CN103895814B - 一种船舶舵减横摇的控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种船舶舵减横摇的控制方法，其特征在于：对船舶舵减横摇运动进行数学描述；船舶横摇运动模型所输出的横摇角信号输入至高增益观测器，高增益观测器输出横摇角速度信号反馈输入至解析模型预测控制器；解析模型预测控制器输出指令舵角信号，实现船舶舵减横摇。

Description

一种船舶舵减横摇的控制方法

技术领域

本发明涉及船舶工程、控制科学与控制工程领域，尤其涉及一种船舶舵减横摇的控制方法。

背景技术

由于船舶横摇运动阻尼很小，使得船舶在风浪中会产生剧烈的横摇，过大的横摇会对船舶航行性能和安全性带来很大的影响，为保证船舶在复杂海况安全航行，舵减横摇技术作为一种新型控制思想，近年来受到了极大的关注，而且用舵来进行减摇装置的设计，简单方便，价格低廉，因此，舵减摇技术是船舶运动控制领域中一个重要研究课题。船舶运动本质上是非线性的，从船舶运动环境和自身运动特征可知，其精确的数学模型难以得到，造成模型参数具有不确定性，因而，船舶舵减横摇控制器应该基于非线性控制理论来设计，且必须具有对模型参数摄动的鲁棒性。船舶舵减横摇控制要求在非线性模型具有参数不确定前提下对海浪引起的横摇运动抑制，舵减横摇摇控制器设计必须满足对模型参数摄动的鲁棒性。但传统PID，LQG控制算法，不能有效处理模型非线性和参数不确定性问题。

发明内容

本发明目的在于提供一种船舶舵减横摇的控制方法，能够有效解决非线性系统模型参数不确定性问题易于建模、响应迅速、控制性能好、鲁棒性强。

实现本发明目的技术方案：

一种船舶舵减横摇的控制方法，其特征在于：对船舶舵减横摇运动进行数学描述；船舶横摇运动模型所输出的横摇角信号输入至高增益观测器，高增益观测器输出横摇角速度信号反馈输入至解析模型预测控制器；解析模型预测控制器输出指令舵角信号，实现船舶舵减横摇。

船舶横摇运动模型所输出的横摇角信号反馈输入至解析模型预测控制器。

实时记录船舶的横摇角和控制舵角，进行控制效果监控，判断船舶是否能够抑制船舶横摇运动到期望程度，如果横摇抑制效果不好，则调整解析模型预测控制器。

对船舶舵减横摇运动进行数学描述具体包括以下内容，

船舶横向运动的非线性数学模型描述为

其中为横摇的惯性力矩，为横摇阻尼力矩，为横摇恢复力矩， 为横摇角，为横摇角速度，为横摇角加速度，K_R=(z_R+a_Hz_H)F_Ncosδ，K_D为海浪扰动力矩；表示为状态空间形式

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x=f\left(x\right)+g\left(x\right)u+w}\\ y=h\left(x\right)\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中， $f\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ a_1{x}_2+a_2\left|x_2\right|x_2+a_3{x}_1+a_4{x}_1^3\end{array}\right],$ g(x)=b，h(x)=x₁，w为海浪扰动，a₁，a₂，a₃，a₄为计算出的已知系数，

对照式(2)，则得出船舶舵减横摇的不确定非线性系统为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=f\left(x\right)+\mathrm{\Δf}\left(x\right)+(g\left(x\right)+\mathrm{\Δg}\left(x\right))u+w\\ y=h\left(x\right)\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中， $\mathrm{\Δf}\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}0\\ \mathrm{\Δ}{a}_1{x}_2+\mathrm{\Δ}{a}_2\left|x_2\right|x_2+\mathrm{\Δ}{a}_3{x}_1+\mathrm{\Δ}{a}_4{x}_1^3\end{array}\right]\mathrm{\Δg}\left(x\right)=\mathrm{\Δb}.$

高增益观测器通过如下方法实现，

取高增益观测器状态方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}=A\stackrel{\‾}{x}+\mathrm{Bb}\left(\stackrel{\‾}{x}\right)u+\mathrm{\φ}\left(\stackrel{\‾}{x}\right)-p^{-1}\left(\mathrm{\θ}\right)C^T(\stackrel{\‾}{y}-y)\\ \stackrel{\‾}{y}=C\stackrel{\‾}{x}\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中，“-”代表观测，为非线性项，p(θ)定义为如下方程的解：

0=-θp(θ)-(A^Tp(θ)+p(θ)A)+C^TC (5)

其中，

p^-1(θ)C₀ ^T=[C_n ¹θ,C_n ²θ²,…,C_n ⁿθⁿ]^T (6)

将式(3)写成形如式(4)的状态方程为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ a_3+\mathrm{\Δ}{a}_3& a_1+\mathrm{\Δ}{a}_1\end{array}\right]\stackrel{\‾}{x}+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right](b+\mathrm{\Δb})u+(a_2+\mathrm{\Δ}{a}_2)\left|{\stackrel{\‾}{x}}_2\right|{\stackrel{\‾}{x}}_2+(a_4+\mathrm{\Δ}{a}_4){{\stackrel{\‾}{x}}_1}^3-p^{-1}\left(\mathrm{\θ}\right)C^T(\stackrel{\‾}{y}-y)\\ \stackrel{\‾}{y}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\stackrel{\‾}{x}\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中， $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ a_3+\mathrm{\Δ}{a}_3& a_1+\mathrm{\Δ}{a}_1\end{array}\right],$ $B=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right],b\left(\stackrel{\‾}{x}\right)=b+\mathrm{\Δb},\mathrm{\φ}\left(\stackrel{\‾}{x}\right)=(a_2+\mathrm{\Δ}{a}_2)\left|{\stackrel{\‾}{x}}_2\right|{\stackrel{\‾}{x}}_2+(a_4+\mathrm{\Δ}{a}_4){{\stackrel{\‾}{x}}_1}^3,$

