CN103839269A - 基于四元数和模糊c均值聚类的图像分割方法 - Google Patents

Abstract

基于四元数和模糊C均值聚类的图像分割方法，将待分割图片转换到四元数空间中，指定聚类数目，初始化隶属度矩阵U，利用定义的四元数距离衡量当前聚类中心和像素之间的差异度，计算目标函数、新的隶属度矩阵和聚类中心，若目标函数小于或等于迭代停止阈值，则分割完成，输出分割效果图；若目标函数大于迭代停止阈值，则利用新的隶属度矩阵和聚类中心重复计算四元数距离和目标函数这一过程，直至目标函数满足迭代停止条件，完成分割。本发明在统模糊C均值聚类算法基础上提出一种基于四元数空间的图像分割方法，有效地将R、G、B三通道作为统一的整体考虑，可以有效地保持颜色信息的完整性，分割结果更符合人眼视觉。

Description

基于四元数和模糊C均值聚类的图像分割方法

技术领域

本发明属于图像处理和计算机视觉技术领域，具体为一种基于四元数理论和模糊C均值聚类FCM的图像分割方法。

背景技术

图像分割是计算机视觉和模式识别中极其重要的分析方法。图像分割的目的是将图像划分为若干个不同的、互不重叠的具有独特性质的区域，将人们感兴趣的目标提取出来，对每个像素都加上唯一的类标签。图像分割是图像分析的重要组成部分，目前已经广泛应用在医学影像、人脸识别、指纹识别、交通控制系统和机器视觉等方面。

当前图像分割的主流方法有基于区域的分割、基于随机模型的分割、基于形态学理论的分割、基于像素的分割、基于模糊技术的分割、基于边缘检测的分割、基于人工神经网络的分割等。

基于区域的分割主要分为两大类：区域生长技术和分裂-合并技术。区域生长的核心思想是把具有相似性的元素或者区域合并成为一个更大的区域，但此方法需要人工设定初始节点，程序结构繁琐，执行效率不高，生长的顺序会影响最终的分割效果。分类-合并技术不需要预先获取初始节点，而是先将一幅图像分成若干部相交区域，然后不断地分类或者合并来满足区域分割基本条件，但边界的完整性较差。

基于随机模型的分割基于统计学原理，以最大概率获得的图像子区域的组合即所期望的图像分割区域，典型的随机模型如马尔科夫随机场。

基于形态学理论的分割方法基于数学形态学原理，主要利用区域形状来进行分割，比如凸壳、边界和骨架，典型的算法如分水岭算法，把图像模拟成地图，根据水堤顶端汇聚找到分水线，即分割线。

基于像素的分割主要分为两大类：直方图和特征空间聚类方法。直方图分割方法简单、容易实现，不需要先验的数据信息，计算量小。但像素信息映射之后颜色可能不收敛，如果利用直方图技术进行分割的过程中，没有产生明显的谷，会严重影响分割效果。特征空间聚类方法属于非监督模糊识别，将元素按照一定的测度分到若干个类别子集中。使得具有相似性的元素被归为一类，而不具有相似性的元素归在不同的类中。模糊聚类方法更能够反映元素之间的联系，能够将问题转化非线性优化问题，并且可以通过迭代进行有效求解，应用较广泛，本发明基于模糊C均值聚类算法(FCM)，针对确定的类数，基于目标函数实现。

发明内容

本发明要解决的问题是：传统模糊C均值聚类(FCM)算法中用欧几里得距离衡量像素差异度，对灰度像素较恰当，但对于彩色像素有比较大的局限性，不适用于彩色图像分割。

本发明的技术方案为：基于四元数和模糊C均值聚类的图像分割方法，包括以下步骤：

1)对待分割图像数据进行处理，每个像素的色彩特征用四元数形式表示，从RGB空间R⁺转至四元数空间Q⁺，图像中某一像素I(R_t，G_t，B_t)的四元数形式表示为q_t=R_ti+G_tj+B_tk：

Q⁺={q|q=Ri+Gj+Bk，R，G，B∈R⁺}(1)

式中i²=-1，j²=-1，k²=-1为虚数，存储得到的四元数数据；

2)用[0，1]之间的随机数初始化隶属度矩阵U，并指定聚类中心的数目c，即聚类个数，所述隶属度矩阵U用于确定每个四元数数据隶属于各个聚类类簇的程度，0表示完全不隶属，1表示完全隶属，隶属度矩阵U的行表示不同的聚类中心，列表示图像像素，矩阵元素u_st表示第t列的像素对第s行的聚类中心的隶属程度；

