CN103778293B - 基于梁结构的多层印制电路板镀通孔应力-应变模型建立方法 - Google Patents

Abstract

基于梁结构的多层印制电路板镀通孔应力‑应变模型建立方法，步骤如下：1，将多层印制电路板镀通孔简化为轴对称的梁结构，基于梁结构建立假设条件；2，把焊盘结构看做环形圆板并受均布载荷，设焊盘内径简支和外径自由的边界条件；3，基于焊盘均布载荷的假设列写焊盘力学常微分方程，求解挠度的通解表达式；4，利用边界条件确定通解表达式中的四个待定系数，结合位移连续条件列出载荷与挠度、承载力和热应变的关系；5，结合边界条件确定应力最大处的径向、环向和轴向应力，利用米塞斯等效应力计算公式计算等效应力；6，根据镀层材料的线弹性和线塑性应力‐应变关系，给出多层印制电路板镀通孔弹性和塑性范围内的应变解析表达式。

Description

基于梁结构的多层印制电路板镀通孔应力-应变模型建立 方法

技术领域：

本发明涉及一种基于梁结构的多层印制电路板镀通孔应力-应变模型建立方法，利用弹性薄板内径简支和外径自由的基本力学方程和边界条件对多层印制电路板镀通孔应力-应变分布情况进行分析，得到多层印制电路板镀通孔应力-应变解析模型，该方法属于电子产品失效物理模型建模领域。

背景技术：

印制电路板是现在电子设备中不可或缺的组成部分，为了缩小电子元件之间的互连线，多层封装结构得到了广泛的应用。用于为不同板层提供电连接，镀通孔成为印制电路板的关键组件，镀通孔的可靠性已经成为印制电路板可靠性问题的关键因素。

镀通孔可靠性评估对于镀通孔设计、提高可靠性有很重要的作用。对镀通孔进行可靠性评估目前主要有数值分析法(如有限元)和解析法。利用有限元评估的方法虽然针对性强，但对工程实际来说过于复杂，且运算时间较长，不适宜大规模推广使用。因此，很多研究人员都致力于采用失效物理的方法建立镀通孔解析模型的研究。已有的镀通孔应力-应变解析模型包括印制电路协会(Institute of Printed Circuits,IPC)模型、镀通孔应力分布模型、米尔曼(Mirman)模型、马里兰中心(CALCE)模型。IPC模型将镀通孔简化为一维杆结构，结构简单便于计算，但不满足边界自由条件和位移连续条件。镀通孔应力分布模型考虑了铜树脂界面剪切力，使估算结果更符合实际情况，但模型不包含板层数和焊盘因素影响。CALCE模型将镀通孔类比于串并联弹簧，考虑了多层板和焊盘因素，但不满足边界条件。Mirman模型将焊盘简化为梁结构，考虑外部焊盘的影响，但是并没有给出焊盘中的力。

鉴于此，本发明针对多层印制电路板镀通孔，考虑多层板结构和外部焊盘因素，利用弹性薄板内径简支和外径自由的基本力学方程和边界条件对其应力-应变分布情况进行分析，用于快速评估多层印刷电路板镀通孔的寿命。

发明内容：

1、目的：本发明的目的是提供一种基于梁结构的多层印制电路板镀通孔应力-应变模型建立方法。它针对多层印制电路板镀通孔结构，利用弹性薄板内径简支和外径自由的基本力学方程和边界条件对多层印制电路板镀通孔应力-应变分布情况进行分析，并给出最大应力和应变的解析结果。本发明旨在建立多层印制电路板镀通孔应力-应变模型，用于快速评估多层印制电路板镀通孔的寿命。

