CN103729542B - 一种多跑道多滑行道大型机场地势优化设计系统及方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种多跑道多滑行道大型机场地势优化设计系统及方法，该系统包括：自动优选单元、自动计算单元、自动绘制单元、交互式单元；设计方法的步骤为：采用空间连续扭曲面来表示机场的地势设计表面；采用非线性数学规划把坡度等设计变量和技术指标概括到一个数学模型中；运用起作用约束集法求解得到机场的设计坡度和控制点高程。本发明在安哥拉首都新罗安达国际机场、西安咸阳国际机场等国内外近百个机场的地势设计中，应用本发明和传统的断面法或方格法比较，可以在不降低任何飞机起降要求的前提下，节省机场设计土方量15%左右，设计进度可以由1月左右提高到10天左右，且明显提高图面质量。

Description

一种多跑道多滑行道大型机场地势优化设计系统及方法

技术领域

本发明属于机场建设领域，尤其涉及一种多跑道多滑行道大型机场地势优化设计系统及方法。

背景技术

机场地势设计是整个机场工程设计中的一个重要的组成部分，在机场场道工程设计中，机场地势设计的周期最长，设计工作量最大，机场地势设计的任务就是设计出一个合理的飞行场地地势表面，在满足飞机起飞、着陆、滑跑安全要求的前提下，使飞行场区内平整作业时的土石方工程量为最小。

长期以来，我国机场地势设计主要沿用公路、铁路选线用的设计方法——“断面法”设计，由于公路、铁路都是横向尺寸小，而纵向很长，所以，它们的横向影响相对较小。机场的宽度相对来说比公路、铁路要宽得多，飞行场地的长度和宽度之比不太大，它的横向影响较大，因此，用“断面法”进行机场地势设计会产生较大的误差，用这种方法所确定的设计方案的质量主要取决于设计技术人员的经验和判断能力，为了得到较好的设计方案，设计人员往往需要从几个凭主观直觉拟定的比较方案中用淘汰的办法来求得，所以，很难得到最优设计方案，而且，会产生技术标准要求得不到满足这样的严重后果。

根据近年来机场修建的情况来看，一个机场的土石方工程量通常为几百万m³，多的甚至超过数千万m³；土石方工程的投资费用约占机场场道工程总投资的百分之三十左右(有的达到百分之六十以上)，而地势设计得好坏很容易使土石方工程投资相差几十万元、几百万元，甚至上亿元，而且，地势设计的成果对机场总体、道面、排水都有较大影响，尤其与机场排水密切相关，稍不注意就会造成机场排水困难。对机场的后期使用效果密切相关。

但是，现有的机场土石方工程投资高，设计人员进行反复计算和绘图的负担高，设计周期长，设计质量低。

发明内容

本发明的目的在于利用一种多跑道多滑行道大型机场地势优化设计系统及方法，旨在解决新建和改建的多跑道多滑行道机场的机场土石方工程投资高，设计人员进行反复计算和绘图的负担高，设计周期长，设计质量低的问题。

本发明的目的在于提供一种多跑道多滑行道大型机场地势优化设计系统，该多跑道多滑行道大型机场地势优化设计系统包括：自动优选单元、自动计算单元、自动绘制单元、交互式单元；

用于满足给定技术标准要求的最佳的飞行场区表面设计坡度的自动优选单元；

用于计算出飞行场区内及边坡部分放坡的土石方工程量，并按照挖填比或弃借土要求进行调整设计,使全场土石方工程量达到挖、填平衡的自动计算单元；

用于绘制出飞行场区原地面等高线图、飞行场区原地面及设计面的三维透视图、飞行场区设计面等高线图、飞行场区设计面高程坡度控制图、飞行场区任意方格线位置的纵断面图、飞行场区任意方格线位置的横断面图、飞行场区方格网土方工程图、自动进行机场土方最优调配，并绘制出机场土方调配图的自动绘制单元；

用于进行飞行场区原地面方格网测量高程校对及修改设计、进行飞行场区设计面高程修改设计、进行土方调配区划分，自动计算出各调配区需调运的土方量的交互式单元。

本发明的目的在于提供一种多跑道多滑行道大型机场地势优化设计方法，

采用空间连续扭曲面来表示飞行场地设计表面；将设计坡度和控制标高等设计变量作为控制机场表面形状的主要指标；采用非线性规划概括现行军航和民航的坡度、变坡、视距等技术指标，以设计表面最接近天然地面为目标，建立起兼容多跑道多滑行道机场的地势优化设计的数学模型；运用起作用约束集法求解模型得到机场的设计坡度和控制点高程。

进一步，所述飞行场地的几何模型是以设计坡度和控制点高程为控制变量的空间连续扭曲面，兼容多跑道多滑行道的机场。

进一步，飞行场地的几何模型的具体方法为：对于飞行场区内任一给定的方格网点k，设其平面坐标为(x_k，y_k)，天然地面的高程为z_k，设计高程为h_k，则

当x_k＜0时，有

当x_k≥0时，有

其中，e_ij(i＝0，1，…，l；j＝0，1，…，m)为设计变量，为了便于表示，不妨设

x＝(x₁,…,x_n)^T＝(e₀₀,…,e_0m,e₁₀,…,e_1m,…,e_l0,…,e_lm)^T

其中，n＝(l+1)×(m+1)为飞行场地设计表面控制变量个数。

则飞行场区内任一方格网点的设计高程h_k都可以表示为x_r(r＝1，…，n)的线性函数。用一般形式表示为：

h_k＝a_k1x₁+a_k2x₂+…+a_knx_n(k＝1，2，…，N) (1)

N为飞行场区内方格点总数，

设h＝(h₁,h₂,…,h_N)^T为飞行场区内各方格网点的设计高程向量，

则上面各式可用矩阵表示为

或用向量表示为

h＝Ax (3)

其中，

A为设计矩阵，其各元素的值均为非负，大小由飞行场区内各方格网点的平面坐标及飞行场地表面的坡段规划情况来决定。

进一步，所述机场地势优化设计的数学模型是一个以设计坡度和控制点高程为变量、以设计表面最接近天然地面为目标、以现行军航和民航技术指标为约束条件的非线性规划问题。可以表示为：

进一步，所述机场地势优化设计的数学模型的最优解可以通过“起作用集法”将设计模型转换为以设计坡度和控制点标高为变量的线性方程组,

确定算法步骤如下：

第1步：形成矩阵G和向量r,

第2步：确定初始起作用集F⁽¹⁾,

不妨设F⁽¹⁾＝{1，2，…，e，e+1，…，e+s},其中，前e个约束条件为等式约束；后s个约束条件为初始起作用的不等式约束可以进行更换,这里，初始起作用不等式约束可以从最大坡度要求或最小坡度要求的约束条件中选取,

第3步：用Lagrange乘子法求解

得初始解x⁽¹⁾及其相应的乘子向量此时x⁽¹⁾肯定是可行域边界上的点,

第4步：求出后s个乘子分量的最小值,即令

如果λ_q≥0，则由最优解的判别准则得知：x⁽¹⁾是问题(Ⅰ)的整体最优解，于是，转向第10步；

如果λ_q＜0，则表明第q个约束(肯定是不等式约束)不是最优解x^＊处的起作用约束，应该解除，即进行第5步,

第5步：解除与λ_q相对应的不等式约束的边界条件,即令再用Lagrange乘子法求解

得解及其相应的乘子向量

第6步：检查是否满足所有的不等式约束条件,

如果所有的不等式约束都得到满足，说明是可行点，而且,必有于是，置s＝s－1，转到第4步,

否则，说明不是可行点，则进行第7步,

第7步：确定搜索方向d。即令

第8步：确定步长α，令x⁽²⁾＝x⁽¹⁾+αd,

所确定的步长α必须保证解得的x⁽²⁾为可行域边界上的点，可以采用下述方法来确定。

第9步：令即增加约束条件置F⁽¹⁾＝F⁽²⁾，s＝s+1，转到第3步；

第10步：输出最优解

进一步，所述机场地势优化设计的数值分析用“乔列斯基分解法”求解找出最佳设计方案，得到设计坡度和控制点标高，即得到机场地势设计方案。

进一步，所述建立机场地势优化设计数学模型的方法包括以下步骤：

确定地势优化设计的目标函数；

确定地势优化设计的约束函数；

建立地势优化设计的数学模型。

进一步，地势优化设计的目标函数获得具体法法为：

飞行场区内任一方格网点的设计标高都可以表示为设计变量的线性函数，即

h＝Ax

设z＝(z₁,z₂,…,z_N)^T为飞行场区内各方格网点的天然标高向量；

v＝(v₁,v₂,…,v_N)^T为飞行场区内各方格网点的填挖标高向量；

其中，

v_k＝h_k-z_k(k＝1，…，N) (5)

则

v＝h-z＝Ax-z (6)

因此，根据最小二乘法原理，目标函数可取为：

其中p_k为方格网点k的权系数，表示该方格点对土方计算的影响程度，通常用方格点所影响的土方计算面积来表示，

p₁＝0

点1代表了飞行场区以外的方格点，它不影响飞行场地表面最优设计方案的选择，因此，它的权系数为零；点2、3、4分别代表了飞行场地边界上不同位置处的方格点；点5代表了飞行场区内的方格点，

设

则目标函数式(7)可表示如下：

min g(x)＝v^TPv (8)

将式(6)代入式(8)得

min g(x)＝v^TPv＝(Ax-z)^TP(Ax-z)

＝x^T(A^TPA)x-2z^TPAx+z^TPz (9)

设

f(x)＝g(x)-z^TPz (10)

G＝2A^TPA (11)

r＝2A^TPz (12)

则目标函数式(9)等价于

可以证明：G＝2A^TPA是一个n×n阶的正定对称矩阵，其证明过程如下：

对称性证明：

∵G^T＝(2A^TPA)^T＝2(A^T)(P^T)(A^T)^T

＝2A^TPA＝G

∴G是一个对称矩阵

正定性证明：

由式(1)得：

将式(5)、式(14)代入式(7)得

即

又由式(9)得：

比较式(15)和式(16)得：

∵恒大于零

∴由矩阵正定的定义可知：G是一个正定矩阵，

因此，G是一个n×n阶的正定对称矩阵；

当G是一个正定对称矩阵时，目标函数是一个严格凸二次函数。

进一步，地势优化设计的约束函数具体算法为：

在进行最优方案选择时，对各设计变量x_r(r＝1，…，n)还必须增加一些约束条件，这些约束条件可分为等式约束和不等式约束两大类。

本发明提供的多跑道多滑行道大型机场地势优化设计系统及方法，通过采用现代数学技术与机场设计技术相结合，对“机场地势设计优化”问题从理论到应用进行全面而深入细致的研究，建立了一套成功的设计技术；本发明建立了适应多跑道多滑行道机场的地势设计空间连续扭曲面几何模型，以设计坡度和控制点高程作为设计变量，建立相应的机场地势优化设计的数学模型，采用现代数学手段建立了求解方法，针对坡度、变坡、视距等设计参数，应用最优化技术，实现了大型机场地势优化设计；由于飞机在跑道上滑跑的速度比在滑行道上滑行的速度要大得多，跑道纵断面线型的技术标准要求比滑行道纵断面线型的技术标准要求要高得多，这种几何模型的优点是数学表达容易解决和处理，特别是基于设计坡度和控制点高程的设计变量少，最优解的求解速度快；工程优化设计的需求使得通过把机场地势优化设计的数学模型扩展到大型机场的情况，解决了多种构型的机场地势设计优化的数学问题。本发明解决了多跑道多滑行道大型复杂机场地势优化问题，能自动优选出满足给定技术标准要求的最佳的飞行场区表面设计坡度(能够处理具有4条跑道或滑行道的特大型机场)；能自动计算出飞行场区内及边坡部分放坡的土石方工程量(包括高填土区及侧净空处理区域)，并按照挖填比(或弃借土)要求进行调整设计,使全场土石方工程量达到挖、填平衡；能自动绘制出飞行场区原地面等高线图；能交互式进行飞行场区原地面方格网测量高程校对及修改设计；能自动绘制出飞行场区原地面及设计面的三维透视图(包括边坡联结面及侧净空处理区域)；能自动绘制出飞行场区设计面等高线图(包括边坡联结面及侧净空处理区域)；能交互式进行飞行场区设计面高程修改设计；能自动绘制出飞行场区设计面高程坡度控制图；能自动绘制出飞行场区任意方格线位置的纵断面图(包括竖曲线设计)；能自动绘制出飞行场区任意方格线位置的横断面图；能自动绘制出飞行场区方格网土方工程图(包括边坡联结面及侧净空处理区域)；能交互式进行土方调配区划分，自动计算出各调配区需调运的土方量；能自动进行机场土方最优调配，并绘制出机场土方调配图；本发明已先后被应用于西安咸阳国际机场、成都双流国际机场、安哥拉新罗安达机场等约一百个机场的选址、科研、设计，本发明计算准确可靠，使用方便；对于新建机场，同断面法相比，应用本发明可以节省土石方工程投资费用百分之十五左右；此外，本发明还可以大大加快设计进度，明显提高图面质量。

