CN103812129A - 一种多馈入直流输电系统换相失败的判断方法 - Google Patents

Abstract

一种多馈入直流输电系统换相失败判断方法，其特点是：基于节点阻抗矩阵，利用节点电压交互作用因子，计算系统中各节点发生三相短路接地及单相短路接地时逆变站熄弧角，以临界熄弧角为判据判断直流系统是否发生换相失败。并将各节点计算结果进行整合，在网络拓扑图上分别划定三相故障临界故障阻抗边界和单相故障临界故障阻抗边界。本方法以最小熄弧角为换相失败判断标准，利用临界故障阻抗边界，经简单计算，就可以快速准确地判断故障时引起直流系统换相失败的交流系统区域，简化了换相失败的判定过程的同时提高了判断方法的准确性。可以清晰直观地判断和分析交流系统故障对直流系统的影响情况。

Description

一种多馈入直流输电系统换相失败的判断方法

技术领域

本发明属于输电技术领域，是一种多馈入直流输电系统换相失败的判断方法。 

背景技术

在多馈入直流输电系统中，受端交流系统故障可能引起故障点附近逆变站发生换相失败，甚至导致多回直流线路发生同时或相继换相失败。若不能恢复正常换相功能，将造成大范围停电的灾难性后果，严重威胁电网安全稳定运行。然而，并不是所有的交流系统故障都能够引起直流系统换相失败，这决定于系统的网架结构和运行特性。随着直流输电系统的快速建设和不断投运，建立准确快速科学的换相失败判断机制，减少或避免多回直流发生同时换相故障，指导电网规划与安全稳定运行，具有重要的理论研究意义。 

以典型的六桥臂换流电路为例，当2个桥臂之间换相结束后，刚退出导通的阀在反向电压作用的一段时间内如果未能恢复阻断能力，或者在反向电压期间换相过程一直未能进行完毕，当加在该阀上的电压为正时，立即重新导通，发生倒换相，使预计导通的阀重新关断，称之为换相失败。逆变侧发生换相失败的概率远大于整流侧，整流侧仅当触发电路发生故障时才会换相失败，因此对换相失败的研究和判断通常是针对于逆变换流器。 

在交直流混合系统中，交流系统扰动是引起直流换相失败的主要原因。在仅考虑交流系统故障因素的条件下，换流母线电压跌落是引起换相失败的主要原因，而熄弧角小于阀固有极限熄弧角是其本质。交流系统故障瞬间，换流母线电压跌落，而变压器变比调整以及直流系统控制器动作需要一定的响应时间。因此，故障瞬间超前触发角和变比保持不变，熄弧角随换流母线电压降低而减小，当熄弧角小于阀固有极限熄弧角时发生换相失败。 

发明内容

本发明的目的是：提供一种多馈入直流输电系统换相失败的判断方法,它利用临界故障阻抗边界法确定发生短路故障时能够造成直流系统发生换相失败的交流系统区域，从而能够对直流系统换相失败进行快速直观地判断。 

实现本发明目的采取的技术方案是，一种多馈入直流输电系统换相失败的判断方法，其特征是，它包括以下步骤： 

1）编写电力系统潮流计算程序，进行交直流系统潮流计算，确定各网络中节点电压值； 

2）根据系统网络参数和网架结构，构建发电机、线路、变压器、负荷和直流系统模型，建立网络阻抗分析数据，生成系统节点阻抗矩阵； 

3）假设直流逆变站换流母线节点为j，当交流系统中母线i发生三相短路故障时，引入节点电压交互作用因子计算逆变站换流母线节点电压跌落值公式(1), 

$\mathrm{\Δ}{U}_j=V_{\mathrm{IFji}}{U}_{i0}\frac{U_{\mathrm{jN}}}{U_{\mathrm{iN}}}=\left|\frac{Z_{\mathrm{ij}}}{Z_{\mathrm{ii}}}\right|U_{i0}\frac{U_{\mathrm{jN}}}{U_{\mathrm{iN}}}---\left(1\right)$