隶属度矩阵中的元素u_st满足归一化要求，即一个像素q_t隶属于各个聚类中心C_s的隶属度的总和唯一：

${\mathrm{\Σ}}_{s=1}^c{u}_{\mathrm{st}}=1,\∀t=1,...,n---\left(2\right)$

式中n为图像的总像素数；

3)定义四元数形式下两个像素的距离公式：

像素q₁=R₁i+G₁j+B₁k和像素q₂=R₂i+G₂j+B₂k的四元数加权表示为：

q₃=R₃i+G₃j+B₃k=q₁+μq₂μ-¹(3)

式中μ是单位灰度向量，

q₃与图像的对角线均值UQ=(i+j+k)／3的距离为：

d₁=||(R₃-UQ)i+(G₃-UQ)j+(B₃-UQ)k||(4)

q₁和q₂之间的相对距离为：

d₂=|(R₁-R₂+G₁-G₂+B₁-B₂)／3|(5)

则四元数形式下两个像素的距离为：

${\mathrm{DQ}}_{q_1,q_2}=(1-w)d_1+{\mathrm{wd}}_2---\left(6\right)$

式中w是用来平衡色度和亮度的固定参数，称为距离因子，w取值在[0，1]之间；

根据公式(6)，计算各个像素到各个聚类中心的四元素距离，获得距离矩阵D；

4)计算聚类的目标函数和聚类中心，并更新隶属度矩阵U：

依据模糊C聚类算法计算聚类的目标函数、聚类中心和隶属度矩阵，其中用步骤3)中定义的四元数距离取代欧式距离带入计算，四元数空间中模糊C均值聚类的目标函数为：

$J(U,C_1,...,C_c)={\mathrm{\Σ}}_{s=1}^c{J}_s={\mathrm{\Σ}}_{s=1}^c{\mathrm{\Σ}}_{t=1}^n{u}_{\mathrm{st}}^m{d}_{\mathrm{st}}^2---\left(7\right)$

其中C_s，s=1，2，…，c是第s个模糊类簇的聚类中心；m∈(1，+∞)为加权指数；0≤u_st≤1表示第t个像素隶属于第s个聚类中心的程度；d_st=|C_s-q_t|是第t个像素与第s个聚类中心之间的四元数距离；J_s是第s个聚类中心的目标函数值；

引入拉格朗日乘子(λ₁，λ₂，…，λ_n)构造带条件极值的价值函数，使得式(7)式在满足式(2)的前提下取得最小值，即：

$\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{J}(U,C_1,...,C_c,{\mathrm{\λ}}_1,...,{\mathrm{\λ}}_n)=J(U,C_1,...,C_c)+\underset{t=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_t(\underset{s=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{st}}-1)\\ ={\mathrm{\Σ}}_{s=1}^c{\mathrm{\Σ}}_{t=1}^n{u}_{\mathrm{st}}^m{d}_{\mathrm{st}}^2+{\mathrm{\Σ}}_{t=1}^n{\mathrm{\λ}}_t({\mathrm{\Σ}}_{s=1}^c{u}_{\mathrm{st}}-1)\end{array}---\left(8\right)$

对于式(8)中所有输出参量求导，并令求导后的式子为零，求解出的C_s和u_st：

$C_s=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{t=1}^n\left(u_{\mathrm{st}}^m{q}_t\right)}{{\mathrm{\Σ}}_{t=1}^n{u}_{\mathrm{st}}^m}---\left(9\right)$

且

$u_{\mathrm{st}}=\frac{1}{{\mathrm{\Σ}}_{s^{\′}=1}^c{\left(\frac{d_{C_s{q}_t}}{d_{C_{s^{\′}}{q}_t}}\right)}^{\frac{2}{m-1}}}---\left(10\right)$

式中t∈[1，n]，q_t是图像中的像素，计算q_t和某个聚类中心C_s的隶属度u_st时，需要用到q_t与每个聚类中心之间的距离

s′∈[1，c]；

由此计算出当前聚类中心C_k和隶属度矩阵U，设置聚类计算的迭代停止阈值ε，若当前目标函数的值大于迭代停止阈值，将当前聚类中心C_s和隶属度矩阵U带入步骤4)重新计算目标函数，迭代更新聚类中心和隶属度矩阵；若目标函数的值等于或小于迭代停止阈值，停止迭代，当前的计算得到的聚类中心即为待分割图片的最佳聚类中心，将图像数据根据聚类结果进行划分，完成分割。