附图说明

图1是本发明实施例提供的多跑道多滑行道大型机场地势优化设计方法的实现流程图；

图2是本发明实施例提供的建立机场地势优化设计数学模型的方法流程图；

图3是本发明实施例提供的几何模型应用于双滑行道一跑道；

图4是本发明实施例提供的几何模型应用于双跑道一滑行道。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

本发明的多跑道多滑行道大型机场地势优化设计系统，该多跑道多滑行道大型机场地势优化设计系统包括：自动优选单元、自动计算单元、自动绘制单元、交互式单元；

用于满足给定技术标准要求的最佳的飞行场区表面设计坡度的自动优选单元；

用于计算出飞行场区内及边坡部分放坡的土石方工程量，并按照挖填比或弃借土要求进行调整设计,使全场土石方工程量达到挖、填平衡的自动计算单元；

用于绘制出飞行场区原地面等高线图、飞行场区原地面及设计面的三维透视图、飞行场区设计面等高线图、飞行场区设计面高程坡度控制图、飞行场区任意方格线位置的纵断面图、飞行场区任意方格线位置的横断面图、飞行场区方格网土方工程图、自动进行机场土方最优调配，并绘制出机场土方调配图的自动绘制单元；

用于进行飞行场区原地面方格网测量高程校对及修改设计、进行飞行场区设计面高程修改设计、进行土方调配区划分，自动计算出各调配区需调运的土方量的交互式单元。

本发明实施例提供了一种多跑道多滑行道大型机场地势优化设计方法，

采用空间连续扭曲面来表示飞行场地设计表面；将设计坡度和控制标高等设计变量作为控制机场表面形状的主要指标；采用非线性规划概括现行军航和民航的坡度、变坡、视距等技术指标，以设计表面最接近天然地面为目标，建立起兼容多跑道多滑行道机场的地势优化设计的数学模型；运用起作用约束集法求解模型得到机场的设计坡度和控制点高程。

作为本发明实施例的一优化方案，飞行场地的几何模型是以设计坡度和控制点高程为控制变量的空间连续扭曲面，兼容多跑道多滑行道的机场。

作为本发明实施例的一优化方案，飞行场地的几何模型的具体方法为：对于飞行场区内任一给定的方格网点k，设其平面坐标为(x_k，y_k)，天然地面的高程为z_k，设计高程为h_k，则

当x_k＜0时，有

当x_k≥0时，有

其中，e_ij(i＝0，1，…，l；j＝0，1，…，m)为设计变量，为了便于表示，不妨设

x＝(x₁,…,x_n)^T＝(e₀₀,…,e_0m,e₁₀,…,e_1m,…,e_l0,…,e_lm)^T

其中，n＝(l+1)×(m+1)为飞行场地设计表面控制变量个数。

则飞行场区内任一方格网点的设计高程h_k都可以表示为x_r(r＝1，…，n)的线性函数。用一般形式表示为：

h_k＝a_k1x₁+a_k2x₂+…+a_knx_n(k＝1，2，…，N) (1)

N为飞行场区内方格点总数，

设h＝(h₁,h₂,…,h_N)^T为飞行场区内各方格网点的设计高程向量，

则上面各式可用矩阵表示为

或用向量表示为

h＝Ax (3)

其中，

A为设计矩阵，其各元素的值均为非负，大小由飞行场区内各方格网点的平面坐标及飞行场地表面的坡段规划情况来决定。

作为本发明实施例的一优化方案，机场地势优化设计的数学模型是一个以设计坡度和控制点高程为变量、以设计表面最接近天然地面为目标、以现行军航和民航技术指标为约束条件的非线性规划问题。可以表示为：

作为本发明实施例的一优化方案，机场地势优化设计的数学模型的最优解可以通过“起作用集法”将设计模型转换为以设计坡度和控制点标高为变量的线性方程组,

确定算法步骤如下：

第1步：形成矩阵G和向量r,

第2步：确定初始起作用集F⁽¹⁾,

不妨设F⁽¹⁾＝{1，2，…，e，e+1，…，e+s},其中，前e个约束条件为等式约束；后s个约束条件为初始起作用的不等式约束可以进行更换,这里，初始起作用不等式约束可以从最大坡度要求或最小坡度要求的约束条件中选取,

第3步：用Lagrange乘子法求解

得初始解x⁽¹⁾及其相应的乘子向量此时x⁽¹⁾肯定是可行域边界上的点,

第4步：求出后s个乘子分量的最小值,即令

如果λ_q≥0，则由最优解的判别准则得知：x⁽¹⁾是问题(Ⅰ)的整体最优解，于是，转向第10步；

如果λ_q＜0，则表明第q个约束(肯定是不等式约束)不是最优解x^＊处的起作用约束，应该解除，即进行第5步,

第5步：解除与λ_q相对应的不等式约束的边界条件,即令再用Lagrange乘子法求解

得解及其相应的乘子向量

第6步：检查是否满足所有的不等式约束条件,

如果所有的不等式约束都得到满足，说明是可行点，而且,必有于是，置s＝s－1，转到第4步,

否则，说明不是可行点，则进行第7步,

第7步：确定搜索方向d。即令

第8步：确定步长α，令x⁽²⁾＝x⁽¹⁾+αd，

所确定的步长α必须保证解得的x⁽²⁾为可行域边界上的点，可以采用下述方法来确定：

令

这是因为不是可行点，即在可行域的外面，而x⁽¹⁾在可行域的边界上或在可行域的内部,由于目标函数是正定二次函数，并且有所以，从x⁽¹⁾出发沿方向前进至的过程中，目标函数f(x)是逐渐下降的，又由于可行域是凸集，所以，在到达之前必然会遇到某个不等式约束的边界,设它最先遇到的不等式约束边界是第p个不等式约束并记相应的交点为x⁽²⁾；则

x⁽²⁾＝x⁽¹⁾+αd

由于x⁽²⁾在第p个不等式约束的边界上，所以，有即

由上式可得：

第9步：令即增加约束条件置F⁽¹⁾＝F⁽²⁾，s＝s+1，转到第3步；

第10步：输出最优解

作为本发明实施例的一优化方案，机场地势优化设计的数值分析用“乔列斯基分解法”求解找出最佳设计方案，得到设计坡度和控制点标高，即得到机场地势设计方案；

具体的算法为：通过反复求解下列形式的线性方程组来获得最优解,

现设

其中

则原方程组可表示为

Ke＝f

或

LDL^Te＝f

设

DL^Te＝y

则上面方程组等价于：

其中

y＝(y₁，y₂，…，y_n，y_n+1，…，y_n+t)^T

由

将右边矩阵逐项展开，并令等式两边矩阵各对应元素相等可得：

按照公式(35)、(36)逐项推算，可以求得L和D,

于是由Ly＝f可以求得：

由公式(37)、(38)逐项推算，可以求得：

y＝(y₁，y₂，…，y_n，y_n+1，…，y_n+t)^T

再由DL^Te＝y可以求得：

由公式(39)逐项推算，可以求得：

e＝(x₁,x₂,…,x_n,λ₁,λ₂,…,λ_t)^T

由于K是一个对称矩阵，故在计算机的内存中只需存贮下三角的元素就行了,从公式(35)、(36)中可以看出：求出d_ii和l_ij后，g_ii和g_ij就不需要再保留了，所以，它们所占用的存贮单元可以用来存放d_ii和l_ij,同理，b_ij和l_(n+i)j可以用同一个存贮单元,即

从公式(35)、(37)中可以看出d_ii和l_ij只与g_ij有关，而与b_ij无关，y_i只与r_i有关，而与c_i无关,由于在最优解的寻找过程中，g_ij和r_i是始终保持不变的，只是约束条件有所变化，即b_ij和c_i是不断变化的。

作为本发明实施例的一优化方案，建立机场地势优化设计数学模型的方法包括以下步骤：

确定地势优化设计的目标函数；

确定地势优化设计的约束函数；

建立地势优化设计的数学模型。

作为本发明实施例的一优化方案，地势优化设计的目标函数获得具体法法为：

飞行场区内任一方格网点的设计标高都可以表示为设计变量的线性函数，即

h＝Ax

设z＝(z₁,z₂,…,z_N)^T为飞行场区内各方格网点的天然标高向量；

v＝(v₁,v₂,…,v_N)^T为飞行场区内各方格网点的填挖标高向量；

其中，

v_k＝h_k-z_k(k＝1，…，N) (5)

则

v＝h-z＝Ax-z (6)

因此，根据最小二乘法原理，目标函数可取为：

其中p_k为方格网点k的权系数，表示该方格点对土方计算的影响程度，通常用方格点所影响的土方计算面积来表示，

p₁＝0

点1代表了飞行场区以外的方格点，它不影响飞行场地表面最优设计方案的选择，因此，它的权系数为零；点2、3、4分别代表了飞行场地边界上不同位置处的方格点；点5代表了飞行场区内的方格点，

设

则目标函数式(7)可表示如下：

min g(x)＝v^TPv (8)

将式(6)代入式(8)得

min g(x)＝v^TPv＝(Ax-z)^TP(Ax-z)

＝x^T(A^TPA)x-2z^TPAx+z^TPz (9)

设

f(x)＝g(x)-z^TPz (10)

G＝2A^TPA (11)

r＝2A^TPz (12)

则目标函数式(9)等价于

可以证明：G＝2A^TPA是一个n×n阶的正定对称矩阵，其证明过程如下：

对称性证明：

∵G^T＝(2A^TPA)^T＝2(A^T)(P^T)(A^T)^T

＝2A^TPA＝G

∴G是一个对称矩阵

正定性证明：

由式(1)得：

将式(5)、式(14)代入式(7)得

即

又由式(9)得：

比较式(15)和式(16)得：

∵恒大于零

∴由矩阵正定的定义可知：G是一个正定矩阵，

因此，G是一个n×n阶的正定对称矩阵；

当G是一个正定对称矩阵时，目标函数是一个严格凸二次函数。

作为本发明实施例的一优化方案，地势优化设计的约束函数具体算法为：

在进行最优方案选择时，对各设计变量x_r(r＝1，…，n)还必须增加一些约束条件，这些约束条件可分为等式约束和不等式约束两大类：

等式约束函数：相邻纵向坡度相等要求

在实际设计时，通常采用合二为一的办法，即使跑道或滑行道相邻两段纵向坡度值相等，从而使两段较短的坡段合并为一个较长的坡段，

①主跑道相邻纵坡相等要求可表示为：

e_0j＝e_0(j+1)j∈{1，2，…，m-1}

或

e_0j-e_0(j+1)＝0j∈{1，2，…，m-1}

②滑行道1相邻纵坡相等要求可表示为：

S_j＝S_j+1j∈{1，2，…，m-1}

或

S_j-S_j+1＝0j∈{1，2，…，m-1}

其中Sj表示滑行道第j段纵向坡度，它是设计变量的线性函数，设滑行道轴线位置的横向坐标为ft，则Sj可表示为：

③滑行道2或跑道2相邻纵坡相等要求可表示为：

SS_j＝SS_j+1j∈{1，2，…，m-1}

或

SS_j-SS_j+1＝0j∈{1，2，…，m-1}

其中SS_j表示滑行道2或跑道2第j段纵向坡度，它是设计变量的线性函数，设滑行道2或跑道2轴线位置的横向坐标为f_tt，当tt〉p时则SS_j可表示为：

当tt<p时则SS_j可表示为：

相邻横向坡度相等要求，在实际设计时，跑道或滑行道的横向坡度通常要求从左到右保持不变，即相邻两个横向坡度要求相等，设计要求均可表示如下：

e_ij＝e_i(j+1)j∈{0，1，…，m-1}；i∈{1，…，l}

或

e_ij－e_i(j+1)＝0j∈{0，1，…，m-1}；i∈{1，…，l}

设计横坡对称双坡要求，跑道或滑行道的横坡通常要求是对称双坡，即沿轴线两侧横坡值相等，坡度方向相反，设计要求可表示为：

e_ij＝e_(i+1)j j∈{0，1，…，m}；i∈{1，…，l-1}

或

e_ij－e_(i+1)j＝0j∈{0，1，…，m}；i∈{1，…，l-1}

设计高程控制要求，在实际设计时，有时要求某些控制点的设计高程等于指定的标高，设计要求可以表示为：

a_k1x₁+…+a_knx_n＝H_k k∈{1，…，N}

或

a_k1x₁+…+a_knx_n-H_k＝0k∈{1，…，N}

所有上述等式约束均可表示为：

式中：b_i＝(b_i1，b_i2，…，b_im)^T i∈E

E——等式约束集合；

e——所有等式约束个数；

不等式约束函数：横向坡度最大最小值要求

为了保证飞机在飞行场区内活动的安全，防止土质表面被雨水冲刷，必须对飞行场地各横向坡度的最大值加以限制，即

e_ij≤e_ijmax(i＝1，…，l；j＝0，…，m)