2、技术方案：本发明是通过以下技术方案实现的。

首先引入几个基本定义。

定义1：多层印制电路板：以多层绝缘基板为基础材料加工成一定尺寸的板，提供电子元器件电气连接。

定义2：镀通孔：通过孔壁上的金属镀层实现内部和外部导电模式之间，或两者的电气连接孔。

定义3：应力：材料发生形变时其内部产生了大小相等但方向相反的反作用力抵抗外力，分布内力在一点的集度即为应力。

定义4：von Mises等效应力：基于剪切应变能的一种等效应力

定义5：屈服应力：在材料拉伸或压缩过程中，当应力达到一定值时，应力有微小的增加，而应变则急剧增长的现象称为屈服，使材料发生屈服时的正应力即为屈服应力。

定义6：应变：材料因外力作用引起的形状和尺寸的相对改变。

定义7：载荷：单位长度或面积的物体所受的承载力。

定义8：挠度：弯曲变形时横截面形心沿与轴线垂直方向的线位移。

定义9：弯矩：垂直于横截面的内力系的合力偶矩。

定义10：剪力：由于物理特性为了恢复因为力矩而产生的变形而产生的内部作用力。

定义11：简支：在水平方向可以移动，但垂直方向不可以移动。

定义12：自由：在水平和垂直方向都可以移动。

本发明是一种基于梁结构的多层印制电路板镀通孔应力-应变模型建立方法，该方法具体步骤如下：

步骤一：将多层印制电路板镀通孔结构简化为轴对称的梁结构，包括基板、镀层、内部焊盘和外部焊盘四部分，基于轴对称的梁结构建立初步的假设条件。

步骤二：把内部和外部焊盘结构看做环形圆板并受到均布载荷，其中外部焊盘外部载荷为零。假设影响镀通孔变形的印制电路板部分是一个空心圆柱，内径等于孔径，外径等于焊盘直径，并假设内径简支和外径自由。

步骤三：基于内部和外部焊盘均布载荷的假设条件列写出内部和外部焊盘满足的力学线性非齐次常微分方程，求解挠度的通解表达式，其中通解表达式包括四个待定系数A,B,C和D。

步骤四：基于内径简支和外径自由的条件列写出四个边界条件，利用边界条件求解待定系数A,B,C和D表达式，然后结合位移连续条件列写出载荷与挠度、承载力和热应变的关系。

步骤五：结合边界条件确定应力最大处待定系数的具体值，然后根据弯矩计算径向应力和环向应力，根据载荷与挠度、承载力和热应变的关系计算轴向应力，根据米塞斯等效应力计算公式计算等效应力。

步骤六：根据镀层材料的线弹性和线塑性应力-应变关系，计算多层印制电路板镀通孔弹性和塑性范围内的应变解析表达式，建立出基于梁结构的多层印制电路板镀通孔应力-应变模型。

其中，在步骤一中所述的“将多层印制电路板镀通孔结构简化为轴对称的梁结构”，其简化方法为将整个镀通孔看做一个空心圆柱，共包括外部焊盘、内部焊盘、镀层和基板四部分，其中内部焊盘结构是由内表面和无功能焊盘等效而得，外部焊盘与内部焊盘直径相等，各基板厚度相等。

其中，在步骤一中所述的“基于轴对称的梁结构建立初步的假设条件”，其建立的假设条件为：(1)各基板层厚度相等，板层材料为FR-4环氧玻纤布(这种材料以环氧树脂作为粘合剂，以玻纤布为增强材料而构成绝缘层)；(2)镀层和焊盘材料为铜，且厚度相等，焊盘半径都相等；(3)结构中的温度分布是均匀的；(4)镀层材料遵循应力/应变图；(5)焊盘、镀层和基板材料是线弹性。

其中，在步骤三中所述的“基于内部和外部焊盘均布载荷的假设条件列写出内部和外部焊盘满足的力学线性非齐次常微分方程”，列写方法是根据圆形薄板的轴对称弯曲理论给出挠度、载荷与径向坐标的微分关系。

其中，在步骤三中所述的“求解挠度的通解表达式”，其求解步骤如下：(1)将线性非齐次常微分程的通解表示为线性齐次常微分方程通解和特解之和；(2)利用换原法得到线性齐次常微分方程的特征方程；(3)根据(2)获得的特征方程，利用拉普拉斯变换获得通解表达式；(4)利用四次积分获得特解表达式；(5)将线性齐次常微分方程通解与特解相加即获得挠度通解表达式

其中，在步骤四中所述的“基于内径简支和外径自由的条件列写出四个边界条件”，其列写的四个边界条件为：(1)因为内径简支，在r＝r₀处挠度为零；(2)因为内径简支，在r＝r₀处弯矩为零；(3)因为外径自由，在r＝r₁处弯矩为零；(4)因为外径自由，在r＝r₁处剪力为零。

其中，在步骤四中所述的“利用边界条件求解待定系数A,B,C和D表达式”，其求解步骤如下：(1)分别对步骤三获得的挠度通解表达式求一阶至三阶导，代入四个边界条件；(2)将四个线性方程表示为矩阵形式，从而获得对应的系数矩阵；(3)利用系数矩阵的行列式计算A,B,C和D的表达式

其中，在步骤五中所述的“结合边界条件确定应力最大处待定系数的具体值”，其确定方法为将应力最大处载荷大小和边界条件代入步骤四获得的待定系数表达式。

其中，在步骤五中所述的“根据弯矩计算径向应力和环向应力”，其计算步骤为：(1)根据挠度和弯曲刚度确定径向和环向弯矩大小；(2)根据径向和环向弯矩确定径向应力和环向应力

其中，在步骤五中所述的“根据载荷与挠度、承载力和热应变的关系计算轴向应力”，其计算方法为：将应力最大处载荷和挠度大小代入载荷与挠度、承载力和热应变的关系获得应力最大处两侧载荷大小，两侧载荷之差即为轴向应力。

