CN103884713B - 聚合物溶液变形迟缓时间常数测定方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及聚合物溶液变形迟缓时间常数测定方法，主要包括：利用超声波液滴悬浮仪和高速相机记录液滴振荡的运动图像：所得的图像进行界面识别和拟合：以时间为横坐标轴，瞬时振幅为纵坐标轴，可以得到瞬时振幅随时间变化的曲线：本发明可测定出各溶液的变形迟缓时间常数，方法有效可行，且所得变形迟缓时间常数数值精确，为相关涉及溶液的变形迟缓时间常数的实验和数学模型提供了有效且准确的参数。

Description

聚合物溶液变形迟缓时间常数测定方法

技术领域

本发明涉及聚合物溶液变形迟缓时间常数的测定方法。

背景技术

一般来说，聚合物溶液为粘弹性液体，该类液体的动力特性既表现液体的粘性特征，又具有弹性特性，其本构方程相当复杂，在数值仿真中，用得最多为01droyd 8常数模型，在小尺度粘弹性液滴试验中，为了减少分析的复杂度，8常数模型常常通过线性化简化为两个常数的Jeffreys模型。该模型的数学表达式为：

$\mathrm{\τ}+{\mathrm{\λ}}_1\frac{\∂\mathrm{\τ}}{\∂t}={\mathrm{\η}}_0(\stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}+{\mathrm{\λ}}_2\frac{\∂\stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}}{\∂t})$

其中λ2为变形迟缓时间常数。

由于表面张力的作用，粘弹性液滴在空气中会产生振荡现象，其振荡频率和阻尼仅与材料参数和几何参数有关，因此可以利用这个特点对材料参数进行测定。对于小尺度粘弹性液滴在空气中振荡的动力学问题，可以用N-S方程加上两个常数的Jeffreys本构方程、边界条件得到相应的特征方程。已知材料参数和几何参数就可以得到二阶振荡的振荡频率和阻尼；反过来，通过测定振荡频率和阻尼，利用特征方程同样可以计算出材料参数。

目前，弹性时间常数λ1已经有标准的测定方法，而零剪切率粘性常数η0可以近似得到，但对变形迟缓时间常数λ2目前还没有相应的测定方法，在粘弹性流体的数值仿真中，一般规定变形迟缓时间常数为弹性时间常数的1/8或1/10，这种规定并没有理论根据，因此，其仿真结果是否能够反映真实流动特性值得怀疑。

发明内容

本发明所要解决的技术问题在于克服现有的技术缺陷，提供一种聚合物溶液变形迟缓时间常数的测定方法，可准确测定出各溶液的变形迟缓时间常数，具体方法如下：

聚合物溶液变形迟缓时间常数测定方法，主要包括如下步骤：

(1)利用超声波液滴悬浮仪和高速相机记录液滴振荡的运动图像：

用注射器注入液滴，控制液滴的直径在1.5mm到2.5mm之间；

液滴在由超声波驻波产生的拟稳态压力场中保持悬浮状态，且液滴在超声波的幅值调制下，产生振荡；

对超声波调制频率进行扫频，通过监控液滴变形的幅度，获得液滴在超声波激励下的共振频率，在共振频率下，液滴稳定地发生振荡；

关闭超声波，这时，液滴在表面张力的作用下，表面表现为衰减的振荡，以此为时间零点，触发高速相机，记录下液滴的振荡行为，并存储在与摄像机相连的的计算机上；

(2)根据步骤(1)所得的图像进行界面识别和拟合：

对图像进行进一步的处理，通过高速摄影获得的图像每一帧代表一个时刻的液滴表面振荡的形态，识别界面的变化获得一段时间液滴振荡随时间变化的演化过程；

依次对系列帧的图像处理，就可以得到以时间为序列的一系列变化的液滴界面；

对每一时刻的界面进行曲线拟合，从而得到给定时刻的瞬时振幅；

(3)根据步骤(2)的瞬时振幅，以时间为横坐标轴，瞬时振幅为纵坐标轴，可以得到瞬时振幅随时间变化的曲线：

通过对曲线按衰减的谐函数进行拟合就可以得到二阶和三阶模态的振荡频率和阻尼比；

由相应模态的振荡频率和阻尼比组合成对应的复频率，带入特征方程，同时带入其他已知的几何参数和材料参数，就可以得到二阶和三阶模态的两个特征方程，借助于数值方法对未知量零剪切率粘性常数、变形迟缓时间常数进行求解，最终获得变形迟缓时间常数。