作为优选，步骤4)的公式(7)中，加权指数m=2。

作为优选，步骤4)中所述迭代停止阈值ε=10^-5。

采用本发明提供的技术方案，与已有的公知技术相比，具有如下显著效果：

(1)采用四元数空间，有效地将R、G、B三通道作为统一的整体考虑，这样可以有效地保持颜色信息的完整性，并减少三通道之间相关性对分割结果的影响。

(2)设定距离因子w，可以有效地协调好绝对彩色距离和相对彩色距离在四元数距离中所占的比重，通过调节w使分割过程可控，分割的结果更符合人眼感知。

附图说明

图1为本发明基于四元数和模糊C聚类的图像分割方法的流程图。

图2为本发明距离因子w是不同时的测试图片。

图3为本发明距离因子w是取不同值时的分割效果图。

图4为本发明加权指数与算法迭代次数的关系图。

图5为本发明分割算法对不同测试图片的分割效果对比。

具体实施方式

本发明在统模糊C均值聚类算法基础上提出一种基于四元数空间的图像分割方法，有效地将R、G、B三通道作为统一的整体考虑，可以有效地保持颜色信息的完整性，分割结果更符合人眼视觉。

为了提高利用模糊C均值聚类算法进行图像分割时的效果，本发明提出一种基于四元数和模糊C均值聚类的图像分割方法：将待分割图片转换到四元数空间中，指定聚类数目，初始化隶属度矩阵U，利用定义的四元数距离，衡量当前聚类中心和像素之间的差异度，计算目标函数、新的隶属度矩阵和聚类中心。若目标函数小于或等于迭代停止阈值，则分割完成，输出分割效果图；若目标函数大于迭代停止阈值，则利用新的隶属度矩阵和聚类中心重复计算四元数距离和目标函数这一过程，直至目标函数满足迭代停止条件，完成分割。通过实验表明，这种分割方法的色彩一致性较好，更符合人眼视觉效果。结合附图和实施例对本发明作详细描述。

1)对待分割图像数据进行处理，将像素数据转化成四元数形式存储；

2)用[0，1]之间的随机数初始化隶属度矩阵U，并指定聚类中心数目c；

3)利用定义的四元数距离，计算各个像素到各个聚类中心的四元素距离，获得距离矩阵D；

4)计算目标函数、隶属度矩阵U和聚类中心。如果目标函数小于或等于停止迭代阈值，或本次目标函数相对上次目标函数值的改变量小于某个阈值，那么聚类完成，分割结束；若目标函数大于停止迭代阈值，则保存更新的隶属度矩阵U和聚类中心，并返回步骤3)。

通过以上步骤对待分割图片进行处理，按像素的类别组成图片，获得分割后的效果图。

本发明的流程图见图1，下面具体说明本发明。

1.转换色彩空间，指定聚类数目

RGB色彩空间是人眼锥状体细胞主要感受到的三种颜色类别，但这三通道之间具有很高的相关性，一般的研究情况下，需要对RGB进行线性或者非线性转化，以解除RGB三种信道之间的高度相关性。四元数也称超复数，代表四维空间，是从传统的复平面(二维空间)推广而来的。四元数将RGB三个通道当作一个统一整体来考虑，可以保持颜色的完整性，满足复数的运算法则和矩阵表示等。

将待分割图片数据转化成四元数形式存储，每个像素的色彩特征用四元数形式表示，从RGB空间R⁺转至四元数空间Q⁺，图像中某一像素I(R_t，G_t，B_t)的四元数形式表示为q_t=R_ti+G_tj+B_tk：

Q⁺={q|q=Ri+Gj+Bk，R，G，B∈R⁺}(1)

式中i²=-1，j²=-1，k²=-1为虚数，存储得到的四元数数据；以此将彩色图像像素从RGB三个通道表示转换成一个整体进行处理。

2.模糊C聚类算法是特征聚类算法中的一种，需根据指定的聚类数目c，进行图像像素的分类，输出c幅分割结果图，由同类别的像素组成，不同类的像素对应色彩值(0，0，0)。

首先用[0，1]之间的随机数初始化隶属度矩阵U，模糊C均值聚类(FCM)用模糊划分类别，通过隶属度矩阵U来确定每个像素隶属于各个聚类的程度。隶属度取值于[0，1]之间，0表示完全不隶属，1表示完全隶属。隶属度矩阵U的行表示不同的聚类中心，列表示图像像素，矩阵元素u_st表示第t列的像素对第s行的聚类中心的隶属程度；

