CN103729336A - 一种dae系统的指标约简方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种DAE系统的指标约简方法，该方法包括以下步骤：将所述DAE系统转化为∑矩阵；将所述∑矩阵分解为块状上三角矩阵；运用分块快速约简方法对每块所述上三角矩阵进行约简，获取局部最优偏移向量；根据每个所述上三角矩阵的局部最优偏移向量扩展成所述∑矩阵的整体最优偏移向量。该方法根据分块快速约简方法和含参数横截面约简方法，提高DAE系统的约简效率，获取系统最优偏移向量。

Description

一种DAE系统的指标约简方法

技术领域

本发明涉及一种多物理场建模领域的方法，具体涉及一种DAE系统的指标约简方法。

背景技术

目前，针对一般结构的DAE系统(微分代数方程系统)主要的指标约简方法：Gear方法，Pantelides方法、Pryce方法和负权二部图方法。

Gear方法是一种符号操作的DAE指标约简方法。该方法通过一系列符号操作找出DAE系统中需要微分的代数方程，反复执行这一过程，直至将DAE系统转化为微分方程(OrdinaryDifferential Equations，ODE)系统。但对于一般的非线性DAE系统，因需要判定其相关矩阵的秩和微分了一些不必要的代数方程，Gear方法的时间复杂度很高；尤其在大规模DAE系统中，这种符号约简方法有时甚至无法实现。

Pantelides方法是一种基于最小结构奇异(Minimally Structurally Singular,MSS)子集的指标约简方法。该方法首先将一阶DAE系统转化为对应的二部图，通过二部图的增广路算法来查找DAE系统的MSS子集；然后对MSS子集微分一次，并对DAE系统对应的二部图进行相应的删除和增加操作；反复执行直至DAE系统中找不到MSS子集。因为其相对比较低的时间复杂度，目前该方法被广泛应用于Dymola和MapleSim等专业软件。但是针对高阶DAE系统，Pantelides方法不能直接处理，也不能直接获取DAE系统的结构信息。针对多物理场仿真模型容易产生的稀疏高阶DAE系统，虽然可能存在块状上或下三角结构，但该方法不能实现块状化处理。

Pryce方法是基于DAE系统∑矩阵(Signature Matrix)的指标约简方法，从理论上等价于Pantelides方法，也被称为结构分析方法。该方法先将求解∑矩阵最大值横截面的问题转化为指派问题，并通过求解这个指派问题来找到∑矩阵的最大值横截面；然后通过对偶变量的不动点迭代方法，得到方程最优偏移向量(Canonical Offset)和变量最优偏移向量；最后根据这些最优偏移向量将DAE系统转化为ODE系统，并找出一致初始点值的约束方程。该方法能够更加直接地获取DAE系统结构信息(最优偏移向量等)。针对存在块状上或下三角结构的大规模稀疏DAE系统，Pryce等人最近提出了分块处理的技术，并将他们的软件包DAESA植入到Matlab的工具箱中，虽然可以降低部分计算量，但他们有时只能获取系统的有效偏移向量，不能获得系统的最优偏移向量，从而不能精准优化地实现大规模稀疏DAE系统的分块约简技术。

负权二部图方法(Weighted Bipartite Graph Based Index Reduction，WBGBIR)是一种基于加权二部图的指标约简方法。在一定意义上，负权二部图方法可以看成Pryce方法在二部图上的一种表现形式。针对Pantelides方法不能直接处理高阶DAEs系统的问题，负权二部图方法通过加权二部图直接实现高阶DAE系统的指标约简。虽然该方法与Pantelides方法有着相同的时间复杂度，且已被应用到专业软件Mworks中，但也不易实现稀疏高阶DAE系统的块状化处理，从而不能提高其指标约简的效率。

因此，需要提供一种可获取最优偏移向量的高效率的DAE系统的指标约简方法。

发明内容

为克服上述现有技术的不足，本发明提供一种DAE系统的指标约简方法，该方法根据分块快速约简方法和含参数横截面约简方法，提高DAE系统的约简效率，获取系统最优偏移向量。

