CN103685132B - 基于三维星座图簇调制的二维Chirped OFDM通信方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及基于三维星座图簇调制的二维Chirped OFDM通信方法，基于三维星座图簇调制的二维多载波通信技术，属于宽带无线数字通信领域。可以用于提高适用于双弥散信道传输的Chirped OFDM符号传输的准确性和安全性。本发明的方法根据正四面体的特殊性质，给出了一种从标准的MQAM星座图直接构造的三维星座图的设计方案，继承了MQAM的诸多优良性质，并且在此基础上增加了符号点间的距离，在新型的二维Chirped OFDM通信系统中减小误符号率，增加了通信的可靠性和安全性。

Description

基于三维星座图簇调制的二维Chirped OFDM通信方法

技术领域

本发明涉及基于三维星座图簇调制的二维ChirpedOFDM通信方法，基于三维星座图簇调制的二维多载波通信技术，属于宽带无线数字通信领域。可以用于提高适用于双弥散信道传输的ChirpedOFDM符号传输的准确性和安全性。

背景技术

正交频分复用(OrthogonalFrequencyDivisionMultiplexing，OFDM)具有频谱利用率高、抗多径干扰能力强的特点，被广泛的应用在无线通信领域中。然而在实际传输中，信道往往具有时变特性，OFDM系统容易收到频率选择性衰落的影响，产生较大的载波间干扰，使得OFDM信号的解调误码率很高。为了解决这个问题，研究人员从找到更适应于时变信道的传输方式和尽可能增大星座图点间距等两个方面来减少误码率，逐步研究出了两种方式：一是用新型的chirp载波的OFDM来替代原始的OFDM系统，通过分数阶傅里叶变换调制(fractionalFourierTransform,FrFT)从而更好地适应时变信道；二是拥有更大间距的高维星座图应用在OFDM系统中，通过增加符号间的距离有效地减少误符号率。

Martone指出基于FrFT的ChirpedOFDM系统在应对时频双弥散信道时，通过调整分数阶阶次能够一定程度上减少双弥散信道对符号进行的影响，与此同时，通过ChirpedOFDM的阶次选择，可以增加通信的安全性。

香农定理指出，多维星座图调制技术能够增加信息传输的效率，通过多维的星座图调制能够有效地减少信息传输的波特率。多维星座图调制技术，尤其是三维星座图调制，得到蓬勃的发展，基于正四面体和正六面体等一系列的三维星座图被设计出来。近些年来，三维星座图调制技术代替传统的QPSK等二维星座图调制技术，被应用到OFDM系统中，二维傅里叶变换来实现信号的正交调制和解调，该方法通过增加星座图符号间的距离，使得OFDM符号的误符号率得到了降低。因而设计一类实用的三维星座图簇，使得信号星座图间的距离几乎最优而又易于调制和解调成为一种需求。

综合考虑上述两方面需求，本发明提出了一类基于MQAM星座图的新型三维星座图的构造方案，并设计了基于该方案的新型二维的ChirpedOFDM系统，增加ChirpedOFDM符号传输的准确性和安全性。

发明内容

本发明的目的是为了提出基于三维星座图簇调制的二维ChirpedOFDM通信方法。

本发明的目的是通过以下技术方案实现的。

本发明的基于三维星座图簇调制的二维ChirpedOFDM通信方法，正四面体的顶点构成的三维星座图是满足最小距离最大化准则下的最优的4点三维星座图，它在二维平面上的投影(A₃考克斯特平面)是正四边形，为二维QPSK调制的星座图，因而它们构成一个同构映射。同时，二维平面的MQAM调制的星座图都可以看成是若干个QPSK星座图通过幅度，相位以及空间旋转等方式构成的集合。因而我们通过二维平面的MQAM调制来构建M点三维星座图的调制方式。根据这种思想，设计出新型普适的三维星座图，构建了基于此类三维星座图调制的二维chirpedOFDM系统，过程如下：

