CN103728617A - 双基地合成孔径雷达时域快速成像方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种双基地合成孔径雷达时域快速成像方法，具体采用后向投影积分函数中的格林函数的低阶近似，完成了子孔径全视图成像，通过迭代进行孔径合成和视图划分，在每次迭代阶段，利用上层阶段的子孔径图像综合为合成孔径图像，最终完成全孔径成像，从而实现了双基地SAR的精确聚焦，其点是采用从信号空间到图像空间分块迭代投影的方法在时域成像，通过借助格林函数的低阶近似特性完成了子图粗聚焦，通过迭代逐渐提高聚焦精度。

Description

双基地合成孔径雷达时域快速成像方法

技术领域

本发明属于雷达技术领域，具体涉及合成孔径雷达（Synthetic Aperture Radar，SAR）成像技术中的双基地SAR的成像方法。

背景技术

SAR是一种全天时、全天候的现代高分辨率微波遥感成像雷达，在军事侦察、地形测绘、植被分析、海洋及水文观测、环境及灾害监视、资源勘探以及地壳微变检测等领域，SAR发挥了越来越重要的作用。

双基地SAR由于收发分置而有着很多突出的优点，它能获取目标的非后向散射信息，具有作用距离远、隐蔽性和抗干扰性强等特点。另外，由于双基地SAR接收机不含大功率器件，其功耗低、体积小、重量轻，便于多种类型的飞机携带，造价较低。总之，双基地SAR作为一种空间对地观测的新手段，在民用和军用领域都有着广阔的发展空间。

在双基地模式下，由于收发分置，双基斜距和具有以方位时间为变量的双根式形式，而无法得到回波的精确的二维频谱。因此，传统的频域成像算法，如距离多普勒、ChirpScaling和Omega-K等算法均不能直接应用于双基地SAR模式，因为它们均是基于精确二维频谱形式的成像处理方法。

时域成像算法中，文献：Fast Backprojection Algorithm for Bistatic SAR Imaging，Yun FengShao,Robert Wang,Yun Kai Deng,Y.Liu,Runpu Chen,Gang Liu,Otmar Loffeld,IEEEGeoscience and Remote Sensing Letters，2013,10(5):1080-1084，提出用子视图后向投影方法，用双通道信号完成距离压缩，子视图数据作为合成波束完成精确成像，在合成波束时利用了斜距和的近似，在精确成像时补偿了由斜距和近似导致的相位误差，较单基合成孔径雷达（SAR）后向投影算法中的子视图方法，成像效果更加精确，但是此方法的算法复杂度为N^2.5（其中，N为数据方阵的大小），大于频域成像方法的复杂度，不能实现快速成像。

文献：Efficient Time-Domain Image Formation with Precise Topography Accommodationfor General Bistatic SAR Configurations，Marc Rodriguez_Cassola,Pau Prats,Gerhard Krieger,Alberto Moreira,IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2011,47(4):2949-2966，采用快速因式分解式时域投影方法,随着孔径的合成与成像区域的分解，逐渐由粗成像完成精成像，此方法通过迭代执行合成波束最终完成成像，实现了降低时域后向投影复杂度到N²log(N)，然而该方法在合成波束过程中也采用斜距和近似的理论，并且没有进行近似投影导致的相位误差的补偿，从而影响了成像的精度。

发明内容

本发明的目的是针对背景技术存在的缺陷，研究设计一种双基地SAR时域快速成像处理方法，解决双基地SAR频域成像方法受限于精确频谱未知和现有双基地SAR时域成像方法运算量大或聚焦精度差，从而无法实现双基地SAR的精确聚焦的问题。

为了方便描述本发明的内容，首先对以下术语进行解释：

术语1：双基地SAR(BASR)

双基地SAR是指系统发射站和接收站分置于不同平台上的SAR系统，其中至少有一个平台为运动平台，在概念上属于双基地雷达。

本发明提供了一种双基地合成孔径雷达时域快速成像方法，具体包括如下步骤：

步骤一：成像系统参数初始化；

发射平台零时刻位置记为(x_T,y_T,z_T)，其中，x_T为x方向（切航线方向）坐标，y_T为y方向（沿航线方向）坐标，z_T为发射站高度；接收站零时刻位置记为(x_R,y_R,z_R),其中x_R为切航线方向坐标，y_R为沿航线方向坐标，z_R为接收站高度。发射站速度记为V，并平行y轴运动，接收站速度记为V，并沿y轴运动，任意目标点坐标记为(x,y)，其中，x为目标切航线方向坐标，y为目标沿航线方向坐标；

