CN103894884A - 铣刀刀尖频响函数的预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种铣刀刀尖频响函数的预测方法，用于解决现有铣刀刀尖频响函数的预测方法实用性差的技术问题。技术方案是通过将铣刀与弹簧夹头和弹簧夹头与刀柄头部之间的连接分别视为离散的连接面，用一次多项式近似连接面的刚度，用欧拉-伯努利梁理论模拟弹簧夹头和铣刀，预测铣刀刀尖频响函数，克服了现有技术不能分别考虑铣刀与弹簧夹头之间的接触面和弹簧夹头与刀柄头部之间的接触面对铣刀刀尖频响函数的影响的不足，实用性强。

Description

铣刀刀尖频响函数的预测方法

技术领域

本发明涉及一种频响函数的预测方法，特别是涉及一种铣刀刀尖频响函数的预测方法。

背景技术

铣削加工过程中的颤振会极大地影响零件加工效率和加工质量，加速刀具磨损和刀具破损，因此铣削加工中应尽量避免颤振的发生。通过稳定性叶瓣图选取合适的铣削加工参数是避免铣削颤振的重要途径之一。研究表明，铣刀刀尖的频响函数对铣削稳定性叶瓣图预测准确性有很大的影响，故铣刀刀尖的频响函数的准确获取对铣削稳定性叶瓣图的预测至关重要。铣刀刀尖的频响函数通常可通过力锤冲击实验获得，它随着铣刀-刀柄-主轴组合的变化而变化。但当铣刀伸长量变化或更换铣刀或刀柄时，需要重新进行力锤冲击实验以获得准确的刀尖的频响函数，这将花费大量的时间。为此，研究者提出了计算铣刀刀尖的频响函数的方法。

文献1“T.L.Schmitz,G.S.Duncan,Three-component receptance coupling substructureanalysis for tool point dynamics prediction,Transactions of the ASME-Journal ofManufacturing Science and Engineering,127(2005)781-790.”公开了一种基于子结构分析法的铣刀刀尖频响函数预测方法。

文献2“K.Ahmadi,H.Ahmadian,Modelling machine tool dynamics using adistributed parameter tool-holder joint interface,International Journal Machine Tools andManufacture,47(2007)1916-1928.”公开了一种铣刀刀尖频响函数预测方法。该方法将铣刀与刀柄之间的连接视为离散的连接面，通过欧拉-伯努利梁理论计算了铣刀刀尖频响函数。

现有的铣刀刀尖频响函数的预测方法的主要缺点是，对于弹簧夹头刀柄，将铣刀和刀柄之间的连接视为一个集中连接点或分布连接面，未分别考虑到铣刀与弹簧夹头和弹簧夹头与刀柄头部之间的相互作用。

发明内容

为了克服现有铣刀刀尖频响函数的预测方法实用性差的不足，本发明提供一种铣刀刀尖频响函数的预测方法。该方法通过将铣刀与弹簧夹头和弹簧夹头与刀柄头部之间的连接分别视为离散的连接面，用一次多项式近似连接面的刚度，用欧拉-伯努利梁理论模拟弹簧夹头和铣刀，预测铣刀刀尖频响函数，克服了现有技术不能分别考虑铣刀与弹簧夹头之间的接触面和弹簧夹头与刀柄头部之间的接触面对铣刀刀尖频响函数的影响的不足，实用性强。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种铣刀刀尖频响函数的预测方法，其特点是采用以下步骤：

步骤一、将弹簧夹头刀柄112安装在机床主轴111中，组成主轴-弹簧夹头刀柄组件101，测试或计算主轴-弹簧夹头刀柄组件101的原点和跨点频响函数H_ij，H_ij表示拾振点i相对激振点j位移对力的频响函数，为矩阵形式，以H表示，当i＝j时，为原点频响函数，i≠j时，为跨点频响函数，i,j＝1,2,...,M，M=3；

步骤二、测试用圆柱棒114通过弹簧夹头113装夹在弹簧夹头刀柄中，与主轴组成主轴-刀柄-圆柱棒组件102，通过力锤冲击实验测试圆柱棒伸出端的原点频响函数

其中，圆柱棒直径等于圆柱棒夹持部分直径d_T，L₁为圆柱棒总长，L为圆柱棒夹持部分长度，d_C为弹簧夹头小端直径；

步骤三、设圆柱棒与弹簧夹头的离散连接面115的刚度为K₁，弹簧夹头与弹簧夹头刀柄头部的离散连接面116的刚度为K₂，则：

$K_1\left(x\right)=(1+{\mathrm{i\η}}_A)\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{A,p}{x}^p,$

$K_2\left(x\right)=(1+{\mathrm{i\η}}_B)\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{B,q}{x}^q,$

其中，i为虚数单位，x为从圆柱棒夹持部分顶端指向圆柱棒伸出部分顶端的坐标轴，其原点在圆柱棒夹持部分顶端，η_A和η_B分别为对应于K₁和K₂的结构阻尼因子，κ_A,p和κ_B,q分别为对应于K₁和K₂的刚度多项式的各项系数，P＝1，Q＝1；

步骤四、以K₁和K₂中的系数η_A，η_B，κ_A,0，κ_B,0，κ_A,1和κ_B,1作为设计变量，作为目标函数，0＜η_A＜1，0＜η_B＜1，10⁸＜κ_A,0＜10¹³，10⁸＜κ_B,0＜10¹³，10⁸＜κ_A,1＜10¹³，10⁸＜κ_B,1＜10¹³作为约束条件，建立两离散连接面刚度K₁和K₂的优化模型,其中

为计算得到的圆柱棒伸出端的原点频响函数，表示为：

$H_T^{\left(P\right)}=C_1{e}^{\mathrm{i\λL}}+C_2{e}^{-\mathrm{i\λL}}+C_3{e}^{\mathrm{\λL}}+C_4{e}^{-\mathrm{\λL}};$

其中，

C₁,C₂,C₃,C₄通过解线性方程组Z(ω){C₁,C₂,C₃,C₄,a₁,a₂,a₃,a₄,b₁,b₂,b₃,b₄}^T＝{1,0,...,0}^T得到；ω为频率，E₃为圆柱棒伸出部分的材料的杨氏模量，圆柱棒伸出部分的线密度ρ₃为圆柱棒伸出部分的材料的密度，圆柱棒伸出部分的惯性矩

对于圆柱棒来说，圆柱棒伸出部分的直径d₃＝d_T，Z(ω)表示为下式：

其中K＝9， $I_2\left(0\right)=\frac{\mathrm{\π}({d_C}^4-{d_T}^4)}{64},I_2\left(L_1\right)=\frac{\mathrm{\π}[{(d_C+{2L}_1{k}_C)}^4-{d_T}^4]}{64},I_2^{\′}\left(0\right)=\frac{\mathrm{\π}{k}_C{d_C}^3}{8},$

k_C＝0.14054083，圆柱棒夹持部分的惯性矩

E₁为圆柱棒夹持部分的材料的杨氏模量，S_l,n为矩阵

中的各元素；I_2K×2K和I_M×M分别为2K×2K和M×M的单位矩阵，

0为M×K的零矩阵， $R=\left[\begin{array}{cccc}{\∫}_0^{L_1}p{K}_2\left(x\right)\mathrm{dx}& {\∫}_0^{L_1}p{K}_2\left(x\right)\mathrm{xdx}& ...& {\∫}_0^{L_1}p{K}_2\left(x\right)x^{K-1}\mathrm{dx}\end{array}\right],J={\∫}_0^{L_1}{K}_2\left(x\right){\mathrm{pp}}^T\mathrm{dx},$ p＝[p₁(x),p₂(x),...,p_M(x)]^T＝P[1,x,x²...,x^M-1]^T，p_m(x)(m＝1,2,...,M)是(M-1)阶的拉格朗日插值基函数，P矩阵第m行中的各元素是p_m(x)中1,x,x²...,x^M-1项前的系数，T_v和T_c通过将下面(2×K)个递推式写成矩阵表达式

{a₁,a₂,...,a_K,b₁,b₂,...,b_K}^T＝T_v{v₁,v₂,...,v_M}^T+T_c{a₁,a₂,a₃,a₄,b₁,b₂,b₃,b₄}^T