步骤1，依据通信原理中的数字带通调制技术关于正交振幅调制的设计方式，将标准的MQAM星座图中的M个星座点以QPSK星座图的点为单位，由外圈沿逆时针方向标记，划分为M/4个QPSK的组合形式；每个QPSK星座图点和三维正四面体星座图点对应，得到M/4个正四面体星座图组合。

步骤2，根据MQAM星座图点能量分布特点，即是距离原点的距离，将M/4个划分的QPSK星座图组合中相同能量的划归为一个组，共划分为K组，将它们与原点的不同距离为K个，由小到大记为R^k,k＝1,2,…,K；

步骤3，三维空间中构建K个同心球面，其半径为R^k,k＝1,2,…,K；在每个球面上构造相同方位的正六面体，取其4个不相邻的顶点构成正四面体星座图。根据步骤2中，划分的K组QPSK星座图组合，将正四面体星座图分组；

步骤4，根据能量层由内而外，R^k由小到大的顺序构建相应层上正四面体组合的星座图；选取内层上R¹的正六面体的4个不相邻顶点构成一个正四面体，相邻层上的正六面体在同样的方位的4个不相邻顶点构造正四面体星座图，并沿着z轴逆时针旋转π/2；如果位于同一层R^k上有两组正四面体，首先根据R^k-1层的正四面体，旋转π/2构成其中一个正四面体，然后在此基础上沿着z轴逆时针旋转π/2，构成一个正六面体星座图；所有由内而外的M/4个正四面体组旋转角度表示为：(π/2)^m,m＝0,1,…,(M/4)-1；

步骤5，根据正六面体坐标参数化M点三维星座图的坐标为S₀,S₁,…,S_M-1，在能量归一化准则和星座图点间最小欧氏距离最大化准则以及外能量层之间星座点间距不小于最内层R¹上正四面体星座点间的距离，求出最优的星座图点坐标；

步骤6，将初始的3N长度的二进制数据通过比特映射到所求出的M点三维星座图上，由于每个点3bit，得到N个映射后的星座点为Q_n＝(x_n,y_n,z_n)^T,n＝0,1,…,N-1，其中T表示转置；通过和传统ChirpedOFDM系统的融合，将Q₀,Q₁,…,Q_N-1作为新的二维分数阶域的ChirpedOFDM符号为：

$\begin{array}{c}S=(Q_0,Q_1,...,Q_{N-1})\\ ={\left(\begin{array}{cccc}{x}_0& x_1& ...& x_{N-1}\\ y_0& y_1& ...& y_{N-1}\\ z_0& z_1& ...& z_{N-1}\end{array}\right)}_{3\×N}\end{array}$

步骤7，对ChirpedOFDM系统的符号S做二维的逆分数阶傅里叶变换，行和列对应的分数阶旋转角度分别为α₁和α₂，得到的发送端的基带调制信号为：

$\begin{array}{c}s(n_1,n_2)=\sqrt{\frac{1-j{\mathrm{cot\α}}_1}{3}}\·\sqrt{\frac{1-j{\mathrm{cot\α}}_2}{N}}\×\exp (-\frac{j{\mathrm{cot\α}}_1}{2}{n}_1^2\·{\mathrm{\Δt}}^2)\×\exp (-\frac{j{\mathrm{cot\α}}_2}{2}{n}_2^2\·{\mathrm{\Δt}}^2)\\ \×\underset{k_1=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k_2=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}S(k_1,k_2)\·\exp (-\frac{j{\mathrm{cot\α}}_1}{2}{k}_1^2\·{\mathrm{\Δu}}_1^2+j\frac{2{\mathrm{\πn}}_1{k}_1}{3})\·\exp (-\frac{j{\mathrm{cot\α}}_2}{2}{k}_2^2\·{\mathrm{\Δu}}_2^2+j\frac{2{\mathrm{\πn}}_2{k}_2}{N})\end{array}$