其中，在步骤六中所述的“计算多层印制电路板镀通孔弹性和塑性范围内的应变解析表达式”，其计算方法：(1)在弹性范围内，应力和应变成正比，利用应力和弹性模量即可确定应变大小；(2)在塑性范围内，应力和应变的关系等效为以屈服应力为界，呈不同比例系数的正比关系，分别计算不同比例系数下对应的应变大小，求和即可确定总应变大小

其中，在步骤六中所述的“建立出基于梁结构的多层印制电路板镀通孔应力-应变模型”，其建立方法为：步骤五获得的等效应力表达式和步骤六获得的弹塑性范围内的应变表达式即构成了多层印制电路板镀通孔应力-应变模型。

3、优点及功效：

本发明针对多层印制电路板镀通孔提出了一种基于梁结构的多层印制电路板镀通孔应力-应变模型建立方法，考虑了多层板结构和外部焊盘因素，给出了应力-应变分布情况以及最大应力-应变解析结果，可以用于快速评估多层印制电路板上镀通孔的寿命，具备一定的工程应用价值，展现了较好的工程应用前景。

附图说明：

图1多层印制电路板镀通孔的简化结构

图2第j层和第(j-1)层焊盘的载荷和挠度分布情况

图3本发明所述的方法流程图

图4镀层材料的线弹性和线塑性应力-应变关系

图1、图2和图4符号说明如下：

j：焊盘的层数

r₀：孔半径

r₁：焊盘半径

t：镀层和焊盘厚度

q_j-1：第(j-2)和第(j-1)层焊盘间的基板载荷

q_j：第(j-1)和第j层焊盘间的基板载荷

q_j+1：第j和第(j+1)层焊盘间的基板载荷。

w_j(r)：第j层焊盘挠度函数

w_j-1(r)：第(j-1)层焊盘挠度函数

σ：应力

ε：应变

E_Cu：弹性范围内的镀层材料弹性模量

E_Cu’：塑性范围内的镀层材料塑性模量

S_Y：镀层材料的屈服应力

S_u：镀层材料的屈服极限

具体实施方式

本发明所述的一种基于梁结构的多层印制电路板镀通孔应力-应变模型建立方法，其方法流程见图3所示，该方法的具体实施方式步骤如下：

具体实施步骤中涉及的参数较多，在此将参数符号和含义统一总结如下：

r为沿镀通孔径向的位置坐标；r₀为孔半径；r₁为焊盘半径；w_j为j层焊盘挠度；D_j为j层焊盘刚度；q_j为(j-1)和j层焊盘间的基板载荷；q_j+1为j和(j+1)层焊盘间的基板载荷；A,B,C和D为引入的待定系数；E_Cu为铜材料的弹性模量；；E_Cu’为塑性范围内的镀层材料塑性模量；E_E为基板材料的弹性模量；Δ(αT)为温差引起的应变，t为镀层厚度，Q_j为镀层所承受的力；M_r为径向弯矩；M_θ为环向弯矩；D₁为第一层焊盘刚度；u为铜材料的泊松比；Δε为等效应变；σ_von为von Mises等效应力；S_Y为镀层材料的屈服应力。

步骤一：，将多层印制电路板镀通孔简化为如图1所示的结构，将整个镀通孔看做一个空心圆柱，共包括外部焊盘、内部焊盘、镀层和基板四部分，其中内部焊盘结构是由内表面和无功能焊盘等效而得，外部焊盘与内部焊盘直径相等，各基板厚度相等。基于结构建立初步的假设条件，假设条件如下文(1)至(5)。

(1)各基板层厚度相等，板层材料为FR-4环氧玻纤布(这种材料以环氧树脂作为粘合剂，以玻纤布为增强材料而构成绝缘层)；

(2)镀层和焊盘材料为铜，且厚度相等，焊盘半径都相等；

(3)结构中的温度分布是均匀的；

(4)镀层材料遵循应力/应变图；

(5)焊盘、镀层和基板材料都是线弹性。

步骤二：把每层焊盘看做弹性环形薄板并受到均布载荷，其中外部焊盘外部载荷为零。假设影响PTH变形的PWB部分是一个空心圆柱，内径等于孔径，外径等于焊盘直径，并假设内径简支和外径自由。j层和(j-1)层焊盘的载荷和挠度分布情况如图2所示。

步骤三：基于假设和图2所示分布情况，利用根据圆形薄板的轴对称弯曲理论列写出焊盘满足的力学常微分方程为：

$\frac{d}{dr}\left(r\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\right(r\frac{d}{dr}{w}_j)\right))=\frac{r}{D_j}(q_j-q_{j+1})---\left(1\right)$