将方位时间向量记为：T_a={-PRI·N_a/2,-PRI·(N_a/2-1),…，PRI·(N_a/2-1)}^T，PRI为脉冲重复间隔，N_a为目标回波方位点数。双基地距离历史和为R_b(t;x,y)=R_T(t;x,y)+R_R(t;x,y)，其中，t为方位时间变量，R_T(t;x,y)，R_R(t;x,y)分别为发射站和接收站的距离历史，

$R_T(t;x,y)=\sqrt{{(x-x_T)}^2+{(y-\mathrm{Vt}-y_T)}^2+{h_T}^2}---\left(1\right)$

$R_R(t;x,y)=\sqrt{{(x-x_R)}^2+{(y-\mathrm{Vt}-y_R)}^2+{h_R}^2}---\left(2\right)$

点目标P(x,y)回波表达式记为S_r(t,τ;x,y),

$\begin{array}{c}{S}_r(t,\mathrm{\τ};x,y)=\mathrm{rect}\left[\frac{\mathrm{\τ}-{\mathrm{\τ}}_d(t;x,y)}{T_r}\right]{\mathrm{\ω}}_a\left[\frac{t-t_d\left(y\right)}{T_a}\right]\\ \×\exp \left\{\mathrm{j\π}{K}_r{[\mathrm{\τ}-\frac{R_T(t;x,y)+R_R(t;x,y)}{c}]}^2\right\}\\ \×\exp \{-j2\mathrm{\π}{f}_{\mathrm{center}}\frac{R_T(t;x,y)+R_R(t;x,y)}{c}\}\end{array}---\left(3\right)$

其中，τ为距离向时间变量，τ_d(t;x,y)为点目标P(x,y)的双基距离和延时，rect[·]和ω_a[·]分别代表距离时间窗和方位时间窗，t_d(y)=y/V是方位时间延迟，K_r是发射信号的时间调频斜率，c为光速，f_center为载波频率，T_r和T_a分别代表距离时间脉宽和方位合成孔径时间。

构造距离频率向量f={f_s/2,f_s/N_r,…,f_s/2-f_s/N_r}，f_s为距离向采样频率，N_r为距离向点数；

步骤二：计算BSAR点目标距离压缩后距离向频谱；

利用驻定相位原理计算点目标距离压缩后距离向频谱表达式，其距离向频谱形式记为S_f(f,t;x,y)，

$\begin{array}{c}{S}_f(f,t;x,y)={\mathrm{\ω}}_a\left[\frac{t-t_d\left(y\right)}{T_a}\right]\×\mathrm{\ρ}(f,t;x,y)\\ \×\exp \{-j2\mathrm{\π}(f+f_{\mathrm{center}})\frac{R_T(t;x,y)+R_R(t;x,y)}{c}\}\end{array}---\left(4\right)$

其中，f为距离向频率，ρ(f,t;x,y)为目标P(x,y)的距离压缩后距离向频谱包络。

步骤三：构造蝶形算法的后向投影积分公式；

建立后向投影积分公式

$m(x,y)=\∫\∫\exp \left\{j2\mathrm{\π}(f+f_{\mathrm{center}})\frac{R_T(t;x,y)+R_R(t;x,y)}{c}\right\}{S}_f(f,t;x,y)\mathrm{dfdt}---\left(5\right)$

其中，m(x,y)为场景任意点(x,y)处的像素值，一般称此积分公式内的指数函数 $G(f,t;x,y)=\exp \left\{j2\mathrm{\π}(f+f_{\mathrm{center}})\frac{R_T(t;x,y)+R_R(t;x,y)}{c}\right\}$ 为格林函数。

步骤四：对信号空间和图像空间进行网格划分，并定义对应的四叉树；

定义信号空间Y=[f_min,f_max]×[t_min,t_max]，其中，(f,t)∈Y，f_min为回波信号最小距离向频率，t_min为回波最早方位时刻，f_max为回波最大距离向频率，t_max为回波最终方位时刻；

图像空间X=[x_min,x_max]×[y_min,y_max]，其中(x,y)∈X，x_min、y_min分别为成像场景二维最小边界，x_max、_ymax分别为成像场景二维最大边界；

定义信号空间Y上四叉树T_Y，其中，树的根节点为全空间，树的叶子节点为对Y的两维分别做N_r倍的划分形成的网格节点；

图像空间X上四叉树T_X也同样建立，其中，树的根节点为全空间，树的叶子节点为对X的两维分别做N_a倍的划分形成的网格节点。

步骤五：利用T_Y中叶子节点信号对T_X中的根节点投影成像；

对T_X的根节点A，以及T_Y的任一叶子节点，记为B，由B所对应的信号投影到节点A中，得到的全区域粗聚焦图像为：

$m^B(x,y)=\underset{f}{\mathrm{\Σ}}\underset{t}{\mathrm{\Σ}}\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\α}}_k^{\mathrm{AB}}(x,y){\mathrm{\β}}_k^{\mathrm{AB}}(f,t)S_f(f,t;x,y)---\left(6\right)$