其中，0≤n₁,k₁≤2，0≤n₂,k₂≤N-1，j是复数单位，Δt是时域的分辨率，Δu₁＝2π|sinα₁|/(3Δt)和Δu₂＝2π|sinα₂|/(NΔt)分别是行和列的分数域分辨率；

步骤8，接收端下变频后，接收到的包含高斯噪声基带信号为r＝(r₀,r₁,…,r_N-1)，其中r的第n₁行n₂列元素表示为r(n₁,n₂)，r_n＝s_n+n_n,n＝0,1,…,N-1，n_n＝(n_n,n_n,n_n)^T是三维加性高斯白噪声；r经过二维分数阶傅里叶变换进行解调后，得到的信号为R＝(R₀,R₁,…,R_N-1)，其中R_k＝R(k₁,k₂)的表达式如下：

$\begin{array}{c}R(k_1,k_2)=\sqrt{\frac{1-j\cot (-{\mathrm{\α}}_1)}{3}}\·\sqrt{\frac{1-j\cot (-{\mathrm{\α}}_2)}{N}}\×\exp (-\frac{j\cot (-{\mathrm{\α}}_1)}{2}{k}_1^2\·{\mathrm{\Δt}}^2)\×\exp (-\frac{j(-{\mathrm{\α}}_2)}{2}{k}_2^2\·{\mathrm{\Δt}}^2)\\ \×\underset{n_1=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n_2=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}r(n_1,n_2)\·\exp (-\frac{j\cot (-{\mathrm{\α}}_1)}{2}{n}_1^2\·{\mathrm{\Δt}}^2-j\frac{2{\mathrm{\πn}}_1{k}_1}{3})\·\exp (-\frac{j\cot (-{\mathrm{\α}}_2)}{2}{n}_2^2\·{\mathrm{\Δt}}^2-j\frac{2{\mathrm{\πn}}_2{k}_2}{N})\end{array}$

步骤9，求解调后得到的信号R_k与M点三维星座图S₀,S₁,…,S_M-1中的最小距离，选择距离最近的点作为要恢复的信号，最后将恢复的信号逆映射回原始3N长的二进制序列，则完成了整个二维通信过程。

本发明中涉及到的最优星座图的推导过程如下：

以8点的三维星座图为例简要说明一下本发明按照星座图点间最小距离最大化的准则推导出其最优的星座图点的坐标的过程。

假设构造的外能两层上星座点为S₀,S₂,S₄,S₆，内层上的星座点为S₁,S₃,S₅,S₇，依托于正六面体的特点，它们的坐标取值如下：

$\begin{array}{c}{S}_0={(a,a,a)}^T,S_1={(-b,-b,-b)}^T,S_2={(-a,-a,a)}^T,S_3={(b,b,-b)}^T\\ S_4={(a,-a,-a)}^T,S_5={(-b,b,b)}^T,S_6={(-a,a,-a)}^T,S_7={(b,-b,b)}^T\end{array},0<b\&le;a$

其中，T表示转置，当a＝b时，得到传统的8个点的正六面体星座图。

星座图点之间的最小距离可以表示为：

$d_{\min }=min\left\{\right||S_3-S_5||,||S_0-S_3|\left|\right\}=min\{2\sqrt{2b},\sqrt{3a^2+3b^2-2ab}\}$

其中||·||表示取向量的长度。

将该星座图的平均能量归一化得到：

$\sqrt{\frac{4(3a^2+3b^2)}{8}}=1\&DoubleRightArrow;a^2+b^2=\frac{2}{3}$

假设b＝ka,0＜k≤1，则得到

$a=\sqrt{2/\&lsqb;3(k^2+1)\&rsqb;},b=\sqrt{2k^2/\&lsqb;3(k^2+1)\&rsqb;}$

将上式带入d_min中得到归一化平均能量的星座图点之间的最小欧氏距离表达式为：

$d_{opt}=min\{2\sqrt{2}b,\sqrt{3a^2+3b^2-2ab}\}=min\{\frac{4k}{\sqrt{3(k^2+1)}},\sqrt{2-\frac{4k}{3(k^2+1)}}\}$

