4）如果σ_s＜σ_t，则

是利用二阶AR模型拟合出大气湍流引起的波前整体倾斜误差功率谱；

（5）如果σ_s≥σ_t，在[f₁,f₂]频段内，用

的值取代

得到对

进行傅立叶逆变换，取实部数值后重构出望远镜跟踪误差；

（6）重复步骤（2）至步骤（5），直到σ_s＜σ_t，得到利用二阶AR模型拟合出大气湍流引起的波前整体倾斜误差功率谱。

2.根据权利要求要求1所述的用于分析大气湍流对波前整体倾斜扰动功率谱的方法，其特征在于：所述步骤（2）中的利用二阶AR模型拟合出大气湍流引起的波前整体倾斜误差功率谱

的具体过程如下：

二阶AR模型系统差分方程为：

$x\left(n\right)=-\underset{k=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{k}x(x-k)+u\left(n\right)$

式中：x(n)为输出信号，a_k为模型系数，u(n)为输入噪声，n=1～N（N为数据长度）；

因此二阶AR模型的输出信号功率谱

为：

式中：σ²为输入噪声方差；

通过Burg算法来估计基于AR模型中的模型系数(a₁,a₂)和输入噪声方差σ²，从而拟合出大气湍流引起的波前整体倾斜误差的功率谱，具体过程为：

（S1）准备初始条件：p=0初始阶次为0

0阶前向误差预测f₀(n)和后向预测误差b₀(n)为：

f₀(n)＝b₀(n)＝x(n)

0阶噪声方差

${\mathrm{\σ}}_0^2=\frac{1}{N}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|x\left(n\right)\right|}^2$

（S2）设一阶反射系数为h₁，将一阶反射系数h₁及0阶前向预测误差f₀(n)和0阶后向预测误差b₀(n)代入第二阶前后向预测误差公式得到一阶前向预测误差f₁(n)和一阶后向预测误差b₁(n)：

f₁(n)＝f₀(n)+h₁b₀(n-1)

b₁(n)＝b₀(n)+h₁f₀(n-1)

（S3）将一阶前向预测误差f₁(n)和一阶后向预测误差b₁(n)代入总均方误差之和P_fb公式：

$P_{\mathrm{fb}}=\frac{1}{N-1}\underset{n=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|f_1\left(n\right)\right|}^2+\frac{1}{N-1}\underset{n=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|b_1\left(n\right)\right|}^2$

令

得到一阶反射系数h₁

（S4）一阶反射系数h₁预测值为：

${\hat{h}}_1=\frac{-2{\mathrm{\Σ}}_{n=1}^{N-1}{f}_0\left(n\right)b_0(n-1)}{{\mathrm{\Σ}}_{n=1}^{N-1}{\left|f_0\left(n\right)\right|}^2+{\mathrm{\Σ}}_{n=1}^{N-1}{\left|b_0\left(n\right)\right|}^2}$

（S5）将一阶反射系数预测值

代入模型系数递推公式得到一阶模型系数a₁(1)为：

$a_1\left(1\right)={\hat{h}}_1$

（S6）将一阶反射系数预测值代入噪声方差递推公式，得到一阶模型噪声方差σ₁ ²为：

${{\mathrm{\σ}}_1}^2(1-{\left|{\hat{h}}_1\right|}^2){\mathrm{\σ}}_0^2$

（S7）设二阶反射系数h₂，将二阶反射系数h₂及一阶前向预测误差f₁(n)和一阶后向预测误差b₁(n)代入二阶前后向预测误差公式，得到二阶前向预测误差f₂(n)和二阶后向预测误差b₂(n)为：

f₂(n)＝f₁(n)+h₂b₁(n-1)

b₂(n)＝b₁(n)+h₂f₁(n-1)

（S8）将二阶前向预测误差f₂(n)和二阶后向预测误差b₂(n)代入总均方误差之和公式得到此时的总均方误差之和P_fb为：

$P_{\mathrm{fb}}=\frac{1}{N-2}\underset{n=2}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|f_2\left(n\right)\right|}^2+\frac{1}{N-2}\underset{n=2}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|b_2\left(n\right)\right|}^2$

令

得到二阶反射系数h₂

（S9）二阶反射系数h₂预测值为：

${\hat{h}}_2=\frac{-2{\mathrm{\Σ}}_{n=2}^{N-1}{f}_1\left(n\right)b_1(n-1)}{{\mathrm{\Σ}}_{n=2}^{N-1}{\left|f_1\left(n\right)\right|}^2+{\mathrm{\Σ}}_{n=2}^{N-1}{\left|b_1\left(n\right)\right|}^2}$

（S10）将二阶反射系数预测值

代入模型系数递推公式，得到二阶模型系数a₂(1)和a₂(2)为：

$\begin{array}{cc}{a}_2\left(2\right)={\hat{h}}_2& a_2\left(1\right)=a_1\left(1\right)+{\hat{h}}_2{a}_1\left(1\right)\end{array}$

（S11）将二阶反射系数预测值及一阶噪声方差σ₁ ²代入噪声方差递推公式，得二阶噪声方差

为：

${\mathrm{\α}}_2^2=(1-{\left|{\hat{h}}_2\right|}^2){{\mathrm{\σ}}_1}^2$

（S12）将二阶模型系数a₂(1)和a₂(2)及二阶噪声方差

代入信号功率谱公式,得到二阶AR模型功率谱

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