实现上述目的所采用的解决方案为：

一种DAE系统的指标约简方法，其改进之处在于：所述方法包括以下步骤：

I、将所述DAE系统转化为∑矩阵；

II、将所述∑矩阵分解为块状上三角矩阵；

III、运用分块快速约简方法对每块所述上三角矩阵进行约简，获取局部最优偏移向量；

IV、根据每个子上三角矩阵的所述局部最优偏移向量扩展成∑矩阵的整体最优偏移向量。

进一步的，所述步骤II中将∑矩阵进行块状上三角矩阵分解，分解为其中i＝1，2....，p。

进一步的，所述步骤III包括以下步骤：

S301、根据所述∑矩阵确定n阶p块上三角结构的∑矩阵

存储每一对角子方阵阶数到对应的p维向量S=[n₁，n₂，...，n_p]_1×p中，且满足

S302、初始化设定，包括：设定i=1，设定n维p块参数向量MD＝[MD₁，MD₂，...，MD_p]_1×p和

方程偏移值向量分别为C=[C₁，C₂，...，C_p]_1×p和

变量偏移值向量分别为D=[D₁，D₂，...，D_p]_1×p和

S303、确定所述∑矩阵M的中间矩阵MS；

S304、运用含参数横截面约简方法，获取系统偏移向量C_i和D_i，[C_i，D_i]＝PTRM(MS,MD_i)，D_i=MD_i，其中，C_i为方程偏移向量，D_i为变量偏移向量，MS为矩阵M的中间矩阵，MD_i为参数向量；

S305、判断i是否等于p，是则输出方程偏移值向量C和变量偏移值向量D；否则，i＝i+1；

S306、更新非对角矩阵[M_i-1，i，M_i-1,i+1，…，M_i-1，p]；

S307、确定所述非对角矩阵中各列的最大值，更新为参数向量[MD_i，MD_i+1，...，MD_p]，返回步骤S303。

进一步的，所述步骤S304中，运用含参数横截面约简方法获取偏移向量C_i和D_i包括以下步骤：

S3041、确定n(n＞1)阶∑矩阵M和所述n维参数向量MD；

S3042、初始化设定；包括：设定方程偏移值向量C₀、方程偏移值向量C₁、变量偏移值向量D₀和变量偏移向量D₁为n维零向量，所述∑矩阵M的最大值横截面T为空集，系统的动态∑矩阵CM初始化为M；

S3043、调整所述变量偏移向量D₁；

S3044、通过运用匈牙利方法，获取所述∑矩阵M的最大值横截面T；

S3045、更新所述方程偏移向量C₁；

S3046、判断所述方程偏移向量C₀是否等于所述方程偏移向量C₁：是，则输出所述方程偏移向量C₁和所述变量偏移向量D₁；否则，所述方程偏移向量C₀更新为所述方程偏移向量C₁，进入步骤S3047；

S3047、更新所述变量偏移向量D₁，返回步骤S3045。

进一步的，所述步骤S303中，取所述∑矩阵M的第i的子方阵为中间矩阵MS。

进一步的，所述步骤S306中，

更新非对角矩阵[M_i-1，i，M_i-1,i+1，…，M_i-1,p]包括：

对k=1，2，...，n_i-1，若C_i-1(k)＞0，取M_i-1，j(k，l)=M_i-1，j(k，l)+C_i-1(k)，其中l=1，2，...，n_j，j=i，i+1，...，p。

进一步的，所述步骤S3043中，判断是否输入参数向量MD，若没有输入参数向量MD，调整所述变量偏移向量D₁为 $D_1\left(j\right)=\underset{i\∈\{\mathrm{1,2},..,n\}}{\max }{M}_{\mathrm{ij}},j=\mathrm{1,2},...,n;$

否则，先取所述变量偏移值向量D₀为

再调整所述变量偏移值向量D₁为D₁(j)=max{D₀(j)，MD₁(j)}。

进一步的，所述步骤S3045中，依次取i∈{1，2，...，n}，必有唯一的j使得(i，j)∈T，更新C₁(i)=D₁(j)-M(i，j)。

进一步的，所述步骤S3047中，先更新所述∑矩阵CM，对i＝1，2，...，n，若C₁(i)＞0，取CM(i，j)=M(i，j)+C₁(i)，j=1，2...，n；然后更新D₁为 $D_1\left(j\right)=\underset{i\∈\{\mathrm{1,2},..,n\}}{\max }{\mathrm{CM}}_{\mathrm{ij}},j=\mathrm{1,2},...,n.$

