CN103839234A - 一种基于可控核的双几何非局部均值图像去噪方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于双几何的非局部均值图像去噪方法，其实现过程是：(1)输入含噪的自然图像；(2)在含噪图像中，分别计算以当前像素点i为中心的局部分析窗w_i和搜索区域S_i内的权重矩阵和(3)利用新的权重公式计算当前像素点i与其搜寻区域内所有像素点j的相似性，得到搜寻区域内所有像素点的权值；(4)根据计算出的搜寻区域内所有像素点的权值，对搜寻区域内所有像素点进行加权平均，得到当前像素点修正后的灰度值；(5)用修正后像素点的灰度值取代输入的含噪图像中像素点的灰度值，得到去噪后的图像。本发明的去噪效果比原始非局部方法更好，能够利用图像的几何结构信息，可以更好地在去除噪声的同时保持自然图像的边缘和纹理等细节，可用于对自然图像的去噪处理。

Description

一种基于可控核的双几何非局部均值图像去噪方法

技术领域

本发明属于图像处理技术领域，具体涉及一种基于可控核的双几何非局部均值图像去噪方法。

背景技术

由于成像设备和成像条件等因素的影响，数字图像在产生、存储和传输等过程中不可避免的受到各种噪声的干扰，一般来说，现实中的图像都是含有噪声的，降质图像不能真实反映景物，影响图像的视觉效果，甚至妨碍人们的正常识别。此外图像去噪是很多图像处理任务的预处理步骤，它的好坏直接关系到后续处理的效果，因此图像去噪在图像处理领域占据着举足轻重的地位，成为该领域最基本的技术之一。图像处理中绝大多数的噪声都可近似认为是均值为零，标准差不同的高斯白噪声，因此去除图像中的高斯白噪声成为图像去噪应用中一个重要的研究方向。

按照图像处理域的不同，图像去噪方法一般分为空间域滤波方法和变换域滤波方法。传统空域滤波法中比较经典的方法包括均值滤波、中值滤波、双边滤波等，这些方法的共同特点是利用局部窗口内像素灰度值的连续性对当前像素的灰度进行调整。它们的缺点是在去除噪声的同时，模糊了图像的边缘、纹理等细节信息。变换域滤波方法中比较成熟的是小波去噪，但是由于它缺少方向选择性，不适宜表示图像的边缘、轮廓等线状奇异性的结构特征，为此，多尺度几何分析方法应运而生，如Contourlet变换,Curvelet变换,Ridgelet变换等。

非局部均值去噪方法属于一种空间域滤波方法，它充分挖掘了图像的非局部相似性，它的实现是以当前像素点为中心取一定大小的窗口，在整幅图像内寻找与其相似的窗口，以窗口之间的相似性作为权值进行加权平均来获得去噪图像中每一个像素点的灰度值；但其实际处理图像块相似性计算不准确，在去除噪声的同时滤除的部分图像几何结构信息，图像去噪效果不高。

发明内容

本发明的目的在于克服非局部均值去噪方法中图像块相似性计算不准确的问题，提出一种基于可控核的双几何非局部均值图像去噪方法，以减少非局部均值去噪方法在去除噪声的同时滤除的部分图像几何结构信息，提高图像去噪效果。

为实现上述目的，本发明提供一种基于可控核的双几何非局部均值图像去噪方法，包括如下步骤：

(1)输入待去噪的含噪图像Y，其中Y＝X+N，X是原始干净图像，N是均值为零标准差为σ的高斯白噪声；

(2)在含噪图像Y中，分别计算局部分析窗w_i和搜索区域S_i内的权重矩阵

和其中w_i和S_i是以像素点i为中心大小分别为9×9和17×17的方形窗口；

(3)利用如下公式对含噪图像Y中待估计像素点i与其搜索区域S_i内像素点j之间的权值进行计算，得到搜索区域S_i内所有像素点的权值；

$w(i,j)=\frac{1}{Z\left(i\right)}\{\exp (-\frac{{\left|\right|y_i-y_j\left|\right|}_{w_{i1}^{\mathrm{steer}}}^2}{h^2})\×w_{i2}^{\mathrm{steer}}(i,j)\}$