或

e_ij－e_ijmax≤0(i＝1，…，l；j＝0，…，m)

同时，为了满足飞行场区排水的要求，对飞行场地各横向坡度的最小值也必须加以限制。即

e_ij≥e_ijmin(i＝1，…，l；j＝0，…，m)

或

－e_ij+e_ijmin≤0(i＝1，…，l；j＝0，…，m)

主跑道纵坡最大最小值要求：

①主跑道纵向坡度的最大值要求可表示为：

e_0j≤e_0jmax(j＝1，…，m)

或

e_0j－e_0jmax≤0(j＝1，…，m)

②跑道纵向坡度的最小值要求可表示为：

e_0j≥e_0jmin(j＝1，…，m)

或

－e_0j+e_0jmin≤0(j＝1，…，m)

滑行道1纵坡最大最小值要求:

①滑行道纵向坡度的最大值要求可表示为：

S_j≤S_jmax(j＝1，…，m)

或

S_j－S_jmax≤0(j＝1，…，m)

②滑行道纵向坡度的最小值要求可表示为：

S_j≥S_jmin(j＝1，…，m)

或

－S_j+S_jmin≤0(j＝1，…，m)

其中S_j表示滑行道第j段纵向坡度，它是设计变量的线性函数,详见式(17),

滑行道2或跑道2纵坡最大最小值要求:

①滑行道纵向坡度的最大值要求可表示为：

SS_j≤SS_jmax(j＝1，…，m)

或

SS_j－SS_jmax≤0(j＝1，…，m)

②滑行道纵向坡度的最小值要求可表示为：

SS_j≥SS_jmin(j＝1，…，m)

或

－SS_j+SS_jmin≤0(j＝1，…，m)

其中SS_j表示滑行道第j段纵向坡度，它是设计变量的线性函数；

主跑道变坡值限制要求:飞机在滑跑过程中，当机轮通过变坡点时，起落架上就会产生附加荷载，附加荷载的大小与飞机滑跑的速度以及变坡值的大小成正比,为了保证飞机在跑道上滑跑时有足够的滑跑速度，同时，又必须保证飞机的安全(起落架不受损伤)以及飞机上的人员不致于产生很不舒服的感觉，必须限制跑道变坡值的大小,即

|e_0j－e_0(j+1)|≤Δip(j＝1，…，m-1)

或

当e_0j－e_0(j+1)≥0时，e_0j－e_0(j+1)≤Δip

当e_0j－e_0(j+1)＜0时，－e_0j+e_0(j+1)≤Δip

其中Δip表示跑道许可的最大变坡值。

滑行道1变坡值限制要求:与跑道情况类似，滑行道的变坡值大小也必须加以限制。即

|S_j－S_j+1|≤Δit(j＝1，…，m-1)

或

当S_j－S_j+1≥0时，S_j－S_j+1≤Δit

当S_j－S_j+1＜0时，－S_j+S_j+1≤Δit

其中Δit表示滑行道许可的最大变坡值。Sj表示滑行道第j段纵向坡度，它是设计变量的线性函数，详见式(17),

滑行道2或跑道2变坡值限制要求:与主跑道情况类似，滑行道2或跑道2的变坡值大小也必须加以限制,即

|SS_j－SS_j+1|≤Δit(j＝1，…，m-1)

或

当SS_j－SS_j+1≥0时，SS_j－SS_j+1≤Δit

当SS_j－SS_j+1＜0时，－SS_j+SS_j+1≤Δit

其中Δit表示滑行道许可的最大变坡值。SSj表示滑行道第j段纵向坡度，它是设计变量的线性函数，

主跑道通视距离要求：跑道通视距离简称视距。视距要求可分为两类，即

A.同一条跑道上两架飞机上的飞行员的通视距离不得小于规定长度；

B.飞机在跑道上滑跑时，飞行员所能看到的前方跑道道面的距离不得小于规定长度。

根据跑道纵向坡度的坡段长度情况，视距条件可分为相邻两段纵坡的视距要求、相邻三段纵坡的视距要求以及相邻四、五、…、K段纵坡的视距要求,

跑道A类相邻三段纵坡的视距要求。

H为飞行员眼睛距离道面的高度；Lpa为跑道A类视距长度,

当飞机在跑道上滑行到距离变坡点ym时，A类相邻三段纵坡的视距要求可表示为：

其中

显然，ΔH₁和ΔH₂也可以表示为设计变量的线性函数,

为了找到飞机滑跑时视距的最不利位置，不妨求出ΔH₁和ΔH₂的最大值,

令得

即当y＝y₁时，ΔH₁取得极大值ΔH_1max，，表明该位置是视距的最不利位置,

同理，令得

即当y＝y₂时，ΔH₂取得极大值ΔH_2max，表明该位置也是视距的最不利位置,

跑道A类相邻三段纵坡的视距约束函数可表示为：

其中ΔH_1max，ΔH_2max均可表示为设计变量的线性函数，如式(20)以及式(22)所示,

同理可以推导出跑道A类相邻四、五、…、K段纵坡视距的约束函数,

②跑道B类相邻三段纵坡的视距要求,

Lpb为跑道B类视距长度,则跑道B类相邻三段纵坡的视距要求可表示为：

其中

ΔH₁＝(L_pb-l_j+1)[e_0j-e_0(j+1)]+L_pb[e_0(j+1)-e_0(j+2)]

ΔH₂＝L_pb[e_0j-e_0(j+1)]+(L_pb-l_j+1)[e_0(j+1)-e_0(j+2)]

或

同理可以导出跑道B类相邻四、五、…、K段纵坡视距的约束函数,

滑行道通视距离要求：与跑道通视距离相类似，滑行道通视距离要求也可分为A、B两类,滑行道的视距约束条件也可以分为相邻二、三、四、…、K段纵坡的视距要求,

①滑行道A类相邻三段纵坡的视距要求,

设Lha为滑行道A类视距长度,则滑行道A类相邻三段纵坡的视距要求可表示为：

其中

令得

即当y＝y₁时，ΔH₁取得极大值ΔH_1max。

同理，令得

即当y＝y₂时，ΔH₂取得极大值ΔH_2max,

其中，

因此，滑行道A类相邻三段纵坡视距的约束函数可表示为：

其中ΔH_1max，ΔH_2max均可表示为设计变量的线性函数，如公式(25)以及公式(27)所示,

同理可以推导出滑行道A类相邻四、五、…、K段纵坡视距的约束函数；

②滑行道B类相邻三段纵坡的视距要求:设Lhb为滑行道B类视距长度；

则滑行道B类相邻三段纵坡的视距要求可表示为：

其中

ΔH₁＝(L_hb-l_j+1)(S_j-S_j+1)+L_hb(S_j+1-S_j+2)

ΔH₂＝L_hb(S_j-S_j+1)+(L_hb-l_j+1)(S_j+1-S_j+2)

或

同理可以导出滑行道B类相邻四、五、…、K段纵坡视距的约束函数,

滑行道2和跑道2视距的要求方法相似,

最低设计高程的要求:为了满足机场总体设计、道面设计以及排水设计的要求，有时必须要求某一个方格点的设计高程不得低于规定的最低设计高程,这样的约束条件可表示为

a_k1x₁+a_k2x₂+…+a_knx_n≥H_kmin k∈{1，…，N}

或

-a_k1x₁-a_k2x₂-…-a_knx_n+H_kmin≤0k∈{1，…，N}

所有上述不等式约束都可以表示为：

其中，

b_j＝(b_j1,b_j2,…,b_jn)^T j∈U＝{e+1，e+2，…，e+u}

式中，U——不等式约束集；

u——所有不等式约束个数；地势优化设计的数学模型:

综合上面所述，由式(13)、式(18)、式(32)得机场地势优化设计的数学模型可以表示为：

其中，G＝2A^TPA是一个n×n阶的正定对称矩阵；

r＝2A^TPz是一个n维向量；

设

G＝(g_ij)_n×n

r＝(r₁,r₂,…,r_n)^T

则

问题(Ⅰ)的目标函数是一个正定二次函数，约束函数均为线性函数，这类优化设计问题在数学规划中称之为严格凸二次规划问题。

以下参照附图，对本发明实施例多跑道多滑行道大型机场地势优化设计方法的工艺流程作进一步详细描述。

如图1所示，本发明实施例的多跑道多滑行道大型机场地势优化设计方法包括以下步骤：

在步骤S101中，建立飞行场地设计表面的几何模型；为了适应未来发展的需要，研究并提出了一种新的飞行场地设计表面几何模型，这种几何模型是以跑道轴线为纵向主要设计控制线，并以这条控制线为基线向跑道两侧展开，沿跑道轴线选取若干个横断面作为飞行场地表面的横向设计控制线，各横向设计控制线之间的飞行场地设计表面为扭曲面，其设计标高通过双线性内插确定，这种几何模型的优点是比较容易使飞行场地设计表面逼近天然地面，不管天然地面有多么复杂；而且，其数学表达式也不难解决和处理，由此优选出来的飞行场地设计表面才是真正的最优设计方案，它将产生更为显著的经济效益，其主要缺点是由于设计变量成倍增加，最优解的求解时间也相应地成倍增加，近年来，随着计算机技术的发展，计算机的运行速度和内存容量都有了明显的提高，而且，今后还会继续得到提高，所以，这个缺点是可以得到弥补的，因此，这是一个非常理想的飞行场地设计表面几何模型；

在步骤S102中，建立机场地势优化设计的数学模型；

以设计表面最接近天然地面为目标，以现行军航、民航的坡度、变坡、视距等技术指标为约束条件，机场地势优化设计的数学模型可以表示为：

在步骤S103中，研究机场地势优化设计的求解方法；

机场地势优化设计的数学模型是一个严格的凸二次规划问题。它的最优解可以通过“起作用集法”求解获得；

在步骤S104中，研究机场地势优化设计的数值分析方法；

用“起作用集法”求解的核心就是通过不断调整起作用约束集，反复求解线性方程组，最后找出最优解x^＊处的起作用约束集F^*，从而获得最优解x^＊，事实上，在求解过程中，大部分时间是花在反复求解线性方程组上的，因此，为了节省内存，减少计算时间，加快求解速度，有必要对线性方程组的解法进行研究，以便针对问题的特殊性，找出最有效的求解方法。

本发明的多跑道多滑行道大型机场地势优化设计系统，该多跑道多滑行道大型机场地势优化设计系统包括：自动优选单元、自动计算单元、自动绘制单元、交互式单元；

用于满足给定技术标准要求的最佳的飞行场区表面设计坡度的自动优选单元；

用于计算出飞行场区内及边坡部分放坡的土石方工程量，并按照挖填比或弃借土要求进行调整设计,使全场土石方工程量达到挖、填平衡的自动计算单元；

用于绘制出飞行场区原地面等高线图、飞行场区原地面及设计面的三维透视图、飞行场区设计面等高线图、飞行场区设计面高程坡度控制图、飞行场区任意方格线位置的纵断面图、飞行场区任意方格线位置的横断面图、飞行场区方格网土方工程图、自动进行机场土方最优调配，并绘制出机场土方调配图的自动绘制单元；