而得到，这些递推式为：

k＝1,2,3,4时，

a_k＝a_k，

k＝4,5,...,K时，

$a_k=\frac{(k-5)!}{E_1{I}_1(k-1)!}[\underset{j_1=0}{\overset{\min (Q,k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{A,j_1}(b_{k-4-j_1}-a_{k-4-j_1})+m_1{\mathrm{\ω}}^2{a}_{k-4}],$

k＝1,2,3,4时，

b_k＝b_k，

k＝5时，

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\frac{4!}{0!}({d_C}^4-{d_T}^4)b_5+\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{d_C}^3\frac{3!}{0!}{b}_4+\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}{d_C}^2\frac{2!}{0!}{b}_3-\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_C}^2{b}_1+\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_T}^2{b}_1,\\ ={\mathrm{\κ}}_{B,0}(w_1-b_1)-{\mathrm{\κ}}_{A,0}(b_1-a_1)\end{array}$

k＝6时，

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\frac{5!}{1!}({d_C}^4-{d_T}^4)b_6+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^3{d_C}^3{\left(2k_C\right)}^1\frac{4!}{0!}{b}_5+\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{C}_3^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^1\frac{3!}{0!}{b}_4+\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{C}_3^3{d_C}^3{\left(2k_C\right)}^0\frac{4!}{1!}{b}_5\\ +\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}{C}_2^1{d_C}^1{\left(2k_C\right)}^1\frac{2!}{0!}{b}_3+\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}{C}_2^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^0\frac{3!}{1!}{b}_4-\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{C}_2^1{d_C}^1{\left(2k_C\right)}^1{b}_1-\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{C}_2^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^0{b}_2,\\ \frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_T}^2{b}_2=\underset{i_5=\max (k-4-M,0)}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_5}{w}_{{k-4-i}_5}-\underset{i_6=0}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_6}{b}_{{k-4-i}_6}-\underset{i_7=0}{\overset{\min (Q,k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{A,i}_7}(b_{{k-4-i}_7}-a_{{k-4-i}_7})\end{array}$

k＝7时，

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\frac{6!}{2!}({d_C}^4-{d_T}^4)b_7+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^2\frac{4!}{0!}{b}_5+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^3{d_C}^3{\left(2k_C\right)}^1\frac{5!}{1!}{b}_6\\ +\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{C}_3^1{d_C}^1{\left(2k_C\right)}^2\frac{3!}{0!}{b}_4+\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{C}_3^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^1\frac{4!}{1!}{b}_5+\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{C}_3^3{d_C}^3{\left(2k_C\right)}^0\frac{5!}{2!}{b}_6\\ +\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}\underset{i_3=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_3}{d_C}^{i_3}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_3}\frac{(k-5+i_3)!}{(k-7+i_3)!}{b}_{{k-4+i}_3}-\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}\underset{i_4=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_4}{d_C}^{i_4}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_4}{b}_{{k-6+i}_4}\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_T}^2{b}_{k-4}\\ =\underset{i_5=\max (k-4-M,0)}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_5}{w}_{k-4-i_5}-\underset{i_6=0}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_6}{b}_{{k-4-i}_6}-\underset{i_7=0}{\overset{\min (Q,k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{A,i}_7}(b_{{k-4-i}_7}-a_{{k-4-i}_7}),\end{array}$

k＝8时，

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\frac{7!}{3!}({d_C}^4-{d_T}^4)b_8+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^1{d_C}^1{\left(2k_C\right)}^3\frac{4!}{0!}{b}_5+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^2\frac{5!}{1!}{b}_6+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^3{d_C}^3{\left(2k_C\right)}^1\frac{6!}{2!}{b}_7\\ +\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}\underset{i_2=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{C}_3^{i_2}{d_C}^{i_2}{\left(2k_C\right)}^{{3-i}_2}\frac{(k-5+i_2)!}{(k-8+i_2)!}{b}_{{k-4+i}_2}+\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}\underset{i_3=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_3}{d_C}^{i_3}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_3}\frac{(k-5+i_3)!}{(k-7+i_3)!}{b}_{{k-4+i}_3}\\ -\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}\underset{i_4=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_4}{d_C}^{i_4}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_4}{b}_{{k-6+i}_4}+\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_T}^2{b}_{k-4}\\ =\underset{i_5=\max (k-4-M,0)}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_5}{w}_{{k-4-i}_5}-\underset{i_6=0}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_6}{b}_{{k-4-i}_6}-\underset{i_7=0}{\overset{\min (Q,k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{A,i}_7}(b_{{k-4-i}_7}-a_{{k-4-i}_7}),\end{array}$

k＝9,10,...,K时，

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\frac{(k-1)!}{(k-5)!}({d_C}^4-{d_T}^4)b_k+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\underset{i_1=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{C}_4^{i_1}{d_C}^{i_1}{\left(2k_C\right)}^{{4-i}_1}\frac{(k-5+i_1)!}{(k-9+i_1)!}{b}_{{k-4+i}_1}\\ +\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}\underset{i_2=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{C}_3^{i_2}{d_C}^{i_2}{\left(2k_C\right)}^{{3-i}_2}\frac{(k-5+i_2)!}{(k-8+i_2)!}{b}_{{k-4+i}_2}+\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}\underset{i_3=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_3}{d_C}^{i_3}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_3}\frac{(k-5+i_3)!}{(k-7+i_3)!}{b}_{{k-4+i}_3}\\ -\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}\underset{i_4=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_4}{d_C}^{i_4}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_4}{b}_{{k-6+i}_4}+\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_T}^2{b}_{k-4}\\ =\underset{i_5=\max (k-4-M,0)}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_5}{w}_{{k-4-i}_5}-\underset{i_6=0}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_6}{b}_{{k-4-i}_6}-\underset{i_7=0}{\overset{\min (Q,k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{A,i}_7}(b_{{k-4-i}_7}-a_{{k-4-i}_7}),\end{array}$

其中，w_m是向量w＝P^T{v₁,v₂,...,v_M}^T中的元素，

ρ₁为圆柱棒夹持部分的材料的密度，E₂为弹簧夹头材料的杨氏模量，ρ为弹簧夹头材料的密度，v₁,v₂,...,v_M分别表示主轴-弹簧夹头刀柄组件在点1,2…,M处的位移，a₁,a₂,...,a_K是圆柱棒夹持部分的振型函数中的各项系数，b₁,b₂,...,b_K是弹簧夹头的振型函数中的各项系数；

步骤五、通过步骤四建立的优化模型，利用全局优化算法，得到使目标函数最小的两离散连接面刚度K₁和K₂；

步骤六、对于与测试用圆柱棒的夹持部分直径和材料相同的铣刀，铣刀伸出部分等效直径d₃为名义直径d_T的0.8倍，使用步骤五中得到的K₁和K₂，刀尖频响函数用下式计算：

H_T＝C₁e^iλL+C₂e^-iλL+C₃e^λL+C₄e^-λL

其中，λ，C₁,C₂,C₃,C₄的计算与步骤四中的的计算方法相同，将步骤四中的圆柱棒几何参数d₃、L替换为相应的铣刀伸出部分等效直径和铣刀总长度。

本发明的有益效果是：该方法通过将铣刀与弹簧夹头和弹簧夹头与刀柄头部之间的连接分别视为离散的连接面，用一次多项式近似连接面的刚度，用欧拉-伯努利梁理论模拟弹簧夹头和铣刀，预测铣刀刀尖频响函数，克服了现有技术不能分别考虑铣刀与弹簧夹头之间的接触面和弹簧夹头与刀柄头部之间的接触面对铣刀刀尖频响函数的影响的不足，实用性强。

下面结合附图和具体实施方式对本发明作详细说明。

附图说明

图1是弹簧夹头刀柄安装在主轴中组成主轴-弹簧夹头刀柄组件的示意图。

图2是测试用圆柱棒通过弹簧夹头装夹在弹簧夹头刀柄中的示意图。

图3是直径d_T＝12mm、总长L＝83mm的硬质合金铣刀刀尖频响函数图。

图4是直径d_T＝12mm、总长L＝141mm的硬质合金铣刀刀尖频响函数图。

图5是直径d_T＝16mm、总长L＝92mm的硬质合金铣刀刀尖频响函数图。

图6是直径d_T＝12mm、总长L＝166mm的硬质合金铣刀刀尖频响函数图。

图7是直径d_T＝12mm、总长L＝83mm的高速钢铣刀刀尖频响函数图。

图8是直径d_T＝12mm、总长L＝141mm的高速钢铣刀刀尖频响函数图。

图中，1,2,...,M-主轴-弹簧夹头刀柄组件上各激振点和拾振点，101-主轴-弹簧夹头刀柄组件，102-主轴-刀柄-圆柱棒组件，111-机床主轴，112-弹簧夹头刀柄，113-弹簧夹头，114-圆柱棒，115-圆柱棒与弹簧夹头的离散连接面，116-弹簧夹头与弹簧夹头刀柄头部的离散连接面,d_T为圆柱棒夹持部分直径，L₁为圆柱棒总长，L为圆柱棒夹持部分长度，d_C为弹簧夹头小端直径；实线代表测量值，虚线代表计算值。

具体实施方式

以下实施例参照图1-8。

实施例1：采用本发明进行直径d_T＝12mm的硬质合金铣刀刀尖频响函数的预测。

（1）将弹簧夹头刀柄112安装在机床主轴111中，组成主轴-弹簧夹头刀柄组件101，测试或计算主轴-弹簧夹头刀柄组件101的原点和跨点频响函数H_ij，Hi_j表示拾振点i相对激振点j位移对力的频响函数，可写为矩阵形式，以H表示，当i＝j时，称其为原点频响函数，i≠j时，称其为跨点频响函数，i,j＝1,2,...,M，M=3，点1的横坐标x₁＝40mm，点2的横坐标x₂＝20mm，点3的横坐标x₃＝0mm；