其中，(x,y)∈A，为积分函数中格林函数

通过二维拉格朗日插值得到的格林函数低阶近似表示，由此可以计算迭代算法的初始展开系数：

${\mathrm{\δ}}_k^{\mathrm{AB}}=\underset{f}{\mathrm{\Σ}}\underset{t}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\β}}_k^{\mathrm{AB}}\left(y\right)S_f(f,t)---\left(7\right)$

其中，

${\mathrm{\β}}_k^{\mathrm{AB}}\left(y\right)=e^{-j2\mathrm{\π}{f}_{\mathrm{center}}\mathrm{\Φ}(x_0\left(A\right),y_k^B)}{L}_k^B\left(y\right)e^{j2\mathrm{\π}{f}_{\mathrm{center}}\mathrm{\Φ}(x_0\left(A\right),y)}---\left(8\right)$

Φ(x,y)=(f+f_center)/f_center·(R_T(t;x,y)+R_R(t;x,y))/c    (9)

$\mathrm{\Φ}(x_0\left(A\right),y_k^B)=\mathrm{\Φ}{(x,y)|}_{(x,y)=(x_0\left(A\right),y_k^B)}$

$\mathrm{\Φ}(x_0\left(A\right),y)=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{x=x_0\left(A\right)}$

二维变量y代表信号空间的二维坐标(f,t)，二维变量x代表成像场景的二维坐标(x,y)。x₀(A)=(x₀,y₀)是场景节点A的中心位置的坐标，

是信号空间节点B上的二维插值点，其中，k₁、k₂代表插值点下标，

是距离频率维插值点坐标，

是方位时间维插值点坐标，1≤k₁≤r_ε，1≤k₂≤r_ε，r_ε为一维插值点的个数，在节点B中二维插值点个数为

二维拉格朗日插值基函数：

$L_k^B\left(y\right)=\underset{l\≤i\≤r_{\mathrm{\ϵ}},i\≠k_1}{\mathrm{\Π}}\frac{f-{f_i}^B}{f_{k_1}^B-{f_i}^B}\underset{l\≤j\≤r_{\mathrm{\ϵ}},j\≠k_2}{\mathrm{\Π}}\frac{t-t_j^B}{t_{k_2}^B-t_j^B}---\left(10\right)$

其中，f_i ^B为距离频率插值点，

为方位时间插值点。

步骤六：利用信号域四叉树子节点对应展开系数，迭代计算双亲节点对应展开系数

迭代运算过程中，成像网格由根节点向叶子节点逐渐划分，信号空间网格由叶子节点向根节点逐渐综合。

迭代形式为：

${\mathrm{\δ}}_k^{\mathrm{AB}}=e^{-j2\mathrm{\π}{f}_{\mathrm{center}}\mathrm{\Φ}(x_0\left(A\right),y_k^B)}\underset{m}{\mathrm{\Σ}}\underset{k^{\′}}{\overset{r_{\mathrm{\ϵ}}}{\mathrm{\Σ}}}\left(L_t^B\left(y_{k^{\′}}^{B_m}\right)e^{j2\mathrm{\π}{f}_{\mathrm{center}}\mathrm{\Φ}(x_0\left(A\right),y_{k^{\′}}^{B_m})}{\mathrm{\δ}}_{k^{\′}}^{A^p{B}_m}\right)---\left(11\right)$

其中，B_m为当前节点B的子节点，为节点B_m上的二维插值点；A^p为节点A的双亲节点，

为上一阶段计算得到的展开系数。当四叉树的深度为偶数时，迭代的终止时刻为节点A或B的深度为树的深度的一半；当四叉树的深度为奇数，迭代的终止时刻为节点A或B的深度为树的深度减去1后的一半。

步骤七：在图像域中间节点和信号域中间节点分别确定插值点，计算转换后展开系数

转换形式为：

${\mathrm{\δ}}_k^{\mathrm{AB}}=\underset{s}{\overset{r_{\mathrm{\ϵ}}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_s^{\mathrm{AB}}\left(x_k^A\right){\mathrm{\δ}}_s^{\mathrm{AB}}---\left(12\right)$