用于进行飞行场区原地面方格网测量高程校对及修改设计、进行飞行场区设计面高程修改设计、进行土方调配区划分，自动计算出各调配区需调运的土方量的交互式单元。

如图2所示的本发明实施案例提供的建立机场地势优化设计数学模型的方法，该方法包括：

在步骤S1021中，确定地势优化设计的目标函数；

优化的目的是使飞行场区内的土石方工程量为最小，也就是说，使飞行场地设计表面与天然地面尽可能接近，因此，根据最小二乘法原理，目标函数可取为：

在步骤S1022中，确定地势优化设计的约束函数；包括一些等式约束和不等式约束；

在步骤S1023中，建立地势优化设计的数学模型。

本发明的工作原理为：

一、建立飞行场地设计表面的几何模型

当今世界各国的大型机场平面构型很多，这些多跑道多滑行道的构型主要有以下几种类型：单条跑道单条滑行道；平行跑道、平行滑行道；交叉跑道；开口V型跑道等。

从容量和交通管制的观点来看，单向跑道(单跑道和平行多跑道)是可取的。如果其他条件相同，这种跑道构型的容量比其他构型都大。对空中交通管制来说，引导飞机在单向跑道运行不像其他构型复杂。我国目前修建和准备修建的多跑道均是这一类。

通过对国内外平行多跑道的机场构型分析，可以知道大多数机场是由具有平行单跑道和双滑行道、单跑道双滑行道及单滑行道单跑道的三种形式的组合。

机场地势优化设计的目的就是确定一个合理的飞行场地地势设计表面，在满足使用要求的前提下使土石方工程量为最小。这个设计表面选择什么样的几何模型并用数学式表达出来，这是首先需要解决的问题。模型描述得越细致就越能逼近天然地形，但数学的表达就越困难；几何模型简单一些，描述就粗糙一些，数学表达也就容易解决和处理。即滑行道的纵断面线型与跑道的纵断面线型完全一致，这样的设计称为标准断面设计。为了适应未来发展的需要，研究并提出了一种新的飞行场地设计表面几何模型，如图1所示。这种几何模型是以跑道轴线为纵向主要设计控制线，并以这条控制线为基线向跑道两侧展开。沿跑道轴线选取若干个横断面作为飞行场地表面的横向设计控制线。各横向设计控制线之间的飞行场地设计表面为扭曲面，其设计标高通过双线性内插确定。

x轴表示飞行场地的横向坐标；

y轴表示飞行场地的纵向坐标(即跑道轴线)；

l、m分别表示x、y方向的坡段个数；

e₀₀表示跑道轴线上坐标原点的设计高程；

e_0j(j＝1，…，m)表示跑道轴线上的纵向坡度；

e_ij(i＝1，…，l；j＝0，1，…，m)表示飞行场地各控制横断面的横向坡度。

将以上模型应用于双滑行道一跑道时，有两种情况。如图3：

将以上模型应用于双跑道一滑行道时，有两种情况。如图4：

根据这样的几何模型得到的飞行场地设计表面事实上是一个曲面，它是由一系列空间连续扭曲面组合而成的。这样飞行场地设计表面在不同的纵、横断面位置将具有不同的纵、横断面线型。这样的设计称之为非标准断面设计。这种几何模型的优点是比较容易使飞行场地设计表面逼近天然地面，不管天然地面有多么复杂；而且，其数学表达式也不难解决和处理。由此优选出来的飞行场地设计表面才是真正的最优设计方案，它将产生更为显著的经济效益。其主要缺点是由于设计变量成倍增加，最优解的求解时间也相应地成倍增加。近年来，随着计算机技术的发展，计算机的运行速度和内存容量都有了明显的提高，而且，今后还会继续得到提高，所以，这个缺点是可以得到弥补的。因此，这是一个非常理想的飞行场地设计表面几何模型。

根据上述飞行场地表面设计几何模型，对于飞行场区内任一给定的方格网点k，设其平面坐标为(x_k，y_k)，天然地面的高程为z_k，设计高程为h_k，则

当x_k＜0时，有

当x_k≥0时，有

其中，e_ij(i＝0，1，…，l；j＝0，1，…，m)为设计变量。为了便于表示，不妨设

x＝(x₁,…,x_n)^T＝(e₀₀,…,e_0m,e₁₀,…,e_1m,…,e_l0,…,e_lm)^T

其中，n＝(l+1)×(m+1)为飞行场地设计表面控制变量个数。

则飞行场区内任一方格网点的设计高程h_k都可以表示为x_r(r＝1，…，n)的线性函数。用一般形式表示为：

h_k＝a_k1x₁+a_k2x₂+…+a_knx_n(k＝1，2，…，N)(1)

N为飞行场区内方格点总数。

设h＝(h₁,h₂,…,h_N)^T为飞行场区内各方格网点的设计高程向量。

则上面各式可用矩阵表示为

或用向量表示为

h＝Ax (3)

其中，

A为设计矩阵，其各元素的值均为非负，大小由飞行场区内各方格网点的平面坐标及飞行场地表面的坡段规划情况来决定。

二、建立机场地势优化设计的数学模型

(1)地势优化设计的目标函数

如上所述，飞行场区内任一方格网点的设计标高都可以表示为设计变量的线性函数。即

h＝Ax

设z＝(z₁,z₂,…,z_N)^T为飞行场区内各方格网点的天然标高向量；

v＝(v₁,v₂,…,v_N)^T为飞行场区内各方格网点的填挖标高向量；

其中，

v_k＝h_k-z_k(k＝1，…，N) (5)

则

v＝h-z＝Ax-z (6)

我们优化的目的是使飞行场区内的土石方工程量为最小，也就是说，使飞行场地设计表面与天然地面尽可能接近。因此，根据最小二乘法原理，目标函数可取为：

其中p_k为方格网点k的权系数，表示该方格点对土方计算的影响程度，通常用方格点所影响的土方计算面积来表示：

p₁＝0

点1代表了飞行场区以外的方格点，它不影响飞行场地表面最优设计方案的选择，因此，它的权系数为零；点2、3、4分别代表了飞行场地边界上不同位置处的方格点；点5代表了飞行场区内的方格点。

设

则目标函数式(7)可表示如下：

min g(x)＝v^TPv (8)

将式(6)代入式(8)得

min g(x)＝v^TPv＝(Ax-z)^TP(Ax-z)

＝x^T(A^TPA)x-2z^TPAx+z^TPz (9)

设

f(x)＝g(x)-z^TPz (10)

G＝2A^TPA (11)

r＝2A^TPz (12)

则目标函数式(9)等价于

可以证明：G＝2A^TPA是一个n×n阶的正定对称矩阵。其证明过程如下：

对称性证明：

∵G^T＝(2A^TPA)^T＝2(A^T)(P^T)(A^T)^T

＝2A^TPA＝G

∴G是一个对称矩阵

正定性证明：

由式(1)得：

将式(5)、式(14)代入式(7)得

即

又由式(9)得：

比较式(15)和式(16)得：

∵恒大于零

∴由矩阵正定的定义可知：G是一个正定矩阵。

因此，G是一个n×n阶的正定对称矩阵。

当G是一个正定对称矩阵时，目标函数是一个严格凸二次函数。

(2)地势优化设计的约束函数

由于实际飞行场地设计表面必须符合设计技术标准的要求。所以，在进行最优方案选择时，对各设计变量x_r(r＝1，…，n)还必须增加一些约束条件。这些约束条件可分为等式约束和不等式约束两大类。

等式约束函数：

1、相邻纵向坡度相等要求

为了改善跑道或滑行道的纵断面设计线型，使其满足纵向最小变坡间距的要求，在实际设计时，通常采用合二为一的办法。即使跑道或滑行道相邻两段纵向坡度值相等，从而使两段较短的坡段合并为一个较长的坡段。

①主跑道(跑道1)相邻纵坡相等要求可表示为：

e_0j＝e_0(j+1)j∈{1，2，…，m-1}

或

e_0j-e_0(j+1)＝0j∈{1，2，…，m-1}

②滑行道1相邻纵坡相等要求可表示为：

S_j＝S_j+1j∈{1，2，…，m-1}

或

S_j-S_j+1＝0j∈{1，2，…，m-1}

其中Sj表示滑行道第j段纵向坡度，它是设计变量的线性函数。如图1所示。设滑行道轴线位置的横向坐标为ft，则Sj可表示为：

③滑行道2或跑道2相邻纵坡相等要求可表示为：

SS_j＝SS_j+1j∈{1，2，…，m-1}

或

SS_j-SS_j+1＝0j∈{1，2，…，m-1}

其中SS_j表示滑行道2或跑道2第j段纵向坡度，它是设计变量的线性函数。设滑行道2或跑道2轴线位置的横向坐标为f_tt，当tt〉p时则SS_j可表示为：

当tt<p时则SS_j可表示为：

2、相邻横向坡度相等要求

在实际设计时，跑道或滑行道的横向坡度通常要求从左到右保持不变，即相邻两个横向坡度要求相等。类似这样的设计要求均可表示如下：

e_ij＝e_i(j+1)j∈{0，1，…，m-1}；i∈{1，…，l}

或

e_ij－e_i(j+1)＝0j∈{0，1，…，m-1}；i∈{1，…，l}

3、设计横坡对称双坡要求

跑道或滑行道的横坡通常要求是对称双坡，即沿轴线两侧横坡值相等，坡度方向相反。这样的设计要求可表示为：

e_ij＝e_(i+1)j j∈{0，1，…，m}；i∈{1，…，l-1}

或

e_ij－e_(i+1)j＝0j∈{0，1，…，m}；i∈{1，…，l-1}

4、设计高程控制要求

在实际设计时，有时要求某些控制点的设计高程等于指定的标高。这样的设计要求可以表示为：

a_k1x₁+…+a_knx_n＝H_k k∈{1，…，N}

或

a_k1x₁+…+a_knx_n-H_k＝0k∈{1，…，N}

所有上述等式约束均可表示为：

式中：b_i＝(b_i1，b_i2，…，b_im)^T i∈E

E——等式约束集合；

e——所有等式约束个数。

不等式约束函数：

1、横向坡度最大最小值要求

为了保证飞机在飞行场区内活动的安全，防止土质表面被雨水冲刷，必须对飞行场地各横向坡度的最大值加以限制。即

e_ij≤e_ijmax(i＝1，…，l；j＝0，…，m)

或

e_ij－e_ijmax≤0(i＝1，…，l；j＝0，…，m)

同时，为了满足飞行场区排水的要求，对飞行场地各横向坡度的最小值也必须加以限制。即

e_ij≥e_ijmin(i＝1，…，l；j＝0，…，m)

或

－e_ij+e_ijmin≤0(i＝1，…，l；j＝0，…，m)

2、主跑道纵坡最大最小值要求

①主跑道纵向坡度的最大值要求可表示为：

e_0j≤e_0jmax(j＝1，…，m)

或

e_0j－e_0jmax≤0(j＝1，…，m)

②跑道纵向坡度的最小值要求可表示为：

e_0j≥e_0jmin(j＝1，…，m)

或

－e_0j+e_0jmin≤0(j＝1，…，m)

3、滑行道1纵坡最大最小值要求

①滑行道纵向坡度的最大值要求可表示为：

S_j≤S_jmax(j＝1，…，m)

或

S_j－S_jmax≤0(j＝1，…，m)

②滑行道纵向坡度的最小值要求可表示为：

S_j≥S_jmin(j＝1，…，m)

或

－S_j+S_jmin≤0(j＝1，…，m)

其中S_j表示滑行道第j段纵向坡度，它是设计变量的线性函数。详见式(17)。

4、滑行道2或跑道2纵坡最大最小值要求

①滑行道纵向坡度的最大值要求可表示为：

SS_j≤SS_jmax(j＝1，…，m)

或

SS_j－SS_jmax≤0(j＝1，…，m)

②滑行道纵向坡度的最小值要求可表示为：

SS_j≥SS_jmin(j＝1，…，m)

或

－SS_j+SS_jmin≤0(j＝1，…，m)

其中SS_j表示滑行道第j段纵向坡度，它是设计变量的线性函数。

5、主跑道变坡值限制要求

飞机在滑跑过程中，当机轮通过变坡点时，起落架上就会产生附加荷载，附加荷载的大小与飞机滑跑的速度以及变坡值的大小成正比。为了保证飞机在跑道上滑跑时有足够的滑跑速度，同时，又必须保证飞机的安全(起落架不受损伤)以及飞机上的人员不致于产生很不舒服的感觉，必须限制跑道变坡值的大小。即

|e_0j－e_0(j+1)|≤Δip(j＝1，…，m-1)

或

当e_0j－e_0(j+1)≥0时，e_0j－e_0(j+1)≤Δip

当e_0j－e_0(j+1)＜0时，－e_0j+e_0(j+1)≤Δip

其中Δip表示跑道许可的最大变坡值。

6、滑行道1变坡值限制要求

与跑道情况类似，滑行道的变坡值大小也必须加以限制。即

|S_j－S_j+1|≤Δit(j＝1，…，m-1)