式中Z_ii为节点i的自阻抗，Z_ij为节点i和换流母线j之间的互阻抗，U_iN、U_jN分别为节点i和节点j的额定电压值，U_i0为故障前节点i的线电压有效值， 

逆变站熄弧角表达式公式(2), 

$\mathrm{\γ}=\arccos (\frac{\sqrt{2}n{I}_d{X}_L}{U_L}+\cos \mathrm{\β})---\left(2\right)$

式中n为变压器变比；I_d为直流电流；X_L为换相电抗；U_L为换流母线线电压有效值；β为超前触发角； 

将式(1)代入式(2)中，得到三相短路故障时熄弧角计算公式(3)， 

${\mathrm{\γ}}_j=\arccos [\frac{\left(X_{\mathrm{kj}\%}\right)U_{\mathrm{jN}}}{U_{j0}-\frac{Z_{\mathrm{ij}}}{Z_{\mathrm{ii}}}{U}_{i0}\frac{U_{\mathrm{jN}}}{U_{\mathrm{iN}}}}+\cos {\mathrm{\β}}_j]---\left(3\right)$

当交流母线i发生单相短路接地故障时，A相短路接地，由对称分量法得换流母线j三相电压公式(4)， 

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{U}}_{\mathrm{ja}}={\stackrel{\·}{U}}_{j\left(1\right)}+{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(2\right)}+{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(0\right)}\\ {\stackrel{\·}{U}}_{\mathrm{jb}}={\mathrm{\α}}^2{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(1\right)}+\mathrm{\α}{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(2\right)}+{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(0\right)}\\ {\stackrel{\·}{U}}_{\mathrm{jc}}=\mathrm{\α}{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(1\right)}+{\mathrm{\α}}^2{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(2\right)}+{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(0\right)}\end{array}\right.---\left(4\right)$

各序电压表达公式(5)， 

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(1\right)}=1+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(1\right)}\\ {\stackrel{\·}{U}}_{j\left(2\right)}=0+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(2\right)}\\ {\stackrel{\·}{U}}_{j\left(0\right)}=0+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(0\right)}\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中U_j(1)、U_j(2)、U_j(0)分别为换流母线j的正、负、零三序电压分量，根据正、负、零三序节点阻抗矩阵元素的物理意义得到公式(6)， 

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(1\right)}=-{\stackrel{\·}{I}}_{i\left(1\right)}{Z}_{\mathrm{ij}\left(1\right)}\\ \mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(2\right)}=-{\stackrel{\·}{I}}_{i\left(2\right)}{Z}_{\mathrm{ij}\left(2\right)}\\ \mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(0\right)}=-{\stackrel{\·}{I}}_{i\left(0\right)}{Z}_{\mathrm{ij}\left(0\right)}\end{array}\right.---\left(6\right)$

式中I_i(1)、I_i(2)、I_i(0)分别为故障点处正、负、零三序短路电流，Z_ij(1)、Z_ij(2)、Z_ij(0)分别为换流母线j和故障点i间的三序互阻抗， 

由短路故障计算方法得到短路电流计算公式(7)所示， 

${\stackrel{\·}{I}}_{i\left(1\right)}={\stackrel{\·}{I}}_{i\left(2\right)}={\stackrel{\·}{I}}_{i\left(0\right)}=\frac{1}{Z_{\mathrm{ii}\left(1\right)}+Z_{\mathrm{ii}\left(2\right)}+Z_{\mathrm{ii}\left(0\right)}}---\left(7\right)$