其中，

${\mathrm{\α}}_s^{\mathrm{AB}}\left(x_k^A\right)=e^{j2\mathrm{\π}{f}_{\mathrm{center}}\mathrm{\Φ}(x_k^A,y_s^B)}---\left(13\right)$

$\mathrm{\Φ}({\left(x_k^A\right)}_k^A,y_s^B)=\mathrm{\Φ}(\left(x_k^A\right),y){|}_{(\left(x_k^A\right),y)=({\left(x_k^A\right)}_k^A,y_s^B)}$

为图像域四叉树T_X的中间节点A上的插值节点，

为插值点切航线维坐标，

为插值点沿航线维坐标，

为信号域四叉树T_Y的中间节点B上的插值点，

为插值点距离频率维坐标，为插值点方位时间维坐标。

步骤八：利用图像域四叉树双亲节点对应展开系数，迭代计算子节点对应展开系数，

类似于步骤六进行网格的划分与合成，并由前一阶段的展开系数计算当前阶段的展开系数。

迭代形式为：

${\mathrm{\δ}}_k^{\mathrm{AB}}={\underset{m}{\mathrm{\Σ}}e}^{j2\mathrm{\π}{f}_{\mathrm{center}}\mathrm{\Φ}(x,y_0\left(B_m\right))}\underset{k^{\′}}{\overset{r_{\mathrm{\ϵ}}}{\mathrm{\Σ}}}\left(L_{k^{\′}}^A{\left(x\right)e}^{-j2\mathrm{\π}{f}_{\mathrm{center}}\mathrm{\Φ}(x_{k^{\′}}^{A^p},y_0\left(B_m\right))}{\mathrm{\δ}}_{k^{\′}}^{A^p{B}_m}\right)---\left(14\right)$

其中，二维拉格朗日插值基函数为：

$\mathrm{\Φ}(x,y_0\left(B_m\right))=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{y=y_0\left(B_m\right)}$

$\mathrm{\Φ}(x_{k^{\′}}^{A^p},y_0\left(B_c\right))=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{(x,y)=(x_{k^{\′}}^{A^p},y_0\left(B_c\right))}$

$L_k^A\left(x\right)=\underset{l\≤i\≤r_{\mathrm{\ϵ}},i\≠k_1}{\mathrm{\Π}}\frac{x-x_i^A}{x_{k_1}^A-x_i^A}\underset{l\≤j\≤r_{\mathrm{\ϵ}},j\≠k_2}{\mathrm{\Π}}\frac{y-y_j^A}{y_{k_2}^A-y_j^A}$

其中，

为切航线插值点，

为沿航线插值点。此时，迭代的终止时刻为节点B为信号域全尺度空间Y；

步骤九：通过图像域四叉树的叶子节点对应展开系数计算成像网格节点的像素值，完成精聚焦成像，

设树T_Y的根节点为B，树T_X的叶子节点为A，则由节点B到A的全孔径投影为

$m\left(x\right)=e^{j2\mathrm{\π}{f}_{\mathrm{center}}\mathrm{\Φ}(x,y_0\left(B\right))}\underset{k}{\overset{r_{\mathrm{\ϵ}}}{\mathrm{\Σ}}}(L_k^A\left(x\right)e^{-j2\mathrm{\π}{f}_{\mathrm{center}}\mathrm{\Φ}(x_k^A,y_0\left(B\right))}{\mathrm{\δ}}_k^{\mathrm{AB}}---\left(15\right)$

其中，

$\mathrm{\Φ}(x,y_0\left(B\right))=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{y=y_0\left(B\right)}$

$\mathrm{\Φ}(x_k^A,y_0\left(B\right))=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{(x,y)=(x_k^A,y_0\left(B\right))}$

y₀(B)为根节点的中心，A为图像域四叉树的任意叶子节点，x∈A，每一个A对应的投影数据m(x)即为整个图像。

本发明的有益效果：本发明的方法具体采用后向投影积分函数中的格林函数的低阶近似，完成了子孔径全视图成像，通过迭代进行孔径合成和视图划分，在每次迭代阶段，利用上层阶段的子孔径图像综合为合成孔径图像，最终完成全孔径成像，从而实现了双基地SAR的精确聚焦，其点是采用从信号空间到图像空间分块迭代投影的方法在时域成像，通过借助格林函数的低阶近似特性完成了子图粗聚焦，通过迭代逐渐提高聚焦精度。具体的，通过基于拉格朗日插值的格林函数的低阶近似展开，将计算子孔径投影的问题转换为计算有限个近似展开系数的问题，在满足聚焦精度的条件下可以尽可能地减小展开系数的个数，从而降低了算法的计算量，再利用迭代运算完成从粗聚焦到精聚焦的成像；与现有双基地SAR时域成像方法相比，运算速度有显著的提高，而且成像精度更高。本发明的方法可以应用于地球遥感、自主着落、自主导航等领域。