进一步的，所述步骤IV中，确定每个子上三角矩阵的所述局部最优偏移向量C_i，根据每个子上三角矩阵的所述局部最优偏移向量C_i扩展成∑矩阵的整体最优偏移向量C=[C₁，C₂，...，C_p]_1×p。

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

(1)本发明的方法中包括分块快速约简方法，获取DAE系统的最优偏移向量，根据由每个子矩阵局部最优偏移向量构成∑矩阵的整体最优偏移向量，将DAE系统转化为ODE系统，并找出一致初始点值的约束方程，使得快速准确地实现了大规模稀疏DAE系统的指标约简，并能够直接获取DAE系统的最优偏移向量等结构信息。

(2)本发明的方法能够降低仿真过程中的计算量，提高工作效率及计算精度，能够获取系统的最优偏移向量，从而能够精准优化地实现大规模稀疏DAE系统的约简。

(3)本发明的方法通过分块获取系统的最优偏移向量，可以有效的提高后续数值仿真的稳定性和效率，从而缩短整个产品的开发设计时间。

附图说明

图1为设计流程图；

图2为分块快速约简方法的流程图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式做进一步的详细说明。

如图1所示，图1为设计流程图；在对产品设计时，针对所设计的产品，运用仿真软件搭建并导入合理的多物理场模型；针对仿真模型系统，提取其DAE方程关系；对DAE方程指标约简；求解DAE方程数值获得其结果；判断结果是否满足设计要求，满足则进行产品生产，否则改进产品设计返回模型搭建。针对DAE方程指标约简，本发明提供了一种高效率的DAE方程指标约简方法，在现有符号化简技术的基础上，快速准确地实现大规模稀疏DAE系统(包括高指标或高阶DAE系统)的指标约简，并直接获取DAE系统的最优偏移向量等结构信息。

运用仿真软件搭建多物理场模型，一般仿真软件包括转换模块、分析模块、优化模块和代码生成模块。转换模块用于构建产品的多物理场模块，分析模块用于对多物理场模块进行处理，降低其复杂度；优化模块用于消除冗余方程并对DAE系统进行指标约简；代码生成模块用于生成代码文件。

为提高优化模块的优化效率，本发明提供了一种高效率的DAE系统的指标约简方法，包括以下步骤：

步骤一、运用仿真软件根据产品信息建立并导入合理的多物理场模型，将模型产生的大规模稀疏DAE系统转化为∑矩阵；对∑矩阵进行块状上三角矩阵分解为：

其中i=1，2，...，p；

步骤二、对每一独立的块状上三角矩阵∑ⁱ，采用分块快速约简方法(Block Fast ReduceMethod，BFRM)获取它的最优偏移向量。

步骤三、根据由每个∑ⁱ矩阵局部最优偏移向量构成∑矩阵的整体最优偏移向量。

步骤四、将DAE系统转化为ODE系统，并找出一致初始点值的约束方程。

步骤二中，采用分块快速约简方法获取每一独立的块状上三角矩阵∑ⁱ的最优偏移向量。

分块快速约简方法：对于块状上三角结构的∑矩阵，按对角块的顺序由上往下依次运用含参数横截面约简方法(Transversal Reduce Method with Parameter，PTRM)，从而逐渐从局部最优偏移向量扩展到∑矩阵的整体最优偏移向量。其特征为对任意给定参数向量的限制下，所获得的变量最优偏移向量中各元素值均不小于参数向量中与之对应的元素值。这一重要特性保证了分块快速约简方法快速准确的实现。