$Z\left(i\right)=\underset{j\∈S_i}{\mathrm{\Σ}}\{\exp (-\frac{{\left|\right|y_i-y_j\left|\right|}_{w_{i1}^{\mathrm{steer}}}^2}{h^2})\×w_{i2}^{\mathrm{steer}}(i,j)\}$

其中，w(i,j)表示含噪图像Y中像素点i和j之间的相似性，即像素点j在像素点i复原过程中所占的权值，w(i,j)满足条件：0≤w(i,j)≤1且

y_i是含噪图像Y中局部分析窗w_i内的图像块，y_j是含噪图像Y中以像素点j为中心大小为9×9局部分析窗w_j内的图像块，

是由权重矩阵

加权后的欧式距离的平方，平滑参数h＝0.9σ，σ是高斯白噪声的标准差，exp(·)表示底数为e的指数运算，

是权重矩阵在像素点j处的值，Z(i)表示归一化常数，S_i是以像素i为中心大小为17×17的搜索区域;

(4)利用(3)中得到的搜索区域S_i内所有像素点的权值，对含噪图像Y中待估计像素点i的搜索区域S_i内所有像素点进行加权平均，得到待估计像素点i的估计值：

$\hat{x}\left(i\right)=\underset{j\∈S_i}{\mathrm{\Σ}}w(i,j)y\left(j\right)$

其中，

表示对原始图像X中像素点i灰度值的估计，即为去噪后像素点i的灰度值，y(j)是含噪图像Y中像素点j的灰度值;

(5)重复步骤(2)至(4)，依次得到每个像素点的估计值；

(6)用计算得到的所有像素点的估计值取代含噪图像中所有像素点的灰度值，得到去噪图像

其中，所述步骤(2)，按如下步骤进行：

(2a)计算含噪图像Y的梯度矩阵G，并取出局部分析窗w_i内的局部梯度矩阵G_i，并对其做截断奇异值分解G_i＝U_iS_iV_i ^T，其中， $S_i=\left[\begin{array}{cc}{s}_1& 0\\ 0& s_2\end{array}\right]$ 是2×2的对角矩阵，V_i是2×2的正交矩阵，v₂＝[v₁,v₂]^T是V_i的第二列;

(2b)利用如下三个公式计算可控核在像素点i处的伸缩参数σ_i，旋转参数θ_i，尺度参数γ_i：

${\mathrm{\σ}}_i=\frac{s_1+\mathrm{\λ}}{s_2+\mathrm{\λ}},{\mathrm{\θ}}_i=\arctan \left(\frac{v_1}{v_2}\right),{\mathrm{\γ}}_i={\left(\frac{s_1{s}_2+{\mathrm{\λ}}^{\′}}{M}\right)}^{\frac{1}{2}}$

其中，λ＝1.0和λ'＝0.01都是正则参数，s₁和s₂是步骤(2a)中对角矩阵S_i的主对角线上的两个元素，v₁和v₂是步骤(2a)中正交矩阵V_i的第二列的两个元素，M＝81是局部分析窗w_i内像素点的个数，arctan(·)表示反正切函数；

(2c)利用如下公式计算旋转矩阵

和伸缩矩阵Λ_i：

${U_{\mathrm{\θ}}}_i=\left[\begin{array}{cc}\cos {\mathrm{\θ}}_i& \sin {\mathrm{\θ}}_i\\ -\sin {\mathrm{\θ}}_i& \cos {\mathrm{\θ}}_i\end{array}\right]$

${\mathrm{\Λ}}_i=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\σ}}_i& 0\\ 0& {\mathrm{\σ}}_i^{-1}\end{array}\right]$