$C=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$

选取高增益观测器增益p^-1(θ)C₀ ^T=[2θ,θ²]^T，式(7)表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_1={\stackrel{\‾}{x}}_2-2\mathrm{\θ\ϵ}\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_2=(a_1+\mathrm{\Δ}{a}_1){\stackrel{\‾}{x}}_2+(a_2+\mathrm{\Δ}{a}_2)\left|{\stackrel{\‾}{x}}_2\right|{\stackrel{\‾}{x}}_2+(a_3+\mathrm{\Δ}{a}_3){\stackrel{\‾}{x}}_1+(a_4+\mathrm{\Δ}{a}_4){{\stackrel{\‾}{x}}_1}^3+(b+\mathrm{\Δb})u_r\left(\stackrel{\‾}{x}\right)-{\mathrm{\θ}}^2\mathrm{\ϵ}\\ \mathrm{\ϵ}=\stackrel{\‾}{y}-y\end{array}\right.---\left(8\right)$

解析模型预测控制器通过如下方法实现，

1）含有不确定项的解析模型预测控制规律；

将带有不确定项的式(3)转换为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=f^{*}\left(x\right)+g^{*}\left(x\right)u\\ y=h\left(x\right)\end{array}\right.---\left(11\right)$

其中，f^*(x)=f(x)+Δf(x)，g^*(x)=g(x)+Δg(x)，不失一般性，假设系统(11)的平衡点x^o，有f^*(x^o)=0，g^*(x^o)≠0，h(x^o)=0，称式(11)为重定义下的标称模型；

式(11)的滚动时域的性能函数为:

$J=\frac{1}{2}{\∫}_0^{T_1}{(\hat{y}(t+\mathrm{\τ})-{\hat{y}}_d(t+\mathrm{\τ}))}^T(\hat{y}(t+\mathrm{\τ})-{\hat{y}}_d(t+\mathrm{\τ}))\mathrm{d\τ}---\left(12\right)$

其中，和分别为输出和参考信号在[t,t+T₁]的预测值，τ∈[0,T₁]，T₁为预测周期；

系统(11)在t时刻的预测控制问题描述为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=f^{*}\left(\hat{x}(t+\mathrm{\τ})\right)+g^{*}\left(\hat{x}(t+\mathrm{\τ})\right)\hat{u}(t+\mathrm{\τ})\\ y=h\left(\hat{x}(t+\mathrm{\τ})\right)\end{array}\right.---\left(13\right)$

状态变量的初始值给为：

$\hat{x}\left(t\right)=x\left(t\right)---\left(14\right)$

实际控制规律的初始值，即：

$u\left(t\right)=\hat{u}(t+\mathrm{\τ})\mathrm{\τ}=0---\left(15\right)$

基于解析模型预测控制思想得到：

${L_{f^{*}}}^{\mathrm{\ρ}}h\left(x\right)+L_{g^{*}}{L_{f^{*}}}^{\mathrm{\ρ}-1}h\left(x\right)\hat{u}{\left(t\right)}^{*}-{y_d}^{\left[\mathrm{\ρ}\right]}+{\mathrm{KM}}_{\mathrm{\ρ}}=0---\left(16\right)$

其中，K=[k₀,k₁,…,k_ρ-1]代表矩阵Γ_ll ^-1Γ_ρl ^T的第一行元素，由预测周期T₁、控制阶次l及相关度ρ决定，为最优控制律

${\mathrm{\Γ}}_{(i,j)}=\frac{T_1^{i+j-1}}{(i-1)!(j-1)!(i+j-1)},i,j=1,...,\mathrm{\ρ}+l+1---\left(19\right)$

由式(16)，可以得到带有不确定项的解析模型预测控制的最优控制律：

$u\left(t\right)={\hat{u}}^{*}\left(t\right)=-{\left(L_{g^{*}}{L}_{f^{*}}^{\mathrm{\ρ}-1}h\left(x\right)\right)}^{-1}\·\{\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\ρ}-1}{\mathrm{\Σ}}}{k}_i(L_{f^{*}}^{i}h\left(x\right)-y_d^{\left[i\right]}\left(t\right))+L_{f^{*}}^{\mathrm{\ρ}}h\left(x\right)-y_d^{\left[\mathrm{\ρ}\right]}\}---\left(20\right)$

2）消除控制规律中的不确定项；

由式(11)可知：

$\begin{array}{c}\left|\right|f^{*}\left(x\right)\left|\right|=\left|\right|f\left(x\right)+\mathrm{\Δf}\left(x\right)\left|\right|\\ \≤\left|\right|f\left(x\right)\left|\right|+\underset{i=0}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{m}_i{\left|\right|x\left|\right|}^i\end{array}---\left(21\right)$

则知f^*(x)有界，并记

$\begin{array}{c}\left|\right|g^{*}\left(x\right)\left|\right|=\left|\right|g\left(x\right)+\mathrm{\Δg}\left(x\right)\left|\right|\\ \≤\left|\right|g\left(x\right)\left|\right|+b_1\end{array}---\left(22\right)$

则知g^*(x)有界，又有：

$\begin{array}{c}\left|\right|L_{f^{*}}^{k}h\left(x\right)\left|\right|=\left|\right|L_f^{k}h\left(x\right)+L_{\mathrm{\Δf}}^{k}h\left(x\right)\left|\right|\\ \≤\left|\right|L_f^{k}h\left(x\right)\left|\right|+\left|\right|L_{f_d}^{k}h\left(x\right)\left|\right|\end{array}---\left(23\right)$