附图说明

图1是本发明提供方法的流程框图。

图2是本发明具体实施例采用的双基地合成孔径雷达系统结构图。

图3是本发明具体实施例采用的双基地合成孔径雷达系统参数表图。

图4是本发明四叉树结构信号空间的合成与成像空间分解趋势图。

图5是本发明具体实施例中采用的目标场景布置图。

图6是本发明具体实施例中对图5中9个点目标进行成像的结果图。

图7是图5中A、O、B点的成像结果图。

具体实施方式

本发明主要采用仿真实验的方法进行验证，所有步骤、结论都在Matlab2010上验证正确，实施方式采用的双基地合成孔径雷达系统结构图如图2所示，下面就具体实施方式对本发明的方法作进一步的详细描述，流程示意图如图1所示。

步骤1：对成像区域任意一点目标，计算接收站距离历程和发射站距离，产生BSAR点目标仿真回波数据，记为S(t,τ;x,y)，并且设定此矩阵为方阵，仿真所需的参数如图3所示，目标场景如图5所示。图中的黑色圆点为布置于地面上的3×3共9个点目标。这9个点沿x方向（切航迹）间隔400米，沿y方向（沿航迹）间隔50米。平台沿y轴运动。

步骤2：对步骤1产生的回波数据S(t,τ;x,y)分别进行距离向FFT，得到BSAR距离向频谱数据，记为S(f,t;x,y)，根据匹配滤波原理，进行距离压缩，得到距离压缩后频谱数据S_f(f,t;x,y)。

步骤3：构造蝶形算法的后向投影积分公式，

建立后向投影积分公式：

$m(x,y)=\∫\∫\exp \left\{j2\mathrm{\π}(f+f_{\mathrm{center}})\frac{R_T(t;x,y)+R_R(t;x,y)}{c}\right\}{S}_f(f,t;x,y)\mathrm{dfdt}$

步骤4：选取成像区域X=[x_min,x_max]×[y_min,y_max]，确定距离压缩后频谱数据S_f(f,t;x,y)所在信号空间Y=[f_min,f_max]×[t_min,t_max]，将信号空间Y划分成均匀的网格，网格数为N_r×N_a。

步骤5：根据切比雪夫网格计算公式，在Y上的任一网格B内，计算插值点

其中一维切比雪夫网格计算公式为i=0、1、…、n-1，由式(7)计算得初始展开系数。

步骤6：划分成像区域X，两维分别做一次等分，划分的任一网格节点A中心点记(x₀(A),y₀(A))，将空间Y上已划网格进行综合，任一网格节点B由子节点B_m合成，如图4所示。计算节点B上切比雪夫网格点作为插值点，由(11)式计算与节点A、B对应的展开系数重复此步骤，直至节点A和B的深度为l=L/2。

步骤7：由节点A、B生成的

根据转换式(12)计算切比雪夫网格插值点

上像素值

由此计算得所有节点A上的像素值为节点B投影的粗聚焦的子图像。

步骤8：对区域X上网格进行等分，Y空间上网格进行综合，记X上任一网格A上的切比雪夫网格插值点为

Y上任一节点B的中心点(f₀(B)，t₀(B))，由式(14)计算插值点

处像素值

重复此步骤，直至空间Y上网格数为1，即节点B的深度为l=0.

步骤9：由节点A内切比雪夫网格插值点

的像素值根据式(15)计算节点A内每个点(x,y)的像素值，完成图像精聚焦。

图6是对图5中9个点目标进行成像的结果；图7是图5中A、O、B点的成像结果，其中，a）为A点，（b）为O点，（c）为B点。从图中可以看出，本发明提供的方法可以很好的实现双基地SAR成像处理，能够实现对双基地斜视SAR回波的精确聚焦。

Claims (1)

1.一种双基地合成孔径雷达时域快速成像方法，具体包括如下步骤：

步骤一：成像系统参数初始化，

发射平台零时刻位置记为(x_T,y_T,z_T)，其中，x_T为切航线方向坐标，y_T为沿航线方向坐标，z_T为发射站高度；接收站零时刻位置记为(x_R,y_R,z_R),其中，x_R为切航线方向坐标，y_R为沿航线方向坐标，z_R为接收站高度，发射站速度记为V，并平行y轴运动，接收站速度记为V，并沿y轴运动，任意目标点坐标记为(x,y)，其中，x为目标切航线方向坐标，y为目标沿航线方向坐标；