运用分块快速约简方法包括以下步骤：

2.1存储块状上三角化∑矩阵和对角子方阵阶数；

确定n阶p块上三角结构的∑矩阵

存储其每一对角子方阵阶数到对应的p维向量S=[n₁，n₂，...，n_p]_1×p中，且满足

2.2初始化设定；

i=1，n维p块参数向量MD＝[MD₁，MD₂，...，MD_p]_1×p和

方程偏移值向量分别为C=[C₁，C₂，...，C_p]_1×p和

变量偏移值向量分别为D=[D₁，D₂，...，D_p]_1×p， $D_i={[\mathrm{0,0},...,0]}_{{1\×n}_i}$

2.3存储中间矩阵MS；

取MS＝M_ii，即∑矩阵M的第i的子方阵；

2.4运用含参数横截面约简方法，获取方程偏移值向量C_i和变量偏移值向量D_i；[C_i，D_i]＝PTRM(MS,MD_i)，再取MD_i=D_i；

2.5判断主算法计算是否结束，若i＝p，输出方程偏移值向量C和变量偏移值向量D，结束；否则，i＝i+1；

2.6非对角矩阵[M_i-1,i，M_i-1,i+1，…，M_i-1，p]更新；

非对角矩阵[M_i-1，i，M_i-1,i+1，…，M_i-1，p]更新：对k=1，2，...，n_i-1，如果C_i-1(k)＞0，取M_i1，j(k，l)=M_i-1，j(k，l)+C_i-1(k)，

其中l＝1，2，...，n_j，j=i，i+1，…，p。

2.7参数向量[MD_i，MD_i+1，...，MD_p]更新，取更新后[M_i-1，i，M_i-1,i+1，…，M_i-1，p]矩阵中各列的最大值，返回步骤2.3。

上述步骤2.4中，运用含参数横截面约简方法获取偏移向量C_i和D_i；具体包括以下步骤：

2.41、输入n(n＞1)阶∑矩阵M和需要满足限制的n维参数向量MD；

2.42、初始化设定；包括：设定方程偏移值向量C₀、方程偏移值向量C₁、变量偏移值向量D₀和变量偏移向量D₁为n维零向量，所述∑矩阵M的最大值横截面T为空集，系统的动态∑矩阵CM初始化为M；

2.43、调整变量偏移向量D₁；

判断是否输入参数向量MD，如果没有输入参数向量MD，调整D₁为

$D_1\left(j\right)=\underset{i\∈\{\mathrm{1,2},..,n\}}{\max }{M}_{\mathrm{ij}},j=\mathrm{1,2},...,n;$

否则，先取D₀为再调整D₁为D₁(j)=max{D₀(j)，MD₁(j)}；

2.44、确定最大值横截面T；

运用匈牙利方法，获得∑矩阵M的最大值横截面T；

2.45、更新方程偏移向量C₁；

依次取i∈{1，2，...，n}，必有唯一的j使得(i，j)∈T，更新C₁(i)=D₁(j)-M(i，j)；

2.46、判断子算法计算是否结束，若C₀=C₁，输出方程偏移向量C₁和变量偏移向量D₁，结束；否则方程偏移向量C₀更新为方程偏移向量C₁，转下一步；

2.47、更新变量偏移向量D₁；

先更新∑矩阵CM，对i＝1，2…，n，如果C₁(i)＞0，取CM(i，j)=M(i，j)+C₁(i)，j=1，2…，n；然后更新D₁为 $D_1\left(j\right)=\underset{i\∈\{\mathrm{1,2},..,n\}}{\max }{\mathrm{CM}}_{\mathrm{ij}},j=\mathrm{1,2},...,n.$