$\begin{array}{c}\left|\right|L_{g^{*}}{L}_{f^{*}}^{k}h\left(x\right)\left|\right|=\left|\right|L_g{L}_f^{k}h\left(x\right)+L_{\mathrm{\Δg}}{L}_f^{k}h\left(x\right)+L_g{K}_{\mathrm{\Δf}}^{k}h\left(x\right)+L_{\mathrm{\Δg}}{L}_{\mathrm{\Δf}}^{k}h\left(x\right)\left|\right|\\ \≤\left|\right|L_g{L}_f^{k}h\left(x\right)\left|\right|+b_1\left|\right|\frac{\∂\left(L_f^{k}h\left(x\right)\right)}{\∂x}\left|\right|+\left|\right|L_g{L}_{f_d}^{k}h\left(x\right)\left|\right|+b_1\left|\right|\frac{\∂\left(L_{f_d}^{k}h\left(x\right)\right)}{\∂x}\end{array}---\left(24\right)$

由式(23)、(24)可知与均有界，边界值：

$L_{f^{*}}^{k}h\left(x\right)=L_f^{k}h\left(x\right)+L_{{\±f}_d}^{k}h\left(x\right)---\left(25\right)$

其中，式(25)处的±符号选取与f(x)对应项相同；

边界值：

$L_{g^{*}}{L}_{f^{*}}^{k}h\left(x\right)=L_g{L}_f^{k}h\left(x\right)\±b_1\frac{\∂\left(L_f^{k}h\left(x\right)\right)}{\∂x}+L_g{L}_{{\±f}_d}^{k}h\left(x\right)\±b_1\frac{\∂\left(L_{{\±f}_d}^{k}h\left(x\right)\right)}{\∂x}---\left(26\right)$

其中，式(26)b₁项前的±符号与g(x)相同，含f_d项前的符号与f(x)对应项相同；

取u₁为其边界值，得到解析模型预测控制器：

$u_1=-\frac{1}{b\±b_1}(k_0{x}_1+k_1{x}_2+(a_1\±m_1)x_2+(a_2\±m_2)|x_2|x_2+(a_3\±m_3)x_1+(a_4\±m_4)x_1^3)---\left(27\right)$

其中，±符号选取与其对应前一项符号一致。

结合高增益观测器反馈信号，解析模型预测控制器通过如下方法实现控制，

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_1={\stackrel{\‾}{x}}_2-2\mathrm{\θ\ϵ}\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_2=(a_1+\mathrm{\Δ}{a}_1){\stackrel{\‾}{x}}_2+(a_2+\mathrm{\Δ}{a}_2)\left|{\stackrel{\‾}{x}}_2\right|{\stackrel{\‾}{x}}_2+(a_3+\mathrm{\Δ}{a}_3){\stackrel{\‾}{x}}_1+(a_4+\mathrm{\Δ}{a}_4){{\stackrel{\‾}{x}}_1}^3+(b+\mathrm{\Δb})u_r\left(\stackrel{\‾}{x}\right)+w-{\mathrm{\θ}}^2\mathrm{\ϵ}\\ u_1\left(\stackrel{\‾}{x}\right)=-\frac{1}{b\±b_1}(k_0{\stackrel{\‾}{x}}_1+k_1{\stackrel{\‾}{x}}_2+(a_1\±m_1){\stackrel{\‾}{x}}_2+(a_2\±m_2)|{\stackrel{\‾}{x}}_2|{\stackrel{\‾}{x}}_2+(a_3\±m_3){\stackrel{\‾}{x}}_1+(a_4\±m_4){{\stackrel{\‾}{x}}_1}^3)\\ \mathrm{\ϵ}=\stackrel{\‾}{y}-y\end{array}\right.---\left(28\right)$

其中，u_r为解析模型预测控制器输出经过舵机执行器后的实际舵角。

本发明具有的有益效果：

针对非线性系统模型参数不确定性问题，本发明提出了一种改进解析模型预测控制方法。先将其重定义成带有不确定项标称系统模型，基于解析模型预测控制理论对重定义标称模型进行推导，得到含有不确定项的控制律。由于控制规律有界，取其边界值，从理论推导上消除了控制器中的不确定项，有效的解决了模型中的参数不确定性问题。船舶舵减横摇控制系统仅能测量船舶横摇角，本发明控制方法中引入状态观测器以获得控制器需要的横摇角速率信息。相比其他观测器，高增益观测器的稳定性和精度有理论保证，计算简便参数少，参数一旦选定，无需调整。由于高增益观测器设计过程中部分函数需满足局部李普希兹条件，这样舵减横摇控制最终需给出其满足设计高增益观测器所需条件，本发明高增益观测器设计通过构建满足局部李普希兹条件条件的观测器系数函数，实现对横摇角速度信息的观测。本发明通过状态观测器直接获得观测值，解决了横摇角速度不可测问题。本发明能够有效抑制模型的参数摄动,横摇运动可得到有效抑制，本发明具有易于建模、响应迅速、控制性能较好、鲁棒性强和逻辑结构简单等优点。

附图说明

图1为本发明控制方法流程图；

图2为基于本发明控制方法的控制系统组成框图。

具体实施方式

如图2所示，船舶横摇运动模型所输出的横摇角信号输入至高增益观测器，高增益观测器的输入信号还包括舵机实际输出的舵角信号。高增益观测器输出横摇角速度信号反馈输入至解析模型预测控制器；解析模型预测控制器输出指令舵角信号，实现船舶舵减横摇。船舶横摇运动模型所输出的横摇角信号反馈输入至解析模型预测控制器，解析模型预测控制器的输入信号还包括期望横摇角指令。

本发明是由船舶舵减横摇系统的改进解析模型预测控制器接受期望横摇角信息、高增益观测器信息及罗经获得的系统输出横摇角信息，经过运算输出指令舵角，舵机执行器根据舵角指令输出实际舵角给船体，船舶抑制产生的横摇角，输出的横摇角经由罗经测得并输入给高增益观测器和控制器。实时记录船舶的横摇角和控制舵角，进行控制效果监控，判断船舶是否能够抑制船舶横摇运动到期望程度，如果横摇抑制效果不好，则调整解析模型预测控制器，如此形成闭环控制系统。