又因为其特殊形式，即正六面体的8个顶点构成的星座图的归一化平均能量的最小欧氏距离为：因此，选取所提的星座图的适用范围满足：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{4k}{\sqrt{3(k^2+1)}}\&GreaterEqual;d_{Hex}\\ \sqrt{2-\frac{4k}{3(k^2+1)}}\&GreaterEqual;d_{Hex}\end{array}\right.,k\&Element;(0,1\&rsqb;$

从而得到一类8点的星座图的适用范围为此时将上式带入中通过推导得出：

$g\left(k\right)=(6-4k-10k^2)/\&lsqb;3(k^2+1)\&rsqb;,k\&Element;\&lsqb;\sqrt{3}/3,1\&rsqb;$

又因其导数：g'(k)＜0，故g(k)在上单调递减。

令g(k)＝0得到k＝3/5，由于g(k)在上单调递减，则有以下两种情况：

1)当时，g(k)＞0，则在区间上单调递增，在最小欧氏距离最大化的准则下，其最大值在k＝0.6处取得为

2)当k∈(3/5,1]时，g(k)＜0，则在k∈(3/5,1]区间上单调递减，在最小欧氏距离最大化的准则下，其最大值在k＝3/5处取得为

因而当k＝3/5时，使得该星座图点间的最小距离最大。

有益效果

本发明的方法根据正四面体的特殊性质，给出了一种从标准的MQAM星座图直接构造的三维星座图的设计方法，继承了MQAM的诸多优良性质，并且在此基础上增加了符号点间的距离，在新型的二维ChirpedOFDM通信系统中减小误符号率，增加了通信的可靠性和安全性。

附图说明

图1为二维8QAM星座图调制；

图2为16QAM星座图调制；

图3为所提的三维8点星座图的一般形式；

图4为特殊正六面体星座图；

图5为所提的三维16点星座图的一般形式；

图6为最优16点星座图；

图7为基于所提三维星座图簇调制的二维ChirpedOFDM通信系统基本框图；

图8为三维8点星座图簇调制的二维ChirpedOFDM通信系统的误符号率对比；

图9为二维Chirped-OFDM系统的通信安全性能；

图10为三维星座图调制对新型通信系统安全性能的影响。

具体实施方式

根据前面“发明内容”部分中的论述，下面结合附图及实际仿真例子对本发明方法做详细说明，我们采用8QAM和16QAM星座图的构造过程为例，讲述新型星座图的构造过程，并将8QAM应用在二维ChirpedOFDM系统当中，通过接收端的误符号率来衡量其性能。

本发明依托于MQAM二维星座图提出的三维星座图簇，我们给出8QAM和16QAM对应三维星座图的构造过程，并将8QAM对应的三维星座图应用在新型的Chirped-OFDM系统中：

步骤1，依据通信原理的新型数字带通调制技术中关于正交振幅调制的设计方式，将MQAM星座图中的M个点以QPSK星座图的点为单位，由外圈开始标记，划分为M/4个QPSK的组合形式；图1和图2中，8QAM星座图划分为2个，16QAM星座图中的划分为4个；

步骤2，根据8QAM和16QAM星座图点能量分布特点，也即是距离原点的距离，在图1中，8QAM星座图的能量分为两层，每层1个QPSK星座图；和图2中，16QAM星座图的能量分为三层：1属于最大能两层，2和3属于中间能两层，4属于最小的能两层；

步骤3，根据步骤2的划分方式，在三维空间中分别构建2个和3个同心球面，由于基于8QAM和16QAM的位于同一能量层上的星座图点最多为8个，在每个球面上构造相同方位的正六面体，取其4个不相邻的顶点构成正四面体星座图。根据步骤2中分别划分的8QAM和16QAM所包含的QPSK星座图组合特点，将正四面体星座图做相同的分组；