式(1)为线性非齐次常微分方程，其通解可以表示为方程某一特解w^*与相对应的齐次微分方程的通解之和的形式

令r＝e^t，则t＝lnr

$\frac{dw}{dr}=\frac{dw}{dt}\frac{dt}{dr}=\frac{dw}{dt}\·\frac{1}{r}---\left(2\right)$

$\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}=\frac{d}{dr}\left(\frac{dw}{dr}\right)=\frac{1}{r}\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{r}\frac{dw}{dt}\right)=\frac{1}{r}\frac{d}{dt}\left(e^{-t}\frac{dw}{dt}\right)=\frac{1}{r}(-e^{-t}\frac{dw}{dt}+e^{-t}\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dt}}^2})=\frac{1}{r^2}(\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dt}}^2}-\frac{dw}{dt})---\left(3\right)$

$\frac{d^{3}w}{{\mathrm{dr}}^3}=\frac{d}{dr}\left(\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}\right)=\frac{1}{r^3}(\frac{d^{3}w}{{\mathrm{dt}}^3}-3\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dt}}^2}+2\frac{dw}{dt})---\left(4\right)$

$\frac{d^{4}w}{{\mathrm{dr}}^4}=\frac{1}{r^4}(\frac{d^{4}w}{{\mathrm{dt}}^4}-6\frac{d^{3}w}{{\mathrm{dt}}^3}+11\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dt}}^2}-6\frac{dw}{dt})---\left(5\right)$

代入得到：

$\frac{d^{4}w}{{\mathrm{dt}}^4}-4\frac{d^{3}w}{{\mathrm{dt}}^3}+4\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dt}}^2}=0---\left(6\right)$

其特征方程为λ⁴-4λ³+4λ²＝0，其通解为w＝At+Bte^2t+Ce^2t+D

则w＝Aln r+Br²ln r+Cr²+D (7)

求解获得挠度w_j满足的通解表达式为：

w_j(r)＝Aln r+Br²ln r+Cr²+D+w^* (8)

式中，A,B,C和D为引入的待定系数；w^*为方程的特解，满足下式：

$w^{*}=\frac{1}{D_j}\∫\frac{1}{r}\∫r\∫\frac{1}{r}\∫(q_j-q_{j+1}){\mathrm{rdr}}^4---\left(9\right)$

可以求得：

$w^{*}=\frac{(q_j-q_{j+1})r^4}{64D_j}---\left(10\right)$

即可获得挠度w_j的通解表达式为：

$w_j\left(r\right)=A\ln r+{\mathrm{Br}}^2\ln r+{\mathrm{Cr}}^2+D+\frac{(q_j-q_{j+1})r^4}{64D_j}---\left(11\right)$

步骤四：根据内径简支和外径自由的假设条件列写出四个边界条件如下式所示：

w_j(r₀)＝0 (12)

$\frac{d^2}{{\mathrm{dr}}^2}{w}_j\left(r_0\right)+\frac{u}{r_0}\frac{d}{dr}{w}_j\left(r_0\right)=0---\left(13\right)$

$\frac{d^2}{{\mathrm{dr}}^2}{w}_j\left(r_1\right)+\frac{u}{r_1}\frac{d}{dr}{w}_j\left(r_1\right)=0---\left(14\right)$

${r_1}^2\frac{d^3}{{\mathrm{dr}}^3}{w}_j\left(r_1\right)+r_1\frac{d^2}{{\mathrm{dr}}^2}{w}_j\left(r_1\right)-w_j\left(r_1\right)=0---\left(15\right)$

式(12)和(13)为因为内径简支而列写出的在r＝r₀处挠度为零和弯矩为零的边界条件，式(14)和(15)为因为外径自由而列写出的在r＝r₁处弯矩为零和剪力为零的边界条件。

分别对式(9)求一阶和三阶导代入式(12)～(15)可得到待定系数A、B、C、D的线性方程组，利用线性方程组的系数矩阵即可求得四个系数的表达式，求解过程如式(16)～(28)。四个线性方程组用矩阵形式可以表示为：

$\left[\begin{array}{cccc}\ln r_0& r_0^2\ln r_0& r_0^2& 1\\ \frac{1}{r_0^2}(u-1)& 2\ln r_0+3+2u\ln r_0+u& 2+2u& 0\\ \frac{1}{{r_1}^2}(u-1)& 2\ln r_1+3+2u\ln r_1+u& 2+2u& 0\\ -\frac{3}{r_1}-\ln r_1& 2r_1\ln r_1+5r_1-{r_1}^2\ln r_1& 2r_1-{r_1}^2& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}A\\ B\\ C\\ D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{(q_j-q_{j+1}){r_0}^4}{64D_j}\\ \frac{(q_j-q_{j+1})(3r_0^2+{\mathrm{ur}}_0^2)}{16D_j}\\ \frac{(q_j-q_{j+1})(3{r_1}^2+{{\mathrm{ur}}_1}^2)}{16D_j}\\ \frac{(q_j-q_{j+1})(12{r_1}^3-{r_1}^4)}{64D_j}\end{array}\right]---\left(16\right)$