一、对船舶舵减横摇运动进行数学描述，即完成船舶舵减横摇运动的数学模型描述，海浪扰动对船舶横摇运动产生的扰动力矩的数学描述，由于船舶航行速度及初稳性高度变化对船舶舵减横摇系统水动力系数影响的描述三项工作。具体包括以下内容：

船舶横向运动的非线性数学模型可以描述为

其中为横摇的惯性力矩，为横摇阻尼力矩，为横摇恢复力矩， 为横摇角，为横摇角速度，为横摇角加速度，K_R=(z_R+a_Hz_H)F_Ncosδ，K_D为海浪扰动力矩。表示为状态空间形式

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x=f\left(x\right)+g\left(x\right)u+w}\\ y=h\left(x\right)\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中， $f\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ a_1{x}_2+a_2\left|x_2\right|x_2+a_3{x}_1+a_4{x}_1^3\end{array}\right],$ g(x)=b，h(x)=x₁，w为海浪扰动，a₁，a₂，a₃，a₄为计算出的已知系数。而由于速度和初稳性高度变化引起系数的变化量为：Δa₁，Δa₂，Δa₃，Δa₄，Δb，这些量的变化一般不能准确求出，但可以预估计其最大绝对值，记为：m_i(i=1,2,3,4)及b₁。

对照式(2)，则得出船舶舵减横摇的不确定非线性系统为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=f\left(x\right)+\mathrm{\Δf}\left(x\right)+(g\left(x\right)+\mathrm{\Δg}\left(x\right))u+w\\ y=h\left(x\right)\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中， $\mathrm{\Δf}\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}0\\ \mathrm{\Δ}{a}_1{x}_2+\mathrm{\Δ}{a}_2\left|x_2\right|x_2+\mathrm{\Δ}{a}_3{x}_1+\mathrm{\Δ}{a}_4{x}_1^3\end{array}\right]\mathrm{\Δg}\left(x\right)=\mathrm{\Δb}.$

二、高增益观测器的设计和舵减横摇系统满足设计高增益观测器所需条件的证明

1）高增益观测器的设计。

取高增益观测器状态方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}=A\stackrel{\‾}{x}+\mathrm{Bb}\left(\stackrel{\‾}{x}\right)u+\mathrm{\φ}\left(\stackrel{\‾}{x}\right)-p^{-1}\left(\mathrm{\θ}\right)C^T(\stackrel{\‾}{y}-y)\\ \stackrel{\‾}{y}=C\stackrel{\‾}{x}\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中，“-”代表观测，为非线性项，p(θ)定义为如下方程的解：

0=-θp(θ)-(A^Tp(θ)+p(θ)A)+C^TC (10)

其中，

p^-1(θ)C₀ ^T=[C_n ¹θ,C_n ²θ²,…,C_n ⁿθⁿ]^T (6)

将式(3)写成形如式(4)的状态方程为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ a_3+\mathrm{\Δ}{a}_3& a_1+\mathrm{\Δ}{a}_1\end{array}\right]\stackrel{\‾}{x}+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right](b+\mathrm{\Δb})u+(a_2+\mathrm{\Δ}{a}_2)\left|{\stackrel{\‾}{x}}_2\right|{\stackrel{\‾}{x}}_2+(a_4+\mathrm{\Δ}{a}_4){{\stackrel{\‾}{x}}_1}^3-p^{-1}\left(\mathrm{\θ}\right)C^T(\stackrel{\‾}{y}-y)\\ \stackrel{\‾}{y}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\stackrel{\‾}{x}\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中， $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ a_3+\mathrm{\Δ}{a}_3& a_1+\mathrm{\Δ}{a}_1\end{array}\right],$ $B=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right],b\left(\stackrel{\‾}{x}\right)=b+\mathrm{\Δb},\mathrm{\φ}\left(\stackrel{\‾}{x}\right)=(a_2+\mathrm{\Δ}{a}_2)\left|{\stackrel{\‾}{x}}_2\right|{\stackrel{\‾}{x}}_2+(a_4+\mathrm{\Δ}{a}_4){{\stackrel{\‾}{x}}_1}^3,$

$C=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$

选取高增益观测器增益p^-1(θ)C₀ ^T=[2θ,θ²]^T，式(7)表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_1={\stackrel{\‾}{x}}_2-2\mathrm{\θ\ϵ}\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_2=(a_1+\mathrm{\Δ}{a}_1){\stackrel{\‾}{x}}_2+(a_2+\mathrm{\Δ}{a}_2)\left|{\stackrel{\‾}{x}}_2\right|{\stackrel{\‾}{x}}_2+(a_3+\mathrm{\Δ}{a}_3){\stackrel{\‾}{x}}_1+(a_4+\mathrm{\Δ}{a}_4){{\stackrel{\‾}{x}}_1}^3+(b+\mathrm{\Δb})u_r\left(\stackrel{\‾}{x}\right)-{\mathrm{\θ}}^2\mathrm{\ϵ}\\ \mathrm{\ϵ}=\stackrel{\‾}{y}-y\end{array}\right.---\left(8\right)$

2）舵减横摇系统满足设计高增益观测器所需条件的证明。

所设计的高增益观测器必须满足下面两个假设条件：

假设1：b(·)，φ(·)满足局部李普希兹条件。

假设2：控制输入为有界的状态估计。

证明：显然满足假设1)。

令m=x₁，n=x₂。假设x₁,x₂∈[-1.57,1.57]，要证明存在L₁，L₂>0，使得，|φ(m,n₁)-φ(m,n₂)|≤L₁|n₁-n₂|和|φ(m₁,n)-φ(m₂,n)|≤L₂|m₁-m₂|同时成立。