（2）测试用圆柱棒114通过弹簧夹头113装夹在弹簧夹头刀柄中，与主轴组成主轴-刀柄-圆柱棒组件102，通过力锤冲击实验测试圆柱棒伸出端的原点频响函数

其中，圆柱棒直径为12mm，总长L₁＝110mm，夹持部分长L＝40mm，材料为硬质合金，弹簧夹头小端直径d_C＝26mm，材料为钢；

（3）设圆柱棒与弹簧夹头的离散连接面115的刚度为K₁，弹簧夹头与弹簧夹头刀柄头部的离散连接面116的刚度为K₂，它们可写为

$K_1\left(x\right)=(1+{\mathrm{i\η}}_A)\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{A,p}{x}^p,$

$K_2\left(x\right)=(1+{\mathrm{i\η}}_B)\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{B,q}{x}^q,$

其中，i为虚数单位，x为从圆柱棒夹持部分顶端指向圆柱棒伸出部分顶端的坐标轴，其原点在圆柱棒夹持部分顶端，η_A和η_B分别为对应于K₁和K₂的结构阻尼因子，κ_A,p和κ_B,q分别为对应于K₁和K₂的刚度多项式的各项系数，P＝1，Q＝1；

（4）以K₁和K₂中的各系数，即η_A，η_B，κ_A,0，κ_B,0，κ_A,1和κ_B,1作为设计变量，作为目标函数，0＜η_A＜1，0＜η_B＜1，10⁸＜κ_A,0＜10¹³，10⁸＜κ_B,0＜10¹³，10⁸＜κ_A,1＜10¹³，10⁸＜κ_B,1＜10¹³作为约束条件，建立两离散连接面刚度K₁和K₂的优化模型,其中

为计算得到的圆柱棒伸出端的原点频响函数，可表示为：

$H_T^{\left(P\right)}=C_1{e}^{\mathrm{i\λL}}+C_2{e}^{-\mathrm{i\λL}}+C_3{e}^{\mathrm{\λL}}+C_4{e}^{-\mathrm{\λL}};$

其中，

C₁,C₂,C₃,C₄可通过解线性方程组Z(ω){C₁,C₂,C₃,C₄,a₁,a₂,a₃,a₄,b₁,b₂,b₃,b₄}^T＝{1,0,...,0}^T得到；这里，ω为频率，圆柱棒伸出部分的材料的杨氏模量E₃＝558GPa，

圆柱棒伸出部分的材料的密度ρ₃＝14500kg/m³，

对于圆柱棒来说，圆柱棒伸出部分的直径d₃＝d_T，Z(ω)表示为下式：

其中K＝9， $I_2\left(0\right)=\frac{\mathrm{\π}({d_C}^4-{d_T}^4)}{64},I_2\left(L_1\right)=\frac{\mathrm{\π}[{(d_C+{2L}_1{k}_C)}^4-{d_T}^4]}{64},I_2^{\′}\left(0\right)=\frac{\mathrm{\π}{k}_C{d_C}^3}{8},$ k_C＝0.14054083，

圆柱棒夹持部分的材料的杨氏模量E₁＝558GPa，S_l，n为矩阵

中的各元素；这里，I_2K×2K和I_M×M分别为2K×2K和M×M的单位矩阵，

0为M×K的零矩阵， $R=\left[\begin{array}{cccc}{\∫}_0^{L_1}p{K}_2\left(x\right)\mathrm{dx}& {\∫}_0^{L_1}p{K}_2\left(x\right)\mathrm{xdx}& ...& {\∫}_0^{L_1}p{K}_2\left(x\right)x^{K-1}\mathrm{dx}\end{array}\right],J={\∫}_0^{L_1}{K}_2\left(x\right){\mathrm{pp}}^T\mathrm{dx},$ p＝[p₁(x),p₂(x),...,p_M(x)]^T＝P[1,x,x²...,x^M-1]^T，p_m(x)(m＝1,2,...,M)是(M-1)阶的拉格朗日插值基函数，P矩阵第m行中的各元素是p_m(x)中1,x,x²...,x^M-1项前的系数，T_v和T_c通过将下面(2×K)个递推式写成矩阵表达式

{a₁,a₂,...,a_K,b₁,b₂,...,b_K}^T＝T_v{v₁,v₂,...,v_M}^T+T_c{a₁,a₂,a₃,a₄,b₁,b₂,b₃,b₄}^T

而得到，这些递推式为：

k＝1,2,3,4时，

a_k＝a_k，

k＝4,5,...,K时，

$a_k=\frac{(k-5)!}{E_1{I}_1(k-1)!}[\underset{j_1=0}{\overset{\min (Q,k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{A,j_1}(b_{k-4-j_1}-a_{k-4-j_1})+m_1{\mathrm{\ω}}^2{a}_{k-4}],$

k＝1,2,3,4时，

b_k＝b_k，

k＝5时，

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\frac{4!}{0!}({d_C}^4-{d_T}^4)b_5+\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{d_C}^3\frac{3!}{0!}{b}_4+\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}{d_C}^2\frac{2!}{0!}{b}_3-\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_C}^2{b}_1+\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_T}^2{b}_1,\\ ={\mathrm{\κ}}_{B,0}(w_1-b_1)-{\mathrm{\κ}}_{A,0}(b_1-a_1)\end{array}$

k＝6时，

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\frac{5!}{1!}({d_C}^4-{d_T}^4)b_6+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^3{d_C}^3{\left(2k_C\right)}^1\frac{4!}{0!}{b}_5+\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{C}_3^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^1\frac{3!}{0!}{b}_4+\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{C}_3^3{d_C}^3{\left(2k_C\right)}^0\frac{4!}{1!}{b}_5\\ +\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}{C}_2^1{d_C}^1{\left(2k_C\right)}^1\frac{2!}{0!}{b}_3+\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}{C}_2^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^0\frac{3!}{1!}{b}_4-\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{C}_2^1{d_C}^1{\left(2k_C\right)}^1{b}_1-\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{C}_2^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^0{b}_2,\\ \frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_T}^2{b}_2=\underset{i_5=\max (k-4-M,0)}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_5}{w}_{{k-4-i}_5}-\underset{i_6=0}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_6}{b}_{{k-4-i}_6}-\underset{i_7=0}{\overset{\min (Q,k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{A,i}_7}(b_{{k-4-i}_7}-a_{{k-4-i}_7})\end{array}$

k＝7时，

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\frac{6!}{2!}({d_C}^4-{d_T}^4)b_7+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^2\frac{4!}{0!}{b}_5+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^3{d_C}^3{\left(2k_C\right)}^1\frac{5!}{1!}{b}_6\\ +\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{C}_3^1{d_C}^1{\left(2k_C\right)}^2\frac{3!}{0!}{b}_4+\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{C}_3^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^1\frac{4!}{1!}{b}_5+\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{C}_3^3{d_C}^3{\left(2k_C\right)}^0\frac{5!}{2!}{b}_6\\ +\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}\underset{i_3=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_3}{d_C}^{i_3}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_3}\frac{(k-5+i_3)!}{(k-7+i_3)!}{b}_{{k-4+i}_3}-\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}\underset{i_4=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_4}{d_C}^{i_4}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_4}{b}_{{k-6+i}_4}\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_T}^2{b}_{k-4}\\ =\underset{i_5=\max (k-4-M,0)}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_5}{w}_{k-4-i_5}-\underset{i_6=0}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_6}{b}_{{k-4-i}_6}-\underset{i_7=0}{\overset{\min (Q,k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{A,i}_7}(b_{{k-4-i}_7}-a_{{k-4-i}_7}),\end{array}$

k＝8时，

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\frac{7!}{3!}({d_C}^4-{d_T}^4)b_8+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^1{d_C}^1{\left(2k_C\right)}^3\frac{4!}{0!}{b}_5+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^2\frac{5!}{1!}{b}_6+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^3{d_C}^3{\left(2k_C\right)}^1\frac{6!}{2!}{b}_7\\ +\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}\underset{i_2=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{C}_3^{i_2}{d_C}^{i_2}{\left(2k_C\right)}^{{3-i}_2}\frac{(k-5+i_2)!}{(k-8+i_2)!}{b}_{{k-4+i}_2}+\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}\underset{i_3=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_3}{d_C}^{i_3}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_3}\frac{(k-5+i_3)!}{(k-7+i_3)!}{b}_{{k-4+i}_3}\\ -\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}\underset{i_4=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_4}{d_C}^{i_4}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_4}{b}_{{k-6+i}_4}+\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_T}^2{b}_{k-4}\\ =\underset{i_5=\max (k-4-M,0)}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_5}{w}_{{k-4-i}_5}-\underset{i_6=0}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_6}{b}_{{k-4-i}_6}-\underset{i_7=0}{\overset{\min (Q,k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{A,i}_7}(b_{{k-4-i}_7}-a_{{k-4-i}_7}),\end{array}$