其中，θ_i和σ_i分别表示可控核在像素点i处的旋转参数和伸缩参数，sinθ_i和cosθ_i分别表示θ_i的正弦函数和余弦函数，

是σ_i的倒数。

(2d)利用如下公式计算像素点i处协方差矩阵C_i:

$C_i={\mathrm{\γ}}_i{U_{\mathrm{\θ}}}_i{\mathrm{\Λ}}_i{U}_{{\mathrm{\θ}}_i}^T$

其中，γ_i是可控核在像素点i处的尺度参数，是旋转矩阵，Λ_i是伸缩矩阵，

表示矩阵

的转置。

(2e)利用如下可控核公式依次计算局部分析窗w_i内每个像素点j与待估计像素点i的权重，并将其放在对应位置处组成权重矩阵

$W_{i1}^{\mathrm{steer}}(i,j)=\frac{\sqrt{\det \left(C_i\right)}}{2\mathrm{\π}{h}^{\′2}{{\mathrm{\μ}}_i}^2}\exp (-\frac{{(t_i-t_j)}^T{C}_i(t_i-t_j)}{2h^{\′2}{{\mathrm{\μ}}_i}^2})$

其中，C_i是像素点i处的协方差矩阵，det(·)表示计算矩阵的行列式，

表示开根方运算，t_i和t_j分别是由像素点i和j的横纵坐标组成的2×1矩阵，(·)^T表示矩阵的转置运算，h'＝0.125σ+2.25是全局光滑参数，μ_i＝1表示局部采样密度的大小，π表示圆周率，是一个大小约为3.14的常数。

(2f)类似步骤(2e)，依次计算搜索区域S_i内每个像素点j与待估计像素点i的权重，并将其放在对应位置处组成权重矩阵

不同的是h'＝0.1σ+7。

本发明具有如下技术效果和优点：

采用(1)输入含噪的自然图像；(2)在含噪图像中，分别计算以当前像素点i为中心的局部分析窗w_i和搜索区域S_i内的权重矩阵和(3)利用新的权重公式计算当前像素点i与其搜寻区域内所有像素点j的相似性，得到搜寻区域内所有像素点的权值；(4)根据计算出的搜寻区域内所有像素点的权值，对搜寻区域内所有像素点进行加权平均，得到当前像素点修正后的灰度值；(5)用修正后像素点的灰度值取代输入的含噪图像中像素点的灰度值，得到去噪后的图像。具体效果和优点如下：

1.本发明实现在不同的尺度上两次利用可控核构造权重矩阵，挖掘图像的几何结构信息，能在去除噪声的同时更加有效的提取图像的细节信息，有利于去噪效果的提高。

2.本发明与非局部均值去噪方法相比，利用几何结构信息指导并修正权重公式，使得权重的计算更加准确，能够达到更好的去噪效果。

本发明克服了非局部均值去噪方法中图像块相似性计算不准确的问题，减少了非局部均值去噪方法在去除噪声的同时滤除的部分图像几何结构信息，提高图像去噪效果。

附图说明

下面结合实施例附图对本发明的具体实施方式予以描述。

图1是本发明的流程图；

图2是本发明中伸缩、旋转以及尺度因子的示例图；

图3是本发明使用的4幅测试图像；

图4是用本发明方法与非局部均值方法对Cameraman图像的去噪结果图；

图5是用本发明方法与非局部均值方法对Boat图像的去噪结果图。

具体实施方式

实施例1，结合附图1、2描述。

本发明的一种基于可控核的双几何非局部均值图像去噪方法，包括如下步骤：

(1)输入待去噪的含噪图像Y，其中Y＝X+N，X是原始干净图像，N是均值为零标准差为σ的高斯白噪声；

(2)在含噪图像Y中，分别计算局部分析窗w_i和搜索区域S_i内的权重矩阵和

其中w_i和S_i是以像素点i为中心大小分别为9×9和17×17的方形窗口。

(3)利用如下公式对含噪图像Y中待估计像素点i与其搜索区域S_i内像素点j之间的权值进行计算，得到搜索区域S_i内所有像素点的权值；

$w(i,j)=\frac{1}{Z\left(i\right)}\{\exp (-\frac{{\left|\right|y_i-y_j\left|\right|}_{w_{i1}^{\mathrm{steer}}}^2}{h^2})\×w_{i2}^{\mathrm{steer}}(i,j)\}$