上述步骤2.44中，运用匈牙利方法，获得∑矩阵M的最大值横截面T，具体包括以下步骤：

2.441、∑矩阵M中各元素取相反数，调整为新的∑矩阵M；

2.442、变化新的∑矩阵M中元素，使其中各行各列中都出现0元素，即M中每行元素部减去改行的最小元素；再从所得新矩阵的每列元素都减去该列的最小元素；

2.443、进行试指派，寻求最优解；

2.4431、从只有一个0元素的行开始，给这个0元素加圈，记做◎，然后划去◎所在列的其他0元素，记作

2.4432、从只有一个0元素的列开始，给这个0元素加圈，记做◎，然后划去◎所在行的其他0元素，记作

2.4433、反复进行步骤2.4431和2.4432直到M中所有的0元素都圈出或者化掉为止；

2.4434、若0元素的数目m等于n，取各0元素在M中的下标构成一个指标集合，即为最大值横截面集合T；否则转下一步；

2.444、做能覆盖所有0元素的最小直线集合；

2.4441、对没有◎的行记√号；

2.4442、对已记√号的行上的所有0元素的列记√号；

2.4443、再对记√号的列上存在◎的行记√号；

2.4444、执行步骤2.4442和2.4443直到得不出新的记√号的行、列为止；

2.4445、对未记√号的行画横线，所有记√号的列画竖线，所得直线就是能覆盖所有0元素的最少直线集合。直线集合的个数小于n，转下一步；

2.445、未被直线覆盖的各元素中分别减去其最小元素，同时对位于横竖线交叉处的元素加上最小元素，其它被横竖线画到的元素不变；转步骤2.443；

步骤三中，根据由每个∑ⁱ矩阵局部最优偏移向量构成∑矩阵的整体最优偏移向量，包括：根据步骤二中确定的每个子上三角矩阵的所述局部最优偏移向量C_i，根据每个子上三角矩阵的所述局部最优偏移向量C_i排成列，扩展成∑矩阵的整体最优偏移向量C=[C₁，C₂，...，C_p]_1×p。

实施例

以某数控五轴联动加工机YHV6025为实施对象，利用Maplesim6.1软件建立仿真模型，得到由275个微分或代数方程构成的DAE系统，并将DAE系统转化为∑矩阵；进一步对∑矩阵进行块状上三角矩阵分解，并可以表示为 $M=\left[\begin{array}{ccc}{M}^1& & \\ & M^2& \\ & & M^3\end{array}\right],$ 其中 $M^1=\left[\begin{array}{cc}0& X\\ & M_{22}^1\end{array}\right],$ $M^2=\left[\begin{array}{cc}0& X\\ & M_{22}^2\end{array}\right]$ 和 $M^3=\left[\begin{array}{cccccc}0& X& X& X& X& X\\ & 0& X& X& X& X\\ & & 0& X& X& X\\ & & & M_{44}^3& X& X\\ & & & & M_{55}^3& X\\ & & & & & M_{66}^3\end{array}\right];$

上述矩阵的空白处代表其元素值为-∞，本实施例中以-10000表示；且 和

的矩阵阶数都为54；X表示其中可能存在非负元素。

对每一Mⁱ(i＝1，2，3)运用分块快速约简方法，分块快速约简方法结束时，获取矩阵M的方程整体最优偏移向量C和变量整体最优偏移向量D，计算该方法的时间复杂度，并与其他方法比较，如下表1所示，其计算机配置为AMD Athlon(tm)II X4-645CPU3.10GHz，RAM4.00GB，32位系统；最后根据方程整体最优偏移值C，将DAE系统快速准确地转化为ODE系统，并找出一致初始点值的约束方程。

针对上述实施例，分别运用分块快速约简方法(BFRM)、Pryce方法和WBGBIR方法，获得时间复杂度如下表：

表1分块快速约简方法与其他方法时间复杂度的比较表

	M1	M2	M3
				BFRM方法	0.06036	0.05481	0.13926
Pryce方法	0.06942	0.06417	0.44486
				WBGBIR方法	0.06823	0.06400	0.43745

注：单位为秒。

最后应当说明的是：以上实施例仅用于说明本申请的技术方案而非对其保护范围的限制，尽管参照上述实施例对本申请进行了详细的说明，所属领域的普通技术人员应当理解：本领域技术人员阅读本申请后依然可对申请的具体实施方式进行种种变更、修改或者等同替换，但这些变更、修改或者等同替换，均在申请待批的权利要求保护范围之内。

Claims (10)

1.一种DAE系统的指标约简方法，其特征在于：所述方法包括以下步骤：

I、将所述DAE系统转化为∑矩阵；

II、将所述∑矩阵分解为块状上三角矩阵；

III、运用分块快速约简方法对每块所述上三角矩阵进行约简，获取局部最优偏移向量；

IV、根据每个子上三角矩阵的所述局部最优偏移向量扩展成∑矩阵的整体最优偏移向量。

2.如权利要求1所述的一种DAE系统的指标约简方法，其特征在于：所述步骤II中将∑矩阵进行块状上三角矩阵分解，分解为

其中

i＝1，2....，p。

3.如权利要求1所述的一种DAE系统的指标约简方法，其特征在于：所述步骤III包括以下步骤：

S301、根据所述∑矩阵确定n阶p块上三角结构的∑矩阵

存储每一对角子方阵阶数到对应的p维向量S=[n₁，n₂，...，n_p]_1×p中，且满足

S302、初始化设定，包括：设定i=1，设定n维p块参数向量MD=[MD₁，MD₂，...，MD_p]_1×p和

方程偏移值向量分别为C=[C₁，C₂，...，C_p]_1×p和

变量偏移值向量分别为D=[D₁，D₂，...，D_p]_1×p和

S303、确定所述∑矩阵M的中间矩阵MS；

S304、运用含参数横截面约简方法，获取系统偏移向量C_i和D_i，[C_i，D_i]＝PTRM(MS,MD_i)，D_i=MD_i，其中，C_i为方程偏移向量，D_i为变量偏移向量，MS为矩阵M的中间矩阵，MD_i为参数向量；