k＝9,10,...,K时，

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\frac{(k-1)!}{(k-5)!}({d_C}^4-{d_T}^4)b_k+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\underset{i_1=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{C}_4^{i_1}{d_C}^{i_1}{\left(2k_C\right)}^{{4-i}_1}\frac{(k-5+i_1)!}{(k-9+i_1)!}{b}_{{k-4+i}_1}\\ +\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}\underset{i_2=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{C}_3^{i_2}{d_C}^{i_2}{\left(2k_C\right)}^{{3-i}_2}\frac{(k-5+i_2)!}{(k-8+i_2)!}{b}_{{k-4+i}_2}+\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}\underset{i_3=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_3}{d_C}^{i_3}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_3}\frac{(k-5+i_3)!}{(k-7+i_3)!}{b}_{{k-4+i}_3}\\ -\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}\underset{i_4=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_4}{d_C}^{i_4}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_4}{b}_{{k-6+i}_4}+\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_T}^2{b}_{k-4}\\ =\underset{i_5=\max (k-4-M,0)}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_5}{w}_{{k-4-i}_5}-\underset{i_6=0}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_6}{b}_{{k-4-i}_6}-\underset{i_7=0}{\overset{\min (Q,k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{A,i}_7}(b_{{k-4-i}_7}-a_{{k-4-i}_7}),\end{array}$

其中w_m是向量w＝P^T{v₁,v₂,...,v_M}^T中的元素，

圆柱棒夹持部分的材料的密度ρ₁=14500Kg/m³，弹簧夹头材料的杨氏模量E₂＝2.00×10¹¹N/m²，弹簧夹头材料的密度ρ＝7800Kg/m³，v₁,v₂,...,v_M分别表示主轴-弹簧夹头刀柄组件在点1,2…,M处的位移，a₁,a₂,...,a_K是圆柱棒夹持部分的振型函数中的各项系数，b₁,b₂,...,b_K是弹簧夹头的振型函数中的各项系数；

（5）通过上一步建立的优化模型，利用全局优化算法，得到使目标函数最小的两离散连接面刚度K₁(x)＝(1+1.010×10^-3i)(1.420×10¹¹-6.878×10¹¹x)和K₂(x)＝(1+7.661×10^-2i)(2.889×10¹⁰-1.007×10¹²x)；

（6）对于与测试用圆柱棒的夹持部分直径和材料相同的铣刀（铣刀直径d_T＝12mm，L＝83mm），铣刀伸出部分等效直径d₃为名义直径d_T的0.8倍，即d₃＝0.8d_T＝9.6mm，使用步骤（5）中得到的K₁和K₂，刀尖频响函数可用下式计算：

H_T＝C₁e^iλL+C₂e^-iλL+C₃e^λL+C₄e^-λL

其中，λ，C₁,C₂,C₃,C₄的计算与步骤（4）中的方法相同，只需将其中的圆柱棒几何参数d₃、L替换为相应的铣刀伸出部分等效直径和铣刀总长度即可；

（7）同理，对于与测试用圆柱棒的夹持部分直径相同的铣刀（铣刀直径d_T＝12mm，L＝141mm），铣刀伸出部分等效直径d₃为名义直径d_T的0.8倍，即d₃＝0.8d_T＝9.6mm，使用步骤（5）中得到的K₁和K₂，刀尖频响函数可用下式计算：

H_T＝C₁e^iλL+C₂e^-iλL+C₃e^λL+C₄e^-λL

其中，λ，C₁,C₂,C₃,C₄的计算与步骤（4）中的方法相同，只需将其中的圆柱棒几何参数d₃、L替换为相应的铣刀伸出部分等效直径和铣刀总长度即可；

通过上面的步骤，可得到直径d_T＝12mm、总长L＝83mm的铣刀和直径d_T＝12mm、总长L＝141mm的铣刀刀尖频响函数图，如图3、4所示。图3、4中测量值与预测值吻合较好，图3、4中的主模态的自然频率的误差分别为2.02%和4.04%。从图3、4中可以看出，本发明可计算相同直径不同长度铣刀的刀尖频响函数，证明本发明是有效的。

实施例2：采用本发明进行直径d_T＝16mm的硬质合金铣刀刀尖频响函数的预测。

（1）弹簧夹头刀柄112安装在机床主轴111中，组成主轴-弹簧夹头刀柄组件101，测试或计算主轴-弹簧夹头刀柄组件101的原点和跨点频响函数H_ij，H_ij表示拾振点i相对激振点j位移对力的频响函数，可写为矩阵形式，以H表示，当i＝j时，称其为原点频响函数，i≠j时，称其为跨点频响函数，i,j＝1,2,...,M，M=3，点1的横坐标x₁＝40mm，点2的横坐标x₂＝20mm，点3的横坐标x₃＝0mm；

（2）测试用圆柱棒114通过弹簧夹头113装夹在弹簧夹头刀柄中，与主轴组成主轴-刀柄-圆柱棒组件102，通过力锤冲击实验测试圆柱棒伸出端的原点频响函数其中，圆柱棒直径为16mm，总长L₁＝123mm，夹持部分长L＝40mm，材料为硬质合金，弹簧夹头小端直径d_C＝26mm，材料为钢；

（3）设圆柱棒与弹簧夹头的离散连接面115的刚度为K₁，弹簧夹头与弹簧夹头刀柄头部的离散连接面116的刚度为K₂，它们可写为

$K_1\left(x\right)=(1+{\mathrm{i\η}}_A)\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{A,p}{x}^p,$

$K_2\left(x\right)=(1+{\mathrm{i\η}}_B)\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{B,q}{x}^q,$

其中，i为虚数单位，x为从圆柱棒夹持部分顶端指向圆柱棒伸出部分顶端的坐标轴，其原点在圆柱棒夹持部分顶端，η_A和η_B分别为对应于K₁和K₂的结构阻尼因子，κ_A,p和κ_B,q分别为对应于K₁和K₂的刚度多项式的各项系数，P＝1，Q＝1；

（4）以K₁和K₂中的各系数，即η_A，η_B，κ_A,0，κ_B,0，κ_A,1和κ_B,1作为设计变量，

作为目标函数，0＜η_A＜1，0＜η_B＜1，10⁸＜κ_A,0＜10¹³，10⁸＜κ_B,0＜10¹³，10⁸＜κ_A,1＜10¹³，10⁸＜κ_B,1＜10¹³作为约束条件，建立两离散连接面刚度K₁和K₂的优化模型,其中

为计算得到的圆柱棒伸出端的原点频响函数，可表示为：

$H_T^{\left(P\right)}=C_1{e}^{\mathrm{i\λL}}+C_2{e}^{-\mathrm{i\λL}}+C_3{e}^{\mathrm{\λL}}+C_4{e}^{-\mathrm{\λL}};$

其中，C₁,C₂,C₃,C₄可通过解线性方程组Z(ω){C₁,C₂,C₃,C₄,a₁,a₂,a₃,a₄,b₁,b₂,b₃,b₄}^T＝{1,0,...,0}^T得到；这里，ω为频率，圆柱棒伸出部分的材料的杨氏模量E₃＝558GPa，

圆柱棒伸出部分的材料的密度ρ₃＝14500kg/m³，

对于圆柱棒来说，圆柱棒伸出部分的直径d₃＝d_T，Z(ω)表示为下式：

其中K＝9， $I_2\left(0\right)=\frac{\mathrm{\π}({d_C}^4-{d_T}^4)}{64},I_2\left(L_1\right)=\frac{\mathrm{\π}[{(d_C+{2L}_1{k}_C)}^4-{d_T}^4]}{64},I_2^{\′}\left(0\right)=\frac{\mathrm{\π}{k}_C{d_C}^3}{8},$

k_C＝0.14054083，圆柱棒夹持部分的材料的杨氏模量E₁＝558GPa，S_l,n为矩阵

中的各元素；这里，I_2K×2K和I_M×M分别为2K×2K和M×M的单位矩阵，

0为M×K的零矩阵， $R=\left[\begin{array}{cccc}{\∫}_0^{L_1}p{K}_2\left(x\right)\mathrm{dx}& {\∫}_0^{L_1}p{K}_2\left(x\right)\mathrm{xdx}& ...& {\∫}_0^{L_1}p{K}_2\left(x\right)x^{K-1}\mathrm{dx}\end{array}\right],J={\∫}_0^{L_1}{K}_2\left(x\right){\mathrm{pp}}^T\mathrm{dx},$ p＝[p₁(x),p₂(x),...,p_M(x)]^T＝P[1,x,x²...,x^M-1]^T，p_m(x)(m＝1,2,...,M)是(M-1)阶的拉格朗日插值基函数，P矩阵第m行中的各元素是p_m(x)中1,x,x²...,x^M-1项前的系数，T_v和T_c通过将下面(2×K)个递推式写成矩阵表达式