步骤4，对于三维8个点的星座图(如图3)，选取内层上的正六面体的4个不相邻顶点构成一个正四面体，相邻外层上的正六面体在同样的方位的4个不相邻顶点构造正四面体星座图，并沿着z轴逆时针旋转π/2；对于三维16个点的星座图(图5)，由内而外先选取最小的能量层上正六面体不相邻的4个点构成的正四面体三维星座图，然后选取中层的8个点，分别构造两个和内层上方位相同的正四面体，旋转π/2构成其中一个正四面体，然后在此基础上沿着z轴逆时针旋转π/2，得到第二个正四面体，从而构成一个正六面体星座图；在外层上也构造与中层第二个正四面体方向相同的正四面体，然后在此基础上沿着z轴逆时针旋转π/2，记得到所构造的星座图；

步骤5，参数化各点坐标，在能量归一化准则和星座图点间最小欧氏距离最大化准则条件下，选取合适的坐标。我们得到8点三维星座图最优的坐标为：16点的星座图的最优三维坐标(图6)为：

步骤6，将初始的3×1024长度的二进制数据通过比特映射到所求出的8点三维星座点S₀,S₁,…,S₇上，通过和传统ChirpedOFDM系统的融合，该系统的具体实现框图如附图7；将初始的3×1024长度的二进制数据通过比特映射到相应的三维星座点上，由于每个点3bit，得到N个映射后的星座点为Q_n＝(x_n,y_n,z_n)^T,n＝0,1,…,1023，其中T表示转置；通过和传统ChirpedOFDM系统的融合，将Q₀,Q₁,…,Q₁₀₂₃作为新的二维分数阶域的ChirpedOFDM符号S为：

$\begin{array}{c}S=(Q_0,Q_1,...,Q_{1023})\\ =\left(\begin{array}{cccc}{x}_0& x_1& ...& x_{1023}\\ y_0& y_1& ...& y_{1023}\\ z_0& z_1& ...& z_{1023}\end{array}\right)\end{array}$

步骤7，对S符号做二维的逆分数阶傅里叶变换，行和列对应的阶次分别为α₁＝0.01·π/2和α₂＝π/4，得到的发送端的基带调制信号s＝(s₀s₁…s₁₀₂₃)，其中s_n＝s(n₁,n₂),n＝0,1,…,1023表示为：

$\begin{array}{c}s(n_1,n_2)=\sqrt{\frac{1-j{\mathrm{cot\&alpha;}}_1}{3}}\&CenterDot;\sqrt{\frac{1-j{\mathrm{cot\&alpha;}}_2}{1024}}\&times;\exp (-\frac{j{\mathrm{cot\&alpha;}}_1}{2}{n_1}^2\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;t}}^2)\&times;\exp (-\frac{j{\mathrm{cot\&alpha;}}_2}{2}{n_2}^2\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;t}}^2)\\ \&times;\underset{k_1=0}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{k_2=0}{\overset{1023}{\mathrm{\&Sigma;}}}S(k_1,k_2)\&CenterDot;\exp (-\frac{j{\mathrm{cot\&alpha;}}_1}{2}{k_1}^2\&CenterDot;{{\mathrm{\&Delta;u}}_1}^2+j\frac{2{\mathrm{\&pi;n}}_1{k}_1}{3})\&CenterDot;\exp (-\frac{j{\mathrm{cot\&alpha;}}_2}{2}{k}_2^2\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;u}}_2^2+j\frac{2{\mathrm{\&pi;n}}_2{k}_2}{N})\end{array}$