$Z\left(i\right)=\underset{j\∈S_i}{\mathrm{\Σ}}\{\exp (-\frac{{\left|\right|y_i-y_j\left|\right|}_{w_{i1}^{\mathrm{steer}}}^2}{h^2})\×w_{i2}^{\mathrm{steer}}(i,j)\}$

其中，w(i,j)表示含噪图像Y中像素点i和j之间的相似性，即像素点j在像素点i复原过程中所占的权值，w(i,j)满足条件：0≤w(i,j)≤1且

y_i是含噪图像Y中局部分析窗w_i内的图像块，y_j是含噪图像Y中以像素点j为中心大小为9×9局部分析窗w_j内的图像块，

是由权重矩阵

加权后的欧式距离的平方，平滑参数h＝0.9σ，σ是高斯白噪声的标准差，exp(·)表示底数为e的指数运算，

是权重矩阵

在像素点j处的值，Z(i)表示归一化常数，S_i是以像素i为中心大小为17×17的搜索区域。

(4)利用(3)中得到的搜索区域S_i内所有像素点的权值，对含噪图像Y中待估计像素点i的搜索区域S_i内所有像素点进行加权平均，得到待估计像素点i的估计值：

$\hat{x}\left(i\right)=\underset{j\∈S_i}{\mathrm{\Σ}}w(i,j)y\left(j\right)$

其中，表示对原始图像X中像素点i灰度值的估计，即为去噪后像素点i的灰度值，y(j)是含噪图像Y中像素点j的灰度值。

(5)重复步骤(2)至(4)，依次得到每个像素点的估计值；

(6)用计算得到的所有像素点的估计值取代含噪图像中所有像素点的灰度值，得到去噪图像

该方案克服了非局部均值去噪方法中图像块相似性计算不准确的问题，减少了非局部均值去噪方法在去除噪声的同时滤除的部分图像几何结构信息，提高图像去噪效果。

实施例2，结合附图1至5描述。

在实施例1的基础上，对其主要的图像处理步骤进行详细描述，其中，所述步骤(2)，按如下步骤进行：

(2a)计算含噪图像Y的梯度矩阵G，并取出局部分析窗w_i内的局部梯度矩阵G_i，并对其做截断奇异值分解G_i＝U_iS_iV_i ^T，其中， $S_i=\left[\begin{array}{cc}{s}_1& 0\\ 0& s_2\end{array}\right]$ 是2×2的对角矩阵，V_i是2×2的正交矩阵，v₂＝[v₁,v₂]^T是V_i的第二列;

(2b)利用如下三个公式计算可控核在像素点i处的伸缩参数σ_i，旋转参数θ_i，尺度参数γ_i：

${\mathrm{\σ}}_i=\frac{s_1+\mathrm{\λ}}{s_2+\mathrm{\λ}},{\mathrm{\θ}}_i=\arctan \left(\frac{v_1}{v_2}\right),{\mathrm{\γ}}_i={\left(\frac{s_1{s}_2+{\mathrm{\λ}}^{\′}}{M}\right)}^{\frac{1}{2}}$

其中，λ＝1.0和λ'＝0.01都是正则参数，s₁和s₂是步骤(2a)中对角矩阵S_i的主对角线上的两个元素，v₁和v₂是步骤(2a)中正交矩阵V_i的第二列的两个元素，M＝81是局部分析窗w_i内像素点的个数，arctan(·)表示反正切函数；