为方便求解记做：

$\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& a_3& a_4\\ b_1& b_2& b_3& b_4\\ c_1& c_2& c_3& c_4\\ d_1& d_2& d_3& d_4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}A\\ B\\ C\\ D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ b_0\\ c_0\\ d_0\end{array}\right]---\left(17\right)$

其中，

$a_0=\frac{(q_j-q_{j+1}){r_0}^4}{64D_j},b_0=\frac{(q_j-q_{j+1})(3r_0^2+{\mathrm{ur}}_0^2)}{16D_j},c_0=\frac{(q_j-q_{j+1})(3{r_1}^2+{{\mathrm{ur}}_1}^2)}{16D_j},d_0=\frac{(q_j-q_{j+1})(12{r_1}^3-{r_1}^4)}{64D_j}---\left(18\right)$

$a_1=\ln r_0,a_2=r_0^2\ln r_0,a_3=r_0^2,a_4=1---\left(19\right)$

$b_1=\frac{1}{{r_0}^2}(u-1),b_2=(2\ln r_0+3+2u\ln r_0+u),b_3=(2+2u),b_4=0---\left(20\right)$

$c_1=\frac{1}{{r_1}^2}(u-1),c_2=(2\ln r_1+3+2u\ln r_1+u),c_3=(2+2u),c_4=0---\left(21\right)$

$d_1=-\frac{3}{r_1}-\ln r_1,d_2=(2r_1\ln r_1+5r_1)-{r_1}^2\ln r_1,d_3=2r_1-{r_1}^2,d_4=-1---\left(22\right)$

A,B,C和D通过矩阵行列式求解，求解过程如下：

$A=\frac{{\mathrm{\Δ}}_1}{{\mathrm{\Δ}}_0},B=\frac{{\mathrm{\Δ}}_2}{{\mathrm{\Δ}}_0},C=\frac{{\mathrm{\Δ}}_3}{{\mathrm{\Δ}}_0},D=\frac{{\mathrm{\Δ}}_4}{{\mathrm{\Δ}}_0}---\left(23\right)$

${\mathrm{\Δ}}_0=\left|\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& a_3& a_4\\ b_1& b_2& b_3& b_4\\ c_1& c_2& c_3& c_4\\ d_1& d_2& d_3& d_4\end{array}\right|{\mathrm{\Δ}}_1=\left|\begin{array}{cccc}{a}_0& a_2& a_3& a_4\\ b_0& b_2& b_3& b_4\\ c_0& c_2& c_3& c_4\\ d_0& d_2& d_3& d_4\end{array}\right|{\mathrm{\Δ}}_2=\left|\begin{array}{cccc}{a}_1& a_0& a_3& a_4\\ b_1& b_0& b_3& b_4\\ c_1& c_0& c_3& c_4\\ d_1& d_0& d_3& d_4\end{array}\right|$

${\mathrm{\Δ}}_3=\left|\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& a_0& a_4\\ b_1& b_2& b_0& b_4\\ c_1& c_2& c_0& c_4\\ d_1& d_2& d_0& d_4\end{array}\right|{\mathrm{\Δ}}_4=\left|\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& a_3& a_0\\ b_1& b_2& b_3& b_0\\ c_1& c_2& c_3& c_0\\ d_1& d_2& d_3& d_0\end{array}\right|---\left(24\right)$

求得四个系数如下所示：

$A=-\frac{1}{(1-\mathrm{\μ})\left(\frac{1}{r_0^2-{r_1}^2}\right)}\[-\frac{(3+u)(q_j-q_{j+1})(r_0^2-{r_1}^2)}{16D_j}+\frac{(1+\mathrm{\μ})(q_j-q_{j+1}){r_1}^2\ln \frac{r_0}{r_1}}{4D_j}\]---\left(25\right)$

$B=-\frac{(q_j-q_{j+1}){r_1}^2}{8D_j}---\left(26\right)$

$\begin{array}{c}C=\frac{1}{2(1+\mathrm{\μ})}\{\frac{(3+\mathrm{\μ})(q_j-q_{j+1)}(r_0^2-2{r_1}^2)}{16}-\frac{(1+\mathrm{\μ})(q_j-q_{j+1}){r_1}^2{\mathrm{lnr}}_0}{4}+\\ \frac{1}{(1-\frac{r_0^2}{{r_1}^2})}\[-\frac{(3+\mathrm{\μ})(q_j-q_{j+1})(r_0^2-{r_1}^2)}{16}\frac{(1+\mathrm{\μ})(q_j-q_{j+1}){r_1}^2\ln \frac{r_0}{r_1}}{4}\]\}\end{array}---\left(27\right)$