$\begin{array}{c}|\mathrm{\φ}(m,n_1)-\mathrm{\φ}(m,m_2)|=\left|(a_2+\mathrm{\Δ}{a}_2)\right|n_1|n_1-(a_2+\mathrm{\Δ}{a}_2)|n_2\left|n_2\right|\\ \≤|a_2+\mathrm{\Δ}{a}_2|\·\left|\right|n_1\left|\right|n_1-\left|n_1\right|n_2+\left|n_1\right|n_2-\left|n_2\right|n_2|\\ =|a_2+\mathrm{\Δ}{a}_2|\·\left|\right|n_1|(n_1-n_2)+n_2\left(\right|n_1|-|n_2\left|\right)|\\ \≤|a_2+\mathrm{\Δ}{a}_2|\·\left(\right|n_1|\·|n_1-n_2+\left|n_2\right|\·|n_1-n_2|)\\ =|a_2+\mathrm{\Δ}{a}_2|\·\left(\right|n_1-n_2|\·\left(\right|n_1|+|n_2\left|\right))\end{array}---\left(9\right)$

取L₁=3.14|a₂+Δa₂|，|φ(m,n₁)-φ(m,n₂)|≤L₁|n₁-n₂|成立；

$\begin{array}{c}|\mathrm{\φ}(m_1,n)-\mathrm{\φ}(m_2,n)|=\left|(a_4+\mathrm{\Δ}{a}_4)(m_1^3-m_2^3)\right|\\ \≤|a_4+\mathrm{\Δ}{a}_4|\·|m_1-m_2|\·|m_1^2+m_1{m}_2+m_2^2\\ \≤|a_4+\mathrm{\Δ}{a}_4|\·|m_1-m_2|\·\left(\right|m_1^2|+m_1{m}_2|+\left|m_2^2\right|)\end{array}---\left(10\right)$

取L₂=7.40|a₂+Δa₂|，|φ(m₁,n)-φ(m₂,n)|≤L₂|m₁-m₂|成立。

所以满足假设1)。

由于|u|≤35°，输入有界，满足假设2)。

综上所述，减横摇系统满足设计高增益观测器所需条件得以证明。通过高增益状态观测器(8)，可以获得不可测状态的信息，从而实现不可测状态变量反馈。

三、非线性解析模型预测控制控制器设计。从理论推导上消除了控制器中的不确定项，完成船舶舵减横摇改进非线性解析模型预测控制器设计，具体为

1）含有不确定项的解析模型预测控制规律。

将带有不确定项的式(3)转换为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x=f\left(x\right)+g\left(x\right)u}\\ y=h\left(x\right)\end{array}\right.---\left(11\right)$

其中，f^*(x)=f(x)+Δf(x)，g^*(x)=g(x)+Δg(x)。不失一般性，假设系统(11)的平衡点x^o，有f^*(x^o)=0，g^*(x^o)≠0，h(x^o)=0，称式(11)为重定义下的标称模型。

系统(11)的滚动时域的性能函数为:

$J=\frac{1}{2}{\∫}_0^{T_1}{(\hat{y}(t+\mathrm{\τ})-{\hat{y}}_d(t+\mathrm{\τ}))}^T(\hat{y}(t+\mathrm{\τ})-{\hat{y}}_d(t+\mathrm{\τ}))\mathrm{d\τ}---\left(12\right)$

其中，和分别为输出和参考信号在[t,t+T₁]的预测值，τ∈[0,T₁]，T₁为预测周期。

系统(11)在t时刻的预测控制问题描述为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=f^{*}\left(\hat{x}(t+\mathrm{\τ})\right)+g^{*}\left(\hat{x}(t+\mathrm{\τ})\right)\hat{u}(t+\mathrm{\τ})\\ y=h\left(\hat{x}\underset{}{(t+\mathrm{\τ})}\right)\end{array}\right.---\left(13\right)$

状态变量的初始值给为：

$\hat{x}\left(t\right)=x\left(t\right)---\left(14\right)$

实际控制规律的初始值，即：

$u\left(t\right)=\hat{u}(t+\mathrm{\τ})\mathrm{\τ}=0---\left(15\right)$

基于解析模型预测控制思想得到：

${L_{f^{*}}}^{\mathrm{\ρ}}h\left(x\right)+L_{g^{*}}{L_{f^{*}}}^{\mathrm{\ρ}-1}h\left(x\right)\hat{u}{\left(t\right)}^{*}-{y_d}^{\left[\mathrm{\ρ}\right]}+{\mathrm{KM}}_{\mathrm{\ρ}}=0---\left(16\right)$

其中，K=[k₀,k₁,…,k_ρ-1]代表矩阵Γ_ll ^-1Γ_ρl ^T的第一行元素，由预测周期T₁、控制阶次l及相关度ρ决定，为最优控制律。

${\mathrm{\Γ}}_{(i,j)}=\frac{T_1^{i+j-1}}{(i-1)!(j-1)!(i+j-1)},i,j=1,...,\mathrm{\ρ}+l+1---\left(19\right)$

由式(16)，可以得到带有不确定项的解析模型预测控制的最优控制律：

$u\left(t\right)={\hat{u}}^{*}\left(t\right)=-{\left(L_{g^{*}}{L}_{f^{*}}^{\mathrm{\ρ}-1}h\left(x\right)\right)}^{-1}\·\{\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\ρ}-1}{\mathrm{\Σ}}}{k}_i(L_{f^{*}}^{i}h\left(x\right)-y_d^{\left[i\right]}\left(t\right))+L_{f^{*}}^{\mathrm{\ρ}}h\left(x\right)-y_d^{\left[\mathrm{\ρ}\right]}\}---\left(20\right)$

2）消除控制规律中的不确定项。

由式(11)可知：

$\begin{array}{c}\left|\right|f^{*}\left(x\right)\left|\right|=\left|\right|f\left(x\right)+\mathrm{\Δf}\left(x\right)\left|\right|\\ \≤\left|\right|f\left(x\right)\left|\right|+\underset{i=0}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{m}_i{\left|\right|x\left|\right|}^i\end{array}---\left(21\right)$