其中，0≤n₁,k₁≤2，0≤n₂,k₂≤1023，Δt＝1为时间分辨率，行和列的分数域分辨率分别为：Δu₁＝2πsin(0.01·π/2)/3，

步骤8，接收端下变频后，接收到的包含高斯噪声基带信号为r＝(r₀,r₁,…,r₁₀₂₃)，其中r的每个元素为r(n₁,n₂)，r_n＝s_n＋n_n,n＝0,1,…,1023，n_n＝(n_n,n_n,n_n)^T是三维高斯白噪声；经过二维分数阶傅里叶变换进行解调后，得到的信号为R＝(R₀,R₁,…,R₁₀₂₃)，其中R_k＝R(k₁,k₂)的表达式如下：

$\begin{array}{c}R(k_1,k_2)=\sqrt{\frac{1-j\cot (-{\mathrm{\&alpha;}}_1)}{3}}\&CenterDot;\sqrt{\frac{1-j\cot (-{\mathrm{\&alpha;}}_2)}{N}}\&times;\exp (-\frac{j\cot (-{\mathrm{\&alpha;}}_1)}{2}{k_1}^2\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;t}}^2)\&times;\exp (-\frac{j(-{\mathrm{\&alpha;}}_2)}{2}{k_2}^2\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;t}}^2)\\ \&times;\underset{n_1=0}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{n_2=0}{\overset{1023}{\mathrm{\&Sigma;}}}r(n_1,n_2)\&CenterDot;\exp (-\frac{j\cot (-{\mathrm{\&alpha;}}_1)}{2}{n_1}^2\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;t}}^2-j\frac{2{\mathrm{\&pi;n}}_1{k}_1}{3})\&CenterDot;\exp (-\frac{j\cot (-{\mathrm{\&alpha;}}_2)}{2}{n}_2^2\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;t}}^2-j\frac{2{\mathrm{\&pi;n}}_2{k}_2}{N})\end{array}$

步骤9，求取解调后得到的信号R_k与与8点三维星座图S₀,S₁,…,S₇中的点的最小距离，选择距离最近的点作为要恢复的信号，最后将恢复的信号逆映射回原始3×1024长的二进制序列，则完成了整个二维通信过程。

下面为了说明本发明所述的系统及算法的有效性，这里给出具体仿真实例及分析。

首先给出了三维星座图设计的性能对比(表1)，在归一化能量下，计算出8点的二维调制8PSK和8QAM星座图，以及传统的正六面体星座图(图4所提星座图簇8点的特殊形式)，数值逼近的最优星座图，以及所提星座图簇的8点最优星座图的最小欧氏距离。

表1八点星座图最小欧式距离

8点的星座图	归一化能量的最小星座点距离
		8PSK、8QAM	0.7654
正六面体星座图(星座图簇中8点的特殊形式)	1.1547
		数值逼近的最优星座图	1.1933
提出的星座图簇8点最优星座图	1.1882

通过表1的对比，我们可以看出所提出的三维星座图簇的星座图点间的归一化能量的最小星座图点间欧氏距离要远大于二维星座图点间距，我们提出的三维星座图簇构成的8点的最优星座图，要优于它的特殊形式由正六面体构成的星座图。在数值逼近计算允许的错误情况下，我们的构造的最优星座图是和数值计算得到的结果相一致的。

其次分析所提通信系统在高斯白噪声信道下的加密性能及误符号率性能，仿真参数设置如表2所示。

表2系统仿真参数

从图8可以看出，三维星座图相较于二维星座图在误符号率上有较大的提升，8点星座图在二维ChirpedOFDM系统中能到实现很低的误符号率，8点的最优星座图要比8点星座图簇的特殊形式正六面体星座图有更低的误符号率，在信噪比约有0.5dB的提升。

另一方面，我们验证基于三维星座图调制的二维ChirpedOFDM系统信号传输的安全性，主要体现在以下两个方面：一是二维ChirpedOFDM系统本身基于二维分数阶傅里叶调制在获取更好的信道匹配的同时，也提供的二维分数阶加密特性；二是星座图的可变性带来的加密效果。