或

当S_j－S_j+1≥0时，S_j－S_j+1≤Δit

当S_j－S_j+1＜0时，－S_j+S_j+1≤Δit

其中Δit表示滑行道许可的最大变坡值。Sj表示滑行道第j段纵向坡度，它是设计变量的线性函数，详见式(17)。

7、滑行道2或跑道2变坡值限制要求

与主跑道情况类似，滑行道2或跑道2的变坡值大小也必须加以限制。即

|SS_j－SS_j+1|≤Δit(j＝1，…，m-1)

或

当SS_j－SS_j+1≥0时，SS_j－SS_j+1≤Δit

当SS_j－SS_j+1＜0时，－SS_j+SS_j+1≤Δit

其中Δit表示滑行道许可的最大变坡值。SSj表示滑行道第j段纵向坡度，它是设计变量的线性函数，

8、主跑道通视距离要求：

跑道通视距离简称视距。视距要求可分为两类，即

A.同一条跑道上两架飞机上的飞行员的通视距离不得小于规定长度(通常为半条跑道长度)；

B.飞机在跑道上滑跑时，飞行员所能看到的前方跑道道面的距离不得小于规定长度(通常为500m)。

根据跑道纵向坡度的坡段长度情况，视距条件可分为相邻两段纵坡的视距要求、相邻三段纵坡的视距要求以及相邻四、五、…、K段纵坡的视距要求。

跑道A类相邻三段纵坡的视距要求。

H为飞行员眼睛距离道面的高度；Lpa为跑道A类视距长度。

当飞机在跑道上滑行到距离变坡点ym时，A类相邻三段纵坡的视距要求可表示为：

其中

显然，ΔH₁和ΔH₂也可以表示为设计变量的线性函数。

飞机在跑道上滑行到不同位置时，飞行员所能看到前方的视距长度是不一样的。如果飞机滑行到视距的最不利位置时，上述不等式约束条件能够得到满足的话，飞机在跑道上滑行到任意位置时，A类相邻三段纵坡的视距要求均能得到满足。因此，为了找到飞机滑跑时视距的最不利位置，不妨求出ΔH₁和ΔH₂的最大值。

令得

即当y＝y₁时，ΔH₁取得极大值ΔH_1max，，表明该位置是视距的最不利位置。

同理，令得

即当y＝y₂时，ΔH₂取得极大值ΔH_2max，表明该位置也是视距的最不利位置。

当飞机滑行到上述两个视距的最不利位置时，视距长度都能得到满足的话，表明A类相邻三段纵坡的视距要求可以满足。所以，没有必要对每一位置都进行视距长度检查。

因此，跑道A类相邻三段纵坡的视距约束函数可表示为：

其中ΔH_1max，ΔH_2max均可表示为设计变量的线性函数，如式(20)以及式(22)所示。

同理可以推导出跑道A类相邻四、五、…、K段纵坡视距的约束函数。

②跑道B类相邻三段纵坡的视距要求。

Lpb为跑道B类视距长度,则跑道B类相邻三段纵坡的视距要求可表示为：

其中

ΔH₁＝(L_pb-l_j+1)[e_0j-e_0(j+1)]+L_pb[e_0(j+1)-e_0(j+2)]

ΔH₂＝L_pb[e_0j-e_0(j+1)]+(L_pb-l_j+1)[e_0(j+1)-e_0(j+2)]

或

同理可以导出跑道B类相邻四、五、…、K段纵坡视距的约束函数。

9、滑行道通视距离要求：

与跑道通视距离相类似，滑行道通视距离要求也可分为A、B两类。滑行道的视距约束条件也可以分为相邻二、三、四、…、K段纵坡的视距要求。其推导过程与跑道的情况类似。

①滑行道A类相邻三段纵坡的视距要求。

设Lha为滑行道A类视距长度,则滑行道A类相邻三段纵坡的视距要求可表示为：

其中

令得

即当y＝y₁时，ΔH₁取得极大值ΔH_1max。

同理，令得

即当y＝y₂时，ΔH₂取得极大值ΔH_2max。

其中，

因此，滑行道A类相邻三段纵坡视距的约束函数可表示为：

其中ΔH_1max，ΔH_2max均可表示为设计变量的线性函数，如公式(25)以及公式(27)所示。

同理可以推导出滑行道A类相邻四、五、…、K段纵坡视距的约束函数。

②滑行道B类相邻三段纵坡的视距要求。

设Lhb为滑行道B类视距长度；

则滑行道B类相邻三段纵坡的视距要求可表示为：

其中

ΔH₁＝(L_hb-l_j+1)(S_j-S_j+1)+L_hb(S_j+1-S_j+2)

ΔH₂＝L_hb(S_j-S_j+1)+(L_hb-l_j+1)(S_j+1-S_j+2)

或

同理可以导出滑行道B类相邻四、五、…、K段纵坡视距的约束函数。

滑行道2和跑道2视距的要求方法相似。

10、最低设计高程的要求

为了满足机场总体设计、道面设计以及排水设计的要求，有时必须要求某一个(或一些)方格点的设计高程不得低于规定的最低设计高程。这样的约束条件可表示为

a_k1x₁+a_k2x₂+…+a_knx_n≥H_kmin k∈{1，…，N}

或

-a_k1x₁-a_k2x₂-…-a_knx_n+H_kmin≤0k∈{1，…，N}

所有上述不等式约束都可以表示为：

其中，

b_j＝(b_j1,b_j2,…,b_jn)^T j∈U＝{e+1，e+2，…，e+u}

式中，U——不等式约束集；

u——所有不等式约束个数。

地势优化设计的数学模型:

综合上面所述，由式(13)、式(18)、式(32)得机场地势优化设计的数学模型可以表示为：

其中，G＝2A^TPA是一个n×n阶的正定对称矩阵；

r＝2A^TPz是一个n维向量；

设

G＝(g_ij)_n×n

r＝(r₁,r₂,…,r_n)^T

则

问题(Ⅰ)的目标函数是一个正定二次函数，约束函数均为线性函数，这类优化设计问题在数学规划中称之为严格凸二次规划问题。

三、机场地势优化设计的求解方法

机场地势优化设计的数学模型是一个严格的凸二次规划问题。它的最优解可以通过“起作用集法”求解获得。

只要能找到最优解x＊处的起作用约束集F*，就可以用Lagrange乘子法求解等式约束问题得到最优解x^＊及其相应的乘子向量λ^*。现在的问题在于怎样才能找到最优解x^＊处的起作用约束集F^*。机场地势优化设计的约束条件多达上千个，究竟哪些约束是起作用约束，哪些约束又是可以自然满足的(不起作用的约束)呢？最优解x^＊处的起作用约束具有什么特征呢？即最优解的判别准则是什么呢？

事实上，最优解的判别准则：i∈F^*∩U

也就是说，对应于起作用的不等式约束的乘子为非负。

有了上述判别准则，就可以构造出一种算法来寻找最优解x^＊处的起作用约束集F^*，由此可以找到最优解x^＊。起作用集法就是这样的一种算法。

用起作用集法求解的基本思想是这样的：

先在可行域的边界上找一个初始可行点x⁽¹⁾，并找出该点处的初始起作用约束集F⁽¹⁾。然后，采用Lagrange乘子法求解出初始起作用约束(等式约束)条件下的最优解x⁽¹⁾及其相应的乘子向量λ⁽¹⁾，再根据乘子向量λ⁽¹⁾各分量的符号来判别x⁽¹⁾是否是整体最优解。如果x⁽¹⁾不是整体最优解，则按照使目标函数值能够下降的原则，通过适当解除(或增加)某个(或某些)约束条件的办法，对起作用集不断进行调整，使之最后变为F^*，这样就可以得到所求问题的整体最优解x^＊。

根据上述指导思想并结合机场地势优化设计的特点，确定算法步骤如下：

第1步：形成矩阵G和向量r。

第2步：确定初始起作用集F⁽¹⁾。

不妨设F⁽¹⁾＝{1，2，…，e，e+1，…，e+s}。其中，前e个约束条件为等式约束(必须满足，肯定是起作用约束，并且始终保持不变)；后s个约束条件为初始起作用的不等式约束(可以进行更换)。这里，初始起作用不等式约束可以从最大坡度要求(或最小坡度要求)的约束条件中选取。

第3步：用Lagrange乘子法求解

得初始解x⁽¹⁾及其相应的乘子向量此时x⁽¹⁾肯定是可行域边界上的点。

第4步：求出后s个乘子分量的最小值。即令

如果λ_q≥0，则由最优解的判别准则得知：x⁽¹⁾是问题(Ⅰ)的整体最优解，于是，转向第10步；

如果λ_q＜0，则表明第q个约束(肯定是不等式约束)不是最优解x^＊处的起作用约束，应该解除，即进行第5步。

第5步：解除与λ_q相对应的不等式约束的边界条件。即令再用Lagrange乘子法求解

得解及其相应的乘子向量

第6步：检查是否满足所有的不等式约束条件。

如果所有的不等式约束都得到满足，说明是可行点，而且,必有于是，置s＝s－1，转到第4步。

否则，说明不是可行点，则进行第7步。

第7步：确定搜索方向d。即令

第8步：确定步长α，令x⁽²⁾＝x⁽¹⁾+αd。

所确定的步长α必须保证解得的x⁽²⁾为可行域边界上的点，可以采用下述方法来确定：

令

这是因为不是可行点，即在可行域的外面，而x⁽¹⁾在可行域的边界上(或在可行域的内部)。由于目标函数是正定二次函数，并且有f(x⁽¹⁾)≤f(x⁽¹⁾)，所以，从x⁽¹⁾出发沿方向前进至的过程中，目标函数f(x)是逐渐下降的，又由于可行域是凸集，所以，在到达之前必然会遇到某个(或某些)不等式约束的边界。设它最先遇到的不等式约束边界是第p个不等式约束并记相应的交点为x⁽²⁾。则

x⁽²⁾＝x⁽¹⁾+αd

由于x⁽²⁾在第p个不等式约束的边界上，所以，有即

由上式可得：

第9步：令即增加约束条件置F⁽¹⁾＝F⁽²⁾，s＝s+1，转到第3步。

第10步：输出最优解

四、采用“乔列斯基分解”数值分析方法求解简化后的方程组

机场地势优化设计问题是一个严格凸二次规划问题，它可以用“起作用集法”来求解。用“起作用集法”求解的核心就是通过不断调整起作用约束集，反复求解线性方程组，最后找出最优解x^＊处的起作用约束集F*，从而获得最优解x^＊。事实上，在求解过程中，大部分时间是花在反复求解线性方程组上的。因此，为了节省内存，减少计算时间，加快求解速度，有必要对线性方程组的解法进行研究，以便针对问题的特殊性，找出最有效的求解方法。

根据前面的分析研究，我们知道，严格凸二次规划问题的求解最后归结为：即通过反复求解下列形式的线性方程组来获得最优解。

现设

其中

则原方程组可表示为

Ke＝f

或

LDL^Te＝f

设

DL^Te＝y

则上面方程组等价于：

其中

y＝(y₁，y₂，…，y_n，y_n+1，…，y_n+t)^T

由

将右边矩阵逐项展开，并令等式两边矩阵各对应元素相等可得：

按照公式(35)、(36)逐项推算，可以求得L和D。

于是由Ly＝f可以求得：

由公式(37)、(38)逐项推算，可以求得：

y＝(y₁，y₂，…，y_n，y_n+1，…，y_n+t)^T

再由DL^Te＝y可以求得：

由公式(39)逐项推算，可以求得：

e＝(x₁,x₂,…,x_n,λ₁,λ₂,…,λ_t)^T

由于K是一个对称矩阵，故在计算机的内存中只需存贮下三角的元素就行了。从公式(35)、(36)中可以看出：求出d_ii和l_ij后，g_ii和g_ij就不需要再保留了，所以，它们所占用的存贮单元可以用来存放d_ii和l_ij。同理，b_ij和l_(n+i)j可以用同一个存贮单元。即

从公式(35)、(37)中可以看出d_ii和l_ij只与g_ij有关，而与b_ij无关，y_i只与r_i有关，而与c_i无关。由于在最优解的寻找过程中，g_ij和r_i是始终保持不变的，只是约束条件有所变化，即b_ij和c_i是不断变化的。因此，在最优解的求解过程中，d_ii、l_ij以及y_i是始终保持不变的。所以，在进行第二次及以后各次线性方程组的求解时，d_ii、l_ij以及y_i的计算工作量可以省去。因而使最优解的求解时间可以大大缩短。