作为优选方式，上述步骤(3)对应的各参数带入数学模型：

$\frac{{\mathrm{\α}}_{m,0}^2}{{\mathrm{\α}}^2}=\frac{2(m^2-1)}{q^2{a}^2-2J_{m+1}/J_m}+\frac{2m(m-1)}{q^2{a}^2}\[1+\frac{2(m+1)J_{m+1}/J_m}{2J_{m+1}/J_m-qa}\]-1$

定义如下的变量：

$y=\frac{{\mathrm{\α}}_{m,0}}{\mathrm{\α}},Oh={\mathrm{\η}}_0\sqrt{\mathrm{\σ}a\mathrm{\ρ}},$ De₁＝α_m，0λ₁，De₂＝α_m，0λ₂

$q^2{a}^2=\sqrt{m(m-1)(m+2)}\frac{y}{Oh}\frac{1-{\mathrm{yDe}}_1}{1-{\mathrm{yDe}}_2}$

${\mathrm{\α}}_{m,0}=\sqrt{m(m-1)(m+2)}\sqrt{\frac{\mathrm{\σ}}{{\mathrm{\ρa}}^3}}$

其中：σ为表面张力系数，a为液滴平衡状态下的半径，ρ为液体的密度，J_m为m阶球Bessel函数，m为液滴振荡模态，α为待求的液滴振荡的复频率，其实部为阻尼比，虚部代表振荡频率，η₀为零剪切率粘性常数，α_m，0为理想无粘性液滴振荡m阶模态复频率，J_m+1为m+1阶球Bessel函数，λ₁为弹性时间常数；

解本方程组即可得到聚合物溶液变形迟缓时间常数λ2。

本发明可测定出各溶液的变形迟缓时间常数，方法有效可行，且所得变形迟缓时间常数数值精确，为相关涉及溶液的变形迟缓时间常数的实验和数学模型提供了有效且准确的参数。

附图说明

图1为本发明液滴测试装置示意图；

图2为本发明四个时刻界面识别获得的界面点和通过拟合的得到的界面点图；

图3为二阶模态瞬时振幅图；

图4为三阶模态瞬时振幅图。

具体实施方式

本方法的理论背景：

单个液滴在表面张力的驱动下，在空气中表现为其表面形状按一定频率的振荡，由于液体的粘性作用，其振荡模式是按一定的阻尼比衰减的，其频率和阻尼比的数值大小与液滴平衡状态下的半径，材料的参数相关，这种关系可以表示为一个特征方程，在小变形的限制条件下，其特征方程可以用N-S方程加上两个常数的Jeffreys本构方程、边界条件得到，具体表达式如下：

$\frac{{\mathrm{\α}}_{m,0}^2}{{\mathrm{\α}}^2}=\frac{2(m^2-1)}{q^2{a}^2-2J_{m+1}/J_m}+\frac{2m(m-1)}{q^2{a}^2}\[1+\frac{2(m+1)J_{m+1}/J_m}{2J_{m+1}/J_m-qa}\]-1---\left(1\right)$

定义如下的变量：

$y=\frac{{\mathrm{\α}}_{m,0}}{\mathrm{\α}},Oh={\mathrm{\η}}_0\sqrt{\mathrm{\σ}a\mathrm{\ρ}},$ De₁＝α_m，0λ₁，De₂＝α_m，0λ₂

$q^2{a}^2=\sqrt{m(m-1)(m+2)}\frac{y}{Oh}\frac{1-{\mathrm{yDe}}_1}{1-{\mathrm{yDe}}_2}$