$D=-\frac{(q_j-q_{j+1}){r_0}^4}{64D_j}-A\ln r_0-{\mathrm{Br}}_0^2\ln r_0-{\mathrm{Cr}}_0^2---\left(28\right)$

结合位移连续条件列写出载荷与挠度、承载力和热应变的关系如下所示：

$q_j=E_{Cu}\left(\mathrm{\Δ}\right(\mathrm{\α}T)+\frac{w_{j-1}\left(r\right)-w_j\left(r\right)}{t}-\frac{Q_j}{E_E\·\mathrm{\π}({r_1}^2-r_0^2)\·t})---\left(29\right)$

其中

Q_j＝q_j·2π·r₀·t (30)

步骤五：结合边界条件确定外部焊盘与镀层结合处应力最大，针对此处给出最大应力解析结果。将应力最大处载荷大小和边界条件代入步骤四获得的待定系数具体值。在步骤四获得的载荷与挠度、承载力和热应变的关系基础上，确定轴向应力；根据弯矩计算径向应力和环向应力；根据米塞斯等效应力计算公式计算等效应力，从而获得最大应力解析表达式。求解过程如下所示。

由边界条件确定：q₁＝0,w₁(r₀)＝w₂(r₀)＝0

代入式(31)可得：

$q_2=\frac{E_{Cu}\mathrm{\Δ}\mathrm{\α}T}{1+\frac{E_{Cu}2r_{0}t}{E_E({r_1}^2-{r_0}^2)}}---\left(31\right)$

从而可以确定待定系数的具体值如下所示：

$A=-\frac{1}{(1-\mathrm{\μ})\left(\frac{1}{r_0^2-{r_1}^2}\right)}\[\frac{E_{Cu}\mathrm{\Δ}\mathrm{\α}T(3+u)(r_0^2-{r_1}^2)}{16D_1\[1+\frac{E_{Cu}2r_{0}t}{E_E({r_1}^2-{r_0}^2)}\]}-\frac{E_{Cu}\mathrm{\Δ}\mathrm{\α}T(1+u){r_1}^2\ln \frac{r_0}{r_1}}{4D_1\[1+\frac{E_{Cu}2r_{0}t}{E_E({r_1}^2-{r_0}^2)}\]}\]---\left(32\right)$

$B=\frac{E_{Cu}{{\mathrm{\Δ\αTr}}_1}^2}{8\[1+\frac{E_{Cu}2r_{0}t}{E_E({r_1}^2-{r_0}^2)}\]D_1}---\left(33\right)$

$\begin{array}{c}C=\frac{1}{2(1+\mathrm{\μ})}\·\frac{E_{Cu}\mathrm{\Δ}\mathrm{\α}T}{1+\frac{E_{Cu}2r_{0}t}{E_E({r_1}^2-{r_0}^2)}}\{-\frac{(3+\mathrm{\μ})\left(r_0^2-2{r_1}^2\right)}{16}+\frac{(1+\mathrm{\μ}){r_1}^2{\mathrm{lnr}}_0}{4}+\\ \frac{1}{(1-\frac{r_0^2}{{r_1}^2})}\[\frac{(3+\mathrm{\μ})(r_0^2-{r_1}^2)}{16}-\frac{(1+\mathrm{\μ}){r_1}^2\ln \frac{r_0}{r_1}}{4}\]\}\end{array}---\left(34\right)$

径向和环向的弯矩方程为：

$\begin{array}{c}{M}_r\left(r_0\right)={\left(M_x\right)}_{\mathrm{\θ}=0}=-D_1\[\frac{d^{2}w\left(r\right)}{{\mathrm{dr}}^2}+\frac{u}{r}\frac{dw\left(t\right)}{dr}\]{|}_{r=r_0}\\ =-D_1\[\frac{A}{r_0^2}(1-u)+\frac{uB\ln r_0}{r_0}+\frac{B(1+u)}{r_0}+2C(1+u)\]\end{array}---\left(35\right)$

$\begin{array}{c}{M}_{\mathrm{\θ}}\left(r_0\right)={\left(M_y\right)}_{\mathrm{\θ}=0}=-D_1\[\frac{1}{r}\frac{dw}{dr}+u\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}\]{|}_{r=r_0}\\ =-D_1\[\frac{A(1-u)}{r_0^2}+\frac{B\ln r_0}{r_0}+\frac{B(1+u)}{r_0}+2C(1+u)\]\end{array}---\left(36\right)$