式中Z_ii(1)、Z_ii(2)、Z_ii(0)分别为故障点i的三序自阻抗； 

将式(5)、(6)和式(7)代入式(4)中可得换流母线处a相电压变化值，公式(8)， 

$\mathrm{\Δ}{U}_{\mathrm{ja}}=\left|\frac{Z_{\mathrm{ij}\left(1\right)}+Z_{\mathrm{ij}\left(2\right)}+Z_{\mathrm{ij}\left(0\right)}}{Z_{\mathrm{ii}\left(1\right)}+Z_{\mathrm{ii}\left(2\right)}+Z_{\mathrm{ii}\left(0\right)}}\right|---\left(8\right)$

发生单相短路接地故障后，B相和C相间线电压保持不变，根据三角关系，可以得到A相和B相、A相和C相相间的线电压，公式(9)， 

$U_L^{\′}=\sqrt{3-3\mathrm{\Δ}{U}_a+\mathrm{\Δ}{U}_a^2}---\left(9\right)$

换相电压过零点相位移计算式(10)， 

$\mathrm{\φ}=\arctan \frac{\mathrm{\Δ}{U}_a}{\sqrt{3}(2-{\mathrm{\ΔU}}_a)}---\left(10\right)$

因为故障瞬间，换流变压器变比保持不变，故换相电压下降百分比与换流母线电压一致，根据上述推导能够得到A相短路接地时各换流阀熄弧角计算式， 

式(11)， 

${\mathrm{\γ}}_{V1,V4}=\arccos (\frac{\sqrt{2}k{I}_d{X}_L}{\sqrt{3-3\mathrm{\Δ}{U}_a+\mathrm{\Δ}{U}_a^2}{U}_L/\sqrt{3}}+\cos \mathrm{\β})-\arctan \frac{{\mathrm{\ΔU}}_a}{\sqrt{3}(2-{\mathrm{\ΔU}}_a)}---\left(11\right)$

式(12) 

${\mathrm{\γ}}_{V2,V5}=\arccos (\frac{\sqrt{2}k{I}_d{X}_L}{\sqrt{3-3{\mathrm{\ΔU}}_a+\mathrm{\Δ}{U}_a^2}{U}_L/\sqrt{3}}+\cos \mathrm{\β})+\arctan \frac{{\mathrm{\ΔU}}_a}{\sqrt{3}(2-\mathrm{\Δ}{U}_a)}---\left(12\right)$

式(13)， 

${\mathrm{\γ}}_{V3,V6}=\arccos (\frac{\sqrt{2}K{I}_d{X}_L}{U_L}+\cos \mathrm{\β})---\left(13\right)$

计算系统中各节点发生三相短路故障接地和单相短路接地故障时，各直流子系统逆变站熄弧角； 

4）利用步骤3)中计算得到的不同母线发生故障时逆变站换流阀熄弧角，基于最小熄弧角判据，即换流阀熄弧角小于等于最小熄弧角时直流系统发生换相失败，将发生故障时能够引起直流系统换相失败的母线归入故障母线集合，反之归入非故障母线集合； 

5）利用步骤4)中形成的故障母线集合和非故障母线集合，分别划定三相短路临界故障阻抗边界和单相短路临界故障阻抗边界，即边界内的母线发生三相短路接地故障，或者单相短路接地故障时会造成对应直流子系统发生换相失败，而边界外地母线则不会，若系统中有多回直流线路，则分别计算每回直流线路的临界故障阻抗边界。 

本发明的一种多馈入直流输电系统换相失败的判断方法与常规的计算换相电压来判断换 相失败的实时仿真法相比，能够以最小熄弧角为换相失败判断标准，利用临界故障阻抗边界，经简单计算，就可以快速准确地判断故障时引起直流系统换相失败的交流系统区域，简化了换相失败的判定过程的同时提高了判断方法的准确性。可以清晰直观地判断和分析交流系统故障对直流系统的影响情况，能够为系统网络规划、直流落点选择提供必要的数据基础,为受端电网的故障及保护运行环境分析提供重要依据。 