${\mathrm{\α}}_{m,0}=\sqrt{m(m-1)(m+2)}\sqrt{\frac{\mathrm{\σ}}{{\mathrm{\ρa}}^3}}$

其中：σ为表面张力系数，a为液滴平衡状态下的半径，ρ为液体的密度，J_m为m阶球Bessel函数。m为液滴振荡模态，η₀为零剪切率粘性常数，α_m，0为理想无粘性液滴振荡m阶模态复频率，J_m+1为m+1阶球Bessel函数，λ₁为弹性时间常数。

α为待求的液滴振荡的复频率，其实部为阻尼比，虚部代表振荡频率。

观察特征方程，其表现为复杂的非线性方程，方程可以借助于数值方程进行求解。如果我们给定相应的几何参数和材料参数，就可以得到不同模态下的振荡频率和阻尼比，反过来，我们可以实验的方法获得液滴表面振荡的频率和阻尼比，通过特征方程就可以获得材料参数。

本发明就是利用上述原理，通过实验获得二阶和三阶模态的振荡频率和阻尼比，借助于特征方程，最终得到聚合物溶液变形迟缓时间常数。

实施例：

如图1所示，聚合物溶液变形迟缓时间常数测定装置，包括超声波声场悬浮仪1、微距镜头2、高速相机3和计算机接口4，所述高速相机3上安装有微距镜头2，所述高速相机3通过计算机接口4与计算机相连，所述微距镜头2左侧设有超声波声场悬浮装置1。

为了通过实验获得单个聚合物溶液液滴5的振荡行为，液滴5表面振荡的激励借助声波悬浮技术实现，通过这项技术，液滴5可以在由超声波驻波产生的拟稳态压力场中保持悬浮状态，并且，液滴5在超声波的幅值调制下，产生振荡。对超声波调制频率进行扫频，通过监控液滴5变形的幅度，获得液滴5在超声波激励下的共振频率，在共振频率下，液滴5稳定的发生振荡。在满足此条件的情况下，关闭超声波，这时，液滴5在表面张力的作用下，表面表现为衰减的振荡。以此为时间零点，触发高速相机3，记录下液滴5的振荡行为。液滴5的注入可以用医用注射器实施，控制液滴5的直径在1.5mm到2.5mm之间。试验用的液体的其他材料参数，如密度、表面张力系数、弹性时间常数等可以通过液体生产厂商获得，或通过其他标准方法测定。

在完成了液滴5振荡的图像记录后，就可以对图像进行进一步的处理。通过高速相机3高速摄影获得的图像每一帧代表一个时刻的液滴5表面振荡的形态，跟踪界面的变化就可以获得一段时间液滴5振荡随时间变化的演化过程。由于通过高速摄影获得的为二维图像，其界面表现为封闭的曲线，对封闭的曲线的识别是图像处理的主要工作。液滴5界面随时间变化可以由表面球谐函数的无穷级数表示。

$R(\mathrm{\θ},t)=R_0\{1+\underset{l=0}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{a}_l\left(t\right)P_l\left(cos\mathrm{\θ}\right)\}---\left(2\right)$

R₀为液滴5平衡状态下的半径，P_l(cosθ)为Legende多项式，a_l(t)为第l阶振荡模态的瞬时振幅。在小幅度振荡液滴实验中，l_max取5就足够了。

通过图像处理软件，对每一帧图像进行界面识别，获得此时刻液滴界面的像素坐标，为了保证精度，同时兼顾计算机的处理时间，界面像素点取50-100个代表点。依次对后续帧的图像处理，就可以得到以时间为序列的一系列变化的液滴界面，对每一时刻的界面进行曲线拟合，可得到如图2所示的4个时刻的通过界面识别获得的界面点和通过拟合的得到的界面点图，从而得到给定时刻的瞬时振幅。对每一时刻的界面用(2)式进行拟合，从而得到给时刻的瞬时振幅a₂，a₃等。