图9中采用α₁＝0.01×π/2,α₂＝π/4的二维逆分数阶傅里叶变换进行调制，解调端在α₁∈[0.09,0.11]×π/2,α₂∈[0.49,0.51]×π/2之间，以0.001为步进搜索的二维分数阶傅里叶变换进行搜索，可以看出依托于新型三维星座图调制的二维ChirpedOFDM系统，星座图点间(S的行向量)的分数阶阶次比较敏感，而对于星座点内部值(S的列向量)对于分数阶次不太敏感，这主要是因为三维调制的星座点坐标只有三个值，通过三点的阶次为α₁的分数阶傅里叶变换之后，信号的chirp特性表现不明显，因而影响较小。

在上述关于8点星座图的推导过程中，得到一类8点的星座图的适用范围为图10中验证了非协作方在不知道所使用的k值的情况下，通过正六面体来匹配解调的误符号率所提一般的8点三维星座点的正确解调以及正确解调的误符号率对比，从上图中可以看出，正确的匹配拥有3dB的增益，可见所提的星座图应用于新的二维ChirpedOFDM系统能够实现安全的通信。

以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例而已，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.基于三维星座图簇调制的二维ChirpedOFDM通信方法，其特征在于步骤为：

步骤1，依据通信原理中的数字带通调制技术关于正交振幅调制的设计方式，将标准的MQAM星座图中的M个星座点以QPSK星座图的点为单位，由外圈沿逆时针方向标记，划分为M/4个QPSK的星座图组合形式；每个QPSK星座图点和三维正四面体星座图点对应，得到M/4个正四面体星座图组合；

步骤2，根据MQAM星座图点能量分布特点，即是距离原点的距离，将M/4个划分的QPSK星座图组合中相同能量的划归为一个组，共划分为K组，将它们与原点的K个不同距离，由小到大记为R^k,k＝1,2,…,K；

步骤3，三维空间中构建K个同心球面，其半径为R^k,k＝1,2,…,K；在每个球面上构造相同方位的正六面体，取其4个不相邻的顶点构成正四面体星座图；根据步骤2中，划分的K组QPSK星座图组合，将正四面体星座图分组；

步骤4，根据能量层由内而外，R^k由小到大的顺序构建相应层上正四面体组合的星座图；选取内层上R¹的正六面体的4个不相邻顶点构成一个正四面体，相邻层上的正六面体在同样的方位的4个不相邻顶点构造正四面体星座图，并沿着z轴逆时针旋转π/2；如果位于同一层R^k上有两组正四面体，首先根据R^k-1层的正四面体，旋转π/2构成其中一个正四面体，然后在此基础上沿着z轴逆时针旋转π/2，构成一个正六面体星座图；所有由内而外的M/4个正四面体组旋转角度表示为：(π/2)^m,m＝0,1,…,(M/4)-1；

步骤5，根据正六面体坐标参数化M点三维星座图的坐标为S₀,S₁,…,S_M-1，在能量归一化准则和星座图点间最小欧氏距离最大化准则以及外能量层之间星座点间距不小于最内层R¹上正四面体星座点间的距离，求出最优的星座图点坐标；

步骤6，将初始的3N长度的二进制数据通过比特映射到所求出的M点三维星座图上，由于每个点3bit，得到N个映射后的星座点为Q_n＝(x_n，y_n，z_n)^T、n＝0，1，…，N-1，其中T表示转置；通过和传统ChirpedOFDM系统的融合，将Q₀,Q₁,…,Q_N-1作为新的二维分数阶域的ChirpedOFDM符号：

$\begin{array}{c}S=(Q_0,Q_1,...,Q_{N-1})\\ ={\left(\begin{array}{cccc}{x}_0& x_1& ...& x_{N-1}\\ y_0& y_1& ...& y_{N-1}\\ z_0& z_1& ...& z_{N-1}\end{array}\right)}_{3\&times;N}\end{array}$