{a₁,a₂,...,a_K,b₁,b₂,...,b_K}^T＝T_v{v₁,v₂,...,v_M}^T+T_c{a₁,a₂,a₃,a₄,b₁,b₂,b₃,b₄}^T

而得到，这些递推式为：

k＝1,2,3,4时，

a_k＝a_k，

k＝4,5,...,K时，

$a_k=\frac{(k-5)!}{E_1{I}_1(k-1)!}[\underset{j_1=0}{\overset{\min (Q,k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{A,j_1}(b_{k-4-j_1}-a_{k-4-j_1})+m_1{\mathrm{\ω}}^2{a}_{k-4}],$

k＝1,2,3,4时，

b_k＝b_k，

k＝5时，

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\frac{4!}{0!}({d_C}^4-{d_T}^4)b_5+\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{d_C}^3\frac{3!}{0!}{b}_4+\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}{d_C}^2\frac{2!}{0!}{b}_3-\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_C}^2{b}_1+\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_T}^2{b}_1,\\ ={\mathrm{\κ}}_{B,0}(w_1-b_1)-{\mathrm{\κ}}_{A,0}(b_1-a_1)\end{array}$

k＝6时，

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\frac{5!}{1!}({d_C}^4-{d_T}^4)b_6+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^3{d_C}^3{\left(2k_C\right)}^1\frac{4!}{0!}{b}_5+\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{C}_3^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^1\frac{3!}{0!}{b}_4+\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{C}_3^3{d_C}^3{\left(2k_C\right)}^0\frac{4!}{1!}{b}_5\\ +\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}{C}_2^1{d_C}^1{\left(2k_C\right)}^1\frac{2!}{0!}{b}_3+\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}{C}_2^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^0\frac{3!}{1!}{b}_4-\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{C}_2^1{d_C}^1{\left(2k_C\right)}^1{b}_1-\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{C}_2^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^0{b}_2,\\ \frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_T}^2{b}_2=\underset{i_5=\max (k-4-M,0)}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_5}{w}_{{k-4-i}_5}-\underset{i_6=0}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_6}{b}_{{k-4-i}_6}-\underset{i_7=0}{\overset{\min (Q,k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{A,i}_7}(b_{{k-4-i}_7}-a_{{k-4-i}_7})\end{array}$

k＝7时，

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\frac{6!}{2!}({d_C}^4-{d_T}^4)b_7+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^2\frac{4!}{0!}{b}_5+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^3{d_C}^3{\left(2k_C\right)}^1\frac{5!}{1!}{b}_6\\ +\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{C}_3^1{d_C}^1{\left(2k_C\right)}^2\frac{3!}{0!}{b}_4+\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{C}_3^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^1\frac{4!}{1!}{b}_5+\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{C}_3^3{d_C}^3{\left(2k_C\right)}^0\frac{5!}{2!}{b}_6\\ +\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}\underset{i_3=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_3}{d_C}^{i_3}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_3}\frac{(k-5+i_3)!}{(k-7+i_3)!}{b}_{{k-4+i}_3}-\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}\underset{i_4=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_4}{d_C}^{i_4}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_4}{b}_{{k-6+i}_4}\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_T}^2{b}_{k-4}\\ =\underset{i_5=\max (k-4-M,0)}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_5}{w}_{k-4-i_5}-\underset{i_6=0}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_6}{b}_{{k-4-i}_6}-\underset{i_7=0}{\overset{\min (Q,k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{A,i}_7}(b_{{k-4-i}_7}-a_{{k-4-i}_7}),\end{array}$

k＝8时，

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\frac{7!}{3!}({d_C}^4-{d_T}^4)b_8+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^1{d_C}^1{\left(2k_C\right)}^3\frac{4!}{0!}{b}_5+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^2\frac{5!}{1!}{b}_6+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^3{d_C}^3{\left(2k_C\right)}^1\frac{6!}{2!}{b}_7\\ +\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}\underset{i_2=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{C}_3^{i_2}{d_C}^{i_2}{\left(2k_C\right)}^{{3-i}_2}\frac{(k-5+i_2)!}{(k-8+i_2)!}{b}_{{k-4+i}_2}+\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}\underset{i_3=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_3}{d_C}^{i_3}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_3}\frac{(k-5+i_3)!}{(k-7+i_3)!}{b}_{{k-4+i}_3}\\ -\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}\underset{i_4=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_4}{d_C}^{i_4}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_4}{b}_{{k-6+i}_4}+\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_T}^2{b}_{k-4}\\ =\underset{i_5=\max (k-4-M,0)}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_5}{w}_{{k-4-i}_5}-\underset{i_6=0}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_6}{b}_{{k-4-i}_6}-\underset{i_7=0}{\overset{\min (Q,k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{A,i}_7}(b_{{k-4-i}_7}-a_{{k-4-i}_7}),\end{array}$

k＝9,10,...,K时，

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\frac{(k-1)!}{(k-5)!}({d_C}^4-{d_T}^4)b_k+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\underset{i_1=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{C}_4^{i_1}{d_C}^{i_1}{\left(2k_C\right)}^{{4-i}_1}\frac{(k-5+i_1)!}{(k-9+i_1)!}{b}_{{k-4+i}_1}\\ +\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}\underset{i_2=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{C}_3^{i_2}{d_C}^{i_2}{\left(2k_C\right)}^{{3-i}_2}\frac{(k-5+i_2)!}{(k-8+i_2)!}{b}_{{k-4+i}_2}+\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}\underset{i_3=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_3}{d_C}^{i_3}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_3}\frac{(k-5+i_3)!}{(k-7+i_3)!}{b}_{{k-4+i}_3}\\ -\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}\underset{i_4=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_4}{d_C}^{i_4}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_4}{b}_{{k-6+i}_4}+\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_T}^2{b}_{k-4}\\ =\underset{i_5=\max (k-4-M,0)}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_5}{w}_{{k-4-i}_5}-\underset{i_6=0}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_6}{b}_{{k-4-i}_6}-\underset{i_7=0}{\overset{\min (Q,k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{A,i}_7}(b_{{k-4-i}_7}-a_{{k-4-i}_7}),\end{array}$

其中w_m是向量w＝P^T{v₁,v₂,...,v_M}^T中的元素，

圆柱棒夹持部分的材料的密度ρ₁=14500Kg/m³，弹簧夹头材料的杨氏模量E₂＝2.00×10¹¹N/m²为，弹簧夹头材料的密度ρ＝7800Kg/m³，v₁,v₂,...,v_M分别表示主轴-弹簧夹头刀柄组件在点1,2…,M处的位移，a₁,a₂,...,a_K是圆柱棒夹持部分的振型函数中的各项系数，b₁,b₂,...,b_K是弹簧夹头的振型函数中的各项系数；

（5）通过上一步建立的优化模型，利用全局优化算法，得到使目标函数最小的两离散连接面刚度K₁(x)＝(1+2.445×10^-3i)(1.015×10¹¹-7.448×10¹¹x)和K₂(x)＝(1+1.283×10^-2i)(2.671×10¹¹-1.377×10¹²x)；

（6）对于与测试用圆柱棒的夹持部分直径和材料相同的铣刀（铣刀直径d_T＝16mm，L＝92mm），铣刀伸出部分等效直径d₃为名义直径d_T的0.8倍，即d₃＝0.8d_T＝12.8mm，使用步骤（5）中得到的K₁和K₂，刀尖频响函数可用下式计算：

H_T＝C₁e^iλL+C₂e^-iλL+C₃e^λL+C₄e^-λL

其中，λ，C₁,C₂,C₃,C₄的计算与步骤（4）中的方法相同，只需将其中的圆柱棒几何参数d₃、L替换为相应的铣刀伸出部分等效直径和铣刀总长度即可；

（7）同理，对于与测试用圆柱棒的夹持部分直径相同的铣刀（铣刀直径d_T＝16mm，L＝166mm），铣刀伸出部分等效直径d₃为名义直径d_T的0.8倍，即d₃＝0.8d_T＝12.8mm，使用步骤（5）中得到的K₁和K₂，刀尖频响函数可用下式计算：

H_T＝C₁e^iλL+C₂e^-iλL+C₃e^λL+C₄e^-λL

其中，λ，C₁,C₂,C₃,C₄的计算与步骤（4）中的方法相同，只需将其中的圆柱棒几何参数d₃、L替换为相应的铣刀伸出部分等效直径和铣刀总长度即可；

通过上面的步骤，可得到直径d_T＝16mm、总长L＝92mm的铣刀和直径d_T＝12mm、总长L＝166mm的铣刀刀尖频响函数图，如图5、6所示。图5、6中测量值与预测值吻合较好，图5、6中的主模态的自然频率的误差分别为3.55%和0.85%。从图5、6中可以看出，本发明可计算相同直径不同长度铣刀的刀尖频响函数，证明本发明是有效的。