则知f^*(x)有界，并记

$\begin{array}{c}\left|\right|g^{*}\left(x\right)\left|\right|=\left|\right|g\left(x\right)+\mathrm{\Δg}\left(x\right)\left|\right|\\ \≤\left|\right|g\left(x\right)\left|\right|+b_1\end{array}---\left(22\right)$

则知g^*(x)有界。又有：

$\begin{array}{c}\left|\right|L_{f^{*}}^{k}h\left(x\right)\left|\right|=\left|\right|L_f^{k}h\left(x\right)+L_{\mathrm{\Δf}}^{k}h\left(x\right)\left|\right|\\ \≤\left|\right|L_f^{k}h\left(x\right)\left|\right|+\left|\right|L_{f_d}^{k}h\left(x\right)\left|\right|\end{array}---\left(23\right)$

$\begin{array}{c}\left|\right|L_{g^{*}}{L}_{f^{*}}^{k}h\left(x\right)\left|\right|=\left|\right|L_g{L}_f^{k}h\left(x\right)+L_{\mathrm{\Δg}}{L}_f^{k}h\left(x\right)+L_g{K}_{\mathrm{\Δf}}^{k}h\left(x\right)+L_{\mathrm{\Δg}}{L}_{\mathrm{\Δf}}^{k}h\left(x\right)\left|\right|\\ \≤\left|\right|L_g{L}_f^{k}h\left(x\right)\left|\right|+b_1\left|\right|\frac{\∂\left(L_f^{k}h\left(x\right)\right)}{\∂x}\left|\right|+\left|\right|L_g{L}_{f_d}^{k}h\left(x\right)\left|\right|+b_1\left|\right|\frac{\∂\left(L_{f_d}^{k}h\left(x\right)\right)}{\∂x}\end{array}---\left(24\right)$

由式(23)、(24)可知与均有界，边界值：

$L_{f^{*}}^{k}h\left(x\right)=L_f^{k}h\left(x\right)+L_{{\±f}_d}^{k}h\left(x\right)---\left(25\right)$

其中，式(25)处的±符号选取与f(x)对应项相同。

边界值：

$L_{g^{*}}{L}_{f^{*}}^{k}h\left(x\right)=L_g{L}_f^{k}h\left(x\right)\±b_1\frac{\∂\left(L_f^{k}h\left(x\right)\right)}{\∂x}+L_g{L}_{{\±f}_d}^{k}h\left(x\right)\±b_1\frac{\∂\left(L_{{\±f}_d}^{k}h\left(x\right)\right)}{\∂x}---\left(26\right)$

其中，式(26)b₁项前的±符号与g(x)相同，含f_d项前的符号与f(x)对应项相同。

综上，可知u(t)有界，取u₁为其边界值，得到改进的舵减横摇解析模型预测控制器：

$u_1=-\frac{1}{b\±b_1}(k_0{x}_1+k_1{x}_2+(a_1\±m_1)x_2+(a_2\±m_2)|x_2|x_2+(a_3\±m_3)x_1+(a_4\±m_4)x_1^3)---\left(27\right)$

其中，±符号选取与其对应前一项符号一致。

结合高增益观测器和改进的解析模型预测控制律，船舶舵减横摇控制系统为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_1={\stackrel{\‾}{x}}_2-2\mathrm{\θ\ϵ}\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_2=(a_1+\mathrm{\Δ}{a}_1){\stackrel{\‾}{x}}_2+(a_2+\mathrm{\Δ}{a}_2)\left|{\stackrel{\‾}{x}}_2\right|{\stackrel{\‾}{x}}_2+(a_3+\mathrm{\Δ}{a}_3){\stackrel{\‾}{x}}_1+(a_4+\mathrm{\Δ}{a}_4){{\stackrel{\‾}{x}}_1}^3+(b+\mathrm{\Δb})u_r\left(\stackrel{\‾}{x}\right)+w-{\mathrm{\θ}}^2\mathrm{\ϵ}\\ u_1\left(\stackrel{\‾}{x}\right)=-\frac{1}{b\±b_1}(k_0{\stackrel{\‾}{x}}_1+k_1{\stackrel{\‾}{x}}_2+(a_1\±m_1){\stackrel{\‾}{x}}_2+(a_2\±m_2)|{\stackrel{\‾}{x}}_2|{\stackrel{\‾}{x}}_2+(a_3\±m_3){\stackrel{\‾}{x}}_1+(a_4\±m_4){{\stackrel{\‾}{x}}_1}^3)\\ \mathrm{\ϵ}=\stackrel{\‾}{y}-y\end{array}\right.---\left(28\right)$

其中，u_r为控制器输出经过舵机执行器后的实际舵角。

五、船舶舵减横摇系统的控制效果监控。实时记录船舶的横摇角和控制舵角，判断船舶是否能够抑制船舶横摇运动到期望程度，如果能够满足程序结束，如果横摇抑制效果不好，调整控制器的设计，如图1所示。

Claims (4)

1.一种船舶舵减横摇的控制方法，其特征在于：对船舶舵减横摇运动进行数学描述；船舶横摇运动模型所输出的横摇角信号输入至高增益观测器，高增益观测器输出横摇角速度信号反馈输入至解析模型预测控制器；解析模型预测控制器输出指令舵角信号，实现船舶舵减横摇；

船舶横摇运动模型所输出的横摇角信号反馈输入至解析模型预测控制器；实时记录船舶的横摇角和控制舵角，进行控制效果监控，判断船舶是否能够抑制船舶横摇运动到期望程度，如果横摇抑制效果不好，则调整解析模型预测控制器；对船舶舵减横摇运动进行数学描述具体包括以下内容，

船舶横向运动的非线性数学模型描述为

其中为横摇的惯性力矩，为横摇阻尼力矩，为横摇恢复力矩， 为横摇角，为横摇角速度，为横摇角加速度，K_R＝(z_R+a_Hz_H)F_N cosδ，K_D为海浪扰动力矩；表示为状态空间形式