与高斯消去法相比，采用上述求解方法解严格凸二次规划问题，所需计算机的内存空间可减少约60％，即只需原来的存贮单元的百分之四十，最优解的求解时间约可缩短一半。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种多跑道多滑行道大型机场地势优化设计系统，其特征在于，该多跑道多滑行道大型机场地势优化设计系统包括：

用于满足给定技术标准要求的最佳的飞行场区表面设计坡度的自动优选单元；

用于计算出飞行场区内及边坡部分放坡的土石方工程量，并按照挖填比或弃借土要求进行调整设计,使全场土石方工程量达到挖、填平衡的自动计算单元；

用于绘制出飞行场区原地面等高线图、飞行场区原地面及设计面的三维透视图、飞行场区设计面等高线图、飞行场区设计面高程坡度控制图、飞行场区任意方格线位置的纵断面图、飞行场区任意方格线位置的横断面图、飞行场区方格网土方工程图、自动进行机场土方最优调配，并绘制出机场土方调配图的自动绘制单元；

用于进行飞行场区原地面方格网测量高程校对及修改设计、进行飞行场区设计面高程修改设计、进行土方调配区划分，自动计算出各调配区需调运的土方量的交互式单元；

该多跑道多滑行道大型机场地势优化设计方法包括以下步骤：

采用空间连续扭曲面来表示飞行场地设计表面；将设计坡度和控制高程设计变量作为控制机场表面形状的主要指标；采用非线性规划概括现行军航和民航的坡度、变坡、视距技术指标，以设计表面最接近天然地面为目标，建立起兼容多跑道多滑行道机场的地势优化设计的数学模型；运用起作用约束集法求解模型得到机场的设计坡度和控制点高程；

飞行场地的几何模型是以设计坡度和控制点高程为控制变量的空间连续扭曲面，兼容多跑道多滑行道的机场；

飞行场地的几何模型的具体方法为：对于飞行场区内任一给定的方格网点k，设其平面坐标为(x_k，y_k)，天然高程为z_k，设计高程为h_k，则当x_k＜0时，有

$\begin{array}{c}{h}_k=e_{00}+\underset{r=1}{\overset{j-1}{\&Sigma;}}\left(g_r-g_{r-1}\right)e_{0r}+\left(y_k-g_{j-1}\right)e_{0j}\\ +\underset{r=p}{\overset{i+1}{\&Sigma;}}\frac{\left(g_j-y_k\right)}{\left(g_j-g_{j-1}\right)}\left(f_r-f_{r-1}\right)e_{r\left(j-1\right)}\\ +\frac{\left(g_j-y_k\right)}{\left(g_j-g_{j-1}\right)}\left(f_i-x_k\right)e_{i\left(j-1\right)}\\ +\underset{r=p}{\overset{i+1}{\&Sigma;}}\frac{\left(y_k-g_{j-1}\right)}{\left(g_j-g_{j-1}\right)}\left(f_r-f_{r-1}\right)e_{rj}\\ +\frac{\left(y_j-g_{j-1}\right)}{\left(g_j-g_{j-1}\right)}\left(f_i-x_k\right)e_{ij}\end{array}$

当x_k≥0时，有

$\begin{array}{c}{h}_k=e_{00}+\underset{r=1}{\overset{j-1}{\&Sigma;}}\left(g_r-g_{r-1}\right)e_{0r}+\left(y_k-g_{j-1}\right)e_{0j}\\ +\underset{r=p+1}{\overset{i-1}{\&Sigma;}}\frac{\left(g_j-y_k\right)}{\left(g_j-g_{j-1}\right)}\left(f_r-f_{r-1}\right)e_{r\left(j-1\right)}\\ +\frac{\left(g_j-y_k\right)}{\left(g_j-g_{j-1}\right)}\left(x_k-f_{i-1}\right)e_{i\left(j-1\right)}\\ +\underset{r=p+1}{\overset{i-1}{\&Sigma;}}\frac{\left(y_k-g_{j-1}\right)}{\left(g_j-g_{j-1}\right)}\left(f_r-f_{r-1}\right)e_{rj}\\ +\frac{\left(y_k-g_{j-1}\right)}{\left(g_j-g_{j-1}\right)}\left(x_k-f_{i-1}\right)e_{ij}\end{array}$

其中，e_ij为设计变量，其中i＝0，1，…，l；j＝0，1，…，m；为了便于表示，不妨设

x＝(x₁,…,x_n)^T＝(e₀₀,…,e_0m,e₁₀,…,e_1m,…,e_l0,…,e_lm)^T

其中，n＝(l+1)×(m+1)为飞行场地设计表面控制变量个数；

则飞行场区内任一方格网点的设计高程h_k都可以表示为x_r的线性函数，其中，r＝1，…，n，用一般形式表示为：

h_k＝a_k1x₁+a_k2x₂+…+a_knx_n(k＝1，2，…，N) (1)

N为飞行场区内方格点总数；

设h＝(h₁,h₂,…,h_N)^T为飞行场区内各方格网点的设计高程向量，则上面各式可用矩阵表示为

或用向量表示为

h＝Ax (3)

其中，

A为设计矩阵，其各元素的值均为非负，大小由飞行场区内各方格网点的平面坐标及飞行场地表面的坡段规划情况来决定；

机场地势优化设计的数学模型是一个以设计坡度和控制点高程为变量、以设计表面最接近天然地面为目标、以现行军航和民航技术指标为约束条件的非线性规划问题，表示为：

$\begin{array}{cc}\min & f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^{T}Gx-r^{T}x\\ s.t.& \left\{\begin{array}{cc}{b}_i^{T}x-x_i=0& i\&Element;E=\{1,2,\mathrm{...},e\}\\ b_j^{T}x-c_j\&GreaterEqual;0& j\&Element;U=\{e+1,e+2,\mathrm{...},e+u\}\end{array}\right.\end{array};---\left(I\right)$

机场地势优化设计的数学模型的最优解通过“起作用集法”将设计模型转换为以设计坡度和控制点高程为变量的线性方程组,

确定算法步骤如下：

第1步：形成矩阵G和向量r；

第2步：确定初始起作用集F⁽¹⁾；

不妨设F⁽¹⁾＝{1，2，…，e，e+1，…，e+s},其中，前e个约束条件为等式约束；后s个约束条件为初始起作用的不等式约束可以进行更换,这里，初始起作用不等式约束可以从最大坡度要求或最小坡度要求的约束条件中选取；

第3步：用Lagrange乘子法求解

$\begin{array}{cc}\min & f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^{T}Gx-r^{T}x\end{array}$

$\begin{array}{cc}s.t.& b_i^{T}x-c_i=0,i\&Element;F^{\left(1\right)}\end{array}$

得初始解x⁽¹⁾及其相应的乘子向量此时x⁽¹⁾肯定是可行域边界上的点；

第4步：求出后s个乘子分量的最小值,即令

${\mathrm{\&lambda;}}_q=\min \{{\mathrm{\&lambda;}}_{e+1}^{\left(1\right)},{\mathrm{\&lambda;}}_{e+2}^{\left(1\right)},...,{\mathrm{\&lambda;}}_{e+s}^{\left(1\right)}\},q\&Element;\{e+1,e+2,...,e+s\}$

如果λ_q≥0，则由最优解的判别准则得知：x⁽¹⁾是问题(Ⅰ)的整体最优解，于是，转向第10步；

如果λ_q＜0，则表明第q个约束不是最优解x^＊处的起作用约束，第q个约束肯定是不等式约束，应该解除，即进行第5步,

第5步：解除与λ_q相对应的不等式约束的边界条件,即令再用Lagrange乘子法求解

$\begin{array}{cc}\min & f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^{T}Gx-r^{T}x\end{array}$

$\begin{array}{cc}s.t.& b_i^{T}x-c_i=0,i\&Element;{\stackrel{\&OverBar;}{F}}^{\left(1\right)}\end{array}$

得解及其相应的乘子向量

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&lambda;}}}^{\left(1\right)}={({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&lambda;}}}_1^{\left(1\right)},\mathrm{...},{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&lambda;}}}_e^{\left(1\right)},{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&lambda;}}}_{e+1}^{\left(1\right)},\mathrm{...},{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&lambda;}}}_{q-1}^{\left(1\right)},{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&lambda;}}}_{q+1}^{\left(1\right)},\mathrm{...},{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&lambda;}}}_{e+s}^{\left(1\right)})}^T,$

第6步：检查是否满足所有的不等式约束条件,

如果所有的不等式约束都得到满足，说明是可行点，而且,必有于是，置s＝s－1，转到第4步,

否则，说明不是可行点，则进行第7步,

第7步：确定搜索方向d，即令

第8步：确定步长α，令x⁽²⁾＝x⁽¹⁾+αd,

所确定的步长α必须保证解得的x⁽²⁾为可行域边界上的点，可以采用下述方法来确定：

令

这是因为不是可行点，即在可行域的外面，而x⁽¹⁾在可行域的边界上或在可行域的内部,由于目标函数是正定二次函数，并且有所以，从x⁽¹⁾出发沿方向前进至的过程中，目标函数f(x)是逐渐下降的，又由于可行域是凸集，所以，在到达之前必然会遇到某个不等式约束的边界,设它最先遇到的不等式约束边界是第p个不等式约束并记相应的交点为x⁽²⁾；则

x⁽²⁾＝x⁽¹⁾+αd

由于x⁽²⁾在第p个不等式约束的边界上，所以，有即

$b_p^T(x^{\left(1\right)}+\mathrm{\&alpha;}d)-c_p=0$

由上式可得：

$\mathrm{\&alpha;}=-(b_p^T{x}^{\left(1\right)}-c_p)/b_p^{T}d$

第9步：令即增加约束条件置F⁽¹⁾＝F⁽²⁾，s＝s+1，转到第3步；

第10步：输出最优解

机场地势优化设计的数值分析用“乔列斯基分解法”求解找出最佳设计方案，得到设计坡度和控制点高程，即得到机场地势设计方案；

具体的算法为：通过反复求解下列形式的线性方程组来获得最优解,

$\left[\begin{array}{cc}G& B^T\\ B& O\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ \mathrm{\&lambda;}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}r\\ c\end{array}\right]$

现设

$K=\left[\begin{array}{cc}G& B^T\\ B& O\end{array}\right]={\mathrm{LDL}}^T$

$e=\left[\begin{array}{c}x\\ \mathrm{\&lambda;}\end{array}\right]$

$f=\left[\begin{array}{c}r\\ c\end{array}\right]$

其中

则原方程组可表示为

Ke＝f

或

LDL^Te＝f

设

DL^Te＝y

则上面方程组等价于：

$\left\{\begin{array}{c}Ly=f\\ D{L}^{T}e=y\end{array}\right.$

其中

y＝(y₁，y₂，…，y_n，y_n+1，…，y_n+t)^T

由

$K=\left[\begin{array}{cc}G& B^T\\ B& O\end{array}\right]={\mathrm{LDL}}^T$

将右边矩阵逐项展开，并令等式两边矩阵各对应元素相等得：

$\left\{\begin{array}{cc}{d}_{11}=g_{11}& \\ l_{ij}=\frac{g_{ij}-\underset{k=1}{\overset{j-1}{\&Sigma;}}{l}_{ik}{l}_{jk}{d}_{kk}}{d_{jj}}& \left(i=2,3,\mathrm{...},n;j=1,2,\mathrm{...},i-1\right)\\ d_{ii}=g_{ii}-\underset{k=1}{\overset{i-1}{\&Sigma;}}{l}_{ik}^2{d}_{kk}& \left(i=2,3,\mathrm{...},n\right)\end{array}\right.---\left(35\right)$

$\left\{\begin{array}{cc}{l}_{\left(n+i\right)j}=\frac{b_{ij}-\underset{k=1}{\overset{j-1}{\&Sigma;}}{l}_{\left(n+i\right)k}{l}_{jk}{d}_{kk}}{d_{jj}}& (i=1,2,\mathrm{...},t;j=1,2,\mathrm{...},n)\\ l_{\left(n+i\right)\left(n+j\right)}=-\frac{\underset{k=1}{\overset{n+j-1}{\&Sigma;}}{l}_{\left(n+i\right)k}{l}_{\left(n+j\right)k}{d}_{kk}}{d_{\left(n+i\right)\left(n+j\right)}}& (i=2,3,\mathrm{...},t;j=1,2,\mathrm{...},i-1)\\ d_{\left(n+i\right)\left(n+i\right)}=-\underset{k=1}{\overset{n+i-1}{\&Sigma;}}{l}_{\left(n+i\right)k}^2{d}_{kk}& (i=1,2,\mathrm{...},t)\end{array}\right.---\left(36\right)$