(2c)利用如下公式计算旋转矩阵

和伸缩矩阵Λ_i：

${U_{\mathrm{\θ}}}_i=\left[\begin{array}{cc}\cos {\mathrm{\θ}}_i& \sin {\mathrm{\θ}}_i\\ -\sin {\mathrm{\θ}}_i& \cos {\mathrm{\θ}}_i\end{array}\right]$

${\mathrm{\Λ}}_i=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\σ}}_i& 0\\ 0& {\mathrm{\σ}}_i^{-1}\end{array}\right]$

其中，θ_i和σ_i分别表示可控核在像素点i处的旋转参数和伸缩参数，sinθ_i和cosθ_i分别表示θ_i的正弦函数和余弦函数，

是σ_i的倒数；

(2d)利用如下公式计算像素点i处协方差矩阵C_i:

$C_i={\mathrm{\γ}}_i{U_{\mathrm{\θ}}}_i{\mathrm{\Λ}}_i{U}_{{\mathrm{\θ}}_i}^T$

其中，γ_i是可控核在像素点i处的尺度参数，是旋转矩阵，Λ_i是伸缩矩阵，

表示矩阵的转置；

(2e)利用如下可控核公式依次计算局部分析窗w_i内每个像素点j与待估计像素点i的权重，并将其放在对应位置处组成权重矩阵

$W_{i1}^{\mathrm{steer}}(i,j)=\frac{\sqrt{\det \left(C_i\right)}}{2\mathrm{\π}{h}^{\′2}{{\mathrm{\μ}}_i}^2}\exp (-\frac{{(t_i-t_j)}^T{C}_i(t_i-t_j)}{2h^{\′2}{{\mathrm{\μ}}_i}^2})$

其中，C_i是像素点i处的协方差矩阵，det(·)表示计算矩阵的行列式，

表示开根方运算，t_i和t_j分别是由像素点i和j的横纵坐标组成的2×1矩阵，(·)^T表示矩阵的转置运算，h'＝0.125σ+2.25是全局光滑参数，μ_i＝1表示局部采样密度的大小，π表示圆周率，是一个大小约为3.14的常数；

(2f)类似步骤(2e)，依次计算搜索区域S_i内每个像素点j与待估计像素点i的权重，并将其放在对应位置处组成权重矩阵

不同的是h'＝0.1σ+7。

该方案实现在不同的尺度上两次利用可控核构造权重矩阵，挖掘图像的几何结构信息，能在去除噪声的同时更加有效的提取图像的细节信息，有利于去噪效果的提高。利用几何结构信息指导并修正权重公式，使得权重的计算更加准确，能够达到更好的去噪效果。凡本实施例中未展开描述的步骤均属于现有技术或公知常识，通常通过网络便可得知。

本发明的效果通过以下仿真实验进一步说明。

1、实验条件与内容

实验条件：实验所使用的输入图像如图3所示，共四幅灰度图像，分别是：图3(a)所示的Peppers图，图3(b)所示的Cameraman图，图3(c)所示的Lena图，图3(d)所示的Boat图，其中Peppers图和Cameraman图是256×256，Lena图和Boat图是512×512，对每幅图所加上的高斯白噪声的标准差分别是σ＝10，σ＝20，σ＝30，σ＝50，σ＝75，σ＝100。

实验内容：

实验一，对图3所示的Cameraman图和Boat图在σ＝20下进行仿真实验，结果如图4和图5所示，其中图4(a)是干净的Cameraman图，图4(b)原始非局部均值滤波方法对Cameraman图的去噪结果图，图4(c)是本发明方法对Cameraman图的去噪结果图，图4(d)是图4(a)中矩形建筑物的局部放大图，图4(e)是图(4b)中矩形建筑物的局部放大图，图4(f)是图(4c)中矩形建筑物的局部放大图，图5(a)是干净的Boat图，图5(b)原始非局部均值滤波方法对Boat图的去噪结果图，图5(c)是本发明方法对Boat图的去噪结果图，图5(d)是图5(a)中桅杆线状物的局部放大图，图5(e)是图5(b)中桅杆线状物的局部放大图，图5(f)是图5(c)中桅杆线状物的局部放大图。