隶属度矩阵中的元素u_st满足归一化要求，即一个像素q_t隶属于各个聚类中心C_s的隶属度的总和唯一：

${\mathrm{\Σ}}_{s=1}^c{u}_{\mathrm{st}}=1,\∀t=1,...,n---\left(2\right)$

式中n为图像的总像素数。

3.计算聚类中心和像素的差异度

本发明提出了新的四元数的距离公式，代替传统模糊C聚类算法用欧氏距离衡量聚类中心和图像像素的差异度。对于转换到四元数空间的图像像素q₁=R₁i+G₁j+B₁k和q₂=R₂i+G₂j+B₂k，像素q₁和q₂的四元数加权表示为：

q₃=R₃i+G₃j+B₃k=q₁+μq₂μ^-1(3)

式中μ是四元数空间的单位灰度向量，

q₃与对角线均值UQ=(i+j+k)／3的距离为：

d₁=||(R₃-UQ)i+(G₃-UQ)j+(B₃-UQ)k||(4)

q₁和q₂之间的相对距离为：

d₂=|(R₁-R₂+G₁-G₂+B₁-B₂)／3|(5)

四元数距离结合d₁和d₂，四元数形式下两个像素的距离为：

${\mathrm{DQ}}_{q_1,q_2}=(1-w)d_1+{\mathrm{wd}}_2---\left(6\right)$

式中w是用来平衡色度和亮度的固定参数，称为距离因子，w取值在[0，1]之间。

根据公式(6)，计算各个像素到各个聚类中心的四元素距离，获得距离矩阵D。距离因子w不同时影响分割效果以及聚类计算的运行时间，实施时可自行调整确定。以图2所述图片为例，具体对应的迭代次数见表2，分割效果见图3。其中图3(a)为w=0.1时的分割效果图，水草和鱼尾分割效果较差；图3(b)为w=0.2时的分割效果图，水草和鱼尾分割效果较差；图3(c)为w=0.3时的分割效果图，水草和鱼尾分割效果较差；图3(d)为w=0.4时的分割效果图，鱼尾分割效果改善，水草分割效果较差；图3(e)为w=0.5时的分割效果图，水草和鱼身皆较好的分割出来；图3(f)为w=0.6时的分割效果图，鱼身较好分割，水草分割效果比w=0.5略差；图3(g)为w=0.7时的分割效果图，水草和鱼身分割效果较差；图3(h)为w=0.8时分割效果图，鱼身和水草分割效果差；图3(i)为w=0.9时分割效果图，鱼身和水草分割效果差；图3(j)为w=1.0时的分割效果图，鱼身和水草分割效果差。

表2迭代次数和执行时间对比表

w取值	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
											迭代次数	32	24	20	20	18	20	20	28	28	44

4.计算目标函数、聚类中心和隶属矩阵

利用步骤3中c个聚类中心与所有图像像素的四元数距离，计算四元数空间中模糊C均值聚类(FCM)目标函数，

$J(U,C_1,...,C_c)={\mathrm{\Σ}}_{s=1}^c{J}_s={\mathrm{\Σ}}_{s=1}^c{\mathrm{\Σ}}_{t=1}^n{u}_{\mathrm{st}}^m{d}_{\mathrm{st}}^2---\left(7\right)$

其中C_s，s=1,2，…，c是第s个模糊类簇的聚类中心；m∈(1，+∞)为加权指数；0≤u_st≤1表示第t个像素隶属于第s个聚类中心的程度；d_st=|C_s-q_t|是第t个像素与第s个聚类中心之间的四元数距离；J_s是第s个聚类中心的目标函数值。

加权指数m的取值对于彩色图像分割的效果影响并不大，但是随着m值的增大，运行时间和迭代次数都呈上升趋势，以大小为512*512的lena标准图为例，模糊中心个数选择为2，可以得到图4所示的关系，位于上方的的曲线为m取值与算法迭代次数的关系，单位为次；下方的曲线为m取值与迭代运算时间的关系，由此可看出m=2时运算时间最短，运行效率最高，因此，优选m=2，分割算法运算时间最短。