以时间为横坐标轴，瞬时振幅为纵坐标轴，可以得到瞬时振幅随时间变化的曲线，通过对曲线按衰减的谐函数进行拟合就可以得到图3所示的二阶模态和图4所示的三阶模态的振荡频率和阻尼比。

由相应模态的振荡频率和阻尼比组合成对应的复频率α₂，α₃，带入特征方程(1)，同时带入其他的几何参数和已知的材料参数，就可以得到图3所示的二阶模态和图4所示的三阶模态的两个特征方程，借助于数值方法对未知量零剪切率粘性常数、变形迟缓时间常数进行求解，最终获得变形迟缓时间常数。

Claims (1)

1.聚合物溶液变形迟缓时间常数测定方法，其特征在于：主要包括如下步骤：

(1)利用超声波液滴悬浮仪和高速相机记录液滴振荡的运动图像：

用注射器注入液滴，控制液滴的直径在1.5mm到2.5mm之间；

液滴在由超声波驻波产生的拟稳态压力场中保持悬浮状态，且液滴在超声波的幅值调制下，产生振荡；

对超声波调制频率进行扫频，通过监控液滴变形的幅度，获得液滴在超声波激励下的共振频率，在共振频率下，液滴稳定地发生振荡；

关闭超声波，这时，液滴在表面张力的作用下，表面表现为衰减的振荡，以此为时间零点，触发高速相机，记录下液滴的振荡行为，并存储在与摄像机相连的的计算机上；

(2)根据步骤(1)所得的图像进行界面识别和拟合：

对图像进行进一步的处理，通过高速摄影获得的图像每一帧代表一个时刻的液滴表面振荡的形态，识别界面的变化获得一段时间液滴振荡随时间变化的演化过程；

依次对系列帧的图像处理，就可以得到以时间为序列的一系列变化的液滴界面；

对每一时刻的界面进行曲线拟合，从而得到给定时刻的瞬时振幅；

(3)根据步骤(2)的瞬时振幅，以时间为横坐标轴，瞬时振幅为纵坐标轴，可以得到瞬时振幅随时间变化的曲线：

通过对曲线按衰减的谐函数进行拟合就可以得到二阶和三阶模态的振荡频率和阻尼比；

由相应模态的振荡频率和阻尼比组合成对应的复频率，代入特征方程，同时代入其他已知的几何参数和材料参数，就可以得到二阶和三阶模态的两个特征方程，借助于数值方法对未知量零剪切率粘性常数、变形迟缓时间常数进行求解，最终获得变形迟缓时间常数；

具体为：将对应的参数代入数学模型：

$\frac{{\mathrm{\α}}_{m,0}^2}{{\mathrm{\α}}^2}=\frac{2(m^2-1)}{q^2{a}^2-2J_{m+1}/J_m}+\frac{2m(m-1)}{q^2{a}^2}\[1+\frac{2(m+1)J_{m+1}/J_m}{2J_{m+1}/J_m-qa}\]-1$

定义如下的变量：

De₁＝α_m，0λ₁，De₂＝α_m，0λ₂

$q^2{a}^2=\sqrt{m(m-1)(m+2)}\frac{y}{Oh}\frac{1-{\mathrm{yDe}}_1}{1-{\mathrm{yDe}}_2}$

${\mathrm{\α}}_{m,0}=\sqrt{m(m-1)(m+2)}\sqrt{\frac{\mathrm{\σ}}{{\mathrm{\ρa}}^3}}$

其中：σ为表面张力系数，a为液滴平衡状态下的半径，ρ为液体的密度，J_m为m阶球Bessel函数，m为液滴振荡模态；α为待求的液滴振荡的复频率，其实部为阻尼比，虚部代表振荡频率，η₀为零剪切率粘性常数，α_m，0为理想无粘性液滴振荡m阶模态复频率，J_m+1为m+1阶球Bessel函数，λ₁为弹性时间常数；

解本方程组即可得到聚合物溶液变形迟缓时间常数λ2。