实验二，用本发明方法和非局部均值滤波方法对图3所示的四幅自然图像在给出的σ分别为10,20,30,50,75,100数值下去噪，其峰值信噪比PSNR如表1所示：

表1非局部均值方法与本发明的PSNR的比较

2.实验结果

从图4和图5各个子图的对比中可以看出，非局部均值方法虽然抑制能力比较好，但是此方法在滤除噪声的同时也出现了模糊现象，丢了较多的图像信息，不能很好的保持图像细节信息，而本发明的方法从整体上减少了非局部均值方法中出现的模糊过平滑现象，在去除噪声的同时更好的保留了边缘、纹理等细节，丢失更少的图像信息。

从表1中可以看出，本发明的方法的去噪效果与非局部均值方法相比，在各个噪声级上峰值信噪比PSNR都有明显的优势。

以上实验结果表明，本发明在总体性能上优于非局部均值方法，能够在更好地去除噪声的同时保持图像的结构和细节信息，而且本发明的方法在噪声级大时仍然可以获得去噪结果的提升，说明它对噪声有较好的鲁棒性。

Claims (2)

1.一种基于可控核的双几何非局部均值图像去噪方法，包括如下步骤：

(1)输入待去噪的含噪图像Y，其中Y＝X+N，X是原始干净图像，N是均值为零标准差为σ的高斯白噪声；

(2)在含噪图像Y中，分别计算局部分析窗w_i和搜索区域S_i内的权重矩阵

和

其中w_i和S_i是以像素点i为中心大小分别为9×9和17×17的方形窗口；

(3)利用如下公式对含噪图像Y中待估计像素点i与其搜索区域S_i内像素点j之间的权值进行计算，得到搜索区域S_i内所有像素点的权值；

$w(i,j)=\frac{1}{Z\left(i\right)}\{\exp (-\frac{{\left|\right|y_i-y_j\left|\right|}_{w_{i1}^{\mathrm{steer}}}^2}{h^2})\×w_{i2}^{\mathrm{steer}}(i,j)\}$

$Z\left(i\right)=\underset{j\∈S_i}{\mathrm{\Σ}}\{\exp (-\frac{{\left|\right|y_i-y_j\left|\right|}_{w_{i1}^{\mathrm{steer}}}^2}{h^2})\×w_{i2}^{\mathrm{steer}}(i,j)\}$

其中，w(i,j)表示含噪图像Y中像素点i和j之间的相似性，即像素点j在像素点i复原过程中所占的权值，w(i,j)满足条件：0≤w(i,j)≤1且

y_i是含噪图像Y中局部分析窗w_i内的图像块，y_j是含噪图像Y中以像素点j为中心大小为9×9局部分析窗w_j内的图像块，

是由权重矩阵

加权后的欧式距离的平方，平滑参数h＝0.9σ，σ是高斯白噪声的标准差，exp(·)表示底数为e的指数运算，是权重矩阵

在像素点j处的值，Z(i)表示归一化常数，S_i是以像素i为中心大小为17×17的搜索区域;

(4)利用(3)中得到的搜索区域S_i内所有像素点的权值，对含噪图像Y中待估计像素点i的搜索区域S_i内所有像素点进行加权平均，得到待估计像素点i的估计值：

$\hat{x}\left(i\right)=\underset{j\∈S_i}{\mathrm{\Σ}}w(i,j)y\left(j\right)$

其中，

表示对原始图像X中像素点i灰度值的估计，即为去噪后像素点i的灰度值，y(j)是含噪图像Y中像素点j的灰度值;