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=f\left(x\right)+g\left(x\right)u+w\\ y=h\left(x\right)\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，g(x)＝b，h(x)＝x₁，w为海浪扰动，a₁，a₂，a₃，a₄为计算出的已知系数，

对照式(2)，则得出船舶舵减横摇的不确定非线性系统为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=f\left(x\right)+\mathrm{\Δ}f\left(x\right)+\left(g\right(x)+\mathrm{\Δ}g(x\left)\right)u+w\\ y=h\left(x\right)\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，Δg(x)＝Δb。

2.根据权利要求1所述的船舶舵减横摇的控制方法，其特征在于：高增益观测器通过如下方法实现，

取高增益观测器状态方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}=A\stackrel{\‾}{x}+Bb\left(\stackrel{\‾}{x}\right)u+\mathrm{\φ}\left(\stackrel{\‾}{x}\right)-p^{-1}\left(\mathrm{\θ}\right)C^T\left(\stackrel{\‾}{y}-y\right)\\ \stackrel{\‾}{y}=C\stackrel{\‾}{x}\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中，“-”代表观测，为非线性项，p(θ)定义为如下方程的解：

0＝-θp(θ)-(A^Tp(θ)+p(θ)A)+C^TC (5)

其中，

p^-1(θ)C₀ ^T＝[C_n ¹θ,C_n ²θ²,…,C_n ⁿθⁿ]^T (6)

将式(3)写成形如式(4)的状态方程为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ a_3+{\mathrm{\Δa}}_3& a_1+{\mathrm{\Δa}}_1\end{array}\right]\stackrel{\‾}{x}+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\left(b+\mathrm{\Δ}b\right)u+\left(a_2+{\mathrm{\Δa}}_2\right)\left|{\stackrel{\‾}{x}}_2\right|{\stackrel{\‾}{x}}_2+\left(a_4+{\mathrm{\Δa}}_4\right){\stackrel{\‾}{x}}_1^3-p^{-1}\left(\mathrm{\θ}\right)C^T\left(\stackrel{\‾}{y}-y\right)\\ \stackrel{\‾}{y}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\stackrel{\‾}{x}\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中，

$C=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$

选取高增益观测器增益式(7)表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_1={\stackrel{\‾}{x}}_2-2\mathrm{\θ}\mathrm{\ϵ}\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_2=\left(a_1+{\mathrm{\Δa}}_1\right){\stackrel{\‾}{x}}_2+\left(a_2+{\mathrm{\Δa}}_2\right)\left|{\stackrel{\‾}{x}}_2\right|{\stackrel{\‾}{x}}_2+\left(a_3+{\mathrm{\Δa}}_3\right){\stackrel{\‾}{x}}_1+\left(a_4+{\mathrm{\Δa}}_4\right){\stackrel{\‾}{x}}_1^3+\left(b+\mathrm{\Δ}b\right)u_r\left(\stackrel{\‾}{x}\right)-{\mathrm{\θ}}^2\mathrm{\ϵ}\\ \mathrm{\ϵ}=\stackrel{\‾}{y}-y\end{array}\right.---\left(8\right).$

3.根据权利要求2所述的船舶舵减横摇的控制方法，其特征在于：解析模型预测控制器通过如下方法实现，

1)含有不确定项的解析模型预测控制规律；

将带有不确定项的式(3)转换为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=f^{*}\left(x\right)+g^{*}\left(x\right)u\\ y=h\left(x\right)\end{array}\right.---\left(11\right)$

其中，f^*(x)＝f(x)+Δf(x)，g^*(x)＝g(x)+Δg(x)，不失一般性，假设式(11)的平衡点x°，有f^*(x°)＝0，g^*(x°)≠0，h(x°)＝0，称式(11)为重定义下的标称模型；

式(11)的滚动时域的性能函数为:

$J=\frac{1}{2}{\∫}_0^{T_1}{\left(\hat{y}\right(t+\mathrm{\τ})-{\hat{y}}_d(t+\mathrm{\τ}\left)\right)}^T\left(\hat{y}\right(t+\mathrm{\τ})-{\hat{y}}_d(t+\mathrm{\τ}\left)\right)d\mathrm{\τ}---\left(12\right)$

其中，和分别为输出和参考信号在[t,t+T₁]的预测值，τ∈[0,T₁]，T₁为预测周期；

式(11)在t时刻的预测控制问题描述为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=f^{*}\left(\hat{x}\right(t+\mathrm{\τ}\left)\right)+g^{*}\left(\hat{x}\right(t+\mathrm{\τ}\left)\right)\hat{u}(t+\mathrm{\τ})\\ y=h\left(\hat{x}\right(t+\mathrm{\τ}\left)\right)\end{array}\right.---\left(13\right)$

状态变量的初始值给为：

$\hat{x}\left(t\right)=x\left(t\right)---\left(14\right)$

实际控制规律的初始值，即：

$u\left(t\right)=\hat{u}(t+\mathrm{\τ})\mathrm{\τ}=0---\left(15\right)$

基于解析模型预测控制思想得到：

${L_{f^{*}}}^{\mathrm{\ρ}}h\left(x\right)+L_{g^{*}}{L_{f^{*}}}^{\mathrm{\ρ}-1}h\left(x\right)\hat{u}{\left(t\right)}^{*}-{y_d}^{\[\mathrm{\ρ}\]}+{\mathrm{KM}}_{\mathrm{\ρ}}=0---\left(16\right)$

其中，K＝[k₀,k₁,…,k_ρ-1]代表矩阵Γ_ll ^-1Γ_ρl ^T的第一行元素，由预测周期T₁、控制阶次l及相关度ρ决定，为最优控制律

${\mathrm{\Γ}}_{(i,j)}=\frac{T_1^{i+j-1}}{(i-1)!(j-1)!(i+j-1)},i,j=1,...,\mathrm{\ρ}+l+1---\left(19\right)$