附图说明

图1是本发明的一种多馈入直流输电系统换相失败的判断方法计算流程图。 

图2是IEEE-30节点两馈入系统中的单相短路接地故障临界故障阻抗边界。 

图3是IEEE-30节点两馈入系统中的三相短路接地故障临界故障阻抗边界。 

图4是母线24处发生三相短路接地故障时直流系统传输功率示意图。 

图5是母线24处发生三相短路接地故障时换流母线电压示意图。 

图6是母线25处发生三相短路接地故障时直流系统传输功率示意图。 

图7是母线25处发生三相短路接地故障时换流母线电压示意图。 

图8是母线9处发生单相短路接地故障时直流系统传输功率示意图。 

图9是母线9处发生单相短路接地故障时换流母线电压示意图。 

图10是母线3处发生单相短路接地故障时直流系统传输功率示意图。 

图11是母线3处发生单相短路接地故障时换流母线电压示意图。 

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。 

参见图1，本发明的一种多馈入直流输电系统换相失败判断方法，包括五个步骤： 

1）采用电力系统仿真软件或电力系统潮流计算程序，进行交直流系统潮流计算，确定各网络中节点电压值。 

2）根据系统网络参数和网架结构，构建发电机、线路、变压器、负荷和直流系统模型，建立网络阻抗分析数据，生成系统节点阻抗矩阵。 

3）假设直流逆变站换流母线节点为j，当交流系统中母线i发生三相短路故障时，引入节点电压交互作用因子计算逆变站换流母线节点电压跌落值如公式(1),式中Z_ii为节点i的自阻抗，Z_ij为节点i和换流母线j之间的互阻抗，U_iN、U_jN分别为节点i和节点j的额定电压值，U_i0为故障前节点i的线电压有效值。逆变站熄弧角表达式如公式(2),式中n为变压器变比；I_d为直流电流；X_L为换相电抗；U_L为换流母线线电压有效值；β为超前触发角。将式(1)代入式(2)中，得到三相短路故障时熄弧角计算式如公式(3)。 

当交流母线i发生单相短路接地故障时，以A相短路接地为例，由对称分量法可得换流母线j三相电压如公式(4)所示。各序电压表达式如公式(5)。其中U_j(1)、U_j(2)、U_j(0)分别为换流母线j的正、负、零三序电压分量。根据正、负、零三序节点阻抗矩阵元素的物理意义可 以得到公式(6)，式中I_i(1)、I_i(2)、I_i(0)分别为故障点处正、负、零三序短路电流，Z_ij(1)、Z_ij(2)、Z_ij(0)分别为换流母线j和故障点i间的三序互阻抗。由短路故障计算方法可以得到短路电流计算式如公式(7)所示，式中Z_ii(1)、Z_ii(2)、Z_ii(0)分别为故障点i的三序自阻抗。 

将式(5)、(6)和式(7)代入式(4)中可得换流母线处a相电压变化值，如式(8)所示。 

发生单相短路接地故障后，B相和C相间线电压保持不变，根据三角关系，可以得到A相和B相、A相和C相相间的线电压，如式(9)所示。式(10)为换相电压过零点相位移计算式。 

因为故障瞬间，换流变压器变比保持不变，故换相电压下降百分比与换流母线电压一致，根据上述推导能够得到A相短路接地时各换流阀熄弧角计算式，如式(11)、式(12)和式(13)所示。 

$\mathrm{\Δ}{U}_j=V_{\mathrm{IFji}}{U}_{i0}\frac{U_{\mathrm{jN}}}{U_{\mathrm{iN}}}=\left|\frac{Z_{\mathrm{ij}}}{Z_{\mathrm{ii}}}\right|U_{i0}\frac{U_{\mathrm{jN}}}{U_{\mathrm{iN}}}---\left(1\right)$

$\mathrm{\γ}=\arccos (\frac{\sqrt{2}n{I}_d{X}_L}{U_L}+\cos \mathrm{\β})---\left(2\right)$