实施例3：采用本发明进行直径d_T＝12mm的高速钢铣刀刀尖频响函数的预测。

（1）弹簧夹头刀柄112安装在机床主轴111中，组成主轴-弹簧夹头刀柄组件101，测试或计算主轴-弹簧夹头刀柄组件101的原点和跨点频响函数H_ij，H_ij表示拾振点i相对激振点j位移对力的频响函数，可写为矩阵形式，以H表示，当i＝j时，称其为原点频响函数，i≠j时，称其为跨点频响函数，i,j＝1,2,...,M，M=3，点1的横坐标x₁＝40mm，点2的横坐标x₂＝20mm，点3的横坐标x₃＝0mm；

（2）测试用圆柱棒114通过弹簧夹头113装夹在弹簧夹头刀柄中，与主轴组成主轴-刀柄-圆柱棒组件102，通过力锤冲击实验测试圆柱棒伸出端的原点频响函数

其中，圆柱棒直径为12mm，总长L₁＝110mm，夹持部分长L＝40mm，材料为高速钢，弹簧夹头小端直径d_C＝26mm，材料为钢；

（3）设圆柱棒与弹簧夹头的离散连接面115的刚度为K₁，弹簧夹头与弹簧夹头刀柄头部的离散连接面116的刚度为K₂，它们可写为

$K_1\left(x\right)=(1+{\mathrm{i\η}}_A)\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{A,p}{x}^p,$

$K_2\left(x\right)=(1+{\mathrm{i\η}}_B)\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{B,q}{x}^q,$

其中，i为虚数单位，x为从圆柱棒夹持部分顶端指向圆柱棒伸出部分顶端的坐标轴，其原点在圆柱棒夹持部分顶端，η_A和η_B分别为对应于K₁和K₂的结构阻尼因子，κ_A,p和κ_B,q分别为对应于K₁和K₂的刚度多项式的各项系数，P＝1，Q＝1；

（4）以K₁和K₂中的各系数，即η_A，η_B，κ_A,0，κ_B,0，κ_A,1和κ_B,1作为设计变量，

作为目标函数，0＜η_A＜1，0＜η_B＜1，10⁸＜κ_A,0＜10¹³，10⁸＜κ_B,0＜10¹³，10⁸＜κ_A,1＜10¹³，10⁸＜κ_B,1＜10¹³作为约束条件，建立两离散连接面刚度K₁和K₂的优化模型,其中为计算得到的圆柱棒伸出端的原点频响函数，可表示为：

$H_T^{\left(P\right)}=C_1{e}^{\mathrm{i\λL}}+C_2{e}^{-\mathrm{i\λL}}+C_3{e}^{\mathrm{\λL}}+C_4{e}^{-\mathrm{\λL}};$

其中，

C₁,C₂,C₃,C₄可通过解线性方程组Z(ω){C₁,C₂,C₃,C₄,a₁,a₂,a₃,a₄,b₁,b₂,b₃,b₄}^T＝{1,0,...,0}^T得到；这里，ω为频率，圆柱棒伸出部分的材料的杨氏模量E₃＝200GPa，

圆柱棒伸出部分的材料的密度ρ₃＝7800kg/m³，

对于圆柱棒来说，圆柱棒伸出部分的直径d₃＝d_T，Z(ω)表示为下式：

其中K＝9， $I_2\left(0\right)=\frac{\mathrm{\π}({d_C}^4-{d_T}^4)}{64},I_2\left(L_1\right)=\frac{\mathrm{\π}[{(d_C+{2L}_1{k}_C)}^4-{d_T}^4]}{64},I_2^{\′}\left(0\right)=\frac{\mathrm{\π}{k}_C{d_C}^3}{8},$ k_C＝0.14054083，

圆柱棒夹持部分的材料的杨氏模量E₁＝200GPa，S_l,n为矩阵

中的各元素；这里，I_2K×2K和I_M×M分别为2K×2K和M×M的单位矩阵，

0为M×K的零矩阵， $R=\left[\begin{array}{cccc}{\∫}_0^{L_1}p{K}_2\left(x\right)\mathrm{dx}& {\∫}_0^{L_1}p{K}_2\left(x\right)\mathrm{xdx}& ...& {\∫}_0^{L_1}p{K}_2\left(x\right)x^{K-1}\mathrm{dx}\end{array}\right],J={\∫}_0^{L_1}{K}_2\left(x\right){\mathrm{pp}}^T\mathrm{dx},$ p＝[p₁(x),p₂(x),...,p_M(x)]^T＝P[1,x,x²...,x^M-1]^T，p_m(x)(m＝1,2,...,M)是(M-1)阶的拉格朗日插值基函数，P矩阵第m行中的各元素是p_m(x)中1,x,x²...,x^M-1项前的系数，T_v和T_c通过将下面(2×K)个递推式写成矩阵表达式

{a₁,a₂,...,a_K,b₁,b₂,...,b_K}^T＝T_v{v₁,v₂,...,v_M}^T+T_c{a₁,a₂,a₃,a₄,b₁,b₂,b₃,b₄}^T

而得到，这些递推式为：

k＝1,2,3,4时，

a_k＝a_k，

k＝4,5,...,K时，

$a_k=\frac{(k-5)!}{E_1{I}_1(k-1)!}[\underset{j_1=0}{\overset{\min (Q,k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{A,j_1}(b_{k-4-j_1}-a_{k-4-j_1})+m_1{\mathrm{\ω}}^2{a}_{k-4}],$

k＝1,2,3,4时，

b_k＝b_k，

k＝5时，

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\frac{4!}{0!}({d_C}^4-{d_T}^4)b_5+\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{d_C}^3\frac{3!}{0!}{b}_4+\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}{d_C}^2\frac{2!}{0!}{b}_3-\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_C}^2{b}_1+\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_T}^2{b}_1,\\ ={\mathrm{\κ}}_{B,0}(w_1-b_1)-{\mathrm{\κ}}_{A,0}(b_1-a_1)\end{array}$

k＝6时，

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\frac{5!}{1!}({d_C}^4-{d_T}^4)b_6+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^3{d_C}^3{\left(2k_C\right)}^1\frac{4!}{0!}{b}_5+\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{C}_3^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^1\frac{3!}{0!}{b}_4+\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{C}_3^3{d_C}^3{\left(2k_C\right)}^0\frac{4!}{1!}{b}_5\\ +\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}{C}_2^1{d_C}^1{\left(2k_C\right)}^1\frac{2!}{0!}{b}_3+\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}{C}_2^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^0\frac{3!}{1!}{b}_4-\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{C}_2^1{d_C}^1{\left(2k_C\right)}^1{b}_1-\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{C}_2^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^0{b}_2,\\ \frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_T}^2{b}_2=\underset{i_5=\max (k-4-M,0)}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_5}{w}_{{k-4-i}_5}-\underset{i_6=0}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_6}{b}_{{k-4-i}_6}-\underset{i_7=0}{\overset{\min (Q,k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{A,i}_7}(b_{{k-4-i}_7}-a_{{k-4-i}_7})\end{array}$

k＝7时，

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\frac{6!}{2!}({d_C}^4-{d_T}^4)b_7+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^2\frac{4!}{0!}{b}_5+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^3{d_C}^3{\left(2k_C\right)}^1\frac{5!}{1!}{b}_6\\ +\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{C}_3^1{d_C}^1{\left(2k_C\right)}^2\frac{3!}{0!}{b}_4+\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{C}_3^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^1\frac{4!}{1!}{b}_5+\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{C}_3^3{d_C}^3{\left(2k_C\right)}^0\frac{5!}{2!}{b}_6\\ +\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}\underset{i_3=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_3}{d_C}^{i_3}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_3}\frac{(k-5+i_3)!}{(k-7+i_3)!}{b}_{{k-4+i}_3}-\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}\underset{i_4=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_4}{d_C}^{i_4}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_4}{b}_{{k-6+i}_4}\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_T}^2{b}_{k-4}\\ =\underset{i_5=\max (k-4-M,0)}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_5}{w}_{k-4-i_5}-\underset{i_6=0}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_6}{b}_{{k-4-i}_6}-\underset{i_7=0}{\overset{\min (Q,k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{A,i}_7}(b_{{k-4-i}_7}-a_{{k-4-i}_7}),\end{array}$