S305、判断i是否等于p，是则输出方程偏移值向量C和变量偏移值向量D；否则，i＝i+1；

S306、更新非对角矩阵[M_i-1,i，M_i-1,i+1，…，M_i-1，p]；

S307、确定所述非对角矩阵中各列的最大值，更新为参数向量[MD_i，MD_i+1，...，MD_p]，返回步骤S303。

4.如权利要求3所述的一种DAE系统的指标约简方法，其特征在于：所述步骤S304中，运用含参数横截面约简方法获取偏移向量C_i和D_i包括以下步骤：

S3041、确定n(n＞1)阶∑矩阵M和所述n维参数向量MD；

S3042、初始化设定；包括：设定方程偏移值向量C₀、方程偏移值向量C₁、变量偏移值向量D₀和变量偏移向量D₁为n维零向量，所述∑矩阵M的最大值横截面T为空集，系统的动态∑矩阵CM初始化为M；

S3043、调整所述变量偏移向量D₁；

S3044、通过运用匈牙利方法，获取所述∑矩阵M的最大值横截面T；

S3045、更新所述方程偏移向量C₁；

S3046、判断所述方程偏移向量C₀是否等于所述方程偏移向量C₁：是，则输出所述方程偏移向量C₁和所述变量偏移向量D₁；否则，所述方程偏移向量C₀更新为所述方程偏移向量C₁，进入步骤S3047；

S3047、更新所述变量偏移向量D₁，返回步骤S3045。

5.如权利要求3所述的一种DAE系统的指标约简方法，其特征在于：所述步骤S303中，取所述∑矩阵M的第i的子方阵为中间矩阵MS。

6.如权利要求3所述的一种DAE系统的指标约简方法，其特征在于：所述步骤S306中，更新非对角矩阵[M_i-1，j，M_i-1，i+1，…，M_i-1，p]包括：

对k=1，2，...，n_i-1，若C_i-1(k)＞0，取M_i-1，j(k，l)=M_i-1，j(k，l)+C_i-1(k)，其中l=1，2，...，n_j，j=i，i+1，...，p。

7.如权利要求4所述的一种DAE系统的指标约简方法，其特征在于：所述步骤S3043中，判断是否输入参数向量MD，若没有输入参数向量MD，调整所述变量偏移向量D₁为 $D_1\left(j\right)=\underset{i\∈\{\mathrm{1,2},..,n\}}{\max }{M}_{\mathrm{ij}},j=\mathrm{1,2},...,n;$

否则，先取所述变量偏移值向量D₀为再调整所述变量偏移值向量D₁为D₁(j)=max{D₀(j)，MD₁(j)}。

8.如权利要求4所述的一种DAE系统的指标约简方法，其特征在于：所述步骤S3045中，依次取i∈{1，2，...，n}，必有唯一的j使得(i，j)∈T，更新C₁(i)=D₁(j)-M(i，j)。

9.如权利要求4所述的一种DAE系统的指标约简方法，其特征在于：所述步骤S3047中，先更新所述∑矩阵CM，对i＝1，2，...，n，若C₁(i)＞0，取CM(i，j)=M(i，j)+C₁(i)，j=1，2...，n；然后更新D₁为 $D_1\left(j\right)=\underset{i\∈\{\mathrm{1,2},..,n\}}{\max }{\mathrm{CM}}_{\mathrm{ij}},j=\mathrm{1,2},...,n.$

10.如权利要求1所述的一种DAE系统的指标约简方法，其特征在于：所述步骤IV中，确定每个子上三角矩阵的所述局部最优偏移向量C_i，根据每个子上三角矩阵的所述局部最优偏移向量C_i扩展成∑矩阵的整体最优偏移向量C=[C₁，C₂，...，C_p]_1×p。

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