${\mathrm{\γ}}_j=\arccos [\frac{\left(X_{\mathrm{kj}\%}\right)U_{\mathrm{jN}}}{U_{j0}-\frac{Z_{\mathrm{ij}}}{Z_{\mathrm{ii}}}{U}_{i0}\frac{U_{\mathrm{jN}}}{U_{\mathrm{iN}}}}+\cos {\mathrm{\β}}_j]---\left(3\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{U}}_{\mathrm{ja}}={\stackrel{\·}{U}}_{j\left(1\right)}+{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(2\right)}+{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(0\right)}\\ {\stackrel{\·}{U}}_{\mathrm{jb}}={\mathrm{\α}}^2{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(1\right)}+\mathrm{\α}{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(2\right)}+{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(0\right)}\\ {\stackrel{\·}{U}}_{\mathrm{jc}}=\mathrm{\α}{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(1\right)}+{\mathrm{\α}}^2{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(2\right)}+{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(0\right)}\end{array}\right.---\left(4\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(1\right)}=1+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(1\right)}\\ {\stackrel{\·}{U}}_{j\left(2\right)}=0+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(2\right)}\\ {\stackrel{\·}{U}}_{j\left(0\right)}=0+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(0\right)}\end{array}\right.---\left(5\right)$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(1\right)}=-{\stackrel{\·}{I}}_{i\left(1\right)}{Z}_{\mathrm{ij}\left(1\right)}\\ \mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(2\right)}=-{\stackrel{\·}{I}}_{i\left(2\right)}{Z}_{\mathrm{ij}\left(2\right)}\\ \mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(0\right)}=-{\stackrel{\·}{I}}_{i\left(0\right)}{Z}_{\mathrm{ij}\left(0\right)}\end{array}\right.---\left(6\right)$

${\stackrel{\·}{I}}_{i\left(1\right)}={\stackrel{\·}{I}}_{i\left(2\right)}={\stackrel{\·}{I}}_{i\left(0\right)}=\frac{1}{Z_{\mathrm{ii}\left(1\right)}+Z_{\mathrm{ii}\left(2\right)}+Z_{\mathrm{ii}\left(0\right)}}---\left(7\right)$

$\mathrm{\Δ}{U}_{\mathrm{ja}}=\left|\frac{Z_{\mathrm{ij}\left(1\right)}+Z_{\mathrm{ij}\left(2\right)}+Z_{\mathrm{ij}\left(0\right)}}{Z_{\mathrm{ii}\left(1\right)}+Z_{\mathrm{ii}\left(2\right)}+Z_{\mathrm{ii}\left(0\right)}}\right|---\left(8\right)$

$U_L^{\′}=\sqrt{3-3\mathrm{\Δ}{U}_a+\mathrm{\Δ}{U}_a^2}---\left(9\right)$

$\mathrm{\φ}=\arctan \frac{\mathrm{\Δ}{U}_a}{\sqrt{3}(2-{\mathrm{\ΔU}}_a)}---\left(10\right)$

${\mathrm{\γ}}_{V1,V4}=\arccos (\frac{\sqrt{2}k{I}_d{X}_L}{\sqrt{3-3\mathrm{\Δ}{U}_a+\mathrm{\Δ}{U}_a^2}{U}_L/\sqrt{3}}+\cos \mathrm{\β})-\arctan \frac{{\mathrm{\ΔU}}_a}{\sqrt{3}(2-{\mathrm{\ΔU}}_a)}---\left(11\right)$

${\mathrm{\γ}}_{V2,V5}=\arccos (\frac{\sqrt{2}k{I}_d{X}_L}{\sqrt{3-3{\mathrm{\ΔU}}_a+\mathrm{\Δ}{U}_a^2}{U}_L/\sqrt{3}}+\cos \mathrm{\β})+\arctan \frac{{\mathrm{\ΔU}}_a}{\sqrt{3}(2-\mathrm{\Δ}{U}_a)}---\left(12\right)$