其中

$D_1=\frac{E_{Cu}{t}^3}{12(1-u^2)}---\left(37\right)$

径向正应力σ_r和环向正应力σ_θ分别与M_r、M_θ成正比，表达式如(38)和(39)所示。

${\mathrm{\σ}}_r\left(r_0\right)=\frac{6M_r\left(r_0\right)}{t^2}=-\frac{E_{Cu}t}{2(1-u^2)}\[\frac{A}{r_0^2}(1-u)+\frac{uB\ln r_0}{r_0}+\frac{B(1+u)}{r_0}+2C(1+u)\]---\left(38\right)$

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}\left(r_0\right)=\frac{6M_{\mathrm{\θ}}\left(r_0\right)}{t^2}=-\frac{E_{Cu}t}{2(1-u^2)}\[\frac{A(1-u)}{r_0^2}+\frac{B\ln r_0}{r_0}+\frac{B(1+u)}{r_0}+2C(1+u)\]---\left(39\right)$

轴向正应力为：

${\mathrm{\σ}}_z\left(r_0\right)=-q_2=\frac{-E_{Cu}\mathrm{\Δ}\mathrm{\α}T}{1+\frac{E_{Cu}\·2r_{0}r}{E_E({r_0}^2-r_0^2)}}---\left(40\right)$

利用von Mises等效应力作为失效判据，von Mises等效应力为：

${\mathrm{\σ}}_{von}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\[{({\mathrm{\σ}}_r-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}})}^2+{({\mathrm{\σ}}_z-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}})}^2+{({\mathrm{\σ}}_r-{\mathrm{\σ}}_z)}^2\]}---\left(41\right)$

步骤六：建立应力和应变之间的关系，用于评估镀通孔寿命。根据图4所示的应力应变关系图，可知在弹性范围内，应力和应变成正比，利用应力和弹性模量即可确定应变大小；在塑性范围内，应力和应变的关系等效为以屈服应力为界，呈不同比例系数的正比关系，分别计算不同比例系数下对应的应变大小，求和即可确定总应变大小

多层板镀通孔弹性和塑性范围内的应变解析表达式为：

$\mathrm{\&Delta;}\mathrm{\&epsiv;}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{von}}{E_{Cu}}& {\mathrm{\&sigma;}}_{von}<S_Y\\ \frac{S_Y}{E_{Cu}}+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{von}-S_Y}{E_{{\mathrm{Cu}}^{\&prime;}}}& {\mathrm{\&sigma;}}_{von}>S_Y\end{array}\right.---\left(42\right)$

其中σ_von为步骤四(41)式获得的von Mises等效应力；

步骤五获得的式(41)和步骤六获得的式(42)构成了多层印制电路板镀通孔应力-应变模型。

Claims (9)

1.一种基于梁结构的多层印制电路板镀通孔应力-应变模型建立方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤一：将多层印制电路板镀通孔结构简化为轴对称的梁结构，包括基板、镀层、内部焊盘和外部焊盘四部分，基于轴对称的梁结构建立初步的假设条件；

其中，步骤一中建立的假设条件为：(1)各基板层厚度相等，板层材料为FR-4环氧玻纤布；(2)镀层和焊盘材料为铜，且厚度相等，焊盘半径都相等；(3)结构中的温度分布是均匀的；(4)镀层材料遵循应力/应变图；(5)焊盘、镀层和基板材料是线弹性；

步骤二：把内部和外部焊盘结构看做环形圆板并受到均布载荷，其中外部焊盘外部载荷为零；设影响镀通孔变形的印制电路板部分是一个空心圆柱，内径等于孔径，外径等于焊盘直径，并设内径简支和外径自由；

步骤三：基于内部和外部焊盘均布载荷的假设条件列写出内部和外部焊盘满足的力学线性非齐次常微分方程，求解挠度的通解表达式，其中通解表达式包括四个待定系数A,B,C和D；

其中，力学常微分方程为：

$\frac{d}{dr}\left(r\frac{d}{dr}\right(\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{d}{dr}{w}_j\right)\left)\right)=\frac{r}{D_j}(q_j-q_{j+1})---\left(1\right)$

其中，r为沿镀通孔径向的位置坐标；w_j为j层焊盘挠度；D_j为j层焊盘刚度；q_j为(j-1)和j层焊盘间的基板载荷；q_j+1为j和(j+1)层焊盘间的基板载荷；

步骤四：基于内径简支和外径自由的条件列写出四个边界条件，利用边界条件求解待定系数A,B,C和D表达式，然后结合位移连续条件列写出载荷与挠度、承载力和热应变的关系；

其中，四个边界条件为：(1)因为内径简支，在r＝r₀处挠度为零；(2)因为内径简支，在r＝r₀处弯矩为零；(3)因为外径自由，在r＝r₁处弯矩为零；(4)因为外径自由，在r＝r₁处剪力为零；如下式所示：

w_j(r₀)＝0 (12)