按照公式(35)、(36)逐项推算，可以求得L和D,

于是由Ly＝f可以求得：

$\left\{\begin{array}{cc}{y}_1=r_1& \\ y_i=r_i-\underset{k=1}{\overset{i=1}{\&Sigma;}}{l}_{ik}{y}_k& (i=2,3,\mathrm{...},n)\end{array}\right.---\left(37\right)$

$\begin{array}{cc}{y}_{(n+i)}=c_i-\underset{k=1}{\overset{n+i-1}{\&Sigma;}}{l}_{(n+i)k}{y}_k& (i=1,2,\mathrm{...},t)\end{array}---\left(38\right)$

由公式(37)、(38)逐项推算，可以求得：

y＝(y₁，y₂，…，y_n，y_n+1，…，y_n+t)^T

再由DL^Te＝y可以求得：

$\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&lambda;}}_t=y_{(n+t)}/d_{(n+t)(n+t)}& \\ {\mathrm{\&lambda;}}_i=\frac{y_{(n+i)}}{d_{(n+i)(n+i)}}-\underset{k=i+1}{\overset{t}{\&Sigma;}}{l}_{(n+k)(n+i)}{\mathrm{\&lambda;}}_k& (i=t-1,t-2,\mathrm{...},1)\\ x_i=\frac{y_i}{d_{ii}}-\underset{k=i+1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{l}_{ki}{x}_k-\underset{k=1}{\overset{t}{\&Sigma;}}{l}_{(n+k)i}{\mathrm{\&lambda;}}_k& (i=n,n-1,...,1)\end{array}\right.---\left(39\right)$

由公式(39)逐项推算，求得：

e＝(x₁,x₂,…,x_n,λ₁,λ₂,…,λ_t)^T

由于K是一个对称矩阵，故在计算机的内存中只需存贮下三角的元素就行了,从公式(35)、(36)中可以看出：求出d_ii和l_ij后，g_ii和g_ij就不需要再保留了，所以，它们所占用的存贮单元可以用来存放d_ii和l_ij,同理，b_ij和l_(n+i)j可以用同一个存贮单元,即

从公式(35)、(37)中可以看出d_ii和l_ij只与g_ij有关，而与b_ij无关，y_i只与r_i有关，而与c_i无关,由于在最优解的寻找过程中，g_ij和r_i是始终保持不变的，只是约束条件有所变化，即b_ij和c_i是不断变化的；

建立机场地势优化设计数学模型的方法包括以下步骤：

确定地势优化设计的目标函数；

确定地势优化设计的约束函数；

建立地势优化设计的数学模型；

地势优化设计的目标函数获得具体方法为：

飞行场区内任一方格网点的设计高程都可以表示为设计变量的线性函数，即

h＝Ax

设z＝(z₁,z₂,…,z_N)^T为飞行场区内各方格网点的天然高程向量；

v＝(v₁,v₂,…,v_N)^T为飞行场区内各方格网点的填挖高程向量；

其中，v_k＝h_k-z_k(k＝1，…，N) (5)

则v＝h-z＝Ax-z (6)

因此，根据最小二乘法原理，目标函数取为：

$p_1{v}_1^2+p_2{v}_2^2+...+p_N{v}_N^2=\underset{k=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{p}_k{v}_k^2=\min g\left(x\right)---\left(7\right)$

其中p_k为方格网点k的权系数，表示该方格网点对土方计算的影响程度，通常用方格网点所影响的土方计算面积来表示，

p₁＝0

$p_2=\frac{1}{4}{a}_1{b}_2$

$p_3=\frac{1}{4}{a}_1(b_2+b_3)$

$p_4=\frac{1}{4}\&lsqb;a_1{b}_2+a_2(b_1+b_2)\&rsqb;$

$p_5=\frac{1}{4}(a_1+a_2)(b_2+b_3)$

点1代表了飞行场区以外的方格点，它不影响飞行场地表面最优设计方案的选择，因此，它的权系数为零；点2、3、4分别代表了飞行场地边界上不同位置处的方格点；点5代表了飞行场区内的方格点，设

则目标函数式(7)可表示如下：

min g(x)＝v^TPv (8)

将式(6)代入式(8)得

min g(x)＝v^TPv＝(Ax-z)^TP(Ax-z)

＝x^T(A^TPA)x-2z^TPAx+z^TPz (9)设

f(x)＝g(x)-z^TPz (10)

G＝2A^TPA (11)

r＝2A^TPz (12)

则目标函数式(9)等价于

$\begin{array}{cc}\min & f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^{T}Gx-r^{T}x\end{array}---\left(13\right)$

能证明：G＝2A^TPA是一个n×n阶的正定对称矩阵，其证明过程如下：

对称性证明：

∵G^T＝(2A^TPA)^T＝2(A^T)(P^T)(A^T)^T＝2A^TPA＝G

∴G是一个对称矩阵

正定性证明：

由式(1)得：

$\begin{array}{cc}{h}_k=\underset{j=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_{kj}{x}_j& (k=1,2,\mathrm{...},N)\end{array}---\left(14\right)$

将式(5)、式(14)代入式(7)得

$\begin{array}{c}\begin{array}{cc}\min & g\left(x\right)=\underset{k=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{p}_k{v}_k^2=\underset{k=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{p}_k{\left(h_k-z_k\right)}^2\end{array}\\ =\underset{k=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{p}_k{h}_k^2-2\underset{k=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{p}_k{z}_k{h}_k+\underset{k=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{p}_k{z}_k^2\\ =\underset{k=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{p}_k{\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_{kj}{x}_j\right)}^2-2\underset{k=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{p}_k{z}_k\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_{kj}{x}_j\right)+\underset{k=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{p}_k{z}_k^2\end{array}$

即

$\begin{array}{cc}\min & g\left(x\right)=\underset{k=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{p}_k{\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_{kj}{x}_j\right)}^2-2\underset{k=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{p}_k{z}_k\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_{kj}{x}_j\right)+\underset{k=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{p}_k{z}_k^2\end{array}---\left(15\right)$

又由式(9)得：

$\begin{array}{cc}\min & g\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^{T}Gx-r^{T}x+z^{T}Pz\end{array}---\left(16\right)$

比较式(15)和式(16)得：

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}{x}^{T}Gx=\underset{k=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{p}_k{\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_{kj}{x}_j\right)}^2\\ =\underset{k=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{\left(\sqrt{p_k}\underset{j=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_{kj}{x}_j\right)}^2>0\end{array}$

恒大于零

∴由矩阵正定的定义可知：G是一个正定矩阵，

因此，G是一个n×n阶的正定对称矩阵；

当G是一个正定对称矩阵时，目标函数是一个严格凸二次函数；

地势优化设计的约束函数具体算法为：

在进行最优方案选择时，对各设计变量x_r其中r＝1，…，n；还必须增加一些约束条件，这些约束条件可分为等式约束和不等式约束两大类；

在实际设计时，通常采用合二为一的办法，即使跑道或滑行道相邻两段纵向坡度值相等，从而使两段较短的坡段合并为一个较长的坡段，

①主跑道相邻纵坡相等要求表示为：

e_0j-e_0(j+1)＝0 j∈{1，2，…，m-1}

②滑行道1相邻纵坡相等要求表示为：

S_j-S_j+1＝0 j∈{1，2，…，m-1}

其中Sj表示滑行道第j段纵向坡度，它是设计变量的线性函数，设滑行道轴线位置的横向坐标为ft，则Sj表示为：

$S_j=e_{0j}+\underset{r=p+1}{\overset{t}{\&Sigma;}}\frac{f_r-f_{r-1}}{g_j-g_{j-1}}\&lsqb;e_{rj}-e_{r(j-1)}\&rsqb;---\left(17\right)$

③滑行道2或跑道2相邻纵坡相等要求表示为：

SS_j-SS_j+1＝0 j∈{1，2，…，m-1}

其中SS_j表示滑行道2或跑道2第j段纵向坡度，它是设计变量的线性函数，设滑行道2或跑道2轴线位置的横向坐标为f_tt，

当tt〉p时则SS_j表示为：

${\mathrm{SS}}_j=e_{0j}+\underset{r=p+1}{\overset{tt}{\&Sigma;}}\frac{f_r-f_{r-1}}{g_j-g_{j-1}}\&lsqb;e_{rj}-e_{r(j-1)}\&rsqb;$

当tt<p时则SS_j表示为：

${\mathrm{SS}}_j=e_{0j}+\underset{r=tt+1}{\overset{p}{\&Sigma;}}\frac{f_r-f_{r-1}}{g_j-g_{j-1}}\&lsqb;e_{rj}-e_{r(j-1)}\&rsqb;$

相邻横向坡度相等要求，在实际设计时，跑道或滑行道的横向坡度通常要求从左到右保持不变，即相邻两个横向坡度要求相等，设计要求均可表示如下：

e_ij－e_i(j+1)＝0 j∈{0，1，…，m-1}；i∈{1，…，l}

设计横坡对称双坡要求，跑道或滑行道的横坡通常要求是对称双坡，即沿轴线两侧横坡值相等，坡度方向相反，设计要求可表示为：

e_ij－e_(i+1)j＝0 j∈{0，1，…，m}；i∈{1，…，l-1}

设计高程控制要求，在实际设计时，有时要求某些控制点的设计高程等于指定的高程，设计要求可以表示为：

a_k1x₁+…+a_knx_n-H_k＝0 k∈{1，…，N}

所有上述等式约束均可表示为：

$\begin{array}{cc}{b}_i^{T}x-c_i=0& i\&Element;E=\{1,\mathrm{...},e\}\end{array}---\left(18\right)$

式中：b_i＝(b_i1，b_i2，…，b_im)^T i∈E

E——等式约束集合；e——所有等式约束个数；

不等式约束函数：横向坡度最大最小值要求

为了保证飞机在飞行场区内活动的安全，防止土质表面被雨水冲刷，必须对飞行场地各横向坡度的最大值加以限制，即

e_ij－e_ijmax≤0(i＝1，…，l；j＝0，…，m)

同时，为了满足飞行场区排水的要求，对飞行场地各横向坡度的最小值也必须加以限制，即

－e_ij+e_ijmin≤0(i＝1，…，l；j＝0，…，m)

主跑道纵坡最大最小值要求：

①主跑道纵向坡度的最大值要求可表示为：

e_0j－e_0jmax≤0(j＝1，…，m)

②主跑道纵向坡度的最小值要求可表示为：

－e_0j+e_0jmin≤0(j＝1，…，m)

滑行道1纵坡最大最小值要求:

①滑行道纵向坡度的最大值要求可表示为：

S_j－S_jmax≤0(j＝1，…，m)

②滑行道纵向坡度的最小值要求可表示为：

－S_j+S_jmin≤0(j＝1，…，m)

其中S_j表示滑行道第j段纵向坡度，它是设计变量的线性函数,详见式(17),

滑行道2或跑道2纵坡最大最小值要求:

①滑行道2或跑道2纵向坡度的最大值要求可表示为：

SS_j－SS_jmax≤0(j＝1，…，m)

②滑行道2或跑道2纵向坡度的最小值要求可表示为：

－SS_j+SS_jmin≤0(j＝1，…，m)

主跑道变坡值限制要求:飞机在滑跑过程中，当机轮通过变坡点时，起落架上就会产生附加荷载，附加荷载的大小与飞机滑跑的速度以及变坡值的大小成正比,为了保证飞机在跑道上滑跑时有足够的滑跑速度，同时，又必须保证飞机的安全,以及飞机上的人员不致于产生很不舒服的感觉，必须限制跑道变坡值的大小,即

|e_0j－e_0(j+1)|≤Δip(j＝1，…，m-1)

其中Δip表示跑道许可的最大变坡值，

滑行道1变坡值限制要求:与跑道情况类似，滑行道的变坡值大小也必须加以限制，即

|S_j－S_j+1|≤Δit(j＝1，…，m-1)

其中Δit表示滑行道许可的最大变坡值，Sj表示滑行道第j段纵向坡度，它是设计变量的线性函数，详见式(17),

滑行道2或跑道2变坡值限制要求:与主跑道情况类似，滑行道2或跑道2的变坡值大小也必须加以限制,即

|SS_j－SS_j+1|≤Δit(j＝1，…，m-1)