${\mathrm{\γ}}_{V3,V6}=\arccos (\frac{\sqrt{2}K{I}_d{X}_L}{U_L}+\cos \mathrm{\β})---\left(13\right)$

4）利用步骤3)中计算得到的不同母线发生故障时逆变站换流阀熄弧角，基于最小熄弧角判据，即换流阀熄弧角小于等于最小熄弧角时直流系统发生换相失败，将发生故障时能够引起直流系统换相失败的母线归入故障母线集合，反之归入非故障母线集合。 

5）利用步骤4)中形成的故障母线集合和非故障母线集合，分别划定三相短路临界故障阻抗边界和单相短路临界故障阻抗边界。即边界内的母线发生三相短路接地故障，或者单相短路接地故障时会造成对应直流子系统发生换相失败，而边界外地母线则不会。若系统中有多回直流线路，则分别计算每回直流线路的临界故障阻抗边界。 

仿真分析 

采用PTI公司开发的PSS/E电力系统分析软件中的动态仿真功能，对专利所提基于临界故障阻抗边界的多馈入直流输电系统换相失败判断方法的有效性进行仿真验证，直流系统采用准稳态模型。基于CIGRE HVDC标准模型，在IEEE-30节点标准测试系统中分别以1-4、5-6为首末节点，建立两馈入直流输电系统。初始参数为：直流功率Pd10=Pd20=PdN=200MW，直流电压Ud10=Ud20=UdN=200kV，换流母线线电压UL10=146.37kV，UL20=144.87kV，换流变压器漏抗百分比XK1%=XK2%=15%，换流变压器变比为1，超前触发角β10=β20=38.4°，熄弧角γ10=γ20=18.4°。 

根据本发明所述临界故障阻抗边界界定步骤，对IEEE-30节点混合系统进行仿真计算，在网络拓扑结构图上绘出两馈入直流系统的临界故障阻抗边界，如图2所示。 

为三相短路故障边界，从图中可知，24母线位于直流子系统1和子系统2的同时换相失败区域内，25母线仅位于直流子系统2的临界故障阻抗边界内。为单相短路故障边界，从图中可知，3母线位于直流子系统1和子系统2的同时换相失败区域内，9母线仅位于直流子系统2的临界故障阻抗边界内。通过对24母线和25母线做三相短路故障仿真、对3母线和9母线做单相短路故障仿真，验证换相失败临界故障阻抗边界计算方法的有效性。 

图3为24母线处在t=2s时，发生三相金属性短路接地故障，故障持续时间为100ms的仿真结果。图4为25母线处发生三相金属性短路接地故障，故障持续时间为100ms的仿真结果。两次仿真结果表明，当24母线处发生三相短路故障时，两个之流系统传输功率均跌落为0，发生同时换相失败；而25母线处发生三相短路故障时，直流子系统1传输功率仅发生小范围跌落，只有直流子系统2发生换相失败。由此可见，动态仿真结果与本专利提出的基于临界故障阻抗边界的换相失败判断方法计算结果一致。 

（4）图5为t=2s时，9节点处发生单相金属性短路接地故障，故障持续时间为100ms的仿真结果。图6为t=2s时，3母线处发生单相金属性短路接地故障，故障时间为100ms的仿真结果。两次仿真结果表明，当3母线处发生单相短路接地故障时，两个直流系统传输功率均跌落为0，发生同时换相失败；而25母线处发生单相短路接地故障时，直流子系统1传输功率仅发生小范围跌落，只有直流子系统2发生换相失败。由此可见，动态仿真结果与本专利提出的基于临界故障阻抗边界的换相失败判断方法计算结果一致。 

Claims (1)