步骤7，对ChirpedOFDM系统的符号S做二维的逆分数阶傅里叶变换，行和列对应的分数阶旋转角度分别为α₁和α₂，得到的发送端的基带调制信号s＝(s₀s₁…s_N-1)，其中s_n＝s(n₁,n₂),n＝0,1,…,N-1表示为：

$\begin{array}{c}s\left(n_1,n_2\right)=\sqrt{\frac{1-j{\mathrm{cot\&alpha;}}_1}{3}}\&CenterDot;\sqrt{\frac{1-j{\mathrm{cot\&alpha;}}_2}{N}}\&times;\exp \left(-\frac{j{\mathrm{cot\&alpha;}}_1}{2}{n}_1^2\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;t}}^2\right)\&times;\exp \left(-\frac{j{\mathrm{cot\&alpha;}}_2}{2}{n}_2^2\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;t}}^2\right)\\ \&times;\underset{k_1=0}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{k_2=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}S\left(k_1,k_2\right)\&CenterDot;\exp \left(-\frac{j{\mathrm{cot\&alpha;}}_1}{2}{k}_1^2\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;u}}_1^2+j\frac{2{\mathrm{\&pi;n}}_1{k}_1}{3}\right)\&CenterDot;\exp \left(-\frac{j{\mathrm{cot\&alpha;}}_2}{2}{k}_2^2\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;u}}_2^2+j\frac{2{\mathrm{\&pi;n}}_2{k}_2}{N}\right)\end{array}$

其中，0≤n₁,k₁≤2，0≤n₂,k₂≤N-1，j是复数单位，Δt是时域的分辨率，Δu₁＝2π|sinα₁|/(3Δt)和Δu₂＝2π|sinα₂|/(NΔt)分别是行和列的分数域分辨率；

步骤8，接收端下变频后，接收到的包含高斯噪声基带信号为r＝(r₀,r₁,…,r_N-1)，其中r的第n₁行n₂列元素表示为r(n₁,n₂)，r_n＝s_n+n_n,n＝0,1,…,N-1，n_n＝(n_n,n_n,n_n)^T是三维加性高斯白噪声；r经过二维分数阶傅里叶变换进行解调后，得到的信号为R＝(R₀,R₁,…,R_N-1)，其中R_k＝R(k₁,k₂)的表达式如下：

$\begin{array}{c}R\left(k_1,k_2\right)=\sqrt{\frac{1-j\cot \left(-{\mathrm{\&alpha;}}_1\right)}{3}}\&CenterDot;\sqrt{\frac{1-j\cot \left(-{\mathrm{\&alpha;}}_2\right)}{N}}\&times;\exp \left(-\frac{j\cot \left(-{\mathrm{\&alpha;}}_1\right)}{2}{k}_1^2\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;t}}^2\right)\&times;\exp \left(-\frac{j\left(-{\mathrm{\&alpha;}}_2\right)}{2}{k}_2^2\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;t}}^2\right)\\ \&times;\underset{n_1=0}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{n_2=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}r\left(n_1,n_2\right)\&CenterDot;\exp \left(-\frac{j\cot \left(-{\mathrm{\&alpha;}}_1\right)}{2}{n}_1^2\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;t}}^2-j\frac{2{\mathrm{\&pi;n}}_1{k}_1}{3}\right)\&CenterDot;\exp \left(-\frac{j\cot \left(-{\mathrm{\&alpha;}}_2\right)}{2}{n}_2^2\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;t}}^2-j\frac{2{\mathrm{\&pi;n}}_2{k}_2}{N}\right)\end{array}$

步骤9，求取解调后得到的信号R_k与M点三维星座图S₀,S₁,…,S_M-1中各点的最小距离，选择距离最近的点作为要恢复的信号，最后将恢复的信号逆映射回原始3N长的二进制序列，则完成了整个二维通信过程。