其中Δit表示滑行道许可的最大变坡值，距离简称视距，视距要求可分为两类，即

A.同一条跑道上两架飞机上的飞行员的通视距离不得小于规定长度；

B.飞机在跑道上滑跑时，飞行员所能看到的前方跑道道面的距离不得小于规定长度，

根据跑道纵向坡度的坡段长度情况，视距条件可分为相邻两段纵坡的视距要求、相邻三段纵坡的视距要求以及相邻四、五、…、K段纵坡的视距要求,

跑道A类相邻三段纵坡的视距要求，H为飞行员眼睛距离道面的高度；Lpa为跑道A类视距长度,

当飞机在跑道上滑行到距离变坡点ym时，A类相邻三段纵坡的视距要求可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{H}_1-H\&le;0\\ \mathrm{\&Delta;}{H}_2-H\&le;0\end{array}\right.$

其中

${\mathrm{\&Delta;H}}_1=y\&CenterDot;e_{0j}-\{y\&CenterDot;e_{0j}+l_{j+1}\&CenterDot;e_{0(j+1)}+(L_{pa}-l_{j+1}-y)\&CenterDot;e_{0(j+2)}\}\&CenterDot;\frac{y}{L_{pa}}$

${\mathrm{\&Delta;H}}_2=y\&CenterDot;e_{0j}+l_{j+1}\&CenterDot;e_{0(j+1)}-\{y\&CenterDot;e_{0j}+l_{j+1}\&CenterDot;e_{0(j+1)}+(L_{pa}-l_{j+1}-y)\&CenterDot;e_{0(j+2)}\}\&CenterDot;\frac{y+l_{j+1}}{L_{pa}}$

显然，ΔH₁和ΔH₂也可以表示为设计变量的线性函数,

为了找到飞机滑跑时视距的最不利位置，不妨求出ΔH₁和ΔH₂的最大值,

令得

$y=y_1=\frac{1}{2}\{L_{pa}-\frac{e_{0(j+1)}-e_{0(j+2)}}{e_{0j}-e_{0(j+2)}}\&CenterDot;l_{j+1}\}---\left(19\right)$

即当y＝y₁时，ΔH₁取得极大值ΔH_1max，表明该位置是视距的最不利位置,

${\mathrm{\&Delta;H}}_{1max}=y_1\&CenterDot;e_{0j}-\{y_1\&CenterDot;e_{0j}+l_{j+1}\&CenterDot;e_{0(j+1)}+(L_{pa}-l_{j+1}-y_1)\&CenterDot;e_{0(j+2)}\}\&CenterDot;\frac{y_1}{L_{pa}}---\left(20\right)$

同理，令得

$y=y_2=\frac{1}{2}\{L_{pa}-l_{j+1}-\frac{e_{0(j+1)}-e_{0(j+2)}}{e_{0j}-e_{0(j+2)}}\&CenterDot;l_{j+1}\}---\left(21\right)$

即当y＝y₂时，ΔH₂取得极大值ΔH_2max，表明该位置也是视距的最不利位置,

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;H}}_{2\max }=y_2\&CenterDot;e_{0j}+l_{j+1}\&CenterDot;e_{0\left(j+1\right)}\\ -\{y_2\&CenterDot;e_{0j}+l_{j+1}\&CenterDot;e_{0(j+1)}+\left(L_{pa}-l_{j+1}-y_2\right)\&CenterDot;e_{0(j+2)}\}\&CenterDot;\frac{y_2+l_{j+1}}{L_{pa}}\end{array}---\left(22\right)$

跑道A类相邻三段纵坡的视距约束函数可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{H}_{1\max }-H\&le;0\\ \mathrm{\&Delta;}{H}_{2\max }-H\&le;0\end{array}\right.$

其中ΔH_1max，ΔH_2max均可表示为设计变量的线性函数，如式(20)以及式(22)所示,

同理可以推导出跑道A类相邻四、五、…、K段纵坡视距的约束函数,

②跑道B类相邻三段纵坡的视距要求,

Lpb为跑道B类视距长度,则跑道B类相邻三段纵坡的视距要求表示为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{H}_{1P}-H\&le;0\\ \mathrm{\&Delta;}{H}_{2P}-H\&le;0\end{array}\right.$

其中

ΔH_1P＝(L_pb-l_j+1)[e_0j-e_0(j+1)]+L_pb[e_0(j+1)-e_0(j+2)]

ΔH_2P＝L_pb[e_0j-e_0(j+1)]+(L_pb-l_j+1)[e_0(j+1)-e_0(j+2)]

或

$\{\begin{array}{c}(L_{pb}-l_{j+1})\&lsqb;e_{0j}-e_{0(j+1)}\&rsqb;+L_{pb}\&lsqb;e_{0(j+1)}-e_{0(j+2)}\&rsqb;\&le;H\\ L_{pb}\&lsqb;e_{0j}-e_{0(j+1)}\&rsqb;+(L_{pb}-l_{j+1})\&lsqb;e_{0(j+1)}-e_{0(j+2)}\&rsqb;\&le;H\end{array}---\left(23\right)$

同理可以导出跑道B类相邻四、五、…、K段纵坡视距的约束函数,

滑行道通视距离要求：与跑道通视距离相类似，滑行道通视距离要求也可分为A、B两类,滑行道的视距约束条件也可以分为相邻二、三、四、…、K段纵坡的视距要求,

①滑行道A类相邻三段纵坡的视距要求,

设Lha为滑行道A类视距长度,则滑行道A类相邻三段纵坡的视距要求可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{H}_{1A}-H\&le;0\\ \mathrm{\&Delta;}{H}_{2A}-H\&le;0\end{array}\right.$

其中

${\mathrm{\&Delta;H}}_{1A}=y\&CenterDot;S_j-\&lsqb;y\&CenterDot;S_j+l_{j+1}\&CenterDot;S_{j+1}+\left(L_{ha}-l_{j+1}-y\right)\&CenterDot;S_{j+2}\&rsqb;\&CenterDot;\frac{y}{L_{ha}}$

${\mathrm{\&Delta;H}}_{2A}=y\&CenterDot;S_j+l_{j+1}\&CenterDot;S_{j+1}-\&lsqb;y\&CenterDot;S_j+l_{j+1}\&CenterDot;S_{j+1}+\left(L_{ha}-l_{j+1}-y\right)\&CenterDot;S_{j+2}\&rsqb;\&CenterDot;\frac{y+l_{j+1}}{L_{ha}}$

令得

$y=y_1=\frac{1}{2}\{L_{ha}-\frac{S_{j+1}-S_{j+2}}{S_j-S_{j+2}}\&CenterDot;l_{j+1}\}---\left(24\right)$

即当y＝y₁时，ΔH_1A取得极大值ΔH_1Amax，

${\mathrm{\&Delta;H}}_{1A\max }=y_1\&CenterDot;S_j-\&lsqb;y_1\&CenterDot;S_j+l_{j+1}\&CenterDot;S_{j+1}+\left(L_{ha}-l_{j+1}-y_1\right)\&CenterDot;S_{j+2}\&rsqb;\frac{y_1}{L_{ha}}---\left(25\right)$

同理，令得

$y=y_2=\frac{1}{2}\{L_{ha}-l_{j+1}-\frac{S_{j+1}-S_{j+2}}{S_j-S_{j+2}}\&CenterDot;l_{j+1}\}---\left(26\right)$

即当y＝y₂时，ΔH_2A取得极大值ΔH_2Amax,

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;H}}_{2Amax}=y_2\&CenterDot;S_j+l_{j+1}\&CenterDot;S_{j+1}\\ -\left\{y_2\&CenterDot;S_j+l_{j+1}\&CenterDot;S_{j+1}+\left(l_{ha}-l_{j+1}-y_2\right)\&CenterDot;S_{j+2}\right\}\&CenterDot;\frac{y_2+l_{j+1}}{L_{ha}}\end{array}---\left(27\right)$

其中，

$S_j=e_{0j}+\underset{r=p+1}{\overset{t}{\&Sigma;}}\frac{f_r-f_{r-1}}{g_j-g_{j-1}}\&lsqb;e_{rj}-e_{r(j-1)}\&rsqb;---\left(28\right)$

$S_{j+1}=e_{0(j+1)}+\underset{r=p+1}{\overset{t}{\&Sigma;}}\frac{f_r-f_{r-1}}{g_{j+1}-g_j}\&lsqb;e_{r(j+1)}-e_{rj}\&rsqb;---\left(29\right)$

$S_{j+2}=e_{0(j+2)}+\underset{r=p+1}{\overset{t}{\&Sigma;}}\frac{f_r-f_{r-1}}{g_{j+2}-g_{j+1}}\&lsqb;e_{r(j+2)}-e_{r(j+1)}\&rsqb;---\left(30\right)$

因此，滑行道A类相邻三段纵坡视距的约束函数可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{H}_{1Amax}-H\&le;0\\ \mathrm{\&Delta;}{H}_{2Amax}-H\&le;0\end{array}\right.$

其中ΔH_1Amax，ΔH_2Amax均可表示为设计变量的线性函数，如公式(25)以及公式(27)所示,

同理可以推导出滑行道A类相邻四、五、…、K段纵坡视距的约束函数；

②滑行道B类相邻三段纵坡的视距要求:设Lhb为滑行道B类视距长度；

则滑行道B类相邻三段纵坡的视距要求可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;H}}_{1B}-H\&le;0\\ {\mathrm{\&Delta;H}}_{2B}-H\&le;0\end{array}\right.$

其中

ΔH_1B＝(L_hb-l_j+1)(S_j-S_j+1)+L_hb(S_j+1-S_j+2)

ΔH_2B＝L_hb(S_j-S_j+1)+(L_hb-l_j+1)(S_j+1-S_j+2)

或

$\left\{\begin{array}{c}\left(L_{hb}-l_{j+1}\right)\left(S_j-S_{j+1}\right)+L_{hb}\left(S_{j+1}-S_{j+2}\right)\&le;H\\ L_{hb}\left(S_j-S_{j+1}\right)+\left(L_{hb}-l_{j+1}\right)\left(S_{j+1}-S_{j+2}\right)\&le;H\end{array}\right.---\left(31\right)$

同理可以导出滑行道B类相邻四、五、…、K段纵坡视距的约束函数,

滑行道2和跑道2视距的要求方法相似,

最低设计高程的要求:为了满足机场总体设计、道面设计以及排水设计的要求，有时必须要求某一个方格点的设计高程不得低于规定的最低设计高程,这样的约束条件可表示为

a_k1x₁+a_k2x₂+…+a_knx_n≥H_kmin k∈{1，…，N}

或

-a_k1x₁-a_k2x₂-…-a_knx_n+H_kmin≤0k∈{1，…，N}

所有上述不等式约束都可以表示为：

$\begin{array}{cc}{b}_j^{T}x-c_j=0& j\&Element;U=\{e+1,e+2,\mathrm{...},e+u\}\end{array}---\left(32\right)$

其中，

b_j＝(b_j1,b_j2,…,b_jn)^T j∈U＝{e+1，e+2，…，e+u}

式中，U——不等式约束集；

u——所有不等式约束个数；

地势优化设计的数学模型：

综合上面所述，由式(13)、式(18)、式(32)得机场地势优化设计的数学模型表示为：

$\begin{array}{cc}\min & f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^{T}Gx-r^{T}x\\ s.t.& \left\{\begin{array}{cc}{b}_i^{T}x-c_i=0& i\&Element;E=\{1,2,\mathrm{...},e\}\\ b_j^{T}x-c_j\&GreaterEqual;0& j\&Element;U=\{e+1,e+2,\mathrm{...},e+u\}\end{array}\right.\end{array}---\left(I\right)$

其中，G＝2A^TPA是一个n×n阶的正定对称矩阵；r＝2A^TPz是一个n维向量；

设

G＝(g_ij)_n×n

r＝(r₁,r₂,…,r_n)^T

则

$\begin{array}{cc}{g}_{ij}=2\underset{k=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{p}_k{a}_{ki}{a}_{kj}& (i=1,2,\mathrm{...},n;j=1,2,\mathrm{...},n)\end{array}---\left(33\right)$

$\begin{array}{cc}{r}_i=2\underset{k=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{p}_k{a}_{ki}{z}_k& (i=1,2,\mathrm{...},n)\end{array}---\left(34\right)$

问题(Ⅰ)的目标函数是一个正定二次函数，约束函数均为线性函数。