(5)重复步骤(2)至(4)，依次得到每个像素点的估计值；

(6)用计算得到的所有像素点的估计值取代含噪图像中所有像素点的灰度值，得到去噪图像

。

2.根据权利要求1所述的基于可控核的双几何非局部均值图像去噪方法，其中所述步骤

(2)，按如下步骤进行：

(2a)计算含噪图像Y的梯度矩阵G，并取出局部分析窗w_i内的局部梯度矩阵G_i，并对其做截断奇异值分解G_i＝U_iS_iV_i ^T，其中， $S_i=\left[\begin{array}{cc}{s}_1& 0\\ 0& s_2\end{array}\right]$ 是2×2的对角矩阵，V_i是2×2的正交矩阵，v₂＝[v₁,v₂]^T是V_i的第二列;

(2b)利用如下三个公式计算可控核在像素点i处的伸缩参数σ_i，旋转参数θ_i，尺度参数γ_i：

${\mathrm{\σ}}_i=\frac{s_1+\mathrm{\λ}}{s_2+\mathrm{\λ}},{\mathrm{\θ}}_i=\arctan \left(\frac{v_1}{v_2}\right),{\mathrm{\γ}}_i={\left(\frac{s_1{s}_2+{\mathrm{\λ}}^{\′}}{M}\right)}^{\frac{1}{2}}$

其中，λ＝1.0和λ'＝0.01都是正则参数，s₁和s₂是步骤(2a)中对角矩阵S_i的主对角线上的两个元素，v₁和v₂是步骤(2a)中正交矩阵V_i的第二列的两个元素，M＝81是局部分析窗w_i内像素点的个数，arctan(·)表示反正切函数；

(2c)利用如下公式计算旋转矩阵

和伸缩矩阵Λ_i：

${U_{\mathrm{\θ}}}_i=\left[\begin{array}{cc}\cos {\mathrm{\θ}}_i& \sin {\mathrm{\θ}}_i\\ -\sin {\mathrm{\θ}}_i& \cos {\mathrm{\θ}}_i\end{array}\right]$

${\mathrm{\Λ}}_i=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\σ}}_i& 0\\ 0& {\mathrm{\σ}}_i^{-1}\end{array}\right]$

其中，θ_i和σ_i分别表示可控核在像素点i处的旋转参数和伸缩参数，sinθ_i和cosθ_i分别表示θ_i的正弦函数和余弦函数，

是σ_i的倒数；

(2d)利用如下公式计算像素点i处协方差矩阵C_i:

$C_i={\mathrm{\γ}}_i{U_{\mathrm{\θ}}}_i{\mathrm{\Λ}}_i{U}_{{\mathrm{\θ}}_i}^T$

其中，γ_i是可控核在像素点i处的尺度参数，

是旋转矩阵，Λ_i是伸缩矩阵，

表示矩阵的转置；

(2e)利用如下可控核公式依次计算局部分析窗w_i内每个像素点j与待估计像素点i的权重，并将其放在对应位置处组成权重矩阵

$W_{i1}^{\mathrm{steer}}(i,j)=\frac{\sqrt{\det \left(C_i\right)}}{2\mathrm{\π}{h}^{\′2}{{\mathrm{\μ}}_i}^2}\exp (-\frac{{(t_i-t_j)}^T{C}_i(t_i-t_j)}{2h^{\′2}{{\mathrm{\μ}}_i}^2})$

其中，C_i是像素点i处的协方差矩阵，det(·)表示计算矩阵的行列式，

表示开根方运算，t_i和t_j分别是由像素点i和j的横纵坐标组成的2×1矩阵，(·)^T表示矩阵的转置运算，h'＝0.125σ+2.25是全局光滑参数，μ_i＝1表示局部采样密度的大小，π表示圆周率，是一个大小约为3.14的常数；

(2f)类似步骤(2e)，依次计算搜索区域S_i内每个像素点j与待估计像素点i的权重，并将其放在对应位置处组成权重矩阵不同的是h'＝0.1σ+7。

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