将方位时间向量记为：T_a={-PRI·N_a/2,-PRI·(N_a/2-1),…,PRI·(N_a/2-1)}^T，PRI为脉冲重复间隔，N_a为目标回波方位点数，双基地距离历史和为R_b(t;x,y)=R_T(t;x,y)+R_R(t;x,y)，其中，t为方位时间变量，R_T(t;x,y)，R_R(t;x,y)分别为发射站和接收站的距离历史， $R_T(t;x,y)=\sqrt{{(x-x_T)}^2+{(y-\mathrm{Vt}-y_T)}^2+{h_T}^2},$ $R_R(t;x,y)=\sqrt{{(x-x_R)}^2+{(y-\mathrm{Vt}-y_R)}^2+{h_R}^2};$

点目标P(x,y)回波表达式记为S_r(t,τ;x,y),

$\begin{array}{c}{S}_r(t,\mathrm{\τ};x,y)=\mathrm{rect}\left[\frac{\mathrm{\τ}-{\mathrm{\τ}}_d(t;x,y)}{T_r}\right]{\mathrm{\ω}}_a\left[\frac{t-t_d\left(y\right)}{T_a}\right]\\ \×\exp \left\{\mathrm{j\π}{K}_r{[\mathrm{\τ}-{\mathrm{\τ}}_d(t;x,y)]}^2\right\}\\ \×\exp \{-j2\mathrm{\π}{f}_{\mathrm{center}}{\mathrm{\τ}}_d(t;x,y)\}\end{array}$

其中，τ为距离时间变量，

为点目标P(x,y)的双基距离和延时，rect[·]和ω_a[·]分别代表距离时间窗和方位时间窗，t_d(y)=y/V是方位时间延迟，K_r是发射信号的时间调频斜率，c为光速，f_center为载波频率，T_r和T_a分别代表距离时间脉宽和方位合成孔径时间；

构造距离频率向量

f_s为距离向采样频率，N_r为距离向点数；

步骤二：计算BSAR点目标距离压缩后距离向频谱，

利用驻定相位原理得到点目标距离向频谱，并利用匹配滤波原理进行脉冲压缩，可得距离压缩后的距离向频谱形式记为S_f(f,t;x,y)，

$\begin{array}{c}{S}_f(f,t;x,y)={\mathrm{\ω}}_a\left[\frac{t-t_d\left(y\right)}{T_a}\right]\×\mathrm{\ρ}(f,t;x,y)\\ \×\exp \{-j2\mathrm{\π}(f+f_{\mathrm{center}})\frac{R_T(t;x,y)+R_R(t;x,y)}{c}\}\end{array}$

其中，

为距离向频率，ρ(f,t;x,y)为目标P(x,y)的距离压缩后距离向频谱包络；

步骤三：构造后向投影积分公式，

建立后向投影的二维积分公式：

$m(x,y)=\∫\∫\exp \left\{j2\mathrm{\π}(f+f_{\mathrm{center}})\frac{R_T(t;x,y)+R_R(t;x,y)}{c}\right\}{S}_f(f,t;x,y)\mathrm{dfdt}$

其中，m(x,y)为场景任意点P(x,y)处的像素值，定义积分公式内的指数函数 $G(f,t;x,y)=\exp \left\{j2\mathrm{\π}(f+f_{\mathrm{center}})\frac{R_T(t;x,y)+R_R(t;x,y)}{c}\right\}$ 为格林函数；

步骤四：对信号尺度空间和成像尺度空间进行网格划分，并定义对应的四叉树，

定义信号尺度空间Y=[f_min,f_max]×[t_min,t_max]，使得距离向频谱参数(f,t)∈Y，f_min为信号最小距离向频率，t_min为最初方位时刻，f_max为信号最大距离向频率，t_max为最终方位时刻；

定义成像尺度空间X=[x_min,x_max]×[y_min,y_max]，其中，(x,y)∈X，x_min、y_min分别为成像场景的二维最小边界，x_max、y_max分别为成像场景的二维最大边界；

构造信号尺度空间Y上四叉树T_Y，其中，树的根节点为全空间区域，树的叶子节点为对Y的两维分别做N_r倍的划分形成的网格节点，树的深度记为L，并且为偶数，节点深度记为l；