$\frac{d^2}{{\mathrm{dr}}^2}{w}_j\left(r_0\right)+\frac{u}{r_0}\frac{d}{dr}{w}_j\left(r_0\right)=0---\left(13\right)$

$\frac{d^2}{{\mathrm{dr}}^2}{w}_j\left(r_1\right)+\frac{u}{r_1}\frac{d}{dr}{w}_j\left(r_1\right)=0---\left(14\right)$

$r_1^2\frac{d^3}{{\mathrm{dr}}^3}{w}_j\left(r_1\right)+r_1\frac{d^2}{{\mathrm{dr}}^2}{w}_j\left(r_1\right)-w_j\left(r_1\right)=0---\left(15\right)$

其中，r₀为孔半径；r₁为焊盘半径；u为铜材料的泊松比；

步骤五：结合边界条件确定应力最大处待定系数的具体值，然后根据弯矩计算径向应力和环向应力，根据载荷与挠度、承载力和热应变的关系计算轴向应力，根据米塞斯等效应力计算公式计算等效应力；

步骤六：根据镀层材料的线弹性和线塑性应力-应变关系，计算多层印制电路板镀通孔弹性和塑性范围内的应变解析表达式，建立出基于梁结构的多层印制电路板镀通孔应力-应变模型。

2.根据权利要求1所述的一种基于梁结构的多层印制电路板镀通孔应力-应变模型建立方法，其特征在于：步骤一中所述的“将多层印制电路板镀通孔结构简化为轴对称的梁结构”，其简化方法为将整个镀通孔看做一个空心圆柱，共包括外部焊盘、内部焊盘、镀层和基板四部分，其中内部焊盘结构是由内表面和无功能焊盘等效而得，外部焊盘与内部焊盘直径相等，各基板厚度相等。

3.根据权利要求1所述的一种基于梁结构的多层印制电路板镀通孔应力-应变模型建立方法，其特征在于：步骤三中所述的“求解挠度的通解表达式”，其求解步骤如下：(1)将线性非齐次常微分程的通解表示为线性齐次常微分方程通解和特解之和；(2)利用换原法得到线性齐次常微分方程的特征方程；(3)根据(2)获得的特征方程，利用拉普拉斯变换获得通解表达式；(4)利用四次积分获得特解表达式；(5)将线性齐次常微分方程通解与特解相加即获得挠度通解表达式。

4.根据权利要求1所述的一种基于梁结构的多层印制电路板镀通孔应力-应变模型建立方法，其特征在于：步骤四中所述的“利用边界条件求解待定系数A,B,C和D表达式”，其求解步骤如下：(1)分别对步骤三获得的挠度通解表达式求一阶至三阶导，代入四个边界条件；(2)将四个线性方程表示为矩阵形式，从而获得对应的系数矩阵；(3)利用系数矩阵的行列式计算A,B,C和D的表达式。

5.根据权利要求1所述的一种基于梁结构的多层印制电路板镀通孔应力-应变模型建立方法，其特征在于：步骤五中所述的“结合边界条件确定应力最大处待定系数的具体值”，其确定方法为将应力最大处载荷大小和边界条件代入步骤四获得的待定系数表达式。

6.根据权利要求1所述的一种基于梁结构的多层印制电路板镀通孔应力-应变模型建立方法，其特征在于：步骤五中所述的“根据弯矩计算径向应力和环向应力”，其计算步骤为：(1)根据挠度和弯曲刚度确定径向和环向弯矩大小；(2)根据径向和环向弯矩确定径向应力和环向应力。

7.根据权利要求1所述的一种基于梁结构的多层印制电路板镀通孔应力-应变模型建立方法，其特征在于：步骤五中所述的“根据载荷与挠度、承载力和热应变的关系计算轴向应力”，其计算方法为：将应力最大处载荷和挠度大小代入载荷与挠度、承载力和热应变的关系获得应力最大处两侧载荷大小，两侧载荷之差即为轴向应力。

8.根据权利要求1所述的一种基于梁结构的多层印制电路板镀通孔应力-应变模型建立方法，其特征在于：步骤六中所述的“计算多层印制电路板镀通孔弹性和塑性范围内的应变解析表达式”，其计算方法：(1)在弹性范围内，应力和应变成正比，利用应力和弹性模量即可确定应变大小；(2)在塑性范围内，应力和应变的关系等效为以屈服应力为界，呈不同比例系数的正比关系，分别计算不同比例系数下对应的应变大小，求和即可确定总应变大小。

9.根据权利要求1所述的一种基于梁结构的多层印制电路板镀通孔应力-应变模型建立方法，其特征在于：步骤六中所述的“建立出基于梁结构的多层印制电路板镀通孔应力-应变模型”，其建立方法为：步骤五获得的等效应力表达式和步骤六获得的弹塑性范围内的应变表达式即构成了多层印制电路板镀通孔应力-应变模型。