式(2)和式(7)实际上组成条件极值。引入拉格朗日乘子(λ₁，λ₂，…λ_n)构造带条件极值的价值函数，使得式(7)式在满足式(2)的前提下取得最小值。即：

$\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{J}(U,C_1,...,C_c,{\mathrm{\λ}}_1,...,{\mathrm{\λ}}_n)=J(U,C_1,...,C_c)+\underset{t=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_t(\underset{s=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{st}}-1)\\ ={\mathrm{\Σ}}_{s=1}^c{\mathrm{\Σ}}_{t=1}^n{u}_{\mathrm{st}}^m{d}_{\mathrm{st}}^2+{\mathrm{\Σ}}_{t=1}^n{\mathrm{\λ}}_t({\mathrm{\Σ}}_{s=1}^c{u}_{\mathrm{st}}-1)\end{array}---\left(8\right)$

对于式(8)中所有输出参量求导，并令求导后的式子为零，可求解出的C_s和u_st：

$C_s=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{t=1}^n\left(u_{\mathrm{st}}^m{q}_t\right)}{{\mathrm{\Σ}}_{t=1}^n{u}_{\mathrm{st}}^m}---\left(9\right)$

且

$u_{\mathrm{st}}=\frac{1}{{\mathrm{\Σ}}_{s^{\′}=1}^c{\left(\frac{d_{C_s{q}_t}}{d_{C_{s^{\′}}{q}_t}}\right)}^{\frac{2}{m-1}}}---\left(10\right)$

式中t∈[1，n]，q_t是图像中的像素，计算q_t和某个聚类中心C_s的隶属度u_st时，需要用到q_t与每个聚类中心之间的距离

s′∈[1，c]。

由此可以计算出当前FCM聚类中心C_s和对应的隶属度矩阵的元素u_st，设置聚类计算的迭代停止阈值ε，当目标函数的值小于或等于迭代停止阈值ε时，停止迭代，当前的计算得到的聚类中心即为待分割图片的最佳聚类中心，将图像数据根据聚类结果进行划分，完成分割；若目标函数的值大于迭代停止阈值，则利用步骤4计算得到的隶属度矩阵U，返回步骤3)继续迭代运行，更新聚类中心C_s和对应的隶属度矩阵U。

迭代停止阈值对彩色图像分割的结果有一定影响，传统FCM算法将其设定为一极小量，本发明选择与传统FCM算法相同的ε=10^-5。

对传统模糊C均值聚类算法(FCM)和本发明基于四元数聚类的方法进行图片分割时的分割效果以及迭代次数进行测试，图5为分割效果比较图，图5(a)-(c)的上部两张图分别为FCM算法分割出的前景与背景，下部两张图分别为本发明方法分割出的前景与背景，图5(a)是对鱼、水草与背景的分割，图5(b)是对海螺与背景的分割，图5(c)是太阳与相近颜色背景的分割，图5(d)是鱼群与背景的分割，可见本发明对物体与背景的分割与采用传统FCM聚类相比，分割更加完整。同时，本发明在具有更好的分割效果的基础上，并没有增加运算量，表3为图5示例图片的实验结果，由表3可知，两者在迭代次数上的差异不大。

表3迭代次数对比

图片	图5(a)	图5(b)	图5(c)	图5(d)
					FCM迭代次数	24	20	29	29
本发明Quatemion-FCM迭代次数	22	28	18	23

Claims (3)

1.基于四元数和模糊C均值聚类的图像分割方法，其特征是包括以下步骤：

1)对待分割图像数据进行处理，每个像素的色彩特征用四元数形式表示，从RGB空间R⁺转至四元数空间Q⁺，图像中某一像素I(R_t，G_t，B_t)的四元数形式表示为q_t=R_ti+G_tj+B_tk：

Q⁺={q|q=Ri+Gj+Bk，R，G，B∈R⁺}(1)

式中i²=-1，j²=-1，k²=-1为虚数，存储得到的四元数数据；

2)用[0，1]之间的随机数初始化隶属度矩阵U，并指定聚类中心的数目c，即聚类个数，所述隶属度矩阵U用于确定每个四元数数据隶属于各个聚类类簇的程度，0表示完全不隶属，1表示完全隶属，隶属度矩阵U的行表示不同的聚类中心，列表示图像像素，矩阵元素u_st表示第t列的像素对第s行的聚类中心的隶属程度；

隶属度矩阵中的元素u_st满足归一化要求，即一个像素q_t隶属于各个聚类中心C_s的隶属度的总和唯一：

${\mathrm{\Σ}}_{s=1}^c{u}_{\mathrm{st}}=1,\∀t=1,...,n---\left(2\right)$

式中n为图像的总像素数；

3)定义四元数形式下两个像素的距离公式：

像素q₁=R₁i+G₁j+B₁k和像素q₂=R₂i+G₂j+B₂k的四元数加权表示为：

q₃=R₃i+G₃j+B₃k=q₁+μq₂μ^-1  (3)