构造图像尺度空间X上四叉树T_X，其中，树的根节点为全空间区域，树的叶子节点为对X的两维分别做N_a倍的划分形成的网格节点，树的深度同样为L，节点深度为l；

步骤五：利用T_Y中叶子节点信号对T_X中的根节点投影成像，

对T_X的根节点A，以及T_Y的任一叶子节点，记为B，由B所对应的信号投影到节点A中，得到的全区域粗聚焦图像为：

$m^B(x,y)=\underset{f}{\mathrm{\Σ}}\underset{t}{\mathrm{\Σ}}\underset{k_1,k_2}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\α}}_{k_1{k}_2}^{\mathrm{AB}}(x,y){\mathrm{\β}}_{k_1,k_2}^{\mathrm{AB}}(f,t)S_f(f,t;x,y)$

其中，(x,y)∈A，(f,t)∈B，

为步骤三的后向投影积分函数中格林函数

通过二维拉格朗日插值得到的格林函数低阶近似表示，下标k₁，k₂表示四叉树节点B上的拉格朗日插值节点的下标；插值节点用一个二维变量表示为

再令x=(x,y)，y=(f,t)，图像聚焦公式为：

$m^B\left(x\right)=\underset{f}{\mathrm{\Σ}}\underset{t}{\mathrm{\Σ}}\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\α}}_k^{\mathrm{AB}}\left(x\right){\mathrm{\β}}_k^{\mathrm{AB}}\left(y\right)S_f(x,y)$

由此计算初始展开系数：

${\mathrm{\δ}}_k^{\mathrm{AB}}=\underset{f}{\mathrm{\Σ}}\underset{t}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\β}}_k^{\mathrm{AB}}\left(y\right)S_f(x,y)$

其中

${\mathrm{\β}}_k^{\mathrm{AB}}\left(y\right)=e^{-j2\mathrm{\π}{f}_{\mathrm{center}}\mathrm{\Φ}(x_0\left(A\right),y_k^B)}{L}_k^B\left(y\right)e^{j2\mathrm{\π}{f}_{\mathrm{center}}\mathrm{\Φ}(x_0\left(A\right),y)},$

Φ(x,y)=(f+f_center)/f_center·(R_T(t;x,y)+R_R(t;x,y))/c，

$\mathrm{\Φ}(x_0\left(A\right),y_k^B)=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{(x,y)=(x_0\left(A\right),y_k^B)},$

$\mathrm{\Φ}(x_0\left(A\right),y)=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{x=x_0\left(A\right)}.$

格林函数的低阶近似表示中的另一项为：

${\mathrm{\α}}_k^{\mathrm{AB}}\left(x\right)=e^{2\mathrm{j\π}{f}_{\mathrm{center}}\mathrm{\Φ}(x,y_k^B)}.$

二维变量y代表信号空间的二维坐标(f,t)，二维变量x代表成像场景的二维坐标(x,y)，x₀(A)=(x₀,y₀)是场景节点A的中心位置的坐标，是信号空间节点B上的二维插值点，其中，k₁、k₂代表插值点下标，

是距离频率维插值点坐标，

是方位时间维插值点坐标，1≤k₁≤r_ε，1≤k₂≤r_ε，r_ε为一维插值点的个数，在节点B中二维插值点个数为

二维拉格朗日插值基函数： $L_k^B\left(y\right)=\underset{l\≤i\≤r_{\mathrm{\ϵ}},i\≠k_1}{\mathrm{\Π}}\frac{f-{f_i}^B}{f_{k_1}^B-{f_i}^B}\underset{l\≤j\≤r_{\mathrm{\ϵ}},j\≠k_2}{\mathrm{\Π}}\frac{t-t_j^B}{t_{k_2}^B-t_j^B},$ 其中，f_i ^B为距离频率插值点，

为方位时间插值点，由切比雪夫插值法构造二维插值网格，其中一维切比雪夫网格计算公式为i=0、1、…、n-1，由此建立起的二维插值网格为

i=0、1、L、r_ε-1,j=0、1、L、r_ε-1；

步骤六：利用信号域四叉树子节点对应展开系数，迭代计算双亲节点对应展开系数，

迭代运算过程中，成像网格由根节点向叶子节点逐渐划分，信号空间网格由叶子节点向根节点逐渐综合；由迭代的前一阶段得到的展开系数计算当前阶段的展开系数，迭代形式为：

${\mathrm{\δ}}_k^{\mathrm{AB}}=e^{-j2\mathrm{\π}{f}_{\mathrm{center}}\mathrm{\Φ}(x_0\left(A\right),y_k^B)}\underset{m}{\mathrm{\Σ}}\underset{k^{\′}}{\overset{r_{\mathrm{\ϵ}}}{\mathrm{\Σ}}}\left(L_t^B\left(y_{k^{\′}}^{B_m}\right)e^{j2\mathrm{\π}{f}_{\mathrm{center}}\mathrm{\Φ}(x_0\left(A\right),y_{k^{\′}}^{B_m})}{\mathrm{\δ}}_{k^{\′}}^{A^p{B}_m}\right),$