1.一种多馈入直流输电系统换相失败的判断方法，其特征是，它包括以下步骤：

1）编写电力系统潮流计算程序，进行交直流系统潮流计算，确定各网络中节点电压值；

2）根据系统网络参数和网架结构，构建发电机、线路、变压器、负荷和直流系统模型，建立网络阻抗分析数据，生成系统节点阻抗矩阵；

3）假设直流逆变站换流母线节点为j，当交流系统中母线i发生三相短路故障时，引入节点电压交互作用因子计算逆变站换流母线节点电压跌落值公式(1),

$\mathrm{\Δ}{U}_j=V_{\mathrm{IFji}}{U}_{i0}\frac{U_{\mathrm{jN}}}{U_{\mathrm{iN}}}=\left|\frac{Z_{\mathrm{ij}}}{Z_{\mathrm{ii}}}\right|U_{i0}\frac{U_{\mathrm{jN}}}{U_{\mathrm{iN}}}---\left(1\right)$

式中Z_ii为节点i的自阻抗，Z_ij为节点i和换流母线j之间的互阻抗，U_iN、U_jN分别为节点i和节点j的额定电压值，U_i0为故障前节点i的线电压有效值，

逆变站熄弧角表达式公式(2),

$\mathrm{\γ}=\arccos (\frac{\sqrt{2}n{I}_d{X}_L}{U_L}+\cos \mathrm{\β})---\left(2\right)$

式中n为变压器变比；I_d为直流电流；X_L为换相电抗；U_L为换流母线线电压有效值；β为超前触发角；

将式(1)代入式(2)中，得到三相短路故障时熄弧角计算公式(3)，

${\mathrm{\γ}}_j=\arccos [\frac{\left(X_{\mathrm{kj}\%}\right)U_{\mathrm{jN}}}{U_{j0}-\frac{Z_{\mathrm{ij}}}{Z_{\mathrm{ii}}}{U}_{i0}\frac{U_{\mathrm{jN}}}{U_{\mathrm{iN}}}}+\cos {\mathrm{\β}}_j]---\left(3\right)$

当交流母线i发生单相短路接地故障时，A相短路接地，由对称分量法得换流母线j三相电压公式(4)，

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{U}}_{\mathrm{ja}}={\stackrel{\·}{U}}_{j\left(1\right)}+{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(2\right)}+{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(0\right)}\\ {\stackrel{\·}{U}}_{\mathrm{jb}}={\mathrm{\α}}^2{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(1\right)}+\mathrm{\α}{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(2\right)}+{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(0\right)}\\ {\stackrel{\·}{U}}_{\mathrm{jc}}=\mathrm{\α}{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(1\right)}+{\mathrm{\α}}^2{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(2\right)}+{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(0\right)}\end{array}\right.---\left(4\right)$

各序电压表达公式(5)，

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(1\right)}=1+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(1\right)}\\ {\stackrel{\·}{U}}_{j\left(2\right)}=0+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(2\right)}\\ {\stackrel{\·}{U}}_{j\left(0\right)}=0+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(0\right)}\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中U_j(1)、U_j(2)、U_j(0)分别为换流母线j的正、负、零三序电压分量，根据正、负、零三序节点阻抗矩阵元素的物理意义得到公式(6)，

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(1\right)}=-{\stackrel{\·}{I}}_{i\left(1\right)}{Z}_{\mathrm{ij}\left(1\right)}\\ \mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(2\right)}=-{\stackrel{\·}{I}}_{i\left(2\right)}{Z}_{\mathrm{ij}\left(2\right)}\\ \mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{U}}_{j\left(0\right)}=-{\stackrel{\·}{I}}_{i\left(0\right)}{Z}_{\mathrm{ij}\left(0\right)}\end{array}\right.---\left(6\right)$

式中I_i(1)、I_i(2)、I_i(0)分别为故障点处正、负、零三序短路电流，Z_ij(1)、Z_ij(2)、Z_ij(0)分别为换流母线j和故障点i间的三序互阻抗，