式中μ是单位灰度向量，

q₃与图像的对角线均值UQ=(i+j+k)／3的距离为：

d₁=||(R₃-UQ)i+(G₃-UQ)j+(B₃-UQ)k||(4)

q₁和q₂之间的相对距离为：

d₂=|(R₁-R₂+G₁-G₂+B₁-B₂)／3|(5)

则四元数形式下两个像素的距离为：

${\mathrm{DQ}}_{q_1,q_2}=(1-w)d_1+{\mathrm{wd}}_2---\left(6\right)$

式中w是用来平衡色度和亮度的固定参数，称为距离因子，w取值在[0，1]之间；

根据公式(6)，计算各个像素到各个聚类中心的四元素距离，获得距离矩阵D；

4)计算聚类的目标函数和聚类中心，并更新隶属度矩阵U：

依据模糊C聚类算法计算聚类的目标函数、聚类中心和隶属度矩阵，其中用步骤3)中定义的四元数距离取代欧式距离带入计算，四元数空间中模糊C均值聚类的目标函数为：

$J(U,C_1,...,C_c)={\mathrm{\Σ}}_{s=1}^c{J}_s={\mathrm{\Σ}}_{s=1}^c{\mathrm{\Σ}}_{t=1}^n{u}_{\mathrm{st}}^m{d}_{\mathrm{st}}^2---\left(7\right)$

其中C_s，s=1，2，…，c是第s个模糊类簇的聚类中心；m∈(1，+∞)为加权指数；0≤u_st≤1表示第t个像素隶属于第s个聚类中心的程度；d_st=|C_s-q_t|是第t个像素与第s个聚类中心之间的四元数距离；J_s是第s个聚类中心的目标函数值；

引入拉格朗日乘子(λ₁，λ₂，…，λ_n)构造带条件极值的价值函数，使得式(7)式在满足式(2)的前提下取得最小值，即：

$\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{J}(U,C_1,...,C_c,{\mathrm{\λ}}_1,...,{\mathrm{\λ}}_n)=J(U,C_1,...,C_c)+\underset{t=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_t(\underset{s=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{st}}-1)\\ ={\mathrm{\Σ}}_{s=1}^c{\mathrm{\Σ}}_{t=1}^n{u}_{\mathrm{st}}^m{d}_{\mathrm{st}}^2+{\mathrm{\Σ}}_{t=1}^n{\mathrm{\λ}}_t({\mathrm{\Σ}}_{s=1}^c{u}_{\mathrm{st}}-1)\end{array}---\left(8\right)$

对于式(8)中所有输出参量求导，并令求导后的式子为零，求解出的C_s和u_st：

$C_s=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{t=1}^n\left(u_{\mathrm{st}}^m{q}_t\right)}{{\mathrm{\Σ}}_{t=1}^n{u}_{\mathrm{st}}^m}---\left(9\right)$

且

$u_{\mathrm{st}}=\frac{1}{{\mathrm{\Σ}}_{s^{\′}=1}^c{\left(\frac{d_{C_s{q}_t}}{d_{C_{s^{\′}}{q}_t}}\right)}^{\frac{2}{m-1}}}---\left(10\right)$

式中t∈[1，n]，q_t是图像中的像素，计算q_t和某个聚类中心C_s的隶属度u_st时，需要用到q_t与每个聚类中心之间的距离

s′∈[1，c]；

由此计算出当前聚类中心C_k和隶属度矩阵U，设置聚类计算的迭代停止阈值ε，若当前目标函数的值大于迭代停止阈值，将当前聚类中心C_s和隶属度矩阵U带入步骤4)重新计算目标函数，迭代更新聚类中心和隶属度矩阵；若目标函数的值等于或小于迭代停止阈值，停止迭代，当前的计算得到的聚类中心即为待分割图片的最佳聚类中心，将图像数据根据聚类结果进行划分，完成分割。

2.根据权利要求1所述的基于四元数和模糊C均值聚类的图像分割方法，其特征是步骤4)的公式(7)中，加权指数m=2。

3.根据权利要求1所述的基于四元数和模糊C均值聚类的图像分割方法，其特征是步骤4)中所述迭代停止阈值ε=10^-5。

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