其中，

为与节点A和B对应的展开系数，B_m为当前节点B的四个子节点中的其中一个子节点，为节点B_m上的二维插值点，由切比雪夫插值法构造二维插值网格；A^p为节点A的双亲节点，

为前一阶段计算得到的对应节点A^P和B_m展开系数；迭代的终止时刻为节点A和B的深度为l=L/2；

步骤七：在图像域中间节点和信号域中间节点分别确定插值点，计算转换后展开系数，

转换形式为： ${\mathrm{\δ}}_k^{\mathrm{AB}}=\underset{s}{\overset{r_{\mathrm{\ϵ}}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_s^{\mathrm{AB}}\left(x_k^A\right){\mathrm{\δ}}_s^{\mathrm{AB}},$ 其中， ${\mathrm{\α}}_s^{\mathrm{AB}}\left(x_k^A\right)=e^{j2\mathrm{\π}{f}_{\mathrm{center}}\mathrm{\Φ}(x_k^A,y_s^B)},$

为图像域四叉树T_X的中间节点A上的插值节点，

为插值点切航线维坐标，

为插值点沿航线维坐标，

为信号域四叉树T_Y的中间节点B上的插值点，

为插值点距离频率维坐标，

为插值点方位时间维坐标，此处在图像域和信号域的插值网格均由步骤五中的切比雪夫插值法构造；

步骤八：利用图像域四叉树双亲节点对应展开系数，迭代计算子节点对应展开系数，

迭代形式为：

${\mathrm{\δ}}_k^{\mathrm{AB}}={\underset{m}{\mathrm{\Σ}}e}^{j2\mathrm{\π}{f}_{\mathrm{center}}\mathrm{\Φ}(x,y_0\left(B_m\right))}\underset{k^{\′}}{\overset{r_{\mathrm{\ϵ}}}{\mathrm{\Σ}}}\left(L_{k^{\′}}^A{\left(x\right)e}^{-j2\mathrm{\π}{f}_{\mathrm{center}}\mathrm{\Φ}(x_{k^{\′}}^{A^p},y_0\left(B_m\right))}{\mathrm{\δ}}_{k^{\′}}^{A^p{B}_m}\right),$

其中， $\mathrm{\Φ}(x,y_0\left(B_m\right))=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{y=y_0\left(B_m\right)},\mathrm{\Φ}\left(x_{k^{\′}}^{A^p}{,y}_0\left(B_m\right)\right)=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{(x,y)=(x_{k^{\′}}^{A^p},y_0\left(B_m\right))},$ y₀(B_m)为节点B_m的中心位置的坐标

二维拉格朗日插值基函数为： $L_k^A\left(x\right)=\underset{l\≤i\≤r_{\mathrm{\ϵ}},i\≠k_1}{\mathrm{\Π}}\frac{x-x_i^A}{x_{k_1}^A-x_i^A}\underset{l\≤j\≤r_{\mathrm{\ϵ}},j\≠k_2}{\mathrm{\Π}}\frac{y-y_j^A}{y_{k_2}^A-y_j^A},$ 其中，

为切航线插值点，

为沿航线插值点；此时，迭代的终止时刻为节点B的深度为l=1；

步骤九：通过图像域四叉树的叶子节点对应展开系数计算成像网格节点的像素值，完成精聚焦成像，

设树T_Y由子节点合成为根节点B，树T_X的节点经过划分到叶子节点A，则由节点B到A的全孔径投影为：

$m\left(x\right)=e^{j2\mathrm{\π}{f}_{\mathrm{center}}\mathrm{\Φ}(x,y_0\left(B\right))}\underset{k}{\overset{r_{\mathrm{\ϵ}}}{\mathrm{\Σ}}}\left(L_k^A\left(x\right)e^{-j2\mathrm{\π}{f}_{\mathrm{center}}\mathrm{\Φ}(x_k^A,y_0\left(B\right))}{\mathrm{\δ}}_k^{\mathrm{AB}}\right),$

其中， $\mathrm{\Φ}(x,y_0\left(B\right))=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{y=y_0\left(B\right)},\mathrm{\Φ}\left(x_k^A{,y}_0\left(B\right)\right)=\mathrm{\Φ}(x,y){|}_{(x,y)=(x_k^A,y_0\left(B\right))},$ y₀(B)为根节点的中心，A为图像域四叉树的任意叶子节点，x∈A，每一个A对应的投影数据m(x)即为整个图像。

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