由短路故障计算方法得到短路电流计算公式(7)所示，

${\stackrel{\·}{I}}_{i\left(1\right)}={\stackrel{\·}{I}}_{i\left(2\right)}={\stackrel{\·}{I}}_{i\left(0\right)}=\frac{1}{Z_{\mathrm{ii}\left(1\right)}+Z_{\mathrm{ii}\left(2\right)}+Z_{\mathrm{ii}\left(0\right)}}---\left(7\right)$

式中Z_ii(1)、Z_ii(2)、Z_ii(0)分别为故障点i的三序自阻抗；

将式(5)、(6)和式(7)代入式(4)中可得换流母线处a相电压变化值，公式(8)，

$\mathrm{\Δ}{U}_{\mathrm{ja}}=\left|\frac{Z_{\mathrm{ij}\left(1\right)}+Z_{\mathrm{ij}\left(2\right)}+Z_{\mathrm{ij}\left(0\right)}}{Z_{\mathrm{ii}\left(1\right)}+Z_{\mathrm{ii}\left(2\right)}+Z_{\mathrm{ii}\left(0\right)}}\right|---\left(8\right)$

发生单相短路接地故障后，B相和C相间线电压保持不变，根据三角关系，可以得到A相和B相、A相和C相相间的线电压，公式(9)，

$U_L^{\′}=\sqrt{3-3\mathrm{\Δ}{U}_a+\mathrm{\Δ}{U}_a^2}---\left(9\right)$

换相电压过零点相位移计算式(10)，

$\mathrm{\φ}=\arctan \frac{\mathrm{\Δ}{U}_a}{\sqrt{3}(2-{\mathrm{\ΔU}}_a)}---\left(10\right)$

因为故障瞬间，换流变压器变比保持不变，故换相电压下降百分比与换流母线电压一致，根据上述推导能够得到A相短路接地时各换流阀熄弧角计算式，

式(11)，

${\mathrm{\γ}}_{V1,V4}=\arccos (\frac{\sqrt{2}k{I}_d{X}_L}{\sqrt{3-3\mathrm{\Δ}{U}_a+\mathrm{\Δ}{U}_a^2}{U}_L/\sqrt{3}}+\cos \mathrm{\β})-\arctan \frac{{\mathrm{\ΔU}}_a}{\sqrt{3}(2-{\mathrm{\ΔU}}_a)}---\left(11\right)$

式(12)

${\mathrm{\γ}}_{V2,V5}=\arccos (\frac{\sqrt{2}k{I}_d{X}_L}{\sqrt{3-3{\mathrm{\ΔU}}_a+\mathrm{\Δ}{U}_a^2}{U}_L/\sqrt{3}}+\cos \mathrm{\β})+\arctan \frac{{\mathrm{\ΔU}}_a}{\sqrt{3}(2-\mathrm{\Δ}{U}_a)}---\left(12\right)$

式(13)，

${\mathrm{\γ}}_{V3,V6}=\arccos (\frac{\sqrt{2}K{I}_d{X}_L}{U_L}+\cos \mathrm{\β})---\left(13\right)$

计算系统中各节点发生三相短路故障接地和单相短路接地故障时，各直流子系统逆变站熄弧角；

4）利用步骤3)中计算得到的不同母线发生故障时逆变站换流阀熄弧角，基于最小熄弧角判据，即换流阀熄弧角小于等于最小熄弧角时直流系统发生换相失败，将发生故障时能够引起直流系统换相失败的母线归入故障母线集合，反之归入非故障母线集合；

5）利用步骤4)中形成的故障母线集合和非故障母线集合，分别划定三相短路临界故障阻抗边界和单相短路临界故障阻抗边界，即边界内的母线发生三相短路接地故障，或者单相短路接地故障时会造成对应直流子系统发生换相失败，而边界外地母线则不会，若系统中有多回直流线路，则分别计算每回直流线路的临界故障阻抗边界。

Images