由式(16)，可以得到带有不确定项的解析模型预测控制的最优控制律：

$u\left(t\right)={\hat{u}}^{*}\left(t\right)=-{\left(L_{g^{*}}{L}_{f^{*}}^{\mathrm{\ρ}-1}h\right(x\left)\right)}^{-1}\·\{\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\ρ}-1}{\mathrm{\Σ}}}{k}_i\left(L_{f^{*}}^{i}h\right(x)-y_d^{\[i\]}(t\left)\right)+L_{f^{*}}^{\mathrm{\ρ}}h(x)-y_d^{\[\mathrm{\ρ}\]}\left(t\right)\}---\left(20\right)$

2)消除控制规律中的不确定项；

由式(11)可知：

$\begin{array}{c}\left|\right|f^{*}\left(x\right)\left|\right|=\left|\right|f\left(x\right)+\mathrm{\Δ}f\left(x\right)\left|\right|\\ \≤\left|\right|f\left(x\right)\left|\right|+\underset{i=0}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{m}_i\left|\right|x|{|}^i\end{array}---\left(21\right)$

则知f^*(x)有界，并记

$\begin{array}{c}\left|\right|g^{*}\left(x\right)\left|\right|=\left|\right|g\left(x\right)+\mathrm{\Δ}g\left(x\right)\left|\right|\\ \≤\left|\right|g\left(x\right)\left|\right|+b_1\end{array}---\left(22\right)$

则知g^*(x)有界，又有：

$\begin{array}{c}\left|\right|L_{f^{*}}^{k}h\left(x\right)\left|\right|=\left|\right|L_f^{k}h\left(x\right)+L_{\mathrm{\Δ}f}^{k}h\left(x\right)\left|\right|\\ \≤\left|\right|L_f^{k}h\left(x\right)\left|\right|+\left|\right|L_{f_d}^{k}h\left(x\right)\left|\right|\end{array}---\left(23\right)$

$\begin{array}{c}\left|\right|L_{g^{*}}{L}_{f^{*}}^{k}h\left(x\right)\left|\right|=\left|\right|L_g{L}_f^{k}h\left(x\right)+L_{\mathrm{\Δ}g}{L}_f^{k}h\left(x\right)+L_g{L}_{\mathrm{\Δ}f}^{k}h\left(x\right)+L_{\mathrm{\Δ}g}{L}_{\mathrm{\Δ}f}^{k}h\left(x\right)\left|\right|\\ \≤\left|\right|L_g{L}_f^{k}h\left(x\right)\left|\right|+b_1\left|\right|\frac{\∂\left(L_f^{k}h\left(x\right)\right)}{\∂x}\left|\right|+\left|\right|L_g{L}_{f_d}^{k}h\left(x\right)\left|\right|+b_1\left|\right|\frac{\∂\left(L_{f_d}^{k}h\left(x\right)\right)}{\∂x}\left|\right|\end{array}---\left(24\right)$

由式(23)、(24)可知与均有界，边界值：

$L_{f^{*}}^{k}h\left(x\right)=L_f^{k}h\left(x\right)+L_{\±f_d}^{k}h\left(x\right)---\left(25\right)$

其中，式(25)处的±符号选取与f(x)对应项相同；

边界值：

$L_{g^{*}}{L}_{f^{*}}^{k}h\left(x\right)=L_g{L}_f^{k}h\left(x\right)\±b_1\frac{\∂\left(L_f^{k}h\right(x\left)\right)}{\∂x}+L_g{L}_{\±f_d}^{k}h\left(x\right)\±b_1\frac{\∂\left(L_{\±f_d}^{k}h\right(x\left)\right)}{\∂x}---\left(26\right)$

其中，式(26)b₁项前的±符号与g(x)相同，含f_d项前的符号与f(x)对应项相同；

取u₁为其边界值，得到解析模型预测控制器：

$u_1=-\frac{1}{b\±b_1}(k_0{x}_1+k_1{x}_2+(a_1\±m_1)x_2+(a_2\±m_2\left)\right|x_2|x_2+(a_3\±m_3)x_1+(a_4\±m_4\left)x_1^3\right)---\left(27\right)$

其中，±符号选取与其对应前一项符号一致。

4.根据权利要求3所述的船舶舵减横摇的控制方法，其特征在于：结合高增益观测器反馈信号，解析模型预测控制器通过如下方法实现控制，

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_1={\stackrel{\‾}{x}}_2-2\mathrm{\θ}\mathrm{\ϵ}\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_2=\left(a_1+{\mathrm{\Δa}}_1\right){\stackrel{\‾}{x}}_2+\left(a_2+{\mathrm{\Δa}}_2\right)\left|{\stackrel{\‾}{x}}_2\right|{\stackrel{\‾}{x}}_2+\left(a_3+{\mathrm{\Δa}}_3\right){\stackrel{\‾}{x}}_1+\left(a_4+{\mathrm{\Δa}}_4\right){\stackrel{\‾}{x}}_1^3+\left(b+\mathrm{\Δ}b\right)u_r\left(\stackrel{\‾}{x}\right)+w-{\mathrm{\θ}}^2\mathrm{\ϵ}\\ u_1\left(\stackrel{\‾}{x}\right)=-\frac{1}{b\±b_1}\left(k_0{\stackrel{\‾}{x}}_1+k_1{\stackrel{\‾}{x}}_2+\left(a_1\±m_1\right){\stackrel{\‾}{x}}_2+\left(a_2\±m_2\right)\left|{\stackrel{\‾}{x}}_2\right|{\stackrel{\‾}{x}}_2+\left(a_3\±m_3\right){\stackrel{\‾}{x}}_1+\left(a_4\±m_4\right){\stackrel{\‾}{x}}_1^3\right)\\ \mathrm{\ϵ}=\stackrel{\‾}{y}-y\end{array}\right.---\left(28\right)$

其中，u_r为解析模型预测控制器输出经过舵机执行器后的实际舵角。