k＝8时，

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\frac{7!}{3!}({d_C}^4-{d_T}^4)b_8+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^1{d_C}^1{\left(2k_C\right)}^3\frac{4!}{0!}{b}_5+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^2\frac{5!}{1!}{b}_6+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^3{d_C}^3{\left(2k_C\right)}^1\frac{6!}{2!}{b}_7\\ +\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}\underset{i_2=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{C}_3^{i_2}{d_C}^{i_2}{\left(2k_C\right)}^{{3-i}_2}\frac{(k-5+i_2)!}{(k-8+i_2)!}{b}_{{k-4+i}_2}+\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}\underset{i_3=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_3}{d_C}^{i_3}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_3}\frac{(k-5+i_3)!}{(k-7+i_3)!}{b}_{{k-4+i}_3}\\ -\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}\underset{i_4=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_4}{d_C}^{i_4}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_4}{b}_{{k-6+i}_4}+\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_T}^2{b}_{k-4}\\ =\underset{i_5=\max (k-4-M,0)}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_5}{w}_{{k-4-i}_5}-\underset{i_6=0}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_6}{b}_{{k-4-i}_6}-\underset{i_7=0}{\overset{\min (Q,k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{A,i}_7}(b_{{k-4-i}_7}-a_{{k-4-i}_7}),\end{array}$

k＝9,10,...,K时，

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\frac{(k-1)!}{(k-5)!}({d_C}^4-{d_T}^4)b_k+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\underset{i_1=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{C}_4^{i_1}{d_C}^{i_1}{\left(2k_C\right)}^{{4-i}_1}\frac{(k-5+i_1)!}{(k-9+i_1)!}{b}_{{k-4+i}_1}\\ +\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}\underset{i_2=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{C}_3^{i_2}{d_C}^{i_2}{\left(2k_C\right)}^{{3-i}_2}\frac{(k-5+i_2)!}{(k-8+i_2)!}{b}_{{k-4+i}_2}+\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}\underset{i_3=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_3}{d_C}^{i_3}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_3}\frac{(k-5+i_3)!}{(k-7+i_3)!}{b}_{{k-4+i}_3}\\ -\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}\underset{i_4=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_4}{d_C}^{i_4}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_4}{b}_{{k-6+i}_4}+\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_T}^2{b}_{k-4}\\ =\underset{i_5=\max (k-4-M,0)}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_5}{w}_{{k-4-i}_5}-\underset{i_6=0}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_6}{b}_{{k-4-i}_6}-\underset{i_7=0}{\overset{\min (Q,k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{A,i}_7}(b_{{k-4-i}_7}-a_{{k-4-i}_7}),\end{array}$

其中w_m是向量w＝P^T{v₁,v₂,...,v_M}^T中的元素，

圆柱棒夹持部分的材料的密度ρ₁=7800K_x/m³，弹簧夹头材料的杨氏模量E₂＝2.00×10¹¹N/m²，弹簧夹头材料的密度ρ＝7800Kg/m³，v₁,v₂,...,v_M分别表示主轴-弹簧夹头刀柄组件在点1,2…,M处的位移，a₁,a₂,...,a_K是圆柱棒夹持部分的振型函数中的各项系数，b₁,b₂,...,b_K是弹簧夹头的振型函数中的各项系数；

（5）通过上一步建立的优化模型，利用全局优化算法，得到使目标函数最小的两离散连接面刚度K₁(x)＝(1+1.021×10^-3i)(3.246×10¹⁰-2.845×10¹¹x)和K₂(x)＝(1+1.006×10^-2i)(2.337×10¹¹-9.594×10¹²x)；

（6）对于与测试用圆柱棒的夹持部分直径和材料相同的铣刀（铣刀直径d_T＝12mm，L＝83mm），铣刀伸出部分等效直径d₃为名义直径d_T的0.8倍，即d₃＝0.8d_T＝9.6mm，使用步骤（5）中得到的K₁和K₂，刀尖频响函数可用下式计算：

H_T＝C₁e^iλL+C₂e^-iλL+C₃e^λL+C₄e^-λL

其中，λ，C₁,C₂,C₃,C₄的计算与步骤（4）中的方法相同，只需将其中的圆柱棒几何参数d₃、L替换为相应的铣刀伸出部分等效直径和铣刀总长度即可；

（7）同理，对于与测试用圆柱棒的夹持部分直径相同的铣刀（铣刀直径d_T＝12mm，L＝141mm），铣刀伸出部分等效直径d₃为名义直径d_T的0.8倍，即d₃＝0.8d_T＝9.6mm，使用步骤（5）中得到的K₁和K₂，刀尖频响函数可用下式计算：

H_T＝C₁e^iλL+C₂e^-iλL+C₃e^λL+C₄e^-λL

其中，λ，C₁,C₂,C₃,C₄的计算与步骤（4）中的方法相同，只需将其中的圆柱棒几何参数d₃、L替换为相应的铣刀伸出部分等效直径和铣刀总长度即可；

通过上面的步骤，可得到直径d_T＝12mm、总长L＝83mm的铣刀和直径d_T＝12mm、总长L＝141mm的铣刀刀尖频响函数图，如图7、8所示。图7、8中测量值与预测值吻合较好，图7、8中的主模态的自然频率的误差分别为0.59%和2.26%。从图7、8中可以看出，本发明可计算相同直径不同长度铣刀的刀尖频响函数，证明本发明是有效的。

从实施例1-3中可以看出，当铣刀的直径或材料变化时，该方法同样适用，只需要用一个与铣刀的夹持部分半径和材料相同的圆柱棒标定两离散连接面刚度K₁和K₂即可。

Claims (1)

1.一种铣刀刀尖频响函数的预测方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤一、将弹簧夹头刀柄（112）安装在机床主轴（111）中，组成主轴-弹簧夹头刀柄组件（101），测试或计算主轴-弹簧夹头刀柄组件（101）的原点和跨点频响函数H_ij，H_ij表示拾振点i相对激振点j位移对力的频响函数，为矩阵形式，以H表示，当i＝j时，为原点频响函数，i≠j时，为跨点频响函数，i,j＝1,2,...,M，M=3；

步骤二、测试用圆柱棒（114）通过弹簧夹头（113）装夹在弹簧夹头刀柄中，与主轴组成主轴-刀柄-圆柱棒组件（102），通过力锤冲击实验测试圆柱棒伸出端的原点频响函数

其中，圆柱棒直径等于圆柱棒夹持部分直径d_T，L₁为圆柱棒总长，L为圆柱棒夹持部分长度，d_C为弹簧夹头小端直径；

步骤三、设圆柱棒与弹簧夹头的离散连接面（115）的刚度为K₁，弹簧夹头与弹簧夹头刀柄头部的离散连接面（116）的刚度为K₂，则：

$K_1\left(x\right)=(1+{\mathrm{i\η}}_A)\underset{p=0}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{A,p}{x}^p,$

$K_2\left(x\right)=(1+{\mathrm{i\η}}_B)\underset{q=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{B,q}{x}^q,$

其中，i为虚数单位，x为从圆柱棒夹持部分顶端指向圆柱棒伸出部分顶端的坐标轴，其原点在圆柱棒夹持部分顶端，η_A和η_B分别为对应于K₁和K₂的结构阻尼因子，κ_A,p和κ_B,q分别为对应于K₁和K₂的刚度多项式的各项系数，P＝1，Q＝1；

步骤四、以K₁和K₂中的系数η_A，η_B，κ_A,0，κ_B,0，κ_A,1和κ_B,1作为设计变量，

作为目标函数，0＜η_A＜1，0＜η_B＜1，10⁸＜κ_A,0＜10¹³，10⁸＜κ_B,0＜10¹³，10⁸＜κ_A,1＜10¹³，10⁸＜κ_B,1＜10¹³作为约束条件，建立两离散连接面刚度K₁和K₂的优化模型,其中为计算得到的圆柱棒伸出端的原点频响函数，表示为：

$H_T^{\left(P\right)}=C_1{e}^{\mathrm{i\λL}}+C_2{e}^{-\mathrm{i\λL}}+C_3{e}^{\mathrm{\λL}}+C_4{e}^{-\mathrm{\λL}};$

其中，

C₁,C₂,C₃,C₄通过解线性方程组Z(ω){C₁,C₂,C₃,C₄,a₁,a₂,a₃,a₄,b₁,b₂,b₃,b₄}^T＝{1,0,...,0}^T得到；ω为频率，E₃为圆柱棒伸出部分的材料的杨氏模量，圆柱棒伸出部分的线密度

ρ₃为圆柱棒伸出部分的材料的密度，圆柱棒伸出部分的惯性矩

对于圆柱棒来说，圆柱棒伸出部分的直径d₃＝d_T，Z(ω)表示为下式：

其中K＝9， $I_2\left(0\right)=\frac{\mathrm{\π}({d_C}^4-{d_T}^4)}{64},I_2\left(L_1\right)=\frac{\mathrm{\π}[{(d_C+{2L}_1{k}_C)}^4-{d_T}^4]}{64},I_2^{\′}\left(0\right)=\frac{\mathrm{\π}{k}_C{d_C}^3}{8},$

k_C＝0.14054083，圆柱棒夹持部分的惯性矩

E₁为圆柱棒夹持部分的材料的杨氏模量，S_l,n为矩阵

中的各元素；I_2K×2K和I_M×M分别为2K×2K和M×M的单位矩阵，0为M×K的零矩阵， $R=\left[\begin{array}{cccc}{\∫}_0^{L_1}p{K}_2\left(x\right)\mathrm{dx}& {\∫}_0^{L_1}p{K}_2\left(x\right)\mathrm{xdx}& ...& {\∫}_0^{L_1}p{K}_2\left(x\right)x^{K-1}\mathrm{dx}\end{array}\right],J={\∫}_0^{L_1}{K}_2\left(x\right){\mathrm{pp}}^T\mathrm{dx},$ p＝[p₁(x),p₂(x),...,p_M(x)]^T＝P[1,x,x²...,x^M-1]^T，p_m(x)(m＝1,2,...,M)是(M-1)阶的拉格朗日插值基函数，P矩阵第m行中的各元素是p_m(x)中1,x,x²...,x^M-1项前的系数，T_v和T_c通过将下面(2×K)个递推式写成矩阵表达式

{a₁,a₂,...,a_K,b₁,b₂,...,b_K}^T＝T_v{v₁,v₂,...,v_M}^T+T_c{a₁,a₂,a₃,a₄,b₁,b₂,b₃,b₄}^T

而得到，这些递推式为：

k＝1,2,3,4时，

a_k＝a_k，

k＝4,5,...,K时，

$a_k=\frac{(k-5)!}{E_1{I}_1(k-1)!}[\underset{j_1=0}{\overset{\min (Q,k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{A,j_1}(b_{k-4-j_1}-a_{k-4-j_1})+m_1{\mathrm{\ω}}^2{a}_{k-4}],$

k＝1,2,3,4时，

b_k＝b_k，

k＝5时，

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\frac{4!}{0!}({d_C}^4-{d_T}^4)b_5+\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{d_C}^3\frac{3!}{0!}{b}_4+\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}{d_C}^2\frac{2!}{0!}{b}_3-\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_C}^2{b}_1+\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_T}^2{b}_1,\\ ={\mathrm{\κ}}_{B,0}(w_1-b_1)-{\mathrm{\κ}}_{A,0}(b_1-a_1)\end{array}$

k＝6时，

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\frac{5!}{1!}({d_C}^4-{d_T}^4)b_6+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^3{d_C}^3{\left(2k_C\right)}^1\frac{4!}{0!}{b}_5+\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{C}_3^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^1\frac{3!}{0!}{b}_4+\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{C}_3^3{d_C}^3{\left(2k_C\right)}^0\frac{4!}{1!}{b}_5\\ +\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}{C}_2^1{d_C}^1{\left(2k_C\right)}^1\frac{2!}{0!}{b}_3+\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}{C}_2^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^0\frac{3!}{1!}{b}_4-\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{C}_2^1{d_C}^1{\left(2k_C\right)}^1{b}_1-\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{C}_2^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^0{b}_2,\\ \frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_T}^2{b}_2=\underset{i_5=\max (k-4-M,0)}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_5}{w}_{{k-4-i}_5}-\underset{i_6=0}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_6}{b}_{{k-4-i}_6}-\underset{i_7=0}{\overset{\min (Q,k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{A,i}_7}(b_{{k-4-i}_7}-a_{{k-4-i}_7})\end{array}$

k＝7时，

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\frac{6!}{2!}({d_C}^4-{d_T}^4)b_7+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^2\frac{4!}{0!}{b}_5+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^3{d_C}^3{\left(2k_C\right)}^1\frac{5!}{1!}{b}_6\\ +\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{C}_3^1{d_C}^1{\left(2k_C\right)}^2\frac{3!}{0!}{b}_4+\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{C}_3^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^1\frac{4!}{1!}{b}_5+\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}{C}_3^3{d_C}^3{\left(2k_C\right)}^0\frac{5!}{2!}{b}_6\\ +\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}\underset{i_3=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_3}{d_C}^{i_3}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_3}\frac{(k-5+i_3)!}{(k-7+i_3)!}{b}_{{k-4+i}_3}-\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}\underset{i_4=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_4}{d_C}^{i_4}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_4}{b}_{{k-6+i}_4}\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_T}^2{b}_{k-4}\\ =\underset{i_5=\max (k-4-M,0)}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_5}{w}_{k-4-i_5}-\underset{i_6=0}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_6}{b}_{{k-4-i}_6}-\underset{i_7=0}{\overset{\min (Q,k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{A,i}_7}(b_{{k-4-i}_7}-a_{{k-4-i}_7}),\end{array}$

k＝8时，

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\frac{7!}{3!}({d_C}^4-{d_T}^4)b_8+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^1{d_C}^1{\left(2k_C\right)}^3\frac{4!}{0!}{b}_5+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^2{d_C}^2{\left(2k_C\right)}^2\frac{5!}{1!}{b}_6+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}{C}_4^3{d_C}^3{\left(2k_C\right)}^1\frac{6!}{2!}{b}_7\\ +\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}\underset{i_2=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{C}_3^{i_2}{d_C}^{i_2}{\left(2k_C\right)}^{{3-i}_2}\frac{(k-5+i_2)!}{(k-8+i_2)!}{b}_{{k-4+i}_2}+\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}\underset{i_3=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_3}{d_C}^{i_3}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_3}\frac{(k-5+i_3)!}{(k-7+i_3)!}{b}_{{k-4+i}_3}\\ -\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}\underset{i_4=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_4}{d_C}^{i_4}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_4}{b}_{{k-6+i}_4}+\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_T}^2{b}_{k-4}\\ =\underset{i_5=\max (k-4-M,0)}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_5}{w}_{{k-4-i}_5}-\underset{i_6=0}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_6}{b}_{{k-4-i}_6}-\underset{i_7=0}{\overset{\min (Q,k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{A,i}_7}(b_{{k-4-i}_7}-a_{{k-4-i}_7}),\end{array}$

k＝9,10,...,K时，

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\frac{(k-1)!}{(k-5)!}({d_C}^4-{d_T}^4)b_k+\frac{\mathrm{\π}{E}_2}{64}\underset{i_1=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{C}_4^{i_1}{d_C}^{i_1}{\left(2k_C\right)}^{{4-i}_1}\frac{(k-5+i_1)!}{(k-9+i_1)!}{b}_{{k-4+i}_1}\\ +\frac{\mathrm{\π}{E}_2{k}_C}{4}\underset{i_2=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{C}_3^{i_2}{d_C}^{i_2}{\left(2k_C\right)}^{{3-i}_2}\frac{(k-5+i_2)!}{(k-8+i_2)!}{b}_{{k-4+i}_2}+\frac{3\mathrm{\π}{E}_2{k_C}^2}{4}\underset{i_3=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_3}{d_C}^{i_3}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_3}\frac{(k-5+i_3)!}{(k-7+i_3)!}{b}_{{k-4+i}_3}\\ -\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}\underset{i_4=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{C}_2^{i_4}{d_C}^{i_4}{\left(2k_C\right)}^{{2-i}_4}{b}_{{k-6+i}_4}+\frac{\mathrm{\π\ρ}{\mathrm{\ω}}^2}{4}{d_T}^2{b}_{k-4}\\ =\underset{i_5=\max (k-4-M,0)}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_5}{w}_{{k-4-i}_5}-\underset{i_6=0}{\overset{\min (\hat{Q},k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{B,i}_6}{b}_{{k-4-i}_6}-\underset{i_7=0}{\overset{\min (Q,k-5)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{{A,i}_7}(b_{{k-4-i}_7}-a_{{k-4-i}_7}),\end{array}$

其中，w_m是向量w＝P^T{v₁,v₂,...,v_M}^T中的元素，

ρ₁为圆柱棒夹持部分的材料的密度，E₂为弹簧夹头材料的杨氏模量，ρ为弹簧夹头材料的密度，v₁,v₂,...,v_M分别表示主轴-弹簧夹头刀柄组件在点1,2…,M处的位移，a₁,a₂,...,a_K是圆柱棒夹持部分的振型函数中的各项系数，b₁,b₂,...,b_K是弹簧夹头的振型函数中的各项系数；

步骤五、通过步骤四建立的优化模型，利用全局优化算法，得到使目标函数最小的两离散连接面刚度K₁和K₂；

步骤六、对于与测试用圆柱棒的夹持部分直径和材料相同的铣刀，铣刀伸出部分等效直径d₃为名义直径d_T的0.8倍，使用步骤五中得到的K₁和K₂，刀尖频响函数用下式计算：

H_T＝C₁e^iλL+C₂e^-iλL+C₃e^λL+C₄e^-λL

其中，λ，C₁,C₂,C₃,C₄的计算与步骤四中的

的计算方法相同，将步骤四中的圆柱棒几何参数d₃、L替换为相应的铣刀伸出部分等效直径和